第2章 随机变量及其分布 ppt课件
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概率论课件第二章
第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量
例1. 抛硬币试验中S {H,T}, 样本点H与T不是数量。
例2. 测试灯泡寿命试验, S={e}={t|t≥0},样本点本身 是数量。
定义 : 设随机试验E的样本空间是S,若 X : S R为单值实范数,则称X为随机变量 (random variable, 简记为r.v.) 。
2. 特例: (1,) 是参数为的指数分布. (=1) 3. 伽玛函数的性质: (i) (+1)= ();
1 (iii)( ) . 2
(ii) 对于正整数n, (n+1)=n!;
§5. 随机变量的函数的分布
一、 X为离散型r.v. 例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
(二) 贝努利试验
(二项分布)
定 义 : 设 试 验E只 有 两 个 可 能 结 果 A与 A , 且 P( A ) p ( 0 p 1), 将 试 验E独 立 重 复 地 进 行 n次 , 这 样 的 试 验 称 为 贝 努 利 试 验.
设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数, 则X 是一个随机变量, 于是
§4. 连续型随机变量及其概率密度
F(x) , 存在非负函 1.定义 : 对于r.v.X的分布函数 数f(x) , 使对于任意的实数 x, 有
则称X为连续型r.v.f(x)称为X概率密度函数, 简称概率密度. 连续型r.v.的分布函数是连续函数.
F(x ) f(t)dt
x
2.概率密度 f(x)的性质:
25
标准正态分布的上分位点:
设X ~ N(0,1), 若z 满足条件
例1. 抛硬币试验中S {H,T}, 样本点H与T不是数量。
例2. 测试灯泡寿命试验, S={e}={t|t≥0},样本点本身 是数量。
定义 : 设随机试验E的样本空间是S,若 X : S R为单值实范数,则称X为随机变量 (random variable, 简记为r.v.) 。
2. 特例: (1,) 是参数为的指数分布. (=1) 3. 伽玛函数的性质: (i) (+1)= ();
1 (iii)( ) . 2
(ii) 对于正整数n, (n+1)=n!;
§5. 随机变量的函数的分布
一、 X为离散型r.v. 例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
(二) 贝努利试验
(二项分布)
定 义 : 设 试 验E只 有 两 个 可 能 结 果 A与 A , 且 P( A ) p ( 0 p 1), 将 试 验E独 立 重 复 地 进 行 n次 , 这 样 的 试 验 称 为 贝 努 利 试 验.
设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数, 则X 是一个随机变量, 于是
§4. 连续型随机变量及其概率密度
F(x) , 存在非负函 1.定义 : 对于r.v.X的分布函数 数f(x) , 使对于任意的实数 x, 有
则称X为连续型r.v.f(x)称为X概率密度函数, 简称概率密度. 连续型r.v.的分布函数是连续函数.
F(x ) f(t)dt
x
2.概率密度 f(x)的性质:
25
标准正态分布的上分位点:
设X ~ N(0,1), 若z 满足条件
《概率论与数理统计》课件-第2章随机变量及其分布 (1)
则称X服从参数为λ的泊松分布, 记为 X ~ P() .
