垂径定理公开课

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01977_《垂径定理》公开课一等奖课件

教师点评与总结
在学生的分享和交流过程中，教师进行适时的点评和总结，强调垂径定理的重要性和应用价值，并引导学生对探究过程进行反思和总结。
2024/1/28
18
05
课堂互动环节展示
Chapter
2024/1/28
19
提问环节
提出问题
什么是垂径定理？它的定义和性质是什么？
2024/1/28
引导思考
Chapter
2024/1/28
23
重点内容回顾总结
2024/1/28
垂径定理的定义和性质
垂径定理指出，对于任意圆和经过圆心的直径，若该直径垂直于某条弦，则该直径平分该弦，并且平分该弦所对的两条弧。
垂径定理的证明方法
通过构造直角三角形和运用勾股定理等方法，可以证明垂径定理的正确性。
垂径定理的应用场景
02
推论1
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
03
推论2
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
04
推论3
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
2024/1/28
8
垂径定理证明过程
要点一
已知
在⊙O中，DC为直径，AB是弦， AB⊥DC于点E，AB被DC平分于点E 。
值。
2024/1/28
21
练习环节
2024/1/28
基础练习
01
提供一些基础题目，让学生运用垂径定理进行求解，巩固所学
知识。
拓展练习
02
设计一些难度较大的题目，引导学生进一步探索垂径定理的应
用和拓展。
互动答疑

初中数学《垂径定理》公开课课件

C
O
AE
F
B
P
D
A
B
O
自我评价本节课堂自我评价
评价项目及评价结果优
良
合格
不合格
课前预习的主动性以及效果
课堂活动的参与度
独立回答问题以及解决问题的准确性
对整节课所学知识以及数学思想方法的认识与体会
较之上节课的学习表现是
否
是否有了进步
备注：请根据评价项目对自己作出客观的评价,并写在相应的栏目下面。
E
连半径建模思想
F
●
D
O
用勾股方程思想
解这个方程,得R 545.
牛刀小试
1.如图，已知⊙O的半径为30mm,弦AB=36mm,则∠OAB的正弦值是。
0
A
B
辅助线：作垂直，得平分，用勾股
大显身手
2.⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16cm，CD=12cm，则AB、CD间的
距离是 2cm或14cm .
.
3.分类讨论思想
1.实际生活中的应用价值
2.自主探索和团队合作精神
当堂检测
必做题
1.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么
OP长的取值范围是______。
2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。
O
A
PB
O.
AC
DB
当堂检测
动手操作
折一折：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的
直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
·
可以发现：圆是_轴__对__称_ 图形，任何一条直__径__所__在__的__直__线都是它的对称轴，它有__无__数__条对称轴。

《垂径定理公开课》课件

《垂径定理公开课》PPT 课件
这是一场关于《垂径定理》的公开课，旨在通过清晰的PPT展示，向大家介绍垂径定理的定义、推导过程、应用以及拓展内容，让大家深入了解这一重要的几何概念。
课程介绍
这门课程将为大家详细介绍垂径定理的内容。我们将从基础知识开始，逐步引入更深入的概念和应用。希望通过本课程的学习，大家能够对垂径定理有一个全面的了解。
垂径定理的应用
垂径定理不仅仅是一种几何概念，还具有广泛的应用价值。在多种几何问题中，都可以利用垂径定理来解决具体问题，例如确定直径、垂径的位置，计算相关角度和长度等。
垂径定理的例题分析
通过一些具体的例Βιβλιοθήκη 分析，我们将进一步探究垂径定理的应用。我们将结合实际问题，通过解题的方式，帮助大家更好地理解和掌握垂径定理，并培养灵活运用的能力。
垂径定理的拓展
垂径定理作为一个基础定理，还有许多有趣的拓展内容。这些拓展内容可以进一步丰富和拓宽我们的几何知识，使我们在解决更复杂的几何问题时能够更加游刃有余。
结论和总结
通过这门课程，我们已经全面地学习了垂径定理的相关内容。希望大家通过这次学习，对垂径定理有了更深入的理解，并且能够在实际问题中灵活运用。谢谢大家的参与！
垂径定理的定义
垂径定理是几何学中的一个基本定理，它描述了直径与垂直线的关系。通过垂径定理，我们可以从直径推导出垂直线，以及从垂直线推导出直径，从而建立了直径与垂直线的重要联系。
垂径定理的推导过程
通过推导过程，我们将深入探讨垂径定理的原理和推理。我们将通过几何推导和逻辑推理，引导大家逐步理解垂径定理的推导过程，并梳理其中的关键步骤和思路。

