攻克数学题的降龙十八掌
高中数学需要刷题吗？
高中数学需要刷题吗？“高中数学需要刷题吗？” 这问题就像老妈问你：“你今天功课做完了吗？” 哎哟，谁不想偷懒啊，可是现实总是很残酷……我记得我高中那会儿，数学老师就特别强调刷题，说“题海无涯，苦练成仙”。
当时我心想，这老师是不是在逗我？数学这玩意儿，真能靠刷题刷出来？反正那时候我数学成绩也一直不咋滴，感觉自己就是个“数学白痴”。
直到有一天，我为了追一个女生，硬着头皮去帮她补习数学。
这个女生数学基础非常薄弱，每次遇到难题就满脸问号，我都快被她问蒙了。
可我为了追她，只能硬着头皮，给她讲题，讲到最后我自己都快要哭出来了。
讲题讲着讲着，我就发现一个规律，很多难题其实都是套路的变种。
你只要搞懂了基本原理，再刷刷题，就能慢慢找到解题思路。
就像你学会了一招“降龙十八掌”，遇到各种小怪兽，都能“一招鲜，吃遍天”。
比如，我发现那个女生最头疼的就是三角函数。
我当时就想，这三角函数不就是几个基本公式和图像吗？我给她画了无数张三角函数图像，让她把基本公式背得滚瓜烂熟，然后就给她疯狂刷题。
从最基础的求值，到化简，再到解三角形，各种题型都刷了一遍。
起初她还是一脸懵逼，后来渐渐地，她的解题速度越来越快，方法也越来越灵活。
我发现，她的学习效率真的提高了！最后，她甚至还能帮助我去解答一些难题，那感觉，真是爽到炸裂！当然，刷题也要讲究方法和策略。
像我当时，就利用了“错题本”这个神器。
每次做错题，我都把它记录下来，然后分析错误的原因，总结解题技巧。
这样刷题，效率就高多了，不会像无头苍蝇一样乱撞。
所以说，高中数学刷题还是挺重要的，尤其对于基础薄弱的同学来说，刷题可以巩固知识，提高解题能力，就像打游戏一样，积累经验，提升等级。
当然，刷题也不能一味地追求数量，要注重质量，要学会思考，要找到适合自己的刷题方法。
至于我追的那个女生，最终还是没追到。
不过，这段追女生经历，倒是让我意外地收获了学习数学的方法，也算是意外之喜吧。
哈哈！。
《数学王国》六年级探究考察类作文
《数学王国》六年级探究考察类作文数学是一个充满奇妙和魅力的领域，在数学的世界里，我们时常会面对各种奇特而有趣的问题。
我对数学怀有深深的热爱，喜欢运用逻辑思维去钻研各种引人入胜的问题。
因此，我常常幻想自己如同一位武林高手，通过各种途径不断提升自己的解题能力，积累了许多解题方法，并达到了一定的境界。
现在，我想向大家介绍我在数学方面最为擅长的降龙十八掌，希望能与有志于数学研究的同学们共同探讨。
降龙十八掌之一：图示法图示法是一种将题目内容以图形的形式展示出来的方法。
通过绘制图形，可以更直观地呈现数量之间的关系，使题目变得更加清晰易懂。
线段图图示法是最常用的图示法之一，它使用线段来表示数量的大小和关系。
这种方法能够帮助我们快速把握题目中的关键信息，将复杂的问题简化为易于处理的形式，从而更轻松地找到解题的思路。
降龙十八掌之二：假设法假设是人们在日常生活中的一种思考方式，而在数学王国中，假设同样扮演着重要的角色。
有一类问题被称为和差问题，对于这类问题，我们可以使用公式[a+b-(a-b)]÷2=b，[a+b+(a-b)]÷2=a来求解。
这个公式的推导基于假设法，它假设a减少了a-b，或者假设b增加了a-b。
还有一类问题是鸡兔同笼问题，这类问题也可以运用假设法来解决。
通常，我们先假设笼子里的动物是同一种，然后再进行计算。
降龙十八掌之三：还原法（逆推法）在数学的世界里，有一种问题需要我们从结果开始逐步推回到原始状态。
这种方法被称为还原法或逆推法。
当面对一个需要计算原始数值的问题时，我们可以使用还原法。
具体来说，在用还原法解题时，我们需要将原题中的加变成减，减变成加，乘变成除，除变成乘。
降龙十八掌之四：消元法消元法是一种用于解决未知数较多的应用题的方法。
在使用消元法时，我们通常先设法消去一个或多个未知数，使得问题中只剩下一个未知数。
然后，我们可以通过求解这个未知数，进一步求出其他被消去的未知数。
数学破题36计 第28计 三角开门 八面玲珑
第28计 三角开门 八面玲珑●计名释义三角函数是沟通平面几何，立体几何、解析几何、向量和函数的重要工具.它具有以下特点：1.公式多，变换多，技巧多；2.思想方法集中，特别是函数方程思想、数形结合思想和特殊一般思想；3.应用广泛，学科内自身应用和跨学科的综合应用.●典例示范【例1】 设a ,b ∈R ，a 2+2b 2=6，则a+b 的最小值是 （ ） A.-22 B.535-C.-3D.27- 【解答】 a 2+2b 2=63262b a +⇒=1. 设⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 3cos 6y x (θ∈［0，2π］)，则 a+b =6cos θ+3sin θ=3cos(θ-φ)，其中cos φ=36，sin φ=33，∴a+b ≥-3，选 C .【点评】 本例实施代数与解析几何、三角函数之间的转换，利用三角函数的有界性破题.【例2】 已知正数x,y 满足3x 2+2y 2=6x ，则x 2+y 2的最大值是 . 【思考】 对于本题，以下解法并不鲜见； 由条件y 2=3x -23x 2. ∴x 2+y 2=x 2+212332-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x 2+3x =21-(x -3)2+29.∴当且仅当x =3时，（x 2+y 2）max =29. 你能发现这种解法有什么毛病吗？ 先检验一下，如x =3,会有什么情况发生，将x =3代入已知条件，得： 3×9+2y 2=18. ∴2y 2=-9.显然，我们得到了一个错误的等式，毛病在哪里呢？是没有分析条件所暗示的变量x,y 的范围，正确的解法是:∵y 2=3x -23x 2≥0，∴x 2-2x ≤0. 得x ∈［0,2］，而x 2+y 2=21-(x -3)2+29. 令z =21-(x-3)2+29，则当x ≤3时，z 为增函数，已求x ∈［0,2］，故当x =2时，z max =21(2-3)2+29= 4，即(x 2+y 2)max = 4.【评注】 本题若用三角代换，可以避开陷阱，达到八面玲珑.由条件得：(x -1)2+32y 2=1. 设⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθ•y •x sin 23cos 1， 则 x 2+y 2=(1+cos θ)2+23sin 2θ=21-cos 2θ+2cos θ+2521-(cos θ-2)2+29. 由于cos θ∈［-1,1］,故当cos θ=1时，(x 2+y 2)max =21-+29=4.此时，x =2，y =0.【例3】 设抛物线y 2=4px (p >0)的准线交x 轴于点M ，过M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，求AB 中点的轨迹方程.【解答】 抛物线y 2=4px 的准线为x = -p ，交x 轴于M (-p ,0), 设过M 的直线参数方程为：⎩⎨⎧=+-=θθsin cos t y t p x (t 为参数)代入y 2=4px ：t 2sin 2θ-4pt cos θ+4p 2=0 (1) 方程(1)有相异二实根的条件是：,1cot 0)sin (cos 160sin 2222>⇒⎩⎨⎧>-=∆≠θθθθp 1, 设方程(1)之二根为t 1，t 2，则t 1+t 2=.sin cos 42θθo设AB 之中点为Q (x,y )， ∵t =θθ221sin cos 22p t t =+. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∙=+-=∙+-=θθθθθθθθcot 2sin sin cos 2cos 2cos sin cos 2222p p y p p p p x ， 消去θ得：y 2=2p (x+p ), ∵|cot θ|>1，∴|y |>2p ，即所求AB 中点的轨迹方程为：y 2=2p (x+p )(|y |>2p ).【点评】 直线的参数方程即直线的三角形式，在处理解析几何中直线与曲线的关系中，常起重要作用，由于它能减少变量(由x,y 两个变量减为一个变量t ).所以其运算过程常比一般方程简便.但在起用直线的参数方程时，必须用其标准式：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y y x x其中P (x 0，y 0)为定点，θ是直线的倾斜角:参数t 表示动点M (x,y )与定点P (x 0，y 0)所连有向线段的数量，若M 在P 上方则t >0，反之t <0.【例4】 两圆O 1与O 2外离，其半径分别为r 1，r 2，直线AB 分别交两圆于 A 、C 、D 、B ,且AC =DB ，过A ，B的切线交于E ，求证：21r r EB EA = . 【思考】 本例是平面几何题吗? 不是，谁要试图仅用平几知识证明，肯定难以成功，但若引入三角，则不然. 【解答】 作两圆直径AF ，BG ，连CF ，DG ，命∠EAB =∠F =∠α,∠EBA =∠G =∠β, 那么AC =2r 1sin α，BD =2r 2sin β,已知AC=BD ，∴2r 1sin α=2r 2sin β， 例4题图αβsin sin 21=r r , △EAB 中，由正弦定理：,sin sin αβ=EB EA ∴21r r EB EA =. 【例5】某矿石基地A 和冶炼厂B 在铁路MN 的两侧，A 距铁路m 千米，B 距铁路n 千米. 在铁路上要建造两个火车站C 与D ，并修两条公路AC 与BD . A 地的矿石先用汽车由公路运至火车站C ，然后用火车运至D ，再用汽车运到冶炼厂B （如图所示）A 、B 在铁路MN 上的投影A ′、B ′距离为l 千米.若汽车每小时行u 公里，火车每小时行v 公里（v>u ）,要使运输矿石的时间最短，火车站C 、D 应建在什么地方？ 【分析】 求的是C 、D 建的地方， 为了将问题简化，暂不考虑车站D ，设法求出从A 经过C 到B ′所需最短时间. 【解答】 ∵AC =,cos AmA ′C =mtanA , ∴CB ′=A ′B ′-A ′C =l-mtanA∴从A 经过C 到B ′所需时间为 例5题图t =A Au vvm v l A v A A u m v l v A m l A u m cos sin cos sin cos 1tan cos -∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+ 由于v l ，v m ，a v 为常数，问题转化为求y =A Au vcos sin - 的最小值. ∵y ′=AA u v2cos 1sin -，令y ′=0,得u vA =sin 时， sin A <1. sin A <v u 时，y ′<0, sin A >uv时，y ′>0.故函数y ，从而函数t 当sin A =u v 时，取得极小值：.122min u u v v u v u u v y -='⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∵ sin A =v u ，∴A ′C =mtanA =22u v mu -，即车站C 距A ′为22uv mu -千米，它与l 的长短无关.同理，站D 距B ′为22uv nu -千米.【点评】 本例再次映证了求导法在求最值中的重要作用.●对应训练1 已知方程x 2+x sin2θ- sin θcot θ=0(π<θ<23π)之二根为α,β，求使等比数列1,211,11⎪⎪⎭⎫⎝⎛++βαβα•，…前100项之和为零的θ值. 2 设实数对(x,y )满足方程x 2+y 2-2x -2y +1=0，求yx 1+的最小值. 3 已知圆的方程是x 2+y 2=1，四边形P ABQ 为该圆内接梯形，底边AB 为圆的直径且在x 轴上，当梯形ABCD 的周长l 最大时，求P 点的坐标及这个最大的周长. 