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概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数, 原子放射的粒子数,保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
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概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义: 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)
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概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数, 原子放射的粒子数,保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
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概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义: 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)
概率论与数理统计课件第2章
X0
1
pk 03.5
0.25
4
625
0.0625
X的分布函数为
2 0.125
0
x0
0.5
0 x1
F
(
x)
0.75 0.875
1 x 2 2 x3
0.9375 3 x 4
Байду номын сангаас
1
x4
0.0
分布函数 是累计概率
例3 有人对随机变量X的分布列表述如下:
X -1
0 12 3
P
a 0.16
a2 2a 0.3
第2章 随机变量及其分布
2.1 随机变量及其分布函数 2.2 离散型随机变量及其分布律 2.3 几种常见的离散型分布 2.4 连续型随机变量及其密度函数 2.5 正态分布 2.6 随机变量函数及其分布
2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量 二、随机变量的分布函数
信息管理学院 徐晔
一、随机变量
例
包含出现1点
包含出现1,2点
包含出现1,2,3点
包含出现1,2,3,4 点 包含出现1,2,3,4,5 点包含出现1,2,3,4,5,6 点
分布函数的性质
F(x) P(X x), ( x )
(1) F x 在 , 上是一个不减函数 ,
即对 x1 , x2 , 且 x1 x2 ,都有 F x1 F x2 ;
样本点
1, 4, 5 2, 3, 4 2, 3, 5 2, 4, 5 3, 4, 5
黑球数 X
1 2 2 1 1
由上表可以看出,该随机试验的每一个结果都对应
着变量 X 的一个确定的取值,因此变量 X 是样本空
间Ω上的函数:
概率论与数理统计课件:随机变量及其分布
随机变量及其分布
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§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率,为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
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定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应,那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面,如,投掷一枚均匀骰子,我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数,可见X是变量;
又X取那个值不能事先确定,故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量,有关事件的表示也方便了,如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
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这样的例子还有很多. 又如,研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
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常见离散型随机变量
(一)“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值,它的分布律
为
k
P X k p(
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)
概率论与数理统计图文课件最新版-第2章-随机变量及其分布
一. 连续型随机变量的概率密度 1.定义 若对于随机变量 X 的分布函数,存在非负
函数 f ( x),使得对于任意实数 x 有:
x
F ( x) f (t)dt ( P( X x))
则称 X 为连续型变量,f ( x)为 X 的概率密度函数 注 ▲ 连续型随机变量与离散型随机变量的区别
离散型: P( X xk ) 0 连续型:P( X xk ) 0
机
多,而且还不能一 一列
变 连续型随机变量 量
举,而是充满一个区间
例如,“电视机的寿命”,实际中
常 遇到的“测量误差”等等.
概率统计
第二章知识结构图
随机变量
离散型随 机变量
连续型随 机变量
分布律
分布 函数
函数的 分布
概率 密度
分布 函数
函数的 分布
定义 常用分布
概率统计
定义 常用分布
第四节 连续型随机变量及其概率密度
0 x 0
则称 X 为服从参数 的指数分布.
概率统计
二 . 连续型随机变量的分布函数
定义: 若定义在 (, )上的可积函数 f ( x)
满足: (1). f ( x) 0
(2). f ( x)dx 1
f (x)确定了 分布函数F(x),
则称 F ( x)
x
f ( x)dx
f (x)是F(x)的 导函数, F(x)是f (x)的一
(2) 某段时间内候车室的旅客数目为 X , 则它也是一个随机变量,它可以取 0 及一切 自然数。X 是定义在样本空间,则:
S e {人数 人数 0}
X X (e)的值域RX [0, )
概率统计
二. 随机变量的分类 离散型随机变量
函数 f ( x),使得对于任意实数 x 有:
x
F ( x) f (t)dt ( P( X x))
则称 X 为连续型变量,f ( x)为 X 的概率密度函数 注 ▲ 连续型随机变量与离散型随机变量的区别
离散型: P( X xk ) 0 连续型:P( X xk ) 0
机
多,而且还不能一 一列
变 连续型随机变量 量
举,而是充满一个区间
例如,“电视机的寿命”,实际中
常 遇到的“测量误差”等等.
概率统计
第二章知识结构图
随机变量
离散型随 机变量
连续型随 机变量
分布律
分布 函数
函数的 分布
概率 密度
分布 函数
函数的 分布
定义 常用分布
概率统计
定义 常用分布
第四节 连续型随机变量及其概率密度
0 x 0
则称 X 为服从参数 的指数分布.