公开课《2412垂径定理》课件

图形描述
在圆中画出一条弦AB和经过圆心O的直径CD，使它们垂直相交于点E。再连接 OA和OB。
重点标注
标注出弦AB、直径CD、交点E、圆心O、半径OA 和OB。
辅助线
无需添加辅助线，直接通过已知条件和假设进行证明。
04
垂径定理应用举例分析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
已知条件及假设
已知条件
在圆中，有一条弦AB和经过圆心O的直径CD，且AB与CD垂直相交于点E。
假设
我们需要证明的是，弦AB被直径CD平分，即AE=EB。
证明步骤梳理
1. 连接OA和OB，由于OA和OB都是半径，所以OA=OB。
垂径定理相关性质
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对
的两条弧；
推论1
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平
分弦所对的两条弧；
推论2
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的
两条弧；
推论3
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条
弧。
03
垂径定理证明过程详解
问题。通过运用垂径定理，可以揭示市场运行的一些基本规律和特点。
05
学生自主思考与探究环节
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
提出问题和假设
01
02
03
04
问题1
什么是垂径定理？它在几何学中有什么重要性？
问题2
垂径定理的逆定理是什么？它与垂径定理有何联系？

27.2 垂径定理 (2) 公开课一等奖课件

【综合运用】 18．(14分)(2015· 安徽)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ. (1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度； (2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
解：(1)PQ＝ 6
3 3 (2)PQ 长的最大值为 2
班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。
青春风采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分数学145分英语141 分文综255分
毕业学校：北京二中报考高校：北京大学光华管理学院北京市文科状元阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。
2．(4分)(2015· 遂宁)如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm ，OC⊥AB于点C，则OC＝( B ) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 3．(4分)如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是( C ) A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5

垂径定理(公开课)

例3．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于 E，求证四边形ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90

EAD 90

ODA 90

1 1 ∴四边形ADOE为矩形，AE AC，AD AB 2 2 C 又 ∵AC=AB
28.1.2-2
简阳通材实验学校廖善虎
提问：圆是什么对称图形？
O
M A D
圆是轴对称图形，
O
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
B
C
N
M A D
或：任意一条
直径所在的直线都是圆的对称轴。
O
C
任意一条直径都是圆的对称轴（）
B
N
M
O
A
C B
思考：
N
此时MN还平分弦AB吗？
MN平分AB所对的两段弧吗？
O
定理辨析判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
C
C
O A D E B
A D EOLeabharlann O ABE D
B
C
O
O
O
A E D B
A E B
A
E
B
例1：在⊙O中，AB为弦，半径 OD⊥AB于E。（1）若OA=5,AB=8，求OE、ED的长。（2）若OA=5,ED=3，求AB、OE的长。（3）若AB=4,ED=1，求OA、OE的长。（4）若OE=3,ED=2，求OA、AB的长。
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
O · B
A
D
变式训练3：图中两圆为同心圆

《垂径定理》示范公开课教学PPT课件【九年级数学下册北师大】

R
OA2=AD2+OD2，即R2=18.72+(R-7.2)2．
O
解得R≈27.9(m)．
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m．
课堂练习
1．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，
∠AOB=120°，则弦AB的长是（ B ）．
A．2 2 B．2 3 C． 5 D．3 2
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂
探究新知
（2）发现：AM=BM，AC BC ，AD BD ．
理由：如图，连接OA，OB，则OA=OB．在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM． ∴AM=BM，∠AOC=∠BOC．
∴ AC BC ．
探究新知
∵∠AOD=180°-∠AOC， ∠BOD=180°-∠BOC，
A
为垂足，OC与 AB 相交于点C，连接
C
D
B
R
OA．根据垂径定理，D是AB的中点，
C是AB 的中点，CD就是拱高
O
典例精析
由题设可知AB=37.4 m，CD=7.2 m．
所以 AD 1 AB 1 37.4 18.7(m)，
2
2

