正方体与正面体

近年来，无论是高考，还是全国竞赛，涉及空间结构的试题日趋增多，成为目前的热点之一。

本文将从最简单的五种空间正多面体开始，与大家一同探讨中学化学竞赛中与空间结构有关的内容。

第一节 正方体与正四面体
在小学里，我们就已经系统地学习了正方体，正方体（立方体或正六面体）有六个完全相同的正方形面，八个顶点和十二条棱，每八个完全相同的正方体可构成一个大正方体。

正四面体是我们在高中立体几何中学习的，它有四个完全相同的正三角形面，四个顶点和六条棱。

那么正方体和正四面体间是否有内在的联系呢？请先让我们看下面一个例题吧：
【例题1】常见有机分子甲烷的结构是正四面体型的，请计算分子中碳氢键的键角（用反三角函数表示）
【分析】在化学中不少分子是正四面体型的，如CH 4、CCl 4、NH 4＋、 SO 42－……
它们的键角都是109º28’，那么这个值是否能计算出来呢？
如果从数学的角度来看，这是一个并不太难的立体几何题，首先我们把它抽象成一个立体几何图形（如图1-1所示），取CD 中点E ，截取面ABE
（如图1-2所示），过A 、B 做AF ⊥BE ，BG ⊥AE ，AF 交
BG 于O ，那么 ∠AOB 就是所求的键角。

我们只要找
出AO （=BO ）与AB 的关系，再用余弦定理，就能圆满地解决例题1。

当然找出AO 和AB
的关系还是有一定难度的。

先把该题放下，来看一题初中化学竞赛题：
【例题
2】CH 4分子在空间呈四面体形状，1个C 原子与4
个H 原子各共用一对电子对形成4条共价键，如图
1-3所示为一
个正方体，已画出1个C 原子(在正方体中心)、1个H 原子(在正
方体顶点)和1条共价键(实线表示)，请画出另3个H 原子的合适
位置和3条共价键，任意两条共价键夹角的余弦值为
①
【分析】由于碳原子在正方体中心，一个氢原子在顶点，因
为碳氢键是等长的，那么另三个氢原子也应在正方体的顶点上，
正方体余下的七个顶点可分成三类，三个为棱的对侧，三个为面
对角线的对侧，一个为体对角线的对侧。

显然三个在面对角线对
侧上的顶点为另三个氢原子的位置。

【解答】答案如图1-4所示。

【小结】从例题2中我们发现：在正四面体中八个顶点中不
相邻的四个顶点（不共棱）可构成一个正四面体，正四面体的棱
长即为正方体的棱长的2倍，它们的中心是互相重合的。

【分析】回到例题1，将正四面体ABCD 放入正方体中考虑，设正方体的边长为1，则AB 为面对角线长，即2，AO 为体对角线长的一半，即3/2，
图1-1 图1-2 图1-3 图1-4
由余弦定理得cos α＝(AO 2＋BO 2－AB 2)/2AO ·BO ＝－1/3
【解答】甲烷的键角应为 π－arccos1/3
【练习1】已知正四面体的棱长为2，计算它的体积。

【讨论】利用我们上面讲的思想方法，构造一个正方体，那么正四面体就相当于正方体削去四个正三棱锥（侧面为等腰直角三角形），V 正四面体＝a 3－4×(1/6)×a 3。

若四面体相对棱的棱长分别相等，为a 、b 、c ，求其体积。

我们也只需构造一个长方体，问题就迎刃而解了。

【练习2】平面直角坐标系上有三个点（a 1，b 1）、（a 2，b 2）、（a 3，b 3）求这三个点围成的三角形的面积。

【讨论】通过上面的构造思想，你能构造何种图形来解决呢？是矩形吧！怎样表达面积呢？你认为下面的表达式是否写得有道理？
S △＝（max{a 1，a 2，a 3}－min{a 1，a 2，a 3}）×（max{b 1，b 2，b 3}－min{b 1，b 2，b 3}）－2
1（21a a -21b b -＋32a a -32b b -＋13a a -13b b -） 【练习3】在正四面体中体心到顶点的距离是到底面距离的几倍，能否用物理知识去理解与解释这一问题呢？
【讨论】利用物理中力的正交分解来解决这一问题，在平面正三角形中，从中心向顶点构造三个大小相等，夹角为120º的力F 1、F 2、F 3。

设F 1在x 轴正向，F 2、F 3进行正交分解在x 、y 轴上，在x 轴上的每一个分力与F 1相比就相当于中心到底面与到顶点距离之比，而两个分力之和正好与F 1抵消，即大小相等。

