第1章 离散数学习题解答

习题1.1

1. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。

⑴中国有四大发明。

⑵计算机有空吗?

⑶不存在最大素数。

⑷21+3＜5。

⑸老王是山东人或河北人。

⑹2与3都是偶数。

⑺小李在宿舍里。

⑻这朵玫瑰花多美丽呀!

⑼请勿随地吐痰!

⑽圆的面积等于半径的平方乘以p。

⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。

⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。

⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。

解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。

2. 将下列复合命题分成若干原子命题。

⑴李辛与李末是兄弟。

⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。

⑶天正在下雨或湿度很高。

⑷刘英与李进上山。

⑸王强与刘威都学过法语。

⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。

⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。

⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。

解：⑴本命题为原子命题；

⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；

⑶p：天在下雨；q：湿度很高；

⑷p：刘英上山；q：李进上山；

⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；

⑹p：你看电影；q：我看电影；

⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；

⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。

3. 将下列命题符号化。

⑴他一面吃饭，一面听音乐。

⑵3是素数或2是素数。

⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。

⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。

⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。

⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。

⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。

解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q

⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q

⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：p→q

⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q

⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p

⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。

⑺p：a是偶数；q：b是偶数；r：a+b是偶数；原命题符号化为：p∧q→r

4. 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。

⑴如果3+3=6，则雪是白的。

⑵如果3+3≠6，则雪是白的。

⑶如果3+3=6，则雪不是白的。

⑷如果3+3≠6，则雪不是白的。

⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。

⑹2+3=5的充要条件是3是无理数。(假定是10进制)

⑺若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。

⑻当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。

解：设p：3＋3＝6。q：雪是白的。

⑴原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。

⑵原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。

⑶原命题符号化为：p→q；该命题是假命题。

⑷原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。

⑸p：3是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：p↔q；该命题是假命题。

⑹p：2+3＝5；q：3是无理数；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。

⑺p：两圆O1,O2的面积相等；q：两圆O1,O2的半径相等；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。

⑻p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。

习题1.2

1.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。

⑴(p∧q→r)

⑵(p∧(q→r)

⑶((Øp→q)↔(r∨s))

⑷(p∧q→rs)

⑸((p→(q→r))→((q→p)↔q∨r))。

解：⑴⑶⑸是合式公式；⑵⑷不是合式公式。

2.设p：天下雪。

q：我将进城。

r：我有时间。

将下列命题符号化。

⑴天没有下雪，我也没有进城。

⑵如果我有时间，我将进城。

⑶如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。

解：⑴p∧q

⑵r→q

⑶p∧r→q

3.设p、q、r所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。

⑴r∧q

⑵¬ (r∨q)

⑶q↔ (r∧¬ p)

⑷(q→r)∧(r→q)

解：⑴我有时间并且我将进城。

⑵我没有时间并且我也没有进城。

⑶我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。

⑷如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。

4. 试把原子命题表示为p、q、r等，将下列命题符号化。

⑴或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。

⑵如果张三和李四都不去，他就去。

⑶我们不能既划船又跑步。

⑷如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。

解：⑴p：你给我写信；q：信在途中丢失；原命题符号化为：(p∧ q)∨(p∧q)。

⑵p：张三去；q：李四去；r：他去；原命题符号化为：p∧q→r。

⑶p：我们划船；q：我们跑步；原命题符号化为：（p∧q）。

⑷p：你来了；q：他唱歌；r：你伴奏；原命题符号化为：p→（q↔r）。