垂径定理 ppt课件
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《垂径定理》PPT课件
3．(4 分)(2013·廊坊)如图，⊙O 的直径 AB＝12，CD 是⊙O 的弦，
CD⊥AB，垂足为 P，且 BP∶AP＝1∶5，则 CD 的长为( D )
A．4 2
B．8 2
C．2 5
D．4 5
4．(4 分)如图，以点 O 为圆心的两个圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点
C，D，已知 AB＝4，CD＝2，点 O 到弦 AB 的距离等于 1，那么这两个
(1)风景区是这样计算的：调整前的平均价格：
10＋10＋155＋20＋25＝16(元)
23.1 平均数与加权平均数(一)
7．(10分)上学期期末考试后，小林同学数学科的期末考试成绩为 76 分 ， 但 他 平 时 数 学 测 试 的 成 绩 为 90 分 ， 期 中 数 学 考 试 成 绩 为 80 分．
(1)请问他一学期的数学平均成绩是多少？ (2)如果期末总评成绩按：平时成绩占20%，期中成绩占30%，期末 成绩占50%计算，那么该同学期末总评数学成绩是多少？
七巧板 拼图 66 66 66
趣题 巧解 89 60 80
数学 应用 86 80 90
魔方 复原 68 68 68
23.1 平均数与加权平均数(一)
(1)比赛后，甲猜测七巧板拼图，趣题巧解，数学应用，魔方复原这四 个项目得分分别按10%，40%，20%，30%折算后记入总分，根据猜测， 求出甲的总分；
(1)由题意，得甲的总分为： 66×10%＋89×40%＋86×20%＋68×30%＝79.8(分)
(2)本次大赛组委会决定，总分为80分以上(包含80分)的学生获一等奖， 现获悉乙，丙的总分分别是70分，80分．甲的七巧板拼图、魔方复原两 项得分折算后的分数和是20分，问甲能否获得这次比赛的一等奖？
《圆的垂径定理》课件
第四步
综合第二步和第三步的结论， 得出垂径定理。
定理的应用
01
02
03
计算弦长
已知圆的半径和弦所对的 圆心角，利用垂径定理可 以计算出弦的长度。
计算弧长
已知圆的半径和弧所对的 圆心角，利用垂径定理可 以计算出弧的长度。
计算圆心角
已知圆的半径和弦长，利 用垂径定理可以计算出圆 心角的度数。
03
垂径定理的应用
02
垂径定理在解析几何中可以用于 解决一些实际应用问题，例如计 算桥梁的承重能力、设计圆形工 件等。
垂径定理在实际问题中的应用
在实际生活中，垂径定理的应用非常 广泛，例如在建筑设计、机械制造、 航空航天等领域中，垂径定理都发挥 着重要的作用。
垂径定理在物理学中也有应用，例如 在研究光的反射和折射、地球的重力 场等。
垂径定理在几何问题中的应用
垂径定理在证明圆的性质时发挥了重要作用，例如证明圆周角定 理、圆内接四边形的性质等。
垂径定理是解决几何问题中关于圆的问题的基础，例如求圆的面 积、周长、圆心角等。
垂径定理在解析几何中的应用
01
在解析几何中，垂径定理可以与 其他数学知识结合使用，例如与 三角函数、坐标系等结合，解决 更复杂的几何问题。
详细描述
弦切角定理指出，在圆中，连接弦与切线的交点的线段与弦所夹的角等于该弦 所对应的圆心角。这个定理在解决与弦、切线和圆心角相关的问题时非常有用 。
切线长定理
总结词
切线长定理是关于圆的切线长度的重 要定理。
详细描述
