蒙特卡罗法评定圆度测量不确定度
利用Mathcad进行测量不确定度的蒙特卡洛方法评定
利用 Mathcad 进行测量不确定度的蒙特卡洛方法评定主要分七个步骤，分别为 1）建立 测量数学模型；2）定义蒙特卡洛样本数 n；3）定义实测量数学模型中自变量的统计信息矩 阵；4）定义测量数学模型中自变量的上下限；5）定义测量数学模型中自变量的概率分布； 6）调用蒙特卡洛模拟函数 montecarlo(F, n, Rvals, [Limits, dist])进行模拟计算；7）计算标准 不确定度并生成统计直方图。
【2】 陈晓怀，薄晓静，王宏涛. 基于蒙特卡罗方法的测量不确定度合成[J]. 仪器仪表 学报, 2005, 26(z1):759-761.
【3】 STEPHEN V C,ROBERT D M.A two-satge monte carlo approach to the expression of uncertainty with non-linera measurement equation and small sample size[J].Metrologia,2006,43:34-41.
(1) 建立 Y 和 X1," X N 之间的模型Y = f ( X1，"，X N ) ；
(2) 利用可获信息，为 X i 设定概率分布（PDF）等；
(3) 选择蒙特卡洛试验样本量的大小 M。
(4) 从输入量 Xi 的 PDF fXi ( Xi ) 中抽取 M 个样本值 xij ，i=1,2,...,N， j = 1, 2,", M ；
基于蒙特卡罗法的平面度测量不确定度评定
0
引言
平面度测量误差的评定是测量领域中经常遇到的误差评定
进 行 不 确 定 度 评 定 。为 了 验 证 此 方 法 的 准 确 性 和 可 靠 性 ，根 据 不 确 定 度 合 成 公 式 再 次 进 行 评 定 ，求 出 传 递 系 数 和 各 参 数 的 单 点 测 量 不 确 定 度 ，计 算 出 平 面 度 误 差 的 测 量 不 确 定 度 。实 验 结 果 表 明 ，蒙 特 卡 罗 法 评 定 平 面 度 测 量 不 确 定 度 准 确 、 快 捷 、 简 单 、可 靠 ，解 决 了 形 位 误 差 测 量 不 确 定 度 评 定 的 复 杂 性 和 多 样 性 ，为 其 他 形 位 误 差 简 单 、便 捷 的 评 定 提 供 了 评 定 方 案 。
试验与评价技术
中图分类号： TI I 124 文献标识码 ： A
基于蒙特卡罗法的平面度测量不确定度评定
異 呼 玲 (陕 西 国 防 工 业 职 业 技 术 学 院 机 械 工 程 学 院 ，西 安 710300) 摘 要 ：形位误差的测量不确定度评定是目前测量领域研究的热点；但由于其测量的复杂性和测量结果评定的多样性，导致在实际测 量结果中形位误差测量的不确定度评定成了难题；为 此 ，根据形状误差评定准则，选取最小二乘 法 建 立 数 学 模 型 ，确定形状误差数学模 型中各参数值的传递系数和单点不确定度，并分析具体的测量方法和测量过程中的不确定度来源，根 据 传 统 的 G U M 法对其进行不确定 度 评 定 ；然后采用蒙特卡罗伪随机数的方法来模拟实际测量数据，从而得到平面度误差的不确定度；通 过 设 置 实 验 对 比 ，验证了蒙特卡 罗法评定平面度不确定度的可靠性和准确性；该方法不需要求出数学模型中的传递系数，利 用 M A T L A B 软 件 很 容 易 实 现 ，为平面度误 差测量结果不确定度评定提供了更加简便的方法，值得推广和应用。 关键词： 蒙特卡罗；平面度误差；不 确定度；最小二乘法
应用蒙特卡罗方法计算动态测量的不确定度
第16卷 第6期2006年11月黑 龙 江 科 技 学 院 学 报Jour nal ofH e il o ng jiang Institute o f Sc i e nce&Tec hno l o gyV o.l 16N o .6N ov .2006文章编号:1671-0118(2006)06-0357-03应用蒙特卡罗方法计算动态测量的不确定度高玉英, 陈晓怀(合肥工业大学仪器科学与光电工程学院,合肥230009)摘 要:针对动态不确定度有待深入研究的实际,介绍了一种采用蒙特卡罗统计模拟的方法来解带置信水平的不确定度评定的问题,并基于动态测量的观测数据是一随机过程的特征,分别对平稳及非平稳随机过程进行动态不确定度的计算。
利用计算机模拟抽样,可以削弱动态测量中因长时间作业引起的损耗而使得动态特性改变。
结果表明,采用蒙特卡罗方法求得统计量是一种可行且可靠的方法。
关键词:蒙特卡罗方法;随机过程;动态不确定度;随机数 中图分类号:TH 701;O242.2文献标识码:ACalcul a tion of dynam i c measure ment uncert ainty w ithMont e Carl o methodGAO Yuying, C HE N X iaohuai(Schoo l o f Instru m ent Sc i ence and O pto -e l ectronic eng i neer i ng ,H e fei U niversity of T echno logy ,H efe i 230009,Ch i na)Abst ract :D irected at dyna m ic m easure m ent uncerta i n ty ,the sub ject of deep st u dy ,this paper intro -duces the funda m entals based on M onte Carlo m ethod to w or k on t h e eva l u ation o f dyna m ic m easure m en t uncertai n ty w it h believe leve.l Fro m the po int tha t the observa ti o n data o f dyna m ic m easure m ent is a ran -do m process ,the dyna m ic uncerta i n ty o f d ifferent rando m process is ca lculated .The use of the co mpu ter si m ulation sa m ple reduces the change of dyna m ic i d entity ,wh ich co m es fr o m the spo ilage i n the l o ng w orking .The resu lts indicate tha t the m easure is feasible and reliable .K ey w ords :M onte C arlo m ethod ;rando m process ;dyna m ic uncertainty ;stochastic number收稿日期:2006-09-29基金项目:国家自然科学基金资助项目(50275047)0 引 言不确定度是对测量精度的定量表征,测量结果必须包括不确定度才是完整并有意义的。
测量不确定度的评定中的蒙特卡罗方法
电子质量（2012第01期）测量不确定度的评定中的蒙特卡罗方法测量不确定度的评定中的蒙特卡罗方法Uncertainty Evaluation in M easurement of M onte Carlo M ethod陈雅（广东省电子电器产品监督检验所,广东广州510400）Chen Ya(Guangdong Electronic&Electrical Production and Supervision Institute,GuangdongGuangzhou510400）摘要：该文介绍了蒙特卡罗法以及不确定度问题，当采用不确定度传递律进行测量不确定度评定(GUM方法)有困难或不方便时，蒙特卡罗法是实用的替代方法。
关键词：蒙特卡罗方法；测量；不确定度中图分类号：TB9文献标识码：A文章编号：1003-0107(2012)01-0070-02Abstract:The Monte Carlo method and the question of measurement uncertainty are given，When it isdifficult to apply the GUM uncertainty framework that uses the law of propagation of uncertainty to evalu-ate uncertainty in measurement,the Monte Carlo Method(MCM)is a practical alternative.Key w ords:Monte Carlo Method;measurement;uncertaintyCLC num ber:TB9Docum ent code:A Article ID：1003-0107(2012)01-0070-020引言为能统一地评价测量结果的质量,1963年原美国标准局(NBS)的数理统计专家埃森哈特首次提出了测量不确定度的概念，并在当时国际上受到普遍的关注；1970年, NBS进一步提出了不确定度的定量表示方法；1980年国际计量局在征求了32个国家计量院以及5个国际组织的意见后，推荐采用测量不确定度来评定测量结果的建议书，即INC-1(1980)；1981年第70届CIPM讨论通过建议书；1993年，7个国际组织联合发布《测量不确定度表示指南》(Guide to the Expression of Uncertainty in M easure-ment)，简称GUM；1999年，经国家技术监督局批准，我国颁布实施由全国法制计量技术委员会提出的(JJF1059-1999)《测量不确定度的评定与表示》，适用于国家计量基准、标准物质、测量及测量方法、计量认证和实验认可、测量仪器的校准和检定、生产过程的质量保证和产品的检验和测试、贸易结算以及资源测量等测量技术领域[1]。
