向量的直角坐标运算.ppt
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课件2：3.1.4空间向量的直角坐标运算
研一研·问题探究、课堂更高效
小结 已知两个向量的坐标，证明这两个向量平行或垂 直，就是根据 a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，c∥d⇔c ＝xd⇔c1＝xd1，c2＝xd2，c3＝xd3 (x∈R，x≠0)来证明．
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 2 将本例中“若向量 ka＋b 与 ka－2b 互相垂
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3．若 ABCD 为平行四边形，且 A(4,1,3)，B(2，－5,1)，
C(－3,7，－5)，则顶点 D 的坐标为
(D )
A．72，4，－1
B．(2,3,1)
C．(－3,1,5)
研一研·问题探究、课堂更高效
例 2 已知空间三点 A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设 a ＝A→B，b＝A→C.若向量 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k 的值．
解 a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)， b＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)， ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)， ∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8， 即 2k2＋k－10＝0，∴k＝－52或 k＝2.
＝(2,1,2)－λ(1,1,2)＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
研一研·问题探究、课堂更高效
则Q→A·Q→B＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ) ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ) ＝6λ2－16λ＋10， ∴当 λ＝43时，Q→A·Q→B取得最小值． 又O→Q＝λO→P＝43(1,1,2)＝43，43，83. 所以，所求点 Q 的坐标为43，43，83.
空间向量的直角坐标运算ppt课件
r a(a1,a2,a3)
za
a3k
a1i
a2j
k
y
ij
.x
复习二：平面向量的坐标运算
若
a (x1,y1)
b(x2,y2)
则
ab(x1x2,y1y2)
aab((xx 11 , y x1 2),y 1 ( y2 R ))
abx1x2y1y2
若 A(x1, y1) B(x2,y2) 则 AB x 2 x 1 ,y 2 y 1
(2)若 a b ,求 x,y满足的 。 条件
.
例2：A(0,1,1),B(1,2,1),C(1,1,2)求
(1)AB,AC
(2)AC在AB上正投影的数量
z
C
o
B
y
D A
x
.
探索与研究
若 1 中 a ( 例 a 1 , a 2 的 , a 3 ) b , ( b 1 , b 2 , b 3 ), 求一向 a,b量 都与 垂直。
AB (x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 )
.
复习三：
平面向量平行和垂直的条件
若
a (x1,y1)
b(x2,y2)
a //b (b 0 ) a b (R)
x1y2x2y10
a b ab0
x1x2y1y20
.
类比三：空间向量平行和垂直的条件
r
r
若 a(a1,a2,a3) b(b1,b2,b3)
a //b (b 0 ) a b2
a 3 b3
当b与三个坐标平面 行都 时不平
a a / /b (b b 0 ) a b ab110ab22
a3 b3
rr
a b a 1 b 1 a 2 .b 2 a 3 b 3 0
课件9：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
()
A.12a－32b
B.－12a＋32b
C.32a－12b
D.－32a＋12b
(2)已知点 P，A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)是一个平行四边形的四
个顶点，则点 P 的坐标为________．
【解析】 (1)设 c＝xa＋yb，x，y∈R， ∴(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)，∴xx＋－yy＝＝－2，1， 解得 x＝12，y＝－32，∴c＝12a－32b，故选 A.
自我尝试 题型一 平面向量的坐标表示 例 1 在直角坐标系 xOy 中，a，b 如图所示，分别求出 a，b 的坐标．
【分析】 本题主要考查向量的正交分解，把它们分解成横、 纵坐标的形式．
【解】 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 则 a1＝|a|cos45°＝4× 22＝2 2，a2＝|a|sin45°＝4× 22＝2 2.
b 向量相对于 x 轴正方向的转角为 120°. ∴b1＝|b|cos120°＝3×－12＝－32， b2＝|b|sin120°＝3× 23＝323.∴a＝(2 2，2 2)，b＝－32，323.
【知识点拨】 (1)向量的坐标就是向量在 x 轴和 y 轴上的分量，而与向量的位 置无关，如图所示，A→B的坐标为(B2－A2，B1－A1)．
即 xy＋ －21＝ ＝1212
(x－1) (y－4)
， ，
解得xy＝＝－－52，， 即 C(－5，－2)．又 E 在 DC 延长线上， ∴C→E＝14D→E，设 E(a，b)，则(a＋5，b＋2)＝14(a－4，b＋3)， 解之得 a＝－8，b＝－53.
