垂径定理公开课
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C
A
┗
●
B
O
由 CD是直径 AE=BE
可推得
⌒ ⌒ AC=BC, ⌒
CD⊥AB,
E
●
⌒ AD=BD.
为什么这里强调AB是一条非直径的弦？ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且 平分弦所对的两条弧.（垂径定理推论）
D
C
7.2m 7.2m
37.4m
A ?
D 37.4m
B
O 解：如图设AB 所在圆半径为R。由垂径定理得： AB 1 1 AB 37.4，CD 7.2，AD AB 37.4 18.7 2 2 已知：在⊙O中，CD=7.2m，AB=37.4m OD OC CD R 7.2 在Rt△OAD中由勾股定理得: 求解：OA的长（精确到0.1米） OA2 AD 2 OD 2 2 即R 2 18.7 2 2 7.2 2 R 分析：OA =AD2+OD 其中OD=OC-CD 解得：R 27.9(m) 因此，赵州桥的主拱桥的半径约为27.9m。
课前延伸
圆的相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ ,读作“弧 AB AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
B
A
●
O
C
M
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC). 直径将圆分成两部分,每一部分都叫 做半圆(如弧ABC). ⌒ 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 AB(用 两个大写字母). ⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AMB (用三个大写字母).
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B O C A D C
A O D C B
O E D C
B O A D
注意：定理中的两个条件 （直径，垂直于弦）缺一 不可！垂径本质是过圆心
活动三
问题
如图AB是⊙O的一条弦（不是直径）,且AE=BE.
过点E作直径CD.
你能发现图中AB与CD有什么位置关系？又有哪些等量 关系?与同伴说说你的想法和理由.
︵
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为 直径，则下列结论不正确的是（C）
A
C
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A、AC=AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM
M└
●
D O
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB， 垂足为M，OM=3，则CD= 8 . 3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若 CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
A D C
⌒ ⌒⌒ ⌒
·
O
E
B
做一做
如图,理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB.
C
∵OA=OB，OE⊥AB ∴AE=BE. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直线CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
·
O
E A D B
活动一 实践探究
课 内 探 究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线 都是它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使 CD⊥AB，垂足为E． 你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ 因为圆是轴对称图形．直径CD 所在的直线是它的对称轴。 线段： AE=BE 弧:AC=BC,AD=BD
B
若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长2 注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种 a 用a表示，这三者之间有怎样的关系？r 2 d 2 辅助线的添法．往往结合勾股定理计算。
2
4 . 已知：如图，在以O为圆 心的两个同心圆中，大圆的弦 AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。
⌒ ⌒ ∴AC =BC,
⌒ AD =BD.
⌒
我们把这个结论称为垂径定理
垂径定理三种语言
(一)
A C
O E
B
（二）定理
的两条弧.
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所
D
（三）如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
⌒ ⌒ ∴AE=BE, AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD.
Ramming foundation
2垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧． 垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
3解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定 理创造条件。
a r d 2
2 2
2
课后提升 注意
那么，生活当中你见过“弧”吗？
大家知道赵州桥吗？ 它是1300多年前我国隋 代建造的石拱桥，是我 国古代人民勤劳与智慧 的结晶。它的主桥拱是 圆弧形。如果知道它的 跨度（弧所对的弦的长） 为37.4米，拱高（弧的 中点到弦的距离）为 7.2米，你能求出赵州 桥主桥拱的半径吗？
1961年被国务院列为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一批全国重点文物保护单位。
A C 证明：过点O作OE⊥AB，垂足为E，
O
E D
└
.
B
∵OE⊥AB
∴AE＝BE，CE＝DE。
∴AE－CE＝BE－DE。
∴AC＝BD
达标检测
已知：在⊙O中，AC,AB为互相垂直的两条相 等的弦，OD ⊥AB, OE ⊥AC 求证：四边形ADOE为正方形。 C E
└ └
O D B
A
课堂小结
1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或 经过圆心的每一条直线。
1、课本P110练习1、2做在家庭本上。 2、小组讨论：根据垂径定理与推论可知。 如果具备
（1）是直径（过圆心）（2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条 件都可以推出其他三个结论吗？
再见
A
┗
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B
O
由 CD是直径 AE=BE
可推得
⌒ ⌒ AC=BC, ⌒
CD⊥AB,
E
●
⌒ AD=BD.
