2019-2020学年海南省海南中学高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年海南省海南中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则它的否定是（ ） A ．存在,sin 1x R x ∈> B ．任意,sin 1x R x ∈≥ C ．存在,sin 1x R x ∈≥ D ．任意,sin 1x R x ∈>【答案】A【解析】试题分析：因为命题:,sin 1p x R x ∀∈≤为全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题得，命题:,sin 1p x R x ∀∈≤的否定是存在,sin 1x R x ∈>，故选A. 【考点】1、全称量词与存在量词；2、全称命题与特称命题.2．集合{}2|340,{|15}M x x x N x x =--≥=<<,则集合()R M N =I ð( ) A ．()1,4 B ．(]1,4C ．(]1,5-D ．[]1,5-【答案】A【解析】利用一元二次不等式的解法求得集合M ，根据补集和交集的定义即可求得结果. 【详解】()(){}(][)410,14,M x x x =-+≥=-∞-⋃+∞Q ()1,4R M ∴=-ð()()1,4R M N ∴=I ð故选：A 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式的解法，属于基础题. 3．已知扇形的圆心角为23π弧度，半径为2，则扇形的面积是（ ） A ．83π B ．43C ．2πD ．43π 【答案】D【解析】利用扇形面积公式212S R α=（α为扇形的圆心角的弧度数，R 为扇形的半径），可计算出扇形的面积. 【详解】由题意可知，扇形的面积为21242233S ππ=⨯⨯=，故选D. 【点睛】本题考查扇形面积的计算，意在考查扇形公式的理解与应用，考查计算能力，属于基础题.4．若sin αtan α<0，且cos tan αα<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】C【解析】由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，可判断α在第几象限，由cos tan αα<0可知cos α，tan α异号，可判断α在第几象限，从而求得结果. 【详解】由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角，由cos tan αα<0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角. 所以本题答案为C. 【点睛】本题考查任意角的三角函数式的符号的判断，考查学生对基本知识的掌握，属基础题. 5．若23log 3log 4P =⋅，lg 2lg5Q =+，0M e =，ln1N =，则正确的是（ ） A ．P Q = B ．M N =C ．Q M =D ．N P =【答案】C 【解析】,,,,故．6．已知lg lg 0a b +=，则函数()x f x a =与函数1()log bg x x =的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】条件化为1ab =，然后由()f x 的图象 确定,a b 范围，再确定()g x 是否相符． 【详解】lg lg 0,lg 0a b ab +=∴=Q ，即1ab =.∵函数()f x 为指数函数且()f x 的定义域为R ，函数()g x 为对数函数且()g x 的定义域为()0,∞+，A 中，没有函数的定义域为()0,∞+，∴A 错误；B 中，由图象知指数函数()f x 单调递增，即1a >，()g x 单调递增，即01b <<，ab 可能为1，∴B 正确；C 中，由图象知指数函数()f x 单调递减，即01a <<，()g x 单调递增，即01b <<，ab 不可能为1，∴C 错误；D 中，由图象知指数函数()f x 单调递增，即1a >，()g x 单调递减，即1b >，ab 不可能为1，∴D 错误． 故选：B. 【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，确定这两个的图象与性质是解题关键． 7．已知0,0,1x y x y >>+=,则11x y+的最小值是( ) A ．2 B ．22C ．4D ．3【答案】C 【解析】根据()1111y y x y x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式即可求得结果. 【详解】()11112224y x y xx y x y x y x y x y⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭（当且仅当y x x y =，即x y =时取等号）11x y∴+的最小值为4故选：C【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，涉及到利用等于1的式子来进行构造，配凑出符合基本不等式的形式，属于常考题型.8．若函数,1()42,12xa xf x ax x⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（）A．()1,+∞B．（1,8）C．（4,8）D．