4 △ABC 中，已知三内角满足关系式y =2+cos C cos (A-B )- cos 2C . (Ⅰ)证明任意交换A 、B 、C 位置y 的值不变； （Ⅱ）求y 的最大值.5.一条河宽1km ，相距4km (直线距离)的两座城市A 与B 分别位于河的两岸，现需铺设一条电缆连通A 与B . 已知地下电缆的修建费为每千米2万元，水下电缆的修建费为每千米4万元. 假定两岸是平行的直线.问应如何铺设电缆可使总的修建费用最少?●参考答案1 由条件：⎩⎨⎧-=-=-=+θθθαβθβαcos cot sin 2sin ,∴θθθαββαβαsin 2cos 2sin 11==+=+，即等比数列的公比q =2sin θ，∴S 100=θθsin 21])sin 2(1[1100--∙ .已知S 100=0，∴(2sin θ)100=1且2sin θ≠1,于是2sin θ= -1, sin θ=21-, ∵θ∈(π，23π), ∴θ=67π. 2 圆(x -1)2+(y -1)2=1的圆心为C (1,1)，半径r=1，此圆在第一象限且与两轴相切，为求yx 1+的最小值，先求1+x y的最大值. 如图，1+x y表示圆上的点(x,y )与 定点P (-1,0)连线的斜率, P A ，PB 为 圆C 的切线，则PB k x y =⎪⎭⎫⎝⎛+max1，连PC, 设∠BPC =∠APC =θ，则tan θ=21, 第2题解图 tan ∠BP A =tan2θ=342112122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯, 即341max =⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y ，从而431=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x . 3 如图所示，有A (1,0),B(-1,0),⊙方程为x 2+y 2=1，∴设P (cos θ，sin θ)为 圆上一点，不妨设P 在第一象限， 则有Q (-cos θ, sin θ).∴|PQ |=2cos θ, Rt △P AB 中∠PBA =2θ, ∴|BQ |=|P A |=|AB | sin2θ=2sin 2θ， l =2+2cos θ+4sin 2θ=2+2(1-2sin 22θ)+4sin 2θ=5-4(sin 2θ21-)2, 第3题解图当且仅当sin 2θ=21，即θ=60°(若θ在四象限则为300°)时，l max =5，此时点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21••. 4 (Ⅰ)y =2+cos C ［cos (A-B ) - cos C ］=2+cos C ［cos (A-B )+cos (A+B )］=2+2cos A cos B cos C此为关于A 、B 、C 的对称轮换式，故任意交换A 、B 、C 的位置，y 的值不变. (Ⅱ)y =2-［cos C 21-cos (A-B )］2 +41cos 2(A-B ),为求y 的最大值必须［cos C 21-cos (A-B )］2取得最小而41cos 2(A-B )取得最大. ∵［cos C 21-cos (A-B ) 2≥0，且41cos+(A-B )≤41当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==-)cos(21cos 1)cos(AB C B A 时以上两条同时成立.∴y max =49，此时C B A C B A ==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-21cos 1)cos(故△ABC 为正三角形. 5.解法一:如图所示，设OM =x km ，则AM =15-x ，BM =21x +. 总修建费 S=2（15-x ）+421x + =215+21x ++x +3(21x +-x ) =215+（21x ++x ）+xx ++213≥215+23由21x ++x =xx ++213,得当x =33时， S 取最小值 215+23， 此时，AM ≈3.3，BM ≈1.2.故当先沿岸铺设3.3 km 地下电缆，再铺设1.2 km 水下电缆连通A 与B 时， 第5题解图 总的修建费用最少，此时修建费为11.4万元.解法二：如图所示，设∠OBM =α(0<α<arccos 41，则BM =αcos 1， AM=AO-MO =15-tan α，总修建费 S =215-tan α)+αcos 4=215+ααcos )sin 2(2-设t =ααcos sin 2-，则sin α+t cos α=2 ∴ sin(α+φ)=211t+由1122≤+t及t >0，得t ≥3， ∴ S ≥215+23将t =3代入sin α+t cos α=2，解得α=6π∵ 0<6π<arccos 41 ∴ AM =15-33≈3.3，BM =332≈1.2故S min =2×３．３＋４×１．２＝１１．４.。
四年级下册数学人教版奥数专讲：算式谜(课件)
69
77 672
练习一 在□内填上合适的数，使下面的算式成立。
5 6
52 5 3 15 0
22
谁来试一试？ 从哪里入手？
例题二
在□内填上合适的数，使下面的算式成立。
被除数÷除数=商
24
2 8 4
8 48
练习二
在下面□内填上合适的数，使下面的算式成立。
2 或3
52
2
50 8
14
58 5
代入算式 试一试。
你们把3代入试试看行不行？
小结
“算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号 的算式。解决这类问题，可以根据已学过的知识，运用正确 的分析推理方法，确定算式中的未知数字和运用符号。由于 这类题目的解答过程类似全平时进行的猜谜语游戏，所以， 我们把这类题目称为“算式谜题”。
24点游戏
2、3、4、6
6、7、8、3
4、5、6、8
5、6、7、6
例题三
下面是一个残缺的乘法算式，只知道其中一个数字 “8”，请你补全，并求出算式的积。
12 89 10 8
10×9=90 ╳
11×9=99 ╳
12×9=108 √
96 106 8
□□×8=□□
10 11 12
练习三
在图的残缺算式中，只写出3个数字1，其余的数字 都不是1。那么这个算式的乘积是多少?
第1讲：算式谜
奥数四年级下册春季课程
新知导入
你能打开宝箱密
降龙十巴掌 鼓励
9 53 4 52 501
糖果2颗
19 8 4
7 92
零食1包
15 69 0
6 30 30
0
例题一
在□内填上合适的数，使下面的算式成立。
数学破题36计(10-18计)
第10计聋子开门慧眼识钟●计名释义一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩.上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来“问”这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是好藏小孩的地方. 聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子，据说，他所以能创立他的黎曼几何，主要受益于他的超人的直觉看图.为了增强直觉思维，建议大家在解数学题时，不妨装装聋子，此时，难题的入口处，可能闪出耀眼的灯光.●典例示范x2008(x∈R), 则【例1】若(1-2x)2008 = a0+a1x+a2x2+…+a2008(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2008)= (用数字作答)【思考】显然a0=1, 且当x=1时，a0+a1+…+a2008=1, ∴原式=2008a0+a1+a2+…+a2008 =2007+(a0+a1+…a2008)=2007+1=2008.【点评】本例的易错点是：必须将2008a0拆成2007a0+a0,否则若得出2008+1=2009就错了.【例2】对于定义在R上的函数f (x)，有下述命题：①若f (x)是奇函数，则f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称；②若对x∈R, 有f (x+1)= f (x-1), 则f (x)的图象关于直线x=1对称；③若函数f (x-1)的图象关于直线x=1对称，则f(x)是偶函数；④函数f(1+x)与f(1-x)的图象关于直线x=1对称.其中正确命题的序号为 .【思考】奇函数的图象关于原点对称，原点右移一单位得（1，0），故f(x-1)的图象关于点A（1，0）对称，①正确；f (x)= f［(x+1)-1］= f (x+2)，只能说明f (x)为周期函数，②不对；f (x-1)右移一单位得f (x)直线x=1左移一单位得y轴，故f (x)的图象关于y轴对称，即为偶函数，③正确；④显然不对，应改为关于y轴对称.例如设f (x)=x, 则f (1+x)=1+x, f (1-x)=1-x,两图象关于y轴对称.【点评】本例的陷沟是：容易将f (1+x)与f (1-x)误认为f (1+x)=f (1-x)，这是容易鱼目混珠的地方, 而后者才是R上的函数f (x)的图象关于直线x=1对称的充要条件.【例3】 关于函数f (x )=2x -2-x (x ∈R ).有下列三个结论：①f (x )的值域为R ; ②f (x )是R 上的增函数；③对任意x ∈R , 都有f (x )+f (-x )=0成立，其中正确命题的序号是 (注：把你认为正确命题的序号都填上).【解答】 由y ⇒-=x x 212(2x )2-y ·2x -1=0. 关于2x 的方程中，恒有Δ=y 2+4>0. ∴y ∈R ①真.∵y 1=2x , y 2=x 21-都是R 上的增函数，∴y =y 1+y 2=2x -2x -也是R 上的增函数，②真. ∵f (-x )=2x --2x = -(2x -2x -)=-f (x ),∴当x ∈R 时，恒有f (x )+f (-x )=0（即f (x )为R 上的奇函数) ③真.【点评】 高考试题中的小题，已出现了多项选择的苗头，其基本形式如本例所示，多选题中的正确答案可能都是，也可能不都是，还有可能都不是（这种形式多反映在选择题中，其正确答案为零个）.由于许多考生的思维定势是以为多选题只有“不都是”一种情况，往往难以相信“都是”或“都不是”.这也是这种题型的陷阱所在.正确的对策：不受选项多少的干扰，只要你能证明某项必真则选，否则即不选.本例是“全选”（即“都是”）的题型.●对应训练1.设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i =1,2,3,…),使|FP 1|，|FP 2|, |FP 3| ,…,组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是 .●参考答案1.椭圆中：a =7, b =6, c =1. ∴e =71,设P i 的横坐标为x i , 则|FP i |=71(7-x i ), 其中右准线x =7. ∵|FP n |=|FP 1|+(n -1)d . ∴d =.)1(71||||11--=--n x x n FP FP n n ∵|x 1-x n |≤27, ∴|d |≤12-n . 已知n ≥21, ∴|d |≤101, 但d ≠0. ∴d ∈［-101，0)∪(0，101］.点评：本题有两处陷沟，一是d ≠0, 二是可以d <0, 解题时考生切勿疏忽.第11计 耗子开门 就地打洞●计名释义《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.●典例示范【例1】 已知f (x )=321x -，判定其单调区间.【分析】 用求导法研究单调性当然可行，但未必简便，直接从单调定义出发，循序渐进，也可将“单调区间”啃出来.【解答】 设x 1<x 2，f (x 1)-f (x 2)= 321x - - 321x -.