概率统计
二 . 连续型随机变量的分布函数
定义: 若定义在 (, )上的可积函数 f ( x)
满足: (1). f ( x) 0
(2). f ( x)dx 1
f (x)确定了 分布函数F(x),
则称 F ( x)
x
f ( x)dx
f (x)是F(x)的 导函数, F(x)是f (x)的一
(2) 某段时间内候车室的旅客数目为 X , 则它也是一个随机变量,它可以取 0 及一切 自然数。X 是定义在样本空间,则:
S e {人数 人数 0}
X X (e)的值域RX [0, )
概率统计
二. 随机变量的分类 离散型随机变量
《概率论与数理统计教程》课件
2-7
随机变量的分类
仅可能取得有限个或 可数无穷多个数值
离散型随机变量 随机变量 连续型随机变量
2-8
§2.2 离散随机变量
一. 概率分布
二. 概率函数及其性质 三. 几何分布 四. 频率分布表
2-9
概率分布
定义 随机变量X一切可能值为x1, x2, ... , xn, ... , 而取 得这些值的概率分别为p(x1), p(x2), ... , p(xn) , ... , 称为离散型随机变量的概率分布或分布律。 可以列出概率分布表如下:
1. 当一批产品总数 N很大,而抽取样品的个 数 n 远小于 N 时,可用二项分布来近似地 计算超几何分布的概率,即 m n m C M C N M M m m n m Cn p q , p n N CN
2. 实际应用中,当n/N10%时,不放回抽样(样品 中的次品数服从超几何分布)与放回抽样(样品 中的次品数服从二项分布)区别不大。
2 - 13
课堂练习
1. P{ X i } 2a i ,i 1,2 , , 求常数a. 2. 下面给出的数列能否成为某一随机变量的 分布列: 0.1,0.2,0.3,0.4.
3. 设随机变量X的概率分布为
X P 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 a
求:(1)a的值; (2)P(X≤1); (3)P(1≤X<3) 4. 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每 次击中目标的概率是0.6,求击中目标次数X的概 2 - 14 率分布.
P(X=n)=qn-1p, (n=1,2,...)
几何分布
2 - 15
频率分布表
频率分布表
X
f n ( xi )
x1
概率论与数理统计-第二章-随机变量及其分布函数ppt课件
表格: X
x1 x2
pk
p1 p2
概率分布图:
1P
xn
pn
0.5
x4 x3
x1
x2
X
.
由概率的性质易知离散型随机变量的分布列
pk
满足下列特征性质:
k 1
① pk 0(k 1,2,) [非负性]
②
pk 1 [规范性]用于确定待定参数
k 1
③ F( x) P( X x) P(X xi ). xi x
1. 2
.
【例2】设随机变量X的分布函数为
aex b, x 0
F(x)
0,
x0
解: 因为 F(x) 在 x=0 点右连续
求: 常数 a 和 b。
所以 lim F ( x) lim (ae x b) a b 0
x0
x0
又因为 F () lim (ae x b) b 1 x
1、两点分布 或(0 - 1)分布
two-point distribution
定义1 设离散型随机变量X的分布列为
X0 1 pk 1 p p
其中 0<p<1
则称 X 服从(0 - 1)分布,记作 X ~(0 - 1)分布
F(x)
(0 - 1)分布的分布函数
0 , x0 F ( x) 1 p, 0 x 1
X = “三次试验中 A 发生的次数”,
{ X 2} A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 P{X 2} P(A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 )
P(A1A2 A3 ) P(A1A2 A3 ) P(A1A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2 )P(A3 ) C32 p2(1 p)32
随机变量及其分布PPT课件
35
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2,求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8),
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时,二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次, 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得,
X的概率分布列是:
P{
X
k}C3k
(
依题意x可取值0第i个路口遇红灯i123路口3路口2路口118x表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口3路口2路口1路口3路口2路口1第i个路口遇红灯i123路口3路口2路口1第i个路口遇红灯i123某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务每出租一辆汽车可从出租公司得到3因代营业务每天加油站要多付给职工服务费60元
一般地,我们给出如下定义:
定义1 :Байду номын сангаасxk(k=1,2, …)是离散型随 机变量X所取的一切可能值,称
P(X xk ) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率分布列
简称分布列, 又称分布律.