显然中心到顶点距离应为到底边距离的2倍。

在空间，构造四个力F i （i ＝1，2，3，4），F 1在x 轴正向（作用点与坐标原点重合），F 2、F 3、F 4分解在与x 轴与yz 面上，yz 面上三个力正好构成正三角形，而在x 轴（负向）上有三个分力，其之和与F 1抵消，想想本题答案应为3吗？当然这个问题用体积知识也是易解决的。

让我们再回到正题，从上面的例题1，2中，我们了解了正四面体与正方体的关系，虽然这是一个很浅显易懂的结论，但我们还是应该深刻理解和灵活应用，帮助我们解决一些复杂的问题。

先请再来看一个例题吧：
【例题3】SiC 是原子晶体，其结构类似金刚石，为C 、Si 两原子依次相间排列的正四面体型空间网状结构。

如图1-5所示为两个中心重合，各面分别平行的大小两个正方体，其中心为一Si 原子，试在小正方体的顶点上画出与该Si 最近的C 的位置，在大正方体的棱上画出与该Si 最近的Si 的位置。

两大小正方体的边长之比为_______；Si —C —Si 的键角为______(用反三角函数表示)；若Si —C 键长为 a cm ，则大正方体边长为_______cm ；SiC 晶体的密度为________g/cm 3。

（N A 为阿佛加德罗常数，相对原子质量 C.12 Si.28）②
【分析】正方体中心已给出了一个Si 原子，那么与Si 相邻的四个C 原子则在小正方体不相邻的四个顶点上，那么在大正方体上应画几个Si 原子呢？我们知道每个碳原子也应连四个硅原子，而其中一个
必为中心的硅原子，另外还剩下4×3＝12个硅原子，这12个点应落在大正方体上。

那么这12个又在大正方体的何处呢？
前文介绍正方体时曾说正方体有12条棱，是否每一条棱上各有一个碳原子？利用对称性原则，这12个硅原子就应落在各棱的中点。

让我们来验证一下假设吧。

过大正方体的各棱中心作截面，将大正方体分割成八个小正方体，各棱中点、各面心、顶点、中心构成分割后正方体的顶点。

原来中心的硅原子就在分割后八个正方体的顶点上了，由于与一个碳原子相邻的四个硅原子是构成一个正四面体的。

利用例2的结论，分割后的正方体上另三个硅原子的位置恰为原来大正方体的棱心（好好想一想）。

那么碳原子又在分割后的正方体的哪里呢，毫无疑问，在中心。

那么是否每个分割后的正方体的中心都有碳原子呢？这是不可能的，因为只有四个碳原子，它们应该占据在不相邻的四个正方体的中心。

碳原子占据四个硅原子构成的最小正四面体空隙的几率为1/2，那么反过来碳原子占据碳原子四面体空隙的几率又是多少呢？也1/2吧，因为在空间，碳硅两原子是完全等价的，全部互换它们的位置，晶体是无变化的。

我们可以把大正方体看成SiC 晶体的一个基本重复单位，那么小正方体（或分割后的小正方体）能否看成一个基本重复单位呢？这是不行的，因为有的小正方体中心是有原子的，而有些是没有的。

大小两个正方体的边长应是2:1吧，至于键角也就不必再说了。

最后还有一个密度问题，我们将留在第二节中去分析讨论。

【解答】如图1-6所示（碳原子在小正方体不相邻的四个顶点上，硅原子在大正方体的十二条棱的中点上） 2:1 arcos (－1/3) 43/3 153/2N A a 3
【练习4】金刚石晶体是正四面体型的空间网状结构，课本上的金刚石结构图我们很难理解各原子的空间关系，请用我们刚学的知识将金刚石结构模型化。

【练习5】在例题3中，如果在正方体中心不画出Si 原子，而在小正方体和大正方体上依旧是分别画上C 原子和Si 原子，应该怎么画呢？
【讨论】还是根据例题3 的分析，在例题3中，将大正方体分割成小正方体后，我们所取的四个点在大正方体上是棱心和体心，那么我们是否可以取另外四个点呢？它们在大正方体中又在何位置呢？与原来的位置（棱心＋体心）有什么关系呢？
【练习参考答案】
1．331
a ；))()((6
1222222222b a c a c b c b a -+-+-+ 2．该表达式是正确的； 3．3倍
4．只需将例题3中将Si 原子变成C 原子，就是我们所需
的金刚石结构模型，大正方体就是金刚石的晶胞（下文再详述）。

5．可以取另外四个点，C 原子的位置无变化，Si 原子在大
正方体的面心和顶点上（这不就是山锌矿的晶胞吗？下文再详述）；与原来的位置正好相差了半个单位，即只需将原来的大正
方体用一水平面分成两等份，将下面部分平移到上面一部分的上面接上即可。

图1-6
本文不着重探讨其中涉及纯理论的内容，大家可参考相应的竞赛书籍和大学教材。