基于Python软件的蒙特卡洛法不确定度评定
化学分析计量CHEMICAL ANALYSIS AND METERAGE第30卷，第6期2021年6月V ol. 30，No. 6Jun. 202180doi ：10.3969／j.issn.1008–6145.2021.06.018基于Python 软件的蒙特卡洛法不确定度评定王舵(辽宁省计量科学研究院，沈阳 110004)摘要 以毛细管电泳仪检出限的不确定度评定为例，探讨了Python 软件在MCM 不确定度评定中的具体应用。
首先采用GUM 法对不确定度进行评定，再采用Python 软件以MCM 法进行对比分析。
结果表明，两种评定方法结果相同。
与GUM 相比，MCM 直接通过计算获得不确定度结果，评定过程更加方便易行。
通过对实际采样数据的分析，发现数据的采样对不确定度评定结果有很大影响。
由于GUM 分析时采用的理论模型与实际数据不一定相符，造成不确定度计算结果存在偏差，而以实际采样数据为基础的MCM 能够获得更真实、更可靠的不确定度计算结果。
关键词 Python 软件；蒙特卡洛法(MCM)；不确定度；毛细管电泳中图分类号：O657 文献标识码：A 文章编号：1008–6145(2021)06–0080–05Evaluation of measurement uncertainty by Monte Carlo method based on Python softwareWang Duo(Liaoning Institute of Measurement ， Shenyang 110004， China)Abstract For the evaluation of uncertainty on detection limit of capillary electrophoresis ，a specific application of Monte Carlo method(MCM) with Python software was discussed. GUM(Guide to the Representation of Measurement Uncertainty) and MCM were applied on the evaluation of uncertainty to achieve a comparative analysis. The results showed that the two evaluation methods had the same conclusion. Different with GUM ，MCM obtained the uncertainty result directly through calculation ，and the whole process was more convenient and easy. Furthermore ，through the analysis of the actual data ，it was found that samples had a great in fluence on the result. As the theoretical model used in GUM analysis did not match the actual data perfectly ，there was a deviation in the calculation result of uncertainty, and the MCM based on the actual sampling data could obtain more realistic and reliable calculation results of uncertainty.Keywords Python software; Monte Carlo method; measurement uncertainty; capillary electrophoresis蒙特卡洛法(MCM)作为《测量不确定度表示指南》（GUM ）的重要补充方法，可有效地解决测量模型非线性等诸多不确定度评定问题［1］。
基于蒙特卡罗法的平面度测量不确定度评定
犝狀犮犲狉狋犪犻狀狋狔犈狏犪犾狌犪狋犻狅狀狅犳犉犾犪狋狀犲狊狊犕犲犪狊狌狉犲犿犲狀狋犅犪狊犲犱狅狀 犕狅狀狋犲犆犪狉犾狅 犕犲狋犺狅犱
Ｗｕ Ｈｕｌｉｎｇ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｈａａｎｘｉＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉａｎ ７１０３００，Ｃｈｉｎａ） 犃犫狊狋狉犪犮狋：Ｅｖａｌｕａｔｉｏｎｏｆｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｏｆｓｈａｐｅａｎｄｐｏｓｉｔｉｏｎｅｒｒｏｒｉｓａｈｏｔｓｐｏｔｉｎｔｈｅｆｉｅｌｄｏｆｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｄｕｅｔｏ ｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙｏｆｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔａｎｄｔｈｅｄｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓ，ｔｈｅｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｏｆｔｈｅｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｏｆｔｈｅｓｈａｐｅａｎｄｐｏｓｉｔｉｏｎｅｒｒｏｒ ｉｎｔｈｅａｃｔｕａｌｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓｈａｓｂｅｃｏｍｅａｄｉｆｆｉｃｕｌｔｐｒｏｂｌｅｍ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｅｖａｌｕａｔｉｏｎｃｒｉｔｅｒｉｏｎｏｆｓｈａｐｅｅｒｒｏｒ，ｅｓｔａｂｌｉｓｈ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌａｄｏｐｔｉｎｇｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｍｅｔｈｏｄ，ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇｔｈｅｔｒａｎｓｆｅｒｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｏｆｅａｃｈｐａｒａｍｅｔｅｒｖａｌｕｅｏｆｔｈｅｓｈａｐｅｅｒｒｏｒｍａｔｈｅｍａｔｉ ｃａｌｍｏｄｅｌａｎｄｓｉｎｇｌｅｐｏｉｎｔｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ，ａｎｄｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙａｎａｌｙｓｉｓｏｆｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｓａｎｄｔｈｅｓｐｅｃｉｆｉｃｐｒｏｃｅｓｓｏｆｔｈｅｓｏｕｒｃｅ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏ ｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌＧＵＭ ｍｅｔｈｏｄｆｏｒｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｅｖａｌｕａｔｉｏｎ．ＴｈｅｎｔｈｅＭｏｎｔｅＣａｒｌｏｐｓｅｕｄｏｒａｎｄｏｍｎｕｍｂｅｒｍｅｔｈｏｄｉｓｕｓｅｄｔｏｓｉｍｕｌａｔｅｔｈｅａｃｔｕａｌ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｄａｔａ，ｔｈｕｓｔｈｅｆｌａｔｎｅｓｓｅｒｒｏｒｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ．ＴｈｅｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙａｎｄａｃｃｕｒａｃｙｏｆＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ ｍｅｔｈｏｄｔｏｅｖａｌｕａｔｅｆｌａｔｎｅｓｓ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙａｒｅｖｅｒｉｆｉｅｄｂｙｓｅｔｔｉｎｇｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ．Ｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｄｏｅｓｎｏｔｎｅｅｄｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｔｈｅｔｒａｎｓｆｅｒｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ，ｉｔｉｓｅａｓｙｔｏｒｅａｌｉｚｅｂｙｕｓｉｎｇ Ｍａｔｌａｂｓｏｆｔｗａｒｅ，ａｎｄｐｒｏｖｉｄｅｓａｍｏｒｅｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｍｅｔｈｏｄｆｏｒｔｈｅｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｅｖａｌｕａｔｉｏｎｏｆｆｌａｔｎｅｓｓｅｒｒｏｒ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓ． 犓犲狔狑狅狉犱狊：ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏｍｅｔｈｏｄ；ｆｌａｔｎｅｓｓｅｒｒｏｒ；ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ；ｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｍｅｔｈｏｄ
基于蒙特卡罗方法的圆度测量不确定度评定
国计量出版社，２００４（４）． ［６］苏金明，阮沈勇．Ｍ丑ｔｌａｂ实用教程［Ｍ］．北京：电子工业出
一０．０即 １４５
Ｏ．０鹧 拗 一０．９卯 筋 一０．１６６
由以上测量数据得，距离圆心的最远和最近的
点分别为第１３个点和第２３个点。代入式（１）得圆
度误差为
，＝６．０９９ｌ舯
４．３不确定度估计
（１）应用式（２）评定圆度测量不确定度
根据以上数据和３．１部分公式得各点的不确定
度和传递系数，然后代入式（２）得 ｕｆ＝Ｏ．２４７８舯
个概率分布，判断其分布类型，求出其方差，即为所 要求的圆度误差测量的标准不确定度。
４实例分析
在Ｔａｌ舢ｄ ３６５型圆度仪上对某工件的圆截面
进行测量和评定。 ４．１不确定度来源分析 圆度仪有工作台旋转型和轴旋转型两种类型，
本次试验采用的啊ｙｒｏｎｄ ３６５型圆度仪是工作台旋 转型的，该仪器处于良好的工作状态，温度和湿度恒 定，忽略环境对其的影响。其测量不确定度来源［５］
组数据的期望和方差值，即为圆度测量的圆度误差和 标准不确定度。求得厂＝６．０９呻咖，ｎｆ－０．２４黜肌。
图ｌ圆度误差的概率分布 （３）结果比较
传统方法 蒙特书罗方法
圆度误差 ６．０９９ｌ ６．０９９０
圆度测量的不确定度
Ｏ．２４７８
Ｏ．獬
由上表可知，蒙特卡罗方法可用于不确定度评 定，并且完全满足精度要求。
５结语
本文提出的蒙特卡罗方法来计算圆度误差的不 确定度，其结果和传统方法评定的结果相同，符合要 求。这种方法使用起来计算简便，借助于计算机软件 很容易实现，简化了传统方法的不确定度评定，可以 推广到形位误差的不确定度评定上，具有实用价值。
蒙特卡洛法评定测量不确定度
本规范经国家质量监督检验检疫总局于201×年××月××日批准，并自201×年××月××日起施行。
归口单位：全国法制计量管理计量技术委员会
起草单位：北京理工大学
中国计量科学研究院
国家质检总局计量司
本规范由全国法制计量管理计量技术委员会解释
本规范起草人：
本规范就GUM中未涉及的概率分布传播的问题提供指导，以扩大测量不确定度评定与表示的适用范围。
本规范基于最佳估计值、标准不确定度、协方差和自由度,或原始统计数据, 以及其他相关的科学描述，包括专业的判断等信息,构造输入量的PDF,进而确定输出量的PDF。一旦获取输出量的PDF，则其期望值和标准偏差分别为该量的最佳估计值及其标准不确定度。由PDF还可获取输出量给定包含概率的包含区间。
量块校准34
附录CGUM法与MCM的比较(补充件)39
附录D分布传播的基本原理(补充件)41
概率分布的传播41
分布传播的实施方法41
附录E词汇和基本符号(参考件)43
附录F常用术语的英汉对照(参考件)48
引言
本规范规定了用蒙特卡洛法评定与表示测量不确定度的方法，其核心内容是基于测量模型采用蒙特卡洛法(MCM)进行概率分布传播。本规范适用于具有多个输入量和单一输出量的测量模型。
的输出量，则函数f是测量函数。更通俗地说，f是一个算法符号，算出与输入量x1，…,xn相应的唯一的输出量值y=f(x1，…,xn)。
4蒙特卡洛法
在测量不确定度的评定中采用的MCM是一种通过重复采样实现分布传播的数值方法。与GUM法利用线性化模型传播不确定度的解析方法不同，MCM通过对输入量Xi的PDF离散采样, 由测量模型传播输入量的分布,计算获得输出量Y的PDF的离散采样值, 进而由输出量的离散分布数值直接获取输出量的最佳估计值、标准不确定度和包含区间。该输出量的最佳估计值、标准不确定度和包含区间等特性的计算质量随PDF采样数增加可得到改善。
蒙特卡洛法评定测量不确定度及其应用
蒙特卡洛法评定测量不确定度及其结果的应用铁科院标准计量研究所王彦春2013年7月18日测量不确定度的来源❖与误差的来源相同，共5个主要方面⏹测量设备（标准器；2.配套设备）⏹测量方法⏹被测量⏹影响量⏹人员（操作、读数、数据修约等）产生不确定度的原因❖被测量的定义不完整；（被测对象、方法、影响量）❖复现被测量的测量方法不理想；（方法）❖测量方法和测量程序中的近似和假设；（方法）❖取样的代表性不够，即被测样本不能代表所定义的被测量；（被测对象）❖测量仪器的计量性能(如最大允许误差、灵敏度、鉴别力、分辨力、死区及稳定性等)的局限性导的不确定度，即仪器的不确定度；（设备）❖测量标准或标准物质提供的量值的不确定度；（设备）❖对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善；（影响量）❖引用的数据或其他参量的不确定度；（影响量）❖对模拟式仪器的读数存在人为偏移；（人员）❖在相同条件下重复观测中测得的量值的变化。
（重复性）测量不确定度的来源必须根据实际测量情况进行具体分析。
测量不确定度的来源❖区分两大类来源⏹随机因素：使测量结果呈现分散性，即分散性（分散区间，宽度取决于随机因素的影响程度）⏹系统因素：使测量结果呈现未知性，即不可知性（区间移动，区间偏离参考值的远近取决于系统因素的影响程度）以上两者共同导致测量结果的不确定度性，共同构成最终不确定度的区间测量不确定度的评定方法❖基于误差传播的评定方法（JJF 1059.1-2012，GUM法)不适用范围：⏹输入量概率分布不对称；⏹不能假设输出量的概率分布近似为正态分布或t分布；⏹测量模型不能用线性模型近似或求灵敏系数很困难；⏹被测量估计值与其标准不确定度大小相当时。
❖基于模拟试验的评定方法（JJF 1059.2-2012，MCM法，即蒙特卡洛法)：属万能型方法❖GUM方法的评定结果的合理性可用MCM法进行验证。
测量不确定度评定过程(MCM法)❖测量模型❖确定来源⏹应注意的问题：熟悉被评定项目，灵活运用；针对主要因素合理评定，不遗漏（输入量和重要影响量）、不重复。
自适应蒙特卡洛法评定全站仪测距不确定度
自适应蒙特卡洛法评定全站仪测距不确定度仇跃鑫1，2，朱进1，2，王瑛辉1，2*（1.浙江省计量科学研究院，浙江杭州 310018；2.浙江省数字精密测量技术研究重点实验室，浙江杭州310018）摘要：全站仪测距精度的校准需要在标准基线场上进行，由于野外环境不可控和气象条件波动剧烈，因此判断全站仪的测量结果的可靠程度具有重要意义。
为了解决全站仪测距不确定度评定模型的非线性和输入量强相关等问题，本文首先采用了自适应蒙特卡洛法进行不确定度评定，然后与GUM的不确定度评定结果进行对比，当测距距离为1 176 m时，自适应蒙特卡洛法评定的不确定度结果为2.2 mm，GUM为2.6 mm，结果显示两种不确定度评定方法的测量结果均在合理预期之内，且自适应蒙特卡洛法评定的不确定度置信区间更窄。
自适应蒙特卡洛法结合了大量数据样本和自适应优化仿真次数的优势，不仅对全站仪测距过程中的各项误差源引入的不确定度分量评估更为全面，而且在保证了全站仪测距不确定度评定结果准确的同时，相比于蒙特卡洛法节约了70%的样本数量。
关键词：计量学；自适应蒙特卡洛法；全站仪；测量不确定度中图分类号：TB921；TH711 文献标志码：A 文章编号：1674-5795（2023）05-0104-08Evaluation of uncertainty of distance measurement by total station usingadaptive Monte Carlo methodQIU Yuexin1，2, ZHU Jin1，2, WANG Yinghui1，2*(1.Zhejiang Institute of Metrology, Hangzhou 310018, China；2.Key Laboratory of Digital Precision Measurement Technology of Zhejiang Province, Hangzhou 310018, China)Abstract: The calibration of total station distance measurement accuracy needs to be carried out on a standard baseline field, and it is of great significance to judge the reliability of the measurement results of the total station due to the uncontrollable field environment and the drastic fluctuation of meteorological conditions. In order to solve the problems of nonlinearity and strong correlation of inputs of the total station distance measurement uncertainty evaluation model, this paper firstly adopts the adaptive Monte Carlo method to evaluate the uncertainty, and then compares the uncertainty evaluation results with those of the GUM. When the ranging distance is 1 176 m, the un⁃certainty evaluation results of the adaptive Monte Carlo method is 2.2 mm, and the GUM is 2.6 mm. The results show that the measurement results of both uncertainty assessment methods are within reasonable expectations, and the uncertainty confidence interval of the adaptive Monte Carlo method is narrower. The adaptive Monte Carlo method combines the advantages of a large number of data samples and adaptive optimization of the simulation doi：10.11823/j.issn.1674-5795.2023.05.15收稿日期：2023-04-01；修回日期：2023-05-12基金项目：2022年度浙江省科技厅“尖兵”“领雁”研发攻关计划项目（2022C01139）引用格式：仇跃鑫，朱进，王瑛辉.