安徽省“皖南八校”2021届高三摸底联考试卷数学理试题含答案
数学(理)答案
11．D
当n
= 1时，
S1
=
a1
=
1 2
a1
+
1 a1
，整理得 a12
= 1，因为 an
0 ，所以 a1
=1，
当n
2 时，Sn
=
1
2
Sn
−
Sn−1
+
Sn
1 − Sn−1
，可得
Sn
+
Sn−1
=
Sn
1 − Sn−1
，所以 Sn2
−
S2 n−1
= 1，
即数列 Sn2 是一个以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以 Sn2 = 1+ (n −1) = n ，由 an 0 ，
sin B sin A = 2
3 sin
Acos2
2
−
B 2
=
2
3 sin Asin2 B ， 2
2分
因为
0
A
,0
B
，所以
sin
C
0,
B 2
0,
2
,
sin
B 2
0
，
则 2sin B cos B = 2 3 sin2 B ，
4分
22
2
故 tan B = 3 ，所以 B = ．
6分
23
3
（2）由（1）可知 ABD = CBD = ，又 A = ；所以 ADB = 7 ,CDB = 5 ，
“皖南八校”2021 届高三第二次联考·数学（理科） 参考答案、解析及评分细则
1．A 因为 B = x | x2 + 2x 0 ，所以 B = {x | −2 x 0} ，因为 A = {−2, −1,0,1} ，所
安徽省“皖南八校”2021届高三摸底联考试卷数学理试题及答案
“皖南八校”2021届高三摸底联考数学（理科）本卷命题范围：必修全册+选修2-1，2-2.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}21A x x =≥，{}0B x x =≤，则()U C A B =（ ）A.()1,1-B.(]0,1C.()1,0-D.(]1,0-2.已知命题:p m R ∃∈，()23log xf x m x =-是增函数，则p ⌝为（ ） A.m R ∃∈，()23log xf x m x =-是减函数B.m R ∀∈，()23log xf x m x =-是增函数C.m R ∃∈，()23log xf x m x =-不是增函数D.m R ∀∈，()23log xf x m x =-不是增函数3.已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，且焦距为则抛物线22y bx =的准线方程为（ ）A.x =B.x =C.y =D.y =4.已知向量()2,2a =，()1,b x =，若()//2a a b +，则b =（ ）A.10B.25.将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A.()2sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B.()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C.()72sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭6.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（ ） A.72里B.60里C.48里D.36里7.执行右边的程序框图，为使输出的b 的值为16，则循环体的判断框内①处应开始填的整数为（ ）A.3B.4C.5D.68.函数2sin 2xy x =的图象可能是（ ）A. B.C. D.9.若正实数x ，y 满足260x y xy ++-=，则2x y +的最小值为（ ）A.)41B.)41C.12D.410.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中直线AB （点B 为俯视图中矩形的中心）与平面ACD 所成角的余弦值为（ ）A.45B.35C.310D.1011.已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）A.1010B.-2020C.2020D.404012.若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点()1,0-，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A.(),0-∞B.()0,+∞C.()(),11,0-∞--D.(),1-∞-，()1,0-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数z 满足：()27142i z i +=-，则z =_________________.14.已知点M 的坐标(),x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是______________.15.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0、等比数列{}n b的公比12q ⎡∈⎢⎣⎭，若1a d =，21b d =，222123123a a ab b b ++++是正整数，则实数q =____________.16.已知偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，若在区间[]1,3-内，函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点，则实数k 的取值范围是______________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分10分）在三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin csin sin sin a A C a C b B +-=. （1）求角B 的大小； （2）若b =ABC 面积的最大值.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+⋅，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：()21n S n <+.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1ABC △是边长为2的等边三角形，平面1ABC ⊥平面11AAC C ，四边形11AAC C 为菱形，1160AAC ∠=︒，1AC 与1A C 相交于点D .（1）求证：1BD C C ⊥.（2）求平面1ABC 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值. 20.（本小题满分12分）某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图.以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）； （2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率. 21.（本小题满分12分）已知点()()00,P x f x 是曲线()()211ln 2f x x a x a x =-++上任意一点，a R ∈. （1）若在曲线()y f x =上点P 处的切线的斜率恒大于23331a a a x +---，求实数a 的取值范围.（2）点()()11,A x g x 、()()22,B x g x 是曲线()()212g x x f x =-上不同的两点，设直线AB 的斜率为k .若1a =-，求证：()122k x x +>.22.（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F在直线30x y -+=上，且2a b +=+（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC △的重心，探求PAC △面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.“皖南八校”2021届高三摸底联考·数学（理科）参考答案、解析及评分细则1.D 由题意得，{}11A x x x =≥≤-或，{}11U C A x x =-<<，∴()(]1,0U C A B =-.2.D3.B由题意222132a b ===⎝⎭，∴b = 4.D 因为向量()2,2a =，()1,b x =，所以()24,22a b x +=+， 因为()//2a a b +，所以42222x +=， 所以1x =，所以2b =.5.B 函数的周期为π，将函数()f x 的图象向左平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.6.A 记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得1192a =∴23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以此人第3天和第4天共走了72里.7.B 当2a =时，进入循环，2b =，3a =，当3a =时，再次进入循环，224b ==，4a =，当4a =时，再次进入循环，4216b ==，5a =，所以当5a =时应跳出循环，故判断条件应是4a ≤. 8.D 令()2sin 2xf x x =，因为x R ∈，()()()2sin 22sin 2xxf x x x f x --=--=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ； 因为,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，选D. 9.D 因为260x y xy ++==，所以()62xy x y =-+，因为x ，y 为正实数，所以21122222x y xy xy +⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时等号成立，所以()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥.10.D 该几何体为一个底面为正方形的四棱锥，挖去一个半圆锥，作CD 的中点E ，易知EAB ∠为直线AB 与平面ACD 所成的角.又AE =1BE =，AB =cos 10EAB ∠==. 11.C 函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x +=，即11y x=+的图象关于点()0,1对称， 即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点； 则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ++++++=++-+⎡⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y -+++-+-++++-+-=⎤⎦.12.D 由题意()()()2211x ax a e f x ax -+-'=+，∴()()1211e k f a -'==+，又()111e f a -=+，故曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点()1,0-代入可得1a =，则()()221x xe f x x -'=+，故函数在(),1-∞-，()1,0-上单调递减. 42122iz i i+==-，故12z i =+= 不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，代表区域为三角形，由图可知直线22y x =-+与直线240x y +-=平行，min MN 即为直线22y x =-+与直线240x y +-=之间的距离，所以min 5MN ===. 15.12 因为()()223222111123221231112141a a d a d a a a b b b b b q b q q q ++++++==++++++，故由已知条件可知2141q q m++=，其中m 为正整数.令2141q q m++=， 111222q =-=-≥，解得8m ≤，由于公比11,22q ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，所以271,24q q ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，71424m≤<，解得78m <≤，故8m =， 所以2147184q q ++==，解得12q =或32q =-（舍去）. 16.111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭由题意，函数满足()()20f x f x -+=，即()()2f x f x =+，即函数()f x 的周期为2，当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，可得函数为单调递增函数，且()00f =，()1f e =，当[]1,0x ∈-时，()()xf x f x x e -=-=-⋅，由图象可知当1x =时，()1f e =，当3x =时，()()31f f e ==，即()1,B e ，()3,C e ，当直线()21y k x =+-经过点()1,B e 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有2个交点，此时31e k =-，解得13e k +=.直线()21y k x =+-经过点()3,C e 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有4个交点，此时51e k =-，解得15e k +=.直线()21y k x =+-经过点()0,0O 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有3个交点，此时12k =.所以要使得函数()()2g x f x kx k =--有且仅有3个零点，则直线的斜率满足1153e e k ++<<或12k =，即实数k 的取值范围是111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. 17.解：（1）设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R 由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +-=及正弦定理所以2222222a c ac b R R R R+-=， 所以222a c ac b +-=，即222a cb ac +-=.…………………………………………………………3分由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，.……………………………………4分 因为0B π<<，所以3B π=.…………………………………………………………5分（2）因为3B π=，所以2sin sin sin a c bA C B====， 三角形ABC面积112sin 4sin sin sin cos 22232S ac B A C A A A A π⎛⎛⎫==⨯⋅=-=+ ⎪ ⎝⎭⎝13sin sin 222246A A A A π⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭.……………………………………6分 ∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，.………………………………………………8分 当且仅当3A π=时，262A ππ-=，此时ABC △.……………………10分 18.解：（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d+=⎧⎨+=+⎩.……2分整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，.……………………………………………………4分所以()11n a a n d n =+-⋅=，即n a n =，.……………………………………………………5分()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+.……………………………………………………………………6分 （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭.………………………………9分所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++.………………………………………………12分 19.解：（1）侧面11AAC C 是菱形，D 是1AC 的中点， ∵1BA BC =，∴1BD AC ⊥.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ，且BD ⊂平面1ABC ， 平面1ABC 平面111AAC C AC =，∴BD ⊥平面11AAC C ，1C C ⊂平面11AAC C ，∴1BD C C ⊥.………………………………………………………………4分（2）由棱柱的定义知：在三棱柱111ABC A B C -中，平面//ABC 平面111A B C ， ∴平面1ABC 与平面111A B C 所成的锐二面角与二面角1C AB C --相等. ∵BD ⊥平面11AAC C ，∴1BD A C ⊥.如图，以D 为原点，以DA ，DC ，DB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得12AC =，1AD =，1BD A D DC ===BC =∴()0,0,0D ，()1,0,0A，(B ，()11,0,0C -，()C . 设平面ABC 的一个法向量(),,m x y z =，(AB =-，(0,BC =，由0AB m ⋅=，0BC m ⋅=，得0x ⎧-+=⎪=，可得()3,1,1m =.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ，11AC AC ⊥，∴CD ⊥平面1ABC ， ∵平面1ABC 的一个法向量是()DC =， ∵5cos m DC m DC D m C⋅⋅==即平面1ABC 与平面111A B C 分 20.解：（1）由频率分布直方图可得10.0160.0360.0800.0445a ++++=，解得0.024a =，.…3分 各组频率依次为0.08，0.18，0.4，0.22，0.12， 则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………6分（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12， 则应从第1组中抽取2个零件，记为A ，B ； 应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e .这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，.………………………………………………………………………………………9分其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种.…………………………………11分 所求概率63105P ==.…………………………………………………………………………12分 21.解：（1）()()()()211x a x a x x a f x x x-++--'== 由题意得，当00x >时，()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立， 即当00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，设函数()()222230F x x ax a a x =++-->，则其对称轴方程为x a =-，()0F x >在()0,+∞上恒成立. 若0a -≤，即0a ≥，则()F x 在()0,+∞上单调递增，∵()0F x >在()0,+∞上恒成立，∴2 230a a --≥，解得3a ≥；若0a <，则()0F a ->，即230a -->，解得32a <-. 综上可得32a <-或3a ≥.………………………………………………………………6分 （2）若1a =-，则()()21ln 2g x x f x x =-=，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>， 令12x t x =，()()2ln 112t f t t t =+>+， ()()()()()()22222411*********t t t f t t t t t t t -++--'=+==>+++，故()2ln 12t f t t =++在()1,+∞上单调递增， 所以()()11f t f >=，即1212ln 2121x x x x +>+，∴121212ln ln 2x x x x x x -->+， ∴()()()1212122g x g x x x x x -+⎡⎤⎣⎦>-， ∴()122k x x +>得证.综上可知，原命题得证.……………………………………………………………………12分22.解析：（1）∵直线30x y -+=与x轴的交点为()，∴c =2222a b a b ⎧-=⎪⎨+=+⎪⎩，∴解得2a =，b =22142x y +=.……………………………………4分 （2）若直线l的斜率不存在，则132S ==. 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程可得()222124240k x kmx m +++-= 设()11,A x y ，()22,C x y ， 则122412km x x k +=-+，()21222212m x x k -⋅=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+. 由题意点O 为PAC △的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y ++=， 所以()0122412km x x x k =-+=+，()0122212m y y y k =-+=-+， 代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++， 设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则PAC △的面积132S AC d =⋅12x =-⋅ 1232x x m =-⋅m =m =2==. 综上可得，PAC △面积S 为定值2.………………………………………………12分。
高三数学第三次联考试题理含解析试题
“皖南八校〞2021届高三第三次联考制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日数学〔理科〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.的实部与虚部相等，那么实数的值是〔〕A. B. C. 5 D. 2【答案】B【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z，结合条件即可求出a的值．【详解】∵复数的实部与虚部相等，∴，∴.应选B.【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了复数的根本概念，是根底题．，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式得集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【详解】或者，，那么.应选A.【点睛】此题考察了交集的概念及运算，属于根底题．3.从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽出100人，理解他们对今年HY的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如下图，那么以下说法正确的选项是〔〕A. 抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20B. 抽出的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30C. 抽出的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40D. 抽出的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50【答案】A【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质，求得，再逐项求解选项，即可得到答案。
【详解】根据频率分布直方图的性质得，解得所以抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为人，所以A正确；年龄在35～45岁的人数大约为人，所以B不正确；年龄在40～50岁的人数大约为人，所以C不正确；年龄在35～50岁的人数大约为，所以D不正确；应选A。
