安徽省六安市第一中学20172018学年高二9月月考数学文试题含
安徽省六安第一中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试英语试题含解析
六安一中2024年春学期高二年级期末考试英语试卷时间：120分钟第一部分听力(共两节，满分30分满分：150分)做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1．How would the woman like her steak today?A．Rare.B．Medium.C．Well-done.2．What is the relationship between the speakers?A．Teacher and student.B．Librarian and library user.C．Shop assistant and customer.3．Why does the woman call the man?A．To ask for a favor.B．To say thanks.C．To make a complaint. 4．Where does the conversation take place?A．At the airport.B．On a plane.C．In a taxi.5．What seems to be the man’s problem?A．He gets bored of reading.B．He is disturbed by the noise.C．He hates the hot weather today.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
六安一中东校区2017-2018学年第二学期高二年级开学考试
六安一中东校区2017-2018学年第二学期高二年级开学考试语文试卷命题人:叶永星时间：150分钟分值：150分一、现代文阅读（34分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1~3题。
中国古代对诗歌艺术的把握，不重细密的分析，而重总体的品鉴。
把握的方式是直观的、印象的、顿悟的。
“郊寒岛瘦”这四个字，不知被多少人引用过。
若问：何谓“寒”？何谓“瘦”？说这话的苏东坡本人也未必能作出精确的回答。
他只是把自己对孟郊、贾岛这两位诗人的总体感受说了出来，其中的意味要靠读者自己去体会。
中国传统的诗歌艺术研究大抵是这样，以三言两语说出自己的感受，如同朋友间的对床夜语，只求心灵的启迪，而无意于逻辑的实证；注重直观的感受，而不甚注意建立理论体系。
传统的方法自有其长处。
艺术不等于数学，艺术分析不能达到也不必追求数学计算的精确性。
审美判断以审美感受为基础，而审美感受的主体应当有较高的悟性。
建立在感受的基础上、靠妙悟作出的审美判断，往往比套用某种理论模式演绎出来的结论更能引起别人的兴趣和共鸣。
然而传统方法也有其不足之处。
总体把握需要细密的分析作为补充，艺术品鉴应当示人以可供捉摸的道理，不能总是给人一个浑浊。
那么诗歌的艺术分析依据什么呢？我想首先就是诗歌语言。
当然，文学是语言的艺术，各种文学体裁都离不开语言。
如果从语言学的角度给诗歌下一个定义，不妨说诗歌是语言的变形，它离开了口语和一般的书面语言，成为一种特异的语言形式。
如果一个人平时总是用诗的语言来讲话，别人一定会感到奇怪或可笑，因为不合乎日常交际使用语言的习惯。
所以在其他文体里不允许出现的句子，却可以成为诗中之佳句。
词语是构建诗句的材料，也是诗歌意象的物质外壳，由语言分析深入一步就是意象分析。
诗歌的艺术分析不能停留在语言的表层上，得意忘言是诗歌鉴赏的法门。
中国诗歌艺术的奥妙，从意象上可以寻到不少。
其一是词语的精练与意象的密集。
中国诗歌多半是短小的抒情诗，一首诗里词语的数量并不多，蕴涵的意象却相当丰富，因而诗的感情容量大，启示性强。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。
2023-2024学年安徽省六安一中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省六安一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线l 的一个方向向量为(−1，√33)，则它的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．若a ∈{﹣1，0，1，2，3}，则方程x 2+y 2+x +2ay +a 2+a ﹣1＝0表示的圆的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知椭圆方程x 2169+y 225=1，若△ABC 的顶点B ，C 分别是椭圆的两个焦点，A 在椭圆上，则sinB+sinC+sinA sinB+sinC−sinA的值为（ ）A ．25B ．252C ．12D ．244．已知两定点A （﹣1，1）、B （2，5），动点P 在直线上x ﹣y ＝0，则|P A |+|PB |的最小值为（ ） A ．5√13B ．√34C ．5D ．√375．已知直线l ：x +ay ﹣1＝0（a ∈R ）是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝（ ） A ．2B ．4√2C ．6D ．76．如图底面为平行四边形的四棱锥P ﹣ABCD ，EC ＝2PE ，若DE →=xAB →+yAC →+zAP →，则x +y +z ＝（ ）A ．1B ．2C ．13D ．537．已知点F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 、B 是以O （O 为坐标原点）为圆心、|OF 1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F 2AB 是正三角形，则此椭圆的离心率为（ ） A ．√3−1B ．√32C ．√2−1D ．√38．柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．如图是棱长均为1的柏拉图多面体EABCDF ，P ，Q ，M ，N 分别为DE ，AB ，AD ，BF 的中点，则PQ →⋅MN →=（ ）A ．12B ．14C ．−14D ．−12二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．若向量a →=（1，2，0），b →=（﹣2，0，1），则（ ） A ．cos ＜a →，b →＞=−25 B ．a →⊥b →C ．a →∥b →D ．|a →|＝|b →|10．下列说法正确的有（ ）A ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．直线y ＝x +1在x 轴上的截距为1C ．经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）＝（x ﹣x 1）（y 2﹣y 1）表示D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为−2311．已知圆M ：x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0，圆N ：x 2+y 2﹣8x ﹣8y +23＝0，则下列选项正确的是（ ） A ．两圆是外切的位置关系 B ．直线MN 的方程为4x ﹣3y ﹣4＝0C ．若P 、Q 两点分别是圆M 和圆N 上的动点，则|PQ |的最大值为5D ．圆M 和圆N 的一条公切线段长为2√612．已知A ，B 两点的距离为定值4，平面内一动点C ，记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，下面说法正确的是（ ） A ．若CA →⋅CB →=0，则S 最大值为2 B ．若b =√2a ，则S 最大值为8√2C ．若a +b ＝8，则S 最大值为4√3D ．若（tan ∠CAB ）•（tan ∠CBA ）=14，则S 最大值为1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．过点A （1，2）且与两定点（2，3）、（4，﹣5）等距离的直线方程为 ． 14．已知椭圆C ：x 225+y 29=1，点M 在椭圆C 上，已知点N(1，√3)与点F （﹣4，0），则|MF |+|MN |的最小值为 ．15．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点F ，G 分别是AB ，CC 1的中点，则点D 1到直线GF 的距离为 ．16．已知P 为圆O ：x 2+y 2＝1上一动点，过点P 作圆O 的切线l ，交圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣4）2＝36于点A 、B ，则|PA||PB|的最大值是 ．四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知直线l 1：x +3y +1＝0，l 2 ：x +（a ﹣2）y +a ＝0． （1）若l 1⊥l 2，求实数a 的值；（2）当l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离． 18．（12分）已知平面内两点P （﹣1，﹣3），Q （3，3）． （1）求PQ 的垂直平分线所在直线的直线方程；（2）过点Q 作直线l ，分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，当|OA |+|OB |取得最小值时，求直线l 的方程．19．（12分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，△SAD 是正三角形，且平面SAD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，P 为棱AD 的中点，AD ＝2． （1）若E 为棱SB 的中点，求证：PE ∥平面SCD ；（2）在棱SA 上是否存在点M ，使得平面PMB 与平面SAD 所成锐二面角的余弦值为2√35？若存在，指出点M 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知圆C 1：（x +1）2+y 2＝1，C 2：（x ﹣1）2+y 2＝9，动圆M 与圆C 1外切，与圆C 2内切，记圆心M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）直线l 过点C 2，且与曲线C 交于A ，B 两点，满足AC 2→=32C 2B →，求直线l 的方程．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ≥1)的右焦点F 坐标是(√3，0)，且椭圆C 上的点到F 距离的最大值为2+√3，过点M （3，0）的直线交椭圆C 于点A 、B ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆上一点，且满足OA →+OB →=tOP →（O 为坐标原点），当|AB |＜√3时，求实数t 的取值范围．22．（12分）已知圆心在坐标原点的圆C 与直线x +y −2√2=0相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）已知点P （﹣4，1），过点P 作圆C 的两条切线，切点分别是A 、B ，若点Q 是线段AB 上的一个动点，直线PQ 交圆C 于M 、N 两点，求|PM |•|PN |﹣|QA |•|QB |最小值．2023-2024学年安徽省六安一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线l 的一个方向向量为(−1，√33)，则它的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：因为直线l 的一个方向向量为(−1，√33)，所以直线l 的斜率k =−√33，所以直线l 的倾斜角为150°． 故选：D ．2．若a ∈{﹣1，0，1，2，3}，则方程x 2+y 2+x +2ay +a 2+a ﹣1＝0表示的圆的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：方程x 2+y 2+x +2ay +a 2+a ﹣1＝0整理得(x +12)2+(y +a)2=14+1−a ； 当a ＝﹣1，0，1时，表示圆． 故选：C ． 3．已知椭圆方程x 2169+y 225=1，若△ABC 的顶点B ，C 分别是椭圆的两个焦点，A 在椭圆上，则sinB+sinC+sinA sinB+sinC−sinA的值为（ ）A ．25B ．252C ．12D ．24解：由题意可知，a ＝13，b ＝5，所以c ＝12， 又△ABC 的顶点B 、C 分别是椭圆的焦点， 所以|AB |+|AC |＝2a ＝26，|BC |＝2c ＝24， 所以由正弦定理可得sinB+sinC+sinA sinB+sinC−sinA=|AC|+|AB|+|BC||AC|+|AB|−|BC|=26+2426−24=25．故选：A ．4．已知两定点A （﹣1，1）、B （2，5），动点P 在直线上x ﹣y ＝0，则|P A |+|PB |的最小值为（ ） A ．5√13B ．√34C ．5D ．√37解：作出图形知A ，B 在直线的同侧，点A 关于直线 x ﹣y ＝0 的对称点A 1（1，﹣1），则(|PA|+|PB|)min =|A 1B|=√(2−1)2+(5+1)2=√37．故选：D ．5．已知直线l ：x +ay ﹣1＝0（a ∈R ）是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝（ ） A ．2B ．4√2C ．6D ．7解：由圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0得，（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4， 所以C （2，1）为圆心、半径为2，由题意可得，直线l ：x +ay ﹣1＝0经过圆C 的圆心（2，1）， 故有2+a ﹣1＝0，得a ＝﹣1，则点A （﹣4，﹣1）， 即|AC |=√(2+4)2+(1+1)2=√40，所以切线的长|AB |=√|AC|2−r 2=√40−4=6， 故选：C ．6．如图底面为平行四边形的四棱锥P ﹣ABCD ，EC ＝2PE ，若DE →=xAB →+yAC →+zAP →，则x +y +z ＝（ ）A ．1B ．2C ．13D ．53解：由题意，DE →=DC →+CA →+AE →=AB →−AC →+AP →+PE →=AB →−AC →+AP →+13PC →=AB →−AC →+AP →+13(AC →−AP →)=AB →−23AC →+23AP →，又因为DE →=xAB →+yAC →+zAP →， 所以x ＝1，y =−23，z =23， 所以x +y +z ＝1． 故选：A ．7．已知点F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 、B 是以O （O 为坐标原点）为圆心、|OF 1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F 2AB 是正三角形，则此椭圆的离心率为（ ） A ．√3−1B ．√32C ．√2−1D ．√3解：由题意，∵A 、B 是以O （O 为坐标原点）为圆心、|OF 1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点， ∴|OA |＝|OB |＝|OF 2|＝c ∵△F 2AB 是正三角形， ∴|F 2A|=√3c ∴|F 1A |＝c ， ∵|F 1A |+|F 2A |＝2a ∴(1+√3)c =2a ∴ca =1+√3=√3−1故选：A ．8．柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．如图是棱长均为1的柏拉图多面体EABCDF ，P ，Q ，M ，N 分别为DE ，AB ，AD ，BF 的中点，则PQ →⋅MN →=（ ）A ．12B ．14C ．−14D ．−12解：由柏拉图多面体的性质可知，侧面均为等边三角形，四边形ABCD 为边长为1的菱形，又△AEC ≌△BED ，所以AC ＝BD ，故四边形ABCD 为正方形， 同理四边形BEDF 也为正方形， 取AE 的中点K ，连接PK ，KQ ，则PQ →=PK →+KQ →=12DA →+12EB →， 同理MN →=12DF →+12AB →，所以PQ →⋅MN →=（12DA →+12EB →）•（12DF →+12AB →）=14DA →⋅DF →+14DA →⋅AB →+14EB →⋅DF →+14EB →⋅AB →=14×1×1×cos60°+0+14×1×1+14×1×1×cos60°=12． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．若向量a →=（1，2，0），b →=（﹣2，0，1），则（ ） A ．cos ＜a →，b →＞=−25B ．a →⊥b →C ．a →∥b →D ．|a →|＝|b →|解：因为a →=（1，2，0），b →=（﹣2，0，1）， 所以cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=−25⋅5=−25， 故A 正确，B ，C 都错误； |a →|=√5，|b →|=√5， 所以|a →|＝|b →|=√5，故选：AD ．10．下列说法正确的有（ ）A ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．直线y ＝x +1在x 轴上的截距为1C ．经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）＝（x ﹣x 1）（y 2﹣y 1）表示D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为−23解：对于A ，直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴交于点（2，0），（0，﹣2）， 故与两坐标轴围成的三角形的面积S =12×2×2=2，故A 正确， 对于B ，直线y ＝x +1过（﹣1，0），在x 轴上的截距为﹣1，故B 错误， 对于C ，经过两个不同的点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线， 若x 1≠x 2且y 1≠y 2，则方程为y−y 1y 2−y 1=x−x 1x 2−x 1，化简得（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）＝（x ﹣x 1）（y 2﹣y 1）；若x 1＝x 2，则直线方程为x ﹣x 1＝0，可以化成（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）＝（x ﹣x 1）（y 2﹣y 1）； 若y 1＝y 2，则直线方程为y ﹣y 1＝0，也可以化成（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）＝（x ﹣x 1）（y 2﹣y 1）． 因此，经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线， 都可以用方程（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）＝（x ﹣x 1）（y 2﹣y 1）表示，C 正确；对于D ，由题意得该直线的方向向量为（﹣3，2），可知该直线的斜率为−23，故D 正确． 故选：ACD ．11．已知圆M ：x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0，圆N ：x 2+y 2﹣8x ﹣8y +23＝0，则下列选项正确的是（ ） A ．两圆是外切的位置关系 B ．直线MN 的方程为4x ﹣3y ﹣4＝0C ．若P 、Q 两点分别是圆M 和圆N 上的动点，则|PQ |的最大值为5D ．圆M 和圆N 的一条公切线段长为2√6解：由题意可知：圆M ：（x ﹣1）2+y 2＝4的圆心M （1，0），半径r 1＝2， 圆N ：（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝9的圆心N （4，4），半径r 2＝3，|MN|=√(4−1)2+(4−0)2=5=r 1+r 2，可知圆M 与圆N 外切，故A 正确； 直线MN 的方程为y−04−0=x−14−1，即4x ﹣3y ﹣4＝0，故B 正确；因为|MN |＝5，所以|PQ |的最大值为|MN |+r 1+r 2＝10，故C 错误；如图，直线l 为两圆的公切线，A ，B 为切点坐标，过N 作ND ⊥AM ，垂足为D ，则ADNB 为矩形，可得|MN |＝5，|DM |＝r 2﹣r 1＝1， 所以公切线长为|AB |=√|DN|2−|AD|2=2√6，故D 正确． 故选：ABD ．12．已知A ，B 两点的距离为定值4，平面内一动点C ，记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，下面说法正确的是（ ） A ．若CA →⋅CB →=0，则S 最大值为2 B ．若b =√2a ，则S 最大值为8√2 C ．若a +b ＝8，则S 最大值为4√3D ．若（tan ∠CAB ）•（tan ∠CBA ）=14，则S 最大值为1 解：以AB 中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系， 因为|AB |＝4，则A （﹣2，0），B （2，0），设C （x ，y ），对于选项A ，若CA →⋅CB →=0，则点C 的轨迹方程为x 2+y 2＝4，（x ≠±2）， 则S =12×|AB|×|y|=2|y|≤4，即S 的最大值为4，即选项A 错误；对于选项B ，若b =√2a ，则√(x +2)2+y 2=√2√(x −2)2+y 2，即（x ﹣6）2+y 2＝32，（y ≠0）， 则|y|≤4√2，则S =12×4×|y|≤8√2，则S 的最大值为8√2，即选项B 正确； 对于选项C ，若a +b ＝8，由椭圆的定义可得，点C 的轨迹方程为x 216+y 212=1，（y ≠0），即|y|≤2√3，则S =12×4×|y|≤4√3，则S 的最大值为4√3，即选项C 正确；对于选项D ，若(tan ∠CAB)⋅(tan ∠CBA)=14，则k AC ⋅k BC =−14，即x 24+y 2=1，（y ≠0），则|y |≤1，即S =12×4×|y|≤2，则S 的最大值为2，即选项D 错误．故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．过点A （1，2）且与两定点（2，3）、（4，﹣5）等距离的直线方程为 3x +2y ﹣7＝0，4x +y ﹣6＝0 ． 解：①过两定点（2，3）、（4，﹣5）的直线方程为：y ﹣3=−5−34−2（x ﹣2），化为：4x +y ﹣11＝0， 过点A （1，2）的直线与直线：4x +y ﹣11＝0平行时满足条件：y ﹣2＝﹣4（x ﹣1），化为：4x +y ﹣6＝0． ②两定点（2，3）、（4，﹣5）所在线段的中点为（3，﹣1）． 则经过点A （1，2）与中点的直线满足条件：y ﹣2=−1−23−1（x ﹣1），化为：3x +2y ﹣7＝0． 综上可得：满足条件的直线方程为：3x +2y ﹣7＝0，4x +y ﹣6＝0． 故答案为：3x +2y ﹣7＝0，4x +y ﹣6＝0． 14．已知椭圆C ：x 225+y 29=1，点M 在椭圆C 上，已知点N(1，√3)与点F （﹣4，0），则|MF |+|MN |的最小值为 10−2√3 ．解：根据题意可得a ＝5，b ＝3，c ＝4，设椭圆的右焦点为F ′，则F ′为（4，0），又点N(1，√3)， ∴|NF ′|=√9+3=2√3∴|MF |+|MN |＝2a ﹣|MF ′|+|MN |≥2a ﹣|NF ′|＝10−2√3， 当且仅当M ，N ，F ′三点共线时，等号成立， 故|MF |+|MN |的最小值为10−2√3． 故答案为：10−2√3．15．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点F ，G 分别是AB ，CC 1的中点，则点D 1到直线GF 的距离为√423．解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则D 1（0，0，2），G （0，2，1），F （1，1，0）， FD 1→=（﹣1，﹣1，2），FG →=（﹣1，1，1）， ∴点D 1到直线GF 的距离：d ＝|FD 1→|•√1−(FD 1→⋅FG→|FD 1→|⋅|FG →|)2=√6⋅√1−(2√6⋅√3)2=√423．∴点D 1到直线GF 的距离为√423． 故答案为：√423．16．已知P 为圆O ：x 2+y 2＝1上一动点，过点P 作圆O 的切线l ，交圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣4）2＝36于点A 、B ，则|PA||PB|的最大值是 3+2√2 ．解：原题等价于已知O ：x 2+y 2＝1及其P （0，1）处的切线l ：y ＝1，圆C 的圆心到圆O 的距离为d =√12+42=√17，半径为r ＝6且与直线l 交于A ，B 两点， 求A ，B 两点横坐标的绝对值的比的取值范围， 如图，设C(√17cosθ，√17sinθ)，则圆C 的方程为(x −√17cosθ)2+(y −√17sinθ)2=36， 与直线l 的方程联立可得x 2−2√17cosθ⋅x −18−2√17sinθ=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点横坐标之比为λ，则x 1+x 2=λx 2+x 2=2√17cosθ，x 1x 2=λx 22=−18−2√17sinθ，得(2√17cosθλ+1)2=−18−2√17sinθλ， 整理得λ+1λ=18+2√17sinθ+18+217sinθ−38≥2√256−38=−6，当且仅当18+2√17sinθ=25618+2√17sinθ时，λ+1λ取得最小值﹣6，当sin θ＝±1时，λ+1λ取得最大值﹣2，所以−6≤λ+1λ≤−2，得−3−2√2≤λ≤−3+2√2，得|λ|≤3+2√2，故|PA||PB|的最大值为3+2√2．故答案为：3+2√2．四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知直线l1：x+3y+1＝0，l2：x+（a﹣2）y+a＝0．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．解：（1）因为直线l1：x+3y+1＝0，l2：x+（a﹣2）y+a＝0，且l1⊥l2，所以1×1+3×（a﹣2）＝0，所以3a﹣5＝0，所以a=5 3．（2）当l1∥l2时，1×（a﹣2）＝3×1，解得a＝5，此时l1：x+3y+1＝0，l2：x+3y+5＝0，所以l1与l2的距离d=|1−5|√1+3=2√105．18．（12分）已知平面内两点P（﹣1，﹣3），Q（3，3）．（1）求PQ的垂直平分线所在直线的直线方程；（2）过点Q作直线l，分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，当|OA|+|OB|取得最小值时，求直线l的方程．解：（1）∵P（﹣1，﹣3），Q（3，3），∴PQ中点M(1，0)，k PQ=3 2，∴直线PQ的垂直平分线的斜率k=−2 3，直线l：y=−23(x−1)=−23x+23⇒2x+3y−2=0；（2）设A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0），则直线l：xa+yb=1，∵Q在直线上，∴3a +3b=1，∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b)(3a+3b)=6+3ba+3ab≥6+2√3ba⋅3ab=12，当且仅当3b a=3a b时取等号，即当且仅当a ＝b ＝6时，等号成立此时，l ：y ＝﹣x +6⇒x +y ﹣6＝0．19．（12分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，△SAD 是正三角形，且平面SAD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，P 为棱AD 的中点，AD ＝2． （1）若E 为棱SB 的中点，求证：PE ∥平面SCD ；（2）在棱SA 上是否存在点M ，使得平面PMB 与平面SAD 所成锐二面角的余弦值为2√35？若存在，指出点M 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由．（1）证明：取SC 中点F ，连EF 、DF ，∵E ，F 为棱SB ，SC 的中点，∴EF ∥BC ，且EF =12BC ， ∵四边形ABCD 是矩形，P 为棱AD 的中点， ∴PD ∥BC ，PD =12BC ，∴EF ∥PD ，EF ＝PD ，∴四边形PEFD 是平行四边形， ∴PE ∥FD ，又∵FD ⊂平面SCD ，PE ⊄平面SCD ， ∴PE ∥平面SCD ；（2）解：假设在棱SA 上存在点M 满足题意，在等边三角形SAD 中，P 为AD 的中点，所以SP ⊥AD ， 又平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ， SP ⊂平面SAD ，∴SP ⊥平面ABCD ，以点P 为原点，PA →的方向为x 轴正方向，PS →的方向为z 轴的正方向， 过P 作AB 的平行线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），S(0，0，√3)， ∴PA →=(1，0，0)，PB →=(1，1，0)，AS →=(−1，0，√3)， 设AM →=λAS →=(−λ，0，√3λ)(0≤λ≤1)， ∴PM →=PA →+AM →=(1−λ，0，√3λ)， 设平面PMB 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅PM →=(1−λ)x +√3λz =0n →⋅PB →=x +y =0，令x =√3λ，可得y =−√3λ，z ＝λ﹣1， ∴n →=（√3λ，−√3λ，λ﹣1），易知平面SAD 的一个法向量为m →=（0，1，0）， ∴|cos ＜n →，m →＞|=|−3λ|√7λ−2λ+1=2√35，解得λ=23， ∴存在点M 为SA 的靠近点S 的三等分点时，平面PMB 与平面SAD 所成锐二面角的余弦值为2√35． 20．（12分）已知圆C 1：（x +1）2+y 2＝1，C 2：（x ﹣1）2+y 2＝9，动圆M 与圆C 1外切，与圆C 2内切，记圆心M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）直线l 过点C 2，且与曲线C 交于A ，B 两点，满足AC 2→=32C 2B →，求直线l 的方程．解：（1）由题意可知，圆C 1的圆心C 1（﹣1，0），半径r 1＝1，圆C 2的圆心C 2（1，0），半径r 2＝3， 由条件，可得{|MC 1|=r +1|MC 2|=3−r，即|MC 1|+|MC 2|＝4＞|C 1C 2|，则根据定义可知，点M 是以C 1，C 2为焦点，以4为长轴长的椭圆，则a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2﹣c 2＝3， 所以曲线C 的方程为x 24+y 23=1．（2）由a ＝2，c ＝1知直线l 斜率不为0， 不妨设l ：x ＝my +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则AC 2→=(1−x 1，−y 1)，C 2B →=(x 2−1，y 2)， 由AC 2→=32C 2B →，可得y 1=−32y 2，联立方程{x =my +1x 24+y 23=1，消去x ，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，则Δ＞0，由韦达定理，可得{y 1+y 2=−6m3m 2+4y 1y 2=−93m 2+4， 将y 1=−32y 2代入，得4m 23m 2+4=16，解得m 2=421，即m =±221√21，因此直线l ：x =±221√21y +1，即y =±√212(x −1)． 21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ≥1)的右焦点F 坐标是(√3，0)，且椭圆C 上的点到F 距离的最大值为2+√3，过点M （3，0）的直线交椭圆C 于点A 、B ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆上一点，且满足OA →+OB →=tOP →（O 为坐标原点），当|AB |＜√3时，求实数t 的取值范围．解：（1）由焦点坐标可知c =√3，又椭圆C 上的点到F 距离的最大值为a +c =2+√3，可知a ＝2， 所以b 2＝1； 故椭圆方程是x 24+y 2=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x ，y ），显然直线斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k （x ﹣3）， 由{y =k(x −3)x 24+y 2=1，整理得（1+4k 2）x 2﹣24k 2x +36k 2﹣4＝0， 则Δ＝（﹣24k 2）2﹣16（9k 2﹣1）（1+4k 2）＞0，解得k 2＜15，又x 1+x 2=24k21+4k2，x 1⋅x 2=36k 2−41+4k2，因|AB|＜√3且|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|，则(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]＜3， 于是有(1+k 2)[242k4(1+4k 2)2−4(36k 2−4)1+4k2]＜3，化简得（8k 2﹣1）（16k 2+13）＞0，则8k 2﹣1＞0， 即k 2＞18，所以18＜k 2＜15，由OA →+OB →=tOP →得（x 1+x 2，y 1+y 2）＝t （x ，y ），则x =1t (x 1+x 2)=24k 2t(1+4k 2)，y =1t (y 1+y 2)=1t [k(x 1+x 2)−6k]=−6k t(1+4k 2)， 而点P 在椭圆上，即(24k 2)2t 2(1+4k 2)2+144k 2t 2(1+4k 2)2=4，化简得36k 2＝t 2（1+4k 2），从而有t 2=36k21+4k2=9−91+4k2， 而32＜1+4k 2＜95，即5＜91+4k2＜6，于是得3＜t 2＜4，解得−2＜t ＜−√3或√3＜t ＜2， 故实数t 的取值范围为(−2，−√3)∪(√3，2)．22．（12分）已知圆心在坐标原点的圆C 与直线x +y −2√2=0相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）已知点P （﹣4，1），过点P 作圆C 的两条切线，切点分别是A 、B ，若点Q 是线段AB 上的一个动点，直线PQ 交圆C 于M 、N 两点，求|PM |•|PN |﹣|QA |•|QB |最小值．解：（1）圆心在坐标原点的圆C 与直线x +y −2√2=0相切． 可得圆的半径r =2√2√2=4， 圆C 的标准方程为x 2+y 2＝4．（2）由点P （﹣4，1）可得切点弦AB ：4x ﹣y +4＝0，d 0=417， 则|AB|=2√r 2−d 02=2√5217=|QA|+|QB|，∴|QA|⋅|QB|≤(|QA|+(QB)2)2=5217．当且仅当|QA |＝|QB |时，取等号． 设PQ ：y ﹣1＝k （x ﹣4），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y −1=k(x −4)x 2+y 2=4，得（1+k 2）x 2+2k （4k +1）x +（16k 2+8k ﹣3）＝0，∴{ Δ＞0x 1+x 2=−k(4k+1)1+k 2x 1x 2=16k 2+8k−31+k 2， ∴|PM|⋅|PN|=(1+k 2)(x 1+4)(x 2+4)=(1+k 2)[x 1x 2+4(x 1+x 2)+16]=13， 故|PM|⋅|PN|−|QM|⋅|QN|≥13−5217=16917．。
