垂径定理公开课
垂径定理公开课PPT课件
O
CE D A
-
5
知识点二：垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对 的两条弧
B
应用格式：在⊙O 中，
∵ CD⊥AB（AB是直径）
∴ CE=DE，A C = A D ，B C = B D
O
CE D A
B
B
O
CE D A
O
E
C
D
A
O
O
C ED C ED
条件的实质是：（1）过圆心（2）垂直于弦
第3章 对圆的进一步认识
3.1 圆的对称性（1）
-
1
-
2
一、以旧引新
1.与圆有关的概念
圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
连接圆上任意两点的线段叫做弦. 经过圆心的弦叫做直径. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧.
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 2.什么是轴对称图形？
条件的实质是：（1）过圆心（2）垂直于弦
-
11
【解题方法】 构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定
理解决圆中弦、弦心距、半径问题
【数学思想】6
针对训练（一）
1.判断正误 （1）如图，CD是⊙O的弦，BE经过圆心O,BE⊥CD于 E，则
CE=DE，BC BD（. √ ）
（2）如图，CD是⊙O的弦，OA是圆的半径，OA⊥CD，垂
足为E，则CE=DE,OE=EA.（× ）
（3）如图，CD是⊙O的弦，OE⊥CD，则CE=DE.( √ )
B
解：作OM ⊥AB于M，连接OB，
则OM=3，
BM=
1 2
1
01977_《垂径定理》公开课一等奖课件
教师点评与总结
在学生的分享和交流过程中，教师进 行适时的点评和总结，强调垂径定理 的重要性和应用价值，并引导学生对 探究过程进行反思和总结。
2024/1/28
18
05
课堂互动环节展示
Chapter
2024/1/28
19
提问环节
提出问题
什么是垂径定理？它的定义和性 质是什么？
2024/1/28
引导思考
Chapter
2024/1/28
23
重点内容回顾总结
2024/1/28
垂径定理的定义和性质
垂径定理指出，对于任意圆和经过圆心的直径，若该直径垂直于 某条弦，则该直径平分该弦，并且平分该弦所对的两条弧。
垂径定理的证明方法
通过构造直角三角形和运用勾股定理等方法，可以证明垂径定理的 正确性。
垂径定理的应用场景
02
推论1
平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并 且平分弦所对的两条 弧。
03
推论2
弦的垂直平分线经过 圆心，并且平分弦所 对的两条弧。
04
推论3
平分弦所对的一条弧 的直径，垂直平分弦 ，并且平分弦所对的 另一条弧。
2024/1/28
8
垂径定理证明过程
要点一
已知
在⊙O中，DC为直径，AB是弦， AB⊥DC于点E，AB被DC平分于点E 。
值。
2024/1/28
21
练习环节
2024/1/28
基础练习
01
提供一些基础题目，让学生运用垂径定理进行求解，巩固所学
知识。
拓展练习
02
设计一些难度较大的题目，引导学生进一步探索垂径定理的应
用和拓展。
互动答疑
初中数学《垂径定理》公开课课件
C
O
AE
F
B
P
D
A
B
O
自我评价 本节课堂自我评价
评价项目及评价结果 优
良
合格
不合格
课前预习的主动性以及 效果
课堂活动的参与度
独立回答问题以及解决 问题的准确性
对整节课所学知识以及 数学思想方法的认识与 体会
较之上节课的学习表现 是
否
是否有了进步
备注：请根据评价项目对自己作出客观的评价,并写在相应的栏目下面。
E
连半径 建模思想
F
●
D
O
用勾股 方程思想
解这个方程,得R 545.
牛刀小试
1.如图，已知⊙O的半径为30mm,弦AB=36mm,则∠OAB的正弦 值是 。
0
A
B
辅助线：作垂直，得平分，用勾股
大显身手
2.⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16cm，CD=12cm，则AB、CD间的
距离是 2cm或14cm .
.
3.分类讨论思想
1.实际生活中的应用价值
2.自主探索和团队合作精神
当堂检测
必做题
1.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么
OP长的取值范围是______。
2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交 小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。
O
A
PB
O.
