垂径定理公开课
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垂径定理公开课PPT课件
O
CE D A
-
5
知识点二：垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对 的两条弧
B
应用格式：在⊙O 中，
∵ CD⊥AB（AB是直径）
∴ CE=DE，A C = A D ，B C = B D
O
CE D A
B
B
O
CE D A
O
E
C
D
A
O
O
C ED C ED
条件的实质是：（1）过圆心（2）垂直于弦
第3章 对圆的进一步认识
3.1 圆的对称性（1）
-
1
-
2
一、以旧引新
1.与圆有关的概念
圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
连接圆上任意两点的线段叫做弦. 经过圆心的弦叫做直径. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧.
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 2.什么是轴对称图形？
条件的实质是：（1）过圆心（2）垂直于弦
-
11
【解题方法】 构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定
理解决圆中弦、弦心距、半径问题
【数学思想】6
针对训练（一）
1.判断正误 （1）如图，CD是⊙O的弦，BE经过圆心O,BE⊥CD于 E，则
CE=DE，BC BD（. √ ）
（2）如图，CD是⊙O的弦，OA是圆的半径，OA⊥CD，垂
足为E，则CE=DE,OE=EA.（× ）
（3）如图，CD是⊙O的弦，OE⊥CD，则CE=DE.( √ )
B
解：作OM ⊥AB于M，连接OB，
则OM=3，
BM=
1 2
1
01977_《垂径定理》公开课一等奖课件
教师点评与总结
在学生的分享和交流过程中，教师进 行适时的点评和总结，强调垂径定理 的重要性和应用价值，并引导学生对 探究过程进行反思和总结。
2024/1/28
18
05
课堂互动环节展示
Chapter
2024/1/28
19
提问环节
提出问题
什么是垂径定理？它的定义和性 质是什么？
2024/1/28
引导思考
Chapter
2024/1/28
23
重点内容回顾总结
2024/1/28
垂径定理的定义和性质
垂径定理指出，对于任意圆和经过圆心的直径，若该直径垂直于 某条弦，则该直径平分该弦，并且平分该弦所对的两条弧。
垂径定理的证明方法
通过构造直角三角形和运用勾股定理等方法，可以证明垂径定理的 正确性。
垂径定理的应用场景
02
推论1
平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并 且平分弦所对的两条 弧。
03
推论2
弦的垂直平分线经过 圆心，并且平分弦所 对的两条弧。
04
推论3
平分弦所对的一条弧 的直径，垂直平分弦 ，并且平分弦所对的 另一条弧。
2024/1/28
8
垂径定理证明过程
要点一
已知
在⊙O中，DC为直径，AB是弦， AB⊥DC于点E，AB被DC平分于点E 。
值。
2024/1/28
21
练习环节
2024/1/28
基础练习
01
提供一些基础题目，让学生运用垂径定理进行求解，巩固所学
知识。
拓展练习
02
设计一些难度较大的题目，引导学生进一步探索垂径定理的应
用和拓展。
互动答疑
初中数学《垂径定理》公开课课件
C
O
AE
F
B
P
D
A
B
O
自我评价 本节课堂自我评价
评价项目及评价结果 优
良
合格
不合格
课前预习的主动性以及 效果
课堂活动的参与度
独立回答问题以及解决 问题的准确性
对整节课所学知识以及 数学思想方法的认识与 体会
较之上节课的学习表现 是
否
是否有了进步
备注：请根据评价项目对自己作出客观的评价,并写在相应的栏目下面。
E
连半径 建模思想
F
●
D
O
用勾股 方程思想
解这个方程,得R 545.
牛刀小试
1.如图，已知⊙O的半径为30mm,弦AB=36mm,则∠OAB的正弦 值是 。
0
A
B
辅助线：作垂直，得平分，用勾股
大显身手
2.⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16cm，CD=12cm，则AB、CD间的
距离是 2cm或14cm .
.
3.分类讨论思想
1.实际生活中的应用价值
2.自主探索和团队合作精神
当堂检测
必做题
1.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么
OP长的取值范围是______。
2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交 小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。
O
A
PB
O.
