24.1.2垂径定理 公开课获奖课件

• 蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》 郭璞的《游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
第24章
24.1圆、、垂径定理、圆心角、圆周角（1） 24.1.2垂径定理 人教版·九年级上册
学习目标：
• 1.理解圆的轴对称性。 • 2.掌握垂径定理及推论，能用垂径定理及其推论进行有关计算和证
明，进一步应用垂径定理解决实际问题。 • 3.学习中通过对比理解垂径定理及其推论，应用中将实际问题转化
为数学问题，培养建模思想和提高分析问题、解决问题的能力。
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国 古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的 长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱 的半径吗？
实践探究
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；
⌒⌒
（4）若AN = BN ，MN为直径，则________，________，
________．
辨别是非
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线一定经过圆心 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
• 蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》 郭璞的《游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得动耕 人。
O
D
A
B
1.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半
径为 13 cm . 4 C
A
D
B
O
2.已知：P为 ⊙O 内一点，且OP＝2cm，如果
⊙O 的半径是 3cm
那么过P点的最短 的弦等于 2 5cm .
B
O
D
P E
C
A
思考
已知：⊙O的半径为5 ,弦AB∥CD ， AB = 6 ，CD =8 . 求： AB与CD间的距离
即ＡＥ＝ＢＥ
⌒ ⌒⌒ ⌒
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
·O
E
A
B
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分
弦所对的两条弧．
思考： 平分弦的直径垂直于这条弦吗？
平分弦的直径垂直于弦（ ）
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
1.被平分的
C
弦不是直径
O
A
E
D
2.被平分的弦是直径
CD是直径
AE=BE AB不是直径
O
A
C
E
D
B
4.已知：如图△ABC的三个顶点都在⊙O 上，AD⊥BC，E为BC 的中点
求证：∠EAD=∠OAE
A
O
∟
B
D
C
E
5.已知：如图，⊙O中AB和AC的中点分别是点F和点E,EF分别交 AC和AB于P,Q两点，判断△APQ是什么三角形？
A
E
F
P
Q
C O B
实际应用
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７.2 m ，
练习
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
O
A
B
600
2.已知：如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于P，
且∠APC=45°,AP=5,PB=1
求CD的长
C
E
A
B
P
D
4.已知：如图，在同心圆O中，大⊙O的弦AB 交小⊙O于C,D两点 求证：AC=DB
过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘
宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过
拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C
M
N
H
E A
DF
B O
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了 ，就不 贴了orz 。
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你 发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它 的对称轴．
●O
判断对错ห้องสมุดไป่ตู้说明理由
圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，它的对称轴是它的直径
（
）
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
活动三
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为
3cm，求⊙O的半径．
A
E
B
·
O
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB 于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
C
E
·O
A
D
B
3.在直径是20cm的⊙O 中， ∠AOB的度数是
60 ，那么弦AB的弦心距是 5 3cm .
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧
7.2米
37.4米
1300多年前,我国隋朝建的赵州石 拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨 度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
解决求赵州桥拱半径的问题
例1.如图，用
Ａ⌒Ｂ
AB
表示主桥拱，设
C
C
O
B
A
Ｅ
图1 D
O
A
Ｅ
B
图2 D
C
O Ｅ
B
A
D
图3
C
O
A
ＥB
D 图4
O
A
D
B
图5
O
A
Ｅ
B
D 图6
练习2、按图填空：在⊙O中，
M
（1）若MN⊥AB，MN为直径， 则________，________，________；
Ｏ
Ａ
CＢ
（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，
N
则________，________，________；
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B
重合，AE与BE重合，Ａ⌒Ｃ和Ｂ⌒Ｃ重合，Ａ⌒Ｄ和Ｂ⌒Ｄ重合．
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的 对称轴 （2）线段：AE=BE
弧：Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
C
·O
E
A
B
D
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且
平分Ａ⌒Ｂ 及 ＡＣ⌒Ｂ
C
⌒
ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为
⌒
R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，
根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是ＡＢ 的中点，CD 就是拱
高．
C
A
D
B
R
O
A
E
B
.
O
F
A
E
B
.
O
思路：（由）垂径定理——构造Rt△—— （结合）勾股定理——建立方程
构造Rt△的“七字口诀”： 半径半弦弦心距
B
可推得
C B
O
A D
CD⊥AB,
⌒⌒
AC=BC,
⌒⌒
AD=BD.
几何语言表达
Ｃ
Ｏ
Ａ
MＢ
Ｄ
垂径定理：
CD是直径 CD⊥AB
可推得
垂径定理的推论：
CD是直径 AM=BM AB不是直径
可推得
AM=BM,
⌒⌒
AC=BC,
A⌒D=B⌒D.
CD⊥AB,
⌒⌒
AC=BC,
A⌒D=B⌒D.
辨别是非
下列哪些图形可以用垂径定理，你能说明理由吗？