[4,8)【答案】D【解析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果.【详解】因为函数,1()42,12xa xf x ax x⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数，所以140482422aaaaa⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.二、多选题9．下列化简正确的是( )A．1cos82sin52sin82cos522︒︒-︒︒=B．1sin15sin30sin754︒︒︒=C．tan48tan721tan48tan72︒+︒=-︒︒D．22cos15sin152︒-︒=【答案】CD【解析】根据两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式依次化简各个选项可得结果. 【详解】A 中，()()1cos82sin 52sin82cos52sin 5282sin 30sin 302-=-=-=-=-o o o o o o o o ，则A错误；B 中，111sin15sin 30sin 75sin15cos15sin 30248===o o oo o o ，则B 错误；C 中，()tan 48tan 72tan 4872tan1201tan 48tan 72+=+==-o o o o oo o，则C 正确；D 中，22cos 15sin 15cos30-==o o o ，则D 正确. 故选：CD 【点睛】本题考查三角恒等变换的化简问题，涉及到两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式的应用.10．已知0,1a b a b <<+=,则下列不等式中,正确的是( ) A ．2log 0a < B ．122a b-<C ．24b a a b+<D ．22log log 2a b +<-【答案】AD【解析】根据不等式性质可求得01a b <<<，10a b -<-<，利用基本不等式可求得2b aa b +>，104ab <<，结合对数函数和指数函数的单调性可依次判断出各个选项. 【详解】0a b Q <<且1a b += 01a b ∴<<<，10a b -<-<2log 0a ∴<，A 正确；11222a b -->=，B 错误；2b a a b +≥=Q（当且仅当b a a b =，即a b =时取等号），又0a b << 2b a a b∴+> 2224b a a b+∴>=，C 错误； 2124a b ab +⎛⎫≤=⎪⎝⎭Q （当且仅当a b =时取等号），又0a b <<104ab ∴<<22221log log log log 24a b ab ∴+=<=-，D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够利用不等式的性质、基本不等式确定幂指数、真数所处的范围，进而得到临界的函数值. 11．已知函数211()22f x x x =+-,利用零点存在性法则确定各零点所在的范围.下列区间中存在零点的是( ) A ．(3,2)-- B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(2,3)D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ABD【解析】依次验证各个区间端点的函数值，根据函数值乘积小于零即可确定区间内存在零点，依次判断各个选项即可. 【详解】()1913320326f -=-+-=>Q ，()11222022f -=-+-=-<()()320f f ∴-⋅-< ()3,2∴--内存在零点，A 正确；111220288f ⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭Q ，()11112022f =+-=-<()1102f f ⎛⎫∴⋅< ⎪⎝⎭ 1,12⎛⎫∴ ⎪⎝⎭内存在零点，B 正确；()11222022f =+-=>Q ，()1917320326f =+-=> ()()230f f ∴⋅> ()2,3∴内不存在零点，C 错误； ()15112022f -=-+-=-<Q ，111220288f ⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭()1102f f ⎛⎫∴-⋅< ⎪⎝⎭ 11,2⎛⎫∴- ⎪⎝⎭内存在零点，D 正确.故选：ABD 【点睛】本题考查利用零点存在定理判断零点所在区间的问题，关键是能够根据函数解析式准确求解出区间端点处的函数值.12．设,αβ是一个钝角三角形的两个锐角,下列四个不等式中正确的是( )A ．tan tan 1αβ< B．sin sin αβ+<C ．cos cos 1αβ+>D ．1tan()tan22αβαβ++< 【答案】ABC【解析】根据三角形内角和特点可得到02πβα<<-，利用诱导公式可得tan cot βα<，从而验证出A 正确；根据sin cos βα<，cos sin βα>，04πα<<，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求得,B C 正确；利用二倍角的正切公式展开()1tan 2αβ+，由024αβπ+<<，根据正切函数的值域和不等式的性质可验证出D 错误. 