高考专题复习：圆周运动(可编辑修改word版)

10 5
2 6gL
1、如图所示，在倾角 α＝30°的光滑斜 面上，有一根长为 L ＝0.8 m 的细绳，一端固定在 O 点，另一端系一质量为 m ＝02. kg 的小球，小球沿斜面做圆周运动．若要小球能通过最高点 A ，则小球在最低点 B 的最小速度是 ( )
A ．2 m/s
B ．2 m/s
C ．2 m/ s
D ．2 m/s 3、如图所示，质量 m=0.1kg 的小球在细绳的拉力作用下在竖直面内做半径为 r=0.2m 的
圆周运动，已知小球在最高点的速率为 v =2m/s ，g 取 10m/s 2，试求：
（1） 小球在最高点时的细绳的拉力 T 1=？
（2）小球在最低点时的细绳的拉力 T 2=？
1、半径为 R = 0.5m 的管状轨道，有一质量为 m = 3.0kg 的小球在管状轨道内部做圆周运动，
通过最高点时小球的速率是2m / s ， g = 10m / s 2 ，则（
）
A. 外轨道受到24N 的压力
B. 外轨道受到6N 的压力
C. 内轨道受到24N 的压力
D. 内轨道受到6N 的压力
2、如图所示,轻杆的一端有一个小球,另一端有光滑的固定轴 O,现给球一初速度,使球和杆一起绕 O 轴在竖直面内转动,不计空气阻力,用 F 表示球到达最高点时杆对小球的作用力,则 F ( )
A.一定是拉力
B.一定是推力
C.一定等于零
D.可能是拉力,可能是推力,也可能等于零
2、如图所示,小球 A 质量为 m ，固定在轻细直杆 L 的一端,并随杆一起绕杆的另一端 O 点在竖直平面内做圆周运动。

如果小球经过最高位置时,杆对球的作用力为拉力,拉力大小等于球的重力。

求：(1)球的速度大小。

(2) 当小球经过最低点时速度为
，杆对球的作用力大小和球的向心加速度大小。

1、图所示的圆锥摆中，小球的质量 m=50g ，绳长为 1m ，小球做匀速运动的半径 r=0.2m ，求：
（1） 绳对小球的拉力大小。

（2） 小球运动的周期 T 。

4．(2009·广东高考)如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴 OO ′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为 R 和 H ，筒内壁 A 点的高度为筒高的一半．内壁上有一质量为 m 的小物块．求：
(1) 当筒不转动时，物块静止在筒壁 A 点受到的摩擦力和支持力的大小；
(2) 当物块在 A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．
5、有一种叫“飞椅”的游乐项目,示意图如图所示,长为 L 的钢绳一端系着座椅,另一端固定在半径为 r 的水平转盘边缘.转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时,钢绳与转轴在同一竖直平面内,与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力,求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.
1、质量是 1×103kg 的汽车驶过一座拱桥，已知桥顶点桥面的圆弧半径是 90m ，g=10m/s 2。

F 合
F N
2 F
θ
求：（1 )汽车以 15 m/s 的速度驶过桥顶时，汽车对桥面的压力；
（2）汽车以多大的速度驶过桥顶时，汽车对桥面的压力为零？
如图 5 所示，火车在平直的轨道上转弯，将挤压外轨，由外轨给火车的弹力提供火车转弯所需的向心力，这样久而久之，将损坏外轨。