AC
DB
当堂检测
动手操作
折一折：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的
直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
·
可以发现：圆是_轴__对__称_ 图形，任何一条直__径__所__在__的__直__线 都是它的对称轴，它有__无__数__条对称轴。
《垂径定理公开课》课件
《垂径定理公开课》PPT 课件
这是一场关于《垂径定理》的公开课，旨在通过清晰的PPT展示，向大家介绍 垂径定理的定义、推导过程、应用以及拓展内容，让大家深入了解这一重要 的几何概念。
课程介绍
这门课程将为大家详细介绍垂径定理的内容。我们将从基础知识开始，逐步 引入更深入的概念和应用。希望通过本课程的学习，大家能够对垂径定理有 一个全面的了解。
垂径定理的应用
垂径定理不仅仅是一种几何概念，还具有广泛的应用价值。在多种几何问题 中，都可以利用垂径定理来解决具体问题，例如确定直径、垂径的位置，计 算相关角度和长度等。
垂径定理的例题分析
通过一些具体的例Βιβλιοθήκη 分析，我们将进一步探究垂径定理的应用。我们将结合实际问题，通过解题的方式，帮助 大家更好地理解和掌握垂径定理，并培养灵活运用的能力。
垂径定理的拓展
垂径定理作为一个基础定理，还有许多有趣的拓展内容。这些拓展内容可以进一步丰富和拓宽我们的几何知识， 使我们在解决更复杂的几何问题时能够更加游刃有余。
结论和总结
通过这门课程，我们已经全面地学习了垂径定理的相关内容。希望大家通过 这次学习，对垂径定理有了更深入的理解，并且能够在实际问题中灵活运用。 谢谢大家的参与！
垂径定理的定义
垂径定理是几何学中的一个基本定理，它描述了直径与垂直线的关系。通过垂径定理，我们可以从直径推导出 垂直线，以及从垂直线推导出直径，从而建立了直径与垂直线的重要联系。
垂径定理的推导过程
通过推导过程，我们将深入探讨垂径定理的原理和推理。我们将通过几何推导和逻辑推理，引导大家逐步理解 垂径定理的推导过程，并梳理其中的关键步骤和思路。
2024年度数学公开课优质课件精选《垂径定理》
利用垂径定理可以解决与垂直相关的各种问题，如求点到直线的距 离、证明三角形的直角等。
14
04 垂径定理在代数问题中应用
2024/3/24
15
解决方程根的问题
利用垂径定理求方程的根
通过构造合适的函数，将方程的求解问题转化为求函数与x轴交点的横坐标， 进而利用垂径定理求解。
判断方程根的存在性及根的个数
和可信度。
10
03 垂径定理在几何问题中应用
2024/3/24
11
解决线段中点问题
2024/3/24
利用垂径定理求线段中点
01
通过构造以线段为直径的圆，利用垂径定理可求得线段的中点
。
判定线段中点的性质
02
根据垂径定理，若一条线段是某圆的直径，则该线段的中点是
圆心，从而可判定线段中点的性质。
解决与线段中点相关的几何问题
根据垂径定理，CD平分AB，所以AD = a 。在直角三角形AOD中，利用勾股定理可 得OD的长度，进而求得CD的长度。
B
C
例题2
已知圆O的半径为5cm，弦AB的长度为 8cm，求AB的垂径CD的长度。
解析
同样应用垂径定理和勾股定理，先求出AD 的长度为4cm，然后在直角三角形AOD中 求出OD的长度为3cm，最后求得CD的长度
利用垂径定理研究函数的极值和最值
通过分析函数的一阶导数或二阶导数的零点及符号变化，结合垂径定理可以求出函数的极 值和最值及其对应的自变量取值范围。
利用垂径定理研究函数的图像特征
通过分析函数的单调性、极值、最值等性质，结合垂径定理可以描绘出函数的大致图像， 进一步了解函数的性质。
18
05 垂径定理拓展与延伸
垂径定理(公开课)
例3．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直 且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于 E，求证四边形ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90