AC
DB
当堂检测
动手操作
折一折：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的
直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
·
可以发现：圆是_轴__对__称_ 图形，任何一条直__径__所__在__的__直__线 都是它的对称轴，它有__无__数__条对称轴。
《垂径定理公开课》课件
《垂径定理公开课》PPT 课件
这是一场关于《垂径定理》的公开课，旨在通过清晰的PPT展示，向大家介绍 垂径定理的定义、推导过程、应用以及拓展内容，让大家深入了解这一重要 的几何概念。
课程介绍
这门课程将为大家详细介绍垂径定理的内容。我们将从基础知识开始，逐步 引入更深入的概念和应用。希望通过本课程的学习，大家能够对垂径定理有 一个全面的了解。
垂径定理的应用
垂径定理不仅仅是一种几何概念，还具有广泛的应用价值。在多种几何问题 中，都可以利用垂径定理来解决具体问题，例如确定直径、垂径的位置，计 算相关角度和长度等。
垂径定理的例题分析
通过一些具体的例Βιβλιοθήκη 分析，我们将进一步探究垂径定理的应用。我们将结合实际问题，通过解题的方式，帮助 大家更好地理解和掌握垂径定理，并培养灵活运用的能力。
垂径定理的拓展
垂径定理作为一个基础定理，还有许多有趣的拓展内容。这些拓展内容可以进一步丰富和拓宽我们的几何知识， 使我们在解决更复杂的几何问题时能够更加游刃有余。
结论和总结
通过这门课程，我们已经全面地学习了垂径定理的相关内容。希望大家通过 这次学习，对垂径定理有了更深入的理解，并且能够在实际问题中灵活运用。 谢谢大家的参与！
垂径定理的定义
垂径定理是几何学中的一个基本定理，它描述了直径与垂直线的关系。通过垂径定理，我们可以从直径推导出 垂直线，以及从垂直线推导出直径，从而建立了直径与垂直线的重要联系。
垂径定理的推导过程
通过推导过程，我们将深入探讨垂径定理的原理和推理。我们将通过几何推导和逻辑推理，引导大家逐步理解 垂径定理的推导过程，并梳理其中的关键步骤和思路。
2024年度数学公开课优质课件精选《垂径定理》
解决与垂直相关的几何问题
利用垂径定理可以解决与垂直相关的各种问题，如求点到直线的距 离、证明三角形的直角等。
14
04 垂径定理在代数问题中应用
2024/3/24
15
解决方程根的问题
利用垂径定理求方程的根
通过构造合适的函数，将方程的求解问题转化为求函数与x轴交点的横坐标， 进而利用垂径定理求解。
判断方程根的存在性及根的个数
和可信度。
10
03 垂径定理在几何问题中应用
2024/3/24
11
解决线段中点问题
2024/3/24
利用垂径定理求线段中点
01
通过构造以线段为直径的圆，利用垂径定理可求得线段的中点
。
判定线段中点的性质
02
根据垂径定理，若一条线段是某圆的直径，则该线段的中点是
圆心，从而可判定线段中点的性质。
解决与线段中点相关的几何问题
根据垂径定理，CD平分AB，所以AD = a 。在直角三角形AOD中，利用勾股定理可 得OD的长度，进而求得CD的长度。
B
C
例题2
已知圆O的半径为5cm，弦AB的长度为 8cm，求AB的垂径CD的长度。
解析
同样应用垂径定理和勾股定理，先求出AD 的长度为4cm，然后在直角三角形AOD中 求出OD的长度为3cm，最后求得CD的长度
利用垂径定理研究函数的极值和最值
通过分析函数的一阶导数或二阶导数的零点及符号变化，结合垂径定理可以求出函数的极 值和最值及其对应的自变量取值范围。
利用垂径定理研究函数的图像特征
通过分析函数的单调性、极值、最值等性质，结合垂径定理可以描绘出函数的大致图像， 进一步了解函数的性质。
18
05 垂径定理拓展与延伸
利用垂径定理可以解决与垂直相关的各种问题，如求点到直线的距 离、证明三角形的直角等。
14
04 垂径定理在代数问题中应用
2024/3/24
15
解决方程根的问题
利用垂径定理求方程的根
通过构造合适的函数，将方程的求解问题转化为求函数与x轴交点的横坐标， 进而利用垂径定理求解。
判断方程根的存在性及根的个数
和可信度。
10
03 垂径定理在几何问题中应用
2024/3/24
11
解决线段中点问题
2024/3/24
利用垂径定理求线段中点
01
通过构造以线段为直径的圆，利用垂径定理可求得线段的中点
。
判定线段中点的性质
02
根据垂径定理，若一条线段是某圆的直径，则该线段的中点是
圆心，从而可判定线段中点的性质。
