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北师大版高一数学测试题及答案

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北师大版高一数学期末试卷及答案

北师大版高一数学期末试卷及答案

北师大版高一数学期末试卷及答案一、选择题（每小题4分，共40分）1. 已知函数 f(x) = x^3 - 3x，下列结论正确的是（）A. 函数在区间（-∞，0）上单调递增B. 函数在区间（0，+∞）上单调递增C. 函数在区间（-∞，1）上单调递增D. 函数在区间（1，+∞）上单调递增2. 若函数 f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 1 在区间（-∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. a ≤ 1B. a ≥ 1C. a ≤ 0D. a ≥ 03. 已知函数 f(x) = x^2 + kx + 1，其中k为实数，若函数的图像上存在两个不同的点A、B，使得∠AOB = 90°（O为坐标原点），则实数k的取值范围是（）A. k ≤ 1B. k ≥ 1C. k ≤ -1D. k ≥ -14. 若函数 g(x) = x^2 + 2x - 3 在区间（a，b）上单调递增，则实数a和b的取值范围是（）A. a < -3，b > 1B. a < -1，b > 1C. a < -1，b > 3D. a < -3，b > 35. 若函数 h(x) = |x - 2| - |x + 1| 的最小值为-3，则实数x的取值范围是（）A. x ≤ 0B. x ≤ 1C. x ≤ 2D. x ≤ -16. 若函数 y = 2x - 3 是函数 y = f(x) 的反函数，则函数 f(x) 的解析式是（）A. f(x) = (3x + 1) / 2B. f(x) = (2x + 3) / 3C. f(x) = 2x + 3D. f(x) = 3x - 27. 已知函数 f(x) = x^2 + mx + 1 在区间（-∞，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是（）A. m ≤ 2B. m ≥ 2C. m ≤ 0D. m ≥ 08. 若函数 f(x) = (x - 2)^2 + 1 在区间（a，b）上取得最小值，则实数a和b的取值范围是（）A. a ≤ 2，b ≥ 2B. a ≤ 1，b ≥ 3C. a ≤ 0，b ≥ 4D. a ≤ -1，b ≥ 59. 已知函数 g(x) = x^3 + 3x 在区间（-∞，+∞）上单调递增，则实数x的取值范围是（）A. x ≤ 0B. x ≥ 0C. x ≤ 1D. x ≥ 110. 若函数 h(x) = |2x - 1| + |x + 3| 的最小值为4，则实数x的取值范围是（）A. x ≤ 2B. x ≤ 1C. x ≤ 3D. x ≤ -2二、填空题（每小题4分，共40分）11. 函数 f(x) = x^3 - 3x 的导数为________。

北师大版高一数学试卷(含答案)(必修一、五)

北师大版高一数学试卷(含答案)(必修一、五)

