三次Bezier曲线的实现方法

Bezier曲线原理及实现代码（c++）
一、原理：
贝塞尔曲线于1962年.由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表.他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。

贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau 算法开发.以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线
给定点P0、P1.线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。

这条线由下式给出：
且其等同于线性插值。

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P0、P1、P2的函数 B(t) 追踪：。

TrueType字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。

P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。

曲线起始于 P0走向 P1.并从 P2的方向来到 P3。

一般不会经过 P1或 P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。

P0和 P1之间的间距.决定了曲线在转而趋进 P3之前.走向 P2方向的“长度有多长”。

曲线的参数形式为：。

现代的成象系统.如PostScript、Asymptote和Metafont.运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线.用来描绘曲线轮廓。

一般化
P0、P1、…、P n.其贝塞尔曲线即。

例如：。

如上公式可如下递归表达：用表示由点 P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。

则
用平常话来说. 阶贝塞尔曲线之间的插值。

一些关于参数曲线的术语.有
即多项式
又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式.定义 00 = 1。

点 P i称作贝塞尔曲线的控制点。

多边形以带有线的贝塞尔点连接而成.起始于 P0并以 P n 终止.称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。

贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线函数中的t 会经过由 P0至P1的 B(t) 所描述的曲线。

例如当t=0.25时.B(t) 即一条由点 P0至 P1路径的四分之一处。

就像由 0 至 1 的连续t.B(t) 描述一条由 P0至 P1的直线。

为建构二次贝塞尔曲线.可以中介点 Q0和 Q1作为由 0 至 1 的t：
•由 P0至 P1的连续点 Q0.描述一条线性贝塞尔曲线。

•由 P1至 P2的连续点 Q1.描述一条线性贝塞尔曲线。

•由 Q0至 Q1的连续点 B(t).描述一条二次贝塞尔曲线。

•
为建构高阶曲线.便需要相应更多的中介点。

对于三次曲线.可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2.和由二次曲线描述的点 R0、R1所建构：
对于四次曲线.可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2、Q3.由二次贝塞尔曲线描述的点 R0、R1、R2.和由三次贝塞尔曲线描述的点 S0、S1所建构：
P(t)=(1-t)P0+tP1 ,。

矩阵表示为：
.。

P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2,。

矩阵表示为：
.。

P(t)=(1-t)3P
0+3t(1-t)2P
1
+3t2(1-t)P
2
+t3P
3
矩阵表示为：
. 。

（6－3－2）
.。

在（6－3－2）式中.M n+1是一个n＋1阶矩阵.称为n次Bezier矩阵。

（6－3－3）。

其中.
利用（6－3－3）式.我们可以得到任意次Bezier矩阵的显式表示.例如4次和5次Bezier 矩阵为：
.
可以证明.n次Bezier矩阵还可以表示为递推的形式：
（6－3－4）
二、算法（c++）
工程目录是:Win32App
vc6.0
#include<windows.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#define NUM 10
LRESULT CALLBACK Winproc(HWND,UINT,WPARAM,LPARAM);
int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance,HINSTANCE hPrevInstanc,LPSTR lpCmdLine,int nShowCmd)
{
MSG msg;
static TCHAR szClassName[] = TEXT("::Bezier样条计算公式由法国雷诺汽车公司的工程师Pierm Bezier于六十年代提出");
HWND hwnd;
WNDCLASS wc;
wc.cbClsExtra =0;
wc.cbWndExtra =0;
wc.hbrBackground = (HBRUSH)GetStockObject(WHITE_BRUSH);
wc.hCursor = LoadCursor(NULL,IDC_ARROW);
wc.hIcon = LoadIcon(NULL,IDI_APPLICATION);
wc.hInstance = hInstance;
wc.lpfnWndProc = Winproc;
wc.lpszClassName = szClassName;
wc.lpszMenuName = NULL;
wc.style = CS_HREDRAW|CS_VREDRAW;
if(!RegisterClass(&wc))
{
MessageBox(NULL,TEXT("注册失败"),TEXT("警告框
"),MB_ICONERROR);
return 0;
}
hwnd = CreateWindow(szClassName,szClassName,
WS_OVERLAPPEDWINDOW,
CW_USEDEFAULT,CW_USE DEFAULT,
CW_USEDEFAULT,CW_USE DEFAULT,
NULL,NULL,hInstance, NULL);
ShowWindow(hwnd,SW_SHOWMAXIMIZED);
UpdateWindow(hwnd);
while(GetMessage(&msg,NULL,0,0))
{
TranslateMessage(&msg);
DispatchMessage(&msg);
}
return msg.wParam;
}
LRESULT CALLBACK Winproc(HWND hwnd,UINT message, WPARAM wparam,LPARAM lparam)
{
HDC hdc;
static POINT pt[NUM];
TEXTMETRIC tm;
static int cxClient,cyClient;
HPEN hpen;
int i,j,k,n,t;
switch(message)
{
case WM_CREATE:
static int cxchar;
hdc = GetDC(hwnd);
GetTextMetrics(hdc,&tm);
cxchar = tm.tmAveCharWidth;
ReleaseDC(hwnd,hdc);
case WM_SIZE:
cxClient = LOWORD(lparam);
cyClient = HIWORD(lparam);
return 0;
case WM_PAINT:
hdc = GetDC(hwnd);
srand(time(0));
Rectangle(hdc,0,0,cxClient,cyClient);
for(i=0; i<500; i++)
{
SelectObject(hdc,GetStockObject(WHITE_PEN));
PolyBezier(hdc,pt,NUM);
for(j=0; j<NUM; j++)
{
pt[j].x = rand()%cxClient;
pt[j].y = rand()%cyClient;
}
hpen =
CreatePen(PS_INSIDEFRAME,3,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
DeleteObject(SelectObject(hdc,hpen));
PolyBezier(hdc,pt,NUM);
for(k=0; k<50000000;k++);
}
for(i=0; i<100;i++)
{
Ellipse(hdc,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%c xClient,rand()%cyClient);
Pie(hdc,j=rand()%cxClient,k=rand()%cyClient,n=rand() %cxClient,t=rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%c xClient,rand()%cyClient) ;
}
if((n=(n+j)/2)>cxchar*20) n=cxchar*20;
SetTextColor(hdc,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%25 6));
TextOut(hdc,n/2,(t+k)/2,TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!"),lstrlen(TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!")));
ReleaseDC(hwnd,hdc);
DeleteObject(hpen);
ValidateRect(hwnd,NULL);
return 0;
case WM_DESTROY:
PostQuitMessage(0);
return 0;
}
return DefWindowProc(hwnd,message,wparam,lparam);
}。