解决与线段中点相关的几何问题
根据垂径定理，CD平分AB，所以AD = a 。在直角三角形AOD中，利用勾股定理可 得OD的长度，进而求得CD的长度。
B
C
例题2
已知圆O的半径为5cm，弦AB的长度为 8cm，求AB的垂径CD的长度。
解析
同样应用垂径定理和勾股定理，先求出AD 的长度为4cm，然后在直角三角形AOD中 求出OD的长度为3cm，最后求得CD的长度
利用垂径定理研究函数的极值和最值
通过分析函数的一阶导数或二阶导数的零点及符号变化，结合垂径定理可以求出函数的极 值和最值及其对应的自变量取值范围。
利用垂径定理研究函数的图像特征
通过分析函数的单调性、极值、最值等性质，结合垂径定理可以描绘出函数的大致图像， 进一步了解函数的性质。
18
05 垂径定理拓展与延伸
垂径定理(公开课)
例3．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直 且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于 E，求证四边形ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90
EAD 90
ODA 90
1 1 ∴四边形ADOE为矩形，AE AC，AD AB 2 2 C 又 ∵AC=AB
28.1.2-2
简阳通材实验学校 廖善虎
提问：圆是什么对称图形？
O
M A D
圆是轴对称图形，
O
经过圆心的 每一条直线都是 它的对称轴。
B
C
N
M A D
或： 任意一条
直径所在的直线 都是圆的对称轴。
O
C
任意一条直径都是 圆的对称轴（ ）
B
N
M
O
A
C B
思考：
N
此时MN还平分弦AB吗？
MN平分AB所对的两段弧吗？
O
定理辨析 判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
C
C
O A D E B
A D EOLeabharlann O ABE D
B
C
O
O
O
A E D B
A E B
A
E
B
例1：在⊙O中，AB为弦，半径 OD⊥AB于E。 （1）若OA=5,AB=8，求OE、ED的长。 （2）若OA=5,ED=3，求AB、OE的长。 （3）若AB=4,ED=1，求OA、OE的长。 （4）若OE=3,ED=2，求OA、AB的长。
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
O · B
A
D
变式训练3： 图中两圆为同心圆
2024年度公开课《2412垂径定理》课件
判断直线与圆的位置关系
当直线过圆心时，可根据垂径定理判断直线与圆 的交点情况，从而确定直线与圆的位置关系。
3
求解圆的半径或直径
在某些几何问题中，可以通过垂径定理构造直角 三角形，并运用勾股定理求解圆的半径或直径。
2024/3/23
16
在三角函数问题中应用
求解角度
在直角三角形中，已知两边求角度时，可利用垂径定理构造另一个直角三角形， 从而运用三角函数求解角度。
垂径定理在数学中的地位
垂径定理是圆的重要性质之一，在解决圆的有关问题时具有广泛的应用价值。同时，它也 是数学中的重要定理之一，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。
相关数学家的贡献
除了欧几里得以外，还有许多数学家对垂径定理的研究做出了重要贡献，如阿基米德、阿 波罗尼奥斯等。他们的研究不仅丰富了垂径定理的理论体系，也推动了数学的发展。
21
分享交流成果
分享方式
每个小组选派一名代表，向全班 汇报本组的讨论和探究成果。
交流内容
各小组代表分享本组对于垂径定 理及其逆定理的理解和应用实例 ，以及探究过程中遇到的困难和
解决方法。
互动环节
鼓励其他小组的同学提问或发表 不同意见，以促进全班范围内的
深入交流和讨论。
2024/3/23
22
06
课程总结与拓展延伸
辅助课堂教学
为教师和学生提供一份详细、生动的 课件，作为课堂教学的有益补充，帮 助学生更好地理解和掌握垂径定理。
2024/3/23
4
垂径定理概念及重要性
2024/3/23
垂径定理概念
垂径定理是平面几何中一个非常 重要的定理，它揭示了垂直于弦 的直径平分这条弦，并且平分这 条弦所对的两条弧。
当直线过圆心时，可根据垂径定理判断直线与圆 的交点情况，从而确定直线与圆的位置关系。
3
求解圆的半径或直径
在某些几何问题中，可以通过垂径定理构造直角 三角形，并运用勾股定理求解圆的半径或直径。