一、单选题1.设集合,则（）A ．B．C．D．【答案】B2.已知，则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【答案】B由题意得：向量在方向上的投影为：本题正确选项：3．已知，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】D，，因为，所以，，故,故选：D.4.已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于（）A．B．C．D．【答案】C由题意可得，又，所以,故选C.5．若，则（）A．B．C．1D．【答案】C【详解】∵,∴,故选:C.6．已知等差数列的前项和为，，，则数列的前2020项和为（）A．B．C．D．【答案】A因为数列是等差数列，所以.设公差为，因为，所以解方程组得所以数列的通项公式为，所以.设为数列的前项和，则∴7．如图是函数的部分图象２，则该解析式为（）A．B．C．D．根据图象可得：，最小正周期，，经过，，，，，所以，所以函数解析式为：.故选：D8．已知函数在闭区间有最大值3，最小值2，则m的取值范围为()A．B．C．D．【答案】D解：，作出函数的图象，如图所示，当时，取得最小值，，且因为函数在闭区间上有最大值，最小值，则实数的取值范围是．故选：．9.已知O，N，P在所在平面内，且，，且，则点O，N，P依次是的（）A．重心外心垂心B．重心外心内心C．外心重心垂心D．外心重心内心【答案】C由题：，所以O是外接圆的圆心，取中点，，，即所在直线经过中点，与中线共线，同理可得分别与边的中线共线，即N 是三角形三条中线交点，即重心，，，，，即，同理可得，即P是三角形的垂心.故选：C10．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B由可知为单调递减函数由复合函数单调性性质可知,当为减函数时对数部分为增函数,即由对数定义域的要求可知,在时恒成立所以当时,满足解得综上可知,,即11.已知函数在其定义域内单调递减，若不等式恒成立，则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】A【详解】函数在其定义域内单调递减，且，，令，则恒成立，由，可得，所以，12．已知定义在R上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有2020个零点，则m的取值范围是()A．B．C．D．【答案】A由题意，函数为R上奇函数，所以，且，又，可得，可得函数的图象关于点对称，联立可得，所以是以2为周期的周期函数，又由函数的周期为2，且关于点对称，因为当时，，由图象可知，函数和的图象在上存在四个零点，即一个周期内有4个零点，要使得函数，在区间上有2020个零点，其中都是函数的零点，可得实数满足，即.故选A.13．已知向量，，若，则实数x的值是________.【答案】【解析】【分析】根据向量垂直的条件，利用向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，向量，，因为，即，解得.故答案为：.14．已知数列的首项，，则的通项______.【答案】【解析】【分析】由已知条件可得，再利用等差数列通项公式的求法求解即可.【详解】解：由两边同除以可得，，即，所以数列以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以.15．已知，，若数列单调递减，则的最小值为__________．【答案】解：，分段数列在每一段上都单调递减，所以单调递减，等价于当时，成立，当时，成立所以的最小值为16．若存在实数，使得时，函数的值域也为，其中且，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【详解】为增函数，且时，函数的值域也为，，相当于方程有两不同实数根,有两不同实根，即有两解，整理得：，令，有两个不同的正数根，只需即可，解得，故答案为：三、解答题17．已知.(1)求函数的最小正周期及单调递减区间;(2)求函数在区间的取值范围.【答案】(1),,;(2).【详解】(1)由题意，化简得所以函数的最小正周期∵的减区间为，由，得．所以函数的单调递减区间为，．(2)因为∵，所以，即有．所以，函数在区间上的取值范围是．18.已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，求实数的值；（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）且.【详解】（1）因为向量，，且，所以，解得，所以；（2）因为，且，所以，解得；（3）因为与的夹角是钝角，则且与不共线.即且，所以且.【点睛】本题考查平面向量坐标运算的加减、数乘，平行、垂直的坐标表示，还考查了两向量夹角为钝角，转化为数量积小于零且不共线的问题，属于中档题.19．数列满足，且，（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）∵，∴，∴∵，∴，∴数列是以1为首项，以1为公差的等差数列∴，∴（2）∵，∴∴∴20．已知数列为公差的等差数列，数列为公比的等比数列，数列满足，且有，（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【详解】（1）由题意可得,,可令,可得,即有,解得（舍去）,即则由等差数列通项公式可得,由等比数列通项公式可得；（2）,前n项和21．已知函数（，）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为4，且有一个零点为.（1）求函数的解析式；（2）若，且，求的值；（3）若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为4，所以函数的最小正周期是8.所以，解得.所以.因为函数有一个零点，所以，得（）.解得（）.由知，，所以；（2）由，得，即，由，得，所以.所以（3）由，得，所以当时，，若在上恒成立，则在上恒成立，则，即，解得.故的取值范围为.22．已知函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）若，对任意有恒成立，求实数取值范围；（3）设,若，问是否存在实数使函数在上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）（3）不存在,理由见解析.【详解】（1）函数的定义域为R,且为奇函数所以,即解得（2）由（1）可知当时,因为,即解不等式可得所以在R上单调递减,且所以不等式可转化为根据函数在R上单调递减所不等式可化为即不等式在恒成立所以恒成立化简可得由打勾函数的图像可知,当时,所以（3）不存在实数.理由如下:因为代入可得,解得或(舍)则,令,易知在R上为单调递增函数所以当时,,则根据对数定义域的要求,所以满足在上恒成立即在上恒成立令,所以,即又因为所以对于二次函数,开口向上,对称轴为因为所以所以对称轴一直位于的左侧,即二次函数在内单调递增所以,假设存在满足条件的实数,则:当时,由复合函数单调性的判断方法，可知为减函数,所以根据可知,即解得,所以舍去当时,复合函数单调性的判断方法可知为增函数,所以根据可知,即解得,所以舍去综上所述,不存在实数满足条件成立.。