EAD 90
ODA 90
1 1 ∴四边形ADOE为矩形，AE AC，AD AB 2 2 C 又 ∵AC=AB
28.1.2-2
简阳通材实验学校 廖善虎
提问：圆是什么对称图形？
O
M A D
圆是轴对称图形，
O
经过圆心的 每一条直线都是 它的对称轴。
B
C
N
M A D
或： 任意一条
直径所在的直线 都是圆的对称轴。
O
C
任意一条直径都是 圆的对称轴（ ）
B
N
M
O
A
C B
思考：
N
此时MN还平分弦AB吗？
MN平分AB所对的两段弧吗？
O
定理辨析 判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
C
C
O A D E B
A D EOLeabharlann O ABE D
B
C
O
O
O
A E D B
A E B
A
E
B
例1：在⊙O中，AB为弦，半径 OD⊥AB于E。 （1）若OA=5,AB=8，求OE、ED的长。 （2）若OA=5,ED=3，求AB、OE的长。 （3）若AB=4,ED=1，求OA、OE的长。 （4）若OE=3,ED=2，求OA、AB的长。
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
O · B
A
D
变式训练3： 图中两圆为同心圆
2024年度公开课《2412垂径定理》课件
当直线过圆心时，可根据垂径定理判断直线与圆 的交点情况，从而确定直线与圆的位置关系。
3
求解圆的半径或直径
在某些几何问题中，可以通过垂径定理构造直角 三角形，并运用勾股定理求解圆的半径或直径。
2024/3/23
16
在三角函数问题中应用
求解角度
在直角三角形中，已知两边求角度时，可利用垂径定理构造另一个直角三角形， 从而运用三角函数求解角度。
垂径定理在数学中的地位
垂径定理是圆的重要性质之一，在解决圆的有关问题时具有广泛的应用价值。同时，它也 是数学中的重要定理之一，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。
相关数学家的贡献
除了欧几里得以外，还有许多数学家对垂径定理的研究做出了重要贡献，如阿基米德、阿 波罗尼奥斯等。他们的研究不仅丰富了垂径定理的理论体系，也推动了数学的发展。
21
分享交流成果
分享方式
每个小组选派一名代表，向全班 汇报本组的讨论和探究成果。
交流内容
各小组代表分享本组对于垂径定 理及其逆定理的理解和应用实例 ，以及探究过程中遇到的困难和
解决方法。
互动环节
鼓励其他小组的同学提问或发表 不同意见，以促进全班范围内的
深入交流和讨论。
2024/3/23
22
06
课程总结与拓展延伸
辅助课堂教学
为教师和学生提供一份详细、生动的 课件，作为课堂教学的有益补充，帮 助学生更好地理解和掌握垂径定理。
2024/3/23
4
垂径定理概念及重要性
2024/3/23
垂径定理概念
垂径定理是平面几何中一个非常 重要的定理，它揭示了垂直于弦 的直径平分这条弦，并且平分这 条弦所对的两条弧。
垂径定理PPT课件(人教版)
7.2m
A
C
D
B
R
O
ห้องสมุดไป่ตู้广探索 二
⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16， 且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
A C
B D
.
A
B
.
C
D
课堂小结
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
D
B
O
C
A
C
CB
D
A
O
O
C
B
• 两条辅助线：
半径 弦心距
A
• 一个Rt△：半径 半弦 弦心距
r2 d 2 (a)2 2
在⊙O中，直径CD⊥弦AB
A
① AB是直径 ② CD⊥AB
C
P
┗
D
③ CP=DP
可推得
④
⌒ AC
=
⌒ AD
O
⑤
⌒⌒ BC = BD
B
垂径定理的变式图形一
在⊙O中，半径 OB⊥弦CD
C
① OB是半径 可推得 ② OB⊥CD
③CP=DP,
④ ⌒BC=⌒BD.