∴E－8，－53. 答案：－8，－53
5．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设A→B＝a，B→C＝b， C→A＝c 且 a＝mb＋nc，求 m－n 的值． 解：A→B＝(5，－5)，B→C＝(－6，－3)，C→A＝(1,8)， 由 a＝mb＋nc， 得(5，－5)＝m(－6，－3)＋n(1,8)， ∴－－63mm＋＋n8＝n＝5，－5， 解得mn＝＝－－11.， ∴m－n＝－1＋1＝0.
原创2：3.1.4 空间向量的直角坐标运算
解：以C为原点建立空间直角坐标系．
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．∴||＝ 3，
∴BN的长为 3.
(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
变式训练
∴ BA1＝(1，－1,2)， CB1＝(0,1,2)，
∴ BA1 ·CB1＝3.
原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有
序实数组{x，y，z}，使得p＝
xԦi＋yԦj＋zkԦ
.把 x，y，z 称作向
量p在单位正交基底Ԧi，Ԧj，k 下的坐标，记作 p＝(x，y，z) .
走进教材
2．空间向量运算的坐标表示
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
Ԧ ∙
cos<a，b>
Ԧ ||
走进教材
3.空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝ (a2－a1，b2－b1，c2－c1) ；
(2)d AB＝||＝
(a2−a1)2 +(b2−b1)2 +(c2−c1)2
.
(1)设|Ԧc|＝3，Ԧc∥BC，求Ԧc；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
【解析】
(1)∵BC＝(－2，－1,2)，且Ԧc∥BC，∴设Ԧc＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ).
∴|Ԧc|＝ (－2λ)2 +(－λ)2 +(2λ)2 ＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.
∴Ԧc＝(－2，－1,2)或Ԧc＝(2,1，－2).
＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1
∴(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．∴||＝ 3，
∴BN的长为 3.
(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
变式训练
∴ BA1＝(1，－1,2)， CB1＝(0,1,2)，
∴ BA1 ·CB1＝3.
原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有
序实数组{x，y，z}，使得p＝
xԦi＋yԦj＋zkԦ
.把 x，y，z 称作向
量p在单位正交基底Ԧi，Ԧj，k 下的坐标，记作 p＝(x，y，z) .
走进教材
2．空间向量运算的坐标表示
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
Ԧ ∙
cos<a，b>
Ԧ ||
走进教材
3.空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝ (a2－a1，b2－b1，c2－c1) ；
(2)d AB＝||＝
(a2−a1)2 +(b2−b1)2 +(c2−c1)2
.
(1)设|Ԧc|＝3，Ԧc∥BC，求Ԧc；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
【解析】
(1)∵BC＝(－2，－1,2)，且Ԧc∥BC，∴设Ԧc＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ).
∴|Ԧc|＝ (－2λ)2 +(－λ)2 +(2λ)2 ＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.
∴Ԧc＝(－2，－1,2)或Ԧc＝(2,1，－2).
＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1
∴(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)
高等数学向量及其运算PPT课件.ppt
例如, a、r、v、F 或a 、r 、v 、F .
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
空间向量运算的坐标表示ppt课件
我们已经学过平面向量运算的坐标表示：
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
课件5：3.1.4空间向量的直角坐标运算
|b|＝_____________________________，
a1b1＋a2b2＋a3b3
a·b
2
2
2
2
2
2
cos<a，b>＝
＝_________________________.
a
＋a
＋a
b
＋b
＋b
1
2
3
1
2
3
|a||b|
设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
2
2
2
→
x
－x
求：
（1）< ，>（精确到0.1°）；
（2） 在上正投影的数量（精确到0.01）.
解：（1）由点A，B，C的坐标可得
=（-1,2,0），=（1,1,3）
||= 5 ， ||= 11 ，
||·||= -1×1+2×1+0×3=1，
因此cos< ，>=
AB·AC
5．已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，
求向量n使n⊥a，且n⊥b.
解
设 n＝(x，y，z)，
则 n·a＝(x，y，z)·(－2,2,0)＝－2x＋2y＝0，
n·b＝(x，y，z)·(－2,0,2)＝－2x＋2z＝0.