【插语】 x 1，x 2都在根号底下，想法把它们啃出来.有办法，将“分子有理化”.【续解】 32312121x x --- [KF （S]3[]1-2x 1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x 2[KF)] =3223213213223213213231)21()21)(21()21())21()21)(21()21()(2121(x x x x x x x x x x -+--+--+--+---- 易知322321321)21()21)(21()21(x x x x -+--+-=△>0.故有原式=∆-)(221x x <0. 故f (x )= 321x -的增区间为（-∞,+∞).【点评】 耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略. 函数的单调法即不等式的比较法.方法基础，可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷.【例2】 （04·天津卷）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望；（Ⅲ）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.【思考】 本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.【解答】 （Ⅰ）6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P （ξ=0）=51C C 3634=; P (ξ=1)=53C C C 361224=；P (ξ=2)=51C C C 362214=∙，故ξ的分布列是：（Ⅱ）ξ的数学期望是：E ξ=0×51+1×53+2×51=1. (Ⅲ)由（Ⅰ），所选3人中女生人数ξ≤1的概率是：P （ξ≤1）=P (ξ=0)+P (=1)=54. 【例3】 （04·上海，20文）如图，直线y =21x 与抛物线y =81x 2 - 4交于A 、B 两点， 线段AB 的垂直平分线与直线y = -5交于点Q .(1)求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于AB 下方（含点A 、B ）的动点时，求△OPQ 的面积的最大值.【思考】 同例1一样，本题设问明确， 例3题图思路并不复杂，只须按所设条件逐一完成就是，只是要严防计算失误.【解答】 （1）由.032421,48122=--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x x x y x y 设AB 中点为M （x 0，y 0），则x 0 =2221=+x x ，y 0=21x 0=1. 故有M （2，1），又AB ⊥MQ ，∴MQ 的方程是：y -1=-2(x -2)，令y =-5，得x =5，点Q 的坐标为(5, -5 ).(2)由（1）知|OQ |=52为定值.设P (x ，81x 2-2)为抛物线上B A 上一点，由（1）知x 2-4x -32≤0，得x ∈［-4,8］，又直线OQ 的方程为： x+y =0，点P 到直线OQ 的距离：d =28|48)4(|2|281|22-+=-+x x x ，显然d ≠0，(否则△POQ 不存在)，即x ≠43-4，为使△POQ 面积最大只须d 最大，当x =8时，d max =62. ∴(S △POQ )max =21·|OQ |·d max =21·52·62=30.【例4】 O 为锐角△ABC 的外心，若S △BOC ，S △COA ，S △AOB 成等差数列，求tan A ·tan C 的值.【解答】 如图，有：S △BOC +S △AOB =2S △COA .不妨设△ABC 外接圆半径为1，令∠BOC =α=2A ,∠AOC =β=2B ，∠AOB =r=2C ， 则有：21sin α+21sin γ=sin β， 即sin2A +sin2C =2sin2B .2sin(A+C )cos (A-C )= 4sin B cos B . 例4题解图∵sin(A+C )=sin B ≠0, cos B = -cos(A+C ).∴cos (A-C )+2cos (A+C )=0, cos A cos C +sin A sin C +2(cos A +cos C – sin A sin C )=0.3cos A cos C =sin A sin C ，故tan A tan C =3.【点评】 本例中的“门”不少，其中“同圆半径相等”是“门”，由此将面积关系转换成有关角的关系；以下通过圆心角与圆周角的转换，和差化积与倍角公式，诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次转换，这便是一连串的“门”，逐一啃来，从而最终达到解题目的.●对应训练1.在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1= 4CP .(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ；（Ⅲ）求点P 到平面ABD 1的距离. 第1题图2.证明不等式：n n2131211<++++ (n ∈N +). 3.设x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ3,4••，f (x )=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4sin 2323cos sin 41222x x x ，求f (x )的最大值与最小值. 4.若x ，y ，z ∈R +，且x+y+z =1，求函数u =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-111111z y x 的最小值.●参考答案1.建立如图的空间直角坐标系，有： A (4,0,0)，P (0,4,1)，B (4,4,0)，B 1(4,4,4)，D 1(0,0,4). (Ⅰ)连BP ，∵AB ⊥平面BCC 1B 1.∴AB ⊥BP ，∠APB 是直线AP 与平面BB 1C 1C 的夹角，∵||BP =.17142=+ ∴tan ∠APB 17174||=BP AB . ∴AP 与平面BB 1C 1C 所成角为arctan17174. (Ⅱ)连D 1B 1，则O ∈DB 1. ∵11B D =（4,4,0)，AP =（-4,4,1）, ∴11B D ·=-16+16+0=0. 即AP ⊥11B D ，也就是A 1⊥D 1. 第1题解图已知OH ⊥面AD 1P ，∴AP ⊥D 1O (三垂线定理)（Ⅲ）在DD 1上取|DQ |=1，有Q (0,0,1)，作QR ⊥AD 1于R ，∵RQ ∥AB ，∴PQ ∥面ABD 1，∵AB ⊥面AA 1D 1D ，∴AB ⊥QR ，则QR ⊥面ABD 1，QR 之长是Q 到平面ABD 1的距离，∵S △AD 1Q =21|1AC |·|QR |=21]|AD |·|Q D 1|. 即：42·|QR |= 4×3，∴|QR |=223.已证PQ ∥ABD 1，∴点P 到平面ABP 1的距离为223. 点评：虽是“综合法”证题，但也并非“巷子里赶猪，直来直去”，特别（Ⅱ）,(Ⅲ)两问，本解都用到了若干转换手法.2.只须证,2132122121n n<+++ 右式=nn n n +-+++++<+++++11321211211221111 =)1()23()12(21--++-+-+n n =n n <-21. ∴,2132122121n n <+++ 成立，从而1+.213121n n<+++ 3.先将f (x )化为同一个角的单一三角函数，得f (x )= -21sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-62x +83. 当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ3,4••时,2x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ∈π2,36••，故f (x )为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ3,4••，上的减函数,当x =3π时, ［f (x )］min =843-， 当x =4π时, ［f (x )］max =-83. 4.注意到x yz x z y x x x 2111≥+=-=-，同理：zxy y 211≥-，z xy z 211≥-， ∴u ≥xyzxyz 8=8. 第12计 小刀开门 切口启封●计名释义西餐宴上，摆着漂亮的什锦比萨. 众人虽然都在称好，但没有一人动手. 原来这东西罩在一个透明的“玻璃盒”里，不知从哪儿打开，大家只好故作谦让，互相叫“请”.一小孩不顾礼节，拿着餐刀往“盒”上直戳，七戳，八戳，戳到了“玻璃盒”的花纹处，此时盒子竟像莲花一样自动地启开了. 大家惊喜，夸这孩子有见识. 其实，这孩子的成功在他的“敢于一试”，在试试中碰到了盒子的入口.数学解题何尝没遇上这种情境？我们有时苦心焦虑地寻找破题的入口，其实，自己此时正站在入题的大门口前，只是不敢动手一试.●典例示范【例1】 已知5sin β=sin(2α+β)，求证：.23tan )tan(=+αβα 【分析】 题型是条件等式的证明，内容是三角函数的变换.条件和结论都是三角等式，正宗解法（大刀开门），首先考虑的是三角函数及和角变换.能否找到另外的切入口呢？比如说“抛开函数看常数”，我们找到了23这个数，试一试，就打23的主意！ 【解答】 化条件为,15sin )sin(=+ββα考察结论的右式23与15的数量关系知=-+151523，那么由合分比定理能使问题获得解决，即.231515sin )2sin(sin )2sin(=-+=-+++ββαββα 而左端分子、分母分别进行和差化积即为,tan )tan(αβα+于是等式成立. 【点评】 这才是真正的“小刀开门”，首先考虑了常数，而常数在函数面前自然是“小玩意”；首先考虑比例变换，比例变换在三角变换的面前也是“小玩意”！数学解题时，在“入口对号”的情况下，小刀比大刀更管用.【例2】 设m 为正整数, 方程mx 2+2(2m -1)x +4m -7=0(x 为未知量)至少有一个整数根, 求m 的值.【分析】 若根据求根公式得到x =mm m 13)21(+±-, 讨论至少有一个整数根相当复杂.如果把常量m (m 是一个待求的常量)与变量x 相互转化,则解决此问题就简单了.【解答】 原方程可化为(x 2+4x +4)m =2x +7,即m =2)2(72++x x , 【插语】 m 是本题的破题小刀，因为所给方程中m 的最高次数是1，使得问题简化了.【续解】 由于x 为整数且m 为正整数, 则x ≠-2且2)2(72++x x ≥1, 得-3≤x ≤1,于是x =-3, -1, 0, 1, 代入原方程求出符合条件的m 值为1或5,即m =1或m =5时,原方程至少有一个整数根.【点评】 有些数学问题中的常量具有特殊性,常常暗示着某种巧妙的解题思路,如能充分挖掘,巧妙转化,便可以将问题轻松解决.【例3】 设函数f (x )=x 2+x +a (a ∈R *)满足f (n )<0, 试判断f (n +1)的符号.【分析】 这道题看似代数题，但如果打开几何的大门，就可以找到条件与结论的联系，思路才会应运而生.【解答】 因为f (n )<0，所以函数f (x )=x 2+x+a 的图像与与x 轴有2个相异交点，如图所示，设横坐标为x 1、x 2且x 1<x 2，方程x 2+x+a =0有2个不等的实根x 1、x 2，则⎪⎩⎪⎨⎧>=-=+<<.0,1,212121a x x x x x n x所以-1<x 1<n <x 2<0, 从而n +1>0, 例3题图于是 f (n +1)=(n +1)2 +(n +1)+a >0(a >0).