O P
D
B
垂径定理的变式图形二
在⊙O中，OP⊥弦CD于P点 C
O P
D
① OP过圆心 ② OP⊥CD
可推得
③CP=DP,
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线 段或相等的圆弧
C
C
B
E
A
O
A
E
B
D C
O
A
E
B
D
A
《垂径定理》示范公开课教学PPT课件【九年级数学下册北师大】
R
OA2=AD2+OD2，即R2=18.72+(R-7.2)2．
O
解得R≈27.9(m)．
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m．
课堂练习
1．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，
∠AOB=120°，则弦AB的长是（ B ）．
A．2 2 B．2 3 C． 5 D．3 2
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂
探究新知
（2）发现：AM=BM，AC BC ，AD BD ．
理由：如图，连接OA，OB，则OA=OB． 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM． ∴AM=BM，∠AOC=∠BOC．
∴ AC BC ．
探究新知
∵∠AOD=180°-∠AOC， ∠BOD=180°-∠BOC，
A
为垂足，OC与 AB 相交于点C，连接
C
D
B
R
OA．根据垂径定理，D是AB的中点，
C是AB 的中点，CD就是拱高
O
典例精析
由题设可知AB=37.4 m，CD=7.2 m．
所以 AD 1 AB 1 37.4 18.7(m)，
2
2
A
OD=OC-CD=R-7.2．
C
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
650
2
2
3002
125(mm)，
所以CD=OD-OC=325-125=200(mm)．
答：油的最大深度为200 mm．
课堂小结
1．垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 两条弧．
2．垂径定理的逆定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的弧．
垂径定理公开课教案
垂径定理公开课优秀教案第一章：导入教学目标：1. 引导学生回顾圆的相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 激发学生对垂径定理的好奇心，提高学习兴趣。
教学内容：1. 回顾圆的定义、性质及圆的基本运算。
2. 提问：你们知道什么是垂径定理吗？它有什么作用？教学方法：1. 采用提问、讨论的方式，引导学生回顾圆的知识。
2. 利用多媒体展示圆的图片，引导学生观察和思考。
教学步骤：1. 复习圆的定义、性质及基本运算。
2. 提问：什么是垂径定理？它有什么作用？3. 引导学生讨论，总结垂径定理的含义。
4. 利用多媒体展示圆的图片，引导学生观察和思考。
教学评价：1. 检查学生对圆的知识的掌握情况。
2. 观察学生在讨论中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探究垂径定理教学目标：1. 让学生通过实验、观察和推理，探究并证明垂径定理。
2. 培养学生的观察能力、动手能力和逻辑思维能力。
教学内容：1. 实验：用圆规、直尺和铅笔在圆上作垂线。
2. 观察：观察垂线与圆的关系。
3. 推理：引导学生总结垂径定理的证明过程。
教学方法：1. 实验法：让学生亲自动手作垂线，观察垂线与圆的关系。
2. 引导法：引导学生通过观察、思考，总结垂径定理的证明过程。
教学步骤：1. 让学生用圆规、直尺和铅笔在圆上作垂线。
2. 观察垂线与圆的关系，引导学生发现垂径定理的规律。
3. 引导学生总结垂径定理的证明过程。
教学评价：1. 检查学生对垂径定理的理解程度。
2. 观察学生在实验和推理过程中的表现，了解他们的动手能力和逻辑思维能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 让学生学会运用垂径定理解决实际问题。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学内容：1. 运用垂径定理解决实际问题。
2. 练习题：巩固垂径定理的应用。
1. 引导法：引导学生运用垂径定理解决实际问题。
2. 练习法：让学生通过练习题，巩固垂径定理的应用。
教学步骤：1. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
垂径定理公开课教案
垂径定理公开课优秀教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）让学生掌握垂径定理的内容及应用；（2）培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