2024/3/23
16
在三角函数问题中应用
求解角度
在直角三角形中，已知两边求角度时，可利用垂径定理构造另一个直角三角形， 从而运用三角函数求解角度。
垂径定理在数学中的地位
垂径定理是圆的重要性质之一，在解决圆的有关问题时具有广泛的应用价值。同时，它也 是数学中的重要定理之一，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。
相关数学家的贡献
除了欧几里得以外，还有许多数学家对垂径定理的研究做出了重要贡献，如阿基米德、阿 波罗尼奥斯等。他们的研究不仅丰富了垂径定理的理论体系，也推动了数学的发展。
21
分享交流成果
分享方式
每个小组选派一名代表，向全班 汇报本组的讨论和探究成果。
交流内容
各小组代表分享本组对于垂径定 理及其逆定理的理解和应用实例 ，以及探究过程中遇到的困难和
解决方法。
互动环节
鼓励其他小组的同学提问或发表 不同意见，以促进全班范围内的
深入交流和讨论。
2024/3/23
22
06
课程总结与拓展延伸
辅助课堂教学
为教师和学生提供一份详细、生动的 课件，作为课堂教学的有益补充，帮 助学生更好地理解和掌握垂径定理。
2024/3/23
4
垂径定理概念及重要性
2024/3/23
垂径定理概念
垂径定理是平面几何中一个非常 重要的定理，它揭示了垂直于弦 的直径平分这条弦，并且平分这 条弦所对的两条弧。
垂径定理PPT课件(人教版)
37.4m
7.2m
A
C
D
B
R
O
ห้องสมุดไป่ตู้广探索 二
⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16， 且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
A C
B D
.
A
B
.
C
D
课堂小结
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
D
B
O
C
A
C
CB
D
A
O
O
C
B
• 两条辅助线：
半径 弦心距
A
• 一个Rt△：半径 半弦 弦心距
r2 d 2 (a)2 2
在⊙O中，直径CD⊥弦AB
A
① AB是直径 ② CD⊥AB
C
P
┗
D
③ CP=DP
可推得
④
⌒ AC
=
⌒ AD
O
⑤
⌒⌒ BC = BD
B
垂径定理的变式图形一
在⊙O中，半径 OB⊥弦CD
C
① OB是半径 可推得 ② OB⊥CD
③CP=DP,
④ ⌒BC=⌒BD.
O P
D
B
垂径定理的变式图形二
在⊙O中，OP⊥弦CD于P点 C
O P
D
① OP过圆心 ② OP⊥CD
可推得
③CP=DP,
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线 段或相等的圆弧
C
C
B
E
A
O
A
E
B
D C
O
A
E
B
D
A
7.2m
A
C
D
B
R
O
ห้องสมุดไป่ตู้广探索 二
⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16， 且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
A C
B D
.
A
B
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C
D
课堂小结
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
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B
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C
A
C
CB
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A
O
O
C
B
• 两条辅助线：
半径 弦心距
A
• 一个Rt△：半径 半弦 弦心距
r2 d 2 (a)2 2
在⊙O中，直径CD⊥弦AB
A
① AB是直径 ② CD⊥AB
C
P
┗
D
③ CP=DP
可推得
④
⌒ AC
=
⌒ AD
O
⑤
⌒⌒ BC = BD
B
垂径定理的变式图形一
在⊙O中，半径 OB⊥弦CD
C
① OB是半径 可推得 ② OB⊥CD
③CP=DP,
④ ⌒BC=⌒BD.