【点睛】此题主要考察了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及利用矩形的面积表示频率，合理计算是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题。
，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将两等式两边分别平方相加，结合同角的平方关系和两角差的正弦公式，化简整理，即可得到所求值．【详解】，①，②①2+②2，可得〔sin2α+cos2α〕+〔sin2β+cos2β〕-2〔sinαcosβ-cosαsinβ〕，即为2-2sin〔α-β〕，即有sin〔α-β〕，应选：D．【点睛】此题考察三角函数的求值，注意运用平方法和三角函数的恒等变换公式，考察了化简整理的运算才能，属于根底题．的大数图象为〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；再由当时，函数的值小于0，排除B，即可得到答案.【详解】由题知，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；又由当时，函数的值小于0，排除B，应选A.【点睛】此题主要考察了函数图象的识别，其中解答中纯熟应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.6.七巧板是古代中国劳动人民创造的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形一共七块板组成.清陆以湉?冷庐杂识?卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，假设在此正方形中任取一点，那么此点取自阴影局部的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出阴影局部的面积，根据面积比的几何概型，即可求解其相应的概率，得到答案.【详解】设正方形的边长为4，那么正方形的面积为，此时阴影局部所对应的直角梯形的上底边长为，下底边长为，高为，所以阴影局部的面积为，根据几何概型，可得概率为，应选A.【点睛】此题主要考察了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的根本领件对应的“几何度量〞，再求出总的根本领件对应的“几何度量〞，然后根据求解，着重考察了分析问题和解答问题的才能.7.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三视图得到该几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为，母线长为，圆锥的底面圆的半径为，高为，再由体积公式求解，即可得到答案. 【详解】由三视图知，此几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为，母线长为，圆锥的底面圆的半径为，高为，所以几何体的体积为：，应选D.【点睛】此题考察了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图复原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规那么，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的外表积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.8.，满足约束条件，假设目的函数的最小值为-5，那么的最大值为〔〕A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】由目的函数z＝3x+y的最小值为`-5，可以画出满足条件的可行域，结合目的函数的解析式形式，分析获得最优解的点的坐标，得到参数的取值，然后求出目的函数的最大值即可．【详解】画出x，y满足的可行域如以下图：z＝3x+y变形为y=-3x+z，其中z表示直线的截距，可得在直线与直线＝0的交点A处，使目的函数z＝3x+y获得最小值-5，当过点B时，目的函数z＝3x+y获得最大值，故由，解得x＝-2，y＝1，代入＝0得a=1，由⇒B〔3，-4〕当过点B〔3，-4〕时，目的函数z＝3x+y获得最大值，最大值为5．应选：D．【点睛】此题考察了含参数的线性规划问题，当约束条件中含有参数时，可以先大致画出几个不等式对应的平面区域，分析获得最优解是哪两条直线的交点，再代入求解，此题属于中档题．9.是椭圆：的右焦点，为椭圆上一点，，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设椭圆的左焦点为F′，那么有|PF|+|PF′|＝，而所求|PA|+|PF|＝+|PA|﹣|PF′|，作出图形，根据图形即可看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|，从而求出|PA|+|PF|的最大值．【详解】如图，设椭圆的左焦点为F′，那么|PF|+|PF′|＝；又F′〔﹣1，0〕，|AF′|，∴|PA|+|PF|＝+|PA|﹣|PF′|，根据图形可以看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|，∴当P在线段AF′的延长线上时，|PA|﹣|PF′|最大，为|AF′|，∴|PA|+|PF|的最大值为，应选：D．【点睛】此题考察椭圆的HY方程以及椭圆的定义的应用，涉及三角形两边之差小于第三边的几何知识，考察了数形结合思想，属于中档题．的四个顶点都在球的球面上，的外表积为，那么三棱锥体积的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据是正三角形，可得面积及外接圆的半径，利用垂径定理可得，可求得三棱锥高的最大值，进而求得体积的最大值.【详解】由题意得的面积为，又设的外心为，那么，由，得，∵面∴.∴球心O在棱锥内部时，棱锥的体积最大．此时三棱锥高的最大值为，∴三棱锥体积最大值为.应选A.【点睛】此题考察了有关球的组合体问题，考察了垂径定理的应用，考察了空间想象才能，属于中档题.，假设对任意的，关于的方程总有两个不同的实数根，那么的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，且，解得，根据且，结合图象，即可求解。
2021届安徽省皖南八校高三上学期摸底联考数学(理)试题(解析版)
2021届安徽省皖南八校高三上学期摸底联考数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}21A x x =≥，{}0B x x =≤，则()⋂=U C A B （ ）A ．()1,1-B ．(]0,1C ．1,0D ．1,0【答案】D【解析】由集合A 的描述知{|1A x x =≥或1}x ≤-，即可得U C A ，利用集合交运算求()U C A B ⋂即可.【详解】由题意得，{|1A x x =≥或1}x ≤-，{}11U C A x x =-<<，而{}0B x x =≤， ∴()(]1,0U C A B =-.故选：D 【点睛】本题考查了集合的基本运算，由集合描述求集合，利用集合的交、补运算求交集，属于简单题；2．已知命题:p m R ∃∈，()23log xf x m x =-是增函数，则p ⌝为（ ）A ．m ∃∈R ，()23log xf x m x =-是减函数B ．m R ∀∈，()23log xf x m x =-是增函数C ．m ∃∈R ，()23log xf x m x =-不是增函数D ．m R ∀∈，()23log xf x m x =-不是增函数【答案】D【解析】根据存在性命题否定直接写出结果，再对照选择. 【详解】因为,x p ∃的否定为,x p ∀⌝；所以对于命题:p m R ∃∈，()23log xf x m x =-是增函数，p ⌝为m R ∀∈，()23log x f x m x =-不是增函数故选：D【点睛】本题考查命题的否定，考查基本求解能力，属基础题.3．已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，且焦距为26则抛物线22y bx =的准线方程为（ ）A ．3x =B ．3x =C ．3y =D ．3y = 【答案】B【解析】根据双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，得到a b =，然后利用焦距为26b ，进而得到抛物线的方程求解. 【详解】因为双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，所以a b =，又焦距为26所以222266a b +==⎝⎭，解得3a b == 所以 223y x =，所以抛物线的准线方程是3x =， 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．已知向量()2,2a =，()1,b x =，若()//2a a b +，则b =（ ） A ．10 B ．2C 10D 2【答案】D【解析】先求得2a b +的坐标，再根据()//2a a b +，解得x ，然后利用求模公式求解. 【详解】因为向量()2,2a =，()1,b x =， 所以()24,22a b x +=+， 因为()//2a a b +， 所以42222x +=， 解得1x =， 所以2b =.故选：D 【点睛】本题主要考查考查平面向量共线的应用以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A ．()2sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()72sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B【解析】求出函数周期可得平移单位，由平移变换得新函数解析式． 【详解】函数的周期为π，将函数()f x 的图象向左平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为()2sin 22sin 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选：B. 【点睛】本题考查函数的周期，考查函数的图象平移变换．函数()sin()f x A x ωϕ=+向左平移α个单位得图象的解析式为()()sin g x A x ωαϕ=++⎡⎤⎣⎦．向右平移α个单位得图象的解析式为()()sin g x A x ωαϕ=-+⎡⎤⎣⎦．6．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（ ） A ．72里 B ．60里 C ．48里 D ．36里【答案】A【解析】设这个人第()N n n *∈天所走的路程为n a 里，可知数列{}n a 是公比为12q =的等比数列，求出1a 的值，进而可求得34a a +的值，即可得解. 【详解】设这个人第()N n n *∈天所走的路程为n a 里，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得16161163237813212a a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫∴+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以此人第3天和第4天共走了72里. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.7．执行如下的程序框图，为使输出的b 的值为16，则循环体的判断框内①处应开始填的整数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】根据程序流程图输出结果补全条件即可. 【详解】初始值为：2a =，1b =，当2a =时，执行122b ==，3a =， 当3a =时，执行224b ==，4a =， 当4a =时，执行4216b ==，5a =， ∴当5a =时应跳出循环，故判断条件应是4a ≤. 故选：B 【点睛】本题考查了利用输出结果补全流程图中的条件，属于简单题. 8．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xxx R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．若正实数x ，y 满足260x y xy ++-=，则2x y +的最小值为（ ） A ．()451B ．)451C ．12D ．4【答案】D【解析】由260x y xy ++==，变形为()62xy x y =-+，再利用基本不等式得到21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy ，从而得到()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，然后利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为260x y xy ++==， 所以()62xy x y =-+， 因为x ，y 为正实数，所以21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy ，当且仅当2x y =时等号成立，所以()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥.所以2x y +的最小值为4 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中直线AB (点B 为俯视图中矩形的中心)与平面ACD 所成角的余弦值为（ ）A ．45B ．35C ．310D ．310【答案】D【解析】作CD 的中点E ，通过三视图，还原几何体，得到EAB ∠即为直线平面ACD 所成角，即可求解. 【详解】如图，该几何体为一个底面为正方形的四棱锥，挖去一个半圆锥， 作CD 的中点E ，易知EAB ∠为直线AB 与平面ACD 所成的角. 又22AE =，1BE =，5AB =， 所以310cos 102225EAB ∠==⨯⨯.故选：D. 【点睛】本题考查三视图和线面夹角，属于容易题.11．已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ） A ．1010 B ．-2020C ．2020D ．4040【答案】C【解析】根据已知条件得出函数()y f x =及1x y x+=的图象都关于(0,1)对称，这样它们的交点也关于(0,1)对称，2000个交点两两配对，坐标之和易求． 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x+=，即11y x =+的图象关于点()0,1对称，即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点；则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ⎡++++++=++-+⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y ⎤-+++-+-++++-+-=⎦.故选：C ． 【点睛】本题考查函数图象的对称性，掌握对称性质是解题关键．函数()y f x =： （1）若满足()(2)2f x f m x n +-=，则函数图象关于点(,)m n 对称； （2）若满足()(2)f x f m x =-，则函数图象关于直线x m =对称．12．若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点1,0，则函数()f x 的单调递减区间为（ ） A ．,0 B ．0,C ．()(),11,0-∞-⋃-D ．(),1-∞-，1,0【答案】D【解析】先求出切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点1,0代入可得1a =，再利用导数求出函数的单调递减区间.【详解】由题意()()()2211x ax a e f x ax -+-'=+，∴()()1211e k f a -'==+，又()111e f a -=+，故曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点1,0代入可得1a =，则()()221x xe f x x -'=+，令()()2201x xe f x x -'=<+，所以1x <-或10x -<<， 故函数在(),1-∞-，1,0上单调递减.故选：D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13．已知复数z 满足：()27142i z i +=-，则z =_________________. 5【解析】根据复数代数形式的除法运算计算出复数z ，即可求出z . 【详解】42122iz i i+==-，故125z i =+=， 5【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算以及复数的模，属于基础题.14．已知点M 的坐标(,)x y 满足不等式组240{2030x y x y y +-≥--≤-≤，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是___________【答案】25【解析】由约束条件240{2030x yx yy+-≥--≤-≤作出可行域如图：由图可知，可行域内的动点到直线22y x=-+的最短距离为()2,0A到直线220x y+-=的距离，等于42255-＝25.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．已知等差数列{}n a的公差d不为0，等比数列{}n b的公比151,22q⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，若1a d=，21b d=，222123123a a ab b b++++是正整数，则实数q=____________.【答案】12【解析】由已知等差、等比数列以及1a d=，21b d=，222123123a a amb b b++=++是正整数，可得2141q qm++=，结合1512q⎡-∈⎢⎣⎭，即可求m的值，进而求q.【详解】由1a d=，21b d=，令()()223222111123221231112141a a d a da a amb b b b b q b q q q++++++===++++++，其中m为正整数，有2141q qm++=，又151,22q⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，∴271,24q q ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，71424m≤<，得78m <≤，故8m =， ∴2147184q q ++==，解得12q =或32q =-(舍去).故答案为：12【点睛】本题考查了数列，依据等差、等比数列的性质及已知条件求公比，属于中档题； 16．已知偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，若在区间[]1,3-内，函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点，则实数k 的取值范围是______________. 【答案】111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭【解析】由()(2)0f x f x -+=，得到函数的周期为2，又由()()210g x f x kx k =--+=，得到()(2)1f k x x =+-，作出两个函数的图象，利用数形结合，即可得到结论. 【详解】由题意，函数满足()()20f x f x -+=， 即()()2f x f x =+，即函数()f x 的周期为2， 当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，可得函数为单调递增函数，且()00f =，()1f e =， 当[]1,0x ∈-时，()()xf x f x x e -=-=-⋅，由图象可知当1x =时，()1f e =，当3x =时，()()31f f e ==， 即()1,B e ，()3,C e ，直线()21y k x =+-恒过点()2,1A --， 当直线()21y k x =+-经过点()1,B e 时， 此时在区间[]1,3-内两个函数有2个交点， 此时31e k =-，解得13e k +=. 直线()21y k x =+-经过点()3,C e 时， 此时在区间[]1,3-内两个函数有4个交点， 此时51e k =-，解得15e k +=. 直线()21y k x =+-经过点()0,0O 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有3个交点，此时12k =. 所以要使得函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点， 则直线的斜率满足1153e e k ++<<或12k =，即实数k 的取值范围是111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. 故答案为：111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定及其应用，其中解答中利用函数的周期性和函数的单调性之间的关系，将方程转化为两个函数的图象之间的交点个数，结合两个函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想和推理、运算能力，属于中档试题.三、解答题17．在三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin csin sin sin a A C a C b B +-=.（1）求角B 的大小； （2）若3b =ABC 面积的最大值.【答案】（1）3B π=；（2）334. 【解析】（1）结合正弦定理对已知条件进行化简后，观察等式利用余弦定理即可得正确结论；（2）根据角的转换写出关于角A 的式子，再根据A 的取值范围即可确定出三角形ABC 面积的最大值. 【详解】（1）设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R 由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +-=及正弦定理所以2222222a c ac b R R R R+-=，所以222a c ac b +-=， 即222a c b ac +-=.由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，因为0B π<<，所以3B π=.（2）因为3B π=，所以32sin sin sin 3a c bA C B====， 三角形ABC 面积1132sin 4sin sin 3sin 223S ac B A C A A π⎛⎫==⨯=- ⎪⎝⎭33cos 2A A ⎛=+⎝133333sin sin 2222444264A A A A π⎫⎛⎫=+-=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 当且仅当3A π=时，262A ππ-=，此时ABC 33. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角形的面积公式，属于中档题.18．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.【答案】（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析【解析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明 【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩. 整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭，所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题19．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1ABC 是边长为2的等边三角形,平面1ABC ⊥平面11AAC C ,四边形11AAC C 为菱形,1160AAC ∠=︒,1AC 与1A C 相交于点D .(1)求证:1BD C C ⊥.(2)求平面1ABC 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【解析】(1)由已知得1BD AC ⊥,再由平面1ABC ⊥平面11AAC C ,两个平面垂直的性质定理可得结论;(2) 以D 为原点,以DA ,DC ,DB 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,求出平面ABC 的一个法向量m 与平面1ABC 的一个法向量是DC ,再利用向量的夹角公式求解. 【详解】(1)侧面11AAC C 是菱形,D 是1AC 的中点, ∵1BA BC =,∴1BD AC ⊥.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ,且BD ⊂平面1ABC , 平面1ABC 平面111AAC C AC =,∴BD ⊥平面11AAC C ,1C C ⊂平面11AAC C , ∴1BD C C ⊥.