其中 pk (k=1,2, …) 满足:
(1) pk 0,
用这两条性质判断
k=1,2, … 一个函数是否是
P( X k) a k , k =0,1,2, …, 0
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2,求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8),
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时,二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次, 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得,
X的概率分布列是:
P{
X
k}C3k
(
依题意x可取值0第i个路口遇红灯i123路口3路口2路口118x表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口3路口2路口1路口3路口2路口1第i个路口遇红灯i123路口3路口2路口1第i个路口遇红灯i123某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务每出租一辆汽车可从出租公司得到3因代营业务每天加油站要多付给职工服务费60元
一般地,我们给出如下定义:
定义1 :Байду номын сангаасxk(k=1,2, …)是离散型随 机变量X所取的一切可能值,称
P(X xk ) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率分布列
简称分布列, 又称分布律.
其中 pk (k=1,2, …) 满足:
(1) pk 0,
用这两条性质判断
k=1,2, … 一个函数是否是
P( X k) a k , k =0,1,2, …, 0
概率论第2章ppt课件
(5) P{恰好2.5分钟}
.
11
第2章 随机变量及其分布
解:
习题19
(1) P{至多3分钟} P { X 3 } F X (3 ) 1 e 0 .4 3 0 .69 (2) P{至少4分钟}
P { X 4 } 1 P { X 4 } 1 F X ( 4 ) e 0 .4 4 0 .20
同理 P{X2}5219 P{X3}4217
36 36
36 36
P{X4}3215 P{X5}2213
36 36
36 36
P{X 6} 1 36
.
3
第2章 随机变量及其分布
习题8
8. 甲乙两人投篮,投中的概率分别为0.6和0.7。今各投三次。求(1)两人投中次数 相等的概率;(2)甲比乙投中次数多的概率.
.
9
第2章 随机变量及其分布
习题16
16. 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设一辆汽车在一天的某段时间内 出事故的概率为0.0001. 在某天的该时间段内有1000量汽车通过。问出事故的车辆 数不小于2的概率是多少?(利用泊松定理计算)
解:令在该段时间内发生事故的车辆数目为X, 根据题意知:
0
20
22 4
令 y x2
AI1A1 4
I b3/2
.
15
第2章 随机变量及其分布
习题22(2)
22(2) 研究了英格兰在1875年~1951年期间,在矿山
发生导致不少于10人死亡的事故的频繁程度,得知
相继两次事故之间的时间T(日)服从指数分布,其
概率密度为
fT
(t)
1
et
241
, /241
(1) 解:从8杯酒中随机地挑选4杯,共有
随机变量及其分布复习课件.ppt
有
F(x) x f(t)dt,
则称X为连续型随机变量,其中f(x)称为X的概率 密度函数,简称概率密度。
(II)概率密度的性质
( 1 ) 非 负 性 : f( x ) 0 , x R .
(2)规 范 性 :f(x)dx1. 4
( 3 )对 于 任 意 实 数 a b, 有
P{aXb}abf(x)dx . F(b)F(a)
求这个区间的端点,分二种情形讨论之:
17
(1)区间的一个端点是无穷大,即已知P(X < x) = p1 或P(X > x) = p2,求x .
利用 或
然后反查标准正态分布表,即可求出x (2)区间关于μ对称,不妨设为(μ−a,μ+a),而 P(μ−a<X<μ+a) = p,求a
18
四.随机变量的函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布
几种重要的 离散型分布
均指 正 匀数 态 分分 分 布布 布
二项分布的 正态近似
二项分布的 泊松近似
二项 分布
泊几
松何
分分 布 布 21
例题选讲
例1 甲、乙、丙3人进行独立射击 每人的命中率依 次为03 04 06 设每人射击一次 试求3人命中总 数之概率分布律 分析 求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1) 写
23
例2 投掷一个均匀骰子n 次,求(1)恰好得到一个6点的概 率;(2)至少得到一个6点的概率;(3)为了以0.5的概率保 证至少得到一个6点,则至少要投掷几次?
所以至少要投掷4次.
24
例3 设 X 的分布律为 X 1012 1111 p 4444
求 Y X 2 的分布律 .
