导数的四则运算
四则运算求导法则
四则运算求导法则四则运算求导法则是微积分中十分重要的一个概念，它是求导数的基础，也是后续复杂函数求导的基础之一。
在这篇文章中，我们将深入探讨四则运算的求导法则，帮助大家掌握这一重要概念。
首先，我们需要了解什么是导数。
导数是用来描述一个函数在某一点处的变化率的数值，它是函数在该点的切线斜率。
我们可以通过求导数的方法来求得某一点的导数。
四则运算包含了加、减、乘、除四个基本运算。
那么，如何求导呢？加法求导法则：两个函数的和的导数等于这两个函数的导数的和。
例如：f(x) = u(x) + v(x) ，则f'(x) = u'(x) + v'(x)。
减法求导法则：两个函数的差的导数等于这两个函数的导数的差。
例如：g(x) = u(x) - v(x)，则g'(x) = u'(x) - v'(x)。
乘法求导法则：两个函数的积的导数等于这两个函数分别求导后再相乘再加上另一个函数分别求导后再相乘的和。
例如：h(x) = u(x)v(x)，则h'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
除法求导法则：两个函数的商的导数等于被除函数的导数乘以除数减去除函数乘以被除数的导数后，再除以除数的平方。
例如：q(x) = u(x) / v(x)，则q'(x) = [u'(x)v(x) -u(x)v'(x)] / v(x)^2。
以上就是四则运算的求导法则，可以应用于各种函数的求导。
但需要注意的是：在进行四则运算时，要按照先乘除后加减的顺序进行，使得计算更加准确。
在实际应用中，我们可根据四则运算法则对函数进行逐层求导，以求出函数在某一点的导数和导函数。
导函数不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还是后续求极值、凸凹性等问题的基础工具。
最后，再次强调：四则运算是微积分求导的基础，掌握好四则运算的求导法则，才能更好地掌握后续的高等数学知识，更好地理解微积分的精髓。
导数的四则运算法则
一、复习回顾
1、基本求导公式 : ' 1
(1)C 0(C为常数)
(2)( x ) x
x ' x
(为常数）
(3)(a ) a lna(a 0, 且a 1)
1 (4)(log a x ) (a 0, 且a 1) xlna 1 ' x ' x (6)(lnx) (5)(e ) e x
2
(2)求函数g ( x) x x x 2的导数.
3 2
法则 2: 两个函数的积的导数，等于第一
个函数的导数乘以第二个函数加上第一个 函数乘以第二个函数的导数．即：
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
例2： (1)求函数h( x) x sin x的导数. (2)求函数f ( x) x ln x的导数.
法则3:
[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)
3 2 (3)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
(4)求函数f ( x) 2 x ln x的导数.
法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子 的积，再除以分母的平方,即：
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
x (2)求函数f(x) x 的导数. e
练 习
2. 求 y (2x 3)(3x 2)的导数
1.求 y 2x 3x 5x 4 的导数
2
3
导数的四则运算法则
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx
导数的四则运算法则
这个法则可以推广到任意有限个函数， 即
( f 1 f 2 f n ) ' f 1 ' f 2 ' f n '
例 1.(1)求函 f(x) 数 x2sixn 的导 .
解： f(x)(x2sinx)
(x2)(sixn)2xcoxs
(2)求函 g(x)数 x33x26x2的导 . 2
4 x (3 x 2 ) (2 x 2 3 )3 1x828x9
法二： y(6x34x29x6)
1x828x9
3. y x2 的导数 sinx
解y： ' (x2)'sisxn i2n xx2(sx i)n '
2xsinxx2coxs sin2 x
例5:求曲线y=x3+3x－8在x=2处的切 线的方程.（备选）
yax(a0,a1),yloagx(a0,a1), ysinx,ycoxs,ytanx,ycoxt.
3.导数应用的注意事项：
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数 的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在 求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构 特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导 数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的 要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形 式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时 速度等问题.
解： f (x) (x3 3x 8) 3x2 3， k f (2) 3 22 3 15， 又 切 线 过 点(2,6)， 切线方程为: y 6 15(x 2)， 即：15x y 24 0．
1.导数的四则运算法则是什么? 2.几个常用的函数的导数是什么?
yc(c是常),y数 x(为实),数
导数的四则运算法则[1]2.27
![导数的四则运算法则[1]2.27](https://img.taocdn.com/s3/m/a19bbc64011ca300a6c390b3.png)
解
( u ) yu
这样可以直接写出下式
y x
1 2 (1 x 2 )
(1 x ) x
2
x 1 x2
.