A
OD=OC-CD=R-7.2．
C
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
650
2
2
3002
125(mm)，
所以CD=OD-OC=325-125=200(mm)．
答：油的最大深度为200 mm．
课堂小结
1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．垂径定理的逆定理平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

3.3-垂径定理-第1课时公开课

填一填研一研练一练
在 Rt△AEO 中，OE＝ OA2－AE2＝ 132－122＝5，在 Rt △CFO 中，OF＝ OC2－CF2＝ 132－52＝12，∴EF＝OF－OE ＝12－5＝7.
全效学习学案导学设计
填一填研一研练一练
(2)当圆心O在AB，CD之间时，如图(2)所示，过O作 OE⊥AB于E，延长交CD于F，连结OC，OA，同样可得 OF＝12，OE＝5.∴EF＝OE＋OF＝17.
全效学习学案导学设计
填一填研一研练一练
类型之二垂径定理在实际生活中的应用例3 “圆材埋壁”是我国古代著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”答曰：“26寸”．题目用现在的数学语言表达是：“如图3－3－9所示，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1 寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”
全效学习学案导学设计
填一填研一研练一练
填一填
【知识管理】 1．圆的轴对称性圆是__轴__对__称__图__形___，每一条过圆心的直线都是圆的
___对__称__轴___．注意：圆有无数条对称轴。
全效学习学案导学设计
填一填研一研练一练
2．垂径定理定理：垂直于弦的直径___平__分____这条弦，并且 __平__分__弦__所__对__的__弧_____．如图 3－3－1 所示，CD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，且 CD⊥AB，垂足为 E，则 EA＝EB，C︵A＝C︵B，D︵A ＝D︵B.
即半径 OA 是377m.
全效学习学案导学设计
填一填研一研练一练
练一练
全效学习学案导学设计

垂径定理公开课教案

垂径定理公开课优秀教案第一章：导入教学目标：1. 引导学生回顾圆的相关知识，为新课的学习做好铺垫。

2. 激发学生对垂径定理的好奇心，提高学习兴趣。

教学内容：1. 回顾圆的定义、性质及圆的基本运算。

2. 提问：你们知道什么是垂径定理吗？它有什么作用？教学方法：1. 采用提问、讨论的方式，引导学生回顾圆的知识。

2. 利用多媒体展示圆的图片，引导学生观察和思考。

教学步骤：1. 复习圆的定义、性质及基本运算。

2. 提问：什么是垂径定理？它有什么作用？3. 引导学生讨论，总结垂径定理的含义。

4. 利用多媒体展示圆的图片，引导学生观察和思考。

教学评价：1. 检查学生对圆的知识的掌握情况。

2. 观察学生在讨论中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。

第二章：探究垂径定理教学目标：1. 让学生通过实验、观察和推理，探究并证明垂径定理。

2. 培养学生的观察能力、动手能力和逻辑思维能力。

教学内容：1. 实验：用圆规、直尺和铅笔在圆上作垂线。

2. 观察：观察垂线与圆的关系。

3. 推理：引导学生总结垂径定理的证明过程。

教学方法：1. 实验法：让学生亲自动手作垂线，观察垂线与圆的关系。

2. 引导法：引导学生通过观察、思考，总结垂径定理的证明过程。

教学步骤：1. 让学生用圆规、直尺和铅笔在圆上作垂线。

2. 观察垂线与圆的关系，引导学生发现垂径定理的规律。

3. 引导学生总结垂径定理的证明过程。

教学评价：1. 检查学生对垂径定理的理解程度。

2. 观察学生在实验和推理过程中的表现，了解他们的动手能力和逻辑思维能力。

第三章：应用垂径定理教学目标：1. 让学生学会运用垂径定理解决实际问题。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教学内容：1. 运用垂径定理解决实际问题。