安徽省六安第一中学2024-2025学年高三上学期第三次月考(11月)数学试题
安徽省六安第一中学2024-2025学年高三上学期第三次月考（11月）数学试题一、单选题1．已知复数()i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z =（）A ．1B ．2CD 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若38304S a ==,，则9S =（）A ．54B ．63C ．72D ．1353．已知平面向量,a b 满足4a = ，(1,b = ，且()()23a b a b +⊥- ．则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．在等比数列{}n a 中，已知13a =，48n a =，93n S =，则n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．75．已知数列{}n a 满足1211n n a a n +-=-，且110a =，则n a 的最小值是（）A ．-15B ．-14C ．-11D ．-66．已知ABC V 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P = 是BN 上一点且29AP m AB AC =+，则AP AB ⋅=（）A ．29B ．19C ．23D ．17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1024n n S a +=，则数列{}n a 的前n 项积的最大值为（）A ．552B ．452C ．92D ．1028．已知O 是ABC V 所在平面内一点，且2AB = ，1OA AC ⋅=- ，1OC AC ⋅=，则ABC ∠的最大值为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2二、多选题9．已知z 为复数，设z ，z ，i z 在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，其中O 为坐标原点，则（）A ．OA OB =B ．OA OC⊥C ．AC BC = D ．OB AC∥10．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列说法正确的是（）A ．当9n =时，n S 最大B ．使得0n S <成立的最小自然数18n =C ．891011a a a a +>+D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a 11．已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，公比为q ，在12,a a 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为1d ，在23,a a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为2,d ，在1,n n a a +之间插入n 个数，使这2n +个数成等差数列，公差为n d ，则下列说法错误．．的是（）A ．当01q <<时，数列{}n d 单调递减B ．当1q >时，数列{}n d 单调递增C ．当12d d >时，数列{}n d 单调递减D ．当12d d <时，数列{}n d 单调递增三、填空题12．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4210S S =，则62S S 的值为.13．已知数列{}n a 中，11a =，12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 前2024项的和为.14．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c （a b ≠）.已知2cos c a A =，则sin sin B A -的最大值是.四、解答题15．设等比数列{an }满足124a a +=，318a a -=．（1）求{an }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3an }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．16．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()22a cb bc -=+.(1)求角A ；(2)若3,2a BA AC BD DC ⋅==，求AD 的长.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*12111,3,22(2,N )n n n a a S S S n n +-==+=+≥∈.(1)求证：数列{}n a 为等差数列；(2)在数列{}n b 中，1213,n n n n b a b a b ++==，若{}n b 的前n 项和为n T ，求证：92n T <.18．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132a a a =+，数列是公差为d 的等差数列.(1)求证：21a d =，并求出数列{}n a 的通项公式（用,n d 表示）；(2)设c 为实数，对满足3m n k +=且m n ≠的任意正整数,,m n k ，不等式m n k S S cS +>都成立，求证：c 的最大值为92.19．已知函数()x f x e =.(1)当0x ≥时，求证：()()2f x f x x --≥；(2)若0k >，且()f x kx b ≥+在R 上恒成立，求2k b +的最大值；(3)设*2,n n ≥∈Nln n +.。
安徽省六安市第一中学2017-2018学年高二9月月考英语---精校解析 Word版
安徽省六安市第一中学2017-2018学年高二9月月考英语试题第二部分阅读理解（共15小题，每题2分，满分30分）第一节（共10小题；每小题2分，满分20分)阅读下面三篇短文，从每题所给的四个选项(A、B、C、D)中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
AAunt Karen always had a special place in my heart. When I was growing up, I knew I could count on her to have room for me on her lap and words of love and encouragement when I needed to hear them. When she died five years ago，I was devastated. The whole family was still in shock when her husband, Uncle Ronnie, died a week later. I longed to have a small item o f Aunt Karen’s to remember her by, but seeing her children and grandchildren overcome by the grief of this double loss made me shy away from asking.A few months after Aunt Karen’s death, I was on my way to work when I saw Rescued Treasures, a local second-hand store. I only had a couple of dollars on me and didn’t really intend to buy anything, but I stopped anyway just to look inside. I had been shopping around for a few minutes when a small, black handbag caught my eye. It wasn’t fancy or special. I didn’t really need a handbag and continued to look around the store, but something kept drawing me back to that handbag. Finally, I checked the price tag (标签). It was just one dollar.The handbag stayed in the back of my car for weeks until I came upon it during a car clean-up. I opened it up. I couldn’t believe it. They hadn’t even cleaned it out. It was still full of junk, old candy wrappers, old receipts (收据) and used paper. Usually the store emptied things inside, so there wouldn’t be any surprises for a new owner.I threw away some wastes, and sorted through the receipts, when I found one item in the small inside pocket. It was an insurance card with the name “Karen Stair”written on it. I began to cry. My beloved Aunt Karen. This was her handbag.1. What do we know from the passage?A. Karen’s husband survived her by five years.B. Karen’s children refused to give any item to the author.C. The author was very shy when she was young.D. Karen had been very kind to the author.2. The underlined word “devastated” in Paragraph 1 probably means “”.A. very worriedB. a little lonelyC. extremely sadD. slightly disappointed3. The author made up her mind to buy the handbag because .A. she just needed to buy a handbagB. the bag looked strange and was worth the priceC. it happened that she could afford itD. someone else persuaded her to buy it4. As soon as the author opened the handbag, she felt very .A. surprisedB. excitedC. sickD. nervous【答案】1. D 2. C 3. C 4. A【解析】本文是记叙文。
安徽省六安市第一中学2017_2018学年高二数学9月月考试题理含答案
安徽省六安市第一中学2017-2018学年高二9月月考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知数列{}{},n n a b 满足11,12n n a a b =+=，121n n n b b a +=-，则2017b =（ ）A ．20172018 B ．20182017 C ．20152016 D ．201620152．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．113.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -的值为（ ） A ．20 B ．22 C ．24 D ．284. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为S ，且()222S a b c =+-，则tan C 等于（ ） A ．34 B ．43 C ．43- D ．34- 5.已知在ABC ∆中45,A AC =︒=若ABC ∆的解有且仅有一个，则BC 满足的条件是（ ） A ．4BC = B．BC ≥．4BC ≤≤ D ．4BC =或BC ≥6.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足643a b c ==，则sin 2sin sin AB C=+（ ）A ．1114-B ．127C ．1124-D ．712- 7.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()cos cos 1,2A C B a c -+==，则C =（ ） A ．6π或56π B ．6π C ．3π或23π D ．3π 8. 已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ）A ．1941 B ．1737 C ．715 D ．20419. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，a 上的高为h ，且3a h =，则c bb c +的最大值为（ ）A ．3B ．2 D 10.已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．2017 11. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ）A.,,a b c 依次成等差数列依次成等差数列 C.222,,a b c 依次成等差数列D.333,,a b c 依次成等差数列12. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22sin cos sin cos 4sin ,cos c A A a C C B B +=D 是线段AC 上一点，且23BCD S ∆=，则AD AC=（ ） A ．49 B ．59C ．23D ．109 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在等差数列{}n a 中，2526,15,n n a a b a ===，则数列{}n b 的前5项和5S = ．14. 在ABC ∆中，60,A BC ∠=︒=,D 是AB 边上的一点，CD =CBD ∆的面积为 1，则AC 边的长为 ．15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()94=18,309,336k k S a k S -=>=，则k = ．16.已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则2AC AB BC AB AC AB AC ++⋅的最大值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 等差数列{}n a的前n项和为n S，若575,49a S=-=-（1）求数列{}n a的通项公式n a和前n项和n S；（2）求数列{}n a的前24项和24T.18.已知,,a b c分别是ABC∆角,,A B C的对边，满足sin4sin4sinac A C c A+=（1）求a的值；（2）ABC∆的外接圆为圆O(O在ABC∆内部)，3,43OBCS b c∆=+=，判断ABC∆的形状，并说明理由.19. 如图，在四边形ABCD中，:2:3,73ABC AB BC ACπ∠===，.（1）求sin ACB∠的值；（2）若314BCD CDπ∠==，，求ACD∆的面积.20. 在ABC∆中，内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，且cos cos2cosa Bb Ac A+=.（1）若ABC∆的面积3S，求证：2a（2）如图，在（1）的条件下，若,M N分别为,AC AB的中点，且13BMCN=，求,b c.21. 已知数列{}n a中，()*1111,22,4nna a n n Na-==-≥∈，数列{}n b满足()*11nnb n Na=∈-. （1）求证:数列{}n b是等差数列，写出{}n b的通项公式；（2）求数列{}n a的通项公式及数列{}n a中的最大项与最小项.22.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*11,22n n a S na n n n N ==-+∈. （1）求证：数列{}n a 为等差数列，并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式； （2）是否存在自然数n ，使得3212112423n nS S S S n+++++=？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由； （3）设()()*27n n c n N n a =∈+，()*123n n T c c c c n N =++++∈，若不等式()32n mT m Z >∈对*n N ∈恒成立，求m 的最大值.试卷答案一、选择题1-5: ABCCD 6-10:ABABC 11、12：CB 二、填空题三、解答题17.解：（1）由题得1145767492a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，1132a d =-⎧⎨=⎩ ∴215n a n =-，()14n S n n =-（2）当17n ≤≤时，0n a <，当8n >时，0n a > ()()724=771449,242414240S S ⨯-=-=⨯-=∴()2472472472338T S S S S S =+-=-= 18.解：（1）由正弦定理可知，sin ,sin 22a cA C R R==，则 2sin 4sin 4sin 44ac A C c A a c c ac +=⇔+=，∵0c ≠，∴()222444420a c c ac a a a +=⇔+=⇔-=，可得2a =. （2）记BC 中点为D，12OBC S BC OD OD ∆=⋅⋅==120BOC ∠=︒， 圆O的半径为r =，由正弦公式可知sin 2a A r =，故60A =︒， 由余弦定理可知，2222cos a b c bc A =+-，由上可得224b c bc =+-，又4b c +=，则2b c ==，故ABC ∆为等边三角形.19.解：（1）由:2:3AB BC =，可设2,3AB x BC x ==.又∵3AC ABC π=∠=，∴由余弦定理，得()()22232232cos3x x x x π=+-⨯⨯，解得1x =，∴23AB BC ==，，由正弦定理，得2sinsinAB ABCACBAC∠∠===（2）由（1）得cos ACB∠=因为34BCDπ∠=，所以34ACD ACBπ∠+∠=,333sin sin sin cos cos sin444ACD ACB ACB ACBπππ⎛⎫∠=-∠=∠-∠⎪⎝⎭(214+=+=又因为1CD=，所以1sin2S AC CD ACD=⨯⨯∠=20.解：（1）由cos cos2cosa Bb Ac A+=，得sin cos sin cos2sin cosA B B A C A+=，即()sin2sin cosA B C A+=，所以1cos2A=，∴3Aπ=，由1sin2S bc A=2bc=.在ABC∆中，由余弦定理可得()22222a b c bc b c bc bc=+-=-+≥=，所以a.（2）因为,M N分别为,AC AB的中点，在ABM∆中，由余弦定理可得222142bBM c bc=+-，在ACN∆中，由余弦定理可得222142cCN b bc=+-，由BMCN=可得2222113142442b cc bc b bc⎛⎫+-=+-⎪⎝⎭，整理得()()820c b c b+-=，所以2c b=，由2bc=，可得1,2b c==.21. 解：（1）因为11111111111121n nn n nnb ba a aa-----=-=------111111nn naa a---=-=-，所以{}n b是等差数列，又143b=-，故()471133nb n n=-+-⋅=-.（2）由（1）得13117373nann=+=+--，要使na最大，则需370n->且37n-最小，所以3n=，故()3max52na a==，要使na最小，则需370n-<且37n-最小，所以2n=，故()2min2na a==-.22．解:（1）由()2*22n nS na n n n N=-+∈，得()()()()211121212n nS n a n n n--=---+-≥相减得()()()()111441141n n n n na na n a n n a n a n--=---+⇒---=-()142n na a n-⇒-=≥故数列{}n a 是以1为首项，以4为公差的等差数列， 所以()()*11443n a n n n N =+-⨯=-∈，()()12*22n n n a a S n n n N +==-∈（2）由知()*21nS n n N n=-∈，所以 ()321213521223n n nS S S S n n+++++=++++-+()2121222n n n n n +-⎡⎤⎣⎦=+=+ 由221124n n +=，得10n =，即存在满足条件的自然数10n = （3）()()2111172121n n c n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，123111111122231n n T c c c c n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1112121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， ∵()()()()11102221221n n n n T T n n n n ++-=-=>++++，∴1n n T T +<，即n T 单调递增故()1min 14n T T ==，要使32n m T >恒成立，只需1324m <成立，即()8m m Z <∈，故max 7m =.。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)2
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题 【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题 【答案】C3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题 【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（ ） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题 【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题 【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题 【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（ ） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题 【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（ ）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题 【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题 【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（ ） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题 【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（ ）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题 【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B20．-300° 化为弧度是（ ） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题 【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题 【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题 【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷 【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为 （ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷 【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________． 【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题 【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题 【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______． 【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题 【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题 【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三 立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题 【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题 【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题 【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________． 【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题 【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求： （1）扇形的弧长； （2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题 【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页 扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十五 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。
人教版高二第一章三角函数单元测试精选(含答案)1
人教版高二第一章三角函数单元测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．tan 600o =（ ）A ．B ．-C D ．【来源】甘肃省平凉市静宁县第一中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学（文)试题 【答案】C2．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( )A ．B ．C ．D ．【来源】2008年高考江西卷理科数学试题 【答案】D3．要得到函数y ＝cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向左平移π个单位长度 B ．向左平移π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度 【来源】浙江省金华十校2017-2018学年高一上学期期末调研考试数学试题 【答案】B4．已知0>ω，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．15[,]24B ．13[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2]【来源】2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷带解析) 【答案】A5．已知cos cos θθ=，tan tan θθ=-|，则2θ的终边在( ) A ．第二、四象限B ．第一、三象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上【来源】辽宁省营口市2017-2018学年高一4月月考数学试题 【答案】D6．记0cos(80)k -=，那么0tan100=（ ）A ．B ．C D ．【来源】2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ)理科数学全解全析 【答案】B7．在ABC ∆中，tan tan tan A B A B ++=，则C 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【来源】广西宾阳县宾阳中学2017-2018学年高一5月月考数学试题 【答案】C8．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题 【答案】B9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点M N ，间隔3分钟先后从点P ，绕原点按逆时针方向作角速度为6π弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为（ ）A ．37.5分钟B ．40.5分钟C ．49.5分钟D ．52.5分钟【来源】福建省福州格致中学2017-2018学年高一下学期第四学段质量检测数学试题 【答案】A10．函数sin(2)3y x π=+图象的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=【来源】2008年普通高等学校招生全国统一考试数学文科（安徽卷) 【答案】D11．函数y =的定义域是（ ）A ．()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．()22,233k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()2,266k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．()222,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【来源】2019年一轮复习讲练测 4.3三角函数的图象与性质 【答案】D12．设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期 A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十八 三角函数的图象和性质 教学案 【答案】B象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【来源】2011届江西省湖口二中高三第一次统考数学试卷 【答案】C14．若tan 3α=,4tan 3β=,则tan()αβ-= A ．3B ．3-C ．13D ．13-【来源】北京市清华附中2017-2018学年高三数学十月月考试题（文) 【答案】C 15．若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）A ．34-B ．34C ．43-D ．43【来源】2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（江西卷带解析) 【答案】B16．函数()sin()f x x ωϕ=+（其中2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()sin g x xω=的图象，则只要将()f x 的图象A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度【来源】2015届福建省八县（市)一中高三上学期半期联考文科数学试卷（带解析) 【答案】A17．曲线sin (0,0)y A x a A ωω=+>>在区间2π0,ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上截直线2y =及1y =-所得的弦长相等且不为0，则下列对A ，a 的描述正确的是（ ）． A ．12a =，32A >B ．12a =，32A ≤ C ．1a =，1A ≥ D ．1a =，1A ≤【来源】广东省华南师范大学附属中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题 【答案】A价y （单位：元/平方米）与第x 季度之间近似满足关系式：()()500sin 95000y x ωϕω=++>.已知第一、二季度的平均单价如下表所示：则此楼盘在第三季度的平均单价大约是（ ） A ．10000B ．9500C ．9000D ．8500【来源】第一章全章训练 【答案】C19．函数5sin(2)2y x π=+的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．2x π=-B ．4πx =-C ．8x π=D ．54x π=【来源】2012-2013学年黑龙江省集贤县第一中学高一上学期期末考试数学试题（带解析) 【答案】A 20．