2. 过程与方法：（1）通过观察、实验、证明等环节，引导学生发现并证明垂径定理；（2）运用垂径定理解决一些相关的几何问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生合作交流、归纳总结的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）垂径定理的内容及其应用；（2）运用垂径定理解决一些相关的几何问题。
2. 教学难点：（1）垂径定理的证明；（2）在实际问题中灵活运用垂径定理。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生发现并证明垂径定理；2. 运用几何画板软件，直观展示垂径定理的应用；3. 设计具有梯度的练习题，巩固学生对垂径定理的理解。
四、教学准备1. 教师准备：垂径定理的相关知识、课件、练习题；2. 学生准备：笔记本、几何画板软件。
五、教学过程1. 导入新课（1）复习相关知识：圆的基本概念、圆的性质；（2）提问：如何判断一条直线是否垂直于一条弦？2. 探究与发现（1）学生分组讨论，尝试发现垂径定理；（2）各组汇报讨论成果，师生共同总结垂径定理；（3）教师利用几何画板软件，演示垂径定理的应用。
3. 证明垂径定理（1）学生根据已知的圆的性质，尝试证明垂径定理；（2）教师引导学生归纳总结，给出垂径定理的证明过程。
4. 应用垂径定理（1）设计一组练习题，让学生运用垂径定理解决问题；（2）学生独立解答，教师点评并指导。
5. 课堂小结（1）学生总结本节课所学内容；（2）教师补充，强调垂径定理在几何中的应用。
6. 作业布置（1）请学生运用垂径定理解决一些实际问题；（2）复习本节课所学知识，为下一节课做准备。
六、教学拓展1. 引导学生思考：垂径定理在实际生活中的应用有哪些？2. 举例说明：如在建筑设计中，如何利用垂径定理确定圆形的建筑物的垂直结构。
七、课堂互动1. 学生之间互相提问关于垂径定理的问题，加深对知识的理解；2. 教师参与互动，解答学生提出的问题，及时纠正学生的错误。
《垂径定理》优秀ppt课件2024新版
判断四边形形状问题
判断平行四边形
利用垂径定理证明四边形两组对 边分别平行，从而判断四边形为
平行四边形。
判断矩形和正方形
在平行四边形基础上，利用垂径定 理证明两组对角相等或邻边相等， 进而判断四边形为矩形或正方形。
判断梯形
通过垂径定理证明四边形一组对边 平行且另一组对边不平行，从而判 断四边形为梯形。
利用垂径定理将方程转化为标准形式 判别式判断根的情况
求解根的具体数值
判断二次函数图像与x轴交点问题
利用垂径定理判断交点个数 确定交点的横坐标
结合图像分析交点性质
解决不等式组解集问题
利用垂径定理确定不 等式组的解集范围
结合图像直观展示解 集
分析解集的端点情况
05
垂径定理拓展与延伸
推广到三维空间中直线与平面关系
《垂径定理》优 秀ppt课件
目录
• 垂径定理基本概念与性质 • 垂径定理证明方法 • 垂径定理在几何问题中应用 • 垂径定理在代数问题中应用 • 垂径定理拓展与延伸 • 总结回顾与课堂互动环节
01
垂径定理基本概念与性质
垂径定义及性质
垂径定义
从圆上一点向直径作垂线，垂足 将直径分成的两条线段相等，且 垂线段等于半径与直径之差的平 方根。
在直角三角形中，利用勾 股定理和已知条件进行推 导和证明。
解析法证明
建立坐标系
以圆心为原点建立平面直角坐标系， 将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$ 。
求解交点
联立垂径方程和圆的方程，求解交点 坐标，进而证明垂径定理。
垂径表示
设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示 为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(xx_1)$。
2024年公开课大赛《垂径定理》一等奖教案
引导学生发现问题并思考
教师通过举例或提出实际问题，引导学生发现与垂径定理相关的数学问题或实际应 用场景。
鼓励学生提出自己的疑问或想法，激发他们的探究欲望。
教师可针对学生的问题或想法，给予适当的引导或提示，帮助学生明确探究方向。
分组讨论与交流心得
各组围绕垂径定理的应用、证明 方法、相关性质等展开讨论，分 享各自的理解和心得。
05
06
在讲解重点内容时适当放慢语速、增加示 范次数，确保学生能够充分理解和掌握。
不断完善教学方法和手段
引入更多实际案例和应用场景，帮助学 生更好地理解和应用垂径定理。
采用多媒体教学手段，如动画演示、视 频教程等，增加课堂趣味性和互动性。
鼓励学生进行小组讨论和合作学习，培 养他们的团队协作能力和自主学习能力
课堂练习（10分钟）
学生独立完成课堂练习，巩固所 学知识。
例题解析（15分钟）
通过具体例题解析垂径定理的应 用方法。
02
知识点梳理与讲解
垂径定理及其逆定理
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的垂直平分 线必过圆心。
相关性质与推论
性质
圆的两条平行弦所夹的弧相等；弦心距相等则弦相等；弦相等则弦心距相等。
案。
提供一些开放性的问题和任务， 如设计一个与垂径定理相关的数 学实验或数学模型，培养学生的
创新思维和实践能力。
引导学生对解决问题的过程进行 反思和总结，帮助学生形成解决 问题的策略和方法论，提高学生