F N G
图 5 图 6
1、铁路转弯处的弯道半径 r 是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差 h 的设计不仅与 r 有关， 还与火车在弯道上的行驶速率 v 有关．下列说法正确的是( )
A ．v 一定时，r 越小则要求 h 越大
B ．v 一定时，r 越大则要求 h 越大
C ．r 一定时，v 越小则要求 h 越大
D ．r 一定时，v 越大则要求 h 越大
2、随着经济的持续发展，人民生活水平的不断提高，近年来我国私家车数量快速增长，高级和一级公路的建设也正加
速进行．为了防止在公路弯道部分由于行车速度过大而发生侧滑，常将弯道部分设计成外高内低的斜面．如果某品牌汽车的质量为 m ，汽车行驶时弯道部分的半径为 r ，汽车轮胎与路面的动摩擦因数为 μ，路面设计的倾角为 θ，如图 10 所示．(重力加速度 g 取 10 m/s 2
)(1)为使汽车转弯时不打滑，汽车行驶的最大速度是多少？
1
(2) 若取 sin θ＝ ，r ＝60 m ，汽车轮胎与雨雪路面的动摩擦因数为 μ＝0.3，则弯道
部分汽车行驶的最大速度是多少？
1、如图所示，光滑的水平圆盘中心 O 处有一个小孔，用细绳穿过小孔，绳两端各细一个小球 A 和 B ，两球质量相等，圆盘上的 A 球做半径为 r=20cm 的匀速圆周运动，要使 B 球保持静止状态， 求：A 球的角速度 ω 应是多大？
B
2、如图所示，用细绳一端系着的质量为 M =0.6kg 的物体 A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔 O 吊着质量为 m =0.3kg 的小球 B ，A 的重心到 O 点的距离为 0.2m ．若 A 与转盘间的最大静摩擦力为 f =2N ，为使小球 B 保持静止，求转盘绕中心 O 旋转的角速度ω的取值范围．（取 g =10m/s 2）
3、汽车与路面的动摩擦因数为 ，公路某转弯处半径为 R （设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），
O
A
问：
（1）若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不能超过多少？
（2）若将公路转弯处路面设计成外侧高、内侧低，使路面与水平面有一倾角，如图所示，汽车以多大速度转弯时，可以使车与路面间无摩擦力？
4、如图，质量为0.5 kg 的小杯里盛有1 kg 的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1 m，小杯通过最高点的速度为4 m/s，g 取10 m/s2，求：
(1)在最高点时，绳的拉力？
(2)在最高点时水对小杯底的压力？
(3)为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少?
6、长度为L＝0.50 m 的轻质细杆OA，A 端有一质量为m＝3.0 k g 的小球，如图5-19 所示，小球以O 点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时，小球的速率是v＝2.0 m/s，g 取10 m/s2，则细杆此时受到：( )
A．6.0 N 拉力B．6.0 N 压力C．24 N 拉力D．24 N 压力
7、A、B 两球质量分别为m1与m2，用一劲度系数为K 的弹簧相连，一长为l1的细线与m1
相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO`上，如图所示，当m1与m2均以
角速度w 绕OO`做匀速圆周运动时，弹簧长度为l2。

求：（1）此时弹簧伸长量多大？绳子张力多大？
（2）将线突然烧断瞬间两球加速度各多大？
8、如图所示，长为 R 的轻质杆（质量不计），一端系一质量为m 的小球（球大小不计），绕杆的另一端 O 在竖直平面
内做匀速圆周运动，若小球最低点时，杆对球的拉力大小为 1.5 mg ，求：
① 小球最低点时的线速度大小？
②小球以多大的线速度运动，通过最高处时杆对球不施力？
9、(2011 年辽宁模拟)如图所示，一光滑的半径为R 的半圆形轨道放在水平面上，一个质量为m 的小球以某一速度冲上
轨道，当小球将要从轨道口飞出时，对轨道的压力恰好为零，则小球落地点C 距A 处多远？
(v 2 R )2－g 2 10、(2011 年厦门高一检测)如图所示，A 、B 、C 三个物体放在旋转平台上，最大静摩擦因数均为μ，已知A 的质量为2m ，B 、C 的质量均为 m ，A 、B 离轴距离均为 R ，C 距离轴为 2R ，则当平台逐渐加速旋转时( )
A ．C 物的向心加速度最大
B ．B 物 的 摩 擦 力 最 小
C ．当圆台转速增加时，C 比 A 先滑动
D ．当圆台转速增加时，B 比 A 先滑动
11、质量为 m 的飞机，以速度 v 在水平面内做半径为 R 的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等于( )
A ．m v 2 g 2＋( R
)2 v 2 B ．m R
C ．m
D ．mg 12、质量为 m 的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的直径，如图 5－7－22 所示．已知小球
v
以速度 v 通过最高点时对圆管的外壁的压力恰好为 mg ，则小球以速度 通过圆管的最高点时( )
2
A. 小球对圆管的内、外壁均无压力
mg
B. 小球对圆管的外壁压力等于 2
mg
C. 小球对圆管的内壁压力等于 2
D. 小球对圆管的内壁压力等于 mg 13、(2010 年高考重庆卷)小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为 m 的小球，甩动手腕， 使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离 d 后落地，如图所示．已知
3
握绳的手离地面高度为 d ，手与球之间的绳长为 4
d ，重力加速度为 g ，忽略手的运动半径和空气阻力．
(1)求绳断时球的速度大小 v 1 和球落地时的速度大小 v 2. (2)问绳能承受的最大拉力多大？
（07 山东卷）(16 分)如图所示,一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动．圆盘边缘有一质量 m =1.0kg 的小滑块。