自适应蒙特卡洛法评定全站仪测距不确定度［J］.计测技术，2023，43（5）：104-111.Citation：QIU Y X，ZHU J，WANG Y H.Evaluation of uncertainty of distance measurement by total station using adaptive Monte Carlo method［J］.Metrology & Measurement Technology，2023，43（5）：104-111.times, which not only provides a more comprehensive assessment of the uncertainty components introduced by vari⁃ous error sources in the process of total station distance measurement, but also saves 70% of samples compared with the Monte Carlo method, while guaranteeing the accuracy of the uncertainty assessment results of the total station distance measurement.Key words: metrology; adaptive Monte Carlo method; total station; measurement uncertainty0 引言全站仪被广泛应用于精密测量、机械制造和大地测量领域，本质是由一个经纬仪和一个电子测距仪共同组成，这二者的精度直接决定了全站仪的精度。
测量不确定度的概念和原理
表 1 测量误差与测量不确定度的主要区别
序号
测量误差
测量不确定度
1
表明测量结果偏离真值的程度，是一个差值
表明赋予被测量之值的分散性，是一个区间
2
是有正号或负号的量值，其值为测量结果减去被测量的 是无符号的参数，
客观存在，不受外界因素的影响，不以人的认识程度而 由人们经过分析和评定得到，因而与人们对被测量、
测量不确定度愈小，所述结果与被测量的真 值愈接近，质量越高，水平越高，其使用价值越高； 测量不确定度越大，测量结果的质量越低，水平越 低，其使用价值也越低。在报告物理量测量的结果 时，必须给出相应的不确定度，一方面便于评定其 可靠性，另一方面也增强了测量结果之间的可比 性。
本文从最基本的测量不确定度概念出发（假设 测量模型是线性函数、输入量服从正态分布、忽略 了如温度等误差来源），旨在抛砖引玉地推行测量 不确定度的运用。诚然正确使用好测量不确定度， 需要有一定专业知识才可以准确判断不确定度来 源，要有一定的数理统计概率论 （下转第 ７２ 页）
表征，平均值的标准不确定度即为 Ｕａ。
对某量多次等精度测得列 Ｘ１， Ｘ２， … ， Ｘｎ
则最佳值的平均值
ｘ
＝
ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ ｎ
ｎ
姨Σ ２ （ｘｉ－ｘ）
单次测量的标准不确定度 Ｓ＝
ｎ－１
平均值的标准不确定度
ｎ
姨Σ ２ （ｘｉ－ｘ） ｎ（ｎ－１）
ｕａ＝ ｓ ＝ 姨ｎ
ｉ＝１
（２）
依据经验一般取 ｎ≥３，以 ｎ ＝４～２０ 为宜 ，样
作的不断规范，国家质量监督检验检疫总局十分
重视测量不确定度的评定和运用。为了总结我国
推行 《测量不确定度评定与表示》
使用Python语言进行蒙特卡洛法评定测量不确定度
# 输出量排序
W=np.empty（shape=（1，0））
for i in range（1,in（t M*5/100））:
t=Y1[in（t M*95/100）+i]-Y1[i] W=np.append（W，t） W_min = min（W） n1=np.where（W== W_min）
C=Y1[n1[0]] Z=in（t M*95/100）+n1[0]
Value Engineering
· 231 ·
使用 Python 语言进行蒙特卡洛法评定测量不确定度
Monte Carlo Method for Evaluation of Measurement Uncertainty Using Python
方联欧 FANG Lian-ou
（安庆市计量测试所，安庆 246003） （Anqing Institute of Measurement and Testing Technology，Anqing 246003，China）
随机数
x4 = np.random.norma（l 121.8 * 1000，1.2/2.58，M）
# 生成 1000000 个服从均值和标准差分别为 121800
和 1.2/2.58（Uk ）的正态分布的随机数
x5=np.random.uniform（10.5*10**-6，12.5*10**-6，M）
2.1 游标卡尺的示值误差测量模型
式中： E—游标卡尺校准点的示值误差； l—游标卡尺测量量块的读数； ls—标准量块的实际值； 琢—游标卡尺的线膨胀系数； 啄t—游标卡尺温度偏离参考温度的差值； 琢s—标准量块的线膨胀系数； 啄ts—标准量块温度偏离参考温度的差值； 啄lR—卡尺分辨力对测量结果的影响； 啄lM—测量力、阿贝误差、量爪测量面的平面度和平行 度等其它因素产生的影响。 2.2 各输入量的概率分布及相关信息（表 1） 2.3 Python 实现的程序代码 为了方便程序的编写，使用 x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、 x8 分别对应替代 l、琢、啄t、ls、琢s、啄ts、啄lR、啄lM。并通过注释对程 序进行说明，Python 语言的语法及 Numpy 和 Matplotlib 的 使用，可查阅其它资料，本文不再赘述。
蒙特卡罗法评定圆度测量不确定度
第３９卷第５期２０１８年５月自㊀动㊀化㊀仪㊀表ＰＲＯＣＥＳＳＡＵＴＯＭＡＴＩＯＮＩＮＳＴＲＵＭＥＮＴＡＴＩＯＮＶｏｌ ３９Ｎｏ ５Ｍａｙ．２０１８收稿日期：２０１７⁃０７⁃１１基金项目：陕西国防工业职业技术学院２０１６年院级科研基金资助项目（Ｇｆｙ１６⁃０３）作者简介：吴呼玲（１９７９ ），女，硕士，讲师，主要从事机械产品检测检验㊁误差理论与数据处理等方向的教学和研究工作，Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｗｈｕｌｉｎｇ＠１６３．ｃｏｍ蒙特卡罗法评定圆度测量不确定度吴呼玲（陕西国防工业职业技术学院机械工程学院，陕西西安７１０３００）摘㊀要：形位误差测量的复杂性和测量结果评定的多样性，使形位误差的不确定度评定较为困难㊂因此，探索一种准确㊁高效的形位误差测量不确定度评定方法具有实际的意义㊂目前，主要根据‘测量不确定度评定指南“进行形位误差不确定度评定，评定过程需要计算出误差模型中的传递系数㊂当误差模型复杂或者参数之间存在非线性时，评定结果准确性差㊂为解决该问题，在分析形位误差测量不确定度评定方法和评定原理之后，提出了采用蒙特卡罗法评定形位误差测量不确定度㊂该方法利用计算机产生伪随机数来模拟圆度误差的实际测量值，将其代入误差模型中，构成圆度误差的概率分布，并求出其期望值和方差，从而得出圆度误差和测量不确定度㊂试验数据显示，蒙特卡罗法评定圆度不确定度结果可靠㊁高效快捷，为几何量测量领域㊁误差分析与数据处理领域提供了新的方法，值得推广和应用㊂关键词：蒙特卡罗法；圆度误差；最小二乘法；不确定度；ＭＡＴＬＡＢ；三坐标测量机；形位误差中图分类号：ＴＨ１２４；ＴＰ２７４㊀㊀㊀㊀文献标志码：Ａ㊀㊀㊀㊀ＤＯＩ：１０．１６０８６／ｊ．ｃｎｋｉ．ｉｓｓｎ１０００⁃０３８０．２０１７０７００２５㊀ＥｖａｌｕａｔｉｏｎｏｆＲｏｕｎｄｎｅｓｓＭｅａｓｕｒｅｍｅｎｔＵｎｃｅｒｔａｉｎｔｙＢａｓｅｄｏｎＭｏｎｔｅＣａｒｌｏＭｅｔｈｏｄＷＵＨｕｌｉｎｇ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｈａａｎｘｉＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉ ａｎ７１０３００，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙｏｆｔｈｅｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔａｎｄｔｈｅｄｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓｍａｋｅｉｔｄｉｆｆｉｃｕｌｔｔｏａｓｓｅｓｓｔｈｅｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｏｆｔｈｅｆｏｒｍａｎｄｐｏｓｉｔｉｏｎｅｒｒｏｒ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｉｔｉｓｏｆｇｒｅａｔｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅｔｏｅｘｐｌｏｒｅａｎａｃｃｕｒａｔｅａｎｄｅｆｆｉｃｉｅｎｔｍｅｔｈｏｄｏｆｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ．Ａｔｐｒｅｓｅｎｔ，ｔｈｅｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｏｆｆｏｒｍａｎｄｐｏｓｉｔｉｏｎｉｓｍａｉｎｌｙｅｖａｌｕａｔｅｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅ ＧｕｉｄｅｔｏｔｈｅＥｘｐｒｅｓｓｉｏｎｏｆｔｈｅＵｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｉｎＭｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ．Ｔｈｅｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｉｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｎｅｅｄｓｔｏｂｅｃａｌｃｕｌａｔｅｄｄｕｒｉｎｇｔｈｅｅｖａｌｕａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓ．Ｗｈｅｎｔｈｅｍｏｄｅｌｉｓｃｏｍｐｌｅｘｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙｅｘｉｓｔｓａｍｏｎｇｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆｅｖａｌｕａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｉｓｐｏｏｒ．Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｓｏｌｖｅｔｈｉｓｐｒｏｂｌｅｍ，ｏｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆａｎａｌｙｚｉｎｇｔｈｅｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｅｖａｌｕａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅｅｖａｌｕａｔｉｏｎｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏｍｅｔｈｏｄｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｔｏｍｅａｓｕｒｅｔｈｅｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｏｆｆｏｒｍａｎｄｐｏｓｉｔｉｏｎｅｒｒｏｒｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ．Ｗｉｔｈｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｐｓｅｕｄｏｒａｎｄｏｍｎｕｍｂｅｒｇｅｎｅｒａｔｅｄｂｙｃｏｍｐｕｔｅｒｉｓｕｓｅｄｔｏｓｉｍｕｌａｔｅｔｈｅａｃｔｕａｌｍｅａｓｕｒｅｄｖａｌｕｅｓｏｆｔｈｅｒｏｕｎｄｎｅｓｓｅｒｒｏｒｆｏｒｔｈｅｅｒｒｏｒｍｏｄｅｌ，ｔｏｃｏｎｓｔｉｔｕｔｅｔｈｅｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｒｏｕｎｄｎｅｓｓｅｒｒｏｒ，ｃａｌｃｕｌａｔｅｔｈｅｅｘｐｅｃｔｅｄｖａｌｕｅａｎｄｖａｒｉａｎｃｅ，ａｎｄｏｂｔａｉｎｔｈｅｒｏｕｎｄｎｅｓｓｅｒｒｏｒａｎｄｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ．Ｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅｍｅｔｈｏｄｉｓａｃｃｕｒａｔｅ，ｓｉｍｐｌｅａｎｄｅｆｆｉｃｉｅｎｔ，ａｎｄｐｒｏｖｉｄｅｓａｎｅｗｍｅｔｈｏｄｉｎｔｈｅｆｉｅｌｄｓｏｆｇｅｏｍｅｔｒｉｃｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ，ｅｒｒｏｒａｎａｌｙｓｉｓ，ａｎｄｄａｔａｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，ｗｈｉｃｈｉｓｗｏｒｔｈｔｏｂｅｐｏｐｕｌａｒｉｚｅｄａｎｄａｐｐｌｉｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏｍｅｔｈｏｄ；Ｒｏｕｎｄｎｅｓｓｅｒｒｏｒ；Ｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｍｅｔｈｏｄ；Ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ；ＭＡＴＬＡＢ；Ｔｈｒｅｅ⁃ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｍｅａｓｕｒｉｎｇｍａｃｈｉｎｅ；Ｆｏｒｍａｎｄｐｏｓｉｔｉｏｎｅｒｒｏｒ０㊀引言圆度误差是轴套类零件经常需要检测的形位误差项目㊂圆度误差测量不确定度的评定已成为测量领域的一个重要课题㊂常用的圆度测量不确定度评定方法有：①依据‘测量不确定度表示指南“（ｇｕｉｄｅｔｏｔｈｅｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｏｆｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｉｎｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ，ＧＵＭ）的基本原理和方法（ＧＵＭ［１］法）；②蒙特卡罗法［２］（ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏｍｅｔｈｏｄ，ＭＣＭ）㊂ＧＵＭ法需要根据评定方法建立误差数学模型，首先求出误差模型中的传递系数和参数间的相关系数，然后根据测量不确定度合成公式进行评定㊂由于圆度第５期㊀蒙特卡罗法评定圆度测量不确定度㊀吴呼玲测量的点数较多，而且分为直角坐标系和极坐标系两种情况，误差模型较为复杂，因此很难求出不确定度㊂蒙特卡罗法是一种统计模拟的方法，使用随机数模拟实际测量值来解决问题㊂该方法利用ＭＡＴＬＡＢ软件中的相关函数产生一组随机数组来模拟实际测量值，求出形位误差的测量不确定度㊂该方法评定结果准确㊁操作方便㊁简单快捷，为测量技术领域和其他数据处理领域提供了新的方法㊂１㊀圆度误差的最小二乘数学模型测量圆度误差时，以零件测量时的回转中心Ｏ为圆心，选取两个相互垂直的径向线构成直角坐标系㊂圆度最小二乘模型如图１所示㊂图１㊀圆度最小二乘模型Ｆｉｇ．１㊀Ｔｈｅｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｍｏｄｅｌｏｆｒｏｕｎｄｎｅｓｓ在零件截面轮廓上，以等角度间隔进行测量采样㊂采样数据为ｐｉ（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２， ，ｎ）㊂其中：ｘｉ为实际圆周上各采样点在ｘ轴上的坐标值，ｙｉ为采样点在ｙ坐标轴上的坐标值㊂设采样点的截面轮廓的最小二乘圆圆心Ｏᶄ的直角坐标为Ｏᶄ（ａ，ｂ），最小二乘圆的半径为Ｒ，则最小二乘圆方程为：（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝Ｒ２（１）式中：ａ㊁ｂ分别为最小二乘圆圆心在直角坐标系中的坐标值；Ｒ为最小二乘圆的半径㊂根据实际轮廓圆上各ｐｉ点的直角坐标值，求得最小二乘圆圆心坐标ａ和ｂ㊂ａ＝２ｎðｎｉ＝１ｘｉ（２）ｂ＝２ｎðｎｉ＝１ｙｉ（３）式中：ｎ为实际轮廓等分的间隔数㊂实际轮廓上的各采样点ｐｉ到最小二乘圆的偏距ΔＲｉ为：㊀ΔＲｉ＝ｒｉ－Ｒ＝（ｘｉ－ａ）２＋（ｙｉ－ｂ）２－Ｒ（４）设距离最小二乘圆心最远的点和最近的点分别为（ｘＭ，ｙＭ）㊁（ｘＬ，ｙＬ），则圆度误差可表示为［３］：㊀㊀ｆ＝（ｘＭ－ａ）２＋（ｙＭ－ｂ）２－（ｘＬ－ａ）２＋（ｙＬ－ｂ）２（５）式中：（ｘＭ，ｙＭ）为实际采样点距离最小二乘圆心最远的点坐标；（ｘＬ，ｙＬ）为实际采样点距离最小二乘圆心最近的点坐标㊂２㊀圆度测量结果不确定度评定２．１㊀ＧＵＭ法要计算圆度的测量不确定度［４］，首先要确定圆度误差模型中各参数的传递系数和单点测量不确定度㊂①计算式（５）中圆度误差模型各参数的传递系数［５］㊂ｆｘＭ＝ｘＭ－ａ（ｘＭ－ａ）２＋（ｙＭ－ｂ）２（６） ｆｙＭ＝ｙＭ－ｂ（ｘＭ－ａ）２＋（ｙＭ－ｂ）２（７） ｆｘＬ＝ｘＬ－ａ（ｘＬ－ａ）２＋（ｙＬ－ｂ）２（８） ｆｙＬ＝ｙＬ－ｂ（ｘＬ－ａ）２＋（ｙＬ－ｂ）２（９）㊀㊀ｆａ＝ｘＬ－ａ（ｘＬ－ａ）２＋（ｙＬ－ｂ）２－ｘＭ－ａ（ｘＭ－ａ）２＋（ｙＭ－ｂ）２（１０）㊀㊀ｆｂ＝ｙＬ－ｂ（ｘＬ－ａ）２＋（ｙＬ－ｂ）２－ｙＭ－ｂ（ｘＭ－ａ）２＋（ｙＭ－ｂ）２（１１）②计算各参数测量不确定度㊂实际测量中，各测量点的测量环境是相同的，各点的测量不确定度也是相同的，都等于单点测量不确定度㊂ａ和ｂ的不确定度可通过式（１２）和式（１３）求得：μａ＝ðｎｉ＝１ ａ ｘｉæèçöø÷２μ０（１２）μｂ＝ðｎｉ＝１ ｂ ｙｉæèçöø÷２μ０（１３）式中：μ０为圆度的单点测量不确定度㊂将推导出来的传递系数和单点测量不确定度代入㊃５６㊃自㊀动㊀化㊀仪㊀表第３９卷圆度测量不确定度评定公式［６］，即可求得圆度的测量不确定度㊂㊀㊀㊀㊀㊀㊀μｆ＝ ｆ ｘＭæèçöø÷２＋ ｆ ｙＭæèçöø÷２＋ ｆ ｘＬæèçöø÷２＋ ｆ ｙＬæèçöø÷２＋ ｆ ａæèçöø÷２＋ ｆ ｂæèçöø÷２éëêêùûúú１ｎ{}０．