练习
5. 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).
课堂小结
导数的四则运算法则
(1) (u v) u v (2) (u v) uv uv u uv uv (3) ( ) (v 0). 2 v v
解 : (1)h( x) ( x sin x) x sin x x(sin x) sin x x cos x (2) f ( x) (2 x ln x) (2 x) ln x (2 x)(ln x)
2 ln x 2
法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子 的积，再除以分母的平方,即：
1.求 y 2x 3x 5x 4 的导数
3
2
解 : y (2 x 3x 5x 4)
3 2
6x 6x 5
2
2. 用两种方法求y (2x 3)(3x 2) 的导数
2 2 解： 法一：y (2x 3)(3x 2) (2x 3)(3x 2)
yu u x =2cos2x yx
练习
设 y = (2x + 1)5，求 y .
解
把 2x + 1 看成中间变量 u， 将 y = (2x + 1)5 看成是由
y = u5，u = 2x + 1 复合而成， 由于
yu (u ) 5u ,
5 4
u x (2 x 1) 2.
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)
2.2.2 导数的四则运算
=
1 x
+ 3e x − 2cos 2 x .
7
导数的四则运算法则计算
x5 + x + 1 + 3 x cos x ； （2） y = x3
解： y = x + x
2
−
−
5 2
+ x + 3 cos x ，
x
−3
y′ = ( x 2 )′ + ( x )′ + ( x −3 )′ + (3 x )′ cos x + 3 x (cos x )′
f ′( 0) = ( −1)( −2)( −3) ⋯ ( −100 ) = 100!.
解法 2： 利用导数的定义） （利用导数的定义）
f ′(0) = lim
x →0
x →0
f ( x ) − f ( 0) x( x − 1)( x − 2)⋯ ( x − 100) − 0 = lim x →0 x−0 x
= f ′( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′( x )
4
∴函数 g ( x ) 在 x 点连续，
导数的四则运算法则计算
公式(1)、 可以推广到有限多个函数的情形 可以推广到有限多个函数的情形， 公式 、(2)可以推广到有限多个函数的情形，即
① [ f 1 ( x ) ± f 2 ( x ) ± ⋯ ± f n ( x )]′ ′( x ) ± f 2′( x ) ± ⋯ ± f n′ ( x ) ； = f1
g( x ), α = 1 . = α >1 0,
可导。 ∴ f ( x ) 在点 x 处 可导。
15
导数的四则运算法则计算
(完整版)导数的四则运算法则
§ 4 导数的四则运算法则、教学目标: 1知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
2.过程与方法通过用定义法求函数 f ( x) =x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。
3.情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验一一观察一一归纳一一抽象的数学思维方法。
_教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用、教学难点:导数四则运算法则的证明三教学方法：探析归纳，讲练结合、四教学过程、(-」)、复习：导函数的概念和导数公式表。
1•导数的定义：设函数y f (x)在x x o处附近有定义，如果x 0时，y与x的比」(也叫函数的平均变化率)有极限即」无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做x x函数y f (x)在x X。
处的导数，记作y/x,，即f/(x o) lim ——x)―f x 0 v2•导数的几何意义：是曲线y f (x)上点(x o, f (x o))处的切线的斜率.因此，如果y f (x)在点X。
可导，则曲线y f (x)在点(X。
，f (x。
))处的切线方程为y f (x o) f/(x o)(x X。