【点评】 利用数形结合,数形结合是构建解题思路的重要立足点，灵活运用常使解题化难为易，化繁为简.【例4】 过抛物线y 2=2px 的顶点O 作2条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点.【解答】 因为OA ⊥OB ，所以OA 与OB 的斜率成负倒数关系.设OA 的斜率为k ，将OA 的方程：y=kx 代入抛物线y 2=2px 中，求得A 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛k p •k p 2,22,将OB 方程代入抛物线方程求B 点坐标时，只有斜率发生变化.因此，以k 1-置换A 点坐标中的k , 即得B 点坐标为(2pk 2, -2pk ).因而l AB ：y =),2(12)2(1222p x kk pk pk x k k --+--- 故直线AB 过定点(2p , 0).容易验证，斜率k =±1时，结论也成立.【点评】 找寻对等关系,挖掘命题中元素之间的对等关系，常能找到简洁的解题思路.【例5】 已知x 、y 、z ∈R , x+y+z =1，求证:x 2+y 2+z 2≥.31 【解答】 运用均值代换法.令x =31γβα+=+=+31,31,•z •y , 则α+β+γ=0, 所以 x 2+y 2+z 2=31)(3231222≥++++++γβαγβα (当且仅当α=β=γ=0，即x=y=z =31时“=”成立). 【点评】 运用等价代换,运用等价代换作切入点探究解题思路，是中学数学的重要技能.●对应训练1.已知M 是椭圆1121622=+y x 上的动点，椭圆内有一定点A (-2,3), F 是椭圆的右焦点，试求|MA |+2|MF |的最小值，并求这时点M 的坐标.2.已知函数f (x )=12+x -ax , 其中a >0. 求a 的取值范围，使函数f (x )在区间［0,+∞)上是单调函数.3.如图所示，已知梯形ABCD 中|AB |=2|CD |,点E 分有向线段AC所成的比为λ，双曲线过C,D,E 三点，且以A ，B 为焦点.当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围. 第3题图 4.已知a 、b >0,并且a+b =1,求证：.42511≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 5．如图所示，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1的面积为S ，侧棱CC 1到此面的距离为a ，求这个三棱柱的体积.第5题图●参考答案1．解析 挖掘隐含条件的数量关系即可 为简洁解题铺平道路.注意到椭圆的离心率,21 与结论中线段|MF |的系数之间的数量关系， 作MB 垂直于右准线l ，垂足为B ， 如图所示.则,21||||==e MB MF即|MB |=2|MF |, 所以|MA |+2|MF |=|MA |+|MB |. 第1题解图 易知点M 在线段AB 上时，|MA |+2|MF |取最小值8，这时点M 的坐标 为（23,3•）.2.解析 探究a 的值，应倒过来思考.设x 1<x 2, 且x 1、x 2∈［0,+∞), f (x 1) - f (x 2)= (x 1-x 2)·.11222121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++a x x x x因为.1,1222121x x •x x >+>+ 所以.011212221>+>+++x x x x得111222121<++++x x x x . 注意到x 1-x 2<0, 所以只要a ≥1，就有f (x 1)-f (x 2)>0. 即a ≥1时，函数f (x )在区间［0,+∞)上是单调减函数.显然0<a <1时，f (x )在区间［0,+∞)上不是单调函点评 运用逆向思维,当直接由条件探究结果难以凑效时，那就反过来，由果索因，这是建立解题思路的一个重要策略.3.解析 很多学生对本题无从下手，然而注意题中图案给予的启示，解题思路的就赫然可见了. 事实上，由图形的对称性，可设直线AB 为x 轴，AB 得中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy . 注意到|AB |=2|CD |，设OC =,2||c AB =依题意记A (-c,0)，C ),2(•h c, E (x 0, y 0). 由定比分点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.1,)1(2)2(00λλλλh y c x设双曲线方程为,12222=-by a x 将点C ，E 坐标代入方程，得,142222=-b h a c ① ,1)1()1(4)2(22222222=+-+-bh a c λλλλ ②将①代入②且用e 代入a c ，得e 2=.132121λ-+-=-+ 又由题设,4332≤≤λ可知e 2∈［7, 10］， 所以离心率e 的范围是.107≤≤e 点评 挖掘题图信息,从题中图案的启示切入，往往易得解题灵感. 4.解析 容易估计a=b =21时等号成立. 由此可以获得巧妙的证法. 构造,0415414141411534>≥++++=+a•a a a a a a a 同理,0415414141411534>≥++++=+b •b b b b b b b 两式相乘,)(412511538ab •b b a a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+注意到ab ≤,4122=⎪⎭⎫⎝⎛+b a 所以ab 1≥4, 故(a +a 1)(b +b 1)≥425(当且仅当a=b =21时取“=”号).从等号成立的条件切入是独具匠心的思考方法.点评 启用特例联想,从数学命题成立的特殊情形入手，常可找到巧妙的解题思路.5.解析 将这个三棱柱补成如图所示的平行六面体，可知这个平行六面体的体积等于a S.很明显三棱柱ABC —A 1B 1C 1与三棱柱ACD —A 1C 1D 1体积相等.所以三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积等于.2aS用这种方法求解一些几何问题，效果十分明显.点评 看清分分合合,通过分割或整合，将数学问题化为熟悉的结论或易于解决的形式，也是建立解题思路的重要途径.第13计 钥匙开门 各归各用●计名释义开门的钥匙应有“个性”，如果你的钥匙有“通性”，则将把所有的邻居吓跑. 所有的知识具有个性，一切犯有“相混症”的人，都因没有把握知识的个性.数学知识的根基是数学定义，它的个性在于，只有它揭示了概念的本质，介定了概念的范畴，在看似模糊的边缘，它能判定是与非.定义本身蕴含着方法，由“线面垂直的定义直接导出线面垂直的判定定理，由椭圆的定义可直接导出椭圆方程.这里，判定定理也好，方程也好，只不过是其对应的定义在定义之外开设的一个“代办处”，当你的问题本身离定义很近时，何必要跑到遥远的地方去找“代办处”呢？由此，引出了“回归定义”的解题之说.●典例示范【例1】 F 1、F 2是椭圆的两个焦点，|F 1F 2|=2c , 椭圆上的点P （x, y )到F 1（-c , 0), F 2 (c , 0)的距离之和为2a . 求证：|PF 1|=•x a c a ,+|PF 2|=.x ac a - 【分析】 一定要搬动椭圆方程吗？这里的已知条件只有c 无b ，而椭圆方程12222=+by a x 却有b 无c ，搬动椭圆方程肯定是舍近求远.【解答】 对|PF 1| 和 |PF 2|用距离公式，结合椭圆的定义得关于|PF 1|= r 1, |PF 2|= r 2的方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=++==+③)(②)(①22222222121•y c x r •y •c x r •a •r r ②-③消y 2, x 2和c 2得 r 21cx r 422=-r ④①，④联立，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=xa c a r x a c a r 21 故|PF 1|=,x a c a + |PF 2|=.x a c a -【点评】 快捷，清晰，是因为此题的已知条件靠定义近，而离方程远.【例2】 设数列{a n }的前n 项和S n =1+a n lg b , 求使1lim =∞→nn S 成立的b 的取值范围.【思考】 应首先分清{a n }是什么数列，再根据数列的性质与极限的定义解题. 【解答】 a 1=1+a 1lg b , 若lg b =0, 即b =1时， a 1=S 1=1与1lim =∞→nn S 矛盾.∴b ≠1,于是a 1=,lg 11b- 而a n =(1+a n lg b )-(1+a n -1lg b ).∴a n (1-lg b )=-a n -1lg b ,1-n n a a =1lg lg -b b 为常数，{a n }是首项为,lg 11b-公比q =1lg lg -b b 的无穷递缩等比数列(已知1lim =∞→nn S 存在)，∴q =1lg lg -b b∈(-1,0)∪(0,1).由1lg lg -b b >-1, 即1lg lg 2-b b>0, 得lg b <21或lg b >1,又1lg lg -b b<0⇒0<lg b <1,于是0<lg b <,21 ∴b ∈(1,10) ①由0<1lg lg -b b<1⇒⎩⎨⎧-><1lg 1lg 0lg b b b 或,0lg <⇒b ∴b ∈(0, 1)] ②综合①、②，取并集，所求b 的取值范围为b ∈(0，1)∪(1,10).【例3】 某商场为了促销，当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可通过抽奖的方法获奖，箱中有4只红球和3只白球，当抽到红球时奖励20元的商品，当抽到白球时奖励10元的商品(当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后，即将小球全部放回箱中).(1)当顾客购买金额超过500元而少于1000元时，可抽取3个小球，求其中至少有一个红球的概率； (2)当顾客购买金额超过1000元时，可抽取4个小球，设他所获奖商品的金额为ξ(ξ=50,60 ,70,80)元，求ξ的概率分布和期望.【思考】 解本题不能不清楚与概率统计有关的概念与定义，否则即使知道有 关计算公式也无法准确解题，例如：(1)随机事件A 发生的概率0≤P (A )≤1, 其计算方法为P (A )=nm, 其中m ，n 分别表示 事件A 发生的次数和基本事件总数；(2)不可能同时发生的事件称为互斥事件，由于A 与A 必有一个发生，故A 与A 既是互斥事件，又是对立事件，对立事件满足P (A )+P （A ）=1；(3)离散型随机变量的期望，E ξ=x 1 p 1+x 2 p 2+…+x n p n +…, 这个概念的实质是加权平均数，期望反映了离散型随机变量的平均水平;(4)离散型随机变量的方差D ξ=(x 1-E ξ)2p 1+(x 2-E ξ)2p 2+…+(x n - E ξ)2p n +…，方差反映了离散型随机变量发生的稳定性.【解答】 (1)基本事件总数n =C 37=35, 设事件A ={任取3球，至少有一个红球}，则事件 A ={任取3球，全是白球}.