当圆盘转动的角速度达到某一数值时,滑块从圆盘边缘滑落,经光滑的过渡圆管进入轨道 ABC 。

已知 AB 段斜面倾角为 53°，BC 段斜面倾角为 37°，滑块与圆盘及斜面间的摩擦因数均为 μ=0.5。

A 点离 B 点所在水平面的高度 h =1.2m 。

滑块在运动过程中始终末脱离轨道，不计在过渡圆管处和 B 点的机械能损失，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，取 g =10m/s 2， sin37°=0.6,cos37°=0.8。

(1)若圆盘半径 R =0.2m ，当圆盘的角速度多大时，滑块从圆盘上滑落? (2)若取圆盘所在平面为零势能面，求滑块到达 B 点时的机械能。

(3)从滑块到达 B 点时起．经 0．6s 正好通过 C 点，求 BC 之间的距离。

B 图
ω
m R A h
C
53°
37°
第二轮复习专题——物体的运动
圆周运动
1.物体做匀速圆周运动的条件：
匀速圆周运动的运动条件：做匀速圆周运动的物体所受合外力大小不变，方向总是和速度方向垂直并指向圆心。

2.描述圆周运动的运动学物理量
（1）圆周运动的运动学物理量有线速度v、角速度ω、周期T、转速n、向心加速度a 等。

它们之间的关系大多是用半径r 联系在一起的。

如：v =⋅r =
T =60。

n
2r
T
，a =
v
r
=2r =
42r
T 2。

要注意转速n 的单位为r/min，它与周期的关系为
（2）向心加速度的表达式中，对匀速圆周运动和非匀速圆周运动均适用的公式有：a =v
r
=2r =v，公式中的
42r
线速度v 和角速度ω均为瞬时值。

只适用于匀速圆周运动的公式有：a =，因为周期T 和转速n 没有瞬时值。

T 2
例题1．在图3－1 中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r。

b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r。

c 点和d 点分别于小轮和大轮的边缘上。

若在传动过程中，皮带不打滑。

则（）
A．a 点与b 点的线速度大小相等
B．a 点与b 点的角速度大小相等 c
2r b
r
a
r
2
2
D C ．a 点与 c 点的线速度大小相等 D ．a 点与 d 点的向心加速度大小相等
解析：本题的关键是要确定出 a 、b 、c 、d 四点之间的等量关系。

因为 a 、c 两点在同一皮带上，所以它们的线速度 v 相等；而 c 、b 、d 三点是同轴转动，所以它们的角速度 ω 相等。

所以选项 C 正确，选项 A 、B 错误。

v
2 设 C 点的线速度大小为 v ，角速度为 ω，根据公式 v=ωr 和 a=v 2/r 可分析出：A 点的向心加速度大小为 a A = ；D 点
r
的向心加速度大小为： a =
2
⋅ 4r =
(⋅ 2r )2 r
= v 2 r。

所以选项 D 正确。

选项 CD 正确。

说明：在分析传动装置的各物理量时，要抓住等量和不等量之间的关系。

如同轴各点的角速度相等，而线速度与半径 成正比；通过皮带传动（不考虑皮带打滑的前提下）或是齿轮传动，皮带上或与皮带连接的两轮边缘的各点及齿轮上的各点线速度大小相等、角速度与半径成反比。

