初中九年级下册数学《垂径定理》圆PPT优质课件
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《垂径定理推论》课件
04
答案4
圆上一点P(a,b)到圆心的距离公 式为sqrt((a - h)^2 + (b - k)^2) 。解析：利用两点之间的距离公 式，我们知道点P到圆心的距离 等于点P的横坐标与圆心横坐标 之差的平方和加上点P的纵坐标 与圆心纵坐标之差的平方和的平 方根。
06
总结与展望
本节课的总结
知识要点回顾 垂径定理推论的基本概念和定理表述。
能力目标
能够运用垂径定理及其推 论解决实际问题，提高数 学应用能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和 热爱，增强数学学习的自 信心和成就感。
02
垂径定理推论的基本概念
定义与性质
定义
垂径定理推论是关于圆的定理， 它描述了从圆心到圆上任一点的 连线（即半径）与通过该点的圆 的切线之间的关系。
性质
对定理的深入理解
定理的证明过程
深入理解垂径定理推论的证明过程，可以帮助我们更好地掌握其内涵和应用。通 过逐步推导和解析，可以更清晰地理解定理的逻辑和严密性。
定理的几何意义
垂径定理推论不仅是一个数学定理，还具有深刻的几何意义。通过图形演示和实 例分析，可以更直观地理解其在解决实际问题中的应用。
对定理的推广与改进
05
习题与解答
习题
题目1
题目2
若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r， 则直线被圆所截得的弦长为多少？
已知圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，求圆 上一点P(a,b)到直线x=h的距离公式。
题目3
题目4
若直线l与圆相切于点A，且直线l的方程为 Ax + By + C = 0，求点A到直线l的距离公 式。
垂径定理推论在几何问题解决中的应用实例。
九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.3《垂径定理》课件
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
挑战自我找一找
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 :
. 图中相等的劣弧有:
.
挑战自我算一算
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
⌒ AB
的中点，OC交AB
于D
例题解析
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8
㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的
半径。
A
E
B
O
练习1:在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦AB， 计算：⑴点O与AB的距离；
⑵∠AOB的度数。
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
O
D
A
B
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
挑战自我画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条
弧.
（ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另
一条弧.
（√ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
C
A M└ B 你可以写出相应的命题吗?
●O
相信自己是最棒的!
D
C
A M└
B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤
数学公开课优质课件精选《垂径定理》
解析
要证明FM垂直于FN， 只需证明角MFN等于 90度。根据抛物线的 性质可知AF = AM， BF = BN。因此，角 AFM和角BFN均为45 度。所以角MFN等于 90度，即FM垂直于FN
。
例题6
已知椭圆C： (x^2)/a^2 + (y^2)/b^2 = 1 (a > b > 0)的左、右焦点分别 为F1、F2，过F1的直 线l与椭圆C交于A、B 两点。若|AF1| = 3|F1B|，且|AB| = 4√3 ，求椭圆C的方程。
利用垂径定理求线段中点
01
通过构造以线段为直径的圆，利用垂径定理可求得线段的中点
Hale Waihona Puke 。判定线段中点的性质
02
根据垂径定理，若一条线段是某圆的直径，则该线段的中点是
圆心，从而可判定线段中点的性质。
解决与线段中点相关的几何问题
03
利用垂径定理可以解决与线段中点相关的各种问题，如求线段
的长度、证明线段的平行或垂直等。
应用场景
在解决三维几何问题中，如计算球面上两点的最短距离、 判断点到球面的位置关系等问题时，可应用三维空间中的 垂径定理。
垂径定理与其他知识点的联系
与勾股定理的联系
在直角三角形中，垂径定理可视 为勾股定理的特殊情况，当直角 三角形的两条直角边相等时，斜
边上的中线即为垂径。
与圆的性质的联系
垂径定理与圆的性质密切相关，如 圆心角、弧长、弦长等概念在证明 垂径定理时均有涉及。
解决角平分线问题
1 2 3
利用垂径定理构造角平分线
通过构造以角为顶点的圆，利用垂径定理可求得 角的平分线。