2. 练习题：巩固垂径定理的应用。

1. 引导法：引导学生运用垂径定理解决实际问题。

2. 练习法：让学生通过练习题，巩固垂径定理的应用。

教学步骤：1. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。

垂径定理公开课教案

垂径定理公开课优秀教案第一章：教学目标1.1 知识与技能：理解垂径定理的概念和含义。

学会运用垂径定理解决实际问题。

1.2 过程与方法：通过观察和实验，发现垂径定理的规律。

学会使用直尺和圆规进行几何图形的绘制。

1.3 情感态度价值观：培养学生的观察能力和思维能力。

培养学生的合作意识和解决问题的能力。

第二章：教学内容2.1 教材内容：介绍垂径定理的定义和公理。

解释垂径定理的证明过程。

2.2 教学重点与难点：垂径定理的理解和运用。

垂径定理的证明过程的理解。

第三章：教学过程3.1 导入：通过引入实际问题，引发学生对垂径定理的兴趣。

引导学生思考垂径定理的应用场景。

3.2 探究与发现：分组讨论和实验，让学生发现垂径定理的规律。

引导学生通过观察和实验，总结垂径定理的定义。

3.3 讲解与示范：讲解垂径定理的定义和证明过程。

示范如何运用垂径定理解决实际问题。

3.4 练习与巩固：提供一些练习题，让学生巩固对垂径定理的理解。

引导学生运用垂径定理解决实际问题。

第四章：教学评价4.1 评价标准：学生对垂径定理的理解程度。

学生运用垂径定理解决实际问题的能力。

4.2 评价方法：课堂提问和回答。

练习题的完成情况。

学生的小组讨论和实验报告。

第五章：教学资源5.1 教材：采用《几何》教材，提供垂径定理的相关内容。

5.2 教具：直尺、圆规、几何模型等。

5.3 教学多媒体：使用PPT或教学视频，展示垂径定理的证明过程和实际应用。

第六章：教学步骤6.1 步骤一：导入新课通过展示实际问题，引发学生对垂径定理的兴趣。

引导学生思考垂径定理的应用场景。

6.2 步骤二：探究与发现分组讨论和实验，让学生发现垂径定理的规律。

引导学生通过观察和实验，总结垂径定理的定义。

6.3 步骤三：讲解与示范讲解垂径定理的定义和证明过程。

示范如何运用垂径定理解决实际问题。

6.4 步骤四：练习与巩固提供一些练习题，让学生巩固对垂径定理的理解。

引导学生运用垂径定理解决实际问题。

新北师大版九年级数学下册第三章《3.3垂径定理》公开课课件(12张)

D
AC =AB ,
B
BC =BD.
1、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。
C
c
C
A
D
B
O
A
E
B
O
O
A
E
B
D
是
不是
是
2、请画图说明垂径定理的条件和结论。
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 8:49:20 AM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/152021/10/15October 15, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/152021/10/152021/10/152021/10/15
D
O
A
重合合，，A⌒CA、点A和⌒DB分点别重和合B⌒，C、AE和BE重 B⌒D重合。因此
⌒ ⌒⌒ ⌒
AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
C
.O
E
B
D
总结
垂径定理
3、图形语言
A
1、文字语言

《垂径定理》PPT课件 (公开课获奖)2022年浙教版

•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
练一练
1、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,
垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
.
图中相等的劣弧有:
.
M
B
E
D
A
O
F
C
N
2、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,
EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
2、物体在水下，水深每增加米承受的压力就会增加1个大气
压.当“蛟龙”号下潜至3500米时，它承受的压力约为340个
大气压.问当它承受压力增加到500个大气压时，它又继续下
潜了多少米？
340 1 x500
设它又继续下潜了x米 ,可列出方程 _______1_0__.3_3_________
3、小强、小杰、张明参加投篮比赛，每人投20次.小强投进10个
（7）平分弦的直线，必定过圆心。
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。
A
C
C
C
OD
•O
(1) B
A
B
(2) D
•O
A
B
(3) D
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。
（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
•O ACB
(4)
B
2. 若 x 2 是关于 2x3mn0的方程的解，
则3m-n的值为
．
有的温度计有华氏、摄氏两种温标，华氏(℉)、摄氏(℃)
温标的转换公式是F=1.8C+32。请填下表：

