第1章 离散数学习题解答
02324离散数学(课后习题解答(详细)
离散数学~习题1.11.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。
⑷21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：⌝p→⌝q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。
离散数学习题解答_屈婉玲耿素云高等教育出版社(第一部分)
（10）除非天下大雨,否则他不乘班车上班；
（11）下雪路滑,他迟到了；
（12）2 与 4 都是素数,这是不对的；
（13）“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.
答:
命题 1
命题 2
(1) p:刘晓月跑得快 q:刘晓月跳得高
命题 3 -
符号化
(2) p:老王是山东人 q:老王是河北人
-
(3)
p:天气冷
（6）
只要俄罗斯不位于南半球，亚洲人口就不是最多
（7）
只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就不位于南半球
真值 1 0 1 1 1 0 1
10．设 p：9 是 3 的倍数,q：英国与土耳其相邻,将下面命题用自然语言表述,并指出真值：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.
自然语言
的类型.
27.设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,…,pn 的公式,证明:
重言式.
解：
A
B
是重言式当且仅当 A 和 B 都是
（2）p: 是无理数.
（7）p:刘红与魏新是同学. （10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π. （13）p:2008 年元旦下大雪.
3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.
（1） 5 是有理数.
答：否定式： 5 是无理数. p ： 5 是有理数. q ： 5 是无理数.其否定式 q 的真值
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
（完整版）离散数学答案（尹宝林版）第一章习题解答
（完整版）离散数学答案（尹宝林版）第一章习题解答第一章命题逻辑习题与解答⒈ 判断下列语句是否为命题，并讨论命题的真值。
⑴ 2x - 3 = 0。
⑵ 前进！⑶ 如果8 + 7 > 20，则三角形有四条边。
⑷ 请勿吸烟！⑸ 你喜欢鲁迅的作品吗？⑹ 如果太阳从西方升起，你就可以长生不老。
⑺ 如果太阳从东方升起，你就可以长生不老。
解⑶,⑹,⑺表达命题，其中⑶,⑹表达真命题，⑺表达假命题。
⒉ 将下列命题符号化：⑴ 逻辑不是枯燥无味的。
⑵ 我看见的既不是小张也不是老李。
⑶ 他生于1963年或1964年。
⑷ 只有不怕困难，才能战胜困难。
⑸ 只要上街，我就去书店。
⑹ 如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐。
⑺ 如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视。
⑻ 三角形三条边相等是三个角相等的充分条件。
⑼ 我进城的必要条件是我有时间。
⑽ 他唱歌的充分必要条件是心情愉快。
⑾ 小王总是在图书馆看书，除非他病了或者图书馆不开门。
解⑴ p ：逻辑是枯燥无味的。
“逻辑不是枯燥无味的”符号化为 ?p 。
⑵ p ：我看见的是小张。
q ：我看见的是老李。
“我看见的既不是小张也不是老李”符号化为q p ?∧?。
⑶ p ：他生于1963年。
q ：他生于1964年。
“他生于1963年或1964年”符号化为p ⊕ q 。
⑷ p ：害怕困难。
q ：战胜困难。
“只有不怕困难，才能战胜困难”符号化为q → ? p 。
⑸ p ：我上街。
q ：我去书店。
“只要上街，我就去书店”符号化为p → q 。
⑹ p ：小杨晚上做完了作业。
q ：小杨晚上没有其它事情。
r ：小杨晚上看电视。
s ：小杨晚上听音乐。
“如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐”符号化为s r q p ∨→∧。
⑺ p ：林芳在家里。
q ：林芳做作业。
r ：林芳看电视。
“如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视”符号化为r q p ∨→。
⑻ p ：三角形三条边相等。
离散数学第3版习题答案
离散数学第3版习题答案离散数学是一门重要的数学学科，它研究的是离散对象和离散结构的数学理论。
离散数学的应用广泛，涉及到计算机科学、信息技术、通信工程等领域。
在学习离散数学的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和掌握。
本文将为大家提供《离散数学第3版》习题的答案，希望能对学习者有所帮助。