的元认知能力。
05
课堂小结与作业布置
总结本节课重点内容
1 2 3
垂径定理的定义和性质
垂径定理公开课教案
垂径定理公开课优秀教案第一章：教学目标1.1 知识与技能：理解垂径定理的概念和含义。
学会运用垂径定理解决实际问题。
1.2 过程与方法：通过观察和实验，发现垂径定理的规律。
学会使用直尺和圆规进行几何图形的绘制。
1.3 情感态度价值观：培养学生的观察能力和思维能力。
培养学生的合作意识和解决问题的能力。
第二章：教学内容2.1 教材内容：介绍垂径定理的定义和公理。
解释垂径定理的证明过程。
2.2 教学重点与难点：垂径定理的理解和运用。
垂径定理的证明过程的理解。
第三章：教学过程3.1 导入：通过引入实际问题，引发学生对垂径定理的兴趣。
引导学生思考垂径定理的应用场景。
3.2 探究与发现：分组讨论和实验，让学生发现垂径定理的规律。
引导学生通过观察和实验，总结垂径定理的定义。
3.3 讲解与示范：讲解垂径定理的定义和证明过程。
示范如何运用垂径定理解决实际问题。
3.4 练习与巩固：提供一些练习题，让学生巩固对垂径定理的理解。
引导学生运用垂径定理解决实际问题。
第四章：教学评价4.1 评价标准：学生对垂径定理的理解程度。
学生运用垂径定理解决实际问题的能力。
4.2 评价方法：课堂提问和回答。
练习题的完成情况。
学生的小组讨论和实验报告。
第五章：教学资源5.1 教材：采用《几何》教材，提供垂径定理的相关内容。
5.2 教具：直尺、圆规、几何模型等。
5.3 教学多媒体：使用PPT或教学视频，展示垂径定理的证明过程和实际应用。
第六章：教学步骤6.1 步骤一：导入新课通过展示实际问题，引发学生对垂径定理的兴趣。
引导学生思考垂径定理的应用场景。
6.2 步骤二：探究与发现分组讨论和实验，让学生发现垂径定理的规律。
引导学生通过观察和实验，总结垂径定理的定义。
6.3 步骤三：讲解与示范讲解垂径定理的定义和证明过程。
示范如何运用垂径定理解决实际问题。
6.4 步骤四：练习与巩固提供一些练习题，让学生巩固对垂径定理的理解。
引导学生运用垂径定理解决实际问题。
垂径定理公开课教案
垂径定理公开课优秀教案一、教学目标：知识与技能：1. 让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
过程与方法：1. 通过观察、实验、猜想、证明等步骤，引导学生发现垂径定理。
2. 运用小组合作、讨论交流的方式，提高学生解决问题的能力。
情感态度价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和自信心。
2. 培养学生勇于猜想、严谨证明的思维品质。
二、教学重点与难点：重点：1. 掌握垂径定理的内容。
2. 能够运用垂径定理解决实际问题。
难点：1. 理解并证明垂径定理。
2. 灵活运用垂径定理。
三、教学准备：教师准备：1. 垂径定理的相关知识资料。
2. 教学课件或黑板。
3. 练习题及答案。
学生准备：1. 课本相关章节。
2. 学习笔记。
四、教学过程：1. 导入：利用实物或图片，引导学生观察并提出问题，激发学生兴趣。
2. 探究：引导学生通过观察、实验、猜想、证明等步骤，发现垂径定理。
3. 讲解：讲解垂径定理的内容，并用几何画板或实物模型进行演示。
4. 练习：给出练习题，让学生独立完成，并及时给予解答和指导。
五、课后作业：1. 巩固垂径定理的理解，完成课本相关练习题。
2. 运用垂径定理解决实际问题，举例说明。
3. 预习下一节课内容。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组合作的表现。
2. 练习完成情况：检查学生练习题的完成质量，评估学生对垂径定理的理解和应用能力。
3. 课后作业：评估学生对课后作业的完成情况，检查学生能否灵活运用垂径定理解决实际问题。
七、教学反思：教师在课后应对本节课的教学进行反思，分析教学效果，找出不足之处，为改进教学方法提供依据。
关注学生的学习反馈，调整教学策略，提高教学质量。
八、教学拓展：1. 引导学生进一步研究垂径定理的推广和应用。
2. 介绍与垂径定理相关的数学历史故事，激发学生的学习兴趣。
3. 推荐相关的数学竞赛或活动，鼓励学生积极参与，提高数学素养。
垂径定理公开课用的课件
THANKS
感谢观看
4. 根据全等三角形的对应边相等，我们得出 $AM=BM$。
证明中的数学思想
01
垂径定理的证明涉及了圆的性质 、三角形的全等关系以及逻辑推 理等数学思想。
02
通过构造辅助线和利用已知条件 ，逐步推导出结论，体现了数学 证明中的严谨性和逻辑性。
03
垂径定理的应用
在几何作图中的应用
01
02
03
确定圆心位置
在垂径定理中，如果弦变为直径，则直径所对的圆周角为直角。
从平面图形到立体图形
将垂径定理从平面图形推广到立体图形，例如球体，可以得到类似 的性质。
推广后的应用场景
建筑设计
在建筑设计时，可以利用 垂径定理的推广情势来确 保建筑结构的稳定性。
工程测量
在测量中，可以利用垂径 定理的推广情势来确定某 些线段或角度是否满足设 计要求。
数学教育
在数学教育中，垂径定理 的推广可以帮助学生深入 理解几何图形的性质，提 高解题能力。
对推广情势的进一步思考
统一性
