《垂径定理》典型例题

《垂径定理》典型例题

例1. 选择题：

（1）下列说法中，正确的是（）

A. 长度相等的弧是等弧

B. 两个半圆是等弧

C. 半径相等的弧是等弧

D. 直径是圆中最长的弦答案：D

（2）下列说法错误的是（）

A. 圆上的点到圆心的距离相等

B. 过圆心的线段是直径

C. 直径是圆中最长的弦

D. 半径相等的圆是等圆答案：B

例2. 如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB。

分析：要证弧相等，可证弧所对的弦相等，也可证弧所对的圆心角相等。

证明：连结OC、OD

∵M、N分别是OA、OB的中点

∵OA＝OB，∴OM＝ON

又CM⊥AB，DN⊥AB，OC＝OD

∴Rt△OMC≌Rt△OND

∴∠AOC＝∠BOD

例3. 在⊙O中，弦AB＝12cm，点O到AB的距离等于AB的一半，求∠AOB的度数和圆的半径。

分析：根据O到AB的距离，可利用垂径定理解决。

解：过O点作OE⊥AB于E

∵AB＝12

由垂径定理知：

∴△ABO为直角三角形，△AOE为等腰直角三角形。

例4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。

分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。

解：过点C作CF⊥AB于F

∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4

∵∠A＝∠A，∠AFC＝∠ACB

∴△AFC∽△ACB

例5. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。

分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。

解：连OA，过点O作OM⊥AB于点M

∵点P在AB上，PA＝4cm

即⊙O的半径为7cm。

例6. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。

分析：略

解：如图，设圆拱所在圆的圆心为O，半径为r，CD为拱高

则OC⊥AB于D

答：这个圆拱所在圆的直径为159.5米。