垂径定理 优质课
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1 解：∵OC⊥AB于C ∴AC=BC= AB=4 2
连接OA，在Rt△ACO中
O A
OA= AC2 + OC2 = 42 + 32 =5 所以⊙O的半径为5.
C
B
练习：1.如图⊙O的半径为8，OC ⊥弦AB于C，且OC=6， 求弦长AB。 2.如图⊙O的半径为6，弦AB=8，求圆心O到AB的距离。
O
E
A D
B
24.1.2
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
E
A B
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
O
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧 所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m， 你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
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观察现象：
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E A D B
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 2.垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧。 符号语言： ∵ CD经过圆心O ，CD⊥AB于E， E A D C
O
B （A）
∴AE=BE，AD=BD，AC=BC
应用垂径定理的几个基本图
O
E A D B
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
O
E A D B
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
O
E A D B
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥 是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长) 为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离) 为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半 径吗？ C 解：用AB表示主拱桥，设AB所在圆的 A 圆心为O，过点O作AB的垂线交AB于C。 由垂径定理可知，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高。 AB=37.4，CD=7.2 ，∴AD=18.7，设OA=OC=R OD=OC-CD=R-7.2. 在Rt△AOD中，OA2 = AD2 + OD2 即 R2 = 18.72 + (R-7.2)2 解得 R≈27.9 因此，赵州桥的主桥拱的半径约为27.9米。 O D B
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
O
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象： 你能得到什么结 论？
O
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
课堂小结
1.圆的轴对称性： C
2.垂径定理：
3.垂径定理的推论： 4.垂径定理应用举例： 在弦长，半径，圆心到弦的距离， 拱高四个量中，知俩求俩。 作业布置：导航相应练习 O
E
A
B （A）
D
AB
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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E A D B （A）
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
O
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C O E A D C
O
O B A C B A
O
B A D
C
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B
请结合图形说出符合垂径定理的条件和结论。
探究：
如图，若直径CD平分弦AB交AB于E时， 你认为都有哪些结论成立？ C O E C C
E O
A B B A
E O
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A
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AB是弦，但不能是直径时，才有垂直AB，平分AB所 对的两条弧。
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 2.垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧。 3.垂径定理的推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧。 4.垂径定理应用举例： A D C
O
E B （A）
例1.如图所示，已知AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，且 AB=8，OC=3，求⊙O的半径。
连接OA，在Rt△ACO中
O A
OA= AC2 + OC2 = 42 + 32 =5 所以⊙O的半径为5.
C
B
练习：1.如图⊙O的半径为8，OC ⊥弦AB于C，且OC=6， 求弦长AB。 2.如图⊙O的半径为6，弦AB=8，求圆心O到AB的距离。
O
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A D
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
O
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧 所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m， 你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
观察现象：
O
观察现象：
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观察现象：
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观察现象：
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观察现象：
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观察现象：
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观察现象：
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观察现象：
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观察现象：
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 2.垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧。 符号语言： ∵ CD经过圆心O ，CD⊥AB于E， E A D C
O
B （A）
∴AE=BE，AD=BD，AC=BC
应用垂径定理的几个基本图
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥 是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长) 为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离) 为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半 径吗？ C 解：用AB表示主拱桥，设AB所在圆的 A 圆心为O，过点O作AB的垂线交AB于C。 由垂径定理可知，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高。 AB=37.4，CD=7.2 ，∴AD=18.7，设OA=OC=R OD=OC-CD=R-7.2. 在Rt△AOD中，OA2 = AD2 + OD2 即 R2 = 18.72 + (R-7.2)2 解得 R≈27.9 因此，赵州桥的主桥拱的半径约为27.9米。 O D B
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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观察现象：
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观察现象：
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观察现象：
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观察现象： 你能得到什么结 论？
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圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
课堂小结
1.圆的轴对称性： C
2.垂径定理：
3.垂径定理的推论： 4.垂径定理应用举例： 在弦长，半径，圆心到弦的距离， 拱高四个量中，知俩求俩。 作业布置：导航相应练习 O
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
O
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C O E A D C
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O B A C B A
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B A D
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B
请结合图形说出符合垂径定理的条件和结论。
探究：
如图，若直径CD平分弦AB交AB于E时， 你认为都有哪些结论成立？ C O E C C
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A B B A
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B
A
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D
AB是弦，但不能是直径时，才有垂直AB，平分AB所 对的两条弧。
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 2.垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧。 3.垂径定理的推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧。 4.垂径定理应用举例： A D C
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E B （A）
例1.如图所示，已知AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，且 AB=8，OC=3，求⊙O的半径。