三次Bezier曲线的实现方法

Bezier曲线原理及实现代码（c++）一、原理：贝塞尔曲线于1962年.由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表.他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。

贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau 算法开发.以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线给定点P0、P1.线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。

这条线由下式给出：且其等同于线性插值。

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P0、P1、P2的函数 B(t) 追踪：。

TrueType字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。

P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。

曲线起始于 P0走向 P1.并从 P2的方向来到 P3。

一般不会经过 P1或 P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。

P0和 P1之间的间距.决定了曲线在转而趋进 P3之前.走向 P2方向的“长度有多长”。

曲线的参数形式为：。

现代的成象系统.如PostScript、Asymptote和Metafont.运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线.用来描绘曲线轮廓。

一般化P0、P1、…、P n.其贝塞尔曲线即。

例如：。

如上公式可如下递归表达：用表示由点 P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。

则用平常话来说. 阶贝塞尔曲线之间的插值。

一些关于参数曲线的术语.有即多项式又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式.定义 00 = 1。

点 P i称作贝塞尔曲线的控制点。

多边形以带有线的贝塞尔点连接而成.起始于 P0并以 P n 终止.称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。

贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线函数中的t 会经过由 P0至P1的 B(t) 所描述的曲线。

例如当t=0.25时.B(t) 即一条由点 P0至 P1路径的四分之一处。

就像由 0 至 1 的连续t.B(t) 描述一条由 P0至 P1的直线。

为建构二次贝塞尔曲线.可以中介点 Q0和 Q1作为由 0 至 1 的t：•由 P0至 P1的连续点 Q0.描述一条线性贝塞尔曲线。

•由 P1至 P2的连续点 Q1.描述一条线性贝塞尔曲线。

•由 Q0至 Q1的连续点 B(t).描述一条二次贝塞尔曲线。

•为建构高阶曲线.便需要相应更多的中介点。

对于三次曲线.可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2.和由二次曲线描述的点 R0、R1所建构：对于四次曲线.可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2、Q3.由二次贝塞尔曲线描述的点 R0、R1、R2.和由三次贝塞尔曲线描述的点 S0、S1所建构：P(t)=(1-t)P0+tP1 ,。

矩阵表示为：.。

P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2,。

矩阵表示为：.。

P(t)=(1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P3矩阵表示为：. 。

（6－3－2）.。

在（6－3－2）式中.M n+1是一个n＋1阶矩阵.称为n次Bezier矩阵。

（6－3－3）。

其中.利用（6－3－3）式.我们可以得到任意次Bezier矩阵的显式表示.例如4次和5次Bezier 矩阵为：.可以证明.n次Bezier矩阵还可以表示为递推的形式：（6－3－4）二、算法（c++）工程目录是:Win32Appvc6.0#include<windows.h>#include<stdlib.h>#include<time.h>#define NUM 10LRESULT CALLBACK Winproc(HWND,UINT,WPARAM,LPARAM);int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance,HINSTANCE hPrevInstanc,LPSTR lpCmdLine,int nShowCmd){MSG msg;static TCHAR szClassName[] = TEXT("::Bezier样条计算公式由法国雷诺汽车公司的工程师Pierm Bezier于六十年代提出");HWND hwnd;WNDCLASS wc;wc.cbClsExtra =0;wc.cbWndExtra =0;wc.hbrBackground = (HBRUSH)GetStockObject(WHITE_BRUSH);wc.hCursor = LoadCursor(NULL,IDC_ARROW);wc.hIcon = LoadIcon(NULL,IDI_APPLICATION);wc.hInstance = hInstance;wc.lpfnWndProc = Winproc;wc.lpszClassName = szClassName;wc.lpszMenuName = NULL;wc.style = CS_HREDRAW|CS_VREDRAW;if(!RegisterClass(&wc)){MessageBox(NULL,TEXT("注册失败"),TEXT("警告框"),MB_ICONERROR);return 0;}hwnd = CreateWindow(szClassName,szClassName,WS_OVERLAPPEDWINDOW,CW_USEDEFAULT,CW_USE DEFAULT,CW_USEDEFAULT,CW_USE DEFAULT,NULL,NULL,hInstance, NULL);ShowWindow(hwnd,SW_SHOWMAXIMIZED);UpdateWindow(hwnd);while(GetMessage(&msg,NULL,0,0)){TranslateMessage(&msg);DispatchMessage(&msg);}return msg.wParam;}LRESULT CALLBACK Winproc(HWND hwnd,UINT message, WPARAM wparam,LPARAM lparam){HDC hdc;static POINT pt[NUM];TEXTMETRIC tm;static int cxClient,cyClient;HPEN hpen;int i,j,k,n,t;switch(message){case WM_CREATE:static int cxchar;hdc = GetDC(hwnd);GetTextMetrics(hdc,&tm);cxchar = tm.tmAveCharWidth;ReleaseDC(hwnd,hdc);case WM_SIZE:cxClient = LOWORD(lparam);cyClient = HIWORD(lparam);return 0;case WM_PAINT:hdc = GetDC(hwnd);srand(time(0));Rectangle(hdc,0,0,cxClient,cyClient);for(i=0; i<500; i++){SelectObject(hdc,GetStockObject(WHITE_PEN));PolyBezier(hdc,pt,NUM);for(j=0; j<NUM; j++){pt[j].x = rand()%cxClient;pt[j].y = rand()%cyClient;}hpen =CreatePen(PS_INSIDEFRAME,3,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));DeleteObject(SelectObject(hdc,hpen));PolyBezier(hdc,pt,NUM);for(k=0; k<50000000;k++);}for(i=0; i<100;i++){Ellipse(hdc,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%c xClient,rand()%cyClient);Pie(hdc,j=rand()%cxClient,k=rand()%cyClient,n=rand() %cxClient,t=rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%c xClient,rand()%cyClient) ;}if((n=(n+j)/2)>cxchar*20) n=cxchar*20;SetTextColor(hdc,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%25 6));TextOut(hdc,n/2,(t+k)/2,TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!"),lstrlen(TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!")));ReleaseDC(hwnd,hdc);DeleteObject(hpen);ValidateRect(hwnd,NULL);return 0;case WM_DESTROY:PostQuitMessage(0);return 0;}return DefWindowProc(hwnd,message,wparam,lparam);}。