(2)由棱柱的定义知:在三棱柱111ABC A B C -中,平面//ABC 平面111A B C , ∴平面1ABC 与平面111A B C 所成的锐二面角与二面角1C AB C --相等. ∵BD ⊥平面11AAC C ,∴1BD A C ⊥.如图,以D 为原点,以DA ,DC ,DB 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得12AC =,1AD =,13BD A D DC ===,6=BC ,∴()0,0,0D ,()1,0,0A ,()0,0,3B ,()11,0,0C -,()0,3,0C .设平面ABC 的一个法向量(),,m x y z =,()1,0,3AB =-,()0,3,3BC =-,由0AB m ⋅=,0BC m ⋅=,得30330x z y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩,可得()3,1,1m =.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ,11AC AC ⊥,∴CD ⊥平面1ABC , ∵平面1ABC 的一个法向量是()0,3,0DC =, ∵5cos m DC m DC D m C⋅⋅==即平面1ABC 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值是5. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用、二面角、线面与面面垂直,考查了空间想象能力与逻辑推理能力.20．某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图．以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率．（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率． 【答案】（1）23.1；（2）35. 【解析】（1）根据频率分布直方图得到各组频率，然后由平均数公式求解.（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，利用分层抽样得到应从第1组中抽取2个零件，从第5组中抽取3个零件，然后再利用古典概型的概率求法求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得各组频率依次为0.08,0.18,0.4,0.22,0.12， 则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12， 则应从第1组中抽取2个零件，记为A ，B ； 应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e .从这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种. 故所求概率63105P ==. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及平均数，古典概型的概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．已知点()()00,P x f x 是曲线()()211ln 2f x x a x a x =-++上任意一点，a R ∈. （1）若在曲线()y f x =上点P 处的切线的斜率恒大于23331a a a x +---，求实数a 的取值范围.（2）点()()11,A x g x ､()()22,B x g x 是曲线()()212g x x f x =-上不同的两点，设直线AB 的斜率为k .若1a =-，求证：()122k x x +>. 【答案】（1）32a <-或3a ≥；（2）证明见解析. 【解析】（1）先对函数求导，得到()()21x a x af x x-++'=，由题意，00x >时，得到()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立，即00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，令()()222230F x x ax a a x =++-->，结合二次函数的性质，即可得出结果；（2）由1a =-，得到()ln g x x =，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>，令12x t x =，()()2ln 112t f t t t =+>+，对其求导，根据导数的方法判定单调性，得出()()11f t f >=，推出121212ln ln 2x x x x x x -->+，即可证明结论成立.【详解】 （1）由()()211ln 2f x x a x a x =-++得 ()()()()()2111a a x x a x f a x a x x x x x-+-+'=-++-==， 由题意得，当00x >时，()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立， 即当00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，设函数()()222230F x x ax a a x =++-->，则其对称轴方程为x a =-，()0F x >在()0,∞+上恒成立.若0a -≤，即0a ≥，则()F x 在()0,∞+上单调递增， ∵()0F x >在()0,∞+上恒成立， ∴2 230a a --≥，解得3a ≥；若0a <，则()0F a ->，即230a -->，解得32a <-. 综上可得32a <-或3a ≥. （2）若1a =-，则()()21ln 2g x x f x x =-=，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>， 令12x t x =，()()2ln 112tf t t t =+>+，()()()()()()22222411210212121t t t f t t t t t t t -++--'=+==>+++， 故()2ln 12t f t t =++在()1,+∞上单调递增， 所以()()11f t f >=，即1212ln 2121x x x x +>+，∴121212ln ln 2x x x x x x -->+，∴()()()1212122g x g x x x x x -+⎡⎤⎣⎦>-，∴()122k x x +>得证. 综上可知，原命题得证. 【点睛】本题主要考查由导数的几何意义求参数，考查由导数的方法证明不等式，熟记导数的方法判定函数单调性，求函数最值即可，属于常考题型.22．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F 在直线3320x y -+=上，且22a b +=（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC 的重心，探求PAC 面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.【答案】（1）22142x y +=；（2）是定值，362. 【解析】（1）根据题意，得到()2,0F -，由题中条件列出方程组求解，得出2a =，2b =（2）若直线l 的斜率不存在，先求出此时PAC 的面积；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,C x y ，根据韦达定理，由题中条件，表示出点P 的坐标，代入椭圆方程，得出22122k m +=，再得到坐标原点O 到直线l 的距离为21m d k=+.【详解】（1）∵直线3320x y -+=与x 轴的交点为()2,0-，∴2c =∴22222a b a b ⎧-=⎪⎨+=+⎪⎩，∴解得2a =，2b =22142x y +=.（2）若直线l 的斜率不存在，则MO 在x 轴上，此时2OP a ==，因为点O 为PAC的重心，所以212OM ==，将1x =代入椭圆方程，可得262142x y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即6AM =，所以6363S PM AM =⋅==； 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程， 整理得()222124240kxkmx m +++-=设()11,A x y ，()22,C x y ，则122412kmx x k +=-+，()21222212m x x k-⋅=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+. 由题意点O 为PAC 的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y ++=， 所以()0122412km x x x k =-+=+，()0122212my y y k =-+=-+， 代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++， 设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则21m d k=+则PAC 的面积132S AC d =⋅ 21221121m k x k=+-⋅+1232x x m =-⋅ ()22222234421212m km m k k -⎛⎫=--⋅ ⎪++⎝⎭ ()22222123k m m +-= ()2221221212362322k k k ++-+==. 综上可得，PAC 面积S 36. 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中三角形的面积问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.1。
2021届安徽省皖南八校高三上学期摸底联考数学(理)试题(解析版)
2021届安徽省皖南八校高三上学期摸底联考数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}21A x x =≥，{}0B x x =≤，则()⋂=U C A B （ ）A ．()1,1-B ．(]0,1C ．1,0D ．1,0【答案】D【解析】由集合A 的描述知{|1A x x =≥或1}x ≤-，即可得U C A ，利用集合交运算求()U C A B ⋂即可.【详解】由题意得，{|1A x x =≥或1}x ≤-，{}11U C A x x =-<<，而{}0B x x =≤， ∴()(]1,0U C A B =-.故选：D 【点睛】本题考查了集合的基本运算，由集合描述求集合，利用集合的交、补运算求交集，属于简单题；2．已知命题:p m R ∃∈，()23log xf x m x =-是增函数，则p ⌝为（ ）A ．m ∃∈R ，()23log xf x m x =-是减函数B ．m R ∀∈，()23log xf x m x =-是增函数C ．m ∃∈R ，()23log xf x m x =-不是增函数D ．m R ∀∈，()23log xf x m x =-不是增函数【答案】D【解析】根据存在性命题否定直接写出结果，再对照选择. 【详解】因为,x p ∃的否定为,x p ∀⌝；所以对于命题:p m R ∃∈，()23log xf x m x =-是增函数，p ⌝为m R ∀∈，()23log x f x m x =-不是增函数故选：D【点睛】本题考查命题的否定，考查基本求解能力，属基础题.3．已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，且焦距为则抛物线22y bx =的准线方程为（ ）A ．x =B ．x =C ．y =D ．y = 【答案】B【解析】根据双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，得到a b =，然后利用焦距为b ，进而得到抛物线的方程求解. 【详解】因为双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，所以a b =，又焦距为所以2226a b +==⎝⎭，解得a b ==所以 2y =，所以抛物线的准线方程是x =， 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．已知向量()2,2a =，()1,b x =，若()//2a a b +，则b =（ ）A ．10B ．2CD【答案】D【解析】先求得2a b +的坐标，再根据()//2a a b +，解得x ，然后利用求模公式求解. 【详解】因为向量()2,2a =，()1,b x =， 所以()24,22a b x +=+， 因为()//2a a b +， 所以42222x +=， 解得1x =， 所以2b =.故选：D 【点睛】本题主要考查考查平面向量共线的应用以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A ．()2sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()72sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B【解析】求出函数周期可得平移单位，由平移变换得新函数解析式． 【详解】函数的周期为π，将函数()f x 的图象向左平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为()2sin 22sin 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选：B. 【点睛】本题考查函数的周期，考查函数的图象平移变换．函数()sin()f x A x ωϕ=+向左平移α个单位得图象的解析式为()()sin g x A x ωαϕ=++⎡⎤⎣⎦．向右平移α个单位得图象的解析式为()()sin g x A x ωαϕ=-+⎡⎤⎣⎦．6．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（ ） A ．72里 B ．60里 C ．48里 D ．36里【答案】A【解析】设这个人第()N n n *∈天所走的路程为n a 里，可知数列{}n a 是公比为12q =的等比数列，求出1a 的值，进而可求得34a a +的值，即可得解. 【详解】设这个人第()N n n *∈天所走的路程为n a 里，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得16161163237813212a a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫∴+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以此人第3天和第4天共走了72里. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.7．执行如下的程序框图，为使输出的b 的值为16，则循环体的判断框内①处应开始填的整数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】根据程序流程图输出结果补全条件即可. 【详解】初始值为：2a =，1b =，当2a =时，执行122b ==，3a =， 当3a =时，执行224b ==，4a =， 当4a =时，执行4216b ==，5a =， ∴当5a =时应跳出循环，故判断条件应是4a ≤. 故选：B 【点睛】本题考查了利用输出结果补全流程图中的条件，属于简单题. 8．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xxx R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．若正实数x ，y 满足260x y xy ++-=，则2x y +的最小值为（ ）A ．)41B ．)41C ．12D ．4【答案】D【解析】由260x y xy ++==，变形为()62xy x y =-+，再利用基本不等式得到21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy ，从而得到()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，然后利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为260x y xy ++==， 所以()62xy x y =-+， 因为x ，y 为正实数，所以21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy ，当且仅当2x y =时等号成立，所以()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥.所以2x y +的最小值为4 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中直线AB (点B 为俯视图中矩形的中心)与平面ACD 所成角的余弦值为（ ）A ．45B ．35C ．310D ．310【答案】D【解析】作CD 的中点E ，通过三视图，还原几何体，得到EAB ∠即为直线平面ACD 所成角，即可求解. 【详解】如图，该几何体为一个底面为正方形的四棱锥，挖去一个半圆锥， 作CD 的中点E ，易知EAB ∠为直线AB 与平面ACD 所成的角. 又22AE =，1BE =，5AB =， 所以310cos 102225EAB ∠==⨯⨯.故选：D. 【点睛】本题考查三视图和线面夹角，属于容易题.11．已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ） A ．1010 B ．-2020C ．2020D ．4040【答案】C【解析】根据已知条件得出函数()y f x =及1x y x+=的图象都关于(0,1)对称，这样它们的交点也关于(0,1)对称，2000个交点两两配对，坐标之和易求． 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x+=，即11y x =+的图象关于点()0,1对称，即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点；则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ⎡++++++=++-+⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y ⎤-+++-+-++++-+-=⎦.故选：C ． 【点睛】本题考查函数图象的对称性，掌握对称性质是解题关键．函数()y f x =： （1）若满足()(2)2f x f m x n +-=，则函数图象关于点(,)m n 对称； （2）若满足()(2)f x f m x =-，则函数图象关于直线x m =对称．12．若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点1,0，则函数()f x 的单调递减区间为（ ） A ．,0 B ．0,C ．()(),11,0-∞-⋃-D ．(),1-∞-，1,0【答案】D【解析】先求出切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点1,0代入可得1a =，再利用导数求出函数的单调递减区间.【详解】由题意()()()2211x ax a e f x ax -+-'=+，∴()()1211e k f a -'==+，又()111e f a -=+，故曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点1,0代入可得1a =，则()()221x xe f x x -'=+，令()()2201x xe f x x -'=<+，所以1x <-或10x -<<， 故函数在(),1-∞-，1,0上单调递减.故选：D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13．已知复数z 满足：()27142i z i +=-，则z =_________________.【解析】根据复数代数形式的除法运算计算出复数z ，即可求出z . 【详解】42122iz i i+==-，故12z i =+=，【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算以及复数的模，属于基础题.14．已知点M 的坐标(,)x y 满足不等式组240{2030x y x y y +-≥--≤-≤，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是___________【答案】25【解析】由约束条件240{2030x yx yy+-≥--≤-≤作出可行域如图：由图可知，可行域内的动点到直线22y x=-+的最短距离为()2,0A到直线220x y+-=的距离，等于42255-＝25.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．已知等差数列{}n a的公差d不为0，等比数列{}n b的公比151,22q⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，若1a d=，21b d=，222123123a a ab b b++++是正整数，则实数q=____________.【答案】12【解析】由已知等差、等比数列以及1a d=，21b d=，222123123a a amb b b++=++是正整数，可得2141q qm++=，结合1512q⎡-∈⎢⎣⎭，即可求m的值，进而求q.【详解】由1a d=，21b d=，令()()223222111123221231112141a a d a da a amb b b b b q b q q q++++++===++++++，其中m为正整数，有2141q qm++=，又151,22q⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，∴271,24q q ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，71424m≤<，得78m <≤，故8m =， ∴2147184q q ++==，解得12q =或32q =-(舍去).故答案为：12【点睛】本题考查了数列，依据等差、等比数列的性质及已知条件求公比，属于中档题； 16．已知偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，若在区间[]1,3-内，函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点，则实数k 的取值范围是______________. 【答案】111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭【解析】由()(2)0f x f x -+=，得到函数的周期为2，又由()()210g x f x kx k =--+=，得到()(2)1f k x x =+-，作出两个函数的图象，利用数形结合，即可得到结论. 【详解】由题意，函数满足()()20f x f x -+=， 即()()2f x f x =+，即函数()f x 的周期为2， 当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，可得函数为单调递增函数，且()00f =，()1f e =， 当[]1,0x ∈-时，()()xf x f x x e -=-=-⋅，由图象可知当1x =时，()1f e =，当3x =时，()()31f f e ==， 即()1,B e ，()3,C e ，直线()21y k x =+-恒过点()2,1A --， 当直线()21y k x =+-经过点()1,B e 时， 此时在区间[]1,3-内两个函数有2个交点， 此时31e k =-，解得13e k +=. 直线()21y k x =+-经过点()3,C e 时， 此时在区间[]1,3-内两个函数有4个交点， 此时51e k =-，解得15e k +=. 直线()21y k x =+-经过点()0,0O 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有3个交点，此时12k =. 所以要使得函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点， 则直线的斜率满足1153e e k ++<<或12k =，即实数k 的取值范围是111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. 故答案为：111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定及其应用，其中解答中利用函数的周期性和函数的单调性之间的关系，将方程转化为两个函数的图象之间的交点个数，结合两个函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想和推理、运算能力，属于中档试题.三、解答题17．在三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin csin sin sin a A C a C b B +-=.