第一章：命题逻辑1.1 习题答案：1. (a) 真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(b) 命题“p ∧ q”的真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(c) 命题“p ∨ q”的真值表如下：p | q | p ∨ qT | T | TT | F | TF | T | TF | F | F(d) 命题“p → q”的真值表如下：p | q | p → qT | T | TT | F | FF | T | TF | F | T1.2 习题答案：1. (a) 命题“¬(p ∧ q)”等价于“¬p ∨ ¬q”。
(b) 命题“¬(p ∨ q)”等价于“¬p ∧ ¬q”。
(c) 命题“¬(p → q)”等价于“p ∧ ¬q”。
(d) 命题“¬(p ↔ q)”等价于“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。
1.3 习题答案：1. (a) 命题“p → q”的否定是“p ∧ ¬q”。
(b) 命题“p ∧ q”的否定是“¬p ∨ ¬q”。
(c) 命题“p ↔ q”的否定是“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。
(d) 命题“p ∨ q”的否定是“¬p ∧ ¬q”。
1.4 习题答案：1. (a) 命题“p → q”与命题“¬p ∨ q”等价。
离散数学 左孝凌 课后习题解答 详细
表 1.33
p q q→p p→(q→p) p q p→q p→(p→q)
00 1
1
11 1
1
01 0
1
10 1
1
10 1
1
01 1
1
11 1
1
00 0
1
8
第1章 习题解答
由上表可见：p→(q→p)和p→(p→q)的真值表完全相同，且都是永真式，所以 p→(q →p)p→(p→q)。
⑹(p↔q)(p∨q)∧(p∧q) 证明：证明(p↔q)和(p∨q)∧(p∧q)的真值表如表 1.34 所示。
表 1.29
p q p→q (p→q) q p∧q
00 1Biblioteka 01001 100
0
10 0
11
1
11 1
00
0
由上表可见：(p→q)和 p∧q 的真值表完全相同，所以(p→q)p∧q。 ⑵p→qq→p 证明：证明 p→qq→p 的真值表如表 1.30 所示。
表 1.30
p q p→q p q q→p
00 1 1 1
3
第1章 习题解答
⑶ p：我们划船；q：我们跑步；原命题符号化为：（p∧q）。 ⑷ p：你来了；q：他唱歌；r：你伴奏；原命题符号化为：p→（q↔r）。 5. 用符号形式写出下列命题。 ⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 ⑵我今天进城，除非下雨。 ⑶仅当你走，我将留下。 解：⑴ p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家看报；原命题符 号化为：（p→q）∧（p→r∨s）。 ⑵ p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为：q→p。 ⑶ p：你走；q：我留下；原命题符号化为：q→p。
1
离散数学习题与解答()
作业题与解答第一章19 (2)、(4) 、(6) 21 (1)、(2) 、(3)19、(2)解答: (p→┐p)→┐q 真值表如下:所以公式(p→┐q)→┐q 为可满足式19、(4)解答: (p→q)→(┐q→┐p) 真值表如下:所以公式(p→q)→(┐q→┐p)为永真式19、(6)解答: ((p→q)∧(q→r))→(p→r) 真值表如下:所以公式((p→q)∧(q→r))→(p→r)为永真式21、(1)解答: ┐(┐p∧q)∨┐r 真值表如下:所以成假赋值为:01121、(2)解答: (┐q∨r)∧(p→q)真值表如下:所以成假赋值为:010,100,101,11021、(3)解答: (p→q)∧(┐(p∧r)∨p)真值表如下:所以成假赋值为:100,101第二章5、(1) (2) (3) 6、(1) (2) (3) 7、(1) (2) 8、(1) (2) (3)5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值(1) (┐p→q)→(┐q∨p)⇔┐(┐p→q) ∨(┐q∨p)⇔┐(┐(┐p) ∨q) ∨(┐q∨p)⇔(┐p ∧┐q) ∨(┐q∨p)⇔(┐p ∧┐q) ∨(p ∧┐q)∨(p ∧q)⇔m0 ∨m 2∨m3，所以00，10，11 为成真赋值。
(2) (┐p→q)∧(q∧r)⇔(┐┐p∨q)∧(q∧r)⇔(p∨q)∧(q∧r)⇔(p∧q∧r)∨(q∧r)⇔(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(┐p∧q∧r)⇔(p∧q∧r)∨(┐p∧q∧r)⇔m3∨m 7，所以011，111 为成真赋值。