切线长定理指出，过圆外一点向圆作 两条切线，则该点到两切点的线段长 度相等。这个定理在解决与圆的切线 和相关长度相关的问题时非常有用。
定理的应用
垂径定理ppt
3
在实际生活中，垂径定理也广泛应用于工程、 建筑、天文、航海等领域
02
证明垂径定理
准备知识：圆和直径的定义
圆定义总结
圆是一种几何图形，由点到点的距离等于定长的点的集合构成。
直径定义总结
直径是圆上任意两点处于圆心的一条直线，或者说是圆的一侧到另一侧的直 线距离。
证明过程概述
证明思路
通过证明圆弧的中垂线与直径的交点为直径的中点来证明垂径定理。
定理的历史背景
最早的文字记载可 以追溯到古希腊数 学家欧几里得
之后的数学家如欧 拉、高斯等也对垂 径定理进行了深入 的研究和应用
在中国，东汉时期 的数学家赵爽也有 记载
定理的重要性和应用场景
1
定理是圆几何中的基本定理之一，也是几何学 中最基本的定理之一
2
垂径定理是圆相关问题中最常用的工具之一， 也是解决许多几何问题的关键
证明步骤
根据定义和性质，将圆等分，然后证明等分点与直径的关系，最后得出结论。
证明过程详细步骤
证明步骤一
首先将圆分成两个半圆，然后分别 在半圆上任取一点，分别连接该点 与直径的两个端点，得到两条弧。
证明步骤二
证明两条弧相等。因为它们所对的 圆心角相等，所以根据圆的定义可 知它们的弧长相等。
证明步骤三
应用场景
垂径定理在几何、建筑、工程等领域都有广泛的应用。例如，在桥梁设计和 建造中，需要应用垂径定理来保证桥梁的形状和稳定性；在几何中，垂径定 理可以用于证明各种线段相等、圆周角相等等问题。
反思定理在现代数学中的地位和作用
地位
垂径定理是平面几何中的重要定理之一，也是初中数学竞赛中的热点和难点之一 。
作用
垂径定理在数学、工程、建筑等领域都有着广泛的应用，同时也是培养数学思维 和解决问题能力的重要载体。
垂径定理 (共23张PPT)
C 三、小组合作，再探新知
已知：如图，CD是⊙O的直径， 求AA证D证B=明：为B：DC弦连D,，⊥接且AOABAE，，=且B⌒OEB.⌒，则A⌒C =⌒BC A
·O
E D
B
OA=OB
∵ AE=BE
∴ CD⊥AB
逆定理：平分弦（不是直 径）的直径垂直于弦,并且
∴
A⌒D=⌒BD,
⌒ AC
⌒ =BC
平分弦所对的两条弧.
三：小组合作，再探新知
垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）
的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
“不是直径”这个条件能去掉吗？
如果不能，请举出反例。
A
C
·O B
D
三：小组合作，再探新知
活动二：比一比
Ｃ
垂径定理：垂直于弦的直径平分ຫໍສະໝຸດ 弦，并且平分弦所对的两条弧．
Ｏ
Ａ
Ｅ Ｄ
Ｂ由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
重要思路构：造（R由t△）的垂“径七定字理口—诀—”构：造半径半弦弦 Rt△——心（距结合）勾股定理——建立方程
鲁教版九年级下册数学第五章第三节
垂径定理
开发区实验中学 季明莉
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
C
解:连接OC.
E 设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
F
●
O
OE CD, D CF 1 CD 1 600 300(m).