５μ０（１４）２．２㊀蒙特卡罗法利用蒙特卡罗伪随机数原理，根据圆度误差模型，产生服从正态分布的随机数序列值㊂该序列值的期望为各参数的测量值，方差为各参数的单点标准不确定度，从而得出圆度的测量不确定度［７］㊂①分析不确定度来源㊂设定分布类型㊁分布区间，得出各不确定度数值㊂②确定圆度误差模型（５）中的参数：ｘＭ㊁ｘＬ㊁ｙＭ㊁ｙＬ㊁ａ㊁ｂ的期望和方差㊂③以ｘＭ㊁ｘＬ㊁ｙＭ㊁ｙＬ㊁ａ㊁ｂ这６个参数的期望和方差，分别生成六维随机数模拟圆度误差的实际测量值，样本容量取Ｍ，对其进行圆度误差的不确定度评定㊂六维随机数分别为：［ｘＭ１，ｘＭ２，ｘＭ３， ，ｘＭＭ］；［ｘＬ１，ｘＬ２，ｘＬ３， ，ｘＬＭ］；［ｙＭ１，ｙＭ２，ｙＭ３， ，ｙＭＭ］；［ｙＬ１，ｙＬ２，ｙＬ３， ，ｙＬＭ］；［ａ１，ａ２，ａ３， ，ａＭ］；［ｂ１，ｂ２，ｂ３， ，ｂＭ］㊂④将产生的随机数值代入圆度误差模型，求出Ｍ个圆度误差值ｆ㊂根据这组ｆ值，构造概率分布㊂其方差值则为圆度误差的测量不确定度［８］㊂３㊀试验数据采集及结果验证使用爱德华公司ＭＱ６８６型三坐标测量机，对ＪＰ１９型万能工具显微镜的顶尖轴进行圆度误差的测量［９］和评定㊂将被测顶尖轴用高精度三爪卡盘夹紧，放置于三坐标测量机的测量平台上；然后对其进行圆度测量㊂在被测顶尖轴上选取三个截面，每个截面等角度测量２４个点㊂三坐标测量机测量顶尖轴圆度数据如表１所示㊂表１㊀顶尖轴圆度数据Ｔａｂ１㊀Ｒｏｕｎｄｎｅｓｓｄａｔａｏｆｔｈｅｔｏｐａｘｉｓｍｍ测点Ｘ轴坐标Ｙ轴坐标１１０．００３８－０．０１１６２９．６６６９２．５８２２３８．６７４３４．９８８６４７．０８７８７．０５４２５５．０２２３８．６５０４６２．６０９９９．６５６１７０．００９６１０．００８９８－２．５６８９９．６６３６９－４．９８１７８．６６８４１０－７．０５５５７．０８０６１１－８．６４９６５．００９４１２－９．６７０３２．６０３５测点Ｘ轴坐标Ｙ轴坐标１３－９．９９５９０．００３６１４－９．６６３９－２．５７８０１５－８．６６１８－４．９９５４１６－７．０７２５－７．０７０３１７－５．００２８－８．６５９７１８－２．５８６０－９．６６３０１９－０．００４８－１０．００１１２０２．５９８２－９．６５８８２１５．０１１６－８．６５８１２２７．０８３０－７．０６５６２３８．６７０６－４．９９７９２４９．６６４６－２．５８６６３．１㊀不确定度来源分析三坐标测量机的工作要求是：室内温度达到２０ħ，被测零件和测量设备等温１０ｈ㊂其三坐标测量机的不确定来源可忽略温度㊁湿度带来的影响，主要分析以下几个方面的影响［１０］㊂①重复性引起的不确定度分量㊂圆度测量不确定度评定的主要因素之一，是测量重复性测量引起的不确定度［１１⁃１２］㊂影响圆度的主要因素是半径的变化量㊂因此，需要考虑半径变化量测量的重复性误差㊂在圆度测量的２４个测量点中选取４个点（１㊁５㊁１５和２０点）进行各点的重复性误差计算㊂每个点测量１０组半径变化量，利用贝塞尔公式σ＝ðｎｉ＝１ｖ２ｉｎ－１求出各点的重复性误差㊂取４个点中重复性引起的不确定度的最大值，作为重复性引起的不确定度㊂４个点的测量不确定度结果分别为：ｕ１＝σ１＝０．０２８μｍ；ｕ５＝σ５＝０．０３２μｍ；ｕ１５＝σ１５＝０．０２３μｍ；ｕ２０＝σ２０＝０．０３５μｍ㊂三坐标测量机重复性测量的不确定度ｕ１＝ｕｍａｘ＝０ ０３５μｍ㊂②示值误差引入的不确定度分量㊂三坐标测量机的产品技术参数显示，示值误差为㊃６６㊃第５期㊀蒙特卡罗法评定圆度测量不确定度㊀吴呼玲２．７μｍ，分布状态服从正态分布㊂不确定度分量ｕ２＝２．７３＝１．５５９μｍ㊂③测量力引入的不确定度分量㊂实际测量中，各部件的刚性较好，而且测量过程中测量力调节至很小，可忽略测力变形引起的误差㊂不确定度分量为ｕ３＝０㊂④分辨力引入的不确定度分量㊂分辨力的极限值Ａ＝ｄ２＝０．０５μｍ（其中，ｄ为三坐标测量机的分辨力），服从矩形分布㊂不确定度分量为：ｕ４＝０．０５６＝０．０２μｍ㊂⑤径向误差引入的不确定度分量㊂三坐标的径向误差小于０．０３μｍ，服从均匀分布㊂㊀㊀不确定度分量ｕ３＝０．０３３＝０．０１７μｍ㊂⑥温度引入的不确定度分量㊂测量时，被测件㊁三坐标和测量人员都在等温后进行测量工作，而且符合国家标准要求的测量环境㊂不确定度分量ｕ６＝０㊂因此，圆度单点测量不确定度为：ｕ０＝ｕ２１＋ｕ２２＋ｕ２３＋ｕ３４＋ｕ２５＋ｕ２６＝１．５６μｍ３．２㊀圆度误差计算将表１中的测量结果代入式（２）和式（３），求出最小二乘圆的圆心坐标（ａ，ｂ），可得最小二乘圆方程㊂其中：ａ＝０．０１５７㊁ｂ＝０．００２０㊂然后，求出各测点到最小二乘圆心的距离㊂各测点到最小二乘圆心计算结果如表２所示㊂表２㊀各测点到最小二乘圆心的距离Ｔａｂ．２㊀Ｔｈｅｄｉｓｔａｎｃｅｂｅｔｗｅｅｎｅａｃｈｍｅａｓｕｒｉｎｇｐｏｉｎｔｔｏｔｈｅｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｃｅｎｔｅｒｍｍ测点距离１９．９８８０６２９．９９０１２３９．９９１８６４９．９８７４０５９．９９３０６６９．９９６６１测点距离７１０．００６９５８１０．００１３９９１０．００４０９１０１０．００５４９１１１０．００８１３１２１０．０２９３３测点距离１３１０．０１１６４１４１０．０１７５６１５１０．０１３６５１６１０．０１２９９１７１０．０１０４９１８１０．００９００测点距离１９１０．００３０７２０９．９９９９５２１９．９９７７５２２９．９９４８２２３９．９９５２５２４９．９９００５㊀㊀测点和最小二乘圆如图２所示㊂图２㊀测点和最小二乘圆示意图Ｆｉｇ．２㊀Ｔｈｅｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｐｏｉｎｔｓａｎｄｔｈｅｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｃｉｒｃｌｅ由图２可知，距离圆心最远和最近的点分别是测点１２和测点４（ｘ轴的零度方向上的点序号为测点１，依次逆时针方向点的序号为２，３， ，２４），对应的点坐标分别为ｘＭ＝－９．６７０３ｍｍ㊁ｙＭ＝－２．６０３５ｍｍ和ｘＬ＝７ ０８７８ｍｍ㊁ｙＬ＝７．０５４２ｍｍ㊂将各参数代入式（３），则圆度误差值为：ｆ＝（ｘＭ－ａ）２＋（ｙＭ－ｂ）２－（ｘＬ－ａ）２＋（ｙＬ－ｂ）２＝４１．９２６２μｍ３．３㊀计算不确定度①ＧＵＭ法评定圆度测量不确定度㊂将以上数据代入式（４） 式（９），求出圆度误差模型中各参数的传递系数为： ｆ ｘＭ＝－０．９６５７７； ｆｙＭ＝－０．２５９３９； ｆ ｘＬ＝－０．７０８１； ｆ ｙＬ＝－０．７０６１１； ｆａ＝１ ６７３９；ｆｂ＝０．４４６７２㊂将单点测量不确定度ｕ０＝１．５６μｍ代入式（１０） 式（１１），计算不确定度ｕａ＝０ ３１８μｍ和ｕｂ＝０．３１８μｍ㊂根据式（１２）计算圆度测量不确定度为：ｕｆ＝２．２７４μｍ②蒙特卡罗法评定圆度测量不确定度㊂利用计算机生成圆度误差模型中６个参数ｘＭ㊁ｘＬ㊁ｙＭ㊁ｙＬ㊁ａ㊁ｂ的正态分布㊂每个参数数组的期望为该参数的测量值，方差为该参数的测量不确定度，即为：［ｘＭ１，ｘＭ２，ｘＭ３， ，ｘＭＭ］ Ｎ（－９．６７０３ｍｍ，１ ５６μｍ）㊃７６㊃自㊀动㊀化㊀仪㊀表第３９卷［ｘＬ１，ｘＬ２，ｘＬ３， ，ｘＬＭ］ Ｎ（７．０８７８ｍｍ，１．５６μｍ）［ｙＭ１，ｙＭ２，ｙＭ３， ，ｙＭＭ］ Ｎ（２．６０３５ｍｍ，１．５６μｍ）［ｙＬ１，ｘＬ２，ｘＬ３， ，ｘＬＭ］ Ｎ（７．０５４２ｍｍ，１．５６μｍ）［ａ１，ａ２，ａ３， ，ａＭ］ Ｎ（０．０１５７，０．３１８μｍ）［ｂ１，ｂ２，ｂ３， ，ｂＭ］ Ｎ（０．００２，０．３１８μｍ）取样本容量Ｍ＝１００００㊂根据所得随机数，求出１００００个圆度误差值ｆ，构建圆度误差概率分布㊂圆度误差概率分布直方图如图３所示㊂求出这组数据的期望和方差，即为圆度误差和圆度测量不确定度［１２］㊂图３㊀圆度误差概率分布直方图Ｆｉｇ．３㊀Ｈｉｓｔｏｇｒａｍｏｆｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｒｏｕｎｄｎｅｓｓｅｒｒｏｒ由图３可知：圆度误差ｆ＝４１．９２４５μｍ，圆度测量不确定度ｕｆ＝２．１９４５μｍ㊂③结果比较㊂ＧＵＭ法的评定结果为：圆度误差ｆ＝４１．９２６２μｍ；圆度测量不确定度ｕｆ＝２．２７４１μｍ㊂蒙特卡罗法的评定结果为：圆度误差ｆ＝４１．９２４５μｍ；圆度测量不确定度ｕｆ＝２１９４５μｍ㊂由以上评定结果比较可知，ＧＵＭ法和蒙特卡罗法评定圆度测量不确定度的结果基本一致，并且完全满足精度要求㊂因此，蒙特卡罗法以其评定结果准确㊁可靠，评定过程简单㊁高效的优点，为测量不确定度评定提供了一种新的方法㊂４ 结束语本文分别采用了ＧＵＭ法㊁蒙特卡罗法对直角坐标系下的圆度误差进行了测量不确定度评定㊂试验数据表明，两种方法的评定结果基本一致㊂ＧＵＭ法是按照‘测量不确定度评定指南“中的评定步骤进行评定的，需要求出圆度误差数学模型中各个参数的传递系数㊂误差模型复杂或非线性时，参数之间的相关系数难以求出，对圆度测量不确定度的评定带来了困难㊂而蒙特卡罗法则采用数据模拟的方法进行圆度测量不确定度的评定，针对误差模型复杂或非线性的情况，其评定更为便捷㊂因此，蒙特卡罗法评定圆度测量不确定度是一种行之有效的方法㊂该方法也可应用到其他形位误差测量不确定度的评定，在测量领域具有一定的工程实用价值和应用前景㊂参考文献：［１］中国计量研究院．测量不确定度的评定与表示：ＪＪＦ１０５９．１⁃２０１２［Ｓ］．国家质量监督检验检疫总局，２０１２．［２］周桃庚．用蒙特卡洛法评定测量不确定度［Ｍ］．北京：中国质检出版社，２０１３．［３］齐秀彪．圆度误差数学模型的建立与仿真分析［Ｊ］．本溪冶金高等专科学校学报，２００１，３（２）：２６⁃２８．［４］赵凤霞，张琳娜，方东阳．圆柱度误差评定及其不确定度估计［Ｊ］．机械设计与研究，２００９，２５（４）：８９⁃９１．［５］倪骁骅．形状误差评定和测量不确定度估计［Ｍ］．北京：化学工业出版社，２００８．［６］连慧芳，陈晓怀．基于蒙特卡罗方法的圆度测量不确定度评定［Ｊ］．工具技术，２０１０，４４（６）：８２⁃８４．［７］吴呼玲．基于蒙特卡罗法与ＧＵＭ法的直线度测量不确定度评定［Ｊ］．工具技术，２０１７，５１（５）：１０４⁃１０７．［８］吴呼玲．基于蒙特卡罗法的平面度测量不确定度评定［Ｊ］．计算机测量与控制，２０１７，２５（５）：２６２⁃２６５．［９］郭连湘，何频．计量仪器与检测［Ｍ］．北京：化学工业出版社，２００６．［１０］王东霞，宋爱国．基于三坐标测量机的圆度误差不确定度评估［Ｊ］．东南大学学报，２０１４，４４（５）：９５２⁃９５６．［１１］费业泰．误差理论与数据处理［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２０１０．［１２］高正明，贺升平，赵娟．一种新的不规则实体密度测量方法研究［Ｊ］．自动化仪表，２０１２，３３（１２）：１０⁃１２．㊃８６㊃。