判定角平分线的性质
根据垂径定理，若一条射线是某圆的切线，且切 点是角的顶点，则该射线是角的平分线，从而可 判定角平分线的性质。
垂径定理ppt
3
在实际生活中，垂径定理也广泛应用于工程、 建筑、天文、航海等领域
02
证明垂径定理
准备知识：圆和直径的定义
圆定义总结
圆是一种几何图形，由点到点的距离等于定长的点的集合构成。
直径定义总结
直径是圆上任意两点处于圆心的一条直线，或者说是圆的一侧到另一侧的直 线距离。
证明过程概述
证明思路
通过证明圆弧的中垂线与直径的交点为直径的中点来证明垂径定理。
定理的历史背景
最早的文字记载可 以追溯到古希腊数 学家欧几里得
之后的数学家如欧 拉、高斯等也对垂 径定理进行了深入 的研究和应用
在中国，东汉时期 的数学家赵爽也有 记载
定理的重要性和应用场景
1
定理是圆几何中的基本定理之一，也是几何学 中最基本的定理之一
2
垂径定理是圆相关问题中最常用的工具之一， 也是解决许多几何问题的关键
证明步骤
根据定义和性质，将圆等分，然后证明等分点与直径的关系，最后得出结论。
证明过程详细步骤
证明步骤一
首先将圆分成两个半圆，然后分别 在半圆上任取一点，分别连接该点 与直径的两个端点，得到两条弧。
证明步骤二
证明两条弧相等。因为它们所对的 圆心角相等，所以根据圆的定义可 知它们的弧长相等。
证明步骤三
应用场景
垂径定理在几何、建筑、工程等领域都有广泛的应用。例如，在桥梁设计和 建造中，需要应用垂径定理来保证桥梁的形状和稳定性；在几何中，垂径定 理可以用于证明各种线段相等、圆周角相等等问题。
反思定理在现代数学中的地位和作用
地位
垂径定理是平面几何中的重要定理之一，也是初中数学竞赛中的热点和难点之一 。
作用
垂径定理在数学、工程、建筑等领域都有着广泛的应用，同时也是培养数学思维 和解决问题能力的重要载体。
2024版《垂径定理》优秀ppt课件
《垂径定理》优秀ppt课件目录•垂径定理基本概念与性质•垂径定理证明方法•垂径定理在几何问题中应用•垂径定理在代数问题中应用•垂径定理拓展与延伸•总结回顾与课堂互动环节垂径定理基本概念与性质垂径定义及性质垂径定义从圆上一点向直径作垂线，垂足将直径分成的两条线段相等，且垂线段等于半径与直径之差的平方根。
垂径性质垂径所在的直线是圆的切线，且垂径平分过切点的半径。
垂线与直径关系垂线与直径垂直垂线垂直于直径，且垂足在直径上。
垂线与直径平分垂线平分直径，即垂足将直径分为两段相等的线段。
03垂径长度与直径关系垂径长度等于直径的一半减去半径，即垂径长度与直径成线性关系。
01垂径长度公式垂径长度= 半径-直径/2。
02垂径长度与半径关系垂径长度等于半径与直径之差的平方根，即垂径长度与半径成比例关系。
垂径长度计算垂径定理证明方法通过圆的性质，如弦的中垂线过圆心等，结合已知条件进行推导。
利用圆的性质利用相似三角形利用勾股定理构造与垂径相关的相似三角形，通过相似比和已知条件进行证明。
在直角三角形中，利用勾股定理和已知条件进行推导和证明。
030201建立坐标系以圆心为原点建立平面直角坐标系，将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$。
垂径表示设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$。
求解交点联立垂径方程和圆的方程，求解交点坐标，进而证明垂径定理。
1 2 3设圆心为$O$，垂径的一个端点为$A$，另一个端点为$B$，则向量$vec{OA}$和$vec{OB}$可分别表示为垂径的两个向量。
向量表示利用向量的点积运算和模长运算，结合已知条件进行推导和证明。
向量运算通过向量运算，可得垂径定理的向量形式为$(vec{OA}+vec{OB})cdot vec{AB}=0$。
垂径定理的向量形式垂径定理在几何问题中应用求解三角形问题利用垂径定理求解直角三角形01通过垂径将直角三角形划分为两个较小的直角三角形，便于求解边长和角度。
《垂径定理》课件1
通过计算或观察图像，确定函数的最值。
判断函数单调性
利用垂径定理确定函数图 像的对称轴，进而判断函 数在不同区间的单调性。
结合函数的导数，分析函 数在不同区间的增减性。
通过比较函数值或观察图 像，确定函数的单调区间。
分析函数图像特征
利用垂径定理确定函数图像的对称轴，分 析图像的对称性。
结合函数的奇偶性，分析图像关于原点的 对称性。
其他领域应用举例
航海和航空导航
在航海和航空导航中，垂径定理可以用于计算航向和距离。通过观察天体（如太阳、星星）的位置和角度，可以 利用垂径定理确定航行方向和距离，实现准确的导航。
地理测量
垂径定理在地理测量中也有应用。例如，在测量地球表面上两点之间的距离时，可以利用垂径定理计算出大圆距 离，这是一种更精确的距离测量方法。
建立平面直角坐标系
以圆心为原点，以过圆心的直线为x轴 建立平面直角坐标系。
设圆的方程和弦的方程
联立方程求解
将两个方程联立，消去y得到关于x的 二次方程，由根与系数的关系可得垂 线平分弦的结论。
设圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，设 弦所在直线的方程为y = kx + b。
向量法证明
1 2
定义向量 设圆心为O，弦的两个端点分别为A和B，垂足为 C，则向量OC垂直于向量AB。
利用向量数量积的性质 由向量数量积的性质可知，OC·AB = 0，即 |OC|·|AB|·cos90° = 0，由此可推出垂线平分弦。
3
利用向量加法的性质 由向量加法的性质可知，向量OA + 向量OB = 2 向量OC，由此可推出垂线平分弦。
03