22 根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2,即
《垂径定理》优秀ppt课件
拓展问题讨论
引导学生提出与垂径定理 相关的拓展问题，如逆定 理、推广等，并进行讨论 和交流。
25
课堂小测验
2024/1/28
测验题目设计
设计涵盖垂径定理基本概念、性质、证明方法和应用场景的测验 题目。
学生完成测验
让学生在规定时间内完成测验，以检验学生对垂径定理的掌握程 度。
测验结果反馈
及时公布测验结果，并针对学生的答题情况进行点评和指导，帮 助学生查漏补缺，巩固所学知识。
向量运算
利用向量的点积运算和模长运算，结合已知条件 进行推导和证明。
3
垂径定理的向量形式
通过向量运算，可得垂径定理的向量形式为 $(vec{OA}+vec{OB})cdot vec{AB}=0$。
2024/1/28
10
03
垂径定理在几何问题中应 用
2024/1/28
11
求解三角形问题
01
利用垂径定理求解直角三角形
深入研究。
2024/1/28
22
06
总结回顾与课堂互动环节
2024/1/28
23
关键知识点总结回顾
2024/1/28
垂径定理的定义和性质
回顾垂径定理的基本概念，包括直径、垂径、弦等要素的定义和 性质。
垂径定理的证明方法
总结垂径定理的多种证明方法，如构造法、解析法等，并强调不同 方法之间的联系和区别。
通过垂径将直角三角形划分为两个较小的直角三角形，便于求解边长和
角度。
02
求解三角形面积
结合垂径定理和三角形面积公式，可快速求解三角形面积。
2024/1/28
03
判断三角形形状
通过垂径定理判断三角形边长关系，从而确定三角形形状（如等腰、等
垂径定理PPT教学课件
曹雪芹
（1715?──1764?)名霑， 号雪芹，是我国伟大的现实 主义作家。
《红楼梦》是他“披阅
十载，增删五次”，“字字
看来皆是血，十年辛苦不寻
常”的产物。可惜，在他生
前，全书没有完稿。今传 《红楼梦》120回本，其中 前80回的绝大部分出于他的 手笔，后40回则为高鹗所续。 80回以后他已写出一部分初 稿，但由于种种原因而没有 流传下来。
在文中画出黛玉精要概括律诗 要点的句子。
用自己的话进行概括， 完成填空： 律诗 是形式， 词句 是表象，
只有 立意 才是精髓
延伸阅读、探究思考
黛玉指导香菱学诗，这对我们学习 语文有何借鉴作用
首先，要多读。诵读就是学好诗歌 的根基，这是提高鉴赏能力的根本 途径。
其次，要学诗就要学一流的。我们 在阅读时，也要挑选文质兼美的作 品，这对于陶冶情操，培养纯正的 文学趣味是非常有益的。
需积累的词语
起承转合 以词害意
诲人不倦 挖心搜胆
穿凿
揣摩
地灵人杰 精血诚聚
你认为香菱是怎样一个人？
香 菱咏月诗（三）的鉴赏
精华欲掩料应难， 影自娟娟魄自寒。 一片砧敲千里白， 半轮鸡唱五更残。 绿蓑江上秋闻笛， 红袖楼头夜倚栏。 博得嫦娥应自问， 何缘不使永团圆？
思考、讨论：
香菱学诗成 功的原因是什么？
AB是弦，垂足为E.
求证：AE=BE
C
AC=BC,AD=BD
AE B D
C O
A
BA E B
D
连结OA,OB, OA=OB
C和D⊙所O在的直对线称是轴等腰三角形C
1 两个半圆重合
2 A,B两点重合
O
3 AE,BE重合 4 AC,BC重合
垂径定理推论ppt课件
④A⌒C = B⌒C,
⑤
A⌒D
=
⌒
BD.
C
A
B
M└
●O
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.
D
精品课件
6
判断
⑴垂直于弦的直径线平分弦，并且平分弦所对的弧( × )
⑵弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心 (√ )
⑶圆的不与直径两垂条直直的径弦必不被这条直径平分 ( × ) 不是直径
⑷平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 (× )
⑸圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
精品课件
7
（1）平分不弦是的直直径径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直直径线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。
A
C
C
C
O
D
(1) B
•O
A
B
(2) D
精品课件
•O
A
B
(3) D
8
1.平分弧的直线，平分这条弧所对的弦. 2.弦垂直于直径，这条直径就被弦平分. B•O来自DCA
(5)
精品课件
C
•O
E
A
B
D (6)
9
平分已知弧AB
已知：弧AB 求作：弧AB的中点
A
C
E
B
作法：
⒈ 连结AB.