).3.导函数(导数)：如果函数y f (x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x (a,b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数 f /(x),称这个函数f/(x)为函数y f (x)在开区间内的导函数，简称导数,4.求函数y f(x)的导数的一般方法:(1)求函数的改变量y f(x x) f(x). (2)求平均变化率—yf(x x) f(x) (3)取极限，得导数y/= f (x) 叽~x5.常见函数的导数公式: C' 0 ; (x n)' nx n(二)、探析新课两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差) ，即[f(x) g(x)] f (x) g (x) [f (x) g(x)] f (x) g (x)证明：令y f(x) u(x) v(x)，y [u(x x) v(x x)] [u(x) v(x)][u(x x) u(x)] [v(x x) v(x)] ulim x 0 limxlimx即[u(x) v(x)]' u (x) v例1:求下列函数的导数:2 x(1) y x 2 ；(2) In (3) (x21)(x 1)；(4) 解: (1) y (x2 2x) (x2) (2x) 2x 2x l n2(2) In x) (、x) (Inx)(x21)(x 1) (x3x2x 1)(x2) (x1) (x2)12、x 。
导数的四则运算法则课件
泰勒级数常用于数学和工程计算中，也常用于科学和工业实践中的数像处理中也有广泛应用，如图像去噪和匹配等。
总结和扩展导数的四则运算规则
导数的四则运算法则是微积分的非常基础的知识点，也是应用导数的必备前提。掌握导数的四则运算法 则后，您可以使用它们在各种领域中应用导数来解决现实问题。
导数的四则运算法则课件
本课件将介绍导数的基本概念和基本法则，以及导数在数学和其他领域中的 应用。欢迎大家学习。
导数的基本概念
什么是导数？导数可以看作是函数在某一点上的瞬时变化率，也称为导函数。导数是微积分学中非常重 要的概念。
导数的基本定义和符号 表示
导数是函数在某一点上的变化 率。通常用dy/dx或f'(x)来表示。
实例演算：求导数
掌握导数的运算法则后，我们来看几个实例。
1
例2
2
$y=\sin x+\cos x, y'=\cos x-\sin x$
3
例4
4
$y=\frac{x}{x+1}, y'=\frac{1}{(x+1)^2}$
例1
$y=x^3+2x^2-5x+3, y'=3x^2+4x-5$
例3
$y=x^2\cdot\ln x, y'=\frac{x^2}{x}\cdot\ln(x)+x^2\cd ot\frac{1}{x}$
泰勒展开和应用
泰勒展开是一种将函数表示为无穷级数的方法，可以用于函数逼近和数值运算。以下是一些应用案 例。
1
案例 1
使用泰勒展开法计算$\sin x$在$x= 0$处的近似值，可以表示为$\sin x= x\frac{x^ 3}{3!}+ \frac{x^ 5}{5!}- \cdots$。
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2
1
)
2
(1
1 x)2
2 ( x 1)2
在进行求导运算中,
尽量先化简再求导,
过程简单,
准 确.
函数的求导法则
二、反函数的求导法则
定理2
如果函数 x
f
(
y )在某区间
I
内单调、
y
可导 且f ( y) 0 , 那末它的反函数 y f 1 ( x)在
对应区间
I
内也可导
x
,
且
[ f 1 ( x)] 1
(csc x) csc x cot x
函数的求导法则
求 y x 1 的导数 . x1
1 v( x)
v( x) v 2 ( x)
解 法一
y
(x
1)( x
1) ( x 1)( x ( x 1)2
1)
(x
2 1)2
法二 y x 1 1 2
x1
x1
注
y
(1)
(
x
解
y
(tan
x )
sin cos
x x
u
v
uv uv v2
(sin
x
)
cos x cos2
sin x
x(cos
x )
cos2 x sin2 cos2 x
x
1 cos 2
x
sec 2
x
即 (tan x) sec2 x. (cot x) csc2 x.
同理可得
(sec x) sec x tan x
(1
1
( x x ))
2 x x x
2 x x
1
(1
1
(1 1 ))
2 x x x
2 x x
2x
4 x2 x x 2 x 1 . 8 x x x x2 x x
1 3( x 2)
求函数
sin 1
ye x
的导数.
y
sin 1
ex
(sin
1 )
sin 1
ex
cos
1
( 1 )
x
xx
1 x2
sin 1
ex
cos
1 x
.
函数的求导法则
x 0 的情形证明幂函数的导数公式
( x ) x 1
因为 x e ln x , 所以
( x ) (e ln x ) e ln x ( ln x)
(e x 1)2 sin2 x
函数的求导法则
求y f sin 3x的导数, 其中函数 f 可导.
解 设 y f (u), u sin 3 x 则 y yu ux f (u) 3 cos 3 x 3 f (sin 3 x) cos 3 x
注
上式中 f (sin 3x) 是函数 f 对括号中的中间
f (x)
sin 2
f (0)
lim
x
x 0
x0
x0
x0
x
lim
x0
sin 2 x2
x
1
所以
f
( x)
sin 2 x x
sin 2 x2
x
1
x0 x0
函数的求导法则
求函数
y
arctan
sin x ex 1
的导数.