垂径定理公开课优秀教案Word版

团队协作
成果展示
团队成员共同讨论、分工合作，发挥各自的优势和特长，共同完成任务。鼓励团队成员之间充分沟通、互相支持和学习。
每个团队完成后，向全班展示他们的成果。其他团队可以提问、评论和建议，促进全班学生之间的交流和学习。
05 教师点评与总结回顾
CHAPTER
学生表现评价及建议
01
学生表现积极，参与度高
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的垂直平分线必过圆心。
垂径定理的推论
弦的垂直平分线必过圆心；平分弦所对的一条弧的垂直平分线，必平分弦所对的另一条弧。
证明方法及步骤
已知条件
在圆内，有一条弦AB和经过弦AB中点的直径CD。
证明过程
连接OA和OB，由于OA和OB是半径，所以∠OAB和∠OBA是等腰三角形的底角，因此∠OAB = ∠OBA。又因为CD是直径且垂直于AB，所以∠OCA和∠OCB是直角三角形的锐角，且 ∠OCA = ∠OCB。由此可得，△OCA和△OCB是全等的，所以AC = BC，即直径CD平分弦AB。
创新思维拓展题目
分析
此题需要运用垂径定理、角平分线性质和相似三角形的性质进行证明。首先利用垂径定理和角平分线性质证明 △ABD∽△CBD，再利用相似三角形的性质证明BD平分∠ABC。
解答
连接圆心O到点A、B、C、D，由于OA=OB=OC=OD（半径相等），所以∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB， ∠BAD=∠CAD（角平分线性质）。因为AC⊥BC，所以∠ACB=90°，从而∠OAC+∠OBC=90°。又因为 ∠AOC+∠BOC=180°，所以∠AOC=∠BOC=90°，即AB平分∠ACB。在△ABD和△CBD中，∠BAD=∠CAD， ∠ABD=∠CBD（相似三角形对应角相等），所以BD平分∠ABC。

垂径定理公开课用的课件

THANKS
感谢观看
4. 根据全等三角形的对应边相等，我们得出 $AM=BM$。
证明中的数学思想
01
垂径定理的证明涉及了圆的性质、三角形的全等关系以及逻辑推理等数学思想。
02
通过构造辅助线和利用已知条件，逐步推导出结论，体现了数学证明中的严谨性和逻辑性。
03
垂径定理的应用
在几何作图中的应用
01
02
03
确定圆心位置
在垂径定理中，如果弦变为直径，则直径所对的圆周角为直角。
从平面图形到立体图形
将垂径定理从平面图形推广到立体图形，例如球体，可以得到类似的性质。
推广后的应用场景
建筑设计
在建筑设计时，可以利用垂径定理的推广情势来确保建筑结构的稳定性。
工程测量
在测量中，可以利用垂径定理的推广情势来确定某些线段或角度是否满足设计要求。
数学教育
在数学教育中，垂径定理的推广可以帮助学生深入理解几何图形的性质，提高解题能力。
对推广情势的进一步思考
统一性
视察垂径定理的各种推广情势，可以发现它们都遵循“从特殊到一般”的逻辑，这种统一性有助于理解几何图形的本质。
局限性
虽然垂径定理的推广情势具有广泛的应用价值，但在实际应用中仍需考虑图形的复杂性和具体条件，避免生搬硬套。
答案及解析
题目2答案及解析
答案：解得，CD:AB=3:5。
解析：根据垂径定理，我们知道OE垂直于CD，所以E是CD的中点。又因为 OE:BE=5:1，所以AB:OE=5:3。然后利用勾股定理计算出CE的长度为 sqrt(AB^2OE^2)=sqrt(5^2*3^2)=sqrt(75)=5 *sqrt(3)。最后得出CD的长度为 2*CE=2*5*sqrt(3)=10*sqrt(3)。所以弦CD与直径AB的比值为 CD:AB=10*sqrt(3):5=2*sqrt(3):1=6 :5。