（1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 面积的最大值.【答案】（1）3B π=；（2）4. 【解析】（1）结合正弦定理对已知条件进行化简后，观察等式利用余弦定理即可得正确结论；（2）根据角的转换写出关于角A 的式子，再根据A 的取值范围即可确定出三角形ABC 面积的最大值. 【详解】（1）设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R 由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +-=及正弦定理所以2222222a c ac b R R R R+-=，所以222a c ac b +-=， 即222a c b ac +-=.由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，因为0B π<<，所以3B π=.（2）因为3B π=，所以2sin sin sin a c bA C B====， 三角形ABC面积112sin 4sin sin sin 223S ac B A C A A π⎛⎫==⨯=- ⎪⎝⎭cos 2A A ⎛=+⎝13sin sin 2222444264A A A A π⎫⎛⎫=+-=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 当且仅当3A π=时，262A ππ-=，此时ABC. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角形的面积公式，属于中档题.18．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.【答案】（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析【解析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明 【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩. 整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭，所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题19．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1ABC 是边长为2的等边三角形,平面1ABC ⊥平面11AAC C ,四边形11AAC C 为菱形,1160AAC ∠=︒,1AC 与1A C 相交于点D .(1)求证:1BD C C ⊥.(2)求平面1ABC 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【解析】(1)由已知得1BD AC ⊥,再由平面1ABC ⊥平面11AAC C ,两个平面垂直的性质定理可得结论;(2) 以D 为原点,以DA ,DC ,DB 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,求出平面ABC 的一个法向量m 与平面1ABC 的一个法向量是DC ,再利用向量的夹角公式求解. 【详解】(1)侧面11AAC C 是菱形,D 是1AC 的中点, ∵1BA BC =,∴1BD AC ⊥.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ,且BD ⊂平面1ABC , 平面1ABC 平面111AAC C AC =,∴BD ⊥平面11AAC C ,1C C ⊂平面11AAC C , ∴1BD C C ⊥.(2)由棱柱的定义知:在三棱柱111ABC A B C -中,平面//ABC 平面111A B C , ∴平面1ABC 与平面111A B C 所成的锐二面角与二面角1C AB C --相等. ∵BD ⊥平面11AAC C ,∴1BD A C ⊥.如图,以D 为原点,以DA ,DC ,DB 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得12AC =,1AD =,13BD A D DC ===,6=BC ,∴()0,0,0D ,()1,0,0A ,()0,0,3B ,()11,0,0C -,()0,3,0C .设平面ABC 的一个法向量(),,m x y z =,()1,0,3AB =-,()0,3,3BC =-,由0AB m ⋅=,0BC m ⋅=,得30330x z y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩,可得()3,1,1m =.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ,11AC AC ⊥,∴CD ⊥平面1ABC , ∵平面1ABC 的一个法向量是()0,3,0DC =, ∵5cos m DC m DC D m C⋅⋅==即平面1ABC 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值是5. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用、二面角、线面与面面垂直,考查了空间想象能力与逻辑推理能力.20．某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图．以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率．（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率． 【答案】（1）23.1；（2）35. 【解析】（1）根据频率分布直方图得到各组频率，然后由平均数公式求解.（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，利用分层抽样得到应从第1组中抽取2个零件，从第5组中抽取3个零件，然后再利用古典概型的概率求法求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得各组频率依次为0.08,0.18,0.4,0.22,0.12， 则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12， 则应从第1组中抽取2个零件，记为A ，B ； 应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e .从这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种. 故所求概率63105P ==. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及平均数，古典概型的概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．已知点()()00,P x f x 是曲线()()211ln 2f x x a x a x =-++上任意一点，a R ∈. （1）若在曲线()y f x =上点P 处的切线的斜率恒大于23331a a a x +---，求实数a 的取值范围.（2）点()()11,A x g x ､()()22,B x g x 是曲线()()212g x x f x =-上不同的两点，设直线AB 的斜率为k .若1a =-，求证：()122k x x +>. 【答案】（1）32a <-或3a ≥；（2）证明见解析. 【解析】（1）先对函数求导，得到()()21x a x af x x-++'=，由题意，00x >时，得到()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立，即00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，令()()222230F x x ax a a x =++-->，结合二次函数的性质，即可得出结果；（2）由1a =-，得到()ln g x x =，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>，令12x t x =，()()2ln 112t f t t t =+>+，对其求导，根据导数的方法判定单调性，得出()()11f t f >=，推出121212ln ln 2x x x x x x -->+，即可证明结论成立.【详解】 （1）由()()211ln 2f x x a x a x =-++得 ()()()()()2111a a x x a x f a x a x x x x x-+-+'=-++-==， 由题意得，当00x >时，()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立， 即当00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，设函数()()222230F x x ax a a x =++-->，则其对称轴方程为x a =-，()0F x >在()0,∞+上恒成立.若0a -≤，即0a ≥，则()F x 在()0,∞+上单调递增， ∵()0F x >在()0,∞+上恒成立， ∴2 230a a --≥，解得3a ≥；若0a <，则()0F a ->，即230a -->，解得32a <-. 综上可得32a <-或3a ≥. （2）若1a =-，则()()21ln 2g x x f x x =-=，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>， 令12x t x =，()()2ln 112tf t t t =+>+，()()()()()()22222411210212121t t t f t t t t t t t -++--'=+==>+++， 故()2ln 12t f t t =++在()1,+∞上单调递增， 所以()()11f t f >=，即1212ln 2121x x x x +>+，∴121212ln ln 2x x x x x x -->+，∴()()()1212122g x g x x x x x -+⎡⎤⎣⎦>-，∴()122k x x +>得证. 综上可知，原命题得证. 【点睛】本题主要考查由导数的几何意义求参数，考查由导数的方法证明不等式，熟记导数的方法判定函数单调性，求函数最值即可，属于常考题型.22．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F在直线30x y -+=上，且2a b +=（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC 的重心，探求PAC 面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.【答案】（1）22142x y +=；（2）是定值，2. 【解析】（1）根据题意，得到()F ，由题中条件列出方程组求解，得出2a =，b =（2）若直线l 的斜率不存在，先求出此时PAC 的面积；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,C x y ，根据韦达定理，由题中条件，表示出点P 的坐标，代入椭圆方程，得出22122k m +=，再得到坐标原点O 到直线l的距离为d =.【详解】（1）∵直线30x y -+=与x轴的交点为()，∴c =∴2222a b a b ⎧-=⎪⎨+=+⎪⎩，∴解得2a =，b =22142x y +=.（2）若直线l 的斜率不存在，则MO 在x 轴上，此时2OP a ==，因为点O 为PAC的重心，所以212OM ==，将1x =代入椭圆方程，可得2y ==，即AM =，所以3S PM AM =⋅==； 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程， 整理得()222124240kxkmx m +++-=设()11,A x y ，()22,C x y ，则122412kmx x k +=-+，()21222212m x x k-⋅=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+. 由题意点O 为PAC 的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y ++=， 所以()0122412km x x x k =-+=+，()0122212my y y k =-+=-+， 代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++， 设坐标原点O 到直线l 的距离为d，则d =则PAC 的面积132S AC d =⋅12x =-⋅1232x x m =-⋅m =m===. 综上可得，PAC 面积S . 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中三角形的面积问题，熟记椭圆的标准方程，努力的你，未来可期! 以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.精品。
2021届安徽省皖南八校高三上学期第一次联考数学(理)试题(解析版)
2021届安徽省皖南八校高三上学期第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}220M x x x =--≤，{}xN y y π==，则MN =（ ）A ．(]0,2B ．(]0,1C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】依题意得[]12M =-,，()0,N =+∞，直接求交集即可. 【详解】依题意得[]12M =-,，()0,N =+∞， (]0,2MN ∴=.故选：A . 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了解一元二次不等式，属于基础题. 2．已知复数z 满足2z z i -=，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．1C ．i -D ．i【答案】B【解析】设(),z a bi a b R =+∈，根据2z z i -=，求得1b =，即可求得复数z 的虚部，得到答案. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，因为2z z i -=，可得()22z z a bi a bi bi i -=+--==， 则22b =，可得1b =，所以复数z 的虚部是1. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题.3．已知实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0x y +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由不等式111333log log log 0x y xy +=>，求得01xy <<，结合充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，实数0x >，0y >，不等式111333log log log 0x y xy +=>，解得01xy <<，所以实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0y +>”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，以及对数的运算性质，其中解答中熟记充要条件的判定方法，以及熟练应用对数的运算性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 4．若tan 2α，则()()sin cos παπα⋅-+=（ ）A ．45 B ．25C ．25±D ．25-【答案】D【解析】先利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的关系化简可得结果 【详解】()()()222sin cos tan 2sin cos sin cos sin cos sin cos tan 15ααααππαααααααα-⋅+=-⋅-=⋅===-++. 故选：D 【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查同角三角函数的关系的应用，属于基础题5．定积分22sin x -⎰的值是（ ）A ．2π B ．πC ．2πD ．32π【答案】C【解析】根据定积分的性质和运算法则可得答案. 【详解】(2222221sin sin 222x dx xdx ππ---+=+=⨯=⎰⎰⎰.故选：C. 【点睛】本题考查了利用定积分的性质求值的问题，属于基础题. 6．设向量0,2a ，()2,2b =，则（ ）A ．a b =B ．()//a b b -C ．a 与b 的夹角为3π D ．()a b a -⊥【答案】D【解析】分别用坐标运算向量的模长、夹角、共线、垂直可得答案. 【详解】 因为0,2a ，()2,2b =，所以2a =，22b =，所以a b ≠，故A 错误；因为0,2a，()2,2b =，所以()2,0a b -=-，所以()a b -与b 不平行，故B 错误；又cos ,242a b a b a b⋅===⋅，所以a 与b 的夹角为4π，故C 错误； 又()000a a b ⋅-=-=， 故选：D 正确. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题.7．已知0.3a e =，12eb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log c =sin 4d =，则（ ）A ．a b c d >>>B ．a c b d >>>C ．d b a c >>>D ．b a d c >>>【答案】B【解析】由指数函数的单调性判断,a b 的范围，再由对数函数的单调性判断c 的范围，再由三角函数的性质判断d 的范围，从而可得结果 【详解】0.301e e >=，1a ∴>，11110222e ⎛⎫⎛⎫<<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，102b ∴<<，551log 7log 2>=，且55log log 51<=，112c ∴<<， ∵sin 40d =<.a cb d ∴>>>.【点睛】此题考查指数式、对数式，三角函数值比较大小，利用了函数的单调性，属于基础题 8．某特种冰箱的食物保鲜时间y （单位：小时）与设置储存温度x （单位：C ︒）近似满足函数关系3kx b y +=（k ，b 为常数），若设置储存温度0C ︒的保鲜时间是288小时，设置储存温度5C ︒的保鲜时间是144小时，则设置储存温度15C ︒的保鲜时间近似是（ ） A ．36小时 B ．48小时 C ．60小时 D ．72小时【答案】A【解析】根据两次的储存温度和保鲜时间可得3288b =、5132k=从而得到y ，再把储存温度为15°代入即可. 【详解】由题意得532883144b k b +⎧=⎨=⎩，5144132882k∴==，所以15x =时，()31551333288368k bk b y +==⋅=⨯=.故选：A . 【点睛】本题考查了求指数函数型解析式及应用.9．将函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），然后向左平移3π个单位，所得函数记为()g x .若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12g x g x =，则()12g x x +=（ ）A ．12-B ．C ．12D 【答案】D【解析】先利用函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的图像的对称性，求得12x x +的值，可得()12g x x +的值. 【详解】将函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再向左平移3π个单位，所得函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，则142,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，242,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ()()12g x g x =，12223322x x πππ+++∴=，126x x π∴+=，则()1223sin 2sin 6332g x x πππ⎛⎫+=⨯+== ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题. 10．如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D ，已知()62km CD =+，30ADB CDB ∠=∠=︒，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A 、B 两个中继站的距离是（ ）A ．3kmB ．10kmC 10kmD ．62km【答案】C【解析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒，在ADC 中，由正弦定理得362sin 223sin sin 75CD ADCAC DAC⋅∠===∠︒在BDC中，由正弦定理得1sin 1sin 2CD BDCBC DBC⨯⋅∠===∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠())22112112=+-⨯⨯=，所以AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.11．已知函数()2332xf x x x e ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()f x的极大值点为x = B ．函数()f x在(,-∞上单调递减 C ．函数()f x 在R 上有3个零点 D ．函数()f x 在原点处的切线方程为3y x =-【答案】D【解析】求出函数()f x 的导函数，用导数判断函数的单调性，并求极值，从而可以判断零点个数逐项排除可得答案. 【详解】令()0f x '=得x =或x =当((),2,x ∈-∞+∞时，()0f x '>，函数()y f x =的增区间为(,-∞，)+∞；当(x ∈时，()0f x '<，函数()y f x =的减区间为(，故B 错误. 所以当x =()y fx =有极大值，故A 错误. 当x <()23302x x x x e f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭恒成立，所以函数()y f x =在(,-∞没有零点；当x <<时，函数()y f x=在(上单调递减，且()00f =，存在唯一零点；当x >()y f x =在)+∞上单调递增，且()20f =，存在唯一零点.故函数()y f x =在R 上有两个零点，故C 错误. 函数()2332x f x x x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得()21312x e f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'，则()03f '=-； 又()00f =，从而曲线()y f x =在原点处的切线方程为3y x =-，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了用导数判断函数的单调性、极值、零点及求切线方程，要求学生有较好的理解力和运算能力，是中档题. 12．已知函数()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩以下结论正确的个数有（ ）①()50720202f =；②方程()114f x x =-有四个实根； ③当[)6,10x ∈时，()8816f x x =--；④若函数()y f x t =-在(),10-∞上有8个零点()1,2,3,,8i x i =，则()81i i i x f x =∑的取值范围为()16,0-. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩的图像和性质，逐个判断即可得解.【详解】对①，()()()()50550650720202201620242f f f f ====-=-.故①错误.对②，画出()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩图像知，()114f x x =-有四个根.故②正确.对③，当[)6,10x ∈时，()()()()()2448812812428816f x f x f x f x x x =-=-=-=-+-=--.故③正确.对④，画出图像，()y f x t =-有8个零点，即()y f x =与y t =有8个交点.此时()81iii x f x t ==∑，()814202428216ii xt t ==-⨯+⨯+⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦∑.又()2,0t ∈-.