练习
1. 如图 3－4 所示的皮带转动装置，左边是主动轮，右边是一个轮
轴 ，
R A : R c = 1 : 2 ，
R A : R B = 2 : 3 。

假设在传动过程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上
图 3－4 的 A 、B 、C 三点的角速
度之比是
；线速度之比是 ；向心加速度之比是。

2. 图示为某一皮带传动装置。

主动轮的半径为 r 1，从动轮的半径
为 r 2。

已知主动轮做 顺时针转动，转速为 n ，转动过程中皮带不打滑。

下列说法正确的是
（
）。

A ．从动轮做顺时针转动
B ．从动轮做逆时针转动
C ．从动轮的转速为 r 1 n
D ．从动轮的转速为 r
2 n
r 2 r 1
3．(92)图 3-7 中圆弧轨道 AB 是在竖直平面内的 1/4 圆周，在 B 点，轨自A 点从静止开始下滑，不计滑块与轨道间的摩擦和空气阻力，则在度大小为
，刚滑过 B 点时的加速度大小为 。

3. 描述圆周运动的动力学物理量———向心力
图 3-7
道的切线是水平的。

一质点
质点刚要到达 B 点时的加速
（1）向心力来源：向心力是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。

向心力是根据力的作用效果命名的，不是一种特殊的性质力。

向心力可以是某一个性质力，也可以是某一个性质力的分力或某几个性质力的合力。

例如水平转盘上跟着匀速转动的物体由静摩擦力提供向心力；带电粒子垂直射入匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力； 电子绕原子核旋转由库仑力提供向心力；圆锥摆由重力和弹力的合力提供向心力。

做非匀速圆周运动的物体，其向心力为沿半径方向的外力的合力，而不是物体所受合外力。

A
B
（2） 向心力大小：根据牛顿第二定律和向心加速度公式可知，向心力大小为：
F = m v r
= m
2
r = m 42r T
2 其中 r 为圆运动半径。

（3） 向心力的方向：总是沿半径指向圆心，与速度方向永远垂直。

（4） 向心力的作用效果：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。

几种常见的匀速圆周运动的实例图表
图形
受力分析
利用向心力公式
mg tan
= m
2
l sin
mg tan
= m
2
(l sin + d )
mg tan = m 2r
mg t an = m 2r
Mg = m
2
r
例题 2.如图所示，Ａ、Ｂ、Ｃ三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为，Ａ的质量为2m ，Ｂ、Ｃ质量均为 m ，Ａ、Ｂ离 轴Ｒ，Ｃ离轴 2Ｒ，则当圆台旋转时（设Ａ、
Ｂ、
Ｃ都没有滑动），Ａ、Ｂ、Ｃ三者的滑动摩擦力认为等于最大静摩擦力， 下列说法正确的是（
）
2
O
mg
O
A. Ｃ物的向心加速度最大；
B. Ｂ物的静摩擦力最小；
C. 当圆台转速增加时，Ｃ比Ａ先滑动；
D. 当圆台转速增加时，Ｂ比Ａ先滑动。

解析：当三者都相对圆盘静止时，角速度相同，所以向心加速度分别为:ω2R 、ω2R 、ω22R ，所以Ｃ物的向心加速度最大， 选项 A 正确。

Ａ、Ｂ、Ｃ三个物体随圆台转动所需要的向心力由静摩擦力提供，大小分别为：2mω2R 、m ω2R 、m ω22R ，Ｂ物体的静摩擦力最小，选项 B 正确。

要比较哪个物体最先打滑，就要比较哪个物体与圆台间的最大静摩擦力，三者为：μ2mg 、μmg 、μmg,可见 C 物体先滑动，选项 C 正确，B 错误
说明：一定要注意做匀速圆周运动的物体受力能提供的向心力和实际运动所需要的向心力的关系，当旋转圆转速增加 时，物体随圆盘转动需要的向心力（静摩擦力提供）也要增加，当提供不足时物体就做离心运动。