(北师大版)高中数学必修第一册 第四章综合测试试卷03及答案

(北师大版)高中数学必修第一册 第四章综合测试试卷03及答案

第四章综合测试一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.若3log 14a ，则实数a 的取值范围是（ ）A .304æöç÷èø，B .34æö+¥ç÷èøC .314æöç÷èø，D .()3014æö+¥ç÷èøU ，，2.已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ）A .a b c＜＜B .a c b＜＜C .c a b＜＜D .b c a＜＜3.设227a =，则3log 2等于（ ）A .3aB .3a C .13aD .3a4.已知a ，b ，c 均大于1，且1log log 4c c a b =g ，则下列不等式一定成立的是（ ）A .ac b≥B .bc a≥C .ab c≥D .ab c≤5.已知5log 2x =，2log y =123z -=，则下列关系正确的是（ ）A .x z y＜＜B .x y z＜＜C .z x y＜＜D .z y x＜＜6.“{}12m Î，”是“ln 1m ＜”成立的（ ）A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分也非必要条件7.已知函数()()log 2a f x x =+，若图象过点()63，，则()2f 的值为（ ）A .2-B .2C .12D .12-8.已知2510a b ==，则11a b+=（ ）A .1B .2C .12D .159.已知函数()ln xf x x=，若()2a f =，()3b f =，()5c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A .b c a＜＜B .b a c＜＜C .a c b＜＜D .c a b＜＜10.如果函数()f x 的图象与函数()x g x e =的图象关于直线y x =对称，则()24f x x -的单调递增区间为（ ）A .()0+¥，B .()2+¥，C .()02，D .()24，二、填空题（本大题共6小题，共30分）11.已知函数()()()log 401a f x ax a a =-¹＞，且在[]01，上是减函数，则a 取值范围是________.12.不等式()2log 1020x -≥的解集为________.13.已知函数()()2log 13f x x =++，若()25f a +=，则a =________.14.已知()12log 11x +≥，则实数x 的取值范围是________.15.若()lg lg 2lg 2x y x y +=-，则xy=________.16.已知函数()()()log 201a f x x a a =-¹＞，恒过定点M 的坐标为________；若2a =则()34f =________.三、解答题（本大题共5小题，共70分）17.（1）()()3122log 22641log ln 349e p -+æö+-+++ç÷èø；（2）若lg 2a =，lg3b =，求5log 12的值（结果用a ，b 表示）18.（1()1132081274e p -æöæö--++ç÷ç÷èøèø；（2（3）已知a ，b ，c 为正实数，x y z a b c ==，1110x y z++=，求abc 的值.19.函数()()2log 21x f x =-.（1）解不等式()1f x ＜；（2）若方程()()4log 4x f x m =-有实数解，求实数m 的取值范围.20.已知函数()()()()log 2log 201a a f x x x a a =+--¹＞，且.（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性；（3）解关于x 的不等式()()log 3a f x x ≥.21.设函数()13lg 1x xf x x-=++.（1）试判断函数()()()2f x f xg x +-=和函数()()()2f x f x h x --=在定义域内的奇偶性；（2）令()()3x x f x j =-，求不等式()()2x x j j --＜的解集.第四章综合测试答案解析一、1.【答案】C【解析】解：3log 14a 等价于：3log log 4a a a ＞，可得134a a ìïíïî＞＞（无解）或034a a ìïíïî＜＜1＞，解得314a æöÎç÷èø.故选：C.2.【答案】B【解析】解：22log 0.2log 10a ==＜，0.20221b ==＞，0.3000.20.21=∵＜＜，()0.30.201c =Î∴，，a c b ∴＜＜，故选B.3.【答案】D【解析】因为227a =，所以2233log 273log 3log 2a ===，则33log 2a=.4.【答案】C【解析】a ∵，b ，c 均大于1，且1log log 4c c a b =g ，log c a ∴、log c b 大于零，则2log log log log 2c c c c a b a b +æöç÷èøg ≤，即2log log 142c c a b +æöç÷èø≤，()log 1c ab ∴≥或()log 1c ab -≤，当且仅当log log c c a b =，即a b =时取等号，a ∵，b ，c 均大于1，则log 1c ab ≥，解得ab c ≥，故答案选C.5.【答案】A【解析】解：551log 2log 2x ==＜，2log 1y =，121312z -æö==ç÷èø，.x z y ∴＜＜.故选：A.6.【答案】A【解析】解：对数函数的性质知ln10=，ln 2ln 1e =＜，从而知{}12m Î，是ln 1m ＜的充分条件，反过来由ln 0m ＜得到0m e ＜＜，m ∴并不是只能为1，2，“{}12m Î，”是“ln 1m ＜”成立的充分不必要条件，故选A.7.【答案】B【解析】解：将点()63，代入()()log 2a f x x =+中，得()3log 62log 8a a =+=，即38a =，2a =，所以()()2log 2f x x =+，所以()()22log 222f =+=.