垂径定理 ppt课件
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隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它 的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱 高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的 半径吗？
如图24.1-8，用 A︵B表示主桥拱，设 A所︵B 在圆的圆心
为O，半径为R．︵经过圆心O
AB 作弦 A
B
的垂线OC，D
方法：只要在圆
弧上任意取两条 a
弦，画这两条弦
的垂直平分线， 交点即为圆弧的
A
圆心．
C
b
B O
变式三.你能找到原来车轮的圆心吗?
提高练习:
1． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，
AB=12，CD=16，则AB和CD的距离 为 2或14 ．
2．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于
点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的
要过圆心作弦的垂线段， B
MA
P
这是一条非常重要的辅助
O
线。
圆心到弦的距离、半径、
弦长构成直角三角形，便
将问题转化为直角三角形
的问题。
练习2. 已知A⌒B，如图，用直尺和圆规求作
这条弧的中点
作法：⒈ 连结AB.
⒉作AB的垂直平分
线 CD，交弧AB于
点E. 点E就是所求弧AB的中点．
依据:
C E
CD⊥AB AE=BE
长．
A
M． N
O
B
C
3.在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 1 0 ㎝ ， 求圆O的半径。
EE
OO
AA
DD
BB
CC
为垂足，OC与AB 相交于点C，根据前面的结论，D
是弦AB 的中点，C是A︵B 的中点，CD 就是拱高．
在图中，AB=37.4，D=7.2，
AD 1A B13.7 41.8 7, 22
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 A
C
D
B
OA2=AD2+OD2
R
即 R2=18.72+（R－7.2）2
A
CD是直径 (或CD过圆心)
B D
变式一： 求弧AB的四等分点．
m EC F
A
n G
B
D
弧AB的四等分点的典型错误．
错在哪里？
Ｅ
C
G
1．作AB的垂直平分线CD Ｎ Ｍ
Ｐ
2．作AT、BT的垂直平分
线EF、GH
A
强调：等分弧时一定
Ｔ
B
要作弧所对的弦的垂
直平分线．
F
D
Ｈ
变式二：你能确定弧AB的圆心吗？
复习回顾: 垂径定理：垂直于弦的直径平分
弦，并且平分弦所对的两条弧。
CBiblioteka Baidu
O E
CDC过D是圆直心径
CD AB
AE
BE
A
B
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直
D 于弦，并且平分弦所对的两条弧。
CD是直径 CDAB AE BE (AB不是直径)
赵州桥主桥拱的半径是多少？
图24.1-6
问题 你知道赵州桥(图24.1-6)吗?它是1300多年前我国
•O
A C ED B
变式. 已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D 两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．
证明圆中与弦有关
O
的线段相等时, 常借
AC M
D B ．助垂径定理,利用其 平分弦的性质来解
决问题.
• 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点， PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
关于弦的问题，常常需
O
解得 R≈27.9（m）
图24.1-8
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
• 例1.如图是一条排水管的截面。已知排 水管的半径10cm，水面宽AB=12cm。 求水的最大深度.
O
E
A
B
D
求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定 理转化为直角三角形,从而利用勾股定理 来解决问题.
应用知识:
例2. 已知：以O为圆心的两个同心圆,大圆的弦AB 交小圆于C、D两点，求证：AC=BD ．
如图24.1-8，用 A︵B表示主桥拱，设 A所︵B 在圆的圆心
为O，半径为R．︵经过圆心O
AB 作弦 A
B
的垂线OC，D
方法：只要在圆
弧上任意取两条 a
弦，画这两条弦
的垂直平分线， 交点即为圆弧的
A
圆心．
C
b
B O
变式三.你能找到原来车轮的圆心吗?
提高练习:
1． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，
AB=12，CD=16，则AB和CD的距离 为 2或14 ．
2．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于
点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的
要过圆心作弦的垂线段， B
MA
P
这是一条非常重要的辅助
O
线。
圆心到弦的距离、半径、
弦长构成直角三角形，便
将问题转化为直角三角形
的问题。
练习2. 已知A⌒B，如图，用直尺和圆规求作
这条弧的中点
作法：⒈ 连结AB.
⒉作AB的垂直平分
线 CD，交弧AB于
点E. 点E就是所求弧AB的中点．
依据:
C E
CD⊥AB AE=BE
长．
A
M． N
O
B
C
3.在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 1 0 ㎝ ， 求圆O的半径。
EE
OO
AA
DD
BB
CC
为垂足，OC与AB 相交于点C，根据前面的结论，D
是弦AB 的中点，C是A︵B 的中点，CD 就是拱高．
在图中，AB=37.4，D=7.2，
AD 1A B13.7 41.8 7, 22
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 A
C
D
B
OA2=AD2+OD2
R
即 R2=18.72+（R－7.2）2
A
CD是直径 (或CD过圆心)
B D
变式一： 求弧AB的四等分点．
m EC F
A
n G
B
D
弧AB的四等分点的典型错误．
错在哪里？
Ｅ
C
G
1．作AB的垂直平分线CD Ｎ Ｍ
Ｐ
2．作AT、BT的垂直平分
线EF、GH
A
强调：等分弧时一定
Ｔ
B
要作弧所对的弦的垂
直平分线．
F
D
Ｈ
变式二：你能确定弧AB的圆心吗？
复习回顾: 垂径定理：垂直于弦的直径平分
弦，并且平分弦所对的两条弧。
CBiblioteka Baidu
O E
CDC过D是圆直心径
CD AB
AE
BE
A
B
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直
D 于弦，并且平分弦所对的两条弧。
CD是直径 CDAB AE BE (AB不是直径)
赵州桥主桥拱的半径是多少？
图24.1-6
问题 你知道赵州桥(图24.1-6)吗?它是1300多年前我国
•O
A C ED B
变式. 已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D 两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．
证明圆中与弦有关
O
的线段相等时, 常借
AC M
D B ．助垂径定理,利用其 平分弦的性质来解
决问题.
• 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点， PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
关于弦的问题，常常需
O
解得 R≈27.9（m）
图24.1-8
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
• 例1.如图是一条排水管的截面。已知排 水管的半径10cm，水面宽AB=12cm。 求水的最大深度.
O
E
A
B
D
求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定 理转化为直角三角形,从而利用勾股定理 来解决问题.
应用知识:
例2. 已知：以O为圆心的两个同心圆,大圆的弦AB 交小圆于C、D两点，求证：AC=BD ．