已知－2π<θ<2π，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( ) A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－13【来源】浙江省温州中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题 【答案】C 21．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D 22．1cos()2πα+=-，322παπ<<，()sin 2πα-的值为（ ）A ．B ．12C ．±D ．2【来源】江西省上饶市“山江湖”协作体2018-2019学年高一下学期统招班第一次月考【答案】D23．若0<α<β<π4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,则( ).A ．a <bB ．a >bC ．ab <1D ．ab >2【来源】河北省石家庄市辛集中学2015-2016学年高一下学期综合练习（三)数学试题 【答案】A24．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a =，7c =，60C =︒，则b = （ ） A ．5B ．8C ．5或-8D ．-5或8【来源】正余弦定理 滚动习题（三) [ 范围 1 ] 【答案】B25．已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7sin()6πα+的值是（ ）A ．5-B ．5C ．45-D ．45【来源】广东省广州市执信中学2018-2019学年度上学期高三测试数学（必修模块)试题 【答案】C26．将函数sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递增 B ．在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递减 C ．在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 【来源】黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文)试题 【答案】A27．若α是第三象限的角, 则2απ-是( )A ．第一或第二象限的角B ．第一或第三象限的角C ．第二或第三象限的角D ．第二或第四象限的角【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题28．已知函数()()0,0,2f x Asin x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为 （ ）A ．()sin()84f x x ππ=+B ．()sin()84f x x ππ=-C ．3()sin()84f x x ππ=+D ．3()sin()84f x x ππ=-【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题 【答案】A29．曲线cos 2y x =与直线y =在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为1P ,2P ,3P ,4P ,5P ,…,则15PP 等于 ( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题 【答案】B二、填空题30．若sin(+θ)=25，则cos2θ= ． 【来源】2017届福建福州外国语学校高三文上学期期中数学试卷（带解析) 【答案】31．已知直线l ：mx +y +3m −√3=0与圆x 2+y 2=12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于C ，D 两点，若|AB|=2√3，则|CD|=__________． 【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷参考版) 【答案】432．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【答案】二33．设定义在R 上的函数()()0,122f x sin x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭,给出以下四个论断：①()f x 的周期为π； ②()f x 在区间,06π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数；③()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；④()f x 的图象关于直线12x π=对称.以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题（写成“p q ⇒”的形式）______________.（其中用到的论断都用序号表示） 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题 【答案】①④⇒②③ 或①③⇒②④ 34．关于下列命题：①若,αβ是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>； ②函数sin()2y x ππ=-是偶函数；③函数sin(2)3y x π=-的一个对称中心是(,0)6π；④函数5sin(2)3y x π=-+在,]1212π5π[-上是增函数，所有正确命题的序号是_____．【来源】2018-2019学年高中数学（人教A 版，必修4)第一章《三角函数》测试题 【答案】②③ 35．在ABC ∆中，若B a bsin 2=，则A =______．【来源】正余弦定理 滚动习题（三) [ 范围 1 ] 【答案】30o 或150o36．若sin()2cos(2),αππα-=-则sin()5cos(2)3cos()sin()παπαπαα-+----的值为____________.【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题 【答案】35-37．若函数f (x )=sin 2x+cos 2x ,且函数y=f 2x ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(0<φ<π)是一个偶函数,则φ的值等于_____.【答案】π4三、解答题38．已知函数()3sin(2)3f x x π=-，（1）请用“五点作图法”作出函数()y f x =的图象；（2）()y f x =的图象经过怎样的图象变换，可以得到sin y x =的图象.（请写出具体的变换过程）【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题 【答案】（1）见解析；（2）变换过程见解析.39．在△ABC 中，222a c b +=(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋cos C 的最大值．【来源】浙江省嘉兴市第一中学2017-2018学年高二10月月考数学试题 【答案】（1）π4（2）140．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(－1，n ＝(cos A ，sin A )，且m ·n ＝1. (1)求角A ； (2)若221sin 2cos sin BB B+-＝－3，求tan C ． 【来源】2017秋人教A 版高中数学必修四：学业质量标准检测3【答案】(1)3π;(2) . 41．已知函数()()()sin 0,0,02f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，且()506f f π⎛⎫=⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的解析式，并写出它的单调递增区间. 【来源】第一章全章训练【答案】（1）π；（2）()22sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；单调递增区间为7,,1212k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z .42．已知函数()f x =4tan xsin （2x π-）cos （3x π-）-.（Ⅰ）求f （x ）的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f （x ）在区间[,44ππ-]上的单调性.【来源】2017秋人教A 版高中数学必修四：学业质量标准检测3 【答案】（Ⅰ）{|,}2x x k k Z ππ≠+∈，π；（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 43．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域 【来源】2008年普通高等学校招生全国统一考试数学文科（安徽卷)【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[ 44．设函数()sin(2)()3f x A x x R π=+∈的图像过点7(,2)12P π-.（2）已知10()21213f απ+=，02πα-<<，求1cos()sin()2sin cos 221sin cos ππαααααα-++-+++的值； （3）若函数()y g x =的图像与()y f x =的图像关于y 轴对称，求函数()y g x =的单调区间.【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】（1）()223f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）713-；（3）单减区间为15(,)()1212k k k z ππππ-+∈， 单增区间为511(,)()1212k k k z ππππ++∈. 45．(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值；(2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值；(3)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．【来源】第3章章末检测-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（湘教版必修2)【答案】（1）－25(2)见解析（3）见解析 46．是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +acosx +5a 8−32在闭区间[0,π2]上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，请说明理由．【来源】重庆市万州二中0910年高一下学期期末考试【答案】f max (t)=f(a 2)=a 42+58a −12=1， 47．A,B 是单位圆O 上的点,点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点,点B 在第二象限,记∠AOB =θ,且sinθ=45.(1)求点B 的坐标;(2)求sin (π+θ)+2sin(π2−θ)2tan (π−θ)的值.【来源】2015-2016学年广西钦州港开发区中学高二上第一次月考理科数学试卷（带解析)【答案】（1）(−35,45)；（2）−53． 48．已知函数()sin 214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(1)用“五点法”作出()f x 在7,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的简图; (2)写出()f x 的对称中心以及单调递增区间;(3)求()f x 的最大值以及取得最大值时x 的集合.【来源】2018-2019学年高中数学（人教A 版，必修4)第一章《三角函数》测试题【答案】（1）见解析；（2）k ππ,028⎛⎫+ ⎪⎝⎭,k Z ∈，最大值为2,此时,,8x k k ππ=+∈Z . 49．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，5c =，3cos 5B =. （1）求b 的值；（2）求sin C 的值.【来源】正余弦定理 滚动习题（三) [ 范围 1 ]【答案】（1； （2.50．已知函数f (x )=4sin π-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭cos . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间;(2)若函数g (x )=f (x )-m 区间在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并计算tan(x 1+x 2)的值.【来源】人教A 版2018-2019学年高中数学必修4第三章三角恒等变换测评【答案】(1)T=π,递增区间为π5ππ-,π1212k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z).(2) m ∈-3.。
02或且非命题的真假判断-2018版高人一筹之高二数学特色训练(2-1)含解析
一、选择题1．【河北省邢台市2018届高三上学期第二次月考】已知()2x f x e ax =-.命题:p 对1a ∀≥， ()y f x =有三个零点，命题:q a R ∃∈,使得()0f x ≤恒成立.则下列命题为真命题的是（ ）A 。
p q ∧B . ()()p q ⌝∧⌝C 。
()p q ⌝∧D .()p q ∧⌝【答案】B2．【北京市海淀首经贸2016-2017学年高二上学期期中】若命题“且”为假，且“”为假,则( )．A 。
或为假B . 为假C 。
为真D 。
为假【答案】D【解析】“”为假，则为真， 又“且”为假，为真， 故为假， 故选．3．【北京市西城鲁迅中学2016-2017学年高二上学期期中】命题的值不超过，命题是无理数，则( ）．A. 命题“”是假命题B. 命题“"是假命题C。
命题“”是假命题D. 命题“”是真命题【答案】B【解析】命题为假，，命题为真,是无理数，“”为真命题,“”为真命题，“”为假命题,“”为假命题．故选．点睛:若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假,再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非"：真假相反,做出判断即可。
以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组）求解即可。
4．【北京西城13中2016—2017学年高二上期期中】已知互不重合的三个平面α，β，γ，命题p：若αβ⊥, γβ⊥，则αγ;命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等,则αβ,下列结论中正确的是（）．A。
命题“p且q”为真B. 命题“p或q⌝"为假C。
命题“p或q”为假D。
命题“p且q⌝”为假【答案】C5．【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第二次月考】已知命题，命题，若命题“"是真命题,则实数的取值范围是（）A. B。
2018年高考数学一轮总复习 专题2.1 函数及其表示练习(含解析)理
专题.1 函数及其表示真题回放1. 【2017高考天津理第1题】设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域B ，则A B =（ ）（A ）()1,2 （B ）(]1,2 （C ）()2,1- （D ）[)2,1- 【答案】D【解析】：由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故AB ={}|21x x -≤≤，选D【考点解读】1.集合的运算 2.函数定义域 3.简单不等式的解法，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再运算，常常借助数轴或韦恩图来处理2. 【2015高考湖北文第6题】函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）（A ）()2,3 （B ）(]2,4 （C ）()(]2,33,4 （D ）()(]1,33,6-【答案】C【考点解读】本题考察函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容 3. 【2015高考福建理第14题】若函数64,2()(01)3log ,2a x x f x a a x x -+≥≥⎧=>≠⎨+<⎩且的值域是[)4+∞，，则实数的取值范围是______ 【答案】(]12，【解析】：当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4+∞，，只需()1()3l o g2a f x x x =+>的值域包含于[)4+∞，，故1a >，所以1()3log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数的取值范围是(]12，【考点解读】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的两点，要注意分类讨论思想的运用 考点分析1.函数及其表示了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域 了解映射的概念在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数 2.了解简单的分段函数并能简单的应用3.函数的概念、解析式、图像、分段函数的应用为高考主要考点，重点考查数形结合、分类讨论思想及逻辑推理能力，2018年复习时应予以高度关注. 融会贯通题型一 映射与函数的概念【例1】给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②()f x =③函数2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线；④2()x f x x=与()g x x ＝是同一个函数．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A知识链接1.符号:f A B →表示集合A 到集合B 的一个映射，它有以下特点： (1)对应法则有方向性, :f A B →与:f B A →不同;(2)集合A 中任何一个元素,在f 下在集合B 中都有唯一的元素与对应; (3)象不一定有原象,象集C 与B 间关系是C B ⊆.2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A 和B 都是非空数集.函数三要素是指定义域、值域、对应法则.同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同.3.要注意()f a 与()f x 的区别与联系，()f a 表示x a =时，函数()f x 的值，它是一个常数，而()f x 是自变量的函数，对于非常数函数，它是一个变量，()f a 是()f x 的一个特殊值.4.区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点.应注意理解其含义并准确使用.5.函数的表示方法有三种：解析法、图象法、列表法. 【变式训练】1.下列四组函数中，表示为同一函数的是（ ）A ．(),()f x x g x ==B ．x x f -=2)(与2)(-=x x gC ．21(),()11x f x g x x x -==+- D ．()()f x g x ==【答案】A2.已知函数()23,f x x x A =-∈的值域为{1,1,3}-，则定义域A 为 . 【答案】{1,2,3}【解析】由函数定义，令()f x 分别等于1,1,3-，求对应自变量的值，即得定义域为{1,2,3}. 解题技巧与方法总结1.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A 中元素的任意性，集合B 中元素的唯一性”．2. 判断一个对应f ：A →B 是否为函数，一看是否为映射；二看A ，B 是否为非空数集．若是函数，则A 是定义域，而值域是B 的子集．3. 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 题型二 函数的定义域问题典例1. (2017·南师大考前模拟)函数()f x =的定义域为 ▲ ．【答案】3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意得123log (23)0023122x x x -≥⇒<-≤⇒<≤，即定义域是3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【变式训练】(2017届河南南阳一中高三文月考)函数()lg(1)f x x =+的定义域为（ ）（A ）(1,0)(0,1]- （B ）(1,1]- （C ）(4,1]-- （D ）(4,0)(0,1]-【答案】A【解析】要使函数有意义，应有⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+≥+--11,01,0432x x x x 解得01<<-x 或10≤<x ，故选A.解题技巧与方法总结已知解析式求函数定义域问题列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等角度出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式等联系在一起 典例2. (2016·福建福州五校联考理)已知函数(2)y f x =-定义域是[]0,4，则(1)1f x y x +=-的定义域是_________ 【答案】[)3,1-【变式训练1】已知函数()f x 的定义域为[]1,2-，求函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域【答案】由题意2112112x x -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，1x ≤ 【解析】求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 、B ，再求A B I ，即为所求函数的定义域【变式训练2】(2016~2017学年广西陆川县中学月考)已知函数12(log )y f x =的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数(2)x y f =的定义域为（ ）A ．[]1,0-B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．[]0,1 【答案】D解题技巧与方法总结（1）已知原函数()[](),f x a b f a x b << ()f x 的定义域为(),a b ，求复合函数[]()f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域；（2）已知复合函数[]()f g x 的定义域为(),a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域；（3）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 、B ，再求A B I ，即为所求函数的定义域典例3.已知函数()f x =R ，则实数的取值范围是（ ）（A ）120a -<≤ （B ）120a -<< （C ）13a > （D ）13a ≤ 【答案】A【解析】函数()f x =R ，只需分母不为即为，所以0a =或24(3)0a a a ≠⎧⎨∆=-⨯-<⎩，可得120a -<≤ 【变式训练】已知函数4()12f x x =-+的定义域是[],a b （,a b 为整数），值域是[]0,1，则所有满足条件的整数数对(),a b 所组成的集合为_____________ 【答案】()()()()(){}2,0,2,1,2,2,1,2,0,2----题型三 函数的值域问题 命题点1 求函数的值域 典例1.函数()=x f 25243x x -+的值域是 . 【答案】 (0，5]【解析】因为2x 2-4x+3=2(x-1)2+1≥1，所以0<212-43x x +≤1，所以0<y ≤5，所以值域为(0，5].典例2 求函数253)(-+=x x x f 的值域. 【答案】{}|3y y ≠【变式训练1】(2016·江苏省扬州市期末统考)函数221xx y =+()0x ≥的值域为 ． 【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】函数221111212121x x x x x y +-===-+++110,21,212,0212x x x x ≥∴≥∴+≥∴<≤+Q 1111221x ∴≤-<+【变式训练2】(2016-2017学年黑龙江哈师大附中)函数()f x 的值域为 ． 【答案】[)1,1-解题技巧与方法总结分离常数法求值域步骤：第一步 观察函数()f x 类型，型如()ax bf x cx d +=+； 第二步 对函数()f x 变形成()a ef x c cx d=++形式；第三步 求出函数ey cx d=+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域.典例3 求函数y x =+. 【答案】(,1]-∞【解析】令210,2t t x -=≥=，原函数化为()211022y t t t =-++≥，其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为，没有最小值，故值域为(,1]-∞. 解题技巧与方法总结换元法求值域：第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 典例4 (2016人教A 版双基双测)函数21xy x =+的值域为__________ 【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】法一：当0x =时，0y =当0x >时，21112,x x y x x +==+≥=当且仅当1x x =即1x =时取“=”，所以102y <≤当0x <时，211112,x x x y x x x +⎛⎫⎫==+=----=- ⎪⎪⎝⎭⎭当且仅当1x x -=-即1x =-时取“=”，所以102y -≤<综上1122y -≤≤法二：21x y x =+，所以20yx x y -+=有解当0y =时方程有解；当0y ≠时，由0≥V 可得2140y -≥，∴1122y -≤≤且0y ≠综上可知1122y -≤≤ 【变式训练1】已知52x ≥，求函数245()24x x f x x -+=- 的最小值.【答案】最小值为1【变式训练2】 若函数()y f x =的值域为1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()()1F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【变式训练3】(2016届浙江省杭州市学军中学高三5月模拟，理16)已知实数,a b R ∈,若223a ab b -+=, 则()22211ab a b +++的值域为 ．【答案】160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：222233233a ab b a b ab ab ab -+=⇒+=+≥⇒-≤≤()()2222211(3)9614ab ab t t a b ab t t++-===+-+++，其中4[1,7]t ab =+∈，所以9660t t +-≥=，当且仅当3t =时取等号，又当7t =时96t t +-取最大值167， 故值域为160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点：函数值域典例5求函数3274222++-+=x x x x y 的值域.【答案】9,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 2223(1)20x x x ++=++>Q ，所以函数的定义域为R原函数可以化为2223247x y xy y x x ++=+-，整理得：()222(2)370y x y x y -+-++=当2y ≠时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足解题技巧与方法总结判别式法求函数值域：观察函数解析式的形式，型如22dx ex fy ax bx c++=++的函数，将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y 的取值范围，即得函数的值域. 【精要点评】配方法、分离常数法和换元法是求常见函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制.换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解；二次分式型函数求值域，多采用分离出整式利用基本不等式法求解. 命题点2 已知函数定义域(值域)求参数的取值范围典例1 (2016-2017学年河北卓越联盟高一上学期月考三数学试卷)若函数244y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为[]8,4--，则m 的取值范围是（ ）A ．()2,4B ．[)2,4 C ．(]2,4 D ．[]2,4【答案】D【解析】二次函数对称轴为2x =，当2x =时取得最小值8-，当0x =时函数值为4-，由对称性可知4x =时函数值为4-，所以m 的取值范围是[]2,4【变式训练】(2014届陕西省考前保温训练)函数2()46f x x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[10,6]﹣﹣，则m 的取值范围是（ ）A ．0，4]B ．2，4]C ．2，6]D ．4，6]【答案】B典例2(江苏省南京师范大学附属中学2015-2016学年期中)已知函数()f x =的定义域是一切实数，则m 的取值范围是__________． 【答案】[]04，【解析】当0m =时，显然函数有意义，当0m ≠，则210mx mx ++≥对一切实数恒成立，所以0{m >∆≤，得04m <≤，综合得04m ≤≤点睛：本题在解题时尤其要注意对0m =时的这种情况的检验，然后根据二次函数大于等于零恒成立，只需开口向上0∆≤即可.【变式训练】(2015-2016浙江湖州中学高二期中，理14)已知函数2()lg(1)f x mx mx =++，若此函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ；若此函数的值域为R ，则实数m 的取值范围是 ．【答案】04m ≤< 4m ≥考点：对数函数定义域、值域.典例3 (2015-2016学年广西南宁八中高一上期末)若函数21242y x x =-+的定义域、值域都是闭区间[2]2b ，，则的取值为 ． 【答案】2；【解析】联系二次函数图象特点，注意函数在闭区间[2]2b ，是单调增函数． 解：函数21242y x x =-+的图象是开口向上的抛物线，对称轴是2x =，∴函数在闭区间[2]2b ，上是单调增函数， 函数的定义域、值域都是闭区间[2]2b ， ∴2x b =时，函数有最大值2b ， ∴21422422b b b ⨯⨯+=﹣，∴1b =（舍去） 或2b =， ∴的取值为 2．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．【变式训练】(2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考)已知函数()224f x x x =-+定义域为[],a b ，其中a b <，值域[]3,3a b ，则满足条件的数组(),a b 为__________． 【答案】()1,4题型四 求函数的解析式典例1 (江西新余四中2016~2017月考)已知2(1)2f x x x +=-，求函数()f x 的解析式 【答案】2()43f x x x =-+【解析】令1x t +=，则1x t =-，求得()f t 的表达式，从而求得()f x 的解析式 考点：换元法求函数解析式【变式训练】(天津南大附中高一同步练习)已知，则的表达式是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】令1x t -=，得1x t =+ 因为2(1)45f x x x -=+-所以22()(1)4(1)56f t t t t t =+++-=+ 由此可得2()6f x x x =+典例2 (辽宁省阜新市2016~2017第一次月考)已知2(1)27f x x x -=-+，求()f x 的解析式【答案】2()6f x x =+【解析】由题意得2227(1)6x x x -+=-+，所以2(1)(1)6f x x -=-+，即2()6f t t =+ 【变式训练】(甘肃省武威第六中学2016~2017第一次月考)若函数()f x 满足(32)9+8f x x +=，则()f x 的解析式是（ ）（A ）()9+8f x x = （B ）()3+2f x x = （C ）()34f x x =-- （D ）()3234f x x x =+--或【答案】B【解析】由题意得(32)983(32)2f x x x +=+=++，所以()32f t t =+，即()32f x x =+ 考点：配凑法求函数解析式典例 3 (河南南阳一中2016级第一次月考)已知函数()y f x =满足1()2()3f x f x x=+，则()f x 的解析式为___________【答案】2()(0)f x x x x=--≠考点：解方程组法求函数解析式【变式训练】定义在(-1,1)内的函数()f x 满足()(-)()21f x f x lg x -＝＋，求函数()f x 的解析式． 【答案】21()lg(1)+lg(1-),(-11)33f x x x x =+∈, 【解析】当(-11)x ∈,时，有()(-)()21f x f x lg x -＝＋①以x -代，得2(-)()lg(1)f x f x x -=-+②由①②消去f (－x )，得21()lg(1)+lg(1-),(-11)33f x x x x =+∈,典例4 (山东蒙阴一中2016级高一开学考)已知函数()f x 是一次函数，若(())48f f x x =+，求()f x 的解析式【答案】8()2()283f x x f x x =+=--或【分析】设一次函数()(0)f x ax b a =+≠，利用(())48f f x x =+，得出关于,a b 的关系式，即可求解,a b 的值，得出函数的解析式考点：待定系数法求函数解析式 【变式训练】已知[]{}()2713ff f x x =+，且()f x 是一次式，求()f x 的解析式【答案】()31f x x =+【分析】由题意可得，设()(0)f x kx b k =+≠ []2()()f f x k kx b b k x kb b ∴=++=++[]{}232()()2713ff f x k kx kb b b k x k b kb b x ∴=+++=+++=+32273113k k b k b kb b ⎧==⎧⎪∴⎨⎨=++=⎪⎩⎩ ∴()31f x x =+ 解题技巧与方法总结1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法．