若函数()y f x t =-在(),10-∞上有8个零点()1,2,3,,8i x i =，则()81i i i x f x =∑的取值范围为()32,0-，故④错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数的图像与性质，考查了周期型函数，同时考查了数形结合思想以及作图能力，属于中档题.二、填空题13．设函数()f x 是R 内的可导函数，且()ln ln f x x x =，则()1f '=________. 【答案】2e【解析】先利用换元法求出()f x 的解析式，再对函数求导，从而可求出()1f '的值 【详解】令ln t x =，()t f t te =，所以()xf x xe =，()()1x f x x e '=+，()12f e '=.故答案：2e ， 【点睛】此题考查换元法求函数的解析式，考查函数的求导法则的应用，考查计算能力，属于基础题14．已知函数()221xf x x e ππ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则不等式()()121f x f x -<-的解集是________. 【答案】20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】根据函数的奇偶性、单调性将问题转化为121x x ->-可得解. 【详解】由于()()f x f x -=，所以函数为偶函数，当0x ≥时， ()221xf x x e ππ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()321140x f x x x e πππ-⎛⎫'=-+-< ⎪⎝⎭，所以()f x 在[)0,+∞上为减函数，在(),0-∞是增函数， 要()()121f x f x -<-，则需121x x ->-，解得20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式的问题. 15．将函数()()cos 0f x x ωω=>的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，则实数ω的最大值为________. 【答案】32【解析】求出()y g x =的平移后的解析式，再利用函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，从而得到ω的范围，进而得到其最小值. 【详解】由题意，将函数()()cos 0f x x ωω=>的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()cos 6y g x x ωπω⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2,663x ωπωπωπω⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，[]2,2,263k k ωπωππππ⎡⎤∴⊆+⎢⎥⎣⎦. ()222362k k ωπωπωπππππ∴-=≤+-=，02ω∴<≤. 240633ωπωππ∴<<≤.0k ∴=.[]2,0,63ωπωππ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦∴. 0623ωπωππ⎧>⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩，解得302ω<≤，所以实数ω的最大值为32.【点睛】本题考查三角函数的平移变换及单调性，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.16．已知ABC ∆为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上，若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最小值为________.【答案】12【解析】建立平面直角坐标系，设点()cos ,sin P θθ，[]0,θπ∈，代换化简32sin()26πλμθ+=-+求得最小值得解. 【详解】以圆心O 为坐标原点，分别以BC AO 、所在直线为x 、y 轴建立平面直角坐标系，则圆O 方程为221x y += 设点()cos ,sin P θθ，[]0,θπ∈，3),(1,0),(1,0)A B C -则由条件AP AB AC λμ=+得cos 33sin 3λμθλμθ-+=⎧⎪⎨=⎪⎩131cos 22131cos 22λθθμθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，故32sin()26πλμθ+=-+，[]0,θπ∈，当62ππθ+=，即3πθ=时,2λμ+最小值为12故答案为12【点睛】本题考查利用平面向量线性定理求最值，属于基础题.三、解答题17．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，其中0A >，0>ω，22ππϕ-<<，x ∈R ，其部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）已知函数()()cos g x f x x =，求函数()g x 的单调递增区间.【答案】（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）从函数()y f x =的图象可确定A 及ω，然后将3x π=代入，求解ϕ；（2）先写出()()cos g x f x x =的解析式并利用辅助角公式化简，然后利用整体思想求解单调区间. 【详解】解：（1）由函数()y f x =的图象可知，2A =，54632T πππ=-=，故2T π=，则1ω=， 又当3x π=时，sin 13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且22ππϕ-<<，故=6πϕ，所以()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（2）()()31cos 2sin cos 2cos cos 622g x f x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231113cos cos 2cos 2sin 222262x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， 令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得：,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈.故()g x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角函数()()sin f x A x =+ωϕ的解析式的求解及单调区间的求解问题，解答时注意数形结合、注意整体思想的运用，难度一般.18．已知函数2()(14)x mf x x x+=≤≤，且()15f =.（1）求实数m 的值，并求函数()f x 的值域；（2）函数()()122g x ax x =--<<，若对任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）4m =；值域为[]4,5；（2）3a ≥或3a ≤-.【解析】（1）由()15f =求出4m =得到()f x ，再利用单调性可求出值域； （2）对于任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立， 转化为()f x 的值域是()g x 值域的子集可求得答案. 【详解】 （1）()15f =，4m ∴=.()244x f x x x x∴+==+()f x 在[]1,2上递减，在[]2,4上递增，且()24f =，()()145f f ==.()f x ∴值域为[]4,5.（2）对于任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立， 则()f x 的值域是()g x 值域的子集； 依题意知，0a ≠当0a >时，()[]021,21g x a a ∈---，[][]4,521,21a a ∴⊆---.214215a a a >⎧⎪∴--≤⎨⎪-≥⎩.3a ∴≥. 当0a <时，()0[21,21]g x a a ∈---，[][]4,521,21a a ∴⊆---.0214215a a a <⎧⎪∴-≤⎨⎪--≥⎩.3a ∴≤-. 故3a ≥或3a ≤-. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性求值域，考查了对于任意1x D ∈，总存在0x E ∈，使得()()01g x f x =成立，转化为则()f x 的值域是()g x 值域的子集问题求解.19．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足()274cos cos 222A B A B +-+=. （1）求角C ；（2）设D 为边AB 上的点，CD 平分ACB ∠，且1CD =，若ACD △与BCD 的面积比2:1，求AC 的长. 【答案】（1）23C π=；（2）3. 【解析】（1）由已知条件可得出关于cos C 的二次方程，结合1cos 1C -<<可求得cos C 的值，由0C π<<可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可推导出:2:1:AC BC AD BD ==，设BC x =，则2AC x =，然后在ACD △和BCD 中利用余弦定理可得出关于x 的方程，可求得x 的值，进而可求得AC 的长. 【详解】（1）由已知可得()()1cos 74cos 222A B C π++⨯--=，即722cos cos 22C C --=， 2722cos 2cos 12C C --+=∴，24cos 4cos 10C C ∴++=，1cos 2C ∴=-. 0C π<<，23C π∴=； （2）由（1）知23C π=，设点D 到AC 边的距离为h ，则点D 到BC 边的距离也为h ，因为CD 平分ACB ∠，3ACD π∴∠=，11sin 232ACDCD SA h C AD π=⋅=⋅⋅，11sin 232BCDS BC BD CD h π=⋅=⋅⋅， 由:2:1ACD BCD S S =△△，得:2:1:AC BC AD BD ==. 设BC x =，则2AC x =，分别在ACD △和BCD 中由余弦定理得，22142AD x x =+-，221BD x x =+-.()()2214241x x x x ∴+-=+-，解得32x =，23AC x ∴==. 【点睛】本题考查三角形中的几何计算，考查了三角形的面积公式以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 20．设函数()()1,0f x a b a bx=>+. （1）若函数()f x 在1x =处的切线方程是430bx y +-=，求实数a ，b 的值； （2）在（1）的条件下，若()()2ln x k f x x -≥对于01x <≤恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1a b ==；（2）(,1]-∞.【解析】（1）利用导数的几何意义，求得函数()f x 在1x =处的切线方程，根据题意，列出方程组，即可求解；（2）把()()2ln x k f x x -≥，转化为()11ln 2x k x x -+≤，令()()112ln g x x x x =-+，结合导数求得函数()g x 的单调性与最小值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()1f x a bx=+，则()()2b f x a bx '=-+， 可得()()21bf a b '=-+，且()11f a b=+， 所以()f x 在1x =处的切线方程是()()211by x a b a b -=--++， 又因为函数()f x 在1x =处的切线方程是430bx y +-=，所以()()224134b b a b b a b a b ⎧-=-⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩或75a b =-⎧⎨=⎩，又由0,0a b >>，所以1a b ==. （2）由（1）可得()11f x x=+， 因为()()2ln x k f x x -≥，即()11ln 2x k x x -+≤. 令()()112ln g x x x x =-+，则()111111ln 2ln 2x x g x x x x +⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()ln 1112h x x x x g ⎛⎫'==-- ⎪⎝⎭，所以()22111122x x x x h x -⎛⎫=-+= ⎪⎝'⎭， 当(]0,1x ∈时，()0h x '≥，()h x 递增，即()g x '递增， 所以()()11ln1102g x ≤--='，所以()g x 在(]0,1递减，则()()min 11g x g ==， 可得1k ≤，即实数k 的取值范围为(,1]-∞. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21．某科技公司生产某种芯片.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片每日的销售量y （单位：枚）与销售价格x （单位：元/枚，1050x <≤）：当1030x <≤时满足关系式()23010ny m x x =-+-，（m ，n 为常数）；当3050x <≤时满足关系式704900y x =-+.已知当销售价格为20元/枚时，每日可售出该芯片7000枚；当销售价格为30元/枚时，每日可售出该芯片1500枚. （1）求m ，n 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该芯片的成本为10元/枚，试确定销售价格x 的值，使公司每日销售该芯片所获利润()f x 最大.（x 精确到0.01元/枚）【答案】（1）40m =，30000n =，()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩；（2）.166x ≈.【解析】(1)由题意得到关于实数,m n 的方程组，求解方程组可得40m =，30000n =，则每日的销售量()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩； (2)利用(1)中的结论求得利润函数，然后讨论可得：销售价格.166x ≈元/枚时，每日利润最大. 【详解】解：（1）因为20x时，7000y =；30x =时，1500y =，所以150020100700010nn m ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得40m =，30000n =，每日的销售量()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩. （2）由（1）知，当1030x <≤时：每日销售利润()()()()()22300004030104030103000010f x x x x x x ⎡⎤=-+-=--+⎢⎥-⎣⎦ ()324070150090003000x x x =-+-+，()1030x <≤.则()()()()240314015004030350f x x x x x '=-+=--，当503x =或30x =时，()0f x '=，当5010,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当50,303x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. 503x ∴=是函数()f x 在(]10,30上的唯一极大值点，50320004030000327f ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭； 当3050x <≤时：每日销售利润()()()()270490010708070f x x x x x =-+-=--+，()f x 在40x =有最大值，且()5040630003f f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭.综上，销售价格501663.x =≈元/枚时，每日利润最大. 【点睛】本题考查函数的实际应用问题，属于基础题22．已知函数()()1,,0xf x a e bx a b R ab =⋅--∈≠.（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()212sin 122ln sin x x x x x +->++. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）先对函数求导，然后分0a >，0b <；0a >，0b >；0a <，0b >；0a <，0b <四种情况讨论导函数的正负，可得其单调区间；（2）由（1）可知()10xx e f x =--≥，即1x x e ≤-恒成立，从而可得()()221lnsin sin 1ln 1x xx x e++<-，即()()()221lnsin n 11si x x x x ++<-，而()()2222lnsin 1in lns x x x x x ++<+，从而可证得结论【详解】解：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()xf x ae b '=-，当0a >，0b <时，0fx ，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >，0b >时，令0f x，得ln bx a>，令0fx ，得lnb x a<， 则()f x 在,ln b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；当0a <，0b >时，0f x ，则()f x 在(),-∞+∞上单调递减； 当0a <，0b <时，令0fx，得lnbx a<，令0f x，得ln bx a>，则()f x 在,ln b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；综上，当0a >，0b <时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a >，0b >时，()f x 在,lnb a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <，0b >时，()f x 在(),-∞+∞上单调递减； 当0a <，0b <时，()f x 在,lnb a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明：当1a b ==时，()1xf x e x =--.由（1）知，()()min 00f x f ==，所以()10xx e f x =--≥.即1x x e ≤-.当且仅当0x =时取等号. 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()210x +>，()21n s l in 0x x +<，则()()221lnsin sin 1ln 1x xx x e++<-，即()()()221lnsin n 11si x x x x ++<-，又()()2222lnsin 1in lns x x x x x ++<+，所以()()()212ln si i 221n s n x x x x x +++<-，即()()()212sin 122ln sin x x x x x +->++.【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查分类思想，属于较难题。
安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期摸底联考理科数学试题
安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期摸底联考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}21A x x =≥，{}0B x x =≤，则()⋂=U C A B （ ） A ．()1,1- B ．(]0,1 C ．1,0 D ．1,02．已知命题:p m R ∃∈，()23log x f x m x =-是增函数，则p ⌝为（ ）A ．m ∃∈R ，()23log xf x m x =-是减函数 B ．m R ∀∈，()23log xf x m x =-是增函数 C ．m ∃∈R ，()23log xf x m x =-不是增函数 D ．m R ∀∈，()23log xf x m x =-不是增函数3．已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，且焦距为物线22y bx =的准线方程为（ ）A ．x =B ．2x =-C ．y =D ．2y =- 4．已知向量()2,2a =，()1,b x =，若()//2a a b +，则b =（ ）A ．10B ．2CD 5．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A ．()2sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()72sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()22sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（ ）A ．72里B ．60里C ．48里D ．36里7．执行如下的程序框图，为使输出的b 的值为16，则循环体的判断框内①处应开始填的整数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．9．若正实数x ，y 满足260x y xy ++-=，则2x y +的最小值为（ ）A ．)41B ．)41C ．12D ．410．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中直线AB (点B 为俯视图中矩形的中心)与平面ACD 所成角的余弦值为（ ）A ．45B ．35C ．310 D11．已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x +=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）A ．1010B ．-2020C ．2020D ．404012．若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点1,0，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A ．,0B ．0,C ．()(),11,0-∞-⋃-D ．(),1-∞-，1,0二、填空题 13．已知复数z 满足：()27142i z i +=-，则z =_________________. 14．已知点M 的坐标(,)x y 满足不等式组240{2030x y x y y +-≥--≤-≤，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是___________15．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b的公比12q ⎡∈⎢⎣⎭，若1a d =，21b d =，222123123a a a b b b ++++是正整数，则实数q =____________. 16．已知偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，若在区间[]1,3-内，函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点，则实数k 的取值范围是______________.三、解答题17．在三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin csin sin sin a A C a C b B +-=.（1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 面积的最大值.18．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+. 19．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1ABC 是边长为2的等边三角形,平面1ABC ⊥平面11AAC C ,四边形11AAC C 为菱形,1160AAC ∠=︒,1AC 与1A C 相交于点D .(1)求证:1BD C C ⊥.(2)求平面1ABC 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值.20．某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图．以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率．