(3) (p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔┐(p∨(q∧r))∨(p∨q∨r)⇔(┐p∧(┐q∨┐r))∨(p∨q∨r)⇔(┐p∧┐q)∨(┐p∧┐r)∨(p∨q∨r)⇔(┐p∧┐q)∨((┐p∧┐r)∨(p∨q∨r))⇔(┐p∧┐q)∨((┐p∨p∨q∨r)∧(┐r∨p∨q∨r) )⇔(┐p∧┐q)∨(1∧1)⇔(┐p∧┐q)∨1⇔1⇔m0∨m1∨m 2∨m3∨m4∨m5∨m 6 ∨m 7，所以000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 为成真赋值。
离散数学习题一,二参考答案
《离散数学》习题一参考答案第一节 集合的基数1.证明两个可数集的并是可数集。
证明：设A ，B 是两可数集，},,,,,{321 n a a a a A =，},,,,,{321 n b b b b B = ⎪⎩⎪⎨⎧-→j b i a N B A f j i 212: ，f 是一一对应关系，所以|A ∪B|=|N|=0ℵ。
2．证明有限可数集的并是可数集证：设k A A A A 321,,是有限个可数集，k i a a a a A in i i i i ,,3,2,1),,,,,(321 ==⎪⎩⎪⎨⎧+-→==i k j a N A A f ij k i i )1(:1，f 是一一对应关系，所以|A|=| k i i A 1=|=|N|=0ℵ。
3.证明可数个可数集的并是可数集。
证：设 k A A A A 321,,是无限个可数集， ,3,2,1),,,,,(321==i a a a a A in i i i i⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-+→=∞=i j i j i a N A A f ij i i )2)(1(21:1 ， 所以f 是一一对应关系，所以|A|=| ∞=1i i A |=|N|=0ℵ。
4.证明整系数多项式所构成的集合是可数集。
证明：设整系数n 次多项式的全体记为}|{1110Z a a x a x a x a A i n n n n n ∈++++=--则整系数多项式所构成的集合 ∞==1N n A A ；由于k x 的系数k a 是整数，那么所有k x 的系数的全体所构成的集合是可数集，由习题2“有限个可数集的并是可数集”可得n A 是可数集，再又习题4“可数个可数集的并是可数集”得出整系数多项式所构成的集合 ∞==1N n A A 也是可数集。
5.证明不存在与自己的真子集等势的有限集合.证明：设集合A 是有限集，则|A|=n ，若B 是A 的真子集，则|B|≤|A|=n ，A-B ≠φ，即|A-B|=|A|-|AB|＞0；又A=（A-B ）∪B ，（A-B ）B=φ，所以，，就是|A|＞|B|，即得结论。
离散数学(第五版)清华大学出版社第
离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答1．1除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。
又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。
（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。
这里的“且”为“合取”联结词。
在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。
但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。
例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2（1）p:2是无理数，p为真命题。
（2）p:5能被2整除，p为假命题。
（6）p→q。
其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。
由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。
（7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。
由于p为假命可编辑范本题，q为真命题，因而p→q为假命题。
（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
（9）p：太阳系外的星球上的生物。
它的真值情况而定，是确定的。
1（10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
习题1.11. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。
⑷21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以p。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：p→q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。