【详解】 设02παβ<<<且2παβ+<02πβα∴<<-0tan tan cot 2πβαα⎛⎫∴<<-= ⎪⎝⎭tan tan tan cot 1αβαα∴<=，A 正确；sin sin cos 2πβαα⎛⎫<-= ⎪⎝⎭sin sin sin cos 4παβααα⎛⎫∴+<+=+ ⎪⎝⎭2παβ+<Q 且αβ< 04πα∴<<442πππα∴<+<14πα⎛⎫∴<+< ⎪⎝⎭sin sin αβ∴+<B 正确；cos cos sin 2πβαα⎛⎫>-= ⎪⎝⎭cos cos cos sin 14παβααα⎛⎫∴+>+=+> ⎪⎝⎭，C 正确；()2tan12tan 21tan 2αβαβαβ++=+- 02παβ<+<Q ，则024αβπ+<<0tan 12αβ+∴<< 20tan 12αβ+∴<< 201tan 12αβ+∴<-<2111tan 2αβ∴>+- 2tan2tan 21tan 2αβαβαβ++∴>+-，即()1tan tan 22αβαβ++>，D 错误.故选：ABC 【点睛】本题考查与三角函数有关的不等关系的辨析问题，涉及到诱导公式、二倍角公式和辅助角公式的应用、正弦函数值域和正切函数值域的求解等知识；关键是能够根据已知得到两个角所处的范围，进而将所验证不等式化为同角问题进行求解.三、填空题13．20cos3π=______. 【答案】12-【解析】利用诱导公式将所求式子化为cos 3π-，根据特殊角三角函数值可求得结果.【详解】201coscos 7cos 3332ππππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭ 故答案为：12- 【点睛】本题考查利用诱导公式求值的问题，关键是能够通过诱导公式将所求角化为特殊角的形式，利用特殊角三角函数值求解. 14．已知α为锐角，且cos(α＋4π)＝35，则sinα＝________．【答案】10【解析】43sin sin cos 44242425510ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫=+-=+-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．点睛：本题考查三角恒等关系的应用．本题中整体思想的应用，将α转化成44ππα⎛⎫+- ⎪⎝⎭，然后正弦的和差展开后，求得sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入计算即可．本题关键就是考查三角函数中的整体思想应用，遵循角度统一原则．15．如图①是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的图象（收支差额=车票收入-支出费用）.由于目前本线路亏损,公司有关人员分别将图①移动为图②和图③,从而提出了两种扭亏为盈的建议.（图①中点A 的意义:当乘客量为0时,亏损1个单位；点B 的意义:当乘客量为1.5时,收支平衡）请根据图象用简练语言叙述出:建议（1）______.建议（2）______. 【答案】票价不变的前提下降低成本 成本不变的前提下提高票价【解析】根据原图可知直线斜率体现票价、起点的纵坐标体现亏损单位，根据图②③变化的量可确定结果. 【详解】图②中，表示y 与x 关系的直线斜率未发生变化，说明票价未发生变化；但当乘客量为0时，亏损单位减少，说明费用降低，故建议（1）为：票价不变的前提下降低成本图③中，当乘客量为0时，亏损单位不变，说明费用未发生变化；但表示y 与x 关系的直线斜率增大，相同乘客量时收入增多，说明票价上涨，故建议（2）为：成本不变的前提下提高票价故答案为：票价不变的前提下降低成本；成本不变的前提下提高票价 【点睛】本题考查函数模型的实际应用问题，关键是能够通过观察确定两个图中变化的量与不变量.16．若45A B +=︒,则(1tan )(1tan )A B ++=______,应用此结论求()()()()1tan11tan21tan431tan44+︒+︒+︒+︒L 的值为______.【答案】2 222【解析】利用两角和差正切公式可整理求得()()1tan 1tan 2A B ++=；将所求式子分组作乘积，进而求得结果. 【详解】45A B +=o Q ()tan tan tan 11tan tan A BA B A B+∴+==-，即tan tan tan tan 1A B A B ++=()()1tan 1tan 1tan tan tan tan 2A B A B A B ∴++=+++= ()()()()221tan11tan 21tan 431tan 442++⋅⋅⋅++∴=o o o o故答案为：2；222 【点睛】本题考查利用两角和差正切公式求值问题，关键是能够通过将()tan 1A B +=进行拆分，求出tan tan tan tan A B A B ++的值.四、解答题17．已知33sin ,,252x x ππ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,求cos ,tan 64x x ππ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【答案】3cos 610x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭；tan 74x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【解析】根据同角三角函数关系可求得cos ,tan x x ，代入两角和差余弦公式和正切公式即可求得结果. 