∵A 与A 为对立事件，而Card A =1(任取3球全是白球仅一种可能). ∴P (A )=351,于是P (A )=1-P (A )=.3534 即该顾客任取3球，至少有一个红球的概率为.3534(2)ξ=50表示所取4球为3白1红(∵3×10+1×20=50), ∴P (ξ=50)=;354C C C 471433=∙ξ=60表示所取4球为2白2红(∵2×10+2×20=60), ∴P (ξ=60)= ;3518C C C 472423=∙ ξ=70表示所取4球为3红1白(∵3×20+1×10=70), ∴P (ξ=70)= ;3512C C C 471334= ξ=80表示所取4球全为红球, ∴P (ξ=80)= .351C C 4744= 于是ξ的分布列为：∴D ξ=50×35+60×35+70×35+80×35=7(元).即该顾客获奖的期望是7440≈63(元).●对应训练1 M 为双曲线12222=-by a x 上任意一点， F 1为左焦点， 求证:以MF 1为直径的圆与圆x 2+y 2= a 2相切.2 求证:以椭圆上任意一点的一条焦半径为直径作圆，这个圆必和以椭圆长轴为直径的圆相 切.3 在离散型随机变量中，证明其期望与方差分别具有性质: (1)E (a ξ+b )=aE ξ+b ; (2)D ξ=E ξ2- E 2ξ.4 M 为抛物线y 2=2px 上任意一点，F 为焦点，证明以MF 为直径的圆必与y 轴相切.●参考答案1 如图所示，MF 1的中点为P , 设|PF 1|= r, 连接PO 、MF 2, ∵|PO |=21|MF 2|(中位线性质） ∴|PF 1| - |PO |=21(|MF 1| - |MF 2|)=21·2a = a , 即|PO |= r-a , 故以MF 1为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2内切.2 如图所示，设M 为椭圆上任一点，MF 1为焦半径，MF 1的中点为P , 设|PF 1|= r, 连OP 、MF 2. 则|OP |=21|MF 2|=21(2a -|MF 1|)= a-r∴以MF 1为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.第1题解图 第2题解图 3．（1）∵E ξ=x 1 p 1+x 2 p 2+…+x n p n ,∴E (a ξ+b )= (ax 1+b )p 1+(ax 2+b )p 2+…+(ax n +b )p n = a (x 1 p 1+x 2 p 2+…+x n p n )+b (p 1+p 2+…+p n ) = aE ξ+b (∵p 1+p 2+…+p n =1).（2）D ξ=(x 1 - E ξ)2·p 1+(x 2 - E ξ)2p 2+…+(x n - E ξ)2p n +…=（x 21p 1+x 22p 2+…+x 2n p n +…）-2E ξ(x 1 p 1+x 2 p 2+…+x n p n +…)+E 2ξ(p 1+p 2+…+p n +…)=E ξ2-2E ξ·E ξ+E 2ξ·1=E ξ 2- E 2ξ.4 如图所示，抛物线焦点F ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2•p ，准线l :x =2p-,作MH ⊥l 于H ，FM 中点 为P ，设圆P 的半径|PF |= r ，作PQ ⊥y 轴于Q ，则PQ 为梯形MNOF 的中位线. ∴|PQ |=,||21||21|)||(|21r MF MH MN OF ===+ ∴以MF 为直径的圆与y 轴相切. 第4题解图第14计 鲜花开门 情有独钟●计名释义冬天的梅花，非常耀眼.其实，梅花开的并不艳丽，只是因为你喜欢她，所以才心明眼亮.如果到了百花盛开的春天，你能身在花丛眼不花，还能看到淡淡素素的梅花吗？数学解题也经常遇到这种情景，有时已知条件非常之多，提供的信息诱惑也非常之泛.此时，你能“情有独钟”地筛选出你需要的她吗？ ●典例示范【例1】 P 点在平面内作匀速直线运动， 速度向量v =(4,-3).(P 点沿v 方向运动，每秒移动的距离是|v |）.开始时P （-10，10）， 求5秒后P 点的位置.【分析】 本质是对P 点运动的速度向量 v =（4，3）的理解：因为P 点按匀速直线运动，每秒位移是5.从速度分解观点看， 例1题图 每秒P 向右移4，向下移3.【解答】 5秒P 向右移20，下移15，设P 点5秒后到P ′（x, y ). x =-10+20=10, y =10-15=-5. 所以P ′（10，-5）.【点评】 这样解题很轻松，善于抓住数学本质的理性思维习惯是在学习数学的过程中累积形成的，而不是在“题海战术”式的“强化训练”、“大练兵”中形成的.【插语】 如果不按上述方式，而是从寻找P P '=5v =(20,-15), 再求P O '=P O '+,P P ' 当然也能求出结果，但是并不省时间.众所周知，高考中的时间就是分数. 【例2】 （04·全国Ⅰ卷）函数y =1-x +1(x ≥1)的反函数是 ( )A ．y =x 2-2x +2 (x <1) B.y =x 2-2x +2(x ≥1) C ．y =x 2-2x (x <1) D.y =x 2-2x (x ≥1)【解答】 本题的鲜花是利用互反函数的性质.原函数x ≥1时，y ≥1.∴反函数的定义域为x ≥1，排除 A 、C .∵点（5，3）在f (x )的图象上，∴点（3，5）必在f -1(x )的图象上，而点（3，5）适合 B ，不适合 D ,∴选 B .【点评】 与反函数有关的选择题，要注意利用其“定义域与值域互易，对应法则互逆，图象关于直线y=x 对称”等特点，前呼后拥.【例3】 下列各式中，最小值为2的是 ( ) A ．4522++x x B.ba b a +++2C.b a a b +D.sin 1sin +x【思考】 利用均值不等式“取等”的条件这朵鲜花去开门.用均值不等式求最值必须满足两个条件： （1）参与运算的量必须是正数；（2）只有当有关量可以“取等”时才有最值. ∵,2141,24,41445222222≤+≥++++=++x •x •x x x x 而故,41422+≠+x x 故否定A ；当a,b 异号时，,0,0<<b a •a b 否定C ；当sin x <0时，亦有sin 1<0,否定D ； ∴选 B .【点评】 可用直接法证明22min=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++b a b a ，∵b •a ,存在且在分母中出现，∴ab >0.又a+b +2=(a +1)+(b +1)≥2)(b a +，∴b a b a +++2≥2. 当且仅当a=b =1时22min=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++b a b a 【例4】 已知四边形ABCD为矩形且AB ≠BC , PA ⊥平面ABCD , 连接 AC,BD,PB,PC ,PD , 则以下各组向量中,数量 积不为零的是 ( )A ． B. C.AB PD 与 D.CD PA与 例4题图 【思考】 利用图形的特点这朵花来打开解题之门.互相垂直的两向量,其数量积为零.;,B •PB DA AB •D A •ABCD PA 排除平面图中⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥同理,排除•AB PD ,⊥ C. ∵PA ⊥平面ABCD , ∴CD PA ⊥，排除D ，选 A.【点评】 可用反证法证明BD PC 与不垂直, 假定BD PC ⊥.∵PA ⊥平面ABCD , ∴AC BD ⊥, 四边形ABCD 是正方形, 这与题设AB ≠BC 矛盾. ●对应训练1.若f (x )sin x 是周期为π的偶函数，则f (x )可以是①sin x , ②cos x ， ③cot x ， ④tan 2x中的( ) A.①② B.①④ C.③④ D. ① 2.下列五个命题：①|a |=a 2; ②a bab a =∙2; ③(a ·b )2=a 2·b 2; ④(a - b )2=a 2-2ab +b 2; ⑤若a ·b =0,则a =0或b =0. 其中正确命题的序号是 （ ）A.①②③B.①④C.①③④D.②⑤ 3.已知等比数列{a n }的公比为q ,下列命题正确的是 （ ） A. 若q >1, 则{a n }为递增数列 B. 若0<q <1, 则{a n }为递减数列C. 若q <1, 则{a n }为无穷递减等比数列D. 以上都不对 ●参考答案1. D 【思考】 利用选项的结构特点. 选项中有三项含①，故先检验①. 设F (x )= f (x )sin x ， 如果f (x )=sin x ，则F (x )=sin 2x =21(1-cos2x ). ∵ cos2x (从而F (x ))是周期为π的偶函数， ∴f (x ) 可以是①，否定C(无须检验③)，如果f (x )= cos x ，则F (x )=sin x cos x =21sin2x 是周期为π的奇函数，与要求不符，否定 A ；如果f (x )=tan 2x =xx sin cos 1-，则F (x ) =1-cos x 是周期为2π的偶函数，也与要求不符, 否定B.于是f (x )仅可以是①, 选 D ． 【点评】 排除法解选择题也要讲求效率，设法使工作量减到最少.2. B 利用向量运算的性质. ∵a 与b 共线，其夹角为0.∴a 2=a ·a =|a ||a |cos0=|a |2. ①正确排除D ；设a , b 夹角为θ. 则θθcos ||||||cos ||||22a b a b a a b a ==∙而向量运算中不含除法运算，a b ，②不能成立，排除A ；若a ⊥b ，且a ≠ b ，则(a ·b )2=0而a 2·b 2≠0, ∴③不能成立，排除 C. 3. D 选用特殊值取. q =2>1时，a 1=-1<0, 则{a n }为递减数列，排除A ；当0<q =21<1时，若a 1=-1<0，则{a n }为递增数列，排除B ；取q =-2<1, a 1=1，则{a n }为摆动等比数列，排除 C.第15计 驿站开门 望蜀得陇●计名释义一商人要去蜀国做生意，因栈道难行，结果到了陇西. 正当他发愁之时，来了一位远客，把他的货全部买走了. 商人大喜，对伙计们说，这客人说的蜀国话，赶快回关中运货去，我们还是按原计划去南蜀.等第二批货运到陇西时，又遇上这位客人. 一交谈，他没有把货运往南蜀，而是运往西域去了. 伙计们问商人：我们还是按原计划去南蜀吗？商人笑着说，“我们在这儿望望南蜀就行了.”接着在驿站里把生意做得火红.数学解题有时也遇上这种情景，原来计划的解题方案，在进行中遇到了一匹黑马，中途变阵之后，成果意外. 这时你不要埋怨原来的计划是错的：不“望蜀”，怎能“得陇”？●典例示范 【例1】图中，BC 1和DB 1分别是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的一条面对角线和体对角线. 例题图试求它们的距离.【解答】 连A 1C 1、C 1B 和BA 1. 得边长为2的正三角形A 1C 1B .易知，体对角线DB 1过△A 1C 1B 的中心G . 易得GB =GC 1. 再作BC 1的中点H . 猜想 GH 是DB 1和BC 1的公垂线， 为此只须证明HG ⊥DB 1. 易知GB 1=33，HB 1=22 GH =31·2·6623= 例题解图 因为 ,223366222⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 所以GH ⊥GB 1 即GH ⊥DB 1 . 【说明】 此处证GH ⊥DB 1就是我们的“望蜀”，其实DB 1⊥面A 1BC 1，而GH 是面A 1BC 1中的线段，当然GH ⊥DB 1，由此我们“得陇”.【续解】 故HG 是BG 与DB 1的公垂线.且长度66为它们的距离. 【点评】 这两条对角线异面.在不知（或不易作出）它们的公垂线时，属于难题.解题的方法是按“定义”，用垂直相交法作辅助线（面）.●对应训练1.已知关于x 的一元二次方程a x 2+b x +c =0,其中a ，b ，c 是非零平面向量，且a 与b 不共线，则该方（ ） A 可能有无数多个实数解 B 至多有两个实数解 C 至少有一个实数解 D 至多有一个实数解2.