⑺p：a是偶数；q：b是偶数；r：a+b是偶数；原命题符号化为：p∧q→r4. 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。
⑴如果3+3=6，则雪是白的。
⑵如果3+3≠6，则雪是白的。
⑶如果3+3=6，则雪不是白的。
⑷如果3+3≠6，则雪不是白的。
⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。
⑹2+3=5的充要条件是3是无理数。
(假定是10进制)⑺若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。
⑻当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。
解：设p：3＋3＝6。
q：雪是白的。
⑴原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。
⑵原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。
⑶原命题符号化为：p→q；该命题是假命题。
⑷原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。
⑸p：3是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：p↔q；该命题是假命题。
⑹p：2+3＝5；q：3是无理数；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。
⑺p：两圆O1,O2的面积相等；q：两圆O1,O2的半径相等；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。
⑻p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。
习题1.21.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。
⑴(p∧q→r)⑵(p∧(q→r)⑶((Øp→q)↔(r∨s))⑷(p∧q→rs)⑸((p→(q→r))→((q→p)↔q∨r))。
解：⑴⑶⑸是合式公式；⑵⑷不是合式公式。
2.设p：天下雪。
q：我将进城。
r：我有时间。
将下列命题符号化。
⑴天没有下雪，我也没有进城。
⑵如果我有时间，我将进城。
⑶如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。
解：⑴p∧q⑵r→q⑶p∧r→q3.设p、q、r所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。
⑴r∧q⑵¬ (r∨q)⑶q↔ (r∧¬ p)⑷(q→r)∧(r→q)解：⑴我有时间并且我将进城。
⑵我没有时间并且我也没有进城。
⑶我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。
⑷如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。
4. 试把原子命题表示为p、q、r等，将下列命题符号化。
⑴或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。
⑵如果张三和李四都不去，他就去。
⑶我们不能既划船又跑步。
⑷如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。
解：⑴p：你给我写信；q：信在途中丢失；原命题符号化为：(p∧ q)∨(p∧q)。
⑵p：张三去；q：李四去；r：他去；原命题符号化为：p∧q→r。
⑶p：我们划船；q：我们跑步；原命题符号化为：（p∧q）。
⑷p：你来了；q：他唱歌；r：你伴奏；原命题符号化为：p→（q↔r）。
5. 用符号形式写出下列命题。
⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
⑵我今天进城，除非下雨。
⑶仅当你走，我将留下。
解：⑴p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家看报；原命题符号化为：（p→q）∧（p→r∨s）。
⑵p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为：q→p。
⑶p：你走；q：我留下；原命题符号化为：q→p。
习题1.31.设A、B、C是任意命题公式，证明：⑴A A⑵若A B，则B A⑶若A B，B C，则A C证明：⑴由双条件的定义可知A↔A是一个永真式，由等价式的定义可知A A成立。
⑵因为A B，由等价的定义可知A↔B是一个永真式，再由双条件的定义可知B↔A 也是一个永真式，所以，B A成立。
⑶对A、B、C的任一赋值，因为A B，则A↔B是永真式，即A与B具有相同的真值，又因为B C，则B↔C是永真式，即B与C也具有相同的真值，所以A与C也具有相同的真值；即A C成立。