故选B.8.【答案】A【解析】解：2510a b ==∵，2log 10a =∴，5log 10b =，101010251111log 2log 5log 101log 10log 10a b +=+=+==∴，故选A.9.【答案】D【解析】解：由已知ln 2ln 33ln 22ln 3ln8ln 902366a b ---=-==＜，所以a b ＜，ln 2ln 55ln 22ln 5ln 32ln 250251010a c ---=-==＞，所以a c ＞，c a b ∴＜＜.故选D.10.【答案】C【解析】解：由题意可得函数()f x 与()x g x e =的互为反函数，故()ln f x x =，()()224ln 4f x x x x -=-，令240t x x =-＞，解得04x ＜＜.故()24f x x -的定义域为()04，，本题即求函数()24f x x -在()04，上的增区间.再利用二次函数的性质可得函数()24f x x -在()04，上的增区间为()02，，故选：C.二、11.【答案】()14，【解析】解：因为0a ＞，所以4t ax =-是减函数，又因为函数()()()log 401a f x ax a a =-¹＞，且在[]01，上是减函数，所以log a y t =是增函数，所以得1410a a ìí-´î＞＞，解得14a ＜＜，a 取值范围是()14，.故答案为()14，.12.【答案】92æù-¥çúèû，【解析】解：不等式()2log 1020x -≥可化为()22log 102log 1x -≥，即1021x -≥，解得92x ≤；所以函数()f x 的解集为92æù-¥çúèû，.故答案为：92æù-¥çúèû，.13.【答案】1【解析】解：由题意可得()()22log 335f a a +=++=，故()2log 32a +=，解得1a =.故答案为1.14.【答案】[)1112æù--+¥çúèûU ，，【解析】解：()12log 11x +≥，()12log 11x +∴≥或()12log 11x +-≤，解得1012x +＜≤或12x +≥，即112x --＜≤或1x ≥；∴实数x 的取值范围是[)1112æù--+¥çúèûU ，，.故答案为：[)1112æù--+¥çúèûU ，，.15.【答案】4【解析】因为()lg lg 2lg 2x y x y +=-，所以()22xy x y =-，即22540x xy y -+=，解得x y =或4x y =.由已知得0x ＞，0y ＞，20x y -＞，所以x y =不符合题意，当4x y =时，得4xy=.故答案为4.16.【答案】()30，5【解析】解：令()()log 20a f x x =-=，解得3x =，所以点()30M ，，当2a =时，()52234log 32log 25f ===.故答案为()30，；5.三、17.【答案】（1）解：()()3122log 22641log ln 349e p -+æö+-+++ç÷èø12281109278æö´-ç÷èøæö=++++´ç÷èø711182088=+++=；（2）lg 2a =∵，lg3b =，5lg122lg 2lg32log 12lg51lg 21a ba++===--∴.18.【答案】（1）解：原式1312325252121223333´æö-´-ç÷èøæö=--+=--+=ç÷èø；（2）原式()28125lg lg1025411lg10lg1022´´===-´--；（3）a ∵，b ，c 为正实数，0x y z a b c k ===＞，1k ¹.lg lg k x a =∴，lgk lg y b =，lg lg k z c=，1110x y z ++=∵，()lg lg lg lg 0lg lg abc a b c k k ++==∴，1abc =∴.19.【答案】（1）解：()1f x ＜即()2log 211x -＜，0212x -∴＜＜，123x ∴＜＜，20log 3x ∴＜＜，故不等式()1f x ＜的解集为{}20log 3x x ＜＜；（2）()()24log 21log 4x x m -=-∵有实数解， 210x -∵＞，0x ∴＞，且40x m -＞，()2214x x m -=-∴，在0x ＞上有解，即22241x x m =-++g g 在0x ＞上有解，设()21x t t =＞即2221m t t =-+在1t ＞上有解，当1t ＞时，22112212122m t t t æö=-+=-+ç÷èø，故实数m 的取值范围：1m ＞.20.【答案】（1）解：要是函数有意义，则2020x x +ìí-î＞＞，解得22x -＜＜，故函数()f x 的定义域为()22-，；（2）()()()()()()log 2log 2log 2log 2a a a a f x x x x x f x -=--+=-é+--ù=-ëû，所以函数()f x 为奇函数；（3）()()()2log 2log 2log 2a a axf x x x x+=+--=-∵，()()log 3a f x x ≥.()2log log 32aa xx x+-∴≥，02x ＜＜.当01a ＜＜时，232x x x +-0＜，解得213x ≤；当1a ＞时，2302x x x +-＞，解得12x ≤＜或203x ＜≤.21.【答案】（1）解：()g x 和()h x 的定义域都是()11-，，且()()()3322x xf x f xg x -+-+==，()()()331lg 221x x f x f x xh x x-----==++，所以对任意()11x Î-，有，()()332x xg x g x -+-==，()()331331lg lg 2121x x x x x xh x h x x x---+---=+=--=--+，故函数()g x 在()11-，内是偶函数，函数()h x 在()11-，内是奇函数；（2）因为()()13lg1x xx f x x j -=-=+，所以()()2x x j j --＜就是11lg lg 211x xx x-+-+-＜，即1lg 11x x -+＜，10101x x -+＜＜，解得9111x -＜＜.故此不等式的解集是9111æö-ç÷èø.。