视察垂径定理的各种推广情势，可以发现它们都遵循“从特 殊到一般”的逻辑，这种统一性有助于理解几何图形的本质 。
局限性
虽然垂径定理的推广情势具有广泛的应用价值，但在实际应 用中仍需考虑图形的复杂性和具体条件，避免生搬硬套。
答案及解析
题目2答案及解析
答案：解得，CD:AB=3:5。
解析：根据垂径定理，我们知道OE垂 直于CD，所以E是CD的中点。又因为 OE:BE=5:1，所以AB:OE=5:3。然后 利用勾股定理计算出CE的长度为 sqrt(AB^2OE^2)=sqrt(5^2*3^2)=sqrt(75)=5 *sqrt(3)。最后得出CD的长度为 2*CE=2*5*sqrt(3)=10*sqrt(3)。所 以弦CD与直径AB的比值为 CD:AB=10*sqrt(3):5=2*sqrt(3):1=6 :5。
《垂径定理》教案 (公开课)2022年湘教版数学
*2.3垂径定理1．进一步认识圆是轴对称图形；2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题；(重点)3．认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题．(难点)一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥〞，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代大业年间(公元605～618年)由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径是多少吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】利用垂径定理求边如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B 不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长．解析：运用垂径定理先证出EF是△ABP的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF与AB建立关系，从而解决问题．解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF是△ABP的中位线，∴EF＝12AB＝12×10＝5(cm)．方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯穿，在解决问题时才能得心应手．【类型二】动点问题如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP 的长度范围．解析：当点P处于弦AB的端点时，OP 最长，此时OP为半径的长；当OP⊥AB 时，OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长．解：作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝12AB∵⊙O 的直径为10cm，连接OA，∴OA△AOD 中，由勾股定理，得OD＝OA2－AD2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm.方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．探究点二：垂径定理的实际应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，那么这段弯路的半径是________m. 解析：此题考查垂径定理，∵OC ⊥AB ，AB ＝300m ，∴ADR m ，根据勾股定理可列方程R 2＝(R －50)2＋1502，解得R ＝250.故答案为250. 方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．三、板书设计教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用．第2课 伟大的历史转折1 教学分析【教学目标】 知识与 能力 知道中共十一届三中全会召开时间；了解它的背景，理解其重大意义；拨乱反正加强了民主与法制建设，推动了社会主义现代化建设；学会在开展的进程中认识历史人物、历史事件的地位和作用过程与 方法 学会运用原因与结果、联系与综合等概念，理解中共十一届三中全会的背景与历史意义情感态度 与价值观 认同中国共产党完全有能力领导中国人民取得社会主义建设事业的成功识改革开放是我国的强国之路 【重点难点】教学重点：中共十一届三中全会教学难点：中共十一届三中全会在政治上、思想上、组织上的转变以及历史意义2 教学过程一、导入新课“文化大革命〞时期，我国教育遭到了很大破坏，高考中断了十年。
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O2C BC 2O2B ,即 (R2)242R2
M
解得：R=5 构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理
列方程求解.