－2x＋2y＝0，
解方程组
可得 y＝x，z＝x.
－2x＋2z＝0，
＋y
－y
＋z
－z
2
1
2
1
2
1
|AB|＝________________________________.
名师点拨：(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形
a1b1＋a2b2＋a3b3
a·b
2
2
2
2
2
2
cos<a，b>＝
＝_________________________.
a
＋a
＋a
b
＋b
＋b
1
2
3
1
2
3
|a||b|
设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
2
2
2
→
x
－x
求：
（1）< ，>（精确到0.1°）；
（2） 在上正投影的数量（精确到0.01）.
解：（1）由点A，B，C的坐标可得
=（-1,2,0），=（1,1,3）
||= 5 ， ||= 11 ，
||·||= -1×1+2×1+0×3=1，
因此cos< ，>=
AB·AC
5．已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，
求向量n使n⊥a，且n⊥b.
解
设 n＝(x，y，z)，
则 n·a＝(x，y，z)·(－2,2,0)＝－2x＋2y＝0，
n·b＝(x，y，z)·(－2,0,2)＝－2x＋2z＝0.
－2x＋2y＝0，
解方程组
可得 y＝x，z＝x.
－2x＋2z＝0，
＋y
－y
＋z
－z
2
1
2
1
2
1
|AB|＝________________________________.
名师点拨：(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形
向量的直角坐标运算(共24张PPT)
A.(4,1) B.(-4,2)C.(-2,2) D.(-4,4)
【答案】C
)
4.点(5,5)到原点的距离是
(
A.0
B.5
C.2
【答案】D
)
D.5
5.若a=(1,0),b=(1,2),且ma+nb=(3,2),则m,n的值是(
A.m=2,n=1
B.m=2,n=-1
C.m=-2,n=1
D.m=-2,n=-1
(3)若 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a·b=a1b1+a2b2
4.向量长度坐标运算
(1)若 a=(a1,a2),则|a|= +
→
(2)若 A(x1,y1)、B(x2,y2),则||= ( − ) + ( − )
→
【说明】 ||也叫做 A、B 两点的距离,记为 dA、B,上式也叫两点距离
(0,0)或(10,0)
(1)在直角坐标系中,求作a,b;(2)求3a-4b;(3)若2a+x=b,求x.
m=-2,n=1
D.
→ →
掌握向量的直角坐标运算.
(8,9)或(10,0)
若a=(1,0),b=(1,2),且ma+nb=(3,2),则m,n的值是(
(-2,0)或(8,0)
D.
)
已知点A(2,4),经平移向量a后,坐标变为A'(3,3),则向量a的坐标是
【答案】C
→
8.已知点 A(-2,0),B(1,5)和向量 a=(x,2),且∥a,则 x=(
A.
【答案】B
B.
C.
D.
)
9.若x轴上一点A与点B(3,12)的距离等于13,则点A的坐标是
【答案】C
)
4.点(5,5)到原点的距离是
(
A.0
B.5
C.2
【答案】D
)
D.5
5.若a=(1,0),b=(1,2),且ma+nb=(3,2),则m,n的值是(
A.m=2,n=1
B.m=2,n=-1
C.m=-2,n=1
D.m=-2,n=-1
(3)若 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a·b=a1b1+a2b2
4.向量长度坐标运算
(1)若 a=(a1,a2),则|a|= +
→
(2)若 A(x1,y1)、B(x2,y2),则||= ( − ) + ( − )
→
【说明】 ||也叫做 A、B 两点的距离,记为 dA、B,上式也叫两点距离
(0,0)或(10,0)
(1)在直角坐标系中,求作a,b;(2)求3a-4b;(3)若2a+x=b,求x.
m=-2,n=1
D.
→ →
掌握向量的直角坐标运算.
(8,9)或(10,0)
若a=(1,0),b=(1,2),且ma+nb=(3,2),则m,n的值是(
(-2,0)或(8,0)
D.
)
已知点A(2,4),经平移向量a后,坐标变为A'(3,3),则向量a的坐标是
【答案】C
→
8.已知点 A(-2,0),B(1,5)和向量 a=(x,2),且∥a,则 x=(
A.