（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率．21．已知点()()00,P x f x 是曲线()()211ln 2f x x a x a x =-++上任意一点，a R ∈. （1）若在曲线()y f x =上点P 处的切线的斜率恒大于23331a a a x +---，求实数a 的取值范围.（2）点()()11,A x g x ､()()22,B x g x 是曲线()()212g x x f x =-上不同的两点，设直线AB 的斜率为k .若1a =-，求证：()122k x x +>.22．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F在直线30x y -+=上，且2a b +=（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC 的重心，探求PAC 面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.参考答案1．D【分析】由集合A 的描述知{|1A x x =≥或1}x ≤-，即可得U C A ，利用集合交运算求()U C A B ⋂即可.【详解】由题意得，{|1A x x =≥或1}x ≤-，{}11U C A x x =-<<，而{}0B x x =≤， ∴()(]1,0U C A B =-.故选：D【点睛】本题考查了集合的基本运算，由集合描述求集合，利用集合的交、补运算求交集，属于简单题；2．D【分析】根据存在性命题否定直接写出结果，再对照选择.【详解】因为,x p ∃的否定为,x p ∀⌝；所以对于命题:p m R ∃∈，()23log x f x m x =-是增函数， p ⌝为m R ∀∈，()23log x f x m x =-不是增函数故选：D【点睛】本题考查命题的否定，考查基本求解能力，属基础题.3．B【分析】 根据双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，得到a b =，然后利用焦距为b ，进而得到抛物线的方程求解.【详解】因为双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，所以a b =，又焦距为所以22262a b ⎛+== ⎝⎭，解得a b ==所以 2y =，所以抛物线的准线方程是x =， 故选：B.【点睛】 本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．D【分析】先求得2a b +的坐标，再根据()//2a a b +，解得x ，然后利用求模公式求解.【详解】因为向量()2,2a =，()1,b x =，所以()24,22a b x +=+，因为()//2a a b +， 所以42222x +=， 解得1x =， 所以2b =.故选：D【点睛】本题主要考查考查平面向量共线的应用以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．B【分析】求出函数周期可得平移单位，由平移变换得新函数解析式．【详解】函数的周期为π，将函数()f x 的图象向左平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为()2sin 22sin 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选：B.【点睛】本题考查函数的周期，考查函数的图象平移变换．函数()sin()f x A x ωϕ=+向左平移α个单位得图象的解析式为()()sin g x A x ωαϕ=++⎡⎤⎣⎦．向右平移α个单位得图象的解析式为()()sin g x A x ωαϕ=-+⎡⎤⎣⎦．6．A【分析】设这个人第()N n n *∈天所走的路程为n a 里，可知数列{}n a 是公比为12q =的等比数列，求出1a 的值，进而可求得34a a +的值，即可得解.【详解】设这个人第()N n n *∈天所走的路程为n a 里，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得16161163237813212a a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =， 23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫∴+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以此人第3天和第4天共走了72里.故选：A.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.7．B【分析】根据程序流程图输出结果补全条件即可.【详解】初始值为：2a =，1b =，当2a =时，执行122b ==，3a =，当3a =时，执行224b ==，4a =，当4a =时，执行4216b ==，5a =，∴当5a =时应跳出循环，故判断条件应是4a ≤.故选：B【点睛】本题考查了利用输出结果补全流程图中的条件，属于简单题.8．D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D. 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．D【分析】由260x y xy ++==，变形为()62xy x y =-+，再利用基本不等式得到21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy ，从而得到()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，然后利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为260x y xy ++==， 所以()62xy x y =-+， 因为x ，y 为正实数，所以21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy ，当且仅当2x y =时等号成立，所以()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥.所以2x y +的最小值为4 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．D 【分析】作CD 的中点E ，通过三视图，还原几何体，得到EAB ∠即为直线平面ACD 所成角，即可求解. 【详解】如图，该几何体为一个底面为正方形的四棱锥，挖去一个半圆锥， 作CD 的中点E ，易知EAB ∠为直线AB 与平面ACD 所成的角.又AE =1BE =，AB =所以cosEAB ∠==.故选：D. 【点睛】本题考查三视图和线面夹角，属于容易题. 11．C 【分析】根据已知条件得出函数()y f x =及1x y x+=的图象都关于(0,1)对称，这样它们的交点也关于(0,1)对称，2000个交点两两配对，坐标之和易求． 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x+=，即11y x =+的图象关于点()0,1对称，即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点；则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ⎡++++++=++-+⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y ⎤-+++-+-++++-+-=⎦.故选：C ． 【点睛】本题考查函数图象的对称性，掌握对称性质是解题关键．函数()y f x =： （1）若满足()(2)2f x f m x n +-=，则函数图象关于点(,)m n 对称； （2）若满足()(2)f x f m x =-，则函数图象关于直线x m =对称． 12．D 【分析】先求出切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点1,0代入可得1a =，再利用导数求出函数的单调递减区间. 【详解】由题意()()()2211x ax a e f x ax -+-'=+，∴()()1211e k f a -'==+，又()111e f a -=+，故曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点1,0代入可得1a =，则()()221x xe f x x -'=+，令()()2201x xe f x x -'=<+，所以1x <-或10x -<<， 故函数在(),1-∞-，1,0上单调递减.故选：D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13【分析】根据复数代数形式的除法运算计算出复数z ，即可求出z . 【详解】42122iz i i+==-，故12z i =+=，【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算以及复数的模，属于基础题. 14【解析】由约束条件240{2030x y x y y +-≥--≤-≤作出可行域如图：由图可知，可行域内的动点到直线22y x =-+的最短距离为()2,0A 到直线220x y +-=的距离，等于.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．12【分析】由已知等差、等比数列以及1a d =，21b d =，222123123a a a m b b b ++=++是正整数，可得2141q q m++=，结合11,22q ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，即可求m 的值，进而求q . 【详解】由1a d =，21b d =，令()()223222111123221231112141a a d a d a a a m b b b b b q b q q q++++++===++++++，其中m 为正整数，有2141q q m ++=，又11,22q ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭， ∴271,24q q ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，71424m≤<，得78m <≤，故8m =， ∴2147184q q ++==，解得12q =或32q =-(舍去).故答案为：12【点睛】本题考查了数列，依据等差、等比数列的性质及已知条件求公比，属于中档题； 16．111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭ 【分析】由()(2)0f x f x -+=，得到函数的周期为2，又由()()210g x f x kx k =--+=，得到()(2)1f k x x =+-，作出两个函数的图象，利用数形结合，即可得到结论.【详解】由题意，函数满足()()20f x f x -+=， 即()()2f x f x =+，即函数()f x 的周期为2， 当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，可得函数为单调递增函数，且()00f =，()1f e =， 当[]1,0x ∈-时，()()xf x f x x e -=-=-⋅，由图象可知当1x =时，()1f e =，当3x =时，()()31f f e ==， 即()1,B e ，()3,C e ，直线()21y k x =+-恒过点()2,1A --， 当直线()21y k x =+-经过点()1,B e 时， 此时在区间[]1,3-内两个函数有2个交点， 此时31e k =-，解得13e k +=. 直线()21y k x =+-经过点()3,C e 时， 此时在区间[]1,3-内两个函数有4个交点， 此时51e k =-，解得15e k +=. 直线()21y k x =+-经过点()0,0O 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有3个交点，此时12k =. 所以要使得函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点， 则直线的斜率满足1153e e k ++<<或12k =，即实数k 的取值范围是111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. 故答案为：111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定及其应用，其中解答中利用函数的周期性和函数的单调性之间的关系，将方程转化为两个函数的图象之间的交点个数，结合两个函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想和推理、运算能力，属于中档试题.17．（1）3B π=；（2）4. 【分析】（1）结合正弦定理对已知条件进行化简后，观察等式利用余弦定理即可得正确结论；（2）根据角的转换写出关于角A 的式子，再根据A 的取值范围即可确定出三角形ABC 面积的最大值. 【详解】（1）设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R 由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +-=及正弦定理所以2222222a c ac b R R R R+-=，所以222a c ac b +-=， 即222a c b ac +-=.由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，因为0B π<<，所以3B π=.（2）因为3B π=，所以2sin sin sin a c bA C B====， 三角形ABC面积112sin 4sin sin sin 2223S ac B A C A A π⎛⎫==⨯⋅=- ⎪⎝⎭cos 2A A ⎛=+⎝13sin sin 2cos 222444264A A A A π⎫⎛⎫=+-=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当且仅当3A π=时，262A ππ-=，此时ABC. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角形的面积公式，属于中档题. 18．（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析 【分析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d+=⎧⎨+=+⎩.整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭，所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题 19．（1）证明见解析；（2. 【分析】(1)由已知得1BD AC ⊥,再由平面1ABC ⊥平面11AAC C ,两个平面垂直的性质定理可得结论;(2) 以D 为原点,以DA ,DC ,DB 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,求出平面ABC 的一个法向量m 与平面1ABC 的一个法向量是DC ,再利用向量的夹角公式求解. 【详解】(1)侧面11AAC C 是菱形,D 是1AC 的中点, ∵1BA BC =,∴1BD AC ⊥.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ,且BD ⊂平面1ABC , 平面1ABC 平面111AAC C AC =,∴BD ⊥平面11AAC C ,1C C ⊂平面11AAC C ,∴1BD C C ⊥.(2)由棱柱的定义知:在三棱柱111ABC A B C -中,平面//ABC 平面111A B C , ∴平面1ABC 与平面111A B C 所成的锐二面角与二面角1C AB C --相等. ∵BD ⊥平面11AAC C ,∴1BD A C ⊥.如图,以D 为原点,以DA ,DC ,DB 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 由已知可得12AC =,1AD =,1BD A D DC ====BC ∴()0,0,0D ,()1,0,0A,(B ,()11,0,0C -,()C .设平面ABC 的一个法向量(),,m x y z =,(AB =-,(0,BC =,由0AB m ⋅=,0BC m ⋅=,得0x ⎧-=⎪=,可得()3,1,1m =.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ,11AC AC ⊥,∴CD ⊥平面1ABC , ∵平面1ABC 的一个法向量是()DC =, ∵5cos 5m DC m DC D m C⋅⋅==即平面1ABC 与平面111A B C .【点睛】本题主要考查空间向量的应用、二面角、线面与面面垂直,考查了空间想象能力与逻辑推理能力.20．（1）23.1；（2）35.【分析】（1）根据频率分布直方图得到各组频率，然后由平均数公式求解.（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，利用分层抽样得到应从第1组中抽取2个零件，从第5组中抽取3个零件，然后再利用古典概型的概率求法求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得各组频率依次为0.08,0.18,0.4,0.22,0.12， 则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12， 则应从第1组中抽取2个零件，记为A ，B ； 应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e .从这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种. 故所求概率63105P ==. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及平均数，古典概型的概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21．（1）32a <-或3a ≥；（2）证明见解析. 【分析】（1）先对函数求导，得到()()21x a x af x x-++'=，由题意，00x >时，得到()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立，即00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，令()()222230F x x ax a a x =++-->，结合二次函数的性质，即可得出结果；（2）由1a =-，得到()ln g x x =，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>，令12x t x =，()()2ln 112t f t t t =+>+，对其求导，根据导数的方法判定单调性，得出()()11f t f >=，推出121212ln ln 2x x x x x x -->+，即可证明结论成立.【详解】 （1）由()()211ln 2f x x a x a x =-++得 ()()()()()2111a a x x a x f a x a x x x x x-+-+'=-++-==， 由题意得，当00x >时，()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立， 即当00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，设函数()()222230F x x ax a a x =++-->，则其对称轴方程为x a =-，()0F x >在()0,∞+上恒成立.若0a -≤，即0a ≥，则()F x 在()0,∞+上单调递增， ∵()0F x >在()0,∞+上恒成立， ∴2 230a a --≥，解得3a ≥；若0a <，则()0F a ->，即230a -->，解得32a <-. 综上可得32a <-或3a ≥. （2）若1a =-，则()()21ln 2g x x f x x =-=，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>， 令12x t x =，()()2ln 112tf t t t =+>+，()()()()()()22222411210212121t t t f t t t t t t t -++--'=+==>+++， 故()2ln 12t f t t =++在()1,+∞上单调递增， 所以()()11f t f >=，即1212ln 2121x x xx +>+，∴121212ln ln 2x x x x x x -->+，∴()()()1212122g x g x x x x x -+⎡⎤⎣⎦>-，∴()122k x x +>得证. 综上可知，原命题得证. 【点睛】本题主要考查由导数的几何意义求参数，考查由导数的方法证明不等式，熟记导数的方法判定函数单调性，求函数最值即可，属于常考题型.22．（1）22142x y +=；（2）是定值，2. 【分析】（1）根据题意，得到()F ，由题中条件列出方程组求解，得出2a =，b =可得出椭圆方程；（2）若直线l 的斜率不存在，先求出此时PAC 的面积；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,C x y ，根据韦达定理，由题中条件，表示出点P 的坐标，代入椭圆方程，得出22122k m +=，再得到坐标原点O 到直线l的距离为d =根据三角形面积公式，化简整理，即可得出结果. 【详解】（1）∵直线30x y -+=与x轴的交点为()，∴c =2222a b a b ⎧-=⎪⎨+=+⎪⎩，∴解得2a =，b =22142x y +=.（2）若直线l 的斜率不存在，则MO 在x 轴上，此时2OP a ==，因为点O 为PAC 的重心，所以212OM ==，将1x =代入椭圆方程，可得y ==，即2AM =，所以322S PM AM =⋅=⋅=； 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程，整理得()222124240kxkmx m +++-=设()11,A x y ，()22,C x y ，则122412kmx x k +=-+，()21222212m x x k-⋅=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+. 由题意点O 为PAC 的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y ++=， 所以()0122412km x x x k =-+=+，()0122212my y y k =-+=-+， 代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++， 设坐标原点O 到直线l 的距离为d，则d =则PAC 的面积132S AC d =⋅12x =-⋅1232x x m =-⋅m =m ===. 综上可得，PAC 面积S . 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中三角形的面积问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.。
高三数学第二次联考理试题含解析试题
“皖南八校〞2021届高三第二次联考制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