【知识点】
三、课堂小结
1.圆的轴对称性 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都
是它的对称轴，圆的对称轴有无数条 2.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对 的两条弧
条件的实质是：（1）过圆心（2）垂直于弦
A C 与 A D 有什么关系？B C 与 B D 有什么关系？ B
能证明你的结论吗？与同学交流.
条件：CD⊥AB（AB是直径）
结论：CE=DE，A C = A D B C = B D
O
CE D A
知识点二：垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对 的两条弧
B
应用格式：在⊙O 中，
∵ CD⊥AB（AB是直径）
第3章 对圆的进一步认识
3.1 圆的对称性（1）
一、以旧引新
1.与圆有关的概念
圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
连接圆上任意两点的线段叫做弦. 经过圆心的弦叫做直径. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧.
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 2.什么是轴对称图形？
针对训练（二）
1.如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD⊥AB于点M, AB=20， OM=6，则CD= 16 . 2. 绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离 CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为 8m . 3.如图，⊙O是水平放置的输油管道的横截面，其直径为2m， 油面的宽度AB=1.2m，则点O到油面的距离是 0.8m ，油 面的最大深度为 0.2m .
二、新知探究
【动手实践一】
在一张半透明的纸片上画一个圆，标出它的圆 心O，并任意作出一条直径AB,将⊙O沿直径AB折叠， 你发现了什么？由此你能得到什么结论？
知识点一：圆的轴对称性 圆是轴对称图形，每一条直径所在 的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有 无数条
知识点二：垂径定【理动手实践二】
在垂⊙直O于中弦，的作直弦径CD平，分使这CD条⊥弦AB，,记并垂且足平为分E弦.将所⊙对O 沿的直两径条A弧B折叠，你发现线段CE与DE有什么关系？
【解题方法】 构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定
理解决圆中弦、弦心距、半径问题
【数学思想】
方程思想
D
A OM B
C 1题图
2题图
C 3题M图
针对训练（二）
4. 如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为
有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的
高度为2cm，则该输水管的半径为 5cm
.
解：作OC ⊥AB并延长交弧AB与点M，连接OB，
则CM=2， BC=4,
O
设半径为R, OC=R-2，在Rt△OCB中， C
足为E，则CE=DE,OE=EA.（×）
（3）如图，CD是⊙O的弦，OE⊥CD，则CE=DE.( √ )
B
B
O C ED
O
E
C
D
A
O C ED
O
CM
D
A
（1）题图 （2）题图 （3）题图
2题图
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于M，BC 4cm，
AD 1cm，那么 B D _4___cm ,A C __ 1__cm .
【典例讲解】
例1 如图，已知在⊙O中，弦AB 的长为8厘米，圆心
O到弦AB的距离（弦心距）为3厘米，求⊙O的半径.
解：作OM ⊥AB于M，连接OB，
则OM=3，
BM=
1 2
1
AB= 2
×8=4,
在Rt△OMB中，
O AMB
O B O2 M M 2 B 3 2 4 2 5 .
答： ⊙O的半径为5厘米. 总结：对于圆中有关弦、弦心距、半径问题，常作 辅助线---作出半径或圆心到弦的垂线段，构造直角三 角形，运用垂径定理和勾股定理解决有关问题.
∴ CE=DE，A C = A D ，B C = B D
O
CE D A
B
B
O
CE D A
O
E
C
D
A
O
O
C ED C ED
条件的实质是：（1）过圆心（2）垂直于弦
针对训练（一）
1.判断正误 （1）如图，CD是⊙O的弦，BE经过圆心O,BE⊥CD于 E，则
CE=DE，BC BD（. √ ）
（2）如图，CD是⊙O的弦，OA是圆的半径，OA⊥CD，垂