解
y
1
1
sin x 2
ex
1
sin x '
ex
1
cos x(e x 1) e x sin x
I
内也可导
x
,
且
[ f 1 ( x)] 1 或 f ( y)
dy dx
1 dx
.
dy
函数的求导法则
4. 复合函数的求导法则 设y f (u), 而u g( x)且f (u)及g( x)都可导,
则复合函数 y f [ g( x)]的导数为
dy dy du 或 dx du dx
初等函数求导问题
du
dv .
dx du dv dx
例6 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
dy dx
dy du
du dx
1 u
cos x
cos x cot x sin x
函数的求导法则
例7 求函数 y ( x 2 1)10 的导数 .
解 y 10( x 2 1)9 ( x 2 1)
并且
(1) [ u( x) v( x)] u( x) v( x); , R.
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
u(x)
v(
x)
u( x)v( x) u( x)v( x) v 2 ( x)
(v( x) 0).
函数的求导法则
((aarrccssiinn xx))
1 (sin y)
1 cos
y
1
1 sin 2 y
1 .
1 x2
同理可得
(arccos x) 1 . 1 x2
(arctan
x )
1
1 x
2
;
(arc cot
x)
1 1 x2
.
函数的求导法则
注 如果利用三角学中的公式:
arccos x arcsin x, 也可得公式
函数的求导法则
若 (x)在x a处连续, f (x) (x a) (x),
求f (a).
解 f (a) lim f ( x) f (a) lim ( x a) ( x) 0
xa
xa
xa
xa
lim ( x) (a) xa
函数的求导法则
五、小结
函数的积、商求导法则
注意
[u( x) v( x)] u( x) v( x);
u( x) v( x)
u( x) . v( x)
反函数的求导法则
(注意成立条件);
复合函数的求导法则
(对于复合函数,
层的复合结构, 不能遗漏);
记住基本初等函数的导数公式
注意一层
函数的求导法则
思考题 求函数 y x x x 的导数.
解 y
1
( x x x )
2 x x x
1
推论 若u、v、w在点x处均可导, 则u v w, uvw 在同一点x处也可导,且
u v w u v w
uvw uvw uvw uvw
函数的求导法则
例1 求 y x3 2 x2 sin x 的导数 . 解 y 3 x 2 4 x cos x.
例2 求 y sin 2 x ln x 的导数 .
解 y 2 sin x cos x ln x y 2 cos x cos x ln x 2 sin x ( sin x) ln x 2 sin x cos x 1 x 2 cos 2 x ln x 1 sin 2 x. x
函数的求导法则
例3 求 y tan x 的导数 .
(csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
(loga
x )
1 x ln a
(arcsin x) 1 1 x2
(arctanx )1Fra bibliotek1 x2
(e x ) e x
(ln x) 1 x
(arccos x) 1 1 x2
(arc cot
x )
1
1 x
2
函数的求导法则
2. 函数的线性组合、积、商的求导法则
设u u( x), v v( x) 都可导, 则
(1) (u v) u v, , R.
(2) (u v) uv uv.
(3)
u v
uv uv v2
(v
0).
3. 反函数的求导法则
如果函数 x f ( y)在某区间 I y内单调、可导 且f ( y) 0 , 则它的反函数 y f 1( x)在对应区间
a2 x2
x2
2 a2 x2
a2
2 a2 x2
1
1
x
2
x a
a
函数的求导法则
例9 解
例10 解
求函数
y ln
3
x 2 1 ( x 2) 的导数. x2
y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2 1 2x
1 3( x 2)
x
x 2
1
2 (arccos x) 1 ,
1 x2
arccot x arctan x, 也可得公式
2
(
arccot
x )
1
1 x2
.
函数的求导法则
例5 解
求函数 y log a x 的导数.
x a y在I y (,)内单调、可导 ,
且 (a y ) a y ln a 0, 在I x (0,)内有
dy f (u) g( x) 或 dy dy du .
dx
dx du dx
因变量对自变量求导, 等于因变量对中间 变量求导, 乘以中间变量对自变量求导.
函数的求导法则
推广 设 y f (u), u (v), v ( x),
则复合函数 y f {[ ( x)]}的导数为
dy
dy
变量求导, 不表示 f 对x的导数.
f (sin 3x) ? [ f (sin 3x)]
函数的求导法则
设 f 是可导函数 ,求y f (e x )e f ( x )的导数.
分析 这是抽象函数与具体函数相结合的导数.
解 y [ f (e x )e f ( x ) ] [ f (e x )] e f ( x ) f (e x ) [e f ( x ) ] f (e x ) e x e f ( x ) f (e x ) e f ( x ) f ( x) e f ( x )[ f (e x ) e x f (e x ) f ( x)]