数学〔理科〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 集合，，那么等于A. B. C. D.【答案】D【解析】因为集合，，那么，应选D.2. 是虚数单位，假设是纯虚数，那么实数A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】A【解析】化简，由是纯虚数可得，解得，应选A.3. 向量满足，，，那么A. B. 3 C. 5 D. 9【答案】B【解析】因为，所以，应选B.........................4. 直线平分圆的周长，且直线不经过第三象限，那么直线的倾斜角的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的HY方程为，故直线过圆的圆心，因为直线不经过第三象限，结合图象可知，，，应选A.5. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得图象的一条对称轴的方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍可得的图象，再向左平移个单位，所得的图象，由，，时图象的一条对称轴的方程是，应选C.6. 函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得函数，为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项；又由可排除选项，应选C.7. 假设，展开式中，的系数为-20，那么等于A. -1B.C. -2D.【答案】A【解析】由，可得将选项里面的数值代入验证可得，符合题意，应选A.8. 当时，执行如下图的程序框图，输出的值是〔〕A. 28B. 36C. 68D. 196【答案】D【解析】执行程序框图，；；；，退出循环，输出，应选D.【方法点睛】此题主要考察程序框图的循环构造流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支构造还是循环构造；(3) 注意区分当型循环构造和直到型循环构造；(4) 处理循环构造的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,〔6〕在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到到达输出条件即可.9. 榫卯〔〕是我国古代工匠极为精巧的创造，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式. 我国的紫禁城，悬空寺，的廊桥等建筑都用到了榫卯构造. 图中网格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，那么其体积与外表积分别为A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，这榫卯构件中榫由一个长方体和一个圆柱拼接而成，故其体积，外表积，应选C.【方法点睛】此题利用空间几何体的三视图重点考察学生的空间想象才能和抽象思维才能，属于难题.三视图问题是考察学生空间想象才能最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译〞成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“齐，长对正，宽相等〞，还要特别注意实线与虚线以及一样图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. 椭圆的左、右焦点分别为，假设在直线上存在点使线段的中垂线过点，那么椭圆离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线上存在点使线段的中垂线过点，所以，根据种垂涎的性质以及直角三角形的性质可得，，，又因为，椭圆离心率的取值范围是，应选B.11. ，且，那么A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，，令，那么原式化为，解得舍去〕，故，那么，即，即，，解得或者，那么，应选D.12. 函数假设关于的方程至少有两个不同的实数解，那么实数的取值范围为〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】令，关于的方程至少有两个不同的实数解等价于，至少有两个不同的实数解，即函数的图象与直线至少有两个交点，作出函数的图象如下图，直线过定点，故可以寻找出临界状态下虚线所示，联立，故，即，令，解得，，故，结合图象知，实数的取值范围为，应选A.【方法点睛】函数有零点(方程根)的个数求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)别离参数法：先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题：本小题4小题，每一小题5分，一共20分.13. 在1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个不同的数，取到3的概率为_________．【答案】【解析】在、中任取三个不同的数，一共有种取法，其中一定取到的方法有种，在、中任取三个不同的数取到的概率为，故答案为.14. 的面积为，角的对边分别为，假设，，，那么___________．【答案】【解析】，，，可得，所以得，由余弦定理可得，，故答案为.15. 函数是偶函数，定义域为，且时，，那么曲线在点处的切线方程为____________．【答案】【解析】曲线在点处的切线方程为，又是偶函数，曲线在点处的切线方程与曲线在点处的切线方程成心轴对称，为，故答案为.【方法点晴】此题主要考察函数的奇偶性以及利用导数求曲线切线题，属于中档题. 求曲线切线方程的一般步骤是：〔1〕求出在处的导数，即在点出的切线斜率〔当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为〕；〔2〕由点斜式求得切线方程.16. 正方体的体积为1，点在线段上〔点异于点〕，点为线段的中点，假设平面截正方体所得的截面为四边形，那么线段长的取值范围为__________ ．【答案】【解析】依题意，正方体的棱长为，如下图，当点线段的中点时，由题意可知，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，平面与平面也有交线，故截面为五边形，平面截正方体所得的截面为四边形，线段的取值范围为，故答案为. ∽21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〔一〕必考题：一共60分17. 是等比数列，满足，且.〔Ⅰ〕求的通项公式和前项和；〔Ⅱ〕求的通项公式.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：〔I〕由，令可解得，，从而可得的通项公式和前项和；〔II〕结合〔I〕的结论，可得，从而得时，，两式相减、化简即可得的通项公式.试题解析：〔Ⅰ〕，，，，，，是等比数列，，的通项公式为，的前项和.〔Ⅱ〕由及得，时，，，，，的通项公式为.，18. 随着网络时代的进步，流量成为手机的附带品，人们可以利用手机随时随地的阅读网页，聊天，看视频，因此，社会上产生了很多低头族.某研究人员对该地区18∽50岁的5000名居民在月流量的使用情况上做出调查，所得结果统计如下列图所示：〔Ⅰ)以频率估计概率，假设在该地区任取3位居民，其中恰有位居民的月流量的使用情况在300M∽400M之间，求的期望；〔Ⅱ〕求被抽查的居民使用流量的平均值；〔Ⅲ〕经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况与其日销售份数成线性相关关系，该研究人员将流量套餐的打折情况与其日销售份数的结果统计如下表所示：折扣1折2折3折4折5折销售份数50 85 115 140 160试建立关于的的回归方程.附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】(Ⅰ)0.75；(Ⅱ)369M；(Ⅲ).【解析】试题分析：〔I〕直接根据二项分布的期望公式求解即可；〔II〕根据频率分布直方图中数据，每组数据中间值与纵坐标的乘积之和即是被抽查的居民使用流量的平均值；(Ⅲ)先根据平均值公式求出样本中心点的坐标，利用公式求出，样本中心点坐标代入回归方程可得，从而可得结果.试题解析：〔Ⅰ〕依题意，∽，故；〔Ⅱ〕依题意，所求平均数为故所用流量的平均值为；〔Ⅲ)由题意可知，，，所以，关于的回归方程为： .【方法点晴】此题主要考察二项分布的期望公式、直方图的应用和线性回归方程的求法，属于难题.求回归直线方程的步骤：①根据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是的一个三等分点〔靠近点〕，与的延长线交于点，连接.〔Ⅰ〕求证：平面平面；〔Ⅱ〕求二面角的正切值【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：〔I〕由线面垂直的性质可得，由矩形的性质可得，从而由线面垂直的断定定理可得平面，进而由面面垂直的断定定理可得结论；〔II〕以，，分别为，，轴建立如下图的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得夹角余弦值，利用同角三角函数之间的关系可得正切值.试题解析：〔Ⅰ〕证明：因为平面，所以又因为底面是矩形，所以又因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面.〔Ⅱ)解：方法一：〔几何法)过点作，垂足为点，连接.不妨设，那么.因为平面，所以.又因为底面是矩形，所以.又因为，所以平面，所以A.又因为，所以平面，所以所以就是二面角的平面角.在中，由勾股定理得，由等面积法，得，又由平行线分线段成比例定理，得.所以.所以.所以.所以二面角的正切值为.方法二：〔向量法〕以，，分别为，，轴建立如下图的空间直角坐标系：不妨设，那么由〔Ⅱ〕可得，.又由平行线分线段成比例定理，得，所以，所以.所以点，，.那么，.设平面的法向量为，那么由得得令，得平面的一个法向量为；又易知平面的一个法向量为；设二面角的大小为，那么.所以.所以二面角的正切值为.【方法点晴】此题主要考察线面垂直的断定定理及面面垂直的断定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：〔1〕观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；〔2〕写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；〔3〕设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；〔4〕将空间位置关系转化为向量关系；〔5〕根据定理结论求出相应的角和间隔 .20. 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，当点的纵坐标为1时，. 〔Ⅰ〕求抛物线的方程；〔Ⅱ〕假设抛物线上存在点，使得，求直线的方程.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：〔I〕利用拋物线的定义,结合即可得，，从而抛物线的方程为；〔II〕方程为，由得，令，，,利用韦达定理及,建立关于的方程,解方程即可求直线的方程.试题解析：〔Ⅰ〕的准线方程为，当点纵坐标为1时，，，势物线的方程为.〔Ⅱ〕在上，，又,设方程为，由得，令，，那么，，，，,，或者0，当时，过点〔舍〕，，方程为.21. 函数.〔Ⅰ〕假设，证明：函数在上单调递减；〔Ⅱ〕是否存在实数，使得函数在内存在两个极值点？假设存在，务实数的取值范围；假设不存在，请说明理由. 〔参考数据：，〕【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：〔I〕；求导得，只需利用导数研究函数的单调性，求出最大值，从而证明即可得结论；〔II〕讨论时，时两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，排除不合题意的情况，从而可得使得函数在内存在两个极值点的实数的取值范围.试题解析：〔Ⅰ〕函数的定义域是.求导得.设，那么与同号.所以，假设，那么对任意恒成立.所以函数在上单调递减.又，所以当时，满足.即当时，满足.所以函数在上单调递减.〔Ⅱ〕①当时，函数在上单调递减.由，又，时，，取，那么，所以一定存在某个实数，使得.故在上，；在上，.即在上，；在上，.所以函数在上单调递增，在只有1个极值点，不合题意，舍去；②当时，令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.故函数的单调情况如下表：0 ＋极小值要使函数在内存在两个极值点，那么需满足，即，解得又，，所以.此时，，又，；综上，存在实数，使得函数在内存在两个极值点.选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题. 假如多做，那么按所做的第一题计分.22. 平面直角坐标系中，直线的参数方程是〔为参数〕，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.〔Ⅰ〕求直线的极坐标方程；〔Ⅱ〕假设直线与曲线相交于两点，求.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)3.【解析】试题分析：〔I〕利用代入法消去参数，将直线的参数方程化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，再利用互化公式可得到直线的极坐标方程；〔II〕将直线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程,可得关于的一元二次方程,然后根据韦达定理以及极径的几何意义,可以得到的值.试题解析：〔Ⅰ〕由得，的极坐标方程为即，.〔Ⅱ〕由得，设，，那么，.23. 函数.〔Ⅰ〕假设，解不等式；〔Ⅱ〕假设不等式对任意恒成立，务实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：〔I〕对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得不等式的解集；〔II〕利用根本不等式求得的最小值为，不等式对任意恒成立，等价于，平方后利用一元二次不等式的解法求解即可求得实数的取值范围.试题解析：〔Ⅰ〕时，，由得，不等式的解集为.〔Ⅱ〕对成立，又对成立，，，即.制卷人：打自企；成别使；而都那。
安徽省皖南八校2021届高三第一次联考数学(理科)试题
“皖南八校”2021 届高三第一次联考数学（理科）本试卷满分150 分，考试时间 120 分钟。
第I 卷（选择题 共60 分）一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合2{|20}M x x x =--≤,{|π}x N y y ==，则M ⋂N = A. (0, 2]B.(0, 1]C.[-2 ,+∞ )D.[-l ,+∞) , 2. 已知复数z 满足2i z z -=, 则z 的虚部是.A.-1B.1C.-iD.i3. 已知实数x >0, y >0, 则“ xy < l ”是“1133log log 0x y +>”"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 若tan=-2，则sin(一π) • cos(π+) =A. 45B. 25C. 25±D.-255. 定积分222(sin 4x x x --⎰的值是A. π2B.πC.2πD.3π26. 设向量a = (0，2)，b = (2，2),则 A.｜a ｜=｜b ｜B.( a - b )// bC. a 与 b 的夹角为π3 D. ( a - b )⊥a7. 已知0.3e 51e ,(),log 7,sin 42a b c d ====，则A.a > b > c >dB.a > c > b > d C . d > b >a >c D.b >a >d >c8. 某特种冰箱的食物保鲜时间y (单位：小时)与设置储存温度x (单位:︒C)近似满足函数关系3kx b y +=(k ,b 为常数)，若设置储存温度0°C 的保鲜时间是288小时，设置储存温度5︒C 的保鲜时间是144 小时，则设置储存温度15︒C 的保鲜时间近似是 A. 36小时 B. 48小时 C.60小时D.72小时9. 将函数π()sin()3f x x =-的图象横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),然后向左平移π3个单位,所得函数记为g (x ). 若1212π,(0,),2x x x x ∈≠,且12()()g x g x =,则12()g x x +＝A. 12-B. 32-C. 12D.3210. 如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D , 已知 CD = (62+)km ,∠ADB ＝∠CDB =30︒,∠DCA =45︒，∠ACB = 60︒，则 A 、B 两个中继站的距离是 A. 43km B. 210km C. 10km D. 62km11. 已知函数23()(3)e 2x f x x x =-⋅,则A. 函数 f ( x ) 的极大值点为 x = 2B. 函数 f ( x ) 在 (-∞ , -2)上单调递减C. 函数 f (x ) 在 R 上有 3 个零点D. 函数 f (x ) 在原点处的切线方程为 y = -3x12. 已知函数|4|2,2,()2(4), 2.x x f x f x x +-<-⎧=⎨-≥-⎩以下结论正确的个数有①507(2020)2f =; ②方程1()14f x x =-有四个实根； ③当[6,10)x ∈时，()8|8|16f x x =-- ;④若函数y = f (x )一t 在( -∞,10)上有8个零点x i (i = 1, 2, 3,…, 8),则81()i i i x f x =∑的取值范围为(-16 , 0 ) .A. lB. 2C. 3D. 4第1I 卷（非选择题 共 90 分 ）二、填 空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在题中的横线上．13.设函数f (x )是R 内的可导函数,且f (ln x )=x ln x ,则f´(1)= .14. 已知函数||221()()e πxf x x π-=+-，则不等式(1)(21)f x f x -<-的解集是 .15. 将函数()cos (0)f x x ωω=>的图象向左平移π6个单位长度后,得到函数y = g (x )的图象，若函数g (x )在区间π[0,]2上是单调递减函数，则实数ω的最大值为 .16. 如图，已知△ABC 为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上,若AP AB AC λμ=+,则2λμ+的最小值为 .三、解答题：本大题共6,小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17. (本小题满分10 分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+,其中ππ0,0,,22A x ωϕ>>-<<∈R , 其部分图象如图所示.(1)求函数y =f (x ) 的解析式;(2) 已知函数g (x ) = f (x )cos x ,求函数g (x )的单调递增区间.18. (本小题满分12 分)已知函数2()(14)x mf x x x +=≤≤, 且f (l ) = 5. (1) 求实数 m 的值 ，并求 函 数 f ( x ) 的 值 域；(2) 函数 g (x )=ax -l ( - 2< x < 2),若对任意x ∈[1,4], 总存在x 0 ∈[-2,2],使得g (x 0)=f (x 1)成立，求实数a 的取值范围．19. (本小题满分12分)在△ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c , 且满足274cos cos 2()22A B A B +-+=. (1) 求角C ;(2) 设D 为边AB 上的点，CD 平分∠ACB ,且 CD = l, 若△ACD 与△BCD 的面积比 2 : 1 ,求 AC 长．20. (本小题满分12分) 设函数1()(,0)f x a b a bx=>+ . (1)若函数f ( x )在x = l 处 的切线方程是bx + 4y - 3 =0 , 求实数 a , b 的值； ( 2) 0在 (1)的条件下，若2(x - k )f ( x )≥ln x 对于0<x ≤1恒成立，求实数k 的取值范围.21. (本小题满分12 分)某科技公司生产某种芯片.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片每日的销售量y (单位：枚)与销售价格x (单位：元／枚，10<x ≤50):当10<x ≤30时满足关系式y = m ( x -30)2+nx -10,(m , n 为常数)；当30< x ≤50时满足关系式y =-70x + 4900.已知当销售价格为20 元／枚时，每日可售出该芯片7000 枚；当销售价格为30 元／枚时，每日可 售出该芯片1500枚．(1 ) 求 m , n 的值，并确 定 y 关 于x 的函数解析式 ；( 2 ) 若该芯片的成本为 10 元／枚，试确定销售价格 x 的值，使公司每日销售该芯片所获利润f ( x )最大. ( x 精确到 0. 01 元／枚）22. (本小题满分12 分）已知函数()e 1(,,0)x f x a bx a b ab =⋅--∈≠R . (1) 讨论f (x )的单调性；(2)证明：当π(0,)2x ∈时，2(1)2(sin )1(22)lnsin x x x x x +->++.。
2021届皖南八校高三上学期第二次联考数学(理)试题及答案
一、选择题：本题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}3{2,1,0,1},|20A B x x x =--=+<，则A B ⋂=（ ） A ．{1}- B ．{1,0}- C ．{2,1,0}-- D ．{1,0,1}-2．数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker ，1823-1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．设i 为虚数单位，复数(2)43z i i -=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．12i - D ．12i +3．0y ±=，且与椭圆2228x y +=有共同焦点，则双曲线的方程为（ ）A ．222213y x -= B ．2213y x -= C ．2214y x -= D ．2219y x -= 4．若{}n a 是公比为e 的正项等比数列，则{}31ln n a -是（ ） A ．公比为3e 等比数列 B ．公比为3的等比数列 C ．公差为3e 的等差数列 D ．公差为3的等差数列5．(6,13)A 和(12,11)B 是平面上圆C 上两点，过A ，B 两点作圆C 的切线交于x 轴上同一点，则圆C 的面积为（ ） A ．838π B ．212π C ．858π D ．434π 6．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，1PA =．过BD 作与侧棱PC 垂直的平面BDE ，交PC 于点E ．则CE 的长为（ ）A B C D 7．已知正实数a ，b ，满足a b >，则（ ）A ．ln(1)0a b -+<B ．3a ba b π--< C ．11a b a b +>+ D ．11a b a b->- 8．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4．在某一球内任意取一点，则此点取自球的一个内接正方体的“牟合方盖”的概率为（ ）A ．12 B ．23C D 9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,)M x y 为阴影区域内的动点（不包括边界），这里||,||x y ππ<<，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．sin()0x y ->B ．sin()0x y -<C ．cos()0x y ->D ．cos()0x y -< 10．设正实数a ，b ，c ，满足2ln 2ac eb b ce ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c << 11．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果*n ∀∈N 都有112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足*9,2n n b S n +=∈N ，数列{}n c 满足12,n n n n c b b b n *++=∈N ．设n T 为{}n c 的前n 项和，则当n T 取得最大值时，n 的值等于（ ）A ．17B ．18C ．19D ．2012．已知直线(1)(0)y a x a =->与曲线()cos ((,))f x x x ππ=∈-相切于点A 、与曲线的另一交点为B ，若A 、B 两点对应的横坐标分别为1212,()x x x x <，则()111tan x x -=（ ） A ．1- B ．2 C ．1 D ．2- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知角6πα+的终边与单位圆交于点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_________．14．若21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则展开式中的含4x 项的系数为________．（用数字作答）．15．如图所示，已知M ，N 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上关于原点对称的两点，点M 与点Q 关于x轴对称，2516ME MQ =，直线NE 交双曲线右支于点P ，若2NMP π∠=，则e =_____________．16．已知(,0)(0),(1,0)a x x b =>=||||||a b a a +-=，则a =___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知三角形ABC 三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin cos 2A Cb A +=． （1）求角B ； （2）若4A π=，角B 的平分线交AC 于点D ，2CD =，求BCDS ．18．（12分）8月10日，2020年《财富》世界500强排行榜正式发布．中国大陆（含香港）公司数量达到124家，历史上第一次超过美国（121家）．2008年中国加入世贸组织时中国大陆进入世界500强的企业12家，以后逐年增加，以下是2016——2020年（年份代码依次为1，2，3，4，5）中国大陆进入世界500强的企业数量．