空间 （填：“存在”或“不存在”）这样的四个点A 、B 、C 、D ，使得AB=CD =8cm ，AC=BD =10cm ，AD=BC =13cm . ●参考答案1. D 由于a 与b 不共线，所以可设c =m a +n b (其中m ，n ∈R )，代入方程a x 2+b x +c =0得a x 2+b x +(m a +n b )=0，即（x 2+m ) a +(x+n ) b =0,又a 与b 不共线，故有⎩⎨⎧=+=+,0,02n x m x 即⎩⎨⎧-=-=,,2n x m x 显然，当m >0时，原方程无实数解；当n 2=-m ≥0时，⎩⎨⎧=+=+0,02n x m x 有一个实数解.故应选 D .【说明】 此题容易简单想象成一元二次方程根的存在性问题，用判别式来判定，导致出现思维定势的错误. 对于向量的相关知识的考查在近年来的高考试题中常出现，并且有关向量的题目也在不断地创新，不再是书本知识的简单重复.基于此而创作了此题.2．要去寻找这样的点是很难叙述的.但我们可以虚拟一些特殊的图形去模拟运动，判断结果.细看题目有四个点，显然可以从四边形旋转所构成的三棱锥模型结构看一下这些长度关系是否合理，来得出需要的结论. 在空间中，分别以8、10、13为边长，作如图所示平面四边形，它由△ABC 和△BCD组成，公共边为BC =13cm ，AC=BD =10cm ，AB=CD =8cm ，固定△ABC 所在的平面，令△BCD 绕着边BC 旋转.显然当D 位于 第2题解图△ABC 所在的平面时，AD 最大.由BC =13cm ，AC =10cm ，AB =8cm ，可得cos ∠BAC =-321,即可知∠BAC 是钝角，故对于平行四边形（即D 在平面ABC 内时）ABDC ，对角线AD 的长小于对角线BC 的长，即AD <BC =13cm .显然，当点D 不在面ABC 内时都有AD <BC =13cm .因此按题目要求分布的四个点是不可能的，故知题目要求的四个点不存在.【点评】 这是一个探索型开放题，其存在与否取决于分析的过程，该题题型无论从结论上还是从方法的探究上都具有一定的开放性，因此我们开始做它时，选定一个方向直奔过去，到那儿时才发现此路不通.第16计 摆渡开门 萍水相逢●计名释义有道数学题，求证π>25. 很多学生不知所措时，却有一学生说此题非常简单，不过需找个第三者. 现在他已经指定了一个第三者，就是整数3.因为π>3，又3>25，所以π>25. 这里的第三者，如同一个渡船，它能把“无关”的两岸经过自己连接起来.这就是数学上的“过渡法”，。
一年级数学奥数第10讲：数字找规律-教案
伊嘉儿数学春提高版一年级课题数字找规律教学背景学校已经学过简单的加减法。
教学目标1、准确数出图形的个数；2、找出数字间的规律并会进行补充。
教学重点根据规律填写数字。
教学难点找出数字间的规律。
组织架构（人）策略流程方法：教学准备PPT教学环节环节时长环节目标策略流程方法论第一课时导入6分钟让学生理解规律的含义，并会发现简单的规律。
1.出示图片，让学生观察；2.请学生说出图片中的特点（引出规律）3.让他们根据发现的规律说出下面的图形。
例题一10分钟引导学生发现图形中的规律。
1.首先请学生总结之前的规律；2.根据题目，让学生把图形个数数出来，从图形转化成数字；3.根据图形的规律完成题目；4.引导学生根据答案发现数字间的规律。
练习一6分钟检验学生掌握情况。
1.让学生依次写出各图中三角形的数量；2.写出三角形增加的数量；3.找出其中的变化规律；4.根据规律写出答案。
例题二10分钟引导学生发现数字中的简单规律。
1.给学生一定的时间自己解决例二；2.找学生回答；3.老师再总结其中的规律。
练习二5分钟检查学生能否发现数字中的规律。
1.让学生个人竞速；2.速度快的学生上台讲解；3.老师进行总结。
小结5分钟让学生对数字的规律有深刻的认识。
1.回顾上节课的图形规律；2.结合这节课的内容，请学生对数字的规律进行总结。
第二课时例题三13分钟为学生总结常见的几种规律，使学1.让学生观察数字是否有规律，提问；生能够不受错误顺序的干扰，准确找出数字间的规律。
2.老师下结论这些数字没有规律，题问能否通过移动两个数字的位置使这些数字有规律；3.引导学生发现部分数字的规律，再提问需要移动的数字是哪些；4.总结移动后的数字锁总结出的规律。
练习三6分钟锻炼学生寻找规律的能力，给学生表现机会。
1.让学生自行思考，提示先通过几个数字找到其中的规律；2.让学生来阐述他的思路；3.老师进行引导总结。
例题四12分钟学生除了能找到简单的数字规律以外，还能分组找规律。
十八招破解应用题
十八招破解应用题十八招破解应用题引言应用题在数学考试中占据重要位置，但很多学生在解答应用题时常常感到困惑。
本文将介绍十八招帮助破解应用题，让你轻松应对考试。
招式一：读懂题目应用题通常包含大量文字描述，首先要仔细阅读题目，理解题目所要求解决的问题。
招式二：标记关键信息在阅读题目时，用铅笔圈出关键信息，如数据、条件和问题。
这有助于提取并理清题目的要点。
招式三：建立数学模型根据题目提供的信息，尝试建立一个数学模型。
这可以是一个方程、不等式或其他数学关系，有助于解答问题。
招式四：计算根据所建立的数学模型，进行计算来得出答案。
确保计算正确，注意单位和精度的问题。
招式五：画图有时，画图能帮助我们更好地理解问题。
根据题目需求，画出合适的图形来解决问题。
招式六：列方程将问题转化为方程，可以更直观地解决问题。
注意将问题中的文字转化为数学符号。
招式七：用分析法有些应用题可以通过分析数据的变化趋势来解决。
使用图表或表格来分析问题可以得出更准确的答案。
招式八：用逆向思维有时，解题的过程可以倒过来思考。
从所要求的结果出发，逆向思考，推导出问题的解。
招式九：寻找模式题目中可能隐藏着某种规律或模式，通过观察和找规律，可以更容易地解答问题。
招式十：排除法当应用题中给出多个选项时，可以通过排除法来确定正确答案。
逐个排除错误选项，找到唯一正确的选项。
招式十一：逻辑推理应用题中常常需要应用逻辑推理解决问题。
通过分析题目中的条件和关系，运用逻辑思维来找到答案。
招式十二：思维导图使用思维导图可以帮助我们更好地组织和整理问题。
将问题的各个要素用图形或文字连接起来，有助于发现问题的解决路径。
招式十三：分解问题有些复杂的应用题可以通过将问题分解成更小的部分来解决。
逐步解决每个小问题，最终得到整个问题的解答。
招式十四：举反例当遇到应用题中的假设难以证明，可以尝试举出反例来推翻该假设，从而解决问题。
招式十五：用实例验证将问题中的具体数值代入所建立的数学模型，用实例来验证所得结果是否正确。
姜姜老师初中数学几何最值“降龙十八掌”1
姜姜老师初中数学几何最值“降龙十八掌”101 两点之间的距离最短在初步几何几何的认识里面我们都知道，定理：两点之间线段最短。
点p为直线l上移动点，问p运动到何处，线段ap+bp和最小。
（此模型为将军饮马模型，天桥模型，四边形周长最小模型的原理）重点分析1.可以理解两点之间线段最短。
连接ab交直线l于点p，点p 即为所求作的点。
2. 三角形三边关系可以得出，，始终围成三角形，ap+bp>ab，当a,p,b三点共线时，ap+bp=ab取最小值。
02 天桥模型如图，l1∥l2，l1，l2之间距离为d，在l1，l2分别找m、n 两点，使得mn⊥l1，且am+mn+nb最小。
分析：1.这个模型仅为模型移动点所在直线变化为平行线，所以把a点向下移动平行线的距离，还原为原模型一即可。
2.将点a向下平移d个单位到a′，连接a′b交直线l2于点n，将点n向上平移d个单位到m，点m、n即为所求。
am+mn+nb的最小值为a′b+d经典例题荆州护城河在cc＇处直角转弯，河宽相等，从a处到达b 处，需经过两座桥dd＇、ee＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使a到b 点路径最短？03 将军饮马模型当两定点a、b在直线l同侧时，在直线上找一点p，使pa+pb 最小。
分析：1.将军饮马问题实质为模型一，两定点在线在一侧时。
仅作一个点的对称点即可，转化模型一即可2.作点b关于直线l的对称点b′，连接ab′交直线于点p，点p即为所求作的点。
pa+pb的最小值为ab′。
3.考试题目经常涉及三角形周长最小的问题。
经典例题如图，在平面直角坐标系 xoy 中，分别以点 a(2，3)，b(3，4)为圆心，以 1，3 为半径作圆a ，圆b ，点 m，n 分别是圆a ，圆b 上的动点，点 p 为 x 轴上的动点，求 pm＋pn 的最小值。
04 两定点一定长如图，在直线l上找m、n两点（m在左），使得am+mn+nb最小，且mn=d分析：1.两定点一定长实际上是将军饮马的变形，把其中一个定点平移一段距离转化成将军饮马模型即可2.将点a向右平移d个单位到a′，作a′关于直线l的对称点a"，连接a"b交直线l于点n，将点n向左平移d个单位到m，点m、n即为所求。
张鸿庆 - 中国传统文化与现代数学
阴阳对偶，此长彼消，互逆互补，相反相成。有象斯有对，对必反其为。 一阴一阳之谓道。道生一，一生二，二生三，三生万物，万物负阴而抱阳， 冲气以为和。
a (b c) b (c a) c (a b) 0
若c和b垂直，在a方向必为零，c和a垂直类似。
学数=修道=参禅悟道； 教学=接引 武侠小说是接引的道具
林震南 岳不群 风清扬 教学法 总教头 掌门人 不及华山背后隐身人 南慕容 北乔峰 不及少林无名扫地僧 少林七十二绝技与武学障 学武要兼修佛法 内力障 六脉神剑与北冥神功 九阳真经与乾
故曰非至精至变至神则不可得与于斯也
独孤九符 A C = B D + R
独孤九符
独孤九符 A C = B D + R
从齐次到非齐次 解微分方程 从交换到非交换（常系 数到变系数）
从线性到非线性
言数明理
数理同源 理数相倚 理由数显 数自理出 物无妄然 必由其理 理一分殊 月映万川 知书达理 理在书外 穷心尽性 尽性知天 孤独九符 六脉神剑 统之有宗 会之有元
二、机械化数学与非机械化数学
数学 = 机械化数学 + 非机械化数学
机械化数学 = 数学算法化
非机械化数学 = 数学原理化 + 数学诗词化
数学原理化 = 一花六瓣 凌空飞渡 五灯会元 以理御数 化功大法 由表及里 乾坤挪移 应用无数
数学诗词化 = 数学道理化 道理哲学化 哲学浪漫化 浪漫艺术化 艺术诗词化 诗词模块化 模块网络化
过度的形式化使理解复杂化，妨碍了数学 的统一性及其与应用的结合。
高考数学解题破题三十六计
此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义
.
●对应训练
x2 1．如图把椭圆 25
y2 1
16 的长轴 AB 分成 8 份，过每个分点作
x 轴的
垂线交椭圆的上半部分于 P1， P2，…， P7 七个点， F 是椭圆的一个焦
点，则 |P1F|+|P2F|+…… +|P7F|=_______.
2 (n 1)n
2
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［法 2］ 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即
111
an
3C
0 2
4C
1 3
5
C
2 4
1
nC
n n
3 1
1
(n
1)C
n n
2
根据第一问所推出的结论只需在原式
1
基础上增加一项
(n
1)C
n n
1
，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给
顶点 . 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何
一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出
x = r+1.
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1
第 2 道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项
3.