解 Y 的可能值为 (1)2, 02,12, 22; 即 0, 1, 4.
F(x) x f(t)dt,
则称X为连续型随机变量,其中f(x)称为X的概率 密度函数,简称概率密度。
(II)概率密度的性质
( 1 ) 非 负 性 : f( x ) 0 , x R .
(2)规 范 性 :f(x)dx1. 4
( 3 )对 于 任 意 实 数 a b, 有
P{aXb}abf(x)dx . F(b)F(a)
求这个区间的端点,分二种情形讨论之:
17
(1)区间的一个端点是无穷大,即已知P(X < x) = p1 或P(X > x) = p2,求x .
利用 或
然后反查标准正态分布表,即可求出x (2)区间关于μ对称,不妨设为(μ−a,μ+a),而 P(μ−a<X<μ+a) = p,求a
18
四.随机变量的函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布
几种重要的 离散型分布
均指 正 匀数 态 分分 分 布布 布
二项分布的 正态近似
二项分布的 泊松近似
二项 分布
泊几
松何
分分 布 布 21
例题选讲
例1 甲、乙、丙3人进行独立射击 每人的命中率依 次为03 04 06 设每人射击一次 试求3人命中总 数之概率分布律 分析 求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1) 写
23
例2 投掷一个均匀骰子n 次,求(1)恰好得到一个6点的概 率;(2)至少得到一个6点的概率;(3)为了以0.5的概率保 证至少得到一个6点,则至少要投掷几次?
所以至少要投掷4次.
24
例3 设 X 的分布律为 X 1012 1111 p 4444
求 Y X 2 的分布律 .
解 Y 的可能值为 (1)2, 02,12, 22; 即 0, 1, 4.
2.1随机变量及其分布(1,2)课件
(4) F ( x ) 至多有可数多个间断点, 且在其间断点处,
是右连续的, 即对任何实数 a 有 lim F x F (a )
x a
任一随机变量 的分布函数 都满足以上性质, 反之, 任一满足以上性质的函数, 都可作为某一 随机变量的分布函数.
X 服从离散均匀分布.
三、分布函数 离散型随机变量的特点是: 其取值范围是有限集
或可列集. 其概率分布可用列表法表示: X x1 , x2 , x3 , ..., xn , ... p p1 , p2 , p3 , ..., pn , ...
但有些随机变量是非离散的,它的取值可能是 某一
区间内的一切值.
x x
lim F x 1
(4) F ( x ) 至多有可数多个间断点, 且在其间断点处,
是右连续的, 即对任何实数 a 有 lim F x F (a ) 证(1)0 F ( x ) P{ X x } 1 (2) a b 时, X a
1 P{ X 2 } P{ X 4 } P{ X 6 } ... P{ X 2n } ...
p 2 p 4 p 6 ... p 2 n ... 1 p2 1 2 2 2 1 p p 2p 1 p 2
p2
若离散型 r , v . X 的概率分布为
X p x1 p1
A x2 xk
p2
pk
则对于集合 xn n 1,2,3,... 的任一子集 A, 事件
“ X 在 A 中取值” 即“X A ” 的概率为
P{ X A } pk
xk A
只有两种对立结果: 对于贝努利试验, “A发生” 与“A不发生” 设事件A发生的概率为 p ( 0 p 1 ) 则事件 A 发生的概率为 q 1 p 令X表示 一次贝努利试验中, A发生的次数, 即
是右连续的, 即对任何实数 a 有 lim F x F (a )
x a
任一随机变量 的分布函数 都满足以上性质, 反之, 任一满足以上性质的函数, 都可作为某一 随机变量的分布函数.
X 服从离散均匀分布.
三、分布函数 离散型随机变量的特点是: 其取值范围是有限集
或可列集. 其概率分布可用列表法表示: X x1 , x2 , x3 , ..., xn , ... p p1 , p2 , p3 , ..., pn , ...