⒉作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.
D
点E就是所求弧AB的中点。
⊙O的直径为15cm,则弦AB,CD间的距离为(
)C
A
C
A.1.5cm
B
D
O
《垂径定理》 优秀PPT课件
3．(4 分)(2013·廊坊)如图，⊙O 的直径 AB＝12，CD 是⊙O 的弦，
CD⊥AB，垂足为 P，且 BP∶AP＝1∶5，则 CD 的长为( D )
A．4 2
B．8 2
C．2 5
D．4 5
4．(4 分)如图，以点 O 为圆心的两个圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点
C，D，已知 AB＝4，CD＝2，点 O 到弦 AB 的距离等于 1，那么这两个
PPT素材：/sucai/ PPT图表：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/ PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shu xue/ 美术课件：/kejian/me ishu/ 物理课件：/kejian/wul i/ 生物课件：/kejian/she ngwu/ 历史课件：/kejian/lish i/
14．(9分)如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于点C，D， 求证：AC＝BD.
过点O作OM⊥AB，垂足为M，由垂径定理可得MA＝MB，MC＝MD， 故AC＝BD
15．(9分)如图，⊙O的半径为17 cm，弦AB∥CD，AB＝30 cm，CD ＝16 cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．
圆的半径之比为( C )
A．3∶2
B. 以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标
为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为____(6_，__0_)．
6．(4分)如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
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复习回顾: 垂径定理：垂直于弦的直径平分
弦，并且平分弦所对的两条弧。
C
O E
CDC过D是圆直心径
CD AB
AE
BE
A
B
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直
D 于弦，并且平分弦所对的两条弧。
CD是直径 CDAB AE BE (AB不是直径)
赵州桥主桥拱的半径是多少？
图24.1-6
问题 你知道赵州桥(图24.1-6)吗?它是1300多年前我国
隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它 的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱 高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的 半径吗？
如图24.1-8，用 A︵B表示主桥拱，设 A所︵B 在圆的圆心
为O，半径为R．︵经过圆心O
AB 作弦 A
B
的垂线OC，D
O
解得 R≈27.9（m）
图24.1-8
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
• 例1.如图是一条排水管的截面。已知排 水管的半径10cm，水面宽AB=12cm。 求水的最大深度.
O
E
A
B
D
求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定 理转化为直角三角形,从而利用勾股定理 来解决问题.
应用知识:
例2. 已知：以O为圆心的两个同心圆,大圆的弦AB 交小圆于C、D两点，求证：AC=BD ．
方法：只要在圆
弧上任意取两条 a
弦，画这两条弦
的垂直平分线， 交点即为圆弧的
A
圆心．
C
b
B O
变式三.你能找到原来车轮的圆心吗?
提高练习:
1． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，
AB=12，CD=16，则AB和CD的距离 为 2或14 ．
2．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于
点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的
为垂足，OC与AB 相交于点C，根据前面的结论，D
是弦AB 的中点，C是A︵B 的中点，CD 就是拱高．
在图中，AB=37.4，D=7.2，
AD 1A B13.7 41.8 7, 22
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 A
C
D
B
OA2=AD2+OD2
R
即 R2=18.72+（R－7.2）2
要过圆心作弦的垂线段， B
MA
P
这是一条非常重要的辅助
O
线。Βιβλιοθήκη 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便
将问题转化为直角三角形
的问题。
练习2. 已知A⌒B，如图，用直尺和圆规求作
这条弧的中点
作法：⒈ 连结AB.