高一数学高中数学北师大版试题答案及解析

高一数学高中数学北师大版试题答案及解析

高一数学高中数学北师大版试题答案及解析1.扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且，则扇形的圆心角为。

【答案】【解析】设圆的半径为r,则扇形的半径为3r,根据,则.2.已知点与两个定点的距离之比为，则点的轨迹的面积为（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，设点，则，即，整理得，所以点的轨迹表示以为圆心，半径为的圆，所以面积为，故选C．【考点】轨迹方程的求法．3.已知棱长等于2的正四面体的四个顶点在同一个球面上，则球的半径长为，球的表面积为．【答案】；6π【解析】将正四面体补成正方体，再将正方体放在一个球体中，利用它们之间的关系求解．解：如图，将正四面体补形成一个正方体，∵正四面体为2，∴正方体的棱长是，又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，∴2R=∴R=，球的表面积为6π．故填：；6π．点评：巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化．若已知正四面体V﹣ABC的棱长为a，求外接球的半径，我们可以构造出一个球的内接正方体，再应用对角线长等于球的直径可求得．4.电子手表厂生产某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（1≤X≤2013）等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先求出P（X=0），即第0次首次测到正品，即全是次品的概率，从而可得结论．解：由题意，P（X=0）=∴P（1≤X≤2013）=1﹣P（X=0）=故选B．点评：本题考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，考查学生的计算能力，属于中档题．5. 100件产品，其中有30件次品，每次取出1件检验放回，连检两次，恰一次为次品的概率为（）A．0.42B．0.3C．0.7D．0.21【答案】A【解析】设恰一次为次品为事件A，根据100件产品，其中有30件次品，每次取出1件检验放回，连检两次，可求基本事件的个数，从而可求恰一次为次品的概率．解：由题意，设恰有一次取出次品为事件A，则P（A）===0.42故选A．点评：本题考查的重点是概率知识的运用，解题的关键是确定基本事件的个数，应注意每次取出1件检验放回，属于基础题．6.已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1），．，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【答案】A【解析】由f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）可得单调递增，从而可得a＞1，结合，可求a．利用等比数列的求和公式可求，从而可求解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴从而可得单调递增，从而可得a＞1∵，∴a=2故=2+22+…+2n=∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*∴n=6故选：A点评：本题主要考查了利用导数的符合判断指数函数的单调性，等比数列的求和公式的求解，解题的关键是根据已知构造函数单调递增．7.已知曲线y=x2的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．4B．3C．2D．【答案】C【解析】根据切点处的导数即为切线的斜率建立等式关系，解出方程，问题得解．解：设切点的横坐标为t==，解得t=2，y′|x=t故选C．点评：本题考查了导数的几何意义，切点处的导数即为切线的斜率，属于基础题．8.已知y=f（x）=ln|x|，则下列各命题中，正确的命题是（）A．x＞0时，f′（x）=，x＜0时，f′（x）=﹣B．x＞0时，f′（x）=，x＜0时，f′（x）无意义C．x≠0时，都有f′（x）=D．∵x=0时f（x）无意义，∴对y=ln|x|不能求导【答案】C【解析】利用绝对值的意义将函数中的绝对值去掉转换为分段函数；利用基本的初等函数的导数公式及复合函数的求导法则：外函数的导数与内函数的导数的乘积，分别对两段求导数，两段的导数合起来是f（x）的导数．解：根据题意，f（x）=，分两种情况讨论：（1）x＞0时，f（x）=lnx⇒f'（x）=（lnx）'=．（2）x＜0时f（x）=ln（﹣x）⇒f'（x）=[ln（﹣x）]'=（这里应用定义求导．）故选C点评：本题考查绝对值的意义、考查分段函数的导数的求法、考查基本初等函数的导数公式及简单的复合函数的求导法则．9.已知，则f′（）=（）A．﹣1+B．﹣1C．1D．0【答案】B【解析】本题先对已知函数进行求导，再将代入导函数解之即可．解：故选B．点评：本题主要考查了导数的运算，以及求函数值，解题的关键是正确求解导函数，属于基础题．10.空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或【答案】C【解析】利用与同向共线的单位向量向量即可得出．解：∵，∴与同向共线的单位向量向量，故选：C．点评：本题考查了与同向共线的单位向量向量，属于基础题．11.函数f（x）=xsinx+cosx的导数是（）A．