但有些随机变量是非离散的,它的取值可能是 某一
区间内的一切值.
x x
lim F x 1
(4) F ( x ) 至多有可数多个间断点, 且在其间断点处,
是右连续的, 即对任何实数 a 有 lim F x F (a ) 证(1)0 F ( x ) P{ X x } 1 (2) a b 时, X a
1 P{ X 2 } P{ X 4 } P{ X 6 } ... P{ X 2n } ...
p 2 p 4 p 6 ... p 2 n ... 1 p2 1 2 2 2 1 p p 2p 1 p 2
p2
若离散型 r , v . X 的概率分布为
X p x1 p1
A x2 xk
p2
pk
则对于集合 xn n 1,2,3,... 的任一子集 A, 事件
“ X 在 A 中取值” 即“X A ” 的概率为
P{ X A } pk
xk A
只有两种对立结果: 对于贝努利试验, “A发生” 与“A不发生” 设事件A发生的概率为 p ( 0 p 1 ) 则事件 A 发生的概率为 q 1 p 令X表示 一次贝努利试验中, A发生的次数, 即
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2.10
2.1.3 离散随机变量的分布列
➢ 设离散随机变量 X 的可能取值为: x1,x2,……,xn,……
称 pi=P(X=xi), i =1, 2, …… 为 X 的分布列.
➢ 分布列也可用表格形式表示:
X x1 P p1
x2 …… xn …… p2 …… pn ……
2.11
分布列的基本性质 (1) pi 0, (非负性)
(2) pi 1. (正则性)
i
2.12
注 意 点 (1)
求离散随机变量的分布列应注意: (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率.
2.13
例2.1.1 从1~10这10个数字中随机取出5个数字,令
X:取出的5个数字中的最大值.
试求 X 的分布列.
解:X 的取值为5,6,7,8,9,10.
第二章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数学期望 §2.3 随机变量的方差与标准差 §2.4 常用离散分布 §2.5 常用连续分布 §2.6 随机变量函数的分布 §2.7 分布的其他特征数
2.1
§2.1 随机变量及其分布
(1) 掷一颗骰子, 出现的点数 X 1,2,…,6.
注意点
(1) 随机变量X()是样本点的函数, 其定义域为 ,其值域为R = (,) 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数, 则 {X=1.5} 是不可能事件.
(2) 若X为随机变量,则 {X = k} 、 {a < X b} 、……
均为随机事件. 即 {a < X b} ={;a < X() b }
2.16
例2.1.3
已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.
0,
F
(x)
0.4, 0.8,
1,
x0 0 x1 1 x2 2 x
解:
X0 1 2 P 0.4 0.4 0.2
2.17
2.1.4 连续随机变量的密度函数
➢ 连续随机变量X的可能取值充满某个区间 (a, b). ➢ 因为对连续随机变量X,有P(X=x)=0,
2.9
用分布函数表示事件的概率
对 任 意 实 数 a与 b,有 P (a X b) F (b) F (a), P ( X a ) F (a ) F (a 0), P ( X b ) 1 F (b 0), P ( X b ) 1 F (b), P (a X b) F (b 0) F (a), P (a X b) F (b) F (a 0), P (a X b) F (b 0) F (a 0).
2.19
密度函数的基本性质
(1) p(x) 0; (非负性)
(2)
p(
x)dx
1.
(正则性)
满足(1) (2)的函数都可以看成某个 连续随机变量的概率密度函数.
2.20
注意点(1)
(1) P(a X b) b p( x)dx. a
(2) F(x) 是 (∞, +∞) 上的连续函数; (3) P(X=x) = F(x)F(x0) = 0;
2.21
注意点(2)
(4) P{a<X≤b} = P{a<X<b} = P{a≤X<b} = P{a≤X≤b} = F(b)F(a).
(5) 当F(x) 在x点可导时, p(x) = F (x)
当F(x) 在x点不可导时, 可令p(x) =0.
2.22
离散型
连续型
1. 分布列: pn = P(X=xn) ( 唯一 )
➢ 前例中的 X, Y, Z 为离散随机变量; 而 T 为连续随机变量.