【详解】3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q cos 0x ∴>4cos 5x ∴==4313cos cos cos sin sin 666525210x x x πππ⎛⎫∴+=-=⨯+⨯=⎪⎝⎭ sin 3tan cos 4x x x ==-Q 3tan tan144tan 7341tan tan 144x x x πππ---⎛⎫∴-===- ⎪⎝⎭+- 【点睛】本题考查利用两角和差的余弦公式和正切公式求解三角函数值的问题，涉及到同角三角函数关系的应用，考查学生对公式掌握的熟练程度. 18．已知α是第三象限角,sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπααπα-⋅-⋅--=-⋅--.(1)若31cos 25απ⎛⎫-=⎪⎝⎭,求()f α的值. (2)若1860α=-︒,求()f α的值. 【答案】（1）（2）12【解析】利用诱导公式将原式化为()cos fαα=；（1）利用诱导公式和同角三角函数关系即可求得结果；（2）利用诱导公式将所求余弦值化为cos 60o ，从而得到结果. 【详解】()()()()()()()()sin cos 2tan sin cos tan cos tan sin tan sin f παπααπααααααπααα-⋅-⋅--⋅⋅-===-⋅---⋅（1）31cos sin 25απα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭Q 1sin 5α∴=- αQ 为第三象限角 ()cos f αα∴===（2）()()()1cos 1860cos1860cos 360560cos602fα=-==⨯+==o o o o o 【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值的问题，涉及到同角三角函数关系、特殊角三角函数值的求解问题；考查学生对于诱导公式掌握的熟练程度，属于基础公式应用问题.19．已知函数(1)xy a a =>在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,记()2xx a f x a =+.(1)求a 的值.(2)证明:()(1)1f x f x +-=. (3)求1232019202020212021202120212021f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值.【答案】（1）4；（2）证明见解析；（3）2020【解析】（1）根据函数单调性可知最值在区间端点处取得，由此可构造方程求得a ； （2）由（1）可得函数解析式，从而求得()1f x -，整理可得结论； （3）采用倒序相加的方式，根据（2）中结论即可求得结果. 【详解】（1）xy a Q =为单调增函数 2max min 20y y a a ∴+=+=，解得：4a =（2）由（1）知：()442xxf x =+ ()114442414424242424xx x x x x f x --∴-====++⨯++ ()()42114224x x xf x f x ∴+-=+=++（3）令1232019202020212021202120212021S f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则2019120212021202120212020202011282S f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加，由（2）可得：2220204040S =⨯= 2020S ∴= 即12320192020202020212021202120212021f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到利用函数单调性求解参数值、函数解析式的性质、函数值的求解等知识；关键是能够通过函数的单调性确定最值点的位置，进而构造方程得到函数解析式.20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元． （1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其最大收益为多少万元？【答案】（1）()18f x x =()0x ≥，()g x =()0x ≥；（2）债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元【解析】（1）由题意，得到()1f x k x =，()g x k =，代入求得12,k k 的值，即可得到函数的解析式；（2）设债券类产品投资x 万元，可得股票类产品投资()20x -万元，求得总的理财收益的解析式，利用换元法和二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）设投资债券类产品的收益()f x 与投资额x 的函数关系式为()()10f x k x x =≥，投资股票类产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式为()g x k =()0x ≥， 可知()110.125f k ==，()210.5g k ==，所以()18f x x =()0x ≥，()g x =()0x ≥. （2）设债券类产品投资x 万元，则股票类产品投资()20x -万元，总的理财收益()()208x y f x g x =+-=()020x ≤≤.