【答案】B
B.
C.
D.
)
9.若x轴上一点A与点B(3,12)的距离等于13,则点A的坐标是
空间向量的直角坐标运算.ppt
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
2. 夹角公式
cos a,b a b
a1b1 a2b2 a3b3
;
| a || b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
利用向量的坐标表示求夹角和距离
x
平面向量的坐标表示： a =( a1 , a2 )
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去始点的坐标．
(a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 )
(a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 )
(a1,a2,a3),( R)
a1b1 a2b2 a3b3
利用空间直角坐标系解立体几何中的题，需首 先建立空间直角坐标系，选取图中有公共起点 且互相垂直的三条线段所在直线为坐标轴；再 利用公式解决夹角、模等问题．
例3 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1 所成的角的余弦值。
z
解：设正方体的棱长为1，如图建
a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 ( R) a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2
a1b1 a2b2 a3b3 0
二、距离与夹角
1.距离公式 | a |2 a a a12 a22 a32
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
E1 B1
B(1,1, 0)
,
E1 1,
课件1：3.1.4空间向量的直角坐标运算
4．几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直 线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、 夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．
1．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c
－a)·(2b)＝－2，则x的值为( )
A．2
B．－2
C．0
D．1
图3－1－33
1．e1，e2，e3共面吗？
【提示】 不共面． 2．试用e1，e2，e3表示A→B1. 【提示】 A→B1＝4e1＋4e2＋4e3. 3．若M为A1B1的中点，能否用e1＝4e1＋2e2＋4e3.
1．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正 方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间 向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做 单位正交基底 ．单位 向量i，j，k都叫做 坐标向量 ．
所以 c＝(－2，－1,2)或 c＝(2,1，－2)．
(2)由题意可知，a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以 ka＋b＝(k －1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，又(ka＋b)⊥(ka－2b)，所 以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，所以(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝k2＋k －2＋k2－8＝0，即 2k2＋k－10＝0，所以 k＝2 或 k＝－52.
1．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有 向线段的终点坐标减去起点坐标．
2．空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再 进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算 括号外．
已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，－2,3)，B(2,1，－
1)，C(－1,0,3)，求点D的坐标(O为坐标原点)，使(1)
高中数学(新人教A版)选择性必修一：空间向量运算的坐标表示【精品课件】
3m-n= (5,-11,19)
,(2m)·(-3n)= 168
,
.
解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),
(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.
2
2.已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=
(a-b)=a2-b2.
2.解决空间中的
平行、垂直问题
例 2 已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设 a=,b= .
(1)若|c|=3,c∥ ,求 c;
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
思路分析(1)根据 c∥,设 c=λ,则向量 c 的坐标可用 λ 表示,再利用|c|=3 求 λ 值;
(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.
解:(1)∵ =(-2,-1,2)且 c∥ ,
∴设 c=λ =(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).
∴|c|= (-2)2 + (-)2 + (2)2 =3|λ|=3,解得 λ=±1.
∴c=(-2,-1,2)或 c=(2,1,-2).
空间向量运算的坐标表示
目
录
01空间向量的坐标运算
02解决空间中的平行、垂直问题
03向量夹角与长度的计算
04利用空间向量解决探索性问题
学习目标
1．会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问
题．(数学运算)
2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量
是否共线或垂直．(逻辑推理、数学运算)
,(2m)·(-3n)= 168
,
.
解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),
(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.
2
2.已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=
(a-b)=a2-b2.
2.解决空间中的
平行、垂直问题
例 2 已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设 a=,b= .
(1)若|c|=3,c∥ ,求 c;
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
思路分析(1)根据 c∥,设 c=λ,则向量 c 的坐标可用 λ 表示,再利用|c|=3 求 λ 值;
(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.
解:(1)∵ =(-2,-1,2)且 c∥ ,
∴设 c=λ =(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).
∴|c|= (-2)2 + (-)2 + (2)2 =3|λ|=3,解得 λ=±1.
∴c=(-2,-1,2)或 c=(2,1,-2).