练习
4. 如图 3—12 所示，一转盘可绕其竖直轴在水平面内转动，转动半径为 R ，在转台边缘放一物块 A ，当转台的角速度为ω0时，物块刚能被甩出转盘。

若在物块A 与转轴中心O 连线中点再放 一与A 完全相同的物块B （A 、B 均可视为质点），并用细线相连接。

当
转动角速度 ω 为多大时，
两物块将开始滑动？
图 3-12
5．（08 广东）有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图 14 所示，长为 L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为 r 的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。

当转盘以角速度 ω 匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内， 与竖直方向的夹角为 θ,不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度 ω 与夹角 θ 的关系。

6．(97)质量为 m 、电量为 q 的质点，在静电力作用下以恒定速率 v 沿圆弧从 A 点运动到 B 点，其速度方向改变的角度为 θ(弧度)，AB 弧长为 s 则 A ，B 两点间的电势差 U A -U B = ，AB 弧中点的场强大小 E ＝ 。

4．竖直平面内圆周运动的临界问题：
由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轻杆、轨道、管道等）不同， 所以物体在通过最高点时
临界条件不同。

如图 3－7 所示，由于绳对球只能产生沿绳收缩方向的拉力，所以小球通过
gR gR gR gl v
A O
N
mg O
v 2
最高点的临界条件向：是心力只由重力提供，即 mg = m
R
，则有临界速度v = gR 。

只有当v ≥ 时，小球才能通过
最高点。

如图 3－8 所示，由于轻杆对球既能产生拉力，也能产生支持力，所以
小球通过最高点时合外力
可以为零，即小球在最高点的最小速度可以为零。

这样v = 就变成 了小球所受弹力方向变化
的临界值，即当 v < 时，小球受向上的弹力；当
v = 时，球 和杆之间无相互作用力；
当 v > 时，球受向下的弹力。

可见，物体在最高点的最小速度决定于物体在最高点受的最小合外
力，不同情况下的最小合
图 3-8
外力决定了不同情况下的最小速度。

例题 3.（99）如图 4-4 所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过 O 点的水平轴自由转动。

现给小球一初速度，使它做圆周运动，图 3 中 a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ）
A.a 处为拉力，b 处为拉力
B.a 处为拉力，b 处为推力
C.a 处为推力，b 处为拉力
D.a 处为推力，b 处为推力
解析：由于小球在竖直面内做圆周运动，所以当小球运动到 a 、b 两点向 O 点。

时，所受的合力都为指
a
图 4-4
当小球运动到 a 点时， 受到竖直向下的重力，为使其所受合力指向 O 点，则要求杆必对小球施
竖直向上的拉力。

当小球运动到 b 点时，小球受到竖直向下的重力 mg 的作用，当球的速度较小时（小于 ，l 为杆的长度），mg 大
于球做圆周运动所需的向心力时，杆将对球施竖直向上的推力；当小球的速度较大时（大于 ），mg 小于球做圆周
运动所需的向心力，此时要球杆对小球放竖直向下的拉力，使重力和拉力的合力提供小球在 b 点时所需要的向心力。

因此小球在 b 点时杆对球的作用力是推力还是拉力，取决于小球在 b 点时的速度大小。

综上所述，本题的正确选项为 A 、B 。

练习
7. 如图 3－14 所示，一细圆管弯成的开口圆环，环面处于一竖直平面内。

一光滑小球从开口 A 处
进入管内，并恰好能通过圆环的最高点。

则下述说法正确的是（
）
A. 球在最高点时对管的作用力为零
B. 小球在最高点时对管的作用力为 mg
C. 若增大小球的初速度，则在最高点时球对管的力一定增大
D.若减小小球的初速度，则在最高点时球对管的力可能增大
图 3-14
gR gR gl b
O
O ′ R A H H/2
H
8. 如图 3－13 所示，半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体 A 。