2.设A、B、C是任意命题公式，⑴若A∨CÛB∨C, AÛB一定成立吗？⑵若A∧CÛB∧C, AÛB一定成立吗？⑶若¬AÛ¬B，AÛB一定成立吗？解：⑴不一定有A B。
若A为真，B为假，C为真，则A∨C B∨C成立，但A B 不成立。
⑵不一定有A B。
若A为真，B为假，C为假，则A∧C B∧C成立，但A B不成立。
⑶一定有A B。
3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
⑴q∧(p→q)→p⑵p→(q∨r)⑶(p∨q)↔(q∨p)⑷(p∧Øq)∨(r∧q)→r⑸((¬p→(p∧¬q))→r)∨(q∧¬r)解：⑴q∧(p→q)→p的真值表如表1.24所示。
表1.24p q p→q q∧(p→q)q∧(p→q)→p00101011101000111111使得公式q∧(p→q)→p成真的赋值是：00，10，11，使得公式q∧(p→q)→p成假的赋值是：01。
⑵p→(q∨r) 的真值表如表1.25所示。
表1.25p q r q∨r p→(q∨r)0000100111010110111110000101111101111111使得公式p→(q∨r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式p →(q∨r)成假的赋值是：100。
⑶(p∨q)↔(q∨p) 的真值表如表1.26所示。
表1.26p q p∨q q∨p (p∨q)↔(q∨p)00001011111011111111所有的赋值均使得公式(p∨q)↔(q∨p)成真，即(p∨q)↔(q∨p)是一个永真式。
⑷(p∧q)∨(r∧q)→r的真值表如表1.27所示。
表1.27p q r q p∧q r∧q(p∧q)∨(r∧q) (p∧q)∨(r∧q)→r00010001001100010100000101100111100110101 0 1 1 1 0 1 1 1111 1 1 0 0 1 1 1使得公式(p ∧q )∨(r ∧q )→r 成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式(p ∧q )∨(r ∧q )→r 成假的赋值是：100。
⑸((p →(p ∧q ))→r )∨(q ∧r ) 的真值表如表1.28所示。
使得公式((p →(p ∧q ))→r )∨(q ∧r )成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式((p →(p ∧q ))→r )∨(q ∧r )成假的赋值是：100。
4.用真值表证明下列等价式： ⑴(p →q )p ∧q证明：证明(p →q )p ∧q 的真值表如表1.29所示。
表1.29pq p →q(p →q ) q p ∧q0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 111由上表可见：(p →q )和p ∧q 的真值表完全相同，所以(p →q )p ∧q 。
⑵p →q q →p 证明：证明p →q q →p 的真值表如表1.30所示。
表1.30p q p →q p q q →p表1.28pqrp ∧qp →(p ∧q )(p →(p ∧q ))→r q ∧r((p →(p ∧q ))→r )∨(q ∧r )0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 111111001111011101100010111001由上表可见：p→q和q→p的真值表完全相同，所以p→q q→p。
⑶(p↔q)p↔q证明：证明(p↔q)和p↔q的真值表如表1.31所示。
表1.31p q p↔q(p↔q) q p↔q001010010101100111111000由上表可见：(p↔q)和p↔q的真值表完全相同，所以(p↔q)p↔q。
⑷p→(q→r)(p∧q)→r证明：证明p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表如表1.32所示。
表1.32p q r q→r p→(q→r) p∧q (p∧q)→r00011010011101010010101111011001101101110111000101111111由上表可见：p→q r p q r p(q→r)(p∧q)→r。
⑸p→(q→p)p→(p→q)证明：证明p→(q→p)和p→(p→q)的真值表如表1.33所示。
表1.33p qq→p p→(q→p) p q p→q p→(p→q)00111111 0101101111110001由上表可见：p→(q→p)和p→(p→q)的真值表完全相同，且都是永真式，所以p→(q→p)p→(p→q)。
⑹(p↔q)(p∨q)∧(p∧q)证明：证明(p↔q)和(p∨q)∧(p∧q)的真值表如表1.34所示。
表1.34p q p↔q(p↔q) p∨q p∧q (p∧q) (p∨q)∧(p∧q)00100010010110111001101111101100由上表可见：(p↔q)和(p∨q)∧(p∧q)的真值表完全相同，所以(p↔q)(p∨q)∧(p∧q)⑺(p↔q)(p∧q)∨(p∧q)证明：证明(p↔q)和(p∧q)∨(p∧q)的真值表如表1.35所示。