⒉作AB的垂直平分
线 CD，交弧AB于
点E. 点E就是所求弧AB的中点．
依据:
C E
CD⊥AB AE=BE
A
CD是直径 (或CD过圆心)
B D
变式一： 求弧AB的四等分点．
m EC F
A
n G
B
D
弧AB的四等分点的典型错误．
错在哪里？
Ｅ
C
G
1．作AB的垂直平分线CD Ｎ Ｍ
Ｐ
2．作AT、BT的垂直平分
线EF、GH
A
强调：等分弧时一定
Ｔ
B
要作弧所对的弦的垂
直平分线．
F
D
Ｈ
变式二：你能确定弧AB的圆心吗？
•O
A C ED B
变式. 已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D 两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．
证明圆中与弦有关
O
的线段相等时, 常借
AC M
D B ．助垂径定理,利用其 平分弦的性质来解
决问题.
• 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点， PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
关于弦的问题，常常需
长．
A
M． N
O
B
C
3.在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 1 0 ㎝ ， 求圆O的半径。
EE
OO
AA
DD
BB
CC
弦，并且平分弦所对的两条弧。
C
O E
CDC过D是圆直心径
CD AB
AE
BE
A
B
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直
D 于弦，并且平分弦所对的两条弧。
CD是直径 CDAB AE BE (AB不是直径)
赵州桥主桥拱的半径是多少？
图24.1-6
问题 你知道赵州桥(图24.1-6)吗?它是1300多年前我国
隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它 的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱 高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的 半径吗？
如图24.1-8，用 A︵B表示主桥拱，设 A所︵B 在圆的圆心
为O，半径为R．︵经过圆心O
AB 作弦 A
B
的垂线OC，D
O
解得 R≈27.9（m）
图24.1-8
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
• 例1.如图是一条排水管的截面。已知排 水管的半径10cm，水面宽AB=12cm。 求水的最大深度.
O
E
A
B
D
求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定 理转化为直角三角形,从而利用勾股定理 来解决问题.
应用知识:
例2. 已知：以O为圆心的两个同心圆,大圆的弦AB 交小圆于C、D两点，求证：AC=BD ．
方法：只要在圆
弧上任意取两条 a
弦，画这两条弦
的垂直平分线， 交点即为圆弧的
A
圆心．
C
b
B O
变式三.你能找到原来车轮的圆心吗?
提高练习:
1． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，
AB=12，CD=16，则AB和CD的距离 为 2或14 ．
2．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于
点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的
为垂足，OC与AB 相交于点C，根据前面的结论，D
是弦AB 的中点，C是A︵B 的中点，CD 就是拱高．
在图中，AB=37.4，D=7.2，
AD 1A B13.7 41.8 7, 22
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 A
C
D
B
OA2=AD2+OD2
R
即 R2=18.72+（R－7.2）2
要过圆心作弦的垂线段， B
MA
P
这是一条非常重要的辅助
O
线。Βιβλιοθήκη 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便
将问题转化为直角三角形
的问题。
练习2. 已知A⌒B，如图，用直尺和圆规求作
这条弧的中点
作法：⒈ 连结AB.
⒉作AB的垂直平分
线 CD，交弧AB于
点E. 点E就是所求弧AB的中点．
依据:
C E
CD⊥AB AE=BE
A
CD是直径 (或CD过圆心)
B D
变式一： 求弧AB的四等分点．
m EC F
A
n G
B
D
弧AB的四等分点的典型错误．
错在哪里？
Ｅ
C
G
1．作AB的垂直平分线CD Ｎ Ｍ
Ｐ
2．作AT、BT的垂直平分
线EF、GH
A
强调：等分弧时一定
Ｔ
B
要作弧所对的弦的垂
直平分线．
F
D
Ｈ
变式二：你能确定弧AB的圆心吗？
•O
A C ED B
变式. 已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D 两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．
证明圆中与弦有关
O
的线段相等时, 常借
AC M
D B ．助垂径定理,利用其 平分弦的性质来解
决问题.
• 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点， PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
关于弦的问题，常常需
长．
A
M． N
O
B
C
3.在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 1 0 ㎝ ， 求圆O的半径。
EE
OO
AA
DD
BB
CC