xcosx+sinx B．xcosx C．xcosx﹣sinx D．cosx﹣sinx【答案】B【解析】利用和及积的导数运算法则及基本初等函数的导数公式求出函数的导数．解：∵f（x）=xsinx+cosx∴f′（x）=（xsinx+cosx）′=（xsinx）′+（cosx）′=x′sinx+x（sinx）′﹣sinx=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx故选B点评：本题考查导数的运算法则、基本初等函数的导数公式．属于基础试题12.的导数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用导数的四则运算法则，按规则认真求导即可解：y′===故选A点评：本题考查了导数的除法运算法则，解题时认真计算即可，属基础题13.设函数f（x）在点x可导，则=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．不存在【答案】C【解析】利用导数的定义，把增量转化为2h，问题得以解决．解：==2f′（x）．故选C．点评：本题以函数为载体，考查导数的定义，关键是理解导数的定义，从而得解．14.已知点O为坐标原点，点A在x轴上，正△OAB的面积为，其斜二测画法的直观图为△O′A′B′，则点B′到边O′A′的距离为．【答案】2【解析】画出斜二测画法的直观图为△O′A′B′，求出正△OAB的边长，B′D′的长，然后求出点B′到边O′A′的距离．解：正△OAB的面积为，边长为2，O′A′=2D′为O′A′的中点，B′D′=所以点B′到边O′A′的距离：cos45°=故答案为：点评：本题考查斜二测法画直观图，点、线、面间的距离计算，考查计算能力，记住结论平面图形和直观图形面积之比为2．15.一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，直观图的底角为45°，两腰和上底边长均为1，则这个平面图形的面积为．【答案】2+【解析】根据斜二测化法规则画出原平面图形，可知水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故答案为：2+．点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则，正确画出原平面图形是解题的关键．16.如图是某一问题的算法程序框图，它反映的算法功能是．【答案】计算|x|的值．【解析】从赋值框输入的变量x的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．解：框图首先输入变量x的值，判断x≥0，执行输出x；否则，输出x的相反数：﹣x．算法结束．故此算法执行的是计算|x|的值．故答案为：计算|x|的值．点评：本题考查了程序框图中的选择结构，选择结构是先判断后执行，满足条件时执行一个分支，不满足条件执行另一个分支，此题是基础题．17.执行程序框图，输出的T= ．【答案】30．【解析】本题首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量T的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．解：按照程序框图依次执行为S=5，n=2，T=2；S=10，n=4，T=2+4=6；S=15，n=6，T=6+6=12；S=20，n=8，T=12+8=20；S=25，n=10，T=20+10=30＞S，输出T=30．故答案为：30．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况．18.变量y是变量x的函数，则（）A．变量x，y之间具有依赖关系B．变量x是变量y的函数C．当x每取一个值时，变量y可以有两个值与之对应D．当y每取一个值时，变量x有唯一的值与之对应【答案】A【解析】根据函数的定义去判断．解：变量y是变量x的函数，所以变量x，y之间具有依赖关系．故A正确．故选A．点评：本题主要考查函数的定义，比较基础．19.下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是（）A．y=x﹣1B．y=C．y=3x2+D．y2=x2【答案】D【解析】一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数．记做y=f（x）．分别利用函数的定义去判断，其中D中x对应y的取值不唯一．解：根据函数的定义可知A，B，C满足函数的定义．在D中当x=1时，y=±1；当y=2时，x=±2，不符合函数的定义．故选D．点评：本题考查函数的定义，函数的定义要求对于A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素对应．否则不能构成函数．20.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为 ()A．{1,1}B．{1}C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}【答案】B【解析】集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解集，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}.故选B.【考点】集合的表示方法点评：列举法是把集合中的所有元素一一写出的方法。