空间向量运算的坐标表示
目
录
01空间向量的坐标运算
02解决空间中的平行、垂直问题
03向量夹角与长度的计算
04利用空间向量解决探索性问题
学习目标
1．会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问
题．(数学运算)
2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量
是否共线或垂直．(逻辑推理、数学运算)
立体几何空间直角坐标系空间向量及其运算课件理ppt
详细描述
空间向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影，通常用平行四边形法则来计算。而分解则是将一个复杂 向量分解为几个简单向量的组合。
空间向量在几何学中的运用
总结词
空间向量在几何学中有着广泛的应用，如 证明平行、垂直、计算角度和距离等。
VS
详细描述
通过建立空间直角坐标系，可以用空间向 量来表示和解决几何问题。例如，利用向 量证明平行或垂直，通过计算向量的模长 来计算距离，以及利用投影来计算角度等 。
实例分析
例如，在解决一些三角形问题时，可以通过 将三角形表示为向量形式，然后利用向量的
点乘和叉乘等性质进行求解。Βιβλιοθήκη 向量法在立体几何题中的应用
要点一
向量法在立体几何中的表现形式
要点二
实例分析
向量法在立体几何中通常表现为向量的加、减、数乘、 点乘和叉乘等运算，通过这些运算可以揭示出空间几何 体的内在关系。
向量的向量积不满足交 换律和结合律。
向量的向量积与向量的 模长无关，只与两个向 量的方向和夹角有关。
混合积及其应用
• 混合积定义：三个向量的混合积是一个标量，其定义为$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}$。
• 混合积的性质 • 混合积的值等于三个向量所确定的平行四边形的面积乘以三个向量的模长之积。 • 混合积的方向与三个向量的顺序有关，具体来说，如果三个向量的顺序改变，则混合积的方向也会改变。 • 混合积的应用 • 在几何学中，混合积可以用于计算平行四边形的面积和体积。 • 在物理学中，混合积可以用于计算电磁场的强度和方向。
空间直角坐标系的定义
将空间中的点用三个实数坐标表示，即为空间直角坐标系。
空间向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影，通常用平行四边形法则来计算。而分解则是将一个复杂 向量分解为几个简单向量的组合。
空间向量在几何学中的运用
总结词
空间向量在几何学中有着广泛的应用，如 证明平行、垂直、计算角度和距离等。
VS
详细描述
通过建立空间直角坐标系，可以用空间向 量来表示和解决几何问题。例如，利用向 量证明平行或垂直，通过计算向量的模长 来计算距离，以及利用投影来计算角度等 。
实例分析
例如，在解决一些三角形问题时，可以通过 将三角形表示为向量形式，然后利用向量的
点乘和叉乘等性质进行求解。Βιβλιοθήκη 向量法在立体几何题中的应用
要点一
向量法在立体几何中的表现形式
要点二
实例分析
向量法在立体几何中通常表现为向量的加、减、数乘、 点乘和叉乘等运算，通过这些运算可以揭示出空间几何 体的内在关系。
向量的向量积不满足交 换律和结合律。
向量的向量积与向量的 模长无关，只与两个向 量的方向和夹角有关。
混合积及其应用
• 混合积定义：三个向量的混合积是一个标量，其定义为$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}$。
• 混合积的性质 • 混合积的值等于三个向量所确定的平行四边形的面积乘以三个向量的模长之积。 • 混合积的方向与三个向量的顺序有关，具体来说，如果三个向量的顺序改变，则混合积的方向也会改变。 • 混合积的应用 • 在几何学中，混合积可以用于计算平行四边形的面积和体积。 • 在物理学中，混合积可以用于计算电磁场的强度和方向。
空间直角坐标系的定义
将空间中的点用三个实数坐标表示，即为空间直角坐标系。
空间向量及其运算的坐标表示(15张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
深度探究
点的位置
向量位置
坐标
特点
x轴上
平行于x轴
(x,0,0)
纵、竖坐标均为0
y轴上
平行于y轴
(0,y,0)
横、竖坐标均为0
z轴上
平行于z轴
(0,0,z)
横、纵坐标均为0
Oxy平面上
平行于Oxy平面
(x,y,0)
竖坐标为0
Oyz平面上
平行于Oyz平面
(0,y,z)
横坐标为0
Ozx平面上
平行于Ozx平面
典例分析
例4如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F分别是BB₁ ,D₁B₁ 的中点，求证：EF⊥DA₁证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则