（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的回归方程．并预测2021年中国大陆进入世界500强的企业数量，结果取整；（2）2020年《财富》榜单显示共有7家互联网公司上榜，中国大陆4家、美国3家．现某财经杂志计划从这7家公司中随机选取3家进行深度报道，记选取的3家公司中，中国大陆公司个数为ξ，求ξ的分布列与期望． 参考数据：51566ii y==∑，511750i i i x y ==∑．参考公式：回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211,nnii i ii i nniii i xx y y x ynx yb a y bx xx xnx ====--⋅-⋅===---∑∑∑∑．19．（12分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知1//,,2AB CD AD CD AB AD CD ⊥==，M 为EC 的中点．（1）求证：//BM 平面ADEF ；（2）求平面BMD 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值． 20．（12分） 已知函数1()()x f x x m e m x -⎛⎫=-+⋅∈⎪⎝⎭R ．（1）求证：当0m =时，函数()f x 在(,0)-∞内单调递减；（2）若函数()f x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点，求m 的取值范围． 21．（12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>，点P 为y 轴左侧一点，A ，B 为抛物线C 上两点，当直线AB 过抛物线C 焦点F 且垂直于x 轴时，AOB 面积为2． （1）求抛物线C 标准方程；（2）若直线,PA PB 为抛物线C 的两条切线，设PAB 的外心为M （点M 不与焦点F 重合），求sin PFM ∠的所有可能取值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ+=． （1）求圆C 普通方程和直线l 直角坐标方程； （2）点P 极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 的交点为A ，B 两点A ，B 中点为Q 求线段PQ 的长． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0,2x y >>=，证明：（1）222x y +≥； （21+． “皖南八校”2021届高三第二次联考·数学（理科）参考答案、解析及评分细则1．A 因为{}2|20B x x x =+<，所以{|20}B x x =-<<，因为{2,1,0,1}A =--，所以{1}A B ⋂=-． 2．C ∵43(43)(2)510(2)43,122(2)(2)5i i i iz i i z i i i i ++++-=+====+-+-，∴12z i =-．3．B 椭圆2228x y +=，即22184x y +=的焦点为(2,0)±．可设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，可得224a b +=0y ±=，可得ba=，解得1,a b ==，则双曲线的方程为2213y x -=．4．D 令31ln n n b a -=，则132ln n n b a ++=，所以332131lnln 3n n n n a b b e a ++--===． 5．C 由题意可知AB 中垂线为,CD AB 中点(9,12)E ，则直线CD 方程为：315y x =-，故(5,0)D ，在ACD 中，AD ==2ABAE ==，DE ==∵CAD AED ∽，故CA AEAD ED=，AD AE r CA ED ⋅===C 面积为858π．6．D 依题意，,PB BC PC BE ⊥⊥，所以2BC CE CP =⨯，易知PB CP ==，则CE7．D 对A ，取3,2a b ==，则ln(1)ln20a b -+=>，故错误；对B ，取3,2a b ==，则113π>，故错误；对C ，取11,24a b ==，则151********+=<+=，故错误；对D ，由0a b >>可知11b a>，由同向不等式相加的性质可得11a b b a +>+，可得11a b a b->-． 8．C，则球的内接正方体的棱长为a ，正方体的内切球的半径2ar =， ∴正方体的内切球的体积33 4326a V a ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭内接球，又由已知 4V V π=内接球牟合方盖，∴33 4263V a a ππ=⨯=牟合方盖，∴此点取自球的内接正方体的“牟合方盖”的概率为332343a π=⎫⎪⎝⎭9．A 由于||,||x y ππ<<，则||2x y π-<．设与y x =相平行的直线的方程为x y m -=，当直线x y m -=过点(,)ππ-时，2m π=-；当直线x y m -=过点(,0)π-和(0,)π时，m π=-；直线x y m -=过点(0,)π-和(,0)π时，m π=．则由图中阴影部分可得2x y ππ-<-<-或0x y π<-<，这里,x y ππππ-<<-<<．则一定有sin()0x y ->．10．B 设()(0)xf x xe x =>，易得()f x 在(0,)+∞单调递增，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x e ⎫∈⎪⎝⎭，2<，所以1,12c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ln ln ln bc b b b e ce =⋅=，故ln b c =，即)cb e e =∈，而ln 2122a =<，所以a c b <<． 11．D 当1n =时，1111112S a a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，整理得211a =，因为0n a >，所以11a =， 当2n 时，11112n n n n n S S S S S --⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，可得111n n n n S S S S --+=-，所以2211n n S S --=，即数列{}2n S 是一个以1为首项，1为公差的等差数列，所以21(1)n S n n =+-=，由0n a >，可得0n S >，故n S =，则999222n c ⎛=--⎝，当120n 时，0n b >；当21n 时，0n b <，故当118n 时，0n c >；当19n =时，190c <；当20n =时，200c >，当21n 时，0n c <，又192099(9022c c ⎛+=--->⎝，故当20n =时，n T 取得最大值． 12．C 如图直线l 与()cos f x x =相切于点A ，则()11,cos ,()sin A x x f x x '=-，直线过定点(1,0)，则111cos sin 1x x x =--，∴()111tan 1x x -=．13．2425-由题意34sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则24cos 2cos 22sin cos 6626625πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=++=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．14．10 由展开式的各项系数之和为32，则()52103155232,5,rnrr r r r n T C x x C x ---+====．令1034r -=，解得2r =，所以展开式中的含4x 项的系数为10． 15．54 设()()1122,,,M x y P x y ，则()()1111,,,N x y Q x y ---．由2516ME MQ =，得1117,8E x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭从而有11119,16MN PN EN y y k k k x x ===-，又1190,MN y NMP k x ∠==，所以11MP xk y =-， 又由()()()()22112212121212222222221111x y a b x x x x y y y y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⇒+-=+-⎨⎪-=⎪⎩，从而得到22PM PNb k k a ⋅=所以211211991616PM PN x y b k k y x a ⎛⎫⋅=-⋅-== ⎪⎝⎭，所以54e ==． 16．1,02⎛⎫⎪⎝⎭||||||a b a a+-=等价于=如图，构造三角形,ABC AD 为BC 边上的高且1AD =，其中,AB x AC ==，则BD =DC =11sin 22ABCSAB AC BAC ADBC =⋅⋅∠=⋅，即111222BAC ∠==，则sin 1BAC∠=，故222AB ACBC +=， 则222(x x +==，化简得210x x --=，又0x >，解得12x =，故51a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．17．解：（1）因为2sincos2A Cb A +=，由正弦定理可得 22sin sin cos sin 222B B B A A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 2分因为0,0A B ππ<<<<，所以sin 0,0,,sin 0222B BC π⎛⎫>∈> ⎪⎝⎭， 则22sincos 222B B B=，4分 故tan2B =3B π=．6分（2）由（1）可知6ABD CBD π∠=∠=，又4A π=；所以75,1212ADB CDB ππ∠=∠=，可得512BCD π∠=，所以BC BD =， 8分 在BCD 中，由正弦定理可得5sinsin 612CD BD ππ=，故5sin12sin 6BD CD ππ=⋅=+ 10分211sin sin 2226BCDSCB BD CBD BD π=⋅⋅⋅∠=⋅=． 12分 18．解：（1）由题意可知3x =，113.2y =，()52110ii x x =-=∑，()()551111750356652niii i i i i i x x yy x y x y ===--=-=-⨯=∑∑∑， 2分()()()12152ˆ 5.210nii i ni i xx y y bx x ==--===-∑∑，ˆˆ113.2 5.2397.6ay bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的回归方程为ˆˆ97.6 5.2y x =+． 5分 将ˆ6x =代入，得ˆ128.8129y=，故预计2021年中国大陆进入世界500强的企业数量大约129家． 6分（2）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3， 8分0124433377112(0),(1)3535C C C P P C C ξξ======， 213043433377184(2),(3)3535C C C C P P C C ξξ======． 所以ξ的分布列为： 10分112184120123353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 12分 19．（1）证明：设N 为DE 中点， 连接,MN AN （如图），因为M 为EC 的中点， 所以MN 为CDE 中位线， 所以//MN CD ，且12MN CD =． 又因为//AB CD ，且12AB CD =， 所以//AB MN ，且AB MN =． 所以四边形ABMN 为平行四边形，所以//BM AN ． 2分 因为AN ⊂平面,ADEF BM ⊄平面ADEF ， 所以//BM 平面ADEF ． 4分 （2）解：由已知，平面ADEF⊥平面ABCD ，且四边形ADEF 为正方形，所以DE AD ⊥．又平面ADEF ⋂平面ABCD AD =，所以DE ⊥平面ABCD ，又DC ⊂平面ABCD 所以DE DC ⊥．又因为,AD CD DE DA ⊥⊥，所以,,DA DC DE 两两互相垂直．如图，以D 为坐标原点，以,,DA DC DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、之轴，建立空间直角坐标系． 6分不妨设1AB =，则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)D A B C E ， 因为M 为EC 的中点，所以10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．于是1(1,1,0),0,1,2DB DM ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设平面BDM 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0.n DB n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,10.2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1x =，则(1,1,2)n =-．易知平面ABF 的法向量为(1,0,0)DA =， 8分 设平面BMD 与平面ABF 所成锐二面角为θ，则cos |cos ,|||||6n DA n DA n DA θ⋅=〈〉===⋅所以平面BMD 与平面ABF 12分 20．（1）证明：函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞． 1分当0m =时，3221()xx x x f x e x ----'=⋅． 2分设32()1g x x x x =---，则2()321(31)(1)g x x x x x '=--=+-． 则当1,3x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()0g x '<，函数()g x 单调递减． 4分所以在(,0)-∞内，函数()g x 的最大值为122327g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 即在(,0)-∞内，函数()0g x <．由于20,0x e x ->>，所以在(,0)-∞上，()0f x '<． 5分 所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减． 6分（2）解：322(1)1()xx m x x f x e x--+--'=⋅． 7分 设322()(1)1,()32(1)1g x x m x x g x x m x '=-+--=-+-．若函数()f x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点，则函数()g x 在区间(1,2)上有且只有一个零点，且()g x 在这个零点两侧异号．设()1212,x x x x <是函数()g x '的两个零点（24(1)120m ∆=++>，方程()0g x '=有两个不相等的实数根）．则函数()g x 在()1,x -∞内单调递增，在()12,x x 内单调递减，在()2,x +∞内单调递增．由于()1212,x x x x <是方程232(1)10x m x -+-=的两根，且1213x x ⋅=-， 则120,0x x <>，又(0)1g =-，则()20g x <． 9分若函数()g x 在区间(1,2)上有且只有一个零点0x ，则(1)0(2)0g g <⎧⎨>⎩．解得124m -<<． 10分 当()01,x x ∈时，()0()0,,2g x x x <∈时，()0g x >，所以()g x 在这个零点两侧异号，即()f x '在这个零点两侧异号． 11分 当2m ≤-时，(1)20g m =--． 又(1)0,()0g g x ''>>在(1,2)内成立，所以()g x 在(1,2)内单调递增，故()f x 无极值点．当14m时，(2)0,(0)0g g <，易得(1,2)x ∈时，()0g x <，故()f x 无极值点． 所以当函数()f x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点时，m 的取值范围是12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭． 12分21．解：（1）当直线AB 过抛物线焦点F 且垂直于x 轴时，A ，B 两点横坐标为2p， 代入抛物线方程，可得22y p =，故2AB p =∣， 2分2122222ABOp p Sp =⋅⋅==，得2p =， 3分 故抛物线C 标准方程为24y x =． 4分 （2）设()()2211224,4,4,4A t t B t t ． 5分易知直线211:24PA t y x t =+，直线222:24PB t y x t =+， 6分 联立得()()12124,2P t t t t +则,PA PB 的中垂线方程分别为：1l ：()()2111212243y t x t t t t t +=+++，2l ：()()2221221243y t x t t t t t +=+++． 8分联立12,l l 解得：()()()()21212121221,4M t t t t t t t t ++-+++， 9分 由于(1,0)F ，故()1212122,22FP t t t t ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()()2121212122,4FM t t t t t t t t =+-+++()()()()()2121212*********,22,42FP FM t t t t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()222212121212121282820t t t t t t t t t t t t =+-+-+++=， 11分故FP FM ⊥，所以2PFM π∠=，则sin PFM ∠的所有可能取值为1． 12分22．解：（1）由题意可知圆C 普通方程为22(2)4x y -+=，直线l 直角坐标方程为10x y +-=． 4分（2）点P 直角坐标为(0,1)，设直线l的参数方程为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入圆普通方程得210t ++=，6分设A ，B 对应参数为12,t t ，则Q 对应的参数为122t t +， 8分故12|||22t t PQ +==∣． 10分 23．解：（1）222()2x y x y++， 2分 而(2x x y++=， 4分 故222x y+，当且仅当1x y ==不等式取等号；5分（2）由柯西不等式可得211)(4x y ⎛⎫+++++=， 8分114=1+，当且仅当1x y ==不等式取等号． 10分。
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数学（理科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑；第Ⅱ卷请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的
从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地.”那么，此人第 3 天和第 4 天共
走路程是（ ）
A.72 里
B.60 里
C.48 里
D.36 里
7.执行右边的程序框图，为使输出的 b 的值为 16，则循环体的判断框内①处应开始填的整数为（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
8.函数 y 2 x sin 2x 的图象可能是（ ）
答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：必修全册+选修 2-1，2-2.
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求的.
1.已知全集U R ，集合 A x x2 1 ， B x x 0 ，则 CU A B （ ）
A.
B.
C.
D.
9.若正实数 x，y 满足 2x y xy 6 0 1
B. 4 5 1
C.12
D.4
2
10.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中直线 AB（点 B 为俯视图中矩形的中心）与平面 ACD 所
成角的余弦值为（ ）
4
3
数 g x f x kx 2k 1有且仅有 3 个零点，则实数 k 的取值范围是______________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分 10 分）
在三角形 ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a sin A csin C a sin C b sin B .
A.1010
B.-2020
C.2020
D.4040
12.若曲线 f x ex2 在点 1, f 1 处的切线过点 1, 0 ，则函数 f x 的单调递减区间为（ ） ax 1
A. ,0
B. 0,
C. , 1 1,0
D. , 1 ， 1,0
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
an
的公差
d
不为
0、等比数列
bn
的公比
q
1 2
,
5 1 2
，若
a1
d
， b1
d2
，
a12 a22 a32 是正整数，则实数 q ____________. b1 b2 b3
3
16.已知偶函数 f x 满足 f x f x 2 0 ，且当 x 0,1 时， f x x ex ，若在区间1,3 内，函
（1）求证： BD C1C . （2）求平面 ABC1 与平面 A1B1C1 所成锐二面角的余弦值.
20.（本小题满分 12 分）
某工厂生产了一批零件，从中随机抽取 100 个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成 10,15 ， 15, 20 ， 20, 25 ， 25,30 ， 30,35 5 组，得到如图所示的频率分布直方图.以这 100 个零件的长度在
（1）求角 B 的大小；
（2）若 b 3 ，求三角形 ABC 面积的最大值.
18.（本小题满分 12 分）
已知等差数列an 的公差为 d d 0 ，等差数列bn 的公差为 2d ，设 An ，Bn 分别是数列an ，bn 的
前 n 项和，且 b1 3 ， A2 3 ， A5 B3 .
（1）求数列an ，bn 的通项公式；
3.已知双曲线
y2 a2
x2 b2
1a
0, b
0 的两条渐近线互相垂直，且焦距为 2
6 ，则抛物线 y2 2bx 的准线
方程为（ ）
A. x 3
B. x 3 2
C. y 3
4.已知向量 a 2, 2 ， b 1, x ，若 a// a 2b ，则 b （
D. y 3 2
）
A.10
B.2
C. 10
D. 2
5.将函数
f
x
2 sin
2x
3
的图象向左平移
1 4
个周期后，所得图象对应的函数为（
）
1
A.
g
x
2
sin
2x
12
B.
g
x
2
sin
2
x
6
C.
g
x
2 sin
2x
7 12
D.
g
x
2
sin
2
x
2 3
6.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走 378 里路，第一天健步行走，
3
3 10
A.
B.
C.
D.
5
5
10
10
11. 已 知 函 数 f x x R 满 足 f x 2 f x ， 若 函 数 y x 1 与 y f x 图 象 的 交 点 为
x
x1, y1 , x2 , y2 ,, x2020 , y2020 ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）
13.已知复数 z 满足： 1 i2 z 4 2i7 ，则 z _________________.
2x y 4 0
14.已知点
M
的坐标
x,
y
满足不等式组
x
y
2
0
，N 为直线 y 2x 2 上任一点，则 MN 的最小
y 3 0
值是______________.
15. 已 知 等 差 数 列
（2）设 cn
bn
an
1 an1
，数列
cn
的前 n 项和为 Sn ，证明： Sn
n 1 2 .
19.（本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， △ABC1 是边长为 2 的等边三角形，平面 ABC1 平面 AA1C1C ，四边
形 AA1C1C 为菱形， AA1C1 60 ， AC1 与 A1C 相交于点 D.
A. 1,1
B. 0,1
C. 1,0
D. 1,0
2.已知命题 p : m R ， f x 3x m log2 x 是增函数，则 p 为（ ） A. m R ， f x 3x m log2 x 是减函数 B. m R ， f x 3x m log2 x 是增函数 C. m R ， f x 3x m log2 x 不是增函数 D. m R ， f x 3x m log2 x 不是增函数