4.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解．6.求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错． 题型三 分段函数典例1.【河北枣强中学2016~2017第一次月考】已知21,1()23,1x x f x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩，则((2))f f =（ ） (A) -7 (B) 2 (C) -1 (D) 5 【答案】B【解析】由题意得2((2))(1)(1)12f f f =-=-+= 考点：函数值的求解【变式训练】(山东鄄城一中2016~2017调研)设[]3,10()(5),10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则(6)f 的值为_______ 【答案】7【分析】[](6)(65)((11))(8)f f f f f f =+==由(8)((85))(133)=(10)7f f f f f =+=-=典例2．(2015高考数学（理）一轮配套特训：2-1函数的概念、定义域和值域)设函数()f x ＝246,06,0x x x x x ⎧-+≥⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是( ) A ．(),1,)3(3-∞U ＋ B ．()3,1,()2∞U －＋ C ．()1,1,()3∞U －＋ D ．(),3()1,3∞U －－ 【答案】A典例3.【2014上海,理18】⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则的取值范围为（ ）.(A)-1,2] (B)-1，0] (C)1，2] (D) [0,2] 【答案】D【考点】分段函数的单调性与最值问题．典例4.【2014高考重庆理第16题】若不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________. 【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令()()312121|2|3221312x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪⎛⎫=-++=--<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎩，其图象如下所示（图中的实线部分）考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想. 典例 5.(安徽省六安市2016~2017第一中学)设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()(())2f a f f a =的的取值范围是_________【答案】23a ≥解题技巧与方法总结1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则． 知识交汇1.（北京第四中学2016~2017期中）已知函数()log ()xa f x a ka =-，其中01,a k R <<∈（1） 若1k =，求函数()f x 的定义域 （2） 若12a =，且()f x 在[)1,+∞内总有意义，求的取值范围 【答案】（1）{}|1x x >（2）1k <【交汇技巧】将定义域问题与对数函数的性质进行结合，需要注意对数函数的单调性及真数大于0；本题求参数取值范围采用参数分离，参数分离法求取值范围的原则为分离后不等式另一边函数的单调性、最值、值域等易求2. (江苏连云港房山中学月考)已知函数2()25(1)f x x ax a =-+> （1） 若函数()f x 的定义域和值域均是[]1,a ，求实数的值（2） 若对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤，求实数的取值范围 【答案】（1）=2 （2）13a <≤【解析】（1）Q 22()()5(1)f x x a a a =-+->∴()f x 在[]1,a 上是减函数，又定义域和值域均为[]1,a ∴(1),()1f a f a == 解得=2（2）若2a ≥，又[]1,1x a a =∈+，且(1)1a a a +-≤-∴2max min (1)62,()5f f a f f a a ==-==-∴对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤∴max min 4f f -≤即2(62)(5)4a a ---≤，解得13a -≤≤∴23a ≤≤若12a <<，22max min (1)6,()5f f a a f f a a =+=-==-max min 4f f -≤显然成立综上13a <≤练习检测1.下列对应法则f 为A 上的函数的个数是( )①2Z N A B f x y x →＋＝，＝，：＝；②Z A B Z f x y →＝，＝，：； ③{}[11]00A B f x y →＝－，，＝，：＝ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B2.集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）．【答案】B【解析】选项A 中定义域为[]2,0-，选项C 的图像不是函数图像，选项D 中的值域不对，选B.3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥02－x，x ＜0(a ∈R )，若ff (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 【答案】A【解析】因为－1＜0，所以f (－1)＝2－(－1)＝2，又2＞0，所以ff (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，解得a ＝14。
安徽省六安第一中学2024-2025学年高三上学期11月第三次月考英语试题(含答案)
六安第一中学2024-2025学年高三上学期11月第三次月考英语试卷时间：120分钟总分：150分第一部分：听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1. 5分，满分7. 5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What is the woman impressed byA. The kids' shops.B. The bookshop.C. The charity shop.2. How will the man save moneyA. By cycling to work.B. By working from home.C. By sharing the cost of driving.3. What is the probable relationship between the speakersA. Neighbors.B. Co- workers.C. Husband and wife.4. What animal does the woman think the man should haveA. A dog.B. A cat.C. A bird.5. What is the man's suggestionA. They learn singing together.B. They perform together.C. They practice guitar together.第二节（共15小题；每小题1. 5分，满分22. 5 分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
2025届六安市一中高三数学上学期第三次月考试卷及答案解析
六安一中2025届高三年级第三次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数()i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z =（ ）A. 1B. 2C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得2i z =-，进而可求模长.【详解】因为()i 12i 2i z =-+=-，所以z ==.故选：D.2. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为 n S ，若38304S a ==,，则9S =（ ）A. 54 B. 63C. 72 D. 135【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出2a ，再求出9S .【详解】等差数列{}n a 中，由330S =，得2123330a a a a =++=，解得210a =，而84a =，所以192899()9()6322a a a a S ++===.故选：B3. 已知平面向量,a b 满足4a = ，(1,b = ，且()()23a b a b +⊥- ．则向量a 与向量b的夹角是（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】根据垂直得出向量的数量积，再由夹角公式计算即可.【详解】因为(1,b =，所以3b == ，由()()23a b a b +⊥- 可得()()2223325481850a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+⋅=，所以6a b ⋅=-，所以61cos ,432a b a b a b ⋅-===-⨯⋅，由[],0,πa b ∈ 知2π,3a b =，故选：C4. 在等比数列{}n a 中，已知13a =，48n a =，93n S =，则n 的值为（ ）A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】【分析】由1(1)1-=-n n a q S q及通项公式11n n a a q -=，列出方程组求解即可.【详解】在等比数列{a n }中，13a =，48n a =，93n S =，所以1q ≠，由1(1)1-=-n n a q S q ，及通项公式11n n a a q -=，可得13(1)931483n n q q q -⎧-=⎪-⎨⎪=⎩，解得2,5q n ==.故选：B.5. 已知数列{}n a 满足1211n n a a n +-=-，且110a =，则n a 的最小值是（ ）A. -15 B. -14C. -11D. -6【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件得出最小项为6a ，利用迭代的思想即可求得6a .【详解】∵1211n n a a n +-=-，∴当5n ≤时，10n n a a +-<，当5n >时，10n n a a +->，∴12345678a a a a a a a a >>>>><<<⋅⋅⋅，显然n a 的最小值是6a .又1211n n a a n +-=-，∴()()()()()612132435465a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+-+-()()()()()109753115=+-+-+-+-+-=-，即n a 的最小值是15-.故选：A6. 已知ABC V 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P = 是BN 上一点且29AP mAB AC =+，则AP AB ⋅=（ ）A.29B.19C.23D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据题意得89AP mAB AN =+，由,,P B N 三点共线求得19m =，利用向量数量积运算求解.【详解】13AN NC =，14AN AC ∴=u u u r u u u r ，且2899AP mAB AC mAB AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，而,,P B N 三点共线，819m ∴+=，即19m =，1299AP AB AC ∴=+u u u r u u u r u u u r ，所以o12122cos 6099999AP AB AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅=+⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.7. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1024n n S a +=，则数列{}n a 的前n 项积的最大值为（ ）A. 552 B. 452 C. 92 D. 102【答案】B 【解析】【分析】根据给定的递推公式求出1a ，进而求出数列{}n a 通项，借助单调性求解即得.【详解】依题意，N n *∈，1024n n S a +=，则1512a =，当2n ≥时，111024n n S a --+=，两式相减得12n n a a -=，即112n n a a -=，因此数列{}n a 是以512为首项，12为公比的等比数列，于是1101512()22n n n a --=⨯=，显然数列{}n a 单调递减，当10n ≤时，1n a ≥，当11n ≥，1n a <，所以当9n =或10n =时，数列{}n a 的前n 项积最大，最大值为98720452222222⨯⨯⨯⨯⨯⨯= .故选：B8. 已知O 是ABC V 所在平面内一点，且2AB = ，1OA AC ⋅=- ，1OC AC ⋅=，则ABC ∠的最大值为（ ）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得C 点轨迹是以A 为圆心，的圆，再由直线与圆相切可得ABC ∠的最大值为π4.【详解】根据1OA AC ⋅=- ，1OC AC ⋅=可得()22OC AC OA AC OC OA AC AC ⋅-⋅=-⋅== ，即可知C 点轨迹是以A的圆，如下图所示：由图可知，当BC 与圆相切时，ABC ∠取到最大，又2AB =可知此时π4ABC ∠=故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知z 为复数，设z ，z ，i z 在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，其中O 为坐标原点，则（ ）A. OA OB= B. OA OC⊥.C. AC BC= D. OB AC∥ 【答案】AB 【解析】【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出A ，B ，C 三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，(),∴A a b ，()i ,z a b a b =-∈R ，(),B a b ∴-，()i i i i =+=-+z a b b a ，(),∴-C b a ，()()()()(),,,,,,,,,==-=------+==OA a b OB a b OC b a b a a b b a a b AC BC 对于A，=∴=OA O B ，故选项A 正确；对于B ， ()0-+= a b ba ，∴⊥OA OC ，故选项B 正确；对于C ，AC =，当0ab ≠时，AC BC ≠，故选项C 错误；对于D ，()()()222a a b b b a a ab b -----=-- ，222a ab b --可以为零，也可以不为零，所以OB 不一定平行于AC，故选项D 错误.故选:AB.10. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列说法正确的是（ ）A. 当9n =时，n S 最大B. 使得0nS <成立的最小自然数18n =C. 891011a a a a +>+D. 数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a 【答案】ABD 【解析】【分析】利用,n n a S 关系及等差数列通项公式得a 1>0d <0,a 9>0,a 10<0判断A ；根据已知及A 项分析得81191090a a a a a +=+<<，进而确定()101189101189,a a a a a a a a +-++++的符号判断C ；根据A 、C 项分析确定数列正负分界项，再由等差数列前n 项和确定0nS <对应n 的最小值判断B ；根据以上分析确定n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭各项符号判断D.【详解】根据题意：S 8<S 9S 10<S 9⇒S 9−S 8=a 9>0S 10−S 9=a 10<0，即911018090a a d a a d -=--<⎧⎨=+<⎩，两式相加，解得a 1>0d <0,a 9>0,a 10<0，当9n =时，n S 最大，故A 正确；由108S S <，可得91090a a a +<<，所以8110a a +<，故()10118910118940,0a a a a d a a a a +-+=<+++<，所以891011a a a a +<+，故C 错误；由以上可得：1213910110a a a a a a >>>>>>>> ，()117179171702a a S a +==>，而()()1181891018902a a S a a +==+<，当17n ≤时，0n S >；当18n ≥时，0n S <；所以使得0nS <成立的最小自然数18n =，故B 正确.当9n ≤或18n ≥时0nn S a >；当918n <<时0n nS a <；由101117101112170,0a a a S S S S >>>>>>>>> ，所以n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a ，故D 正确.故选：ABD11. 已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，公比为q ，在12,a a 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为1d ，在23,a a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为2,d ，在1,n n a a +之间插入n 个数，使这2n +个数成等差数列，公差为n d ，则下列说法错误的是（ ）A. 当01q <<时，数列{}n d 单调递减B. 当1q >时，数列{}n d 单调递增C. 当12d d >时，数列{}n d 单调递减D. 当12d d <时，数列{}n d 单调递增【答案】ABC 【解析】【分析】由等差数列得(1)1n n a q d n -=+，然后在01q <<或1q >分别确定{}n d 的单调性判断AB ，进行讨论判断各选项．再由12d d <或12d d >确定q 的范围，从而确定{}n d 的单调性判断CD ．【详解】数列{a n }是各项为正数的等比数列，则公比为0q >，由题意1(1)n n n a a n d +=++，得()1111n n n n a q a a d n n +--==++，01q <<时，0n d <，有()1112n n q n d d n ++=<+，1n n d d +>，数列{}n d 单调递增，A 选项错误；1q >时，0n d >，()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递增，则()112q n n +>+， 即21n q n +>+，由*N n ∈，需要32q >，故B 选项错误；12d d >时，()()111123a q a q q -->，解得312q <<，1q >时，0n d >，由()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递减，则()112q n n +<+， 即21111n q n n +<=+++，而 312q <<不能满足()*11N 1q n n <+∈+恒成立，C 选项错误；12d d <时，()()111123a q a q q --<，解得01q <<或32q >，由AB 选项的解析可知，数列{}n d 单调递增，D 选项正确.故选：ABC【点睛】方法点睛：本题数列的单调性，解题方法是利用等差数列的定义确定n d 与q 的关系，利用此关系通过q 的范围确定{}n d 的单调性，同样根据12,d d 的大小确定q 的范围，再得单调性．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4210S S =，则62S S 的值为______.【答案】91【解析】【分析】方法一：利用等比数列前n 项和性质即可求解；方法二：利用等比数列前n 项和的公式，代入计算即可求解.【详解】方法一：等比数列{}n a 中，2S ，42S S -，64S S -成等比数列，则2S ，29S ，281S 成等比数列，∴64281S S S -=，∴6291S S =，∴6291S S =.方法二：设{}n a 公比为q ，由题意显然0q >且1q ≠,所以()()42111110311a q a q q qq--=⋅⇒=--，∴()()616622211131911311a q S q S a q q---===---，故答案为：91.13. 已知数列{}n a 中，11a =，12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 前2024项的和为__________.【答案】2024【解析】【分析】利用数列{}n a 的周期性可得答案.【详解】因为11a =，12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数，所以2123a a =+=，322321=-+=-+=-a a ，4321=+=a a ，542121=-+=-+=a a ，652123=+=+=a a ，L ，所以数列{}n a 是周期为4的周期数列，且123413114+++=+-+=a a a a ，所以()220241202443215062024+=⨯==+++++ S a a a a a a a .的故答案为：2024.14. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c （a b ≠）.已知2cos c a A =，则sin sin B A -的最大值是__________.【解析】【分析】利用正弦边角关系、三角恒等变换得到2C A =、π03A <<，再应用和角正弦公式、倍角公式，将目标式化为34sin 2sin A A -+，应用换元法及导数研究其最大值即可.【详解】由2cos c a A =，则sin 2sin cos sin 2C A A A ==，,(0,π)A C ∈，所以2C A =或2πC A +=，而πA B C ++=，且a b ≠，即A B ≠，所以2C A =，且03πA C A <+=<，即π03A <<，sin sin sin 3sin sin cos 2cos sin 2sin B A A A A A A A A∴-=-=+-2232sin (12sin )2cos sin sin sin 2sin 2(1sin )sin sin A A A A A A A A A A=-+-=-+--34sin 2sin A A =-+，令sin t A =∈，则3()42f t t t =-+，2()122f t t '=-+，当t ∈时()0f t '>，则()f t在上递增；当t ∈时()0f t '<，则()f t在上递减；故t =()f t 的极大值点，()f t ∴最大值为342-⨯+⨯=..四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 设等比数列{a n }满足124a a +=，318a a -=．的（1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．【答案】（1）13n n a -=；（2）6m =.【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出3{log }n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于m 的等量关系式，求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13n na -=；（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=，整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =，【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.16. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()22a cb bc -=+.（1）求角A ；（2）若3,2a BA AC BD DC =⋅==，求AD 的长.【答案】（1）2π3（2【解析】【分析】(1)变形后利用余弦定理可求；(2)先将2π3A =代入3BA AC ⋅= 可得6bc =，再将a =代入()22a c b b c -=+得2213b c +=，联立方程组解得,b c ，由此将向量AD 用,AB AC 表示，求解向量的模可得.【小问1详解】由()22a c b b c -=+得222b c a bc +-=-，则由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，0πA << ，2π3A ∴=.【小问2详解】由31cos 2BA AC A A bc A b B C c ⋅=-⋅=-== ，解得6bc =①，a = ，22219abc bc ∴=++=，则2213b c +=②，联立①②可得，2,3b c ==，或3,2b c ==.2BD DC = ，∴()2AD AB AC AD -=- ，则1233AD AB AC =+ ，且3AB AC ⋅=- ， 所以()()22222114441299AD AB AC AB AC c b =++⋅=+- ，当2,3b c ==时，2113(91612)99AD =+-= ，则AD当3,2b c ==时，2128(43612)99AD =+-= ，则AD .综上所述，AD .17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*12111,3,22(2,N )n n n a a S S S n n +-==+=+≥∈.（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）在数列{}n b 中，1213,n n n n b a b a b ++==，若{}n b 的前n 项和为n T ，求证：92n T <.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用n a 与n S 的关系式，结合等差数列的定义即可得证；（2）利用（1）中结论求得n a ，进而利用累乘法求得n b ，再利用裂项相消法求得n T ，从而得证.【小问1详解】因为*1122(2,N )n n n S S S n n +-+=+≥∈，所以*112(2,N )n n n n S S S S n n +--=-+≥∈，即1*(2,N )2n n a n a n +=+≥∈，又21312a a -=-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列.【小问2详解】由（1）知：()11221n a n n =+-⨯=-，则()222123n a n n +=+-=+，又21n n n n a b a b ++=，所以122123n n n n b a n b a n ++-==+，所以312112213332325272151n n n n n b b b b b n b b b b n n b n ---=⋅⋅⋅=⋅-⋅--⋅+9911(21)(21)22121n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以911111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 91912212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭.18. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132a a a =+，数列是公差为d 的等差数列.（1）求证：21a d =，并求出数列{}n a 的通项公式（用,n d 表示）；（2）设c 为实数，对满足3m n k +=且m n ≠的任意正整数,,m n k ，不等式m n k S S cS +>都成立，求证：c 的最大值为92.【答案】（1）证明见解析，()221n a n d =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1关于1,a d 的关系式，再利用题设条件得到关于1,a d 的方n a ，从而得解；（2）利用（1）中结论与完全平方公式求得92c ≤，再利用基本不等式检验92c =时的情况，从而得证.【小问1详解】由题意知：0d >(1)(1)n d n d =+-=+-，因为2132a a a =+，则233a S =，所以2133()S S S -=，则2212)]2)d a d +-=+，整理得210a d d -+=21,d a d ==，22(1),n d n d nd S n d =+-==，当2n ≥时，222221(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-，适合1n =情形.所以()221n a n d =-.【小问2详解】由m n k S S cS +>，得222222m d n d c k d +>⋅，则222m n c k +>⋅，所以222m n c k+<恒成立，又3m n k +=且m n ≠，,,m n k 正整数，所以22222()()9m n m n k +>+=，则22292m n k +>，故92c ≤，当92c =时，()2222222222999222m n k S S S m d n d k d k d m n mn ⎡⎤=+--⎢⎥+-⎣=+⎦-，22922d k mn ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由不等式可得3m n k +=≥，即294k mn ≤，当且仅当32m n k ==时，等号成立，而m n ≠，故294k mn <，为故092m n k S S S ->+，故c 的最大值为92.19. 已知函数()x f x e =.（1）当0x ≥时，求证：()()2f x f x x --≥；（2）若0k >，且()f x kx b ≥+在R 上恒成立，求2k b +的最大值；（3）设*2,n n ≥∈Nln n +> .【答案】（1）证明见解析（2）2e（3）证明见解析【解析】【分析】（1）不等式成立转换为函数最小值问题，利用导函数求得到点区间，从而得出最小值，不等式得证；（2）构建函数，利用导函数求得单调区间，从而找到最小值，由题意得到不等关系，再令所求代数式为函数，借助导函数求得最大值；（3）由（1()ln ln ln 11n n n n ⎛⎫>=-- ⎪-⎝⎭，从而得证.【小问1详解】令e e ()2(0)x x g x x x -=--≥，所以()()1e 20e x x g x x '=+-≥，所以()e 2e 220x x g x -'=-+≥-=，当且仅当1e e 1ex x x =⇒=，即0x =时，等号成立，所以当[)0,x ∈+∞时，()()0,g x g x '≥单调递增，则()()00g x g ≥=；小问2详解】令()e x F x kx b =--，e ()x F x k '=-；由()0F x '>得出ln x k >；由()0F x '<得出ln x k <；min ()(ln )ln 0F x F k k k k b ∴==--≥；ln b k k k ∴≤-，23ln k b k k k ∴+≤-，令()3ln G k k k k =-，0k >；()2ln G k k '=-，【当20e k <<时，()0G k '>，()G k 单调递增，当2e k >时，()0G k '<，()G k 单调递减，所以2e 是的()G k 极大值点，22()(e )e G k G ∴≤=，2k b +的最大值为2e ；【小问3详解】由（1）知，()e 2e 0,0,x x x x ∞--->∈+，令ln (1)x s s =>，则12ln 0s s s --->，即12ln (1)s s s s ->>，设*2,s n n =≥∈N ，则满足1s >，->1ln 11n ⎛⎫>+ ⎪-⎝⎭，()ln ln ln 11n n n n ⎛⎫>=-- ⎪-⎝⎭，()ln2ln1ln3ln2ln ln 1ln n n n +>-+-++--= ，ln n ++> .【点睛】方法点睛：不等式成立问题：（1）通过令两项的差为函数关系，再利用函数单调性求出函数的最值的方式来解决；（2）多项求和的不等关系的证明，可以先找到某一项的不等关系，再求和得到结论.。
安徽省六安第二中学2024-2025学年高三上学期第二次月考(10月) 数学试题