为什么这里强调AB是一条非直径的弦？ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且 平分弦所对的两条弧.（垂径定理推论）
D
C
7.2m 7.2m
37.4m
A ?
D 37.4m
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O 解：如图设AB 所在圆半径为R。由垂径定理得： AB 1 1 AB 37.4，CD 7.2，AD AB 37.4 18.7 2 2 已知：在⊙O中，CD=7.2m，AB=37.4m OD OC CD R 7.2 在Rt△OAD中由勾股定理得: 求解：OA的长（精确到0.1米） OA2 AD 2 OD 2 2 即R 2 18.7 2 2 7.2 2 R 分析：OA =AD2+OD 其中OD=OC-CD 解得：R 27.9(m) 因此，赵州桥的主拱桥的半径约为27.9m。
课前延伸
圆的相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ ,读作“弧 AB AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
B
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经过圆心的弦叫做直径(如直径AC). 直径将圆分成两部分,每一部分都叫 做半圆(如弧ABC). ⌒ 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 AB(用 两个大写字母). ⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AMB (用三个大写字母).
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B O C A D C
A O D C B
O E D C
B O A D
注意：定理中的两个条件 （直径，垂直于弦）缺一 不可！垂径本质是过圆心
活动三
问题
如图AB是⊙O的一条弦（不是直径）,且AE=BE.
过点E作直径CD.
你能发现图中AB与CD有什么位置关系？又有哪些等量 关系?与同伴说说你的想法和理由.
︵
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为 直径，则下列结论不正确的是（C）
A
C
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A、AC=AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM
M└
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D O
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB， 垂足为M，OM=3，则CD= 8 . 3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若 CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
A D C
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做一做
如图,理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB.
C
∵OA=OB，OE⊥AB ∴AE=BE. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直线CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
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活动一 实践探究
课 内 探 究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线 都是它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使 CD⊥AB，垂足为E． 你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ 因为圆是轴对称图形．直径CD 所在的直线是它的对称轴。 线段： AE=BE 弧:AC=BC,AD=BD
B
若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长2 注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种 a 用a表示，这三者之间有怎样的关系？r 2 d 2 辅助线的添法．往往结合勾股定理计算。
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4 . 已知：如图，在以O为圆 心的两个同心圆中，大圆的弦 AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。
⌒ ⌒ ∴AC =BC,
⌒ AD =BD.
⌒
我们把这个结论称为垂径定理
垂径定理三种语言
(一)
A C
O E
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（二）定理
的两条弧.
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所
D
（三）如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
⌒ ⌒ ∴AE=BE, AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD.
Ramming foundation
2垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧． 垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
3解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定 理创造条件。
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课后提升 注意
那么，生活当中你见过“弧”吗？
大家知道赵州桥吗？ 它是1300多年前我国隋 代建造的石拱桥，是我 国古代人民勤劳与智慧 的结晶。它的主桥拱是 圆弧形。如果知道它的 跨度（弧所对的弦的长） 为37.4米，拱高（弧的 中点到弦的距离）为 7.2米，你能求出赵州 桥主桥拱的半径吗？
1961年被国务院列为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一批全国重点文物保护单位。
A C 证明：过点O作OE⊥AB，垂足为E，
O
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B
∵OE⊥AB
∴AE＝BE，CE＝DE。
∴AE－CE＝BE－DE。
∴AC＝BD
达标检测
已知：在⊙O中，AC,AB为互相垂直的两条相 等的弦，OD ⊥AB, OE ⊥AC 求证：四边形ADOE为正方形。 C E
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A
课堂小结
1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或 经过圆心的每一条直线。
1、课本P110练习1、2做在家庭本上。 2、小组讨论：根据垂径定理与推论可知。 如果具备
（1）是直径（过圆心）（2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条 件都可以推出其他三个结论吗？
再见