今给它一个水平初速度v 0 =
，则物体将（
）
A. 沿球面下滑至 M 点
B. 沿球面下滑至某一点 N ，便离开球面做斜下抛运动
C. 立即离开半球面做平抛运动
D.以上说法都不正确
5．有关圆周运动问题的分析思路
图 3-13 圆周运动常常和力、运动、能量问题结合在一起，综合性强。

解决有关圆周运动问题的思路是： ⅰ．确定研究对象；
ⅱ．确定做圆运动物体的轨道平面及圆心位置； ⅲ．对研究对象进行受力分析；
ⅳ．在向心加速度方向和垂直于向心加速度方向上建立直角坐标系，若需要可对物体所受力进行适当的正交分解； ⅴ．依据牛顿运动定律和向心加速度的公式列方程；
若过程中涉及能量问题一般还要列出动能定理或机械能守恒方程，然后再解方程，并讨论解的合理性。

例 4．（09 广东）如图 17 所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴 OO ′转动，筒内壁粗糙， 筒口半径和筒高分别为 R 和 H ，筒内壁 A 点的高度为筒高的一半。

内壁块。

求
①当筒不转动时，物块静止在筒壁 A 点受到的摩擦力和支持力的大
②当物块在A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动
O 图 10
上有一质量为 m 的小物
小；
的角速度。

解析：物块受力如图所示 ①由平衡条件得
N-mg cos θ=0，f-mg sin θ=0
其中sin
=
R 2 + H 2
得摩擦力为 f = mg sin
= mgH
R 2 + H 2 ma
mgR
支持力为 N = mg cos
=
R 2 + H 2
图 10 ②这时物块的受力如图所示
由牛顿第二定律得
mg tan
= ma = m
R
2
2 gR m
v 0
R M
θ
2g tan R g
R
得筒转动的角速度为
= =
例 5．（07 山东卷）(16 分)如图所示,一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动．圆盘边缘有一质量 m =1.0kg 的小滑块。

当圆盘转动的角速度达到某一数值时,滑块从圆盘边缘滑落,经光滑的过渡圆管进入轨道 ABC 。

已知 AB 段斜面倾角为 53°，BC 段斜面倾角为 37°，滑块与圆盘及斜面间的摩擦因数均为 μ=0.5。

A 点离 B 点所在水平面的高度 h =1.2m 。

滑块在运动过程中始终末脱离轨道，不 计在过渡圆管处和 B 点的机械能损失，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，取 g =10m/s 2， B
图
sin37°=0.6,cos37°=0.8。

(1)若圆盘半径 R =0.2m ，当圆盘的角速度多大时，滑块从圆盘上滑落? (2)若取圆盘所在平面为零势能面，求滑块到达 B 点时的机械能。

(3)从滑块到达 B 点时起．经 0．6s 正好通过 C 点，求 BC 之间的距离。

解析：(1)滑块在圆盘上做圆周运动时，静摩擦力充当向心力， 根据牛顿第二定律，可得：μmg=mω2R
①
代入数据解得: ω=
=5rad/s ②
(2) 滑块在 A 点时的速度:v A =ωR =1m/s
③
h
1 2 1 2 从 A 到 B 的运动过程由动能定理:mgh-μmg cos53°- sin 53︒ = 2 mv S - 2
mv A
④ 1 2
在 B 点时的机械能:E B = 2
mv S - mgh = -4J
⑤ (3) 滑块在 B 点时的速度:v B =4m/s
⑥ 滑块沿 BC 段向上运动时的加速度大小:a 1=g (sin37°+μcos37°)=10m/s 2 ⑦ 返回时的加速度大小:a 2=g (sin37°-μcos37°)=2m/s 2
⑧ v 2 1 v
BC 间的距离:s BC = S
- 2a 1 2 a 2 (s - S )2 =0.76m
⑨
a 1
练习
9．（09 安徽）（20 分）过山车是游乐场中常见的设施。

下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B 、C 、D 分别是三个圆形轨道的最低点，B 、C 间距与 C 、D 间距相等，半径 R 1=2.0m 、R 2=1.4m 。