垂径定理在几何问题中应用
求解三角形问题
利用垂径定理求解直角三角形中的边长和角度
判断函数单调性
利用垂径定理确定函数图 像的对称轴，进而判断函 数在不同区间的单调性。
结合函数的导数，分析函 数在不同区间的增减性。
通过比较函数值或观察图 像，确定函数的单调区间。
分析函数图像特征
利用垂径定理确定函数图像的对称轴，分 析图像的对称性。
结合函数的奇偶性，分析图像关于原点的 对称性。
其他领域应用举例
航海和航空导航
在航海和航空导航中，垂径定理可以用于计算航向和距离。通过观察天体（如太阳、星星）的位置和角度，可以 利用垂径定理确定航行方向和距离，实现准确的导航。
地理测量
垂径定理在地理测量中也有应用。例如，在测量地球表面上两点之间的距离时，可以利用垂径定理计算出大圆距 离，这是一种更精确的距离测量方法。
建立平面直角坐标系
以圆心为原点，以过圆心的直线为x轴 建立平面直角坐标系。
设圆的方程和弦的方程
联立方程求解
将两个方程联立，消去y得到关于x的 二次方程，由根与系数的关系可得垂 线平分弦的结论。
设圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，设 弦所在直线的方程为y = kx + b。
向量法证明
1 2
定义向量 设圆心为O，弦的两个端点分别为A和B，垂足为 C，则向量OC垂直于向量AB。
利用向量数量积的性质 由向量数量积的性质可知，OC·AB = 0，即 |OC|·|AB|·cos90° = 0，由此可推出垂线平分弦。
3
利用向量加法的性质 由向量加法的性质可知，向量OA + 向量OB = 2 向量OC，由此可推出垂线平分弦。
03
垂径定理在几何问题中应用
求解三角形问题
利用垂径定理求解直角三角形中的边长和角度
27.1.2 第2课时 垂径定理(课件)九年级数学下册(华东师大版)
于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线. 其实质是：过
圆心且垂直于弦的线段、直线均可.
2.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或半圆，不要
漏掉了优弧 .
辨析 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请
说明为什么？
C
C
A
O
A
E
D
是
C
B
O
B
不是，因为
没有垂直
O E
O
A
E
是
B
A
B
D
不是，因为
CD 没有过圆心
归纳总结
所对的弧.
C
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？
如果不能，请举出反例.
A
O
·
：
圆的两条直径是互相平分的
.
B
D
例1 如图27.1-12，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为点H，
且CD=2 ，BD= ，则AB的长为(
A. 2
B. 3
C. 4
)
D. 5
分析： 构造垂径定理的基本图形
解题. 把半径、圆心到弦的垂线段、
解：如图27.1-16，连结AB，BC，分别作
AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线
的交点O即为所求圆的圆心.
垂径定理的实际应用
试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入
中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 AB
于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23 m.
结论吗？
推导过程：
① CD 是直径
③ AE = BE
② CD⊥AB，垂足为 E
④ AC BC，AD BD
圆心且垂直于弦的线段、直线均可.
2.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或半圆，不要
漏掉了优弧 .
辨析 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请
说明为什么？
C
C
A
O
A
E
D
是
C
B
O
B
不是，因为
没有垂直
O E
O
A
E
是
B
A
B
D
不是，因为
CD 没有过圆心
归纳总结
所对的弧.
C
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？
如果不能，请举出反例.
A
O
·
：
圆的两条直径是互相平分的
.
B
D
例1 如图27.1-12，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为点H，
且CD=2 ，BD= ，则AB的长为(
A. 2
B. 3
C. 4
)
D. 5
分析： 构造垂径定理的基本图形
解题. 把半径、圆心到弦的垂线段、
解：如图27.1-16，连结AB，BC，分别作
AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线
的交点O即为所求圆的圆心.
垂径定理的实际应用
试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入
中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 AB
于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23 m.