六安二中2025届高三第二次月考试题数学分值：150分时间：120分钟注意事项1.考生务必将自己的姓名、班级写在答题卡上并粘好条形码.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的选项涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它选项.不能答在试题卷上.3.解答题按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域的答案无效.4.保持答题卡卷面清洁，不折叠，不破损.第Ⅰ卷(选择题58分)一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上.1.设集合{}|1A x x =<，集合{|B y y ==，则A∩B=（）A.（-1，1）B.（0，1）C.[0，1）D.（1，+∞）2.已知x ∈R ，则“10ln 2x <≤”是“102x x -<-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知12log 3a =，sin6b π=，20.5c -=，则（）A.a <b <cB.b <c <aC.c <a <bD.b <a <c4.函数2ln ||||x x y x =的图象大致是（）A.B. C. D.5.已知函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=x （x +2）.若.f （2+m ）+f （2m-5）>0，则m 的取值范围为（）A.（-∞，0）B.（0，+∞）C.（-∞，1）D.（1，+∞）6.科学技能的迅猛发展，使人们在学校里学到的专业知识，逐步陈旧过时，这就是所谓的“知识半衰期”.1950年以前，知识的半衰期为50年：21世纪，知识的半衰期平均为3.2年；IT 业高级工程师1.8年.如果一个高三学生的初始知识量为0T ，则经过一定时间，即t 个月后的知识量T 满足01()2a a ht T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，h 称为知识半衰期，其中a T 是课堂知识量，若25a T =，某同学知识量从80降至75大约用时1个月，那么知识量从75降至45大约还需要（）（参考数据:lg2≈0.30，lg11≈1.04）A.8个月B.9个月C.10个月D.11个月7、已知函数2,1()23,1x a a x f x ax ax a x ⎧+≥=⎨-+-+<⎩（a >0且a ≠1），若f （x ）的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A.20,3⎛⎤⎥⎝⎦B.31,2⎛⎤⎥⎝⎦C.[2，+∞）D.[3，+∞）8.对于x ∈（0，+∞），不等式()()ln 10x e mx m x -+-≥恒成立，则实数m 的取值范围为（）A.0<m <1B.0<m ≤1C.0<m ≤eD.0<m <e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.下列结论中正确的是（）A.若函数f （x ）的定义域为[0，2]，则函数f （2x +2）的定义域为[-1，0]B.当x ∈R 时，不等式210kx kx ++>恒成立，则k 的取值范围是（0，4）C.命题“∀x >1，x 2-x >0”的否定是20001,0x x x ∃≤-≤”D.函数||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（0，1]10.已知a =log 315，b =log 515，则（）A.111ab+= B.ab >4C.a 2+b 2<8D.a +b >411.设函数f （x ）与其导函数f '（x ）定义域均为R ，且f '（x +2）为偶函数，110f x f x +--=（）（），则（）A.f '（1+x ）=f '（1-x ）B.f '（3）=0C.f '（2025）=1D.f （2+x ）+f （2-x ）=2f （2）第Ⅱ卷（非选择题92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数2()lg(43)f x x x =-+的单调递减区间为__________.13.已知曲线y =x +ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y =ax 2+(2a +3)x +1只有一个公共点，求a 的值__________.14.已知函数ln ,0,()1,0x x x f x x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩若函数()()()()1g x f f x af x =-+有唯一零点，则实数a 的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知命题P :“∃x ∈R ，x 2-ax +1=0”为假命题，设实数a 的所有取值构成的集合为A .(Ⅰ)求集合C R A ;(Ⅱ)设集合B ={x |m+1<x <2m+1}，若t ∈A 是t ∈B 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16.(15分)已知函数21()log 1xf x x-=+.(Ⅰ)判断并证明f (x )的奇偶性；(Ⅱ)若对任意11,,[2,2]33x t ⎡⎤∈-∈-⎢⎣⎦，不等式.f (x )≥t 2+at -6恒成立，求实数a 的取值范围.17.(15分)函数f (x )=(x +1)e x .(Ⅰ)求函数在(-2，f (-2))处的切线方程;(Ⅱ)求出方程f (x )=a (a ∈R)的解的个数.18.(17分)已知函数.f (x )=ac 2x +(a -2)c x -x ，(Ⅰ)当a >0时，求f (x )的单调区间:(Ⅱ)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.19.(17分)从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为r .牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：先在x 轴找初始点P 0(x 0，0)，然后作y =f (x )在点Q 0(x 0，f (x 0))处切线，切线与x 轴交于点P 1(x 1，0)，再作y =f (x )在点(Q 1(x 1，f (x 1))处切线(Q 1P 1⊥x 轴，以下同)，切线与x 轴交于点.P 2(x 2，0)，.再作y =f (x )在点Q 2(x 2，f (x 2))处切线，一直重复，可得到一列数:x 0，x 1，x 2，∴，x n .显然，它们会越来越逼近r .于是，求r 近似解的过程转化为求x n ，若设精度为ε，则把首次满足|x n -x n ₋1|<ε的x n 称为r 的近似解.(Ⅰ)设f (x )=x 3+x 2+1，试用牛顿法求方程.f (x )=0满足精度ε=0.4的近似解(取x 0=-1，且结果保留小数点后第二位)；(Ⅱ)如图，设函数g(x )=2x ;(i)由以前所学知识，我们知道函数8g(x )=2x 没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释?(ii)若设初始点为P 0(0，0)，类比上述算法，求所得前n 个三角形00111211,,,n n n Q P P P PQ P P Q -- 的面积和.六安二中2025届高三第二次月考试题数学参考答案及评分标准(仅供参考)题号1234567891011答案CAADDCBCADABDBD6.【详解】由题意得117525(8025)2h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1110211h⎛⎫= ⎪⎝⎭;则14525(7525)2t H⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1120502th ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得102115t⎛⎫= ⎪⎝⎭，两边取对数102lg 1lg 115t =，25lg lg 2lg 52lg 2120.3110101lg11lg111 1.04lg 11t --⨯-===≈=---，故选:C.7.【详解】当x <1时，则f (x )=-ax 2+2ax -a +3=-a (x -1)2+3，且a >0，所以f (x )=-a (x -1)2+3<3，若函数f (x )的值域为R ，可知当x ≥1时，则.f (x )=a x +a 的值域包含[3，+∞)，若0<a <1，则.f (x )=a x +a 在[1，+∞)内单调递减，可得f (x )≤f (1)=2a ，不合题意;若a >1，则.f (x )=a x +a 在[1，+∞)内单调递增，可得f (x )≥f (1)=2a ，则2a ≤3，解得312a <≤;综上所述：实数a 的取值范围是31,2⎛⎤⎥⎝⎦故选:B.8.【详解】已知x ∈(0，+∞)，由()()ln 10x e mx m x -+-≥得，()()ln ln x mxe x e mx +≥+，构造函数f (x )=e x +x ，f (x )是R 上的增函数，则由.f (x )≥f (ln(m x ))得：x ≥ln(mx )，即x e m x ≤，令(),(0,)x eg x x x =∈+∞，2(1)()xx e g x x -'=，当x ∈(0，1)，g'(x )<0，则g(x )单调递减，当x ∈(1，+∞)，g'(x )>0，则g(x )单调递增，∴()()min 1g x g e ==，则m ≤e ，又m >0，则0<m ≤c .故选:C.9.【详解】A:由题设0≤2x +2≤2，则-1≤x ≤0，即f (2x +2)的定义域为[-1，0]，A 对;B:当x ∈R 时，不等式kx 2+kx +1>0恒成立，当k =0时，1>0恒成立，当k ≠0时，则需满足2040k k k >⎧⎨∆=-<⎩，∴0<k <4，综合可得k 的取值范围是[0，4)，B 不正确，C ：由全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为20001,0x x x >-≤，C 错；D:令t =|x |∈[0，+∞)，故1(0,1]2t y ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，即||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(0，1]，D 对.故选:AD10.【详解】a =log 315>0，b =log 515>0，a ≠b ，且151511log 3log 51a b+=+=，故A 正确;又由111ab+=可知ab =a +b >4，B 正确;a 2+b 2≥2ab >8，故C 错误.11()224b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++>= ⎪⎝⎭，D 正确;故选:ABD.11.【详解】对于A ，∵f (1+x )-f (1-x )=0，∴f '(1+x )+f '(1-x )=0，即f '(x )关于(1，0)对称，故A 错误;对于B ，)'(2f x +为偶函数，故f '(x +2)=f '(-x +2)，即f '(x )关于x =2对称，由f '(x )关于x =2对称，知f '(3)=f '(1)=0，故B 正确;对于C ，f '(x )关于x =2对称和f '(x )关于(1，0)对称可得:f '(x )=-f '(-x +2)=f '(-x +4)，故f '(x +4)=-f '(x +2)=-[-f '(x )]=f '(x )，即f '(x )的周期为4，所以f '(2025)=f '(1)=0，故C 错;对于D ，由(2()2)f x f x ''+=-+得:f (x +2)=-f (-x +2)+m ，即f (x +2)+f (-x +2)=m ，令x =0得，2f (2)=m ，故f (2+x )+f (2-x )=2f (2)，故D 正确.故选:BD 12.(-∞，1)13.a =0或12a =详解(此题为书本选择性必修一第103页第13题)解：y =x +ln x 的导数为11y x'=+，曲线y =x +ln x 在x =1处的切线斜率为1121k =+=，则曲线y =x +ln x 在x =1处的切线方程为y -1=2x -2，即y =2x -1.由于切线与曲线y =ax 2+(2a +3)x +1只有一个公共点，y =ax 2+(2a +3)x +1可联立y =2x -1，得ax 2+(2a +1)x +2=0①有且只有一解，当a =0时①式变为x +2=0，则x =-2，方程①有且只有一解，符合题意;当a ≠0时，则Δ=(2a +1)2-8a =0，4a 2-4a +1=0，解得12a =综上，a =0或12a =.14.54a =-或-1≤a <1详解当x <0时，f (x )单调递减，图象为以y =-x 和y 轴为渐近线的双曲线的一支；当x >0时，有f '(x )=ln x +1，可得.f (x )在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增且min 11()f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，0lim ()0x f x →=，画出图象如下：由题意，f (f (x ))-af (x )+1=0有唯一解，设t =f (x )，则1t e <-，(否则至少对应2个x ，不满足题意)，原方程化为f (t )-at +1=0，即f (t )=at -1，该方程存在唯一解t 0，且01(,)t e∈-∞-.转化为y =f (t )与y =at -1有唯一公共点，且该点横坐标在1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，画图如下：。
2017_2018学年高二数学月考领航卷(一)文(含解析)
2017-2018学年高二数学月考领航卷（一）文（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法：①归纳推理是合情推理；②类比推理不是合情推理；③演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论是正确的.其中正确说法的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分析：直接根据归纳推理、演绎推理和类比推理的概念及它们间的区别与联系，可对①②③进行判断.详解：所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，其得出的结论不一定正确，故①对；又所谓演绎推理是由一般到特殊的推理，故③对；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，故②错，故选C.点睛：本题主要考查归纳推理、类比推理、演绎推理的定义与性质，属于简单题. 归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，根据三种推理的定义可知，归纳推理与类比推理都是合情推理，不等当作结论与定理应用，如果应用必须加以证明2.，2不可能成等比数列.”，其反设正确的是（），2成等比数列，2成等差数列，2不成等比数列，2不成等差数列【答案】A【解析】2成等比数列.2，2可能成等比2成等比数列.点睛：本题主要考查反证法的基本原理以及命题的否定形式，属于基础题.3.有一段演绎推理是这样的：“两个角不相等，则它们的正弦值也不相等；已知角αβ≠，则sin sin αβ≠”，结论显然是错误的，这是因为（ ）A .大前提错误 B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 大前提和小前提都是错误的【答案】A 【解析】分析：逐次判断大前提、小前提以及推理形式是否正确即可得结果.详解：因为两个角不相等，正弦值可以相等，比如60与120，角不相等，而正弦值相等，所以”两个角不相等，则它们的正弦值也不相等”错误，即大前提错误，故选A.点睛：本题主要考查三段论的基本原理，属于简单题.要正确应用三段论，大前提与小前提都正确，才能保证结论正确.4.10名学生在一次数学考试中的成绩分别为如1x ，2x ，3x ，…，10x ，要研究这10名学生成绩的平均波动情况，则最能说明问题的是（ ） A. 频率 B. 平均数C. 独立性检验D. 方差【答案】D 【解析】分析：直接根据频率、平均数、独立性检验、方差的基本定义判断即可.详解：因为频率表示可能性大小，A 错；平均数表示平均水平的高低，B 错；独立性检验主要指两个变量相关的可能性大小，C 错；方差表示分散与集中程度以及波动性的大小， D 对，故选D.点睛：本题主要考查频率、平均数、独立性检验、方差的基本定义，属于简单题.5.工人工资y （元）与劳动生产率x （千元）的回归方程为3090ˆyx =+，下列判断正确的是（ ）A. 劳动生产率为1000元时，工人工资为120元B. 劳动生产率提高1000元时，可估测工资提高90元C. 劳动生产率提高1000元时，可估测工资提高120元D. 当月工资为210元时，劳动生产率为2000元 【答案】B 【解析】分析：根据回归分析系数的意义，逐一分析四个结论的真假，可得答案.详解：工人的月工资y (元)与劳动生产率x (千元)的回归方程为为3090ˆyx =+,劳动生产率为1000元时,工资预报值为120元，而非工资为120元,故A 错误；劳动生产率提高1000元,则工资平均提高90元,故B 正确,C 错误；当月工资为210元时,劳动生产率的预报值为2000元，而不是劳动生产率为2000元,故D 错误,故选B.点睛：本题主要考查回归方程的意义，属于简单题.利用回归方程估计总体一定要注意两点：一是所有由回归方程得到的值，都是预测值（或估计值，或平均值）,而不是一定发生的结果；二是回归方程的系数可以预测变化率（负减正增）.6.观察如图图形规律，在其中间的空格内画上合适的图形为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】分析：本题考査的归纳推理，要根据九宫格中的图形变化规律,探究变化趋势,并进行猜测,根据猜想的结论，进行判断.详解：因为图形中，每一行每一列变化都有两个阴影的、三个不同形状的，图形涉及，，三种符号,图形中与各有三个，且各自有两黑一白，所以缺一个，故选D.点睛：本题通过观察图形，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.7.为了调查某地区残疾人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了100名残疾人，结构如下：得到的正确结论是（ ）A. 在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“该地区的残疾人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该地区的残疾人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”C. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“该地区的残疾人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”D. 最多有99%的把握认为“该地区的残疾人是否需要志愿者提供帮助与性别无关” 【答案】C 【解析】分析：先计算2K 的值，再与临界值比较,即可得到有99%以上的把握认为 “该地区的残疾人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”. 详解：由公式可计算()()()()()()222100303020204 3.8450505050n ad bc K a b a d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过050的前提下，认为“该地区的残疾人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”，故选C.点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）8.已知3223222⨯=+，2333388+=⨯，244441515+=⨯，…，若21010b ba a +=⨯（a 、b 为正整数），则a b -等于（ ） A. 89 B. 90C. 91D. 92【答案】A 【解析】分析：根据已知条件得出数字之间的规律，从而表示出,a b ，进而求出a b +的值. 详解：观察前三天的特点可知，2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，可得到22211n n n n n n +=⨯--，则当10n =时，此时为1010101009999+=⨯， 99,10,89a b a b ∴==-=，故选A.点睛：常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.9.一般来说，一个人的脚越长，他的身高就越高.现对10名成年人的脚长x 与身高y 进行测量，得如下数据（单位：cm ）：作出散点图后，发现散点在一条直线附近.经计算得到一些数据：24.5x =，171.5y =，()()101577.5i i i x x y y =--=∑，()102182.5i i x x =-=∑，某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长24cm ，则在估计案发嫌疑人的身高时产生的残差为（ ） A. 6.0 B. 2.1 C. 1D. 0.8-【答案】C 【解析】分析：由24.5x =，171.5y =，()()101577.5i i i x x y y =--=∑，()102182.5i i x x =-=∑，利用公式求出对应系数，写出线性回归方程，把某人的脚印代入回归方程，即可估计案发嫌疑人的身高，进而可得结果.详解：因为24.5x =，171.5y =，()()101577.5iii x x y y =--=∑，()102182.5ii x x =-=∑，, 所以1011021()()577.5782.5()ˆiii i i x x y y bx x ==--===-∑∑，171.5ˆˆ724.50ay bx =-=-⨯=，故ˆ7y x =，当24=x 时，ˆ168y =， 则在估计案发嫌疑人的身高时产生的残差为1691681-=，故选C.点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据，确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,n ni i i i i x y x x y ==∑∑的值；③计算回归系数,a b ；④写出回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.10.已知定义域为R 的 函数()f x 在()1,+∞上为增函数，且函数()1y f x =+为奇函数，则（ ）A. ()()67f f <-B. ()()69f f -<-C. ()()97f f <-D. ()()710f f ->-【答案】D 【解析】分析：利用单调性判断()()812f f 、的大小关系，再利用函数的奇偶性判断()()7,10f f --的大小关系. 详解：函数()1y f x =+为奇函数，()()11f x f x -+=-+，()()()()78,1012f f f f -=--=-，因为()f x 在()1,+∞上是增函数， ()()()()128,128f f f f >-<-，即()()710f f ->-，故选D.点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.11.在底面为正方形的长方体1111ABCD A B C D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11BA C 的距离分别为h 和d ，则hd的取值范围为（ ）A. ()0,1B.C. ()1,2D.)+∞【答案】C 【解析】分析：：可设长方体的底面长为1，侧棱长为x ，利用面积相等可得h =等可得d =，从而可得h d =，利用2132222x <-<+可得结果.详解：设长方体的底面长为1，侧棱长为x ，则有,h h =∴=，1112A BC S ∆==111111111332B A BC B A B C V d V x --===⨯⨯，得d =，故h d == 由0x >，故21322,1222hx d<-<∴<<+，故选C. 点睛：本题主要考查正棱柱的性质、棱锥的体积公式以及立体几何求范围问题，属于难题.求范围问题，首先看能不能利用几何性质求解，然后往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解.12.已知曲线()1:0C y x x=>及两点()11,0A x 和()22,0A x ，其中012>>x x ，过1A ，2A 分别作x 轴的垂线，交曲线C 于1B ，2B 两点，直线12B B 与x 轴交于点()33,0A x ，过3A 作x 轴垂线交曲线C 于点3B ，直线23B B 与x 轴交于点()44,0A x ，依此类推，若11x =，22x =，则点8A 的坐标为（ ） A. ()21,0 B. ()34,0C. ()36,0D. ()55,0【答案】B 【解析】分析：先求出1n n B B +，两点的坐标，进而得到直线1n n B B +的方程，再令0y =，求出21n n n x x x ++=+，根据递推关系可得出结论.详解：由题意得，则直线1n n B B +的方程为1111111n n n n n ny x x x x x x x ++++--=--， 令0y =，得21n n n x x x ++=+，故3123x x x =+=，4235x x x =+=，5436548,13x x x x x x =+==+=，76587621,34x x x x x x =+==+=， 8A 的坐标为()34,0，故选B.点睛：转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，将坐标问题转化为递推关系求解是解题的关键.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，有5组数据：()1,3A ，()4,2B ，()3,8C ，()7,10D ，()10,12E ，去掉__________组数据后剩下的4组数据的线性相关系数最大.【答案】C 【解析】分析：各组数据所表示的点越集中靠在同一条直线上，相关系数越大，观察图象可知应去掉点C 组数据.详解：仔细观察点()1,3A ，()2,4B ，()3,8C ，()7,10D ，()10,12E ，可知点ABDE 在一条直线附近，而C 点明显偏离此直线上，由此可知去掉点C 后，使剩下的四点组成的数组相关关系数最大,故答案为C .点睛：本题主要考查散点图与相关系数的关系，属于简单题.14.在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆周长为1C ，外接圆周长为2C ，则1212C C =.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球表面积为1S ，外接球表面积为2S ，则=21S S __________． 【答案】19【解析】分析：平面图形类比空间图形,二维类比三维得到,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.详解：平面几何中，圆的周长与圆的半径成正比，而在空间几何中，球的表面积与半径的平方成正比，因为正四面体的外接球和内切球的半径之比是13，1219S S ∴=，故答案为19.点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.15.某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y bx a =+中的2b ≈-，气象部门预测下个月的平均气温约为5℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为__________件．【答案】48 【解析】分析：根据所给的表格做出本组数据的样本中心点,根据样本中心点在线性回归直线上,利用待定系数法求出a 的值,可得线性回归方程，根据所给的x 的值,代入线性回归方程,预报要销售的件数.详解：由所给数据计算得1713+8+224+33+40+55=10,=3844x y +==，样本中心点坐标()10,38，又2,38+20=8,ˆˆ5b ay bx =-∴=-=∴回归直线为2ˆ58y x =-+，当5x =时，255848y =-⨯+=，故答案为48.点睛： 本题主要考查回归方程的性质，以及利用回归直线方程估计总体，属于中档题.回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.16.观察下图：则第__________行的各数之和等于22017. 【答案】1009 【解析】分析：首先根据所给数字的排列及变化规律得到,第n 行各数构成一个首项为n ，公差为1，共()21n -项的等差数列；再根据等差数列的前n 项和公式得到()221n S n =-，将22017n S =代入公式即可求出n 的值.详解：由题设题知，第一行各数和为1；第二行各数和为293=；第三行各数和为2255=；第四行各数和为2497,...,=∴第n 行各数和为()221n -，令212017n -=，解得1009n =，故答案为1009.点睛：归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质.②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知三条抛物线23212y x ax a ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，()()22121334y x a x a a =+++++，22y x ax a =++中至少有一条与x 轴有交点，求实数a 的取值范围.【答案】{0a a ≤或21≥a } 【解析】分析：假设三条拋物线都不与x 轴有交点,则23212y x ax a ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，()()22121334y x a x a a =+++++，22y x ax a =++的判别式均小于0,进而求出相应的实数a 的取值范围，再求补集即可得结果. 详解：假设三条抛物线中没有一条与x 轴有交点，则()()212222334410,221330,440,a a a a a a a ⎧⎛⎫∆=+-< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪∆=+-++<⎨⎪∆=-<⎪⎪⎩得12,221,301,a a a ⎧-<<⎪⎪⎪-<<⎨⎪<<⎪⎪⎩解得102a <<，∴所以0a ≤或12a ≥， a 的取值范围为{0a a ≤或12a ≥}.点睛：当正面解答问题，讨论情况较多时（本题正面解答需讨论七种情况），往往可以先求得对立面满足的条件，然后求其补集即可.18.为了判断高中二年级学生选读文科否与性别有关，现随机抽取50名学生，得如下22⨯列联表：完成该22⨯列联表，并判断选读文科与性别是否有关系？【答案】列联表见解析，在犯错概率不超过0.25的前提下认为选读文科与性别有关系. 【解析】分析：根据表格中数据结合总人数,可完成列联表，利用公式求得2K 的观测值()2501317119 1.93624262228k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，与邻界值比较，即可得在犯错概率不超过0.25的前提下认为选读文科与性别有关系. 详解：列联表如图根据表中数据，得到2K 的观测值()2501317119 1.936 1.3224262228k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错概率不超过0.25的前提下认为选读文科与性别有关系.点睛：本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）19.（1）求证：251011-<-； （2）已知函数()232xx f x ex -=++，用反证法证明方程()0f x =没有负数根. 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】分析：（1）采用分析法来证,2<，只需两边平方，整理后得到一恒成立的不等式即可；（2）对于否定性命题的证明，可用反证法，先假设方程()0f x =有负数根，经过层层推理，最后推出一个矛盾的结论.详解：（12，只需证)222<，只需证219-<-6+<，只需证56110+<，只需证9<，即证8081<. 上式显然成立，命题得证.（2）设存在00x <，使()00f x =，则020032x x ex -=-+. 由于0201x e <<得003012x x -<-<+，解得0132x <<，与已知00x <矛盾，因此方程()0f x =没有负数根.点睛：本题主要考查反证法的应用以及利用分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词.20.设()xf x =.（1）分别求()()01f f +，()()12f f -+，122f ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）归纳猜想一般性结论，并证明其正确性.【答案】(1)见解析(2) 归纳猜想得，当121x x =+时，有()()121f x f x +=，见解析 【解析】分析：由()f x 计算各和式，发现()()01f f +，()()12f f -+，122f ⎛⎫ ⎪⎝⎭值均为1，于是得出结论12=1x x +时，()()12 1f x f x +=，利用()()1212x x f x f x +=+指数函数的性质化简可得结论. 详解：（1）()()))0011111f f +===+==.同理可得()()121f f -+=；1212f ⎛⎫=⎪⎝⎭. （2）注意到三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得，当121x x +=时，有()()121f x f x += 证明如下：设121x x +=，因为.所以当121x x +=时，有()()121f x f x +=.点睛：由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一，在解题过程，由不完全归纳法得到的结论，需要加以证明.21.某一个月中，五名游戏爱好者玩某网络游戏所花的时间和所得分数（100分制），如下表所示：（1）要从5名游戏爱好者中选2人参加一项活动，求选中的游戏爱好者中至少有一人的得分高于91分的概率；（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程y bx a =+. 【答案】(1) 109=P (2)散点图见解析， 127722ˆy x =-+【解析】分析：（1）利用列举法可得从5名游戏爱好者中任取2名的所有情况，共有共有10种情况，选中的游戏爱好者中至少有一人的得分高于91分的情况，共有9种情况，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据表格中数据描点即可得到散点图，根据表格中数据，计算出公式中所需数据，求出ˆ12b=-，将样本中心点的坐标代入可得ˆ2772a =，进而可得结果.详解：（1）从5名游戏爱好者中任取2名的所有情况()45,A A 、()41,A A 、()42,A A 、()43,A A 、()51,A A 、()52,A A 、()53,A A 、()12,A A 、()13,A A 、()23,A A ，共有10种情况.其中至少有一人得分高于91分的情况为()12,A A 、()13,A A 、()14,A A 、()15,A A 、()24,A A 、()25,A A 、()34,A A 、()35,A A 、()45,A A ，共有9种情况，故从上述抽取的5人中选2人，选中的游戏爱好者中至少有一人的得分高于91分的概率为910P =. （2）散点图如图所示.可求得：8991969594935x ++++==，9491909392925y ++++==，()()()()()()51422132112017iii x x y y =--=-⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯=-∑，()()()522222214231234ii x x =-=-+-+++=∑，171342ˆb -==-，1277929322ˆa y bx ⎛⎫=-=--⨯= ⎪⎝⎭，故y 关于x 的线性回归方程是127722ˆyx =-+. 点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,n nii ii i x y x x y ==∑∑的值；③计算回归系数,a b ；④写出回归直线方程为ˆˆˆybx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.22.已知b a e >>，其中e 是自然对数的底数. （1）当 3a =，4b =时，比较b a 与a b 的大小关系； （2）试猜想b a 与a b 的大小关系，并证明你的猜想. 【答案】(1) b a a b > (2) 猜想b a a b >，证明见解析 【解析】分析：（1）当 3a =，4b =时，计算出b a 与a b 的值，即可比较大小；（2）根据（1）可猜想b a a b >，利用分析法，构造函数()()ln xf x x e x=>，利用导数研究函数的单调性，利用单调性可证明结论.详解：（1）当3a =，4b =时，43348164170b a a b -=-=-=>， 此时，b a a b >.（2）猜想b a a b >，要证b a a b >，只需证：ln ln b a a b >，整理为ln ln b a a b >， 由b a e >>，只需证：ln ln b ab a>， 令()()ln x f x x e x=>，则()()2ln 10ln x f x x -'=>， 故函数()f x 增区间为(),e +∞，故()()f b f a >，即ln ln b a b a>， 故当b a e >>时，b a a b >.点睛：联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键.。