关注JJF1059_1_2012_测量不确定度评定
新发布、实施的 1059. 1 以及 1059. 2 均可通过中 国计量科学研究院文献馆索取。其电子邮箱 为 nstljl@ nim. ac. cn，应可按要求免费发送到所提供的电子 信箱 （ 7 天不间断、24h 原文传递服务） 。
杭州中创电子有限公司是一家集 “中创” 系列热工检 验仪表的研发、生产、销售于一体的专业生产厂家。公司现
有员工 120 余名，其中研发人员超过 30 名，厂区建筑面积 达 17500 平方米。
主要产品或业务范围： 组合式多路校验仪、台式万用 表、函数信号 发 生 器、多 功 能 过 程 校 验 仪、电 流 电 压 校 验 仪、温度校验仪、热电偶 校 验 仪、 热 电 阻 校 验 仪、台 式 多 路信号发生器、便携式压力校验仪等。主要用于电力、石 油、化工、冶金、计量、铁路、纺织、环保等行业。产品 在全国 1200 多家企业使用，经销商队伍遍布全国 30 余个 省市。
本人未参与 1059. 1 及 1059. 2 的起草和有关的讨 论，因而，本文所涉及的一些内容，只是个人之见， 与读者讨论而已，对本文的意见，欢迎在本刊提出或 直接提交本人。
1 实施 1059. 1 需要特别注意的几个方面
1. 1 术语及定义 首 先 是 所 依 据 的 计 量 术 语 及 定 义 的 规 范 JJF
UNCERTAINTY OF MEASUREMENT
第一个有效数为 1 或 2 时，一般给出两位有效数而不 是一位。 1. 4 适用范围
（ 1） JJF 1059 没有明确指只适用于输出量 Y 的估 计值应是接近正态分布，而且输入量 Xi 的估计值应 是接近对称形式的分布。在 1059. 1 中提出，只有在 符合这一要求的情况下，才适宜采用 1059. 1 给出的 方法进行评定，所谓 GUM 方法。否则 1059. 1 认为这 个用和最基 本的方法。
圆弧检测结果的不确定度评定
圆弧检测结果的不确定度评定邓杨扬;陈昶;邓水平【摘要】介绍圆弧间接测量法检测中半径值及圆心位置的测量不确定度评定方法,比较测量不确定度评定指南方法(GUM)与蒙特卡洛方法(MCM)的结果差异及评定测量不确定度的流程,分析了小圆心角圆弧测量不确定度大的原因,在实际工作中应尽量避免检测小圆心角的圆弧.【期刊名称】《中国重型装备》【年(卷),期】2018(000)003【总页数】4页(P15-18)【关键词】半径值;圆心位置;测量不确定度评定;蒙特卡洛方法【作者】邓杨扬;陈昶;邓水平【作者单位】西南交通大学机械工程学院,四川610031;二重(德阳)重型装备有限公司检测中心,四川618013;国家重大技术装备几何量计量站,四川610199【正文语种】中文【中图分类】TG8061 概述圆弧的半径值和圆心位置是通过间接测量法得到的。
通常是在圆弧上先采集数据(坐标点)，然后通过对采集数据进行计算处理，得到圆弧的半径值和圆心位置，如大多数三坐标测量机测量圆弧都是通过对圆弧上的检测数据(坐标点)进行处理，得到圆弧半径值和圆心位置。
对于圆心角小于45°的圆弧，由于采集坐标点的不确定度和间接测量传递系数的影响，圆弧的圆心位置的测量误差很大，其圆弧半径的测量误差也随之增大。
本文用测量不确定度评定指南方法(GUM)和蒙特卡洛方法(MCM)对小圆心角圆弧的圆弧半径值和圆心位置的不确定度进行评定、比较，说明蒙特卡洛方法的一般流程及优势，分析半径值及圆心位置的测量不确定度的原因。
2 圆弧样板测量不确定度评定本文以GLOBAL silver Performance 07.10.07为例，对半径为50 mm的工件进行测量，圆心设定为(0，0)，用GUM方法对其进行不确定度评定。
(1)检测设备的计量特性MPE：(1.5+2.8L) μmMPEP：1.5 μm(2)工件圆弧半径：R50 mm公差：±0.50 mm圆心半角：2°(3)测量参数圆弧直径及测量不确定度：UR0圆心位置及测量不确定度：Ux0、Uy02.1 GUM方法2.1.1 间接测量圆弧的模型根据一般圆的方程：x2+y2+ax+by+c=0将l(x1，y1)，m(x2，y2)，n(x3，y3)代入方程后，求得圆心坐标点为：x0=[(x12+y12)(y2-y3)+(x22+y22)(y3-y1)+(x32+y32)(y1-y2)]/2[y1(x3-x2)+y2(x1-x3)+y3(x2-x1)]y0=[(x12+y12)(x3-x2)+(x22+y22)(x1-x3)+ (x32+y32)(x2-x1)]/2[y1(x3-x2)+y2(x1-x3)+y3(x2-x1)]圆弧半径为：传递系数v和p是对圆心坐标x0、y0求偏导求得，其公式略。
一种蒙特卡罗方法在测量不确定度评定中的新算法
一种蒙特卡罗方法在测量不确定度评定中的新算法崔伟群（中国计量科学研究院，北京，100013）摘要：通过对现有利用蒙特卡罗方法进行不确定度评定过程的分析，指出了目前评定过程中存在理论上的不衔接，并给出了一种全新的利用蒙特卡罗方法进行不确定度评定的算法，弥补了现有方法的缺憾。
关键词：蒙特卡罗，不确定度，不确定度评定A New Computational Method of Using Monte Carlo Method to Evaluate Measurements UncertaintyCUI Wei-qun(China National Institute of Metrology, Beijing 100013 )Abstract-Based on analyzing the existing Monte Carlo method to evaluate measurementsuncertainty, the theoretical gap of the current assessment process is discovered. After that, a new method is deduced to evaluate measurements uncertainty and making up for the shortcomings of existing method.Keywords- Monte Carlo, uncertainty ，evaluate measurements uncertainty 0. 引言蒙特卡罗方法（MCM ）的基本思想是依据大数定律，当求解某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，可以通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率或期望，并将其作为问题的解。
近年来，蒙特卡罗方法被大量应用在测量不确定度评定[1-10]中，核心是求取模拟样本的标准差。
蒙特卡罗法与动态测试不确定度分析
随机 性 ， 动态 测量 难免 存 在随机 误 差或 者干 扰 、 噪声 等 ， 动 态数 据 具 有 随机 性 ． 使 同时 ， 些 被测 量 有
量本 身就 表现 为某 种 随机 函数 ， 如非 线性 问题 等 ．
相关 性 ， 动态 测量 的相 临 瞬时值 之 间与 常量 重复 测量 的相 临值 之 间具有 独立 性不 同 ， 而是 具有相 关 性． 关性 是两 组 与时 间相 关测 量量 相似 性 的一 种衡 量 ， 讨论 动 态测试 随 机误差 与 不确定 度 问题 时也 相 在
求 问题 的近似解 ， 的精 度 可 以用估 计值 的各 阶矩 来 表示 ． 解 蒙 特 卡罗法 的基本 原理 ． 特卡 罗法 以随机模 拟 和统计 试 验为 手段 ， 蒙 是一 种从 随 机变量 的概率分 布 中 ， 过 随机选 择数 字 的方 法产 生一 种符 合该 随 机变 量概 率分 布特 性 的随机 数值 序列 ， 为输 入变 量序 通 作
号 处理 方法进 行 比较．
关 键 词 蒙 特 卡 罗 法 ； 确 定 度 ； 态 测 试 不 动 中图 分类 号 Ｔ ２ Ｕ
０ 引 言
蒙特 卡罗 法是 ２ Ｏ世 纪 ４ ０年 代发 展起 来 的 随机模 拟方 法 ， 以对 随机 问题 进行 方针 为基 本特 征 ， 决定
了其成 为 一种解 决 随机 问题 的特 殊数 值方 法． 文将 探讨 将 三 者 （ 态测 试 ， 确 定 度 ， 本 动 不 蒙特 卡 罗 法 ） 综
要考 虑其 自相 关性 ．
２ ２ 动 态 数 据 的 不 确 定 度 分 析 ．
测量 不确 定度 是 用 以表征 合理 赋予 被测 量值 的分散 性［ ， ５ 它是 评定 测量 结果 的重 要参 数． 量结 果 ］ 测
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