结论吗？
推导过程：
① CD 是直径
③ AE = BE
② CD⊥AB，垂足为 E
④ AC BC，AD BD
沪科版九年级下册数学：24.2 垂径定理 课件(共17张PPT)
D
弦长
半径 O
弦心距
A 半弦长 E
B
C
黄金三角形
勾股定理
如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E， 若CD=6，BE=1，求⊙O的半径
A
O
C
E
D
B
绝招
弦长
黄金三角形
找到三角形三边长
勾股定理
已知， ⊙O的半径为5，弦AB=6，弦CD=8， AB∥CD，求这两条弦AB、CD的距离
A
FB
O
A C
DB
垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所 对的两条弧.
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦 所对的两条弧.
C
A
┗●
B
M●O
CD是直径 可推得 AM=BM
CD⊥AB
A⌒C=B⌒C A⌒D=B⌒D
D
例：已知△OCD为 等腰三角形，底CD 交⊙O于A 、B, 求证：AC=BD
例题解析
1400年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是 圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧 的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径 (精确到0.1m).
赵州石拱桥
7.2
A
37.4
C
D
B
R
O
练习
2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
24.2.2 垂径定理
想一想
1.圆是轴对称图形吗？
●O
圆是轴对称图形. 其对称轴是任意一条过圆心的直线.
用折叠的方法即可解决这个问题.
圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
弦长
半径 O
弦心距
A 半弦长 E
B
C
黄金三角形
勾股定理
如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E， 若CD=6，BE=1，求⊙O的半径
A
O
C
E
D
B
绝招
弦长
黄金三角形
找到三角形三边长
勾股定理
已知， ⊙O的半径为5，弦AB=6，弦CD=8， AB∥CD，求这两条弦AB、CD的距离
A
FB
O
A C
DB
垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所 对的两条弧.
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦 所对的两条弧.
C
A
┗●
B
M●O
CD是直径 可推得 AM=BM
CD⊥AB
A⌒C=B⌒C A⌒D=B⌒D
D
例：已知△OCD为 等腰三角形，底CD 交⊙O于A 、B, 求证：AC=BD
例题解析
1400年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是 圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧 的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径 (精确到0.1m).
赵州石拱桥
7.2
A
37.4
C
D
B
R
O
练习
2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
24.2.2 垂径定理
想一想
1.圆是轴对称图形吗？
●O
圆是轴对称图形. 其对称轴是任意一条过圆心的直线.
用折叠的方法即可解决这个问题.
圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
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【巩固提高】
弦CD
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
弦CD
弦CD
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【巩固提高】
追问：现在能解决课前提出的赵州桥问题了吗？ 解： 如图，由题意可知，AB=37m，CD=7.23m，所以AD= 1 AB＝18.5m，
2
OD OC CD R 7.23 ． 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 AO2 OD2 AD2 ，即
第三章 圆
3 垂径定理
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
2020/11/20
1
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【创设情境】
问题1 请拿出准备好的圆形纸片，将其沿圆心所在的任一条直线对折， 你会发现什么？多折几次试一试．
追问1：由折纸可知圆是轴对称图形吗？ 追问2：如果是一个残缺的圆形纸片，你能找到它的圆心吗？
【启发思考】
问题3 通过前面的折纸我们知道圆是轴对称图形，那么它有几条对称轴？分 别是什么？
结论： ⑴圆是轴对称图形； ⑵经过圆心的每条直线都是它的对称轴； ⑶圆的对称轴有无数条．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【启发思考】
问题4 如图，对折⊙O使圆的两半部分重合得到一条折痕CD，在OC上取一点M， 过点M再次对折⊙O，使CM与MD重合，新的折痕与⊙O交于A、B两点．
课堂小结： 本节课你学到了哪些数学知识？ 在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？ 1、本节课我们探索了圆的轴对称性； 2、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理； 3、垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、
弦心距等问题．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
THANKS
你能文字语言叙述问题5和问题6中的结论吗？ 问题5的结论（垂径定理）：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的
两条弧． 问题6的结论（垂径定理的推论）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【形成结论】
追问：如果弦AB是直径，以上结论ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ成立吗？ 类似还有如下结论： （1）平分弦所对的两条弧的直径，垂直平分弦； （2）弦的垂直平分线，必过圆心且平分弦所对的两条弧．
R2 18.52 R 7232，解得 R 27.3 （m）．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【巩固提高】
学生练习1 课本76页随堂练习第2题． 学生练习2 如图，已知 弦AB ，请你利用尺规作图的方法作出弦AB的中点，
说出你的作法．
A
B
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【巩固提高】
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【创设情境】
问题2 你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我 国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所 对的弦长)为37.4m， 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出 赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
（1）观察图形，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【探究问题】
问题5 已知：如图 ，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且 CD⊥AB，垂足M．
求证：AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
FOR WATCHING
演讲人: XXX
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【探究问题】
问题6 如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于 点M．
（1）观察图形，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由． （3）AB与CD的位置关系如何？说一说你的理由．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【形成结论】