安徽省六安第一中学2022-2023学年高三上学期第四次月考数学试题含答案
六安一中2023届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足13i1iz +=-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知空间中的两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，则“αβ⊥”是“//m α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A.B. C.8D.4.如图，已知1111ABCD A B C D -是正方体，以下结论错误．．的是（）A.向量AC与向量1C D 的夹角为60°B.110AC A B ⋅= C.()2211111113A A A D A B A B ++=D.若1113A P A C =，则点P 是11AB D 的中心5.(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,则k =（） A.33B.C.D.26.过点()3,4P -作圆22:25C x y +=的切线l ，直线:40m ax y -=与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为（）A.5B.2C.4D.7.如图，已知平面αβ⊥，l αβ= ，,A B 是直线l 上的两点，C D 、是平面β内的两点，且.,3,6,6DA l CB l AD AB CB ⊥⊥===,P 是平面α上的一动点，且直线PD PC 、与平面α所成角相等，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为（）A.18B.36C.24D.488.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（A.332πB.33πC.572π D.57π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下四个命题表述正确的是（）A.若直线l 的斜率为l 的倾斜角为π3-B.三棱锥-P ABC 中，E F 、分别为PB PC 、的中点，23PG PA =，则平面EFG 将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即:1:5P EFG EFG ABC V V --=C.若直线l 过点(2,1)P -且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程为30x y --=D.在四面体O ABC -中，若,OA BC OB AC ⊥⊥，则OC AB⊥10.在三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，AB BC E F ⊥,、分别是线段PB PC 、上的动点.则下列说法正确的是（）A.当AE PB ⊥时，AE PC⊥B.当AF PC ⊥时，AEF △一定为直角三角形C.当//EF BC 时，平面AEF ⊥平面PABD.当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+，其中λ，[]0,1μ∈，则下列选项正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥11A PCD -的体积为定值B.当34μ=时，1B P PD + C.当1λμ+=时，直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长度为22D.当11,23λμ==时，点1B 到平面11PC D 的距离为6131312.若实数,x y 满足x -=）A.x 的最小值是0B.x 的最大值是5C.若关于y 的方程有一解，则x 的取值范围为[){}1,45D.若关于y 的方程有两解，则x 的取值范围为(4,5)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线120kx y k -+-=与圆229x y +=分别交于M 、N 两点.则弦MN 长的最小值为___________.14.如图，在四面体A BCD -中，2==AC BD ，AC 与BD 所成的角为60︒，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为_______.15.已知ABC 的一条内角平分线所在的直线方程为y x =，两个顶点坐标分别为(1,1),(3,2)B C -，则边AC 所在的直线方程为__________.（结果用一般式表示）16.已知数列{}n a 满足：()()()1*21131n nn n a a n n ++-+-=+∈N ，若121a a ==，则数列{}n a 的前20项和20S =___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为，120AOP ∠=o .（1）求证：AG BD ⊥；（2）求直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值.18.如图，P 为ABC 内的一点，BAP ∠记为α，ABP ∠记为β，且α、β在ABP 中的对边分别记为,,(2)sin cos m n m n ββ+=，π,0,3αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求APB ∠；（2）若1,2AB BP AC AP AP PC ===⊥，，求线段AP 和BC 的长.19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点,(1,0)(1,2)A B -.（1）若直线l 过点B ，与圆C 相交于M N 、两点，且||MN =l 的方程；（2）圆C 上是否存在点P ，使得22||12||PA PB +=成立？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nn n S a =-．（1）求证：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）设3(2)n nn b n a +=+，求证：1231n b b b b ++++< ．21.在①2AE =，②AC BD ⊥，③EAB EBA ∠=∠，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.如图，在五面体ABCDE 中，已知，,//AC BC ED AC ⊥，且22,AC BC ED DC DB =====.（1）设平面BDE 与平面ABC 的交线为l ，证明：//l 平面ACDE ；（2）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（3）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABF夹角的余弦值等于43，若存在，求BFBC的值；若不存在，请说明理由.22.已知a b ∈R ，，函数()()sin ,xf x e a xg x =-=（1）求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；（2）若()y f x =和()y g x =有公共点，（i ）当0a =时，求b 的取值范围；（ii ）求证：22e a b +>．六安一中2023届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足13i1i z +=-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】求出12i z =-+即得解.【详解】解：因为131i iz+=-，所以()()()()13i 1i 13i 24i 12i 1i 1i 1i 2z +++-+====-+--+，所以12z i =--在复平面内对应的点为()1,2--，在第三象限.故选：C.2.已知空间中的两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，则“αβ⊥”是“//m α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，当αβ⊥时，m α⊂或m α ，不充分；当m α 时，αβ⊥，必要.故选：B.3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A.B. C.8D.【答案】D 【解析】【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2O A ''=，所以O B ''=2OA O A =''=，2OB O B =''=；所以原图形的面积为2⨯=故选：D4.如图，已知1111ABCD A B C D -是正方体，以下结论错误．．的是（）A.向量AC与向量1C D 的夹角为60°B.110AC A B ⋅=C.()2211111113A A A D A B A B ++= D.若1113A P A C =，则点P 是11AB D 的中心【答案】A 【解析】【分析】由1160A C D ∠=︒得向量AC 与1C D夹角，判断A ，建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，得各点坐标，用空间向量法判断BCD ．【详解】正方体中，11//AC AC （由1AA与1CC 平行且相等得平行四边形11ACC A ），11A C D 是正三角形，1160A C D ∠=︒，但AC 与1C D夹角等于11A C 与1C D 的夹角为120︒，A 错；以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，设1AB =，则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，1(1,1,1)B ，1(1,0,1)A ，1(0,1,1)C ，1(0,0,1)D ，1(1,1,1)AC =- ，1(0,1,1)A B =- ，110AC A B ⋅=，B 正确；111111(1,1,1)A A A D A B AC ++==-- ，221111111()33A A A D A B A B ++== ，C 正确；1111113(,,333A P A C =--= ，P 点坐标为212(,,)333(1,0,0)(1,1,1)(0,0,1)3++=，所以P 是11AB D 的重心，即中心，D 正确．故选：A ．5.(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,则k =（） A.33B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为半圆y =位于直线(0)y kx k =>下方的区间长度为2，由此可得2,4a b ==，求出直线与半圆的交点坐标即可求得k 的值.【详解】解：如图所示：因为y =表示以坐标原点为圆心，4为半径位于x 轴上方(含和x 轴交点)的半圆，(0)y kx k =>表示过坐标原点及第一三象限内的直线，(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,即半圆位于直线下方的区间长度为2，所以2,4a b ==，所以直线与半圆的交点(2,，所以2k ==.故选：C.6.过点()3,4P -作圆22:C x y +=的切线l ，直线:40m ax y -=与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为（）A.5 B.2C.4D.【答案】A 【解析】【分析】根据平行关系可假设():434al y x -=+，由直线与圆相切可知圆心到直线距离d 等于半径，由此可构造方程求得a ，利用平行直线间距离公式可求得结果.【详解】由40ax y -=得：4ay x =；//l m ，∴直线l 斜率4a k =，则():434al y x -=+，即:43160l ax y a -++=，l 与圆C 相切，∴圆心()0,0C 到直线l的距离5d ==，解得：3a =，则:34250l x y -+=，:340m x y -=，l ∴与m 之间的距离5d ==.故选：A.7.如图，已知平面αβ⊥，l αβ= ，,A B 是直线l 上的两点，C D 、是平面β内的两点，且.,3,6,6DA l CB l AD AB CB ⊥⊥===,P 是平面α上的一动点，且直线PD PC 、与平面α所成角相等，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为（）A.18B.36C.24D.48【答案】B 【解析】【分析】首先根据线面角的定义得12PA DA PB BC ==，再在平面α内，建立平面直角坐标系，则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >，，得出点P 的轨迹，从而确定点P 到平面ABCD距离的最大值，即可求解体积的最大值.【详解】DA l ⊥ ，αβ⊥，l αβ= ，AD β⊂AD α∴⊥，同理BC α⊥，DPA ∴∠为直线PD 与平面α所成的角，CPB ∠为直线PC 与平面α所成的角，DPA CPB ∴∠=∠，又90DAP CBP ∠=∠=︒，DAP CPB ∴~ ，3162PA DA PB BC ===，在平面α内，以AB 为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >，，∴=，整理可得：()22516x y ++=，P ∴在α内的轨迹为()50M -，为圆心，以4为半径的上半圆,所以点P 到直线AB 距离的最大值是半径4，因为αβ⊥，l αβ= ，点P 到AB 距离就是点P 到平面ABCD 的距离即点P 到平面ABCD 距离的最大值是4，所以四棱锥P ABCD -体积的最大值()1114366436332ABCD V S =⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=.故选：B8.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（）A.332πB.33πC.572π D.57π【答案】D 【解析】【分析】根据正棱台的性质，表示出棱台的高与边长之间的关系，根据棱台的体积公式，将体积函数式子表示出来，利用不等式求解最值，得到棱台的高.因为外接球的球心一定在棱台上下底面中心的连线及其延长线上，通过作图，数形结合，求出外接球的半径，得到表面积.【详解】图1设底边长为a ，原四棱锥的高为h ，如图1，1,O O 分别是上下底面的中心，连结1OO ，11O A ，OA ，根据边长关系，知该棱台的高为2h，则11112173224ABCD A B C D h a h V -==，由1AA =11AOO A为直角梯形，111124O A A B a ==，2222OA AB a ===h =，11112724ABCD A B C D a h V -==283=当且仅当22482a a =-，即4a =时等号成立，此时棱台的高为1.上底面外接圆半径111r A O ==r AO ==，设球的半径为R ，显然球心M 在1OO 所在的直线上.显然球心M 在1OO 所在的直线上.图2当棱台两底面在球心异侧时，即球心M 在线段1OO 上，如图2，设OM x =，则11O M x =-，01x <<，显然1MA MA R===，即=解得0x <，舍去.图3当棱台两底面在球心异侧时，显然球心M 在线段1O O 的延长线上，如图3，设OM x =，则11O M x =+，显然1MC MA R ====解得52x =，572R ==，此时，外接球的表面积为225744572R πππ⎛=⨯= ⎝⎭.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下四个命题表述正确的是（）A.若直线l 的斜率为l 的倾斜角为π3-B.三棱锥-P ABC 中，E F 、分别为PB PC 、的中点，23PG PA =，则平面EFG 将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即:1:5P EFG EFG ABC V V --=C.若直线l 过点(2,1)P -且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程为30x y --=D.在四面体O ABC -中，若,OA BC OB AC ⊥⊥，则OC AB ⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据倾斜角的定义即可判断A ；由题意可得14PEF PBC S S =△△，点G 到平面PBC 的距离是点A 到平面PBC 的距离的23，再根据棱锥的体积公式计算即可判断B ；分直线l 过原点和不过原点两种情况讨论，即可判断C ；将,,AB AC BC uu u r uuu r uu u r 分别用,,OA OB OC表示，再根据数量积的运算律及空间向量的线性运算即可判断D.【详解】解：对于A ，若直线l 的斜率为l 的倾斜角为2π3，故A 错误；对于B ，因为E F 、分别为PB PC 、的中点，所以14PEF PBC S S =△△，设点A 到平面PBC 的距离为h ，点G 到平面PBC 的距离为h '，因为23PG PA = ，所以23'=h h ，则13P ABC A PBC PBC V V S h --==，11213436P GEF G PEF PBC P ABC V V S h V ---==⋅⋅= ，则56EFG ABC P ABC P EFG P ABC V V V V ----==-，所以:1:5P EFG EFG ABC V V --=，故B 正确；对于C ，当直线l 过原点时，直线方程为12y x =-，当直线l 不过原点时，设直线方程为1x y a a+=-，则有211a a-+=-，解得3a =，所以直线方程为133x y-=，即30x y --=，综上，所求直线方程为12y x =-或30x y --=；对于D ，在四面体O ABC -中，,,AB OB OA AC OC OA BC OC OB =-=-=-，因为,OA BC OB AC ⊥⊥，所以()()0,0OA BC OA OC OB OB AC OB OC OA ⋅=⋅-=⋅=⋅-=，即,OA OC OA OB OB OC OA OB ⋅=⋅⋅=⋅ ，所以OA OC OB OC ⋅=⋅ ，即()0OA OB OC -⋅= ，所以0BA OC ⋅=，所以AB OC ⊥，故D 正确.故选：BD .10.在三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，AB BC E F ⊥,、分别是线段PB PC 、上的动点.则下列说法正确的是（）A.当AE PB ⊥时，AE PC⊥B.当AF PC ⊥时，AEF △一定为直角三角形C.当//EF BC 时，平面AEF ⊥平面PABD.当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据PA ⊥底面ABC 得到PA BC ⊥，结合AB BC ⊥得到BC ⊥平面PAB ,则BC AE ⊥，AE PB ⊥ ，最后利用线面垂直的判定得到⊥AE 平面BCP ，则AE PC ⊥；对B ，取点E 位于点B 处即可判断，对C ，由BC ⊥平面PAB ，//EF BC 得到EF ⊥平面PAB ，则平面AEF ⊥平面PAB ，对D ，利用反证法，假设平面AEF ⊥平面PAB ，根据面面垂直的性质定理得到线面垂直，从而得到与基本事实相矛盾的结论，所以当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直.【详解】对A 选项，PA ⊥ 底面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,AB BC ⊥ ，PA AB A = ，且,PA AB ⊂平面PAB ，BC ∴⊥平面PAB ,AE ⊂ 平面PAB ，BC AE ∴⊥，AE PB ⊥ ，BC PB B = ，且,BC PB ⊂平面BCP ，AE ∴⊥平面BCP ，PC ⊂ 平面BCP ，AE PC ∴⊥，故A 正确，对B 选项，当AF PC ⊥时,无法得出AEF △一定为直角三角形，例如E 点取点,B ABF 不是直角三角形，若90AFB ∠= ，则BF AF ⊥，又AF PC ⊥ ，BF PC F ⋂=，,BF PC ⊂平面BCP ，则AF ⊥平面BCP ，BC ⊂ 平面BCP ，则AF BC ⊥，而PA BC ⊥，AF PA A = ，,AF PA ⊂平面ACP ，则BC ⊥平面ACP ，AC ⊂ 平面ACP ，则BC AC ⊥，显然不成立，故此时90AFB ∠≠ ，若90BAF ∠= ，则AF AB ⊥，AP AB ⊥ ，AF AP A ⋂=，,AF AP ⊂平面ACP,AB ∴⊥平面ACP ，AC ⊂ 平面ACP ，AB AC ∴⊥，显然不成立，故此时90BAF ∠≠ ，若90ABF ∠= ，则BF BA ⊥，而CB BA ⊥，,BF CB ⊂平面BCP ，BF CB B = ，所以BA ⊥平面BCP ，BP ⊂ 平面BCP ，BA BP ∴⊥，显然不成立，故90ABF ∠≠ ，故B 错误，对C 选项，由A 选项证得BC ⊥平面PAB ，//EF BC Q ，EF ∴⊥平面PAB ，EF ⊂ 平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAB ，故C 正确，对D 选项，在平面PAB 内，过点P 作AE 的垂线，垂足为G ，假设平面AEF ⊥平面PAB ， 平面AEF ⋂平面PAB AE =，PG AE ⊥，且PG ⊂平面PAB ，PG ∴⊥平面AEF ，而若此时PC ⊥平面AEF ，这与过平面外一点作平面的垂线有且只有一条矛盾，故当PC ⊥平面AEF 时,平面AEF 与平面PAB 不可能垂直，故D 正确，故选：ACD.11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+，其中λ，[]0,1μ∈，则下列选项正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥11A PCD -的体积为定值B.当34μ=时，1B P PD +C.当1λμ+=时，直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长度为2D.当11,23λμ==时，点1B 到平面11PC D 的距离为61313【答案】ABD 【解析】【分析】对A ：由题意确定点P 的位置，利用转换顶点法求体积；对B ：由题意确定点P 的位置，借助于展开图分析求解；对C ：由题意确定点P 的位置，分析可得直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹为MN ，即可求得结果；对D ：由题意确定点P 的位置，利用等积法求点到面的距离.【详解】对A ：取,AB CD 的中点,M N ，连接MN ，则MN AD ，∵11A D AD ，∴MN 11A D ，MN ⊄平面11ACD ，11A D ⊂平面11ACD ，∴MN 平面11ACD ，若12λ=，则点P 在线段MN 上，∴点P 到平面11ACD 的距离相等，过N 作1NF CD ⊥，垂足为F ，∵11A D ⊥平面11CDD C ，1,CD NF ⊂平面11CDD C ，∴11111,CD A D NF A D ⊥⊥1111CD A D D ⋂=，111,CD A D ⊂平面11ACD ，∴NF ⊥平面11ACD ，故三棱锥11P ACD -的高为2NF =，∴1111122122323A PCD P A CD V V --==⨯⨯⨯⨯（定值），A 正确；对B ：分别在,AD BC 上取点,M N ，使得3AM BNDM NC==，连接11,,MN A M B N ，则MN AB ，又∵AB 11A B ，∴MN 11A B ，则11,,,A B M N 四点共面，135,22BN B N ===若34μ=，则P MN ∈，故1B P ⊂平面11A B NM ，如图，将平面11A B NM 和平面CDMN 对接成一个平面时，则113B C B N NC =+=，∴11B P PD B D +≥=B 正确；对C ：若1λμ+=，则P BD ∈，1A P ⊂平面1A BD ，设1111,A D D E M A B B E N ==I I ，则平面1A BD ⋂平面11B D E MN =，即直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹为MN ，∵1112A M A N MD BN ==，∴12233MN BD ==，故直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长为223，C 错误；对D ：分别在,AD BC 上取点,M N ，使得12AM BN DM NC ==，连接11,,MN MD NC ，则MN CD ，MN =CD ，∵11C D CD ，11C D =CD ，∴MN 11C D ，11MN C D =，则11MNC D 为平行四边形，又∵11C D ⊥平面11AA D D ，1MD ⊂平面11AA D D ∴111C D MD ⊥，则11MNC D 为矩形，若11,23λμ==，则点P 为MN 的中点，12133D M ==，设点1B 到平面11PC D 的距离为d ，由111111B PC D P B C D V V --=，即1111222232332d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得13d=，故点1B 到平面11PC D 的距离为61313，D 正确；故选：ABD.12.若实数,x y 满足x -=）A.x 的最小值是0B.x 的最大值是5C.若关于y 的方程有一解，则x 的取值范围为[){}1,45D.若关于y 的方程有两解，则x 的取值范围为(4,5)【答案】AB 【解析】【分析】根据特殊值可判断A 项；设t =t ⎡∈⎣，原方程即为2t x -+=，将t 当成变量，设()2f t t x =-+，()g t =t ⎡∈⎣，原方程有解等价于()f t 的图象和()g t 的图象有公共点，即可利用数形结合解出．【详解】对于A 项：由已知可得，0x =≥，且当0x =时，解得0y =，符合题意，故A 项正确；当0x >时，令t =0t ≥，又0x y -≥，则t ≤，即t ⎡∈⎣，则原方程可化为2t x -+=．设()2f t t x =-+，()g t =t ⎡∈⎣，整理得()20t f t x +-=，t ⎡∈⎣，则()f t 的图象是斜率为2-的直线的一部分；整理可得()222t g t x +=，t ⎡∈⎣，()g t 的四分之一圆.如图，作出函数()y f t =与()y g t =的图象，则问题等价于()f t 的图象和()g t 的图象有公共点，观察图形可知，当直线与圆相切时，直线()2f t t x =-+的截距最大，此时x 有最大值，由=得5x =，故B 项正确；当直线过点(时，x =，解得1x =或0x =（舍去）；当直线过点)时，x =4x =或0x =（舍去）．因此，要使直线与圆有公共点，则有[]1,5x ∈，综上，[]{}1,50x ∈ ，故x 的最大值为5，最小值为0．对于C 、D 项：综上并结合图象可知，当0x =或5x =或[)1,4x ∈时，y 有一解；当[)4,5x ∈时，y 有两解．故C 、D 项错误.故选：AB ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线120kx y k -+-=与圆229x y +=分别交于M 、N 两点.则弦MN 长的最小值为___________.【答案】4【解析】【分析】分析直线过定点，再由勾股定理即可求解.【详解】由圆229x y +=可得圆心()0,0O ，半径为3，直线120kx y k -+-=，即()210k x y --+=，直线过定点P (2,1)，又因为22219+<，所以点在圆的内部，当圆心到直线MN 距离最大时，弦长MN 最小，此时OP MN ⊥，此时4MN ==，故答案为：4.14.如图，在四面体A BCD -中，2==AC BD ，AC 与BD 所成的角为60︒，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为_______.【答案】1或1【解析】【分析】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，求出MEN ∠的值，利用余弦定理可求得线段MN 的长.【详解】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，M 、E 分别为AB 、BC 的中点，//ME AC ∴且112ME AC ==，同理可得EN //BD 且112EN BD ==，MEN ∴∠为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角，则60MEN ∠= 或120 .在MEN 中，1EM EN ==.若60MEN ∠= ，则MEN 为等边三角形，此时，1MN =；若120MEN ∠= ，由余弦定理可得MN =综上所述，1MN =故答案为：115.已知ABC 的一条内角平分线所在的直线方程为y x =，两个顶点坐标分别为(1,1),(3,2)B C -，则边AC 所在的直线方程为__________.（结果用一般式表示）【答案】3250x y --=【解析】【分析】根据题意可知，y x =是角A 的平分线，所以点B 关于角平分线的对称点B '在直线AC 上，即可求得边AC 所在的直线方程.【详解】由题意可知，直线y x =为三角形内角A 的平分线，所以，点B 关于角平分线y x =的对称点B '在直线AC 上，设(,)B a b '，即1111122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=⎪⎩，解得1,1a b ==-，所以(1,1)B '-此时直线BC '所在直线方程即为边AC 所在的直线方程，即212(3)31y x +-=--，整理得3250x y --=.故答案为：3250x y --=16.已知数列{}n a 满足：()()()1*21131n n n n a a n n ++-+-=+∈N ，若121a a ==，则数列{}n a 的前20项和20S =___________.【答案】115-【解析】【分析】分别讨论*21,n m n m m =-=∈N 、，由累加法得2122m m a a ++、的通项，即可求20S .【详解】当*21,n m m =-∈N 时，()()()2212121212111321162m m m m m m a a a a m m -+-+--+-=-=-+=-，∴()()212121212331126121216121312m m m m m a a a a a a a a m m m m m m m m ++---=-+-++-+=+-+++-++=-+=++ ∴()()2221319312912910a a a +++=⨯++++++++ ；当*2,n m m =∈N 时，()()2122222221161m m m m m m a a a a m +++-+-=-+=+，即()22261m m a a m +-=-+，∴()()222222224222612116113412m m m m m a a a a a a a a m m m m m m m m ++-=-+-++-+=-+-+++-+-+=-+=--+ ∴()()22224203129412910a a a +++=-⨯+++-⨯++++ .故()22220131924203129(129)10S a a a a a a =+++++++=⨯++++++++ ()()2229(19)31294129103201152+-⨯+++-⨯++++=-⨯+=- 故答案为：115-四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为，120AOP ∠=o.（1）求证：AG BD ⊥；（2）求直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】【分析】（1）根据圆柱侧面积公式可求得母线长AD ，利用余弦定理可求得AP ，根据等腰三角形三线合一性质可证得AG DP ⊥；由AP BP ⊥，BP AD ⊥可证得BP ⊥平面ADP ，由线面垂直性质可得BP AG ⊥；利用线面垂直的判定和性质可证得结论；（2）取OB 中点E ，根据等腰三角形三线合一和线面垂直性质可证得PE ⊥平面ABD ，由线面角定义可知所求角为PDE ∠，根据长度关系可得结果.【小问1详解】由圆柱侧面积可知：2π4πOA AD AD ⋅⋅=⋅=，解得：AD =2OA OP ==，120AOP ∠=o，AP ∴=，AD AP ∴=，又G 为DP 中点，AG DP ∴⊥；AB 是圆O 的直径，AP BP ∴⊥；AD ⊥ 平面ABP ，BP ⊂平面ABP ，BP AD ∴⊥，又,AD AP ⊂平面ADP ，AD AP A = ，BP ∴⊥平面ADP ，AG ⊂ 平面ADP ，BP AG ∴⊥，又,BP DP ⊂平面BDP ，BP DP P = ，AG ∴⊥平面BDP ，BD ⊂Q 平面BDP ，AG BD ∴⊥.【小问2详解】取OB 中点E ，连接PE ，18060BOP AOP ∠=-∠= ，OB OP =，OBP ∴△为等边三角形，PE AB ∴⊥；AD ⊥ 平面ABP ，PE ⊂平面ABP ，PE AD ⊥∴；AB AD A =Q I ，,AB AD ⊂平面ABD ，PE ∴⊥平面ABD ，PDE ∴∠即为直线PD 与平面ABD 所成角，DP =，PE ==，2sin4PE PDE DP ∴∠==，即直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值为4.18.如图，P 为ABC 内的一点，BAP ∠记为α，ABP ∠记为β，且α、β在ABP 中的对边分别记为,,(2)sin cos m n m n ββ+=，π,0,3αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求APB ∠；（2）若1,2AB BP AC AP AP PC ===⊥，，求线段AP 和BC 的长.【答案】（1）2π3（2）1AP =，BC =【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理将(2)sin cos m n ββ+=化简为sin sin 3παβ⎛⎫=-⎪⎝⎭，再结合所给角的范围，即可求解.