蒙特卡罗法评定圆度测量不确定度吴呼玲【摘要】形位误差测量的复杂性和测量结果评定的多样性,使形位误差的不确定度评定较为困难.因此,探索一种准确、高效的形位误差测量不确定度评定方法具有实际的意义.目前,主要根据《测量不确定度评定指南》进行形位误差不确定度评定,评定过程需要计算出误差模型中的传递系数.当误差模型复杂或者参数之间存在非线性时,评定结果准确性差.为解决该问题,在分析形位误差测量不确定度评定方法和评定原理之后,提出了采用蒙特卡罗法评定形位误差测量不确定度.该方法利用计算机产生伪随机数来模拟圆度误差的实际测量值,将其代入误差模型中,构成圆度误差的概率分布,并求出其期望值和方差,从而得出圆度误差和测量不确定度.试验数据显示,蒙特卡罗法评定圆度不确定度结果可靠、高效快捷,为几何量测量领域、误差分析与数据处理领域提供了新的方法,值得推广和应用.%The complexity of the measurement and the diversity of measurement results make it difficult to assess the uncertainty of the form and position error.Therefore,it is of great significance to explore an accurate and efficient method of measurement uncertainty.At present,the uncertainty of form and position is mainly evaluated according to the"Guide to the Expression of the Uncertainty in Measurement".The transmission coefficient in mathematical model needs to be calculated during the evaluation process.When the model is complex or nonlinearity exists among parameters,the accuracy of evaluation results is poor.In order to solve this problem,on the basis of analyzing the uncertainty evaluation method and the evaluation principle,Monte Carlo method is proposed to measure the uncertainty ofform and position error measurement.With this method,the pseudo random number generated by computer is used to simulate the actual measured values of the roundness error for the error model,to constitute the probability distribution of the roundness error,calculate the expected value and variance,and obtain the roundness error and measurement uncertainty.The experimental results shows that the method is accurate,simple and efficient,and provides a new method in the fields of geometric measurement,error analysis,and data processing,which is worth to be popularized and applied.【期刊名称】《自动化仪表》【年(卷),期】2018(039)005【总页数】5页(P64-68)【关键词】蒙特卡罗法;圆度误差;最小二乘法;不确定度;MATLAB;三坐标测量机;形位误差【作者】吴呼玲【作者单位】陕西国防工业职业技术学院机械工程学院,陕西西安710300【正文语种】中文【中图分类】TH124;TP2740 引言圆度误差是轴套类零件经常需要检测的形位误差项目。
圆度误差测量不确定度的评定已成为测量领域的一个重要课题。
常用的圆度测量不确定度评定方法有：①依据《测量不确定度表示指南》(guide to the expression of uncertainty in measurement，GUM)的基本原理和方法(GUM[1]法);②蒙特卡罗法[2](Monte Carlo method,MCM)。
GUM法需要根据评定方法建立误差数学模型，首先求出误差模型中的传递系数和参数间的相关系数，然后根据测量不确定度合成公式进行评定。
由于圆度测量的点数较多，而且分为直角坐标系和极坐标系两种情况，误差模型较为复杂，因此很难求出不确定度。
蒙特卡罗法是一种统计模拟的方法，使用随机数模拟实际测量值来解决问题。
该方法利用MATLAB软件中的相关函数产生一组随机数组来模拟实际测量值，求出形位误差的测量不确定度。
该方法评定结果准确、操作方便、简单快捷，为测量技术领域和其他数据处理领域提供了新的方法。
1 圆度误差的最小二乘数学模型测量圆度误差时，以零件测量时的回转中心O为圆心，选取两个相互垂直的径向线构成直角坐标系。
圆度最小二乘模型如图1所示。
图1 圆度最小二乘模型Fig.1 The least squares model of roundness在零件截面轮廓上，以等角度间隔进行测量采样。
采样数据为pi(xi,yi)(i=1,2,…,n)。
其中：xi为实际圆周上各采样点在x轴上的坐标值，yi为采样点在y坐标轴上的坐标值。
设采样点的截面轮廓的最小二乘圆圆心O′的直角坐标为O′(a,b)，最小二乘圆的半径为R，则最小二乘圆方程为：(x-a)2+(y-b)2=R2(1)式中：a、b分别为最小二乘圆圆心在直角坐标系中的坐标值；R为最小二乘圆的半径。
根据实际轮廓圆上各pi点的直角坐标值,求得最小二乘圆圆心坐标a和b。
(2)(3)式中：n为实际轮廓等分的间隔数。
实际轮廓上的各采样点pi到最小二乘圆的偏距ΔRi为：(4)设距离最小二乘圆心最远的点和最近的点分别为(xM,yM)、(xL,yL),则圆度误差可表示为[3]：f=(5)式中：(xM,yM)为实际采样点距离最小二乘圆心最远的点坐标；(xL,yL)为实际采样点距离最小二乘圆心最近的点坐标。
2 圆度测量结果不确定度评定2.1 GUM法要计算圆度的测量不确定度[4]，首先要确定圆度误差模型中各参数的传递系数和单点测量不确定度。
①计算式(5)中圆度误差模型各参数的传递系数[5]。
(6)(7)(8)(9)(10)(11)②计算各参数测量不确定度。
实际测量中，各测量点的测量环境是相同的，各点的测量不确定度也是相同的，都等于单点测量不确定度。
a和b的不确定度可通过式(12)和式(13)求得：(12)(13)式中：μ0为圆度的单点测量不确定度。
将推导出来的传递系数和单点测量不确定度代入圆度测量不确定度评定公式[6]，即可求得圆度的测量不确定度。
(14)2.2 蒙特卡罗法利用蒙特卡罗伪随机数原理，根据圆度误差模型，产生服从正态分布的随机数序列值。
该序列值的期望为各参数的测量值，方差为各参数的单点标准不确定度，从而得出圆度的测量不确定度[7]。
①分析不确定度来源。
设定分布类型、分布区间，得出各不确定度数值。
②确定圆度误差模型(5)中的参数：xM、xL、yM、yL、a、b的期望和方差。
③以xM、xL、yM、yL、a、b这6个参数的期望和方差，分别生成六维随机数模拟圆度误差的实际测量值，样本容量取M，对其进行圆度误差的不确定度评定。
六维随机数分别为：[xM1,xM2,xM3,…,xMM];[xL1,xL2,xL3,…,xLM];[yM1,yM2,yM3,…,yMM];[yL1,yL 2,yL3,…,yLM];[a1,a2,a3,…,aM];[b1,b2,b3,…,bM]。
④将产生的随机数值代入圆度误差模型，求出M个圆度误差值f。
根据这组f值，构造概率分布。
其方差值则为圆度误差的测量不确定度[8]。
3 试验数据采集及结果验证使用爱德华公司MQ686型三坐标测量机，对JP19型万能工具显微镜的顶尖轴进行圆度误差的测量[9]和评定。
将被测顶尖轴用高精度三爪卡盘夹紧，放置于三坐标测量机的测量平台上；然后对其进行圆度测量。
在被测顶尖轴上选取三个截面，每个截面等角度测量24个点。
三坐标测量机测量顶尖轴圆度数据如表1所示。
表1 顶尖轴圆度数据Tab 1 Roundness data of the top axismm测点X轴坐标Y轴坐标110．0038-0．011629．66692．582238．67434．988647．08787．054255．02238．6 50462．60999．656170．009610．00898-2．56899．66369-4．98178．668410-7．05557．080611-8．64965．009412-9．67032．6035测点X轴坐标Y轴坐标13-9．99590．003614-9．6639-2．578015-8．6618-4．995416-7．0725-7．070317-5．0028-8．659718-2．5860-9．663019-0．0048-10．0011202．5982-9．6588215．0116-8．6581227．0830-7．0656238．6706-4．9979249．6646-2．58663.1 不确定度来源分析三坐标测量机的工作要求是：室内温度达到20 ℃，被测零件和测量设备等温10 h。
其三坐标测量机的不确定来源可忽略温度、湿度带来的影响，主要分析以下几个方面的影响[10]。
①重复性引起的不确定度分量。
圆度测量不确定度评定的主要因素之一，是测量重复性测量引起的不确定度[11-12]。
影响圆度的主要因素是半径的变化量。
因此，需要考虑半径变化量测量的重复性误差。
在圆度测量的24个测量点中选取4个点(1、5、15和20点)进行各点的重复性误差计算。