2.8
2.1.2 随机变量的分布函数
定义2.1.2 设X为一个随机变量,对任意实数 x,
称 F(x)=P( X x) 为 X 的分布函数.
基本性质:
(1) F(x) 单调不降; (2) 有界:0F(x)1,F()=0,F(+)=1; (3) 右连续.
2.5
注意点
(3) 注意以下一些表达式: {X = k}= {X k}{X < k}; {a < X b} = {X b}{X a}; { X > b} = {X b}.
(4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量.
2.6
实例
掷一枚骰子,令X ={出现的点数},则X 就是一个随机 变量,它的取值为1,2,3,4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5,6.
1. 密度函数 X ~ p(x) ( 不唯一 )
2. F(x) = P( X xi )
PX k C k 4 1C 1 5 0 k 5 , 6 , , 1 0
具体写出,即可得 X 的分布列:
X 5 6 7 8 9 10
P1
5
15 35 70 126
252 252 252 252 252 252
2020/10/28
14
2.14
例2.1.2 已知 X 的分布列如下:
X0 1 2 P 1/3 1/6 1/2
求X 的分布函数并画图.
解: 0, x0
F
(
x)
1/ 1/
3, 2,
0 x1 1 x2
1, 2 x
2.15
注 意 点 (2)
对离散随机变量的分布函数应注意: (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.
(2) n个产品中的不合格品个数 Y 0,1,2,…,n
(3) 某商场一天内来的顾客数 Z 0,1,2,…
(4) 某种型号电视机的寿命 T : [0, +)
2.2
精品资料
2.1.1 随机变量的定义
定义2.1.1 设 ={}为某随机现象的样本空间, 称定义在上的实值函数X=X()为随机变量.
2.4
我们还可以定义其它的随机变量,例如可以定义:
1 出现偶数点 Y 0 出现奇数点
Z
1 0
点数为6 点数不为6
等等.
2020/10/28
7
2.7
两类随机变量
➢ 若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或 可列个,则称 X 为离散随机变量.
➢ 若随机变量 X 的可能取值充满某个区间 [a, b],则称 X 为连续随机变量.
所以无法仿离散随机变量用 P(X=x) 来描述连续 随机变量X的分布.
➢ 注意离散随机变量与连续随机变量的差别.
2.18
定义2.1.4
设随机变量X 的分布函数为F(x),
若存在非负可积函数 p(x) ,满足:
F
(
x
)
x
p
(t
)dt
则称 X 为连续随机变量,
称 p(x)为概率密度函数,简称密度函数.
2.1.3 离散随机变量的分布列
➢ 设离散随机变量 X 的可能取值为: x1,x2,……,xn,……
称 pi=P(X=xi), i =1, 2, …… 为 X 的分布列.
➢ 分布列也可用表格形式表示:
X x1 P p1
x2 …… xn …… p2 …… pn ……
2.11
分布列的基本性质 (1) pi 0, (非负性)
(2) pi 1. (正则性)
i
2.12
注 意 点 (1)
求离散随机变量的分布列应注意: (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率.
2.13
例2.1.1 从1~10这10个数字中随机取出5个数字,令
X:取出的5个数字中的最大值.
试求 X 的分布列.
解:X 的取值为5,6,7,8,9,10.
第二章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数学期望 §2.3 随机变量的方差与标准差 §2.4 常用离散分布 §2.5 常用连续分布 §2.6 随机变量函数的分布 §2.7 分布的其他特征数
2.1
§2.1 随机变量及其分布
(1) 掷一颗骰子, 出现的点数 X 1,2,…,6.
注意点
(1) 随机变量X()是样本点的函数, 其定义域为 ,其值域为R = (,) 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数, 则 {X=1.5} 是不可能事件.
(2) 若X为随机变量,则 {X = k} 、 {a < X b} 、……
均为随机事件. 即 {a < X b} ={;a < X() b }
2.16
例2.1.3
已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.