［解Ⅱ］ 在三角形中先找到了数列首项
1
an
3 ，并将和数列
1 3
1 12
1 30
1 60
高考数学解题破题 36 计
第 1 计 芝麻开门 点到成功
●计名释义
七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点
. 《阿里巴巴》用“芝麻开门” ，
大乘数学三境界
大乘数学三境界数学= 小乘数学+ 大乘数学。
小乘数学= 推理+计算，大乘数学= 哲学+艺术。
小乘数学是术，大乘数学是道；小乘数学是剑招，大乘数学是剑意；小乘数学是科学的工具，大乘数学是科学的女王。
治大乘数学经历三种境界。
苏武慢仙峰绝壁，攀登无数，往往到头虚老；支离破碎，细微末节，多少青春废了；鲸吞碧海，芥纳须弥，中西合璧最好，只凭这微分代数，消融那纤维同调；谁听得，千尺崖前，百丈悬冰，杜宇一声春晓？黑洞路远，夸克关深，行人原自稀少；体系我立，定理自出，此心可通天道；寻根本，识破源流，自有人间真宝。
此乃第一境界。
声声慢寻寻觅觅，冷冷清清，寂寂寞寞依依，万水千山独行，登天有计，有我美梦做伴，怎怕他晚来风急，我来也，正悦目，别有一番天地。
满室书本堆积，翻阅尽，查找蛛丝马迹，中西合璧，探索数学真谛，春风化物细雨，会心处点点滴滴，这次第，唯极乐差可比拟。
此乃第二境界。
寻寻觅觅，冷冷清清，寂寂寞寞依依。
万水千山独行，登天有计。
这是一条神奇的天路，用中国数学传统文化破解数学七十二绝技。
一、学数参禅学数浑似学参禅，一经领悟便超然。
五灯会元东方亮，光芒四射照人间。
破除迷信，张扬自我，众生平等，皆可成佛；解粘去缚，方便接引，就近取譬，随机化寻；真参实证，圆融无碍，以心传心，心心相印；因缘契合，自悟本心，明心见性，见性成佛。
禅是穷理尽性之学。
穷理于事物始生之处，研几于心意初动之时。
禅者，意也，以人意会天意，以己意会大师之意，禅的真理以心传心，心灵相通时方可传授。
禅师接引学人，讲求心心相印，因缘相契，以心传心，啐啄同时。
灵犀相通才称得上因缘相契。
禅是看入自己生命本性的艺术，从枷锁到自由的道路。
禅的真理把单调乏味的生活，索然平凡的生命，变为充满真实内容的创造性真理。
做学问是一种精神统一的修行，面壁就是面书壁，在精神上创造自己理想的世界。
疑生滞，通破疑，疑被通破则无可生滞。
禅宗张扬自我，崇尚自我，使学人确立自信，崇拜自我，打破外在权威，敢于作祖成佛。
降“奥”十八掌之女娲补天
降“奥”十八掌之女娲补天作者：电磁波来源：《数学大王·中高年级》2017年第10期大家好！这里是奥数直播间！感谢大家的准时收看！降“奥”招式是一招比一招厉害，一招比一招实用！想知道这期我们要学习哪一招？自己往下看喽！招式剖析名称：女娲补天用途：针对一些看似用已知条件无法求解，但可通过补的方法求解的几何题。
威力指数：★★★★★速记口诀：东补西补拓思路，细算角度来拼组！例1 求右边这个四边形的面积。
知己知彼要求——四边形的面积。
已知——2条边的长度和4个内角的大小。
我知道——常规图形（三角形、正方形等）的面积计算公式。
猜想——∠ABC=90°，∠BCD=45°，那么把线段BA和线段CD延长相交后，原图形不就被补成一个直角等腰三角形了吗？一招制敌抓住特殊角度把图形补一补，解题思路会更清楚！补好图形后，四边形面积=大等腰直角三角形面积-小等腰直角三角形面积。
因为EA+AB=BC，所以EA=BC-AB=8-6=2（厘米）。
S△EBC =8×8÷2=32（平方厘米）为了方便求解△EAD的面积，我们给斜边EA画高，交EA于点F。
因为△EAD是等腰直角三角形，所以EF=FA=DF。
于是有：S△EAD=×EA×DF=×2×1=1（平方厘米）四边形ABCD面积=S△EBC-S△EAD=32-1=31（平方厘米）温馨小提示：补图方法可不止一种，我们也可以通过延长线段AD和BC构造等腰直角三角形哟！例2 如图所示，一个六边形的6个内角都是120°，其中相邻四边的长依次是1厘米、9厘米、9厘米和5厘米。
求这个六边形的周长。
知己知彼要求——六边形的周长。
已知——4条边的长度和所有内角角度。
我知道——周长是封闭图形一周的长度，六边形的周长就是六条边长度之和。
猜想——六边形6个内角都是120°，那么外角就都是60°，而60°是等边三角形的内角度数。
难题的“克星”
难题的“克星”作者：黄旭军来源：《数学大王·中高年级》2020年第02期今天的数学课，老师把知识教完后，离下课还有十分钟。
于是老师突发奇想，出了道题目考大家：AB、CD分别表示两位数，AB+CD=149，那么A+B+C+D=（; ;）。
这种条件少的题目，最伤脑筋。
胆子大的班长先举手了，班长说：“我把题目中的‘AB+CD=149’设成‘74+75=149’，求得A+B+C+D=23。
后来再将其设成‘80+69=149’，结果也是23。
我猜测，这个题目的结果就是23！”“好！”数学老师带头鼓掌，“其实这道题目想考的是‘进位后数字和少9’，所以‘1+4+9’需要再加个‘9’，才正好是各个数位的数字之和。
可是，班长另辟蹊径，巧妙运用设数法解决了这道难题！设数法可以说是难题的‘克星’。
”同学们纷纷向班长投来崇拜的目光。
数学老师接着说：“设数法，经常用来解决那些看上去缺少条件的题目。
我们可以在设数中找到规律及方法，从而达到事半功倍的效果，‘攻克’大多数的难题。
”例1 现有一桶水，一头牛15天喝完，一头牛和一匹马一起喝，10天喝完。
请问：一匹马喝这桶水，可以喝几天？观察开始细细读题，你就会发现整个题目只有“天数”，没有其他条件。
所以我们可以把它看成工程问题来进行求解。
一头牛喝一桶水需要15天，那么一头牛每天喝这桶水的115。
一头牛和一匹马一起喝这桶水，它们每天一共喝这桶水的110，则110-115=130。
所以，一匹马每天喝这桶水的130，1÷130=30（天），所以一匹马喝这桶水能喝30天。
这样做起来方便多了！我们可以设这桶水有30千克，“30”这个数既是15的倍数，也是10的倍数，并且还是一个整数，也就是说，30是15和10的公倍数。
一头牛喝完这桶水需要15天，即每天喝30÷15=2（千克）。
一头牛和一匹马一起喝，10天喝完，它们每天一共喝30÷10=3（千克）。
那么，一匹马每天喝3-2=1（千克）的水。
我也是一束光作文五百字
我也是一束光作文五百字《我也是一束光》篇一我常常觉得自己是个很平凡的人，就像大海里的一滴水，沙漠里的一粒沙，毫不起眼。
但有时候，我又觉得，我也是一束光。
我记得有一次，我们班上有个同学生病了，好几天都没来上学。
等他回来的时候，很多课都落下了。
那时候，我看到他那迷茫又着急的眼神，心里就想，我得帮帮他。
于是，我主动跟他说：“嘿，哥们儿，别怕，有我呢！我来给你补补这几天的课。
”他有点怀疑地看着我，可能在想我是不是真有那本事。
我拍着胸脯说：“你可别小瞧我，我虽然不是学霸，但这些知识我还是能给你讲明白的。
”每天放学后，我们就坐在教室里，我像个小老师一样，把课本翻得哗啦哗啦响。
我给他讲数学题的时候，会把那些复杂的公式比喻成武功秘籍里的招式。
“你看啊，这个公式就像是降龙十八掌里的一招，专门用来对付这种类型的‘敌人’——数学题。
”他被我逗得哈哈大笑，可也真的把那些知识记住了。
语文呢，我就跟他一起分析课文，把那些作者的情感说得绘声绘色。
有时候我自己都觉得自己像个戏精，在那不停地演。
不过，看到他一点点地跟上了课程进度，那感觉，就像是我在黑暗里点亮了一盏小灯。
我想，这就是我作为一束光的时刻吧。
虽然我没有什么惊天动地的壮举，但我能在朋友需要的时候，给他一点温暖和帮助。
也许在这个大大的世界里，我这束光很微弱，微弱得像萤火虫的尾巴发出的光。
可是那又怎样呢？就算是萤火虫的光，在黑夜里也能给人一点希望呀。
我也有过犹豫的时候，想着自己学习也挺忙的，这么做会不会太耽误时间了。
但是每当看到他因为我的讲解而露出恍然大悟的表情，我就觉得，这时间花得值。
我这束光虽然不大，但能照亮他一小片天地，这就够了。
我也是一束光，不是吗？《我也是一束光》篇二有时候，我觉得自己就像个小太阳，是一束能散发热量的光。
可有时候呢，又觉得自己这束光有点忽明忽暗，不太靠谱。
就说我们小区里吧，有很多老人。
他们的子女大多都不在身边，每天就只能在小区里散散步，和其他老人聊聊天。
高中各科简易成度
高中各科简易成度
从思考能力的角度，排名从难到易：物理、数学、语文、历史、地理、化学、生物、政治、英语
从记忆多少的角度，排名从难到易：英语、历史、化学、政治、生物、地理、语文、数学、物理。
从学习范围的角度：语文、英语、数学、历史、化学、政治、地理、生物、物理
从练习的量的角度：数学、语文、英语、化学、历史、政治、生物、地理、物理
从耗费时间的角度：英语、语文、数学、历史、化学、生物、地理、政治、物理
学习物理，你必须花大量时间深入思考物理概念，把握物理的核心思想，如果你懒于思考，那物理就很难学好。
学习数学，也需要深入思考，但深入思考的侧重点在解题技巧的各种变化，因此，需要做大量的练习。
学习数学类似学习拳法（举例而已，本人并不习武哈），先学习基本的解题技巧，就像练武之人一开始要扎马步，踢腿之类，这些小的基本功反复训练，之后又搭配组合，衍生出愈发复杂的招式；到最后就是融会贯通，能打出行云流水的降龙十八掌了；所以很多人总疑惑“难道不能少做题就把数学学好吗？”，
至少在我看来，是不能的，如果你“狠劲”不足，每次最长学习时间不够长，那么数学就很难学好。
如果你大脑不够清晰，那么，数学、物理可能不难，但化学肯定很难学好，因为你无法清晰的记住那么多繁杂的知识点。
相对于数理化，如果没有大量的课外知识积累，你的历史、地理可能可以很快入门，但很难学到最好。
精选我的数学老师_250字
我的数学老师_250字我们的数学老师是孔老师。
他中等个子，看起来脸比较廋，一双炯炯有神的眼睛，高鼻梁，小嘴巴。
他曾获得“小学教育能手”的荣誉称号，孔老师是不是很厉害?他的教学方法很独特。
每次上课，孔老师先给我们出一道简单的题，我们会做;再难一点的题，我们还会做。
这样一点一点的把题的难度增加，不知不觉，就讲到了重点。
到了重点，孔老师就耐心的给我们讲。
讲完了他就会问：“学会的同学请举手!”如果有同学还不会，孔老师就会再把重点再讲一遍，直到那些不会的同学学会为止。
所以，听孔老师的课，别怕学不会知识!孔老师从不多布置作业，这受到同学们的一致赞赏。
因为孔老师在课上就能教会全班同学，所以不用再做那么多的家庭作业。
孔老师对我们的要求很简单，那就是：“你不用是学习最好的，但必须是学习最努力的!”我们的数学老师已经四五十岁了，中等身材，有些胖，满头花白的发，一双大大的眼睛，上课时总是带着一副老花眼镜。
他喜欢讲故事，我们当然也喜欢听。
记得我们数学老师上圆的时候，可威风了。
他左手拿着三角尺，右手拿着破圆规。
我们理解圆的规律有难度，老师的脾气有些急躁。