2024年度数学公开课优质课件精选《垂径定理》

解决与垂直相关的几何问题
利用垂径定理可以解决与垂直相关的各种问题，如求点到直线的距离、证明三角形的直角等。
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04 垂径定理在代数问题中应用
2024/3/24
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解决方程根的问题
利用垂径定理求方程的根
通过构造合适的函数，将方程的求解问题转化为求函数与x轴交点的横坐标，进而利用垂径定理求解。
判断方程根的存在性及根的个数
和可信度。
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03 垂径定理在几何问题中应用
2024/3/24
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解决线段中点问题
2024/3/24
利用垂径定理求线段中点
01
通过构造以线段为直径的圆，利用垂径定理可求得线段的中点
。
判定线段中点的性质
02
根据垂径定理，若一条线段是某圆的直径，则该线段的中点是
圆心，从而可判定线段中点的性质。
解决与线段中点相关的几何问题
根据垂径定理，CD平分AB，所以AD = a 。在直角三角形AOD中，利用勾股定理可得OD的长度，进而求得CD的长度。
B
C
例题2
已知圆O的半径为5cm，弦AB的长度为 8cm，求AB的垂径CD的长度。
解析
同样应用垂径定理和勾股定理，先求出AD 的长度为4cm，然后在直角三角形AOD中求出OD的长度为3cm，最后求得CD的长度
利用垂径定理研究函数的极值和最值
通过分析函数的一阶导数或二阶导数的零点及符号变化，结合垂径定理可以求出函数的极值和最值及其对应的自变量取值范围。
利用垂径定理研究函数的图像特征
通过分析函数的单调性、极值、最值等性质，结合垂径定理可以描绘出函数的大致图像，进一步了解函数的性质。
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05 垂径定理拓展与延伸

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那么，生活当中你见过“弧”吗？
大家知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形。如果知道它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
1961年被国务院列为第一批全国重点文物保护单位。
课前延伸

圆的相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ ,读作“弧 AB AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).

B

A
●
O
C
M
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC). 直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC). ⌒ 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 AB(用两个大写字母). ⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AMB (用三个大写字母).
活动一实践探究
课内探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使 CD⊥AB，垂足为E．你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？因为圆是轴对称图形．直径CD 所在的直线是它的对称轴。线段： AE=BE 弧:AC=BC,AD=BD
A C 证明：过点O作OE⊥AB，垂足为E，
O
E D
└
.
B
∵OE⊥AB
∴AE＝BE，CE＝DE。
∴AE－CE＝BE－DE。
∴AC＝BD
达标检测
已知：在⊙O中，AC,AB为互相垂直的两条相等的弦，OD ⊥AB, OE ⊥AC 求证：四边形ADOE为正方形。 C E
└ └
O D B
A
课堂小结
1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或经过圆心的每一条直线。
C

A
┗
●
B
O
由 CD是直径 AE=BE
可推得
⌒ ⌒ AC=BC, ⌒
CD⊥AB,
E
●
⌒ AD=BD.
为什么这里强调AB是一条非直径的弦？平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.（垂径定理推论）
D
C
7.2m 7.2m
37.4m
A ?
D 37.4m
B
O 解：如图设AB 所在圆半径为R。由垂径定理得： AB 1 1 AB 37.4，CD 7.2，AD AB 37.4 18.7 2 2 已知：在⊙O中，CD=7.2m，AB=37.4m OD OC CD R 7.2 在Rt△OAD中由勾股定理得: 求解：OA的长（精确到0.1米） OA2 AD 2 OD 2 2 即R 2 18.7 2 2 7.2 2 R 分析：OA =AD2+OD 其中OD=OC-CD 解得：R 27.9(m) 因此，赵州桥的主拱桥的半径约为27.9m。
⌒ ⌒ ∴AC =BC,
⌒ AD =BD.
⌒
我们把这个结论称为垂径定理
垂径定理三种语言
(一)
A C
O Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
（二）定理
的两条弧.
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所
D
（三）如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
⌒ ⌒ ∴AE=BE, AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD.
Ramming foundation
︵
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（C）
A
C
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A、AC=AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM
M└
●
D O
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，垂足为M，OM=3，则CD= 8 . 3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若 CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B O C A D C
A O D C B
O E D C
B O A D
注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！垂径本质是过圆心
活动三

问题

如图AB是⊙O的一条弦（不是直径）,且AE=BE.
过点E作直径CD.
你能发现图中AB与CD有什么位置关系？又有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.
A D C
⌒ ⌒⌒ ⌒
·
O
E
B
做一做

如图,理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB.
C
∵OA=OB，OE⊥AB ∴AE=BE. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直线CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
·
O
E A D B
2垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
3解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
a r d 2
2 2
2
课后提升注意
1、课本P110练习1、2做在家庭本上。 2、小组讨论：根据垂径定理与推论可知。如果具备
（1）是直径（过圆心）（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
再见
B
若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长2 注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种 a 用a表示，这三者之间有怎样的关系？r 2 d 2 辅助线的添法．往往结合勾股定理计算。
2
4 . 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。