典例分析
所以EF ·所以EF⊥DA₁,即EF⊥DA₁
,又A₁(1,0,1),D(0,0,0),
所以DA₁=(1,0,1)
深度探究
空间向量的坐标：在空间直角坐标系0xyz 中，给定向量a,作 0A=a,
由空间向量基本定理，
(1) 垂面法：过点A作三个平面分别垂直于x轴 ，y 轴 ，z轴于B,C,D三点，点B,C,D在x轴 ，y 轴 ，z 轴上的坐标分别为x,y,z,则(x,y,z)就是点 A的坐标。(2) 垂线段法：先确定点A在0xy平面内的射影A₁,由A₁A的长度及与z轴正方向的异同，确定竖坐标z, 再在0xy平面内确定点A₁ 的横坐标x 和纵坐标y, 那么点A的坐标就是(x,y,z).(3) 向量法：当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同。
例 1 如图，在长方体OABC-D'A'B'C′中 ，OA=3,0C=4,0D'=2,以为单位正交基底，建立如图所示的直角坐标系Oxyz。
点的位置
向量位置
坐标
特点
x轴上
平行于x轴
(x,0,0)
纵、竖坐标均为0
y轴上
平行于y轴
(0,y,0)
横、竖坐标均为0
z轴上
平行于z轴
(0,0,z)
横、纵坐标均为0
Oxy平面上
平行于Oxy平面
(x,y,0)
竖坐标为0
Oyz平面上
平行于Oyz平面
(0,y,z)
横坐标为0
Ozx平面上
平行于Ozx平面
典例分析
例4如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F分别是BB₁ ,D₁B₁ 的中点，求证：EF⊥DA₁证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则
典例分析
所以EF ·所以EF⊥DA₁,即EF⊥DA₁
,又A₁(1,0,1),D(0,0,0),
所以DA₁=(1,0,1)
深度探究
空间向量的坐标：在空间直角坐标系0xyz 中，给定向量a,作 0A=a,
由空间向量基本定理，
(1) 垂面法：过点A作三个平面分别垂直于x轴 ，y 轴 ，z轴于B,C,D三点，点B,C,D在x轴 ，y 轴 ，z 轴上的坐标分别为x,y,z,则(x,y,z)就是点 A的坐标。(2) 垂线段法：先确定点A在0xy平面内的射影A₁,由A₁A的长度及与z轴正方向的异同，确定竖坐标z, 再在0xy平面内确定点A₁ 的横坐标x 和纵坐标y, 那么点A的坐标就是(x,y,z).(3) 向量法：当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同。
例 1 如图，在长方体OABC-D'A'B'C′中 ，OA=3,0C=4,0D'=2,以为单位正交基底，建立如图所示的直角坐标系Oxyz。
原创1：3.1.4 空间向量的直角坐标运算
跟踪训练
设a＝(1，－2,4)，求同时满足下列条件的向量x：
①Ԧx⊥a；②|Ԧx|＝10；③Ԧx在yOz平面上．
解：由③知，可设Ԧx=(0,y,z)
由①知，-2y+4z=0
由②知，y2+z2=100
解得：y=4 5，z=2 5
或y=−4 5，z=−2 5
∴Ԧx=(0，4 5， 2 5)或Ԧx=(0，−4 5， −2 5).
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
则a＋b＝_______________________，
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
a－b＝_______________________，
λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)，
a1b1＋a2b2＋a3b3
a·b＝___________________，
空间直角坐标系Oxyz.
对于空间任一向量a，由空间向量分解定理可知，
存在有序实数组{x，y，z}，使得a= xԦi + Ԧj +zkԦ
x，y，z称为向量p在单位正交基底下的坐标，
记作a=(x，y，z).
Ԧi
x
kԦ
a
O
Ԧj
y
知识点二：空间向量的坐标运算
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b2)，
解：由已知， a ∙ < 0
即6m-6<0
解得：m＜1
又显然a与b不共线
∴m的取值范围是(-∞，1)
归纳小结
1．注意正确写出各点的坐标，利用坐标运算可解决许多
以前的复杂问题．
2．数量积及夹角公式也是计算立体角相关题的有力工具，但要记
住角的范围，避免错误．
3．有关平行与垂直及共面、共线的结论应用广泛一定要掌握好！
空间直角坐标系与空间向量及其运算ppt
解析：D→A－D→B＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B＝B→A＋B→C＋B→B1 ＝B→D＋B→B1＝B→D＋D→D1＝B→D1.
