三次Bezier曲线的实现方法

Bezier曲线原理及实现代码（c++）

一、原理：

贝塞尔曲线于1962年.由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表.他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau 算法开发.以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线

给定点P0、P1.线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：

且其等同于线性插值。

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P0、P1、P2的函数 B(t) 追踪：

。

TrueType字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。

P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于 P0走向 P1.并从 P2的方向来到 P3。一般不会经过 P1或 P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和 P1之间的间距.决定了曲线在转而趋进 P3之前.走向 P2方向的“长度有多长”。

曲线的参数形式为：

。

现代的成象系统.如PostScript、Asymptote和Metafont.运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线.用来描绘曲线轮廓。

一般化

P0、P1、…、P n.其贝塞尔曲线即

。

例如：

。

如上公式可如下递归表达：用表示由点 P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。则

用平常话来说. 阶贝塞尔曲线之间的插值。

一些关于参数曲线的术语.有

即多项式

又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式.定义 00 = 1。

点 P i称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成.起始于 P0并以 P n 终止.称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线函数中的t 会经过由 P0至P1的 B(t) 所描述的曲线。例如当t=0.25时.B(t) 即一条由点 P0至 P1路径的四分之一处。就像由 0 至 1 的连续t.B(t) 描述一条由 P0至 P1的直线。

为建构二次贝塞尔曲线.可以中介点 Q0和 Q1作为由 0 至 1 的t：

•由 P0至 P1的连续点 Q0.描述一条线性贝塞尔曲线。

•由 P1至 P2的连续点 Q1.描述一条线性贝塞尔曲线。

•由 Q0至 Q1的连续点 B(t).描述一条二次贝塞尔曲线。

•

为建构高阶曲线.便需要相应更多的中介点。对于三次曲线.可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2.和由二次曲线描述的点 R0、R1所建构：

对于四次曲线.可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2、Q3.由二次贝塞尔曲线描述的点 R0、R1、R2.和由三次贝塞尔曲线描述的点 S0、S1所建构：

P(t)=(1-t)P0+tP1 ,。

矩阵表示为：

.。

P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2,。

矩阵表示为：

.。

P(t)=(1-t)3P

0+3t(1-t)2P

1

+3t2(1-t)P

2

+t3P

3

矩阵表示为：

. 。

（6－3－2）

.。

在（6－3－2）式中.M n+1是一个n＋1阶矩阵.称为n次Bezier矩阵。

（6－3－3）

。

其中.

利用（6－3－3）式.我们可以得到任意次Bezier矩阵的显式表示.例如4次和5次Bezier 矩阵为：

.

可以证明.n次Bezier矩阵还可以表示为递推的形式：

（6－3－4）

二、算法（c++）

工程目录是:Win32App

vc6.0

#include

#include

#include

#define NUM 10

LRESULT CALLBACK Winproc(HWND,UINT,WPARAM,LPARAM);

int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance,HINSTANCE hPrevInstanc,LPSTR lpCmdLine,int nShowCmd)

{

MSG msg;

static TCHAR szClassName[] = TEXT("::Bezier样条计算公式由法国雷诺汽车公司的工程师Pierm Bezier于六十年代提出");

HWND hwnd;

WNDCLASS wc;

wc.cbClsExtra =0;

wc.cbWndExtra =0;

wc.hbrBackground = (HBRUSH)GetStockObject(WHITE_BRUSH);

wc.hCursor = LoadCursor(NULL,IDC_ARROW);

wc.hIcon = LoadIcon(NULL,IDI_APPLICATION);

wc.hInstance = hInstance;

wc.lpfnWndProc = Winproc;

wc.lpszClassName = szClassName;

wc.lpszMenuName = NULL;

wc.style = CS_HREDRAW|CS_VREDRAW;

if(!RegisterClass(&wc))

{

MessageBox(NULL,TEXT("注册失败"),TEXT("警告框

"),MB_ICONERROR);

return 0;

}

hwnd = CreateWindow(szClassName,szClassName,

WS_OVERLAPPEDWINDOW,