垂径定理

由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②④CDA⌒⊥C=AB⌒BC, , ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平
如图, 对于一个圆和一条直线来说,如果在下 列五个条件中:
① CD是直径,
④A⌒C=B⌒C,
② CD⊥AB,
⑤A⌒D=B⌒D.
③ AM=BM,
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且
平分弦所对的弧.
已知：⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E，且AE=BE
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C.
证明：连结OA，OB，则OA=OB
∴△AOB是等腰三角形 ∵AE=BE, ∴CD⊥AB （等腰三角形三线合一） ∴A⌒D=B⌒D，A⌒C=B⌒C （垂径定理）
（7）平分弦的直线，必定过圆心。
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。
A
C
C
C
OD
•O
(1) B
A
B
(2) D
•O
A
B
(3) D
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。
（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
•O ACB
(4)
B
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的
条件
结论1
结论2
两 条弧.
逆命题1：平分弦的直径垂直于弦。 逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
探索规律
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
C
●
A ┗M B
●O
过点M作直径CD.
D
上图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.
且平分弦所对的两条弧
命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦
所对的两条弧
命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分
弦，并且平分弦所对的另一条弧
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所 对的弧
逆定理
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的弧
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
练一练
1、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,
垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
.
图中相等的劣弧有:
.
M
B
E
D
A
O
F
C
N
2、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,
EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
HM G
D
BE
·
F
C
0
3、在直径为130mm的圆铁片上切下一块高为32mm的弓形 铁片，求弓形的弦的长度。 （弓形是圆弧和它所对的 弦围成的图形）
3.3 垂径定理(2)
温故知新
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
B
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D
⌒ =BD.
D
条件
①CD为直径 ②CD⊥AB
结论
③CD平分弦AB ④CD平分弧AB ⑤CD平分弧ADB
想一想
垂径定理的逆命题是什么？
.C O
E
A
B
D
请同学们独立证明定理2
辨一辨
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.×
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过
圆心.
√
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分. ×
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
×
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分.
√
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
例1、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图) 的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求 桥拱的半径(精确到0.01m).
解：AB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，
பைடு நூலகம்
半径为R，C为AB的中点，连结OC，交AB
M
C
D
A
B
A
.
O
O.
A
E C
D
B
.O
N
课堂小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂 线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线， 为应用垂径定理创造条件。
拓展提高
1、 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船 舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这 里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
4、已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD， BF⊥CD，求证：EC＝DF.
B
O.
A
EC G D F
5、求证:如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦 所夹的弧相等
提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:
（1）两条弦在圆心的同侧 （2）两条弦在圆心的异侧
F
A
●O
B
A
B
●O
C
D
E
C
D
E
垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等
C
A M└
B
●O
D
规律 ① CD是直径,
④A⌒C=B⌒C,
② CD⊥AB,
⑤A⌒D=B⌒D.
③ AM=BM,
（3） （1）
（2） （4） （5）
（2） （3）
（1） （1）
（4） （4）
（5）
（3） （2） （5）
（1） （5）
（3） （4） （2）
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并
于点D.
C
∵C是A⌒B的中点, ∴OC⊥AB.
∴OC就是拱高.
A
D
∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51, R
O
OD=OC-DC=（R-7.23）.
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2
∴R2=18.512+(R-7.23)2, 解得R≈27.31.
答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.