记得我们班许多人都被数学老师打过，比如说，陈龙飞那次被数学老师连打了十八掌。
我叫作降龙十八掌，因为陈龙飞有一个龙字。
还有，如果两个人错了，数学老师就用混合双打，就是两个人一起打。
我和陈天礼也被打过，老师让我们头头相撞，就是头对头撞。
我们数学老师厉害吧?我们的数学老师非常聪明。
他教过语文，他说：“我教语文没有教数学好。
”在他上课的时候，老师在上面大声讲，我们在下面小声讲。
老师不讲了，我们还讲。
我们非常喜欢数学老师，因为他平时喜欢助人为乐。
刚上初一，我还认识了一位年轻的老师，她就是我严厉的数学老师——吕老师。
她，长长的头发，戴着一副眼镜，说起话来总是那么严厉。
她讲的课像是一张大蜘蛛网，一直在吸引着同学们，令人忘记疲惫，总会认认真真地听她讲课。
她长得十分漂亮，非常年轻，她简直就是十全十美。
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攻克数学题的降龙十八掌前言降龙十八掌是绝世武功，但这里讲的不是武艺而是做数学。
但又为什么取“降龙十八掌”这个名字呢？不仅是因为降龙十八掌厉害，更重要的我想还是源自一部电影《武状元苏乞儿》里面有关降龙十八掌的情节。
当然《射雕英雄传》里面的降龙十八掌跟此是不同的。
看了《武状元苏乞儿》里面的降龙十八掌后，我觉得故事的情节耐人寻味。
武状元苏乞儿只是从书上学到了十七掌，而第十八掌既没有文字叙述，又没有图解说明，打完了十七掌后那个“坏蛋”是没事的，看来那个第十八掌的威力才是最大的。
写到这，我想朋友们还是自己去看一看电影吧，第十八掌到底是什么。
也请记住，本书的第十八章也是威力最大的。
本书同样也有十八章（掌），分别介绍了一些浅显易懂而又影响深远的解决数学题目道理。
这是本人经过许多年的实践、总结研究出的成果。
希望能给莘莘学子增添一盏指路明灯，让他们在学业上更快的成功。
为了节省大家的时间，本书力求简短，旨在说明道理，需广大读者细细品味并领会精神。
为了便于大家的理解，书中所讲的每个道理大多都有几个例题。
这些例题有些是高中阶段的，也有些是初中阶段的，但道理都是一样的。
最后，书中的不当之处还望广大师生批评指正。
附：有关解数学题的“名言警句”：1、解数学题最大的魔力就在于捉迷藏。
2、数学解题活动概括起来无非是套(公式)、凑(形式)、转(化、换)、变(形)、（取）巧、(抵)消。
3、“想不到”是最大的解题障碍。
4、一道题目的成功解决是多种利题因素都处于较佳状态的表现，任何一个小问题都可能导致题目的失败。
5、思想是根，方法是树。
6、知识是学来的，能力是练来的。
7、方法决定成败。
8、只有想不到的方法，没有解决不了的问题。
9、知识本身并不难学，难的是学会怎样去运用知识。
10、促使你往前走的只有两种力，一种是推力另一种是拉力。
推力是为了克服未知的困难，因为你在后面推，看不到前面有什么；而拉力是为了克服已知的困难，因为你在前面拉，并且已经有了方向。
11、山重水复疑无路，柳暗花明又一村。
12、不识庐山真面目，只缘身在此山中。
13、知道不会做比会做有时更重要。
14、遇到困难时想得越多，想的时间越长，就越接近问题的正确答案。
15、要学会换个角度去思考问题。
目录第一章数学是一门注重思想方法的学科第二章决定成败的只有几步第三章无巧不成书第四章生硬知识点与运用第五章抓住敏感条件，寻找突破口第六章向熟知的知识点转化第七章转换看问题的角度第八章细节决定成败第九章猜想是走向成功的第一步第十章做题如架桥第十一章攻其弱点，避其锋芒第十二章尝试才是硬道理第十三章基本固定搭配问题第十四章研究解决问题的核心手段第十五章总结好的结论就是定理第十六章纵观全局，分清整体与局部第十七章知识点的模糊化处理第十八章亢龙有悔第一章数学是一门注重思想方法的学科在许多人的眼里数学可能就是抽象而又繁琐的计算，其实这已经误会数学了。
不信你可以翻看一下我们的各种数学资料，你看看哪道题是以复杂的计算而存在的。
这里有一个很实际的例子就是，当你拿起先进的计算器去应对一场数学考试的时候，你会发现计算器也是一筹莫展。
即便你用上计算器也不见得能提高分数。
相反，我觉得数学是很友好的，每次都只拿最简单的数来考你。
计算器是死的但方法是活的。
什么是思想方法呢？说白了就是考虑问题的角度和原则，解决问题的工具和手段等。
学过数学的人都会有很深的体会：我们有一道题目做不出来往往是因为我们的方法不好，注意这里说的是方法不好而不是方法不对。
方法的选择不合适会导致我们走很多的弯路。
这也是我们失败的主要原因。
在很多情况下合适的解题方法成了我们成功的唯一选择。
当我们正对一道题目一筹莫展的时候听到老师讲解到某一步时，突然就豁然开朗了，还有时当听完老师说的第一句话时就自信地要去自己解决问题，觉得自已经有思路了，这其实就是因为老师讲解问题的角度或是使用的知识点提醒了我们。
如果说“思想方法”是抽象的东西，那么我们可以举一些具体的内容。
中学的数学参考资料上提到了一些比较公认的思想方法：数形结合思想、分类讨论的思想、整体思想、类比思想、方程思想、整体代入法、补拼法、面积法、割补法、截长补短法、待定系数法、数学归纳法等等。
这些都是比较常见的“数学思想方法”，但又不是数学思想方法的全部内容，它们只是数学思想的某个角度。
可能这些你有的听说过，有的没有听说过。
但作为一名学习数学的人，我们无时无刻不在用这些东西。
离开了它们数学就没有了灵魂，离开了总结它们你就很难有数学上的进步。
上面提到的思想方法只是比较常用的一些，平时要注意自己总结一些更具体的思想方法。
它们就像指导我们前进的大政方针，要不断去运用，不断去实践，不断去升华并与实践俱进。
思想决定方法，方法决定成败，一道题目能否成功解决就取决于我们的思想方法。
值得一提的是，数学思想方法并不等同于解数学题的思想方法，数学思想方法是更高深的理论，它是认识自然规律的方法论，我们这里只是说解数学题的思想方法。
第二章决定成败的只有几步一道看起来很复杂的数学题目有时着实让我们很头疼，但再看看答案又觉得不怎么难。
因为标准答案只有短短的几行字，自己在看答案之前为什么就想不到解决问题的办法呢？其实这个时候你再仔细看一下答案也许你会发现，真正难住我们的“坎”只有一到两个，也许就只差那么一步你就想不到解决问题的办法。
也只差一步问题就显得那么困难。
一层窗户纸如隔万重山，这时我们可以用“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”来形容最恰当不过了。
正如一位名人说过的一句话：“人生道路虽然很漫长，但紧要处只有几步，走错一步往往能影响人生的一个时期，有时能影响整个人生。
”数学问题的解决也同样如此。
看起来很复杂的问题往往也只有一两部是真正困难的，其他部分与正常简单的题目无异。
其实只要我们做好了这一两步，其他地方就一马平川了。
我们在学习数学的过程中要特别注意这些关键的步骤。
下面我们就举几个例子来说明上面的问题。
例1 如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD, 90∠AFD0,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是600=（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC（2）求二面角E-BC-A的余弦值解答：（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．这道题目看起来比较复杂，尤其是第二问，但决定这道题成败的只有关键的一步，就是建立空间坐标系，利用法向量来求二面角的余弦值。
同学们可以看一看，在空间坐标系的框架下，这个求二面角余弦值的过程其实再普通不过了。
﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．例2已知数列{a n}与{b n}满足a n+1（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m ，且∈（﹣2，2）．解答：（1）解：∵a n +1﹣a n =2（b n +1﹣b n ），b n =3n +5，∴a n +1﹣a n =2（b n +1﹣b n ）=2（3n +8﹣3n ﹣5）=6，∴{a n }是等差数列，首项为a 1=1，公差为6，则a n =1+（n ﹣1）×6=6n ﹣5；（2）∵a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=2（b n ﹣b n ﹣1）+2（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…+2（b 2﹣b 1）+a 1=2b n +a 1﹣2b 1， ∴， ∴．∴数列{b n }的第n 0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值； 单调递增，有最小值m=a 1=λ， ∴∈（﹣2，2），∴λ∈， ∴．②当λ=﹣1时，a 2n =3，a 2n ﹣1=﹣1，∴M=3，m=﹣1，（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a 2n →+∞，无最大值；当n→+∞时，a 2n ﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．以上就是本题的解答过程，我们来看一下此题的第二问解答过程，a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1，这一步是本题最关键的一步，也是决定成败的一步。
走出这一步就让a n与b n 之间建立了联系。
为什么能想到要这样去处理a n 呢，这其实还是从题目中给定的已知条件a n +1﹣a n =2（b n +1﹣b n ）来的，虽然不太好想到，但这却是决定成败的一步。
另外我们可以总结一下：对于数列问题，根据给定的等式依次列出每一项的做法在大多数情况下确实能给我们带来“灵感”。
第三问看起来很复杂，其实也不难。
最值得我们注意的一步就是这一步是从第二问的结果进一步得来的，随后我们就把注意力转移到的单调区间上，问题就豁然开朗了。
第三章 无巧不成书“无巧不成书”往往会使我们联想到编故事、写小说，但在数学中也同样是无巧不成题的。
当拿到一道题目时，仔细审视之你会发现里面总会有一些巧合。
而这些巧合正是我们解决此问题的“把手”。
巧合，需要你去发现更需要你去体会。
有学生问我一些题目的时候。
我经常是不给他们讲解的。
我只是让他们注意题目中的某些细节。
不一会儿，这个学生就突然明白了我说话的意思，当然也找到了解决问题的办法。
刚才提到的这些小细节其实就是题目中出现的一些巧合现象。
正常情况下我们不太容易专门儿去注意这些问题（除非题目中直接告诉你）。