垂径定理优秀课件

C
推论：平分弦（不是直径）的直径垂
直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)垂直于弦 (1)过圆心 (4)平分弦所对的一条弧 (3)平分弦 (5)平分弦所对的另一条弧
O
A C O B D E D B
不是直径
CD是直径 CD AB AE BE ( AB不是直径)
OE AC OD AB AB AC
B
3．已知⊙O的直径是５０ cm，⊙O的两条平行弦 AB=４０ cm ，CD=４８cm， 求弦AB与CD之间的距离。
过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ。
A
C
20 E
25 25 24
F
15 . O 7
B D
A
C
E
F . O
B
D
AB、ＣＤ在点O两侧 ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２ AB、ＣＤ在点O同侧 ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８
⌒ ⌒ AD=BD.
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O A D E B
D O
B
O
O A E B
A E D B
是
不是
是
不是
直径垂直弦,才能平分弦,平分弦所对的弧.
适用垂径定理的几个基本图形：
C
A E
O A D E B
B
A
O E D B
O
A
O
E B
D
CD过圆心
CD⊥AB于E
AE=BE AC=BC AD=BD
§24.1.2 垂直于弦的直径
C O A D E B
A
O E B
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的 弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离） 为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
• 圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条 经过圆心的直线, 它有 无数条对称轴.
7.2m
37.4m 如图用
解 C 决 A 赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所 1 B AB 37.4, CD 7.2, AD AB 18.7, D 问 对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦 2 的距离）为 7.2 米，你能求出赵州桥主桥拱的半 OD OC CD r 7.2 题 径吗？ 在Rt OAD中,由勾股定理, 得OA AD OD ,
●
O
• AB是⊙O的一条弦.

作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 下图还是轴对称图形吗?
C
你能发现图中有哪些相等的线段和弧？
·
M
O

发现图中有: ③AM=BM,
可推得
由 ① CD是直径
A
D
B
② CD⊥AB
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒

由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
2 2 2
表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为r.经过 圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足， OC 与 相交于点C,根据前面的结 论，D是AB的中点，C是 的中点， CD就是拱高. 在图中,
即r 18.7 ( r 7.2) ,
2 2 2
答：赵州桥的主桥拱半径约为 27.9m. O
解得r 27.9(m)
A
注意书写格式 例题1.如图,弦AB的长为 8 cm,圆心O到 AB 的距离为 3 cm,求⊙O的半径.
求圆中有关线段的长度时 ,OE 常借助垂径定理转化 解：作 ⊥AB于E点，连接OA. 为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题 . ∵ OE AB 1 1 cm,弦 AB的长 变 1. 在⊙ O 中 , 直径为 10 E AE AB 8 4 B 为 8 cm, 则圆心 的距离 3cm 2 O到AB2 在Rt △ AOE 中 . 变2.在⊙O中,直径为 10 cm,圆心O到
O
2 2 2 AO OE AE 8cm AB的距离为 3 cm,则弦AB的长为
A
. AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm 圆的半径为R,弦长为 a,弦心距为d,则 R 、a、d满 1 2 2 ( a ) d 答：⊙ R 2 O 的半径为5cm. 足关系式＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且 相等的两条弦, OD⊥AB于D, OE⊥AC于E. 求证: 四边形ADOE是正方形．
证明：
OEA EAD ODA 90 ∴四边形ADOE为矩形 OE AC , OD AB C 1 1 AE AC , AD AB 2 2 O E 又 ∵AC=AB · ∴ AE=AD D A ∴ 矩形ADOE为正方形.
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
• 如图理由是:
C
连接OA,OB, 则OA=OB. ∵OA=OB，OM⊥AB， ∴AM=BM. ∴点A和点B关于直径CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合,
·
M A
O
B D
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合
• 1．已知：如图，弦AB是⊙O中一条非直径弦， D为弦AB的中点，连接OD，AB=6cm ，OD= ４cm. 求⊙O 的半径.
解：连接OA ∵D为 弦AB 的中点
1 ∴OD⊥AB, AD= 2 AB=3cm
在Rt △ AOD 中, AO2=OD2+AD2
O A D B
设⊙O 的半径为r,则 r2=４2+32 得r = 5 答： ⊙O 的半径OA为5cm.
.⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AC =BC, AD =BD.
垂径定理
平分弦,并且平分弦所对的两条弧. • 垂直于弦的直径， C
A
M└
●
B 如图∵CD是直径, O
CD⊥AB, ∴AM=BM,
D C
⌒ =BC, ⌒ AC
B O
A
M└
●
D
(3)平分弦 (1)过圆心 (4)平分弦所对的一条弧 (2)垂直于弦 (5)平分弦所对的另一条弧