答案：B→D1
1、建立空间直角坐标系,必须牢牢抓住“相交于同 一点得两两垂直得三条直线”,要在题目中找出或构造 出这样得三条直线,因此,要充分利用题目中所给得垂直 关系(即线线垂直、线面垂直、面面垂直),同时要注意, 所建立得坐标系必须就是右手空间直角坐标系、
3．若向量 a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且 a 与 b 的
夹角余弦值为89，则 λ 等于 A．2
B．－2
()
C．－2 或525
D．2 或－525
解析：cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝3 6λ－2＋λ 5＝89，
则 λ＝－2 或525. 答案:C
4．在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，化简式子： D→A－D→B＋ B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B＝________.
所以 CD＝ 2a.
考点三 证明垂直问题
【案例 4】 在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， E、F 分别为 D1D、BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD， H 为 C1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题．
(1)求证:EF⊥B1C; (2)求EF与C1G所成得角得余弦值; (3)求FH得长、 关键提示:建立空间直角坐标系,利用空间向量来解决、
空间直角坐标系与空间向量及其运 算
2、已知空间一点M得坐标为(x,y,z); (1)与M点关于x轴对称得点得坐标为_(_x_,－__y_,_－__z_) ___; (2)与M点关于y轴对称得点得坐标为_(_－__x_,y_,_－__z_) ___; (3)与M点关于z轴对称得点得坐标为_(_－__x_,－__y_,_z_) ___; (4)与M点关于面xOy对称得点得坐标为_(x_,_y_,－__z_)___; (5)与M点关于面xOz对称得点得坐标为_(x_,_－__y_,z_)___; (6)与M点关于面yOz对称得点得坐标为_(－__x_,_y_,z_)___; (7)与M点关于坐标原点O对称得点得坐标为_(－__x_,_－___ __y,_－__z_)__、
答案：B→D1
1、建立空间直角坐标系,必须牢牢抓住“相交于同 一点得两两垂直得三条直线”,要在题目中找出或构造 出这样得三条直线,因此,要充分利用题目中所给得垂直 关系(即线线垂直、线面垂直、面面垂直),同时要注意, 所建立得坐标系必须就是右手空间直角坐标系、
3．若向量 a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且 a 与 b 的
夹角余弦值为89，则 λ 等于 A．2
B．－2
()
C．－2 或525
D．2 或－525
解析：cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝3 6λ－2＋λ 5＝89，
则 λ＝－2 或525. 答案:C
4．在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，化简式子： D→A－D→B＋ B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B＝________.
所以 CD＝ 2a.
考点三 证明垂直问题
【案例 4】 在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， E、F 分别为 D1D、BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD， H 为 C1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题．
(1)求证:EF⊥B1C; (2)求EF与C1G所成得角得余弦值; (3)求FH得长、 关键提示:建立空间直角坐标系,利用空间向量来解决、
空间直角坐标系与空间向量及其运 算
2、已知空间一点M得坐标为(x,y,z); (1)与M点关于x轴对称得点得坐标为_(_x_,－__y_,_－__z_) ___; (2)与M点关于y轴对称得点得坐标为_(_－__x_,y_,_－__z_) ___; (3)与M点关于z轴对称得点得坐标为_(_－__x_,－__y_,_z_) ___; (4)与M点关于面xOy对称得点得坐标为_(x_,_y_,－__z_)___; (5)与M点关于面xOz对称得点得坐标为_(x_,_－__y_,z_)___; (6)与M点关于面yOz对称得点得坐标为_(－__x_,_y_,z_)___; (7)与M点关于坐标原点O对称得点得坐标为_(－__x_,_－___ __y,_－__z_)__、
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uuur AB
3
(2,1) 2 (3, 2) 3
(0, 7) 3
练习1. 设向量a=(1,－3)，b =(－2,4)，c =(－1,
－2)，若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的
有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d
为
.