0,
F
(x)
0.4, 0.8,
1,
x0 0 x1 1 x2 2 x
解:
X0 1 2 P 0.4 0.4 0.2
2.17
2.1.4 连续随机变量的密度函数
➢ 连续随机变量X的可能取值充满某个区间 (a, b). ➢ 因为对连续随机变量X,有P(X=x)=0,
2.9
用分布函数表示事件的概率
对 任 意 实 数 a与 b,有 P (a X b) F (b) F (a), P ( X a ) F (a ) F (a 0), P ( X b ) 1 F (b 0), P ( X b ) 1 F (b), P (a X b) F (b 0) F (a), P (a X b) F (b) F (a 0), P (a X b) F (b 0) F (a 0).
2.19
密度函数的基本性质
(1) p(x) 0; (非负性)
(2)
p(
x)dx
1.
(正则性)
满足(1) (2)的函数都可以看成某个 连续随机变量的概率密度函数.
2.20
注意点(1)
(1) P(a X b) b p( x)dx. a
(2) F(x) 是 (∞, +∞) 上的连续函数; (3) P(X=x) = F(x)F(x0) = 0;
2.21
注意点(2)
(4) P{a<X≤b} = P{a<X<b} = P{a≤X<b} = P{a≤X≤b} = F(b)F(a).
(5) 当F(x) 在x点可导时, p(x) = F (x)
当F(x) 在x点不可导时, 可令p(x) =0.
2.22
离散型
连续型
1. 分布列: pn = P(X=xn) ( 唯一 )
➢ 前例中的 X, Y, Z 为离散随机变量; 而 T 为连续随机变量.
2.8
2.1.2 随机变量的分布函数
定义2.1.2 设X为一个随机变量,对任意实数 x,
称 F(x)=P( X x) 为 X 的分布函数.
基本性质:
(1) F(x) 单调不降; (2) 有界:0F(x)1,F()=0,F(+)=1; (3) 右连续.
2.5
注意点
(3) 注意以下一些表达式: {X = k}= {X k}{X < k}; {a < X b} = {X b}{X a}; { X > b} = {X b}.
(4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量.
2.6
实例
掷一枚骰子,令X ={出现的点数},则X 就是一个随机 变量,它的取值为1,2,3,4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5,6.
1. 密度函数 X ~ p(x) ( 不唯一 )
2. F(x) = P( X xi )
PX k C k 4 1C 1 5 0 k 5 , 6 , , 1 0
具体写出,即可得 X 的分布列:
X 5 6 7 8 9 10
P1
5
15 35 70 126
252 252 252 252 252 252
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2.14
例2.1.2 已知 X 的分布列如下:
X0 1 2 P 1/3 1/6 1/2
求X 的分布函数并画图.
解: 0, x0
F
(
x)
1/ 1/
3, 2,
0 x1 1 x2
1, 2 x
2.15
注 意 点 (2)
对离散随机变量的分布函数应注意: (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.
(2) n个产品中的不合格品个数 Y 0,1,2,…,n
(3) 某商场一天内来的顾客数 Z 0,1,2,…
(4) 某种型号电视机的寿命 T : [0, +)
2.2
精品资料
2.1.1 随机变量的定义
定义2.1.1 设 ={}为某随机现象的样本空间, 称定义在上的实值函数X=X()为随机变量.
2.4
我们还可以定义其它的随机变量,例如可以定义:
1 出现偶数点 Y 0 出现奇数点
Z
1 0
点数为6 点数不为6
等等.
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2.7
两类随机变量
➢ 若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或 可列个,则称 X 为离散随机变量.
➢ 若随机变量 X 的可能取值充满某个区间 [a, b],则称 X 为连续随机变量.
所以无法仿离散随机变量用 P(X=x) 来描述连续 随机变量X的分布.
➢ 注意离散随机变量与连续随机变量的差别.
2.18
定义2.1.4
设随机变量X 的分布函数为F(x),
若存在非负可积函数 p(x) ,满足:
F
(
x
)
x
p
(t
)dt
则称 X 为连续随机变量,
称 p(x)为概率密度函数,简称密度函数.