令t =220x t =-，0t ≤≤，故()()22220111420238288t y t t t t -=+=---=--+，所以，当2t =时，即债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元. 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，熟练应用函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.21．已知设函数11()cos 2cos 22f x x x x =+ (1)求函数()f x 最小正周期和值域.(2)求函数(),[2,2]f x x ππ∈-的单调递增区间.【答案】（1）最小正周期为2π，值域为[]4,4-；（2）52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数整理为()4sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的最小正周期和值域的求解方法得到结果； （2）令22262k x k ππππ-≤+≤π+可求得函数的单调递增区间22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，分别给k 取值，找到位于[]2,2ππ-之间的单调递增区间. 【详解】（1）()2cos 4sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭()f x 的最小正周期2T π=，值域为[]4,4-（2）令22262k x k ππππ-≤+≤π+，k Z ∈，解得：22233k x k πππ-≤≤π+，k Z ∈ ()f x ∴单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈令1k =-，则28233k πππ-=-，5233k πππ+=- 52,3ππ⎡⎤∴--⎢⎥⎣⎦为单调递增区间令0k =，则22233k πππ-=-，233k πππ+= 2,33ππ⎡⎤∴-⎢⎥⎣⎦为单调递增区间 令1k =，则24233k πππ-=，7233k πππ+=4,23ππ⎡⎤∴⎢⎥⎣⎦为单调递增区间 综上所述：函数()[],2,2f x x ππ∈-的单调递增区间为52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期、值域和单调区间的求解问题，关键是能够利用二倍角和辅助角公式将函数化为正弦型函数的形式；解决正弦型函数的值域和单调区间问题通常采用整体对应的方式，结合正弦函数图象来进行求解. 22．已知函数()2()log log 2(0,1)a a f x x x a a =-->≠. (1)当2a =时,求(2)f ；(2)求解关于x 的不等式()0f x >；(3)若[2,4],()4x f x ∀∈≥恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】（1）2-；（2）见解析；（3）(2⎫⎪⎪⎣⎭U 【解析】（1）代入2x =直接可求得结果；（2）由()0f x >可得log 1<-a x 或log 2a x >，分别在1a >和01a <<两种情况下，根据对数函数单调性求得结果；（3）由()4f x ≥可得log 2a x ≤-或log 3a x ≥，分别在1a >和01a <<两种情况下，根据对数函数单调性确定log a x 的最大值和最小值，由恒成立的关系可得不等式，解不等式求得结果. 【详解】（1）当2a =时，()()222log log 2f x x x =-- ()21122f ∴=--=-（2）由()0f x >得：()()()2log log 2log 2log 10a a a a x x x x --=-+>log 1a x ∴<-或log 2a x >当1a >时，解不等式可得：10x a<<或2x a > 当01a <<时，解不等式可得：1x a>或20x a << 综上所述：当1a >时，()0f x >的解集为()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U ；当01a <<时，()0f x >的解集为()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U（3）由()4f x ≥得：()()()2log log 6log 3log 20a a a a x x x x --=-+≥log 2a x ∴≤-或log 3a x ≥①当1a >时，()max log log 4a a x =，()min log log 2a a x =2log 42loga a a -∴≤-=或3log 23log a a a ≥=，解得：1a <≤②当01a <<时，()max log log 2a a x =，()min log log 4a a x =2log 22log a a a -∴≤-=或3log 43log a a a ≥=1a ≤<综上所述：a 的取值范围为(,12⎫⎪⎪⎣⎭U 【点睛】本题考查对数函数与二次函数的复合函数的相关问题的求解，涉及到恒成立问题的求解、函数不等式的求解等知识，关键是能够熟练应用对数函数的单调性，通过单调性解不等式、将恒成立问题转化为函数最值的求解问题.。