北师大版高一上册数学期末测试卷(一)附答案

北师大版高一上册数学期末测试卷(一)附答案
（1）当 时，判断函数 在 上的单调性及零点个数；
（2）若关于 的方程 有两个不相等实数根，求实数 的取值范围.
期末测试
答案解析
一、
1.【答案】C
【解析】解指数不等式求得集合 ，由此求得 ，进而判断出 中所含整数的个数.由 ，所以 ，所以 ，所以 ，所含整数为 共 个.
故选：C.
2.【答案】D
【解析】试题分析：A中函数在区间 上单调递减；B中函数不是奇函数；C中函数不是奇偶函数；D中函数既是奇函数又在区间 上单调递增的函数.
A. B. 或
C. 或 D.
二、填空题（4分×5=20分）
13.函数 的定义域为________.
14.点 和点 的距离的最小值为________.
15.三条直线 ， ， 围成一个三角形，则 的取值范围是________.
16.已知函数 ，则关于 的方程 的实根个数构成的集合为________.
三、解答题（10分+12分×5=70分）
故选：B.
11.【答案】B
【解析】由三视图所提供的图形和数据可知：该几何体是一个底面是两直角边分别为 直角三角形，高为 的三棱锥，则其外接球的直径为 ，其表面积 ，应选答案B.
12.【答案】D
【解析】先根据幂函数定义解得 ，再根据单调性进行取舍，根据任意存在性将问题转化为对应函数值域包含问题，最后根据函数单调性确定对应函数值域，根据值域包含关系列不等式解得结果.由题意 ，则 ，即 ，当 时， ，又当 时， ， ，解得 ，故选D.
.所以圆 的方程为 .
（2） ，而 ，所以当 最小时， 最小，从而 最小. 的最小值为圆心 到直线 的距离，即 ，此时 ，也即 的最小值为 ，所以四边形 面积的最小值为 .