解： 4a+(4b－2c)+2(a－c)+d=0, 所以d=－6a－4b+4c=(－2, －6).
uuur OA
uuur OB
的方向和长度.
解：OuuCur
uuur OA
uuur OB
= (3,2)+(－2，4)
= (1,6).
uuur | OC | 1 36 37
tan 6 α=arctan 6
例5.已知□ABCD的三个顶点A(－2, 1)、B(－1,
3)、C(3, 4)，求顶点D的坐标。
2.设点P在平面上做匀速直线运动,速度向量
r v
(4,
3)
,设起始P(－10,10),
则5秒钟后点P
的坐标为( ).
解：5秒种后，P点坐标为 (－10, 10)+5(4, －3)=(10, －5).
3.设uAuur(2, 3u)u，ur B(5u,u4ur)，C(7, 10) 满足
AP AB AC
解：
uuur AB
uuur OB
uuur OA
=(x2,y2)－(x1,y1) =(x2－x1，y2－y1)。
说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐 标减去始点的坐标。
例3.在直角坐标系xOy中，已知点A(x1,y1), B( x2, y2), 求线段AB中点的坐标。
解：设M(x,y)是线段AB的中点，则
(a1, a2)就是向量a在基底{e1, e2}下的坐标，
即a=(a1, a2).
y B2
a
A2 A a1 e2 O e 1A1
B a2
x B1
0=(0, 0)，e1=(1, 0)，e2=(0, 1).
设向量a= (a1, a2)， a 的方向相对于x轴正 方向的转角为θ ，由三角函数定义知
a1=|a|cosθ , a2=|a|sinθ
(1) λ为何值时,点P在直线y=x上? (2)设点P在第三象限, 求λ的范围.
解: (1) 设P(x, y)，则
(2) 由已知
(x－2, y－3)=(3, 1)+λ(5, 7), 5λ+5<0,7λ+4<0 ,
所以x=5λ+5，y=7λ+4.
解得λ =
1 2
所以λ<－1.
例1. 在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方
向和长度如图,
r b
(
3
,
3
3)
r 22
c (2 3, 2)
2.向量的直角坐标运算
设a=(a1,a2), b=(b1,b2), 求a+b的值。 a+b=(a1e1+a2e2)+(b1e1+b2e2)=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2，
uuuur OM
1
uuur (OA
uuur OB)
2
1
( x, y) 2 [( x1, y1) ( x2, y2 )]
例3得到的公式， 叫做线段中点的 坐标公式，简称
x x1 x2 , y y1 y2 中点公式。
2
2
例4.在直角坐标系xOy中，已知点A(3,2),
B(－2，4)，求向量
即a+b=(a1+b1，a2+b2). 用同样的方法可以证明
a－b=(a1－b1，a2－b2),
λa=λ(a1,a2)=(λa1,λa2）
说明： 两个向量的和与差的坐标等于两个向量的
相应坐标的和与差； 数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应
坐标的积。
uuur 例2.已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量 AB 的坐标.
2.2.2向量的正交分解与 向量的直角坐标运算
1.向量的直角坐标
1.如果两个向量的基线互相垂直，则称这两 个向量互相垂直 ;
2. 如果两个基向量e1、e2互相垂直，则称 {e1，e2} 为正交基底 3. 若向量e1、e2为单位正交基底,且a xe1 ye2 则称(x，y)为向量a的坐标.
在坐标平面xOy内，任做一向量a，由平面 向量基本定理可知，存在唯一有序实数对 (a1,a2)，使得a=a1e1+a2e2，
解：OuuDur
uuur OA
uuur AD
uuur OA
uuur BC
uuur uuur uuur
OA OC OB
=(－2,1)+(3,4) －(－1,3)
=(2, 2) 所以D点的坐标是(2, 2).
例6. 已知A(－2，1)，B(1，3)，求线段AB中 点M和三等分点坐标P，Q的坐标 .
解：(1) 求中点M的坐标，利用例3得到的公
式可知M(－ 1 ，2)
2
(2) 因为
uuur uuur uuur AB OB OA
=(1，3)－(－2，1)
=(3，2)
uuur OP
uuur OA
1
uuur AB
3
(2,1) 1 (3, 2) 3
(1, 5)
3
uuur OQ
uuur OA
2