O P
D
B
垂径定理的变式图形二
在⊙O中，OP⊥弦CD于P点 C
O P
D
① OP过圆心 ② OP⊥CD
可推得
③CP=DP,
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线 段或相等的圆弧
C
C
B
E
A
O
A
E
B
D C
O
A
E
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D
A
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O2C BC 2O2B ,即 (R2)242R2
M
解得：R=5 构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理
列方程求解.
【知识点】
三、课堂小结
1.圆的轴对称性 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都
是它的对称轴，圆的对称轴有无数条 2.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对 的两条弧
条件的实质是：（1）过圆心（2）垂直于弦
A C 与 A D 有什么关系？B C 与 B D 有什么关系？ B
能证明你的结论吗？与同学交流.
条件：CD⊥AB（AB是直径）
结论：CE=DE，A C = A D B C = B D
O
CE D A
知识点二：垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对 的两条弧
B
应用格式：在⊙O 中，
∵ CD⊥AB（AB是直径）
第3章 对圆的进一步认识
3.1 圆的对称性（1）
一、以旧引新
1.与圆有关的概念
圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
连接圆上任意两点的线段叫做弦. 经过圆心的弦叫做直径. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧.
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 2.什么是轴对称图形？
针对训练（二）
1.如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD⊥AB于点M, AB=20， OM=6，则CD= 16 . 2. 绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离 CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为 8m . 3.如图，⊙O是水平放置的输油管道的横截面，其直径为2m， 油面的宽度AB=1.2m，则点O到油面的距离是 0.8m ，油 面的最大深度为 0.2m .
二、新知探究
【动手实践一】
在一张半透明的纸片上画一个圆，标出它的圆 心O，并任意作出一条直径AB,将⊙O沿直径AB折叠， 你发现了什么？由此你能得到什么结论？
知识点一：圆的轴对称性 圆是轴对称图形，每一条直径所在 的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有 无数条
知识点二：垂径定【理动手实践二】
在垂⊙直O于中弦，的作直弦径CD平，分使这CD条⊥弦AB，,记并垂且足平为分E弦.将所⊙对O 沿的直两径条A弧B折叠，你发现线段CE与DE有什么关系？
【解题方法】 构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定
理解决圆中弦、弦心距、半径问题
【数学思想】
方程思想
D
A OM B
C 1题图
2题图
C 3题M图
针对训练（二）
4. 如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为
有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的
高度为2cm，则该输水管的半径为 5cm
.
解：作OC ⊥AB并延长交弧AB与点M，连接OB，
则CM=2， BC=4,
O
设半径为R, OC=R-2，在Rt△OCB中， C
足为E，则CE=DE,OE=EA.（×）
（3）如图，CD是⊙O的弦，OE⊥CD，则CE=DE.( √ )
B
B
O C ED
O
E
C
D
A
O C ED
O
CM
D
A
（1）题图 （2）题图 （3）题图
2题图
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于M，BC 4cm，
AD 1cm，那么 B D _4___cm ,A C __ 1__cm .
【典例讲解】
例1 如图，已知在⊙O中，弦AB 的长为8厘米，圆心
O到弦AB的距离（弦心距）为3厘米，求⊙O的半径.
解：作OM ⊥AB于M，连接OB，
则OM=3，
BM=
1 2
1
AB= 2
×8=4,
在Rt△OMB中，
O AMB
O B O2 M M 2 B 3 2 4 2 5 .
答： ⊙O的半径为5厘米. 总结：对于圆中有关弦、弦心距、半径问题，常作 辅助线---作出半径或圆心到弦的垂线段，构造直角三 角形，运用垂径定理和勾股定理解决有关问题.
∴ CE=DE，A C = A D ，B C = B D
O
CE D A
B
B
O
CE D A
O
E
C
D
A
O
O
C ED C ED
条件的实质是：（1）过圆心（2）垂直于弦
针对训练（一）
1.判断正误 （1）如图，CD是⊙O的弦，BE经过圆心O,BE⊥CD于 E，则
CE=DE，BC BD（. √ ）
（2）如图，CD是⊙O的弦，OA是圆的半径，OA⊥CD，垂