一个质量为 m =1.0kg 的小球（视为质点），从轨道的左侧 A 点以 v 0=12.0m/s 的初速度沿轨道向右运动，A 、B 间距 L 1=6.0m 。

小球与水平轨道间的动摩擦因数 μ=0.20，圆形轨道是光滑的。

假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。

重力加速度取 g =10m/s 2，计算结果保留小数点后一位数字。

试求
（1） 小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
2gH
ω
m R
A h
C
53°
37°
第一圈轨道
第二圈轨道
第三圈轨道
A
R1
v0
R2R
B C
3
D L1L L
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C 间距L 应是多少；
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点A 的距离。

10. （06 重庆）(20 分)(请在答题卡上作答)
如题25 图，半径为R 的光滑圆形轨道固定在竖直面内。

小球A、B 质量分别为m、βm(β
为待定系数)。

A 球从工边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点
1
的B 球相撞，碰撞后A、B 球能达到的最大高度均为R ，碰撞中无机械能损失。

重
4
力加速度为g。

试求：
(1)待定系数β;
(2)第一次碰撞刚结束时小球A、B 各自的速度和B 球对轨道的压力;
(3)小球A、B 在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B 在轨道最低处第n 次碰撞刚结束时各自的速度。

6．人造卫星的匀速圆周运动
1.人造地球卫星一般是沿椭圆轨道运行，为使问题简化，我们认为卫星以一个恰当的速率绕地心做匀速圆周运动，地球对它的万有引力提供它圆运动所需向心力。

2.卫星的绕行速度v、角速度ω、周期T 都与轨道半径r 有关：
r 越大，v 越小，ω 越小，T 越大（）当卫星贴地球表面绕行时，其周期最短，约为84 分钟。

GM R gR 3. 运行速度与发射速度：对于人造地球卫星，由v = 算出的速度指的是人造地球卫星在轨道上的运行速度，其
大小随轨道半径的增大而减小。

但由于人造地球卫星发射过程中要克服地球引力做功，增大势能，所以将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面所需要的发射速度却越大。

关于第一宇宙速度的两种推导方法：
（1）由G
Mm v 2
= m 1 ，R 为地球半径，M 为地球质量，可得第一宇宙速度v =
v 2。

（2）由 mg = m 1 ，g 为
R 2 R 1
R
地表重力加速度，R 为地球半径，可得第一宇宙速度v 1 = 。

4. 地球同步卫星的特点：所谓同步卫星是指卫星与地球以同一角速度旋转，则卫星运行周期等于地球自转周期 24 小时。

为了维持这种同步状态，卫星的轨道平面必定与地球的赤道平面重合。

通过计算可知，地球同步卫星的轨道高度，在赤道上空 36000km 处。

例 6：（05 全国Ⅱ卷）已知引力常量 G 、月球中心到地球中心的距离 R 和月球绕地球运行的周期 T 。

仅利用这三个数据， 可以估算出的物理量有（ ）
Ａ．月球的质量 Ｂ．地球的质量 Ｃ．地球的半径
Ｄ．月球绕地球运行速度的大小
解析：设地球的质量为 M ，月球的质量为 m ，根据万有引力定律和牛顿第二定律有 GMm/r 2=4π2mr/T 2。

从上述表达式可看出：
（1） 等式两侧的 m 消掉了，因此不可能利用这些数据求得 m （月球的质量）。

（2） 此式中的 r 的物理意义：在等式的左侧表示行星到恒星的距离；在等式的右侧表示行星绕恒星运动的轨道半径。

因此不可能用此式求出地球的半径。

（3） 由上式可推导出 M=
42r 3 GT 2
，因此可计算出地球的质量。

即选项 B 正确。

最后，关于“月球绕地球运行速度的大小”，可以从运动学角度进行分析：v=2πR/T ，因此可以求出月球绕地球运行速度的大小，即选项 D 正确。

例 7.（09 北京）已知地球半径为 R , 地球表面重力加速度为 g ，不考虑地球自转的影响。

（1） 推导第一宇宙速度 v 1 的表达式；
（2） 若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为 h ，求卫星的运行周期 T 。

解析:（1）设卫星的质量为 m ，地球的质量为 M
GM
r。