（2）利用余弦定理求出AP ，再结合AP PC ⊥150BPC ∠=︒，，利用余弦定理即可求出BC .【小问1详解】已知()2sin cos m n ββ+=，由正弦定理可得22sin sin sin cos αββββ+=，由sin 0β≠，31sin cos sin sin sin 223παββαβ⎛⎫∴=-⇒= ⎪⎝⎭，πππ,0,0,333αββ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，3παβ=-，233APB ππαβ+=⇒∠=.【小问2详解】在APB △中，由余弦定理得知：2222cos AB AP BP AP BP APB=+-⋅⋅∠即231+1AP AP AP =+⇒=又AP PC ⊥ ，且2AC AP PC =⇒=，又150BPC ∠=︒ ，在BPC △中，2222cos BC PB PC PB PC BPC =+-⋅⋅∠，2312BC BC =+⇒=19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点,(1,0)(1,2)A B -.（1）若直线l 过点B ，与圆C 相交于M N 、两点，且||MN =l 的方程；（2）圆C 上是否存在点P ，使得22||12||PA PB +=成立？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1x =或34110x y +-=（2）存在，两个【解析】【分析】(1)根据垂径定理可得圆心到直线l 的距离为1，然后利用点到直线的距离即可求解；(2)假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，利用题干条件得到点P 也满足22(1)4x y +-=，根据两圆的位置关系即可得出结果.【小问1详解】圆22:40C x y x +-=可化为22(2)4x y -+=，圆心为(2,0),2r =，若l 的斜率不存在时，1l x =：，此时||MN =.当l 的斜率存在时，设l 的斜率为k ，则令:2(1)l y k x -=-，因为||MN =1d ==314k =⇒=-，34110x y ∴+-=所以直线l 的方程为1x =或34110x y +-=.【小问2详解】假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，222222||||(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=，|22|22-<<+ ，22(2)4x y ∴-+=与22(1)4x y +-=相交，则点P 有两个.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nn n S a =-．（1）求证：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）设3(2)n nn b n a +=+，求证：1231n b b b b ++++< ．【答案】（1）证明见解析；()112n n a n -=+⋅（2）证明见解析【解析】【分析】(1)利用公式()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得到1122n n n a a --=+，可构造等差数列并求通项.(2)求出的通项，利用裂项相消求和证明不等式.【小问1详解】因为22n n n S a =-①，所以2n ≥时，11122n n n S a ---=-②，-①②得112222n n n n n a a a --=--+，即1122n n n a a --=+，2n ≥，所以111222n n n n a a ---=，2n ≥，在①式中，令1n =，得12a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项12为公差的等差数列．所以111(1)222n n a n n +=+-⋅=，所以()112n n a n -=+⋅．【小问2详解】）由121311(2)(1)2(1)2(2)2n n n n n b n n n n ---+==-++⋅+⋅+⋅，所以1230011211111(1()(3232424252n b b b b ++++=-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯ 2111111(1)2(2)2(2)2n n n n n n ---⎡⎤+-=-⎢⎥+⋅+⋅+⋅⎣⎦．因为110(2)2n n ->+⋅，所以1231n b b b b ++++< ，得证．21.在①2AE =，②AC BD ⊥，③EAB EBA ∠=∠，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.如图，在五面体ABCDE 中，已知，,//AC BC ED AC ⊥，且22,AC BC ED DC DB =====.（1）设平面BDE 与平面ABC 的交线为l ，证明：//l 平面ACDE ；（2）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（3）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于43，若存在，求BF BC的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）线段以上不存在点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343，理由见解析．【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理证线面平行//DE 平面ABC ，，再由线面平行的性质定理得线线平行//DE l ，从而再得证线面平行；（2）选①，取AC 中点G ，BC 中点,O AB 中点H ，连接,,EG DO OH ，由勾股定理证明AG EG ⊥，然后证明AC ⊥平面BCD ，从而得面面垂直，由面面垂直的性质定理得线面垂直，从而得线线垂直DO ⊥平面ABC ，又有OH BC ⊥，然后以O 为坐标原点，,,OD OH OB 为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法证明面面垂直；选②，先证明平面ABC ⊥平面BCD ，然后取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,DO OH ，证明DO ⊥平面ABC ，然后同选①，选③，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,,OD OH EH ，结合勾股定理证明BD DE ⊥，然后证明证明DO ⊥平面ABC ，再然后同选①；（3）设在线段BC 上存在点()()0,,011F t t -≤≤，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343，然后由空间向量法求二面角的余弦，求解t ，有解说明存在，无解说明不存在．【小问1详解】//DE AC ，AC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，//DE ∴平面ABC ，又DE ⊂ 平面BDE 且平面BDE ⋂平面=ABC l ，//DE l∴又DE ⊂ 平面ACDE ，l ⊄平面ACDE ，//l ⇒平面ACDE .【小问2详解】若选①，取AC 中点G ，BC 中点,O AB 中点H ，连接,,EG DO OH ，//ED AC ，12CG AC ED ==，∴四边形EDCG 为平行四边形，EG CD ∴∥，EG ∴=112AG AC ==，2AE =，222AG EG AE ∴+=，AG EG ∴⊥，又//CD EG ，AC CD ∴⊥，又AC BC ⊥，BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD = ，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.则以O 为坐标原点，,,OD OH OB 为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()2,1,0A -，()0,1,0B，(E ，()2,2,0AB ∴=-，(1,BE =- ，DO ⊥ 平面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量()0,0,1m = ；设平面ABE 的法向量()1111,,n x y z = ，则11111112200AB n x y BE n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令11x =，解得：11y =，10z =，()1=1,1,0∴ n ，10m n ∴⋅= ，即1m n ⊥ ，∴平面ABE ⊥与平面ABC .若选②，AC BD ^ ，AC BC ⊥，BC BD B = ，,BC BD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,DO OH ，BD CD = ，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.以下同选①；若选③，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,,OD OH EH ，DC BD ==DO BC ∴⊥，又2BC =，DO ∴=,O H 分别为,BC AB 中点，12OH AC ∴∥，又12ED AC ∥，OH ED ∴∥，∴四边形DEHO为平行四边形，EH DO ∴==AC BC ⊥，2AC BC ==，AB ∴=，12EH AB ∴=，AE BE ∴⊥，EAB EBA ∠=∠ ，2∴==BE AE ，222BD DE BE ∴+=，BD DE ∴⊥，又//DE AC ，AC BD ∴⊥，又AC BC ⊥，BC BD B = ，,BC BD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，又DO BC ⊥，DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.以下同选①；【小问3详解】设在线段BC 上存在点()()0,,011F t t -≤≤，使得平面AEF 与平面ABF夹角的余弦值等于43，由（2）得：(1,,EF t =-，(AE =- ，设平面AEF 的法向量()2222,,n x y z = ，则2222222200AE n x y EF n x ty ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令24y =，则())2221,1x t z t =+=-，())()221,1n t t ∴=+- ，∵面ABF 的法向量为(0,0,1)n = ，222cos ,43n n n n n n ⋅∴<>===⋅ ，化简得2417290t t -+=，21744291750∆=-⨯⨯=-<，方程无实数解，所以线段BC 上不存在点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343．22.已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x =-=（1）求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；（2）若()y f x =和()y g x =有公共点，（i ）当0a =时，求b 的取值范围；（ii ）求证：22e a b +>．【答案】（1）(1)1=-+y a x （2）（i）)b ∞∈+；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）求出(0)f '可求切线方程；（2）（i ）当0a =时，曲线()y f x =和()y g x =有公共点即为()2e ,0t s t bt t =-≥在[)0,+∞)b ∈+∞.（ii ）曲线()y f x =和()y g x =有公共点即00sin e 0x a x +=，利用点到直线的距离x ≥22e >e sin x x x +，从而可得不等式成立.【小问1详解】()e cos x f x a x '=-，故(0)1f a '=-，而(0)1f =，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为()()101y a x =--+即()11y a x =-+.【小问2详解】（i ）当0a =时，因为曲线()y f x =和()y g x =有公共点，故e x =设t =，故2x t =，故2e t bt =在[)0,+∞上有解，设()2e ,0t s t bt t =-≥，故()s t 在[)0,+∞上有零点，而()22e ,0t s t t b t '=->，若0b =，则()2e 0t s t =>恒成立，此时()s t 在[)0,+∞上无零点，若0b <，则()0s t '>在()0,+∞上恒成立，故()s t 在[)0,+∞上为增函数，而()010s =>，()()01s t s ≥=，故()s t 在[)0,+∞上无零点，故0b >，设()22e ,0t u t t b t =->，则()()2224e 0t u t t '=+>，故()u t 在()0,+∞上为增函数，而()00u b =-<，()()22e 10b u b b =->，故()u t 在()0,+∞上存在唯一零点0t ，且00t t <<时，()0u t <；0t t >时，()0u t >；故00t t <<时，()0s t '<；0t t >时，()0s t '>；所以()s t 在()00,t 上为减函数，在()0,t +∞上为增函数，故()()0min s t s t =，因为()s t 在[)0,+∞上有零点，故()00s t ≤，故200e 0t bt -≤，而2002e 0t t b -=，故220020e 2e 0t t t -≤即02t ≥，设()22e ,0t v t t t =>，则()()2224e 0t v t t '=+>，故()v t 在()0,+∞上为增函数，而2002e t b t =，故12b ≥=.（ii ）因为曲线()y f x =和()y g x =有公共点，所以e sin x a x -=有解0x ，其中00x ≥，若00x =，则100a b -⨯=⨯，该式不成立，故00x >.故00sin e 0x a x +=，考虑直线00sin e 0x a x +=，表示原点与直线00sin e 0x a x +=上的动点(),a b 之间的距离，x ≥0222200e sin x a b x x +≥+，下证：对任意0x >，总有sin x x <，证明：当2x π≥时，有sin 12x x π≤<≤，故sin x x <成立.当02x π<<时，即证sin x x <，设()sin p x x x =-，则()cos 10p x x '=-≤（不恒为零），故()sin p x x x =-在[)0,+∞上为减函数，故()()00p x p <=即sin x <成立.综上，sin x x <成立.下证：当0x >时，e 1x x >+恒成立，()e 1,0x q x x x =-->，则()e 10x q x '=->，故()q x 在()0,+∞上为增函数，故()()00q x q >=即e 1x x >+恒成立.下证：22e >e sin xx x+在()0,+∞上恒成立，即证：212e sin x x x ->+，即证：2211sin x x x -+≥+，即证：2sin x x ≥，而2sin sin x x x >≥，故2sin x x ≥成立.e x >，即22e a b +>成立.【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理，而多变量的不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目标不等式.。
2023-2024学年安徽省六安市裕安区新安中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省六安市裕安区新安中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是（ ） A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．标准差2．已知点P 在平面ABC 内，且对空间任意一点O ，若OP →=xOA →+14OB →−12OC →，则x 的值为（ ）A ．14B ．54C ．−14D ．−543．如图，在四面体OABC 中，点M 在棱OA 上，且满足OM ＝2MA ，点N ，G 分别是线段BC ，MN 的中点，则用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应为（ ）A ．OG →=13OA →+14OB →+14OC →B ．OG →=13OA →−14OB →+14OC →C ．OG →=13OA →−14OB →−14OC →D ．OG →=13OA →+14OB →−14OC →4．（多选）下列说法正确的是（ ）A ．直线y ＝ax ﹣2a +4（a ∈R ）必过定点（2，4）B ．直线y +1＝3x 在y 轴上的截距为1C ．直线x +√3y +1=0的倾斜角为120°D ．过点（﹣2，3）且垂直于直线x ﹣2y +3＝0的直线方程为2x +y +1＝05．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，M ，P 分别为棱AD ，CC 1，A 1D 1的中点，则B 1P 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．√3010B ．−15C ．√7010D ．156．如图，ABCD ﹣EFGH 是棱长为6的正方体，若AP →=16AB →+13AD →+56AE →，则点P 到直线CH 的距离为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．过定点A 的直线（a +1）x ﹣y +2＝0与过定点B 的直线x +（a +1）y ﹣5a ﹣2＝0交于点P （P 与A 、B 不重合），则△P AB 面积的最大值为（ ） A ．4B ．92C ．2D ．328．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，O 是AC 的中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面ACD 1所成的角为θ，则cos θ的取值范围是（ ） A ．[√23，√33] B ．[√23，√63] C ．[√34，√33] D ．[√33，√73] 二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．已知u →=(2，a +b ，a −b)(a ，b ∈R)是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，则（ ） A ．若l ∥α，则5a ﹣b +2＝0 B ．若l ∥α，则a ＝5，b ＝﹣1 C ．若l ⊥α，则5a ﹣b +2＝0D ．若l ⊥α，则a ＝5，b ＝﹣110．不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球．A 表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于3“，B 表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5”，则（ ） A ．P(A)=23 B ．P(B)=118 C ．P(A +B)=1318D ．事件A 与B 相互独立11．下列说法正确的是（ ）A ．“a ＝﹣1”是“直线a 2x ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相垂直”的充分不必要条件B ．直线x sin α+y +2＝0的倾斜角θ的取值范围是[0，π4]∪[3π4，π)C ．过（x 1，y 1），（x 2，y 2）两点的所有直线，其方程均可写为y−y 1y 2−y 1=x−x 1x 2−x 1D ．已知A （2，4），B （1，1），若直线l ：kx +y +k ﹣2＝0与线段AB 有公共点，则k ∈[−23，12] 12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，点P 满足CP →=λCD →+μCC →1，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列结论正确的是（ ）A ．当B 1P ∥平面A 1BD 时，B 1P 可能垂直CD 1B ．若B 1P 与平面CC 1D 1D 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π2C ．当λ＝μ时，|DP →|+|A 1P →|的最小值为√2+√52D ．当λ＝1时，正方体经过点A 1、P 、C 的截面面积的取值范围为[√62，√2] 三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，39，25，37，41，42，32，那么这组数据的第75百分位数为 ．14．经过点（3，﹣2）且在x 轴上的截距等于y 轴上截距的3倍的直线的方程为 ．15．已知向量AB →=(x ，1x ，x)(x ∈R)在向量AC →=(1，2，2)上的投影向量为λAC →，则实数λ的取值范围为 ．16．已知MN 是棱长为4的正四面体S ﹣ABC 的外接球的一条直径，点P 是该正四面体表面上的一点，则PM →⋅PN →的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC 三个顶点的坐标：A （1，2），B （5，0），C （3，4）． （1）求过点A 且与直线BC 平行的直线的方程； （2）求△ABC 中AB 边上的高所在直线的方程．18．（12分）设直线l 1的方程为（a +1）x +y +2﹣a ＝0，直线l 2的方程为4x +（a ﹣2）y ﹣16＝0，其中a ∈R ． （1）若直线l 1经过第二、三、四象限，求a 的取值范围； （2）若直线l 1∥l 2，求a 的值．19．（12分）面对某种新型冠状病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A 、B 、C 三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为：16，14，13．（1）求这种疫苗能被研制出的概率；（2）求至多有一个机构研制出这种疫苗的概率．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，且AB ＝BC ＝AP ＝3，AD ＝6．（1）求证：平面PCD ⊥平面P AC ；（2）若E 为PC 的中点，点M 在PB 上，且PM ＝2MB ，求点M 到平面ADE 的距离．21．（12分）如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面ABCD 的中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1=√2． （1）求证：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；（2）求平面OB 1C 和平面BB 1C 的夹角的正切值．22．（12分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，△SAD 是正三角形，且平面SAD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，P 为棱AD 的中点，四棱锥S ﹣ABCD 的体积为2√33．（1）若E 为棱SB 的中点，求证：PE ∥平面SCD ；（2）在棱SA 上是否存在点M ，使得直线SA 与平面PMB 所成角的正弦值为√217？若存在，求出点M的位置并给以证明；若不存在，请说明理由．2023-2024学年安徽省六安市裕安区新安中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是（ ） A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．标准差解：平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的统计量，故选项A 、B 、C 不正确； 标准差反映了数据分散程度的大小，所以标准差是描述一组数据离散程度的统计量，故选项D 正确． 故选：D ．2．已知点P 在平面ABC 内，且对空间任意一点O ，若OP →=xOA →+14OB →−12OC →，则x 的值为（ ）A ．14B ．54C ．−14D ．−54解：由点P 在平面ABC 内，可知PA →=λPB →+μPC →⇒OA →−OP →=λ(OB →−OP →)+μ(OC →−OP →)⇒OP →=−1λ+μ−1OA →+λλ+μ−1OB →+μλ+μ−1OC →， 又∵OP →=xOA →+14OB →−12OC →，∴{ μλ+μ−1=−12λλ+μ−1=14−1λ+μ−1=x ，得x =54．故选：B ．3．如图，在四面体OABC 中，点M 在棱OA 上，且满足OM ＝2MA ，点N ，G 分别是线段BC ，MN 的中点，则用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应为（ ）A ．OG →=13OA →+14OB →+14OC →B ．OG →=13OA →−14OB →+14OC →C ．OG →=13OA →−14OB →−14OC →D ．OG →=13OA →+14OB →−14OC →解：连接ON ，因为点N ，G 分别是线段BC ，MN 的中点，所以OG →=12OM →+12ON →=12×23OA →+12×12(OB →+OC →)，化简可得OG →=13OA →+14OB →+14OC →． 故选：A ．4．下列说法正确的是（ ）A ．直线y ＝ax ﹣2a +4（a ∈R ）必过定点（2，4）B ．直线y +1＝3x 在y 轴上的截距为1C ．直线x +√3y +1=0的倾斜角为120°D ．过点（﹣2，3）且垂直于直线x ﹣2y +3＝0的直线方程为2x +y +1＝0 解：对于选项A ：直线y ＝ax ﹣2a +4可化为y ＝a （x ﹣2）+4， 所以直线必过定点（2，4），故选项A 正确，对于选项B ：直线y +1＝3x ，令x ＝0得，y ＝﹣1，所以直线在y 轴上的截距为﹣1，故选项B 错误， 对于选项C ：直线x +√3y +1=0的斜率为−√33，所以直线的倾斜角为150°，故选项C 错误， 对于选项D ：直线x ﹣2y +3＝0的斜率为12，所以过点（﹣2，3）且垂直于直线x ﹣2y +3＝0的直线方程为y ﹣3＝﹣2（x +2），即2x +y +1＝0，故选项D 正确， 故选：AD ．5．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，M ，P 分别为棱AD ，CC 1，A 1D 1的中点，则B 1P 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．√3010B ．−15C ．√7010D ．15解：设正方体的棱长为2，以A 为坐标原点，AB ，AB ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 则B 1（2，0，2），P （0，1，2），M （0，1，0），N （2，2，1）， 所以B 1P →=(−2，1，0)，MN →=(2，1，1)， 故|cos ＜B 1P →，MN →＞|=|B 1P →⋅MN →||B 1P →||MN →|=√5×√6=√3010，所以B 1P 与MN 所成角的余弦值为√3010． 故选：A ．6．如图，ABCD ﹣EFGH 是棱长为6的正方体，若AP →=16AB →+13AD →+56AE →，则点P 到直线CH 的距离为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1解：以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则根据题意可得A （0，0，0），C （6，6，0），H （0，6，6）， B （6，0，0），D （0，6，0），E （0，0，6）， 又AP →=16AB →+13AD →+56AE →，∴P （1，2，5），∴CP →=(1，2，5)−(6，6，0)=(−5，−4，5)，CH →=(0，6，6)−(6，6，0)=(−6，0，6)， ∴CP →在CH →上的投影向量的长度为|CH →⋅CP →|CH →||=62=5√2，∴P 到直线CH 的距离为√CP →2−(5√2)2=√66−50=√16=4． 故选：A ．7．过定点A 的直线（a +1）x ﹣y +2＝0与过定点B 的直线x +（a +1）y ﹣5a ﹣2＝0交于点P （P 与A 、B 不重合），则△P AB 面积的最大值为（ ） A ．4B ．92C ．2D ．32解：直线（a +1）x ﹣y +2＝0化为y ＝（a +1）x +2，可知定点A （0，2）， 动直线x +（a +1）y ﹣5a ﹣2＝0化为a （y ﹣5）+x +y ﹣2＝0，令{y −5=0x +y −2=0，解得y ＝5，x ＝﹣3，可知定点B （﹣3，5）， 又（a +1）×1﹣1×（a +1）＝0，所以直线（a +1）x ﹣y +2＝0与直线x +（a +1）y ﹣5a ﹣2＝0垂直，P 为交点， ∴P A ⊥PB ，∴|P A |2+|PB |2＝|AB |2＝（0+3）2+（2﹣5）2＝18， ∴S △PAB=12|PA|⋅|PB|≤12⋅|PA|2+|PB|22=92，当且仅当|P A |＝|PB |＝3时，等号成立， 即△P AB 面积的最大值为92． 故选：B ．8．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，O 是AC 的中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面ACD 1所成的角为θ，则cos θ的取值范围是（ ） A ．[√23，√33] B ．[√23，√63] C ．[√34，√33] D ．[√33，√73] 解：以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则D （0，0，0），A （2，0，0），C （0，2，0），O （1，1，0），D 1（0，0，1），设P （a ，2﹣a ，1）（0≤a ≤2），则OP →=(a −1，1−a ，1)，AD 1→=(−2，0，1)，AC →=(−2，2，0)， 设平面ACD 1的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AD 1→=−2x +z =0n →⋅AC →=−2x +2y =0，令x ＝1，得n →=(1，1，2)， 所以sinθ=|n →⋅OP→|n →|⋅|OP →||=√6⋅√(a−1)+(1−a)+1=6√2(a−1)+1， 由于0≤a ≤2，∴√2(a −1)2+1∈[1，√3]，∴2∈[√33，1]， ∴sinθ=2√61√(a−1)+2∈[√23，√63]，∴sin 2θ∈[29，23]，∴1−sin 2θ∈[13，79]， 由于θ∈[0，π2]，所以cosθ=√1−sin 2θ∈[√33，√73]， 故选：D ．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．已知u →=(2，a +b ，a −b)(a ，b ∈R)是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，则（ ） A ．若l ∥α，则5a ﹣b +2＝0 B ．若l ∥α，则a ＝5，b ＝﹣1 C ．若l ⊥α，则5a ﹣b +2＝0D ．若l ⊥α，则a ＝5，b ＝﹣1解：l ∥α，则u →⊥n →，u →⋅n →=2+2(a +b)+3(a −b)=0， 即5a ﹣b +2＝0，A 正确，B 错误；l ⊥α，则u →∥n →，a−b 3=a+b 2=21，解得a ＝5，b ＝﹣1，C 错误，D 正确．故选：AD ．10．不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球．A 表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于3“，B 表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5”，则（ ） A ．P(A)=23 B ．P(B)=118 C ．P(A +B)=1318 D ．事件A 与B 相互独立解：根据题意，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球， 其结果有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、 （2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、 （3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、 （4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、 （5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共36个基本事件； 依次分析选项：对于A ，事件A 包括24个基本事件，则P （A ）=2436=23，A 正确； 对于B ，事件B 包含4个基本事件，则P （B ）=436=19，B 错误； 对于C ，事件A +B 包含26个基本事件，则P （A +B ）=2636=1318，C 正确； 对于D ，事件AB 包含2个基本事件，则P （AB ）=236=118，则P （AB ）≠P （A ）P （B ），D 错误． 故选：AC ．11．下列说法正确的是（ ）A ．“a ＝﹣1”是“直线a 2x ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相垂直”的充分不必要条件B ．直线x sin α+y +2＝0的倾斜角θ的取值范围是[0，π4]∪[3π4，π) C ．过（x 1，y 1），（x 2，y 2）两点的所有直线，其方程均可写为y−y 1y 2−y 1=x−x 1x 2−x 1D ．已知A （2，4），B （1，1），若直线l ：kx +y +k ﹣2＝0与线段AB 有公共点，则k ∈[−23，12] 解：对于A ，当a ＝﹣1时，两直线分别为x ﹣y +1＝0和x +y ﹣2＝0，此时两直线垂直，充分性成立；若两直线垂直，则a 2＝﹣1×（﹣a ），解得：a ＝0或a ＝﹣1，必要性不成立；∴“a ＝﹣1”是“直线a 2x ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相垂直”的充分不必要条件，A 正确； 对于B ，由直线x sin α+y +2＝0得：y ＝﹣sin α•x ﹣2， ∴直线的斜率k ＝﹣sin α∈[﹣1，1]，即tan θ∈[﹣1，1]， 又θ∈[0，π），∴θ∈[0，π4]∪[3π4，π)，B 正确； 对于C ，平行于坐标轴的直线，即x 1＝x 2或y 1＝y 2时，直线方程不能写为y−y 1y 2−y 1=x−x 1x 2−x 1，C 错误；对于D ，由l ：kx +y +k ﹣2＝0得：l ：（x +1）k +（y ﹣2）＝0，∴直线l 恒过定点C （﹣1，2）；∵k AC =4−22+1=23，k BC =2−1−1−1=−12， 结合图象可知：k ∈[k BC ，k AC ]，∴k ∈[−12，23]，D 正确． 故选：ABD ．12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，点P 满足CP →=λCD →+μCC →1，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列结论正确的是（ ）A ．当B 1P ∥平面A 1BD 时，B 1P 可能垂直CD 1B ．若B 1P 与平面CC 1D 1D 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π2C ．当λ＝μ时，|DP →|+|A 1P →|的最小值为√2+√52D ．当λ＝1时，正方体经过点A 1、P 、C 的截面面积的取值范围为[√62，√2]解：对于A 选项：建立如图所示的空间直角坐标系A ﹣xyz ，则A （0，0，0），B （1，0，0），D （0，1，0），C （1，1，0），A 1（0，0，1），C 1（1，1，1），D 1（0，1，1），所以CD 1→=（﹣1，0，1），B 1P →=B 1C →+CP →=B 1C →+λCD →+μCC 1→=（﹣λ，1，μ﹣1）， 则BA 1→=（﹣1，0，1），BD →=（﹣1，1，0），设平面A 1BD 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）， 所以{BA 1→⋅n →=−x +z =0BD →⋅n →=−x +y =0，令x ＝1，则y ＝z ＝1，即平面A 1BD 的一个法向量为n →=（1，1，1）， 若B 1P ∥平面A 1BD ，则n →•B 1P →=0，即λ＝μ，则当λ=μ=12时，B 1P →•CD 1→=λ+μ﹣1＝0，即P 为CD 1中点时，有B 1P ∥平面A 1BD ，且B 1P ⊥CD 1，故A 正确；B 选项：因为B 1C 1⊥平面CC 1D 1D ，连接C 1P ，则∠B 1PC 1即为B 1P 与平面CC 1D 1D 所成角， 若B 1P 与平面CC 1D 1D 所成角为π4，则tan ∠B 1PC 1=C 1PB 1C 1=1，所以C 1P ＝B 1C 1＝1， 即点 P 的轨迹是以C 1为圆心，以1为半径的14个圆，于是点 P 的轨迹长度为π2，故B 正确；C 选项：如图，将平面CD 1D 与平面BCD 1A 1沿CD 1展成平面图形， 线段A 1D 即为|DP →|+|A 1P →|的最小值，利用余弦定理可知A 1D 2＝A 1D 12+DD 12﹣2A 1D 1•DD 1•cos 3π4=2+√2，所以A 1D =√2+√2，故C 错误；D 选项：正方体经过点A 1、P 、C 的截面为平行四边形A 1PCH ， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A ﹣xyz ， 则A （0，0，0），C （1，1，0），A 1（0，0，1），P （0，1，t ），所以PC →=（1，0，﹣t ），A 1C →=（1，1，﹣1），PC →⋅A 1C →=1+t ，|PC →|=√1+t 2，|A 1C →|=√3，所以点P 到直线A 1C 的距离为d =√|PC →|2−(PC →⋅A 1C →|A 1C|)2=√1+t 2−(1+t √3)2=√2t 2−2t+23， 于是当t =12时，△P A 1C 的面积取最小值，此时截面面积为√62； 当t ＝0时或1时，△P A 1C 的面积取最大值，此时截面面积为√2，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，39，25，37，41，42，32，那么这组数据的第75百分位数为 40 ．解：将得分从小到大排列有25，29，30，32，37，39，41，42， 由8×75%＝6， 故第75百分位数为39+412=40．故答案为：40．14．经过点（3，﹣2）且在x 轴上的截距等于y 轴上截距的3倍的直线的方程为 2x +3y ＝0或x +3y +3＝0 ．解：当直线的截距都是零，即直线过原点时，可设其方程为y ＝kx ， 代入点（3，﹣2）得−2=3k ⇒y =−23x ⇒2x +3y =0，当直线截距不为零时，设该直线在y 轴上截距为b ，则其在x 轴上的截距为3b ， 可设该直线方程为x 3b+y b=1，代入点（3，﹣2）得33b+−2b=1⇒b =−1，即−x 3−y =1⇒x +3y +3=0． 故答案为：2x +3y ＝0或x +3y +3＝0．15．已知向量AB →=(x ，1x ，x)(x ∈R)在向量AC →=(1，2，2)上的投影向量为λAC →，则实数λ的取值范围为 (−∞，−2√69]∪[2√69，+∞) ．解：由已知x ≠0，则向量AB →在向量AC →上的投影向量为 |AB →|×〈AB →，AC →〉⋅AC →|AC →|=|AB →|×AB →⋅AC→|AB →|⋅|AC →|⋅AC→|AC →|=AB →⋅AC →|AC →|⋅AC →|AC →|=λAC →，所以λ=AB →⋅AC→|AC →|2=x+2x +2x 9=3x+2x9， 当x ＜0时，λ=3x+2x9=−−3x+2−x 9≤−2√−3x×2−x 9=−2√69， 当且仅当−3x =2−x 即x =−√63等号成立，当x ＞0时，λ=3x+2x 9≥2√3x×2x 9=2√69，当且仅当3x =2x即x =√63等号成立；则实数λ的取值范围(−∞，−2√69]∪[2√69，+∞)． 故答案为：(−∞，−2√69]∪[2√69，+∞)．16．已知MN 是棱长为4的正四面体S ﹣ABC 的外接球的一条直径，点P 是该正四面体表面上的一点，则PM →⋅PN →的取值范围为 [−163，0] ． 解：设正四面体S ﹣ABC 的外接球球心为O ，外接球半径为R ，内切球半径为r ，作SH ⊥平面ABC 于H ，则H 为等边△ABC 的中心，所以AH ＝2√3×23=4√33，SH =√SA 2−AH 2=√42−(433)2=4√63， 由{SH =OS +OH =R +r =4√63AH =√OA 2−OH 2=√R 2−r 2=4√33，解得{R =√6r =√63， 所以OP ∈[√63，√6]， 所以PM →⋅PN →=（PO →+OM →）•（PO →+ON →）＝（PO →+OM →）•（PO →−OM →）=|PO →|2−|OM →|2=|PO →|2−R 2=|PO →|2−6∈[−163，0]， 即PM →⋅PN →的取值范围为[−163，0]． 故答案为：[−163，0]． 四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC 三个顶点的坐标：A （1，2），B （5，0），C （3，4）． （1）求过点A 且与直线BC 平行的直线的方程； （2）求△ABC 中AB 边上的高所在直线的方程． 解：（1）易知k BC =0−45−3=−2， 所以过点A 且与直线BC 平行的直线的方程为y ﹣2＝﹣2（x ﹣1）， 即2x +y ﹣4＝0； （2）易知k BA =0−25−1=−12， 所以AB 边上的高所在直线的斜率为2，所以AB 边上的高所在的直线方程为y ﹣4＝﹣2（x ﹣3）， 即2x +y ﹣2＝0．18．（12分）设直线l 1的方程为（a +1）x +y +2﹣a ＝0，直线l 2的方程为4x +（a ﹣2）y ﹣16＝0，其中a ∈R ．（1）若直线l 1经过第二、三、四象限，求a 的取值范围； （2）若直线l 1∥l 2，求a 的值．解：（1）由直线l 1过二，三，四象限，可知直线l 1斜率为负，且在纵轴上的截距为负， 即{−(a +1)＜0−(2−a)＜0，解得﹣1＜a ＜2，所以a ∈（﹣1，2）；（2）因为l 1∥l 2，所以（a +1）（a ﹣2）＝4，且﹣16（a +1）≠4（2﹣a ），解得a ＝3．19．（12分）面对某种新型冠状病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A 、B 、C 三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为：16，14，13．（1）求这种疫苗能被研制出的概率；（2）求至多有一个机构研制出这种疫苗的概率．解：（1）记“A 机构在一定时期研制出疫苗”为事件D ，“B 机构在一定时期研制出疫苗”为事件E ，“C 机构在一定时期研制出疫苗”为事件F ，显然事件D ，E ，F 相互独立，且P(D)=16，P(E)=14，P(F)=13， 设能研制出疫苗为事件M ，其对立事件是都没有研制出疫苗的事件， 则P(M)=1−P(DEF)=1−P(D)P(E)P(F)=1−(1−16)(1−14)(1−13)=712， 所以他们能研制出疫苗的概率是712；（2）至多有一个机构研制出疫苗的事件为N ，则P(N)=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)+P(DEF) =56×34×23+16×34×23+56×14×23+56×34×13=6172， 所以至多有一个机构研制出疫苗的概率是6172．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，且AB ＝BC ＝AP ＝3，AD ＝6．（1）求证：平面PCD ⊥平面P AC ；（2）若E 为PC 的中点，点M 在PB 上，且PM ＝2MB ，求点M 到平面ADE 的距离．证明：（1）作CF ⊥AD ，垂足为F ，如图，由题意可知：AF ∥BC ，AF ＝BC ＝AB ，且AB ⊥BC ，则四边形ABCF 为正方形， 所以CF ＝AF ＝DF ＝3，CD =√CF 2+DF 2=3√2，又因为AC =√AB 2+BC 2=3√2，可知AC 2+CD 2＝AD 2，即AC ⊥CD ， 因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，因为AC ∩P A ＝A ，AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，所以CD ⊥平面P AC ， 又因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面P AC ；解：（2）以点A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），P （0，0，3），C （3，3，0），B （3，0，0），D （0，6，0），E(32，32，32)，则AP →=(0，0，3)，AD →=(0，6，0)，AE →=(32，32，32)，PM →=23PB →=(2，0，−2)，AM →=AP →+PM →=(2，0，1)，设平面AED 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AE →=32x +32y +32z =0n →⋅AD →=6y =0， 令z ＝1，则x ＝﹣1，y ＝0，可得平面AED 的一个法向量为n →=(−1，0，1)，设点M 到平面ADE 的距离为d ，则d =|AM →⋅n →||n →|=|−2+1|√2=√22，所以点M 到平面ADE 的距离为√22．21．（12分）如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面ABCD 的中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1=√2． （1）求证：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；（2）求平面OB 1C 和平面BB 1C 的夹角的正切值．（1）证明：因为A 1O ⊥平面ABCD ，且BD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以A 1O ⊥BD ，A 1O ⊥AC ，因为四边形ABCD 为正方形，AB =√2， 所以AC ⊥BD ，且AC ＝2，又因为A 1O ∩AC ＝O ，所以BD ⊥平面A 1AC ， 因为A 1C ⊂平面A 1AC ，故BD ⊥A 1C ，因为在△A 1AC 中，A 1O ⊥AC ，O 为AC 的中点，所以A 1A =A 1C =√2，则A 1A 2+A 1C 2=AC 2，即A 1C ⊥A 1A ， 又因为A 1A ∥BB 1，所以A 1C ⊥BB 1，又BD ⊂平面BB 1D 1D ，且BB 1⊂平面BB 1D 1D ，且BD ∩BB 1＝B ， 所以A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；（2）解：因为OA ，OB ，OA 1两两垂直，则以O 为原点，分别以向量OA →，OB →，OA 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示：∵AB =AA 1=√2，∴OA ＝OB ＝OA 1＝1， ∴A （1，0，0），B （0，1，0），D （0，﹣1，0）， A 1（0，0，1），C （﹣1，0，0），由AB →=A 1B 1→=(−1，1，0)，可得B 1（﹣1，1，1）， 则OB 1→=(−1，1，1)，OC →=(−1，0，0)， 设平面OCB 1的一个法向量为m →=(x ，y ，z)， 则{m →⊥OB 1→m →⊥OC→，得{−x +y +z =0−x =0，取y ＝1，得m →=(0，1，−1)，设平面BB 1C 1C 的一个法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)， 又CB →=(1，1，0)，CB 1→=(0，1，1)， 则{n →⊥CB→n →⊥CB 1→，得{x 1+y 1=0y 1+z 1=0， 取y 1＝﹣1，得n →=(1，−1，1)，所以cos〈m →，n →〉=m →⋅n→|m →||n →|=−√63，∴平面OB 1C 和平面BB 1C 的夹角的余弦值为√63， 夹角的正弦值为√33， ∴平面OB 1C 和平面BB 1C 的夹角的正切值为√22． 22．（12分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，△SAD 是正三角形，且平面SAD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，P 为棱AD 的中点，四棱锥S ﹣ABCD 的体积为2√33．（1）若E 为棱SB 的中点，求证：PE ∥平面SCD ；（2）在棱SA 上是否存在点M ，使得直线SA 与平面PMB 所成角的正弦值为√217？若存在，求出点M 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由．（1）证明：如图，取SC 中点F ，连接EF ，FD ， ∵E ，F 分别为SB ，SC 的中点， ∴EF ∥BC ，EF =12BC ，∵底面四边形ABCD 是矩形，P 为棱AD 的中点， ∴PD ∥BC ，PD =12BC ， ∴EF ∥PD ，EF ＝PD ，故四边形PEFD 是平行四边形，所以PE ∥FD ， 又FD ⊂平面SCD ，PE ⊄平面SCD ， ∴PE ∥平面SCD ．（2）假设在棱SA 上存在点M 满足题意，在等边△SAD 中，P 为AD 的中点，所以SP ⊥AD ，又平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SP ⊂平面SAD ， ∴SP ⊥平面ABCD ，则SP 是四棱锥S ﹣ABCD 的高， 设AD ＝m （m ＞0），则SP =√32m ，矩形ABCD 的面积S 1＝m ，∴V S−ABCD =13S 1⋅SP =13m ×√32m =2√33，所以m ＝2，以点P 为原点，PA →，PS →的方向分别为x ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，第21页（共21页） 则P(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，S(0，0，√3)， 故PA →=(1，0，0)，PB →=(1，1，0)，AS →=(−1，0，√3)， 设AM →=λAS →=(−λ，0，√3λ)(0≤λ≤1)， PM →=PA →+AM →=(1−λ，0，√3λ)，设平面PMB 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{n →⋅PM →=(1−λ)x +√3λz =0n →⋅PB →=x +y =0，令x =√3λ，得y =−√3λ，z =λ−1，则n →=(√3λ，−√3λ，λ−1)． 由题意可得|cos ＜AS →，n →＞|=|AS →⋅n →||AS →|⋅|n →|=|−3λ+3(λ−1)|2√3λ+3λ+(λ−1)2=32√7λ−2λ+1=√217， 整理得28λ2﹣8λ﹣3＝0，解得λ=12或λ=−314，又因为0⩽λ⩽1，所以λ=12，故存在点M ，位于AS 的中点处满足题意．。
人教版数学高三期中测试精选(含答案)8
【答案】A
9．设 a, b, c 是互不相等的整数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A．| a b || a c | | b c |
C．
|
a
b
|
a
1
b
2
B． a2
1 a2
a
1 a
D． a 3 a 1 a 2 a
【来源】上海市上海中学 2018-2019 学年高三上学期期中数学试题
x [2, 4] ，不等式 f (x) t 2 恒成立，则 t 的取值范围为__________．
【来源】山东省菏泽一中、单县一中 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（文)试
题 【答案】 (,10]
2x y 1 0,
12．设关于
x
，
y
的不等式组
x m 0,
表示的平面区域为 D ，若存在点
【答案】（1）见解析;(2) 2- n 2 n n2
2n
2
7x 5y 23 0
30．已知
x，y
满足条件：
x
7
y
11
0
，求：
4x y 10 0
（1） 4x 3y 的最小值； x y 1
（2） x 5 的取值范围.
【来源】上海市上海中学 2015-2016 学年高二上学期期中数学试卷
an
2n
的前
n
项和
Sn
．
【来源】江西省抚州市临川一中 2019-2020 届高三上学期第一次联合考试数学（文科)
试题
【答案】（1） an
1 2
n
；（2）
Sn
2n1
n2
n
2
.
34．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ， a2 a8 82 ， S41 S9 .
2023-2024学年安徽省六安市金安区汇文中学八年级(上)第二次月考数学试卷+答案解析
2023-2024学年安徽省六安市金安区汇文中学八年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，若点A的坐标是，则点A所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.函数中，自变量x的取值范围是()A. B. C. D.3.下列四个图形中，画出的边AB上的高的是()A. B.C. D.4.下面是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D、E分别是AB，AC的中点，DM、EM是连接弹簧和伞骨的支架，且，则判定“≌”的依据是()A.角边角B.角角边C.边边边D.边边角5.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成6cm和12cm两部分，则等腰三角形的腰长为()A.4cm或8cmB.4cmC.8cmD.2cm或10cm6.下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是()A.，B.，C.，D.，7.如图，在中，AD为高，AE平分，，，则的度数为()A.B.C.D.8.下列图中，表示一次函数与正比例函数其中a、b为常数，且的大致图象，其中表示正确的是()A. B.C. D.9.2023年5月21日，“锦绣太原激情太马”2023太原马拉松赛成功举行，万名选手沿汾河岸畔同场竞技，畅跑魅力并州.如图是甲、乙两人从起点出发一段时间内路程与时间的关系，则下列说法正确的是()A.在这段时间内，甲的平均速度为B.在这段时间内，乙的平均速度为C.在这段时间内，甲休息了D.出发时两人相遇10.如图所示，已知和都是等边三角形，且ABD三点在同一直线上.则下列结论：①；②；③；④BH平分；⑤其中正确的有()A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.当时，一次函数的最小值为，则______.12.如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C是第二象限内一点，为等腰直角三角形且，则直线BC的解析式为______.13.如图，在中，，，，，则______.14.如图，在中，CE平分，BD平分，CE，BD相交于点O，点F是BE上一点，且满足若，，则______.若，，，则______.三、解答题：本题共9小题，共90分。
安徽省六安市数学高二上学期文数月考试卷
安徽省六安市数学高二上学期文数月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 高二上·田阳月考) 命题 ：若，则；命题 ：．则（ ）A . “ 或 ”为假B . “ 且 ”为真C. 真 假D. 假 真2. （2 分） 已知 a、b、c、d∈R＋ ， 且 a+d=b+c，│a-d│<│b-c│，则（ ）A . ad=bcB . ad<bcC . ad>bcD . ad≤bc3. （2 分） 设椭圆 的离心率为 ， 焦点在 x 轴上且长轴长为 30。
若曲线 上的点到椭圆 的两个焦点 的距离的差的绝对值等于 10，则曲线 的标准方程为（ ）A.B.C.D.4. （2 分） (2019 高一下·诸暨期中) 在等差数列 （）中，已知第 1 页 共 12 页则等于A . 40 B . 43 C . 42 D . 455. （ 2 分 ） (2019 高 三 上 · 东 莞 期 末 ) 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 （）中，若，则A.6 B.7 C.8 D.9 6. （2 分） 已知直线 l，m，平面 α，β 满足 l⊥α，m⊂ β，则“l⊥m”是“α∥β”的（ ） A . 充要条件 B . 充分不必要条件 C . 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件7. （2 分） (2019 高一下·浙江期中) 设实数 x，y 满足 A . 1．5 B.2 C.5 D.6，则 x+2y 的最小值为（ ）8. （2 分） 已知点 G 是△ABC 的重心，且 AG⊥BG，+=，则实数 λ 的值为（ ）第 2 页 共 12 页A. B. C.3 D.2 9. （2 分） (2012·天津理) 已知实数， 则 M 的最小值为（ ）A.B.2C.4D.110. （2 分） 函数 f（x）=x2﹣2ax+a 在区间（﹣∞，1）上有最小值，则 a 的取值范围是（ ）A . a＜1B . a≤1C . a＞1D . a≥111. （2 分） (2018 高二上·福州期末) 抛物线物线上的两个动点，且满足．过弦（ ＞ ）的焦点为 ，已知点 ， 为抛的中点 作抛物线准线的垂线，垂足为 ，则的最大值为（ ） A.2B. C.1第 3 页 共 12 页D.12. （2 分） (2019 高二下·丽水期末) 若动圆 则动圆 C 必过一个定点，该定点坐标为（ ）的圆心在抛物线A.B.C.上，且与直线相切，D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高三上·宁德月考) 已知函数在点处的切线方程为________.14. （1 分） (2019 高二下·杭州期中) 已知圆，圆心 在曲线上.则 ab=________，直线被圆 所截得的长度的取值范围是________．15. （1 分） (2020·徐州模拟) 已知等比数列且,则 的值是________．的前 n 项和为 ,若,,成等差数列,16. （1 分） (2017·山东模拟) 已知抛物线 y2=4x 的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于 A、B 两点，点 F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是________．三、 解答题 (共 6 题；共 52 分)17. （10 分） (2019 高二上·安平月考) 已知函数.（1） 求的单调递减区间；（2） 若对于恒成立，求 的取值范围．18. （10 分） (2019 高一下·嘉兴期中) 在等差数列 中，公差，且（1） 求数列 的通项公式；第 4 页 共 12 页，．（2） 令，求数列 的前 项和 ．19. （10 分） (2017 高二上·越秀期末) 如图，已知椭圆 C：=1（a＞b＞0）的离心率为椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N．，以（1） 求椭圆 C 的方程；（2） 求的最小值，并求此时圆 T 的方程；（3） 设点 P 是椭圆 C 上异于 M，N 的任意一点，且直线 MP，NP 分别与 x 轴交于点 R，S，O 为坐标原点，求证： |OR|•|OS|为定值．20. （10 分） 已知数列 的前 项和为 ，且满足（且）Ⅰ当，时，求数列 的前 项和 ：Ⅱ 若 是等比数列，证明： 21. （2 分） (2020·茂名模拟) 在.（Ⅰ）求角 的大小；（Ⅱ）求的取值范围.． 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知22. （10 分） (2018 高三上·酉阳期末) 已知，，动点 P 满足，其中分别表示直线的斜率，t 为常数，当 t=-1 时，点 P 的轨迹为 ；当时，点 P 的轨迹为 ．（1） 求 的方程；第 5 页 共 12 页（2） 过点的直线与曲线是否存在这样的直线 l，使得顺次交于四点，且，，成等差数列？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．第 6 页 共 12 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、参考答案14-1、第 7 页 共 12 页15-1、16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 52 分)17-1、17-2、18-1、 18-2、 19-1、第 8 页 共 12 页19-2、第 9 页 共 12 页19-3、第 10 页 共 12 页20-1、21-1、22-1、22-2、。
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安徽省六安市第一中学2017-2018学年高二9月月考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知数列是公差为1的等差数列，为的前项和，若，是（）A. B. C. 10 D. 12【答案】B【解析】试题分析：由得，解得.考点：等差数列.2. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】B【解析】试题分析：该数列为等差数列，且，即，解得.考点：等差数列，数学文化.3. 在等差数列中，若，则的值为（）A. 20B. 22C. 24D. 28【答案】C.....................4. 在中，内角所对的边分别为，若的面积为，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，代入上式可得，即，因为，所以，所以，所以，故选C.考点：三角的面积公式；余弦定理；同角三角函数的基本关系式.5. 已知在中.若的解有且仅有一个，则满足的条件是（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】已知在中，，要使的解有且仅有一个，即三角形形状唯一，有两种情况：①为直角三角形；②为钝角三角形，若为直角三角形，，可得，此时；若为钝角三角形，可得，综上，或，故选D.6. 在中，内角所对的边分别为，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意设，，则，，，∴由余弦定理可得，∴由正弦定理可得，故选：A．考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理．7. 已知等差数列的前项和为，若三点共线，为坐标原点，且（直线不过点），则等于（）A. 20B. 10C. 40D. 15【答案】B【解析】∵M、N、P三点共线，O为坐标原点，且（直线MP不过点O），∴a6+a15=1，∴a1+a20=1，∴.本题选择B选项.8. 已知等差数列的前项和为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：本题是关于等差数列前项和公式应用的题，关键是掌握等差数列的性质。
首先设等差数列的公差为,根据等差数列的通项公式得出,则是常数。
接下来根据等差数列的前项和公式分别表示出各选项中的结果，结合是常数惊醒判断即可。
试题解析：设等差数列的公差为,则,的值是常数，是常数。
由得不是常数；,则不是常数：,则是常数：,不是常数故选C9. 已知数列满足，则使成立的最大正整数的值为（）A. 198B. 199C. 200D. 201【答案】C【解析】因为，所以，即该数列是周期为的周期数列，且每个周期内的三个数的和定值为，所以当时，，当时，，当时，，当时，，应选答案A。
点睛：解答本题的方法是借助题设中提供的四个选择支，运用筛选验证的方法进行分析验证，最终选出适合问题题设条件的答案。
10. 在中，，若，则面积的最大值是（）A. B. 4 C. D.【答案】D【解析】∵，由，，得，∴．又，∵，∴，∴当时，取得最大值，∴面积的最大值为，故选D．11. 已知数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】数列满足，，，，由此猜想，故选A.【方法点睛】本题通过观察数列的前几项，归纳出数列通项来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.12. 在中，内角所对的边分别为，已知，是线段上一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得解得。
又因为，可得，，得填B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在中边的对角是，若已知则角．【答案】【解析】试题分析：先根据正弦定理找到角与边的关系，即用角的正弦表示出边，然后再用余弦定理可求出角的余弦值。
试题解析：根据正弦定理设,,,由余弦定理故答案角点睛：在解三角形的题目中运用正弦定理、余弦定理边角互化，将角化边，再利用余弦定理求出角。
14. 设是等差数列，首项，则使前项和成立的最大整数是．【答案】4032【解析】试题分析：是等差数列，首项,,可得：公差,再利用等差数列的前项和其性质即可得出。
试题解析：是等差数列，首项,,,, 公差则使前项和成立的最大整数是4032点睛：根据等差数列的性质求得，转化为和的形式求出最大整数。
15. 在中，,是边上的一点，，的面积为 1，则边的长为．【答案】【解析】试题分析：因为，，在中，由余弦定理可得，，在中，，由正弦定理可得。
考点：正余弦定理16. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，，为整数的正整数的取值集合为．【答案】9；【解析】试题分析：由等差数列的性质和求和公式可得，可得的取值。
试题解析：即或或或n,从而n即集合为故为整数的正整数的取值集合为点睛：等差数列中可以推导出，通项与和之间的关系，代入即可。
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 等差数列的前项和为，若（1）求数列的通项公式和前项和；（2）求数列的前24项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由，可求出，即可求出等差数列的通项公式和前项和；（2）将代人到中即可求出前24项和.试题解析：（1）由题得∴，（2）当时，，当时，∴方法二：∵,,,∴18. 设函数，正项数列满足，且 . （1）求数列的通项公式；（2）对，求.【答案】(1) ;(2).【解析】试题分析：（1）根据已知条件可以推知数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以由等差数列的通项公式可得结果；（2）由（1）可知，利用“裂项相消法”求和即可得结果.试题解析：（1）由，所以，，且∴ 数列是以1为首项，以为公差的等差数列∴（2）由（1）可知]【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19. 已知分别是角的对边，满足（1）求的值；（2）的外接圆为圆(在内部)，，判断的形状，并说明理由.【答案】(1) ;(2) 为等边三角形.【解析】试题分析：（I）根据正弦定理把化成边的关系可得，约去，即可求得；（II）设中点为，故,圆的半径为,由正弦定理可知,所以,再根据余弦定理求得，据此判断出三角形性质.试题解析：（I）由正弦定理可知,, 则,,可得.（II）记中点为，故,圆的半径为,由正弦公式可知,故,由余弦定理可知,, 由上可得,又,则,故为等边三角形.考点：正弦定理、余弦定理解三角形.20. 如图，在四边形中，.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）内根据余弦定理，求边长,和,再根据正弦定理求;（Ⅱ）根据面积公式需求,而,最后再根据三角形的面积公式.试题解析：（1）由，可设，．又∵，，∴由余弦定理，得，解得，∴，，…4分由正弦定理，得．（2）由（1）得…7分因为所以又因为,所以考点：1.正余弦定理；2.解三角形.21. 已知数列中，，数列满足.（1）求证:数列是等差数列，并写出的通项公式；（2）求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项.【答案】(1)证明见解析; (2) ；.【解析】试题分析：(Ⅰ)首先通过已知条件化简变形，凑出这种形式，凑出常数，就可以证明数列是等差数列，并利用等差数列的通项公式求出通项公式；（Ⅱ）因为与有关，所以利用的通项公式求出数列的通项公式，把通项公式看成函数，利用函数图像求最大值和最小值.试题解析：（Ⅰ）∵，∴，∴，∴，∴数列是以1为公差的等差数列. 4分∵，∴，又∵，，∴是以为首项，为公差的等差中项.∴，. 7分（Ⅱ）∵，，.∴作函数的图像如图所示：∴由图知，在数列中，最大项为，最小项为. 13分另解：，当时，数列是递减数列，且.列举；；.所以在数列中，最大项为，最小项为.考点：1.等差数列的证明方法；2.利用函数图像求数列的最值.22. 如图所示，扇形，圆心角等于，半径为2，在弧上有一动点，过引平行于的直线和交于点，设，求面积的最大值及此时的值.【答案】时，取得最大值为.【解析】试题分析：根据题设条件，得，在中，由正弦定理得，得出，根据三角形的面积公式，即可求解面积的最值．试题解析：∵，∴，，在中，由正弦定理得，即，∴，又∵，∴，∴的面积为，∴当时，的面积取得最大值．考点：正弦定理；三角形的面积公式以及三角函数的性质．。