高一数学高中数学北师大版试题答案及解析

高一数学高中数学北师大版试题答案及解析

高一数学高中数学北师大版试题答案及解析1.已知点与两个定点的距离之比为，则点的轨迹的面积为（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，设点，则，即，整理得，所以点的轨迹表示以为圆心，半径为的圆，所以面积为，故选C．【考点】轨迹方程的求法．2.设P、A、B、C是球O表面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=4，PC=5，则球的半径为．【答案】【解析】根据PA、PB、PC两两相互垂直，所以我们可以在球内做一个内切长方体，长方体的三条长宽高分别是5、4、3．则长方体的体对角线就是球的直径．问题转化为求矩形的对角线，利用三边的长求得答案．解：因为PA、PB、PC两两相互垂直，所以我们可以在球内做一个内切长方体，长方体的三条长宽高分别是5、4、3．长方体的体对角线就是球的直径．所以r==故答案为：点评：本题主要考查了球的性质．考查了学生形象思维能力，创造性思维能力的．3.（2011•成都二模）如图，在半径为l的球O中．AB、CD是两条互相垂直的直径，半径OP⊥平面ACBD．点E、F分别为大圆上的劣弧、的中点，给出下列结论：①E、F两点的球面距离为；②向量在向量方向上的投影恰为；③若点M为大圆上的劣弧的中点，则过点M且与直线EF、PC成等角的直线有无数条；④球面上到E、F两点等距离的点的轨迹是两个点；其中你认为正确的所有结论的序号为．【答案】①③【解析】先建立如图所示的空间直角坐标系，写出坐标E（0，，），F（，﹣，0）B（0，1，0），P（0，0，1）C（1，0，0）再一一验证即可．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，，），F（，﹣，0）B（0，1，0），P（0，0，1）C（1，0，0）①cos∠EOF=cos∠EOBcos∠COB=cos45°cos（90°+45°）=﹣=﹣∴，对；②向量在向量方向上的投影为，错；③由于等角的值不是一定值，因此将直线EF、PC都平移到点M，可知过点M且与直线EF、PC 成等角的直线有无数多条，对；④过点EF的中点及球心O的大圆上任意点到点E、F的距离都相等，错；故答案为①③点评：本题主要考查了球的性质、球面距离及相关计算，解答的关键是建立适当的空间坐标系写出点的坐标后利用空间坐标进行计算．4.（2012•杭州一模）已知函数f（x）=，要得到f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）个单位．A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移【答案】D【解析】由于f′（x）=2cos（2x+），于是f′（x）=cos（2x+），利用诱导公式及平移变换规律即可得到答案．解：∵f′（x）=2cos（2x+），∴f′（x）=cos（2x+），∴将f（x）=sin（2x+）向左平移个单位可得：g（x）=f（x+）=sin[2（x+）+）]=sin[（2x+）+]=cos（2x+）=f′（x），故选D．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查简单复合函数的导数，考查理解与运算能力，属于中档题．5.已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f （x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1），．，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【答案】A【解析】由f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）可得单调递增，从而可得a＞1，结合，可求a．利用等比数列的求和公式可求，从而可求解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴从而可得单调递增，从而可得a＞1∵，∴a=2故=2+22+…+2n=∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*∴n=6故选：A点评：本题主要考查了利用导数的符合判断指数函数的单调性，等比数列的求和公式的求解，解题的关键是根据已知构造函数单调递增．6.已知曲线y=x2的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．4B．3C．2D．【答案】C【解析】根据切点处的导数即为切线的斜率建立等式关系，解出方程，问题得解．解：设切点的横坐标为t==，解得t=2，y′|x=t故选C．点评：本题考查了导数的几何意义，切点处的导数即为切线的斜率，属于基础题．7.设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=4x B．y=4x﹣8C．y=2x+2D．【答案】A【解析】据曲线在切点处的导数值为曲线切线的斜率，求g′（1）进一步求出f′（1），由点斜式求出切线方程．解：由已知g′（1）=2，而，所以f′（1）=g′（1）+1+1=4，即切线斜率为4，又g（1）=3，故f（1）=g（1）+1+ln1=4，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣4=4（x﹣1），即y=4x，故选A．点评：本题考查曲线在切点处的导数值为曲线切线的斜率．8.设f（x）=cos22x，则=（）A．2B．C．﹣1D．﹣2【答案】D【解析】先对函数进行化简，再对函数进行求导，再把代入进行求解即可．解：∵f（x）=cos22x=∴=﹣2sin4x∴故选D．点评：本题主要考查了复合函数的求导问题，要注意{f[g（x）]}′=f′（g（x）g′（x）．9.设y=﹣2e x sinx，则y′等于（）A．﹣2e x cosx B．﹣2e x sinx C．2e x sinx D．﹣2e x （sinx+cosx）【答案】D【解析】利用导数乘法法则进行计算．解：∵y=﹣2e x sinx，∴y′=（﹣2e x）′sinx+（﹣2e x）•（sinx）′=﹣2e x sinx﹣2e x cosx=﹣2e x（sinx+cosx）．故选D．点评：本题考查学生对导数乘法法则的运算能力，利用直接法求解．10.空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或【答案】C【解析】利用与同向共线的单位向量向量即可得出．解：∵，∴与同向共线的单位向量向量，故选：C．点评：本题考查了与同向共线的单位向量向量，属于基础题．11.（2014•福建模拟）已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：且回归方程是=0.95x+a，则当x=6时，y的预测值为（）A.8.0B.8.1C.8.2D.8.3【答案】D【解析】线性回归方程=0.95x+a，必过样本中心点，首先计算出横标和纵标的平均数，代入回归直线方程求出a即可得到回归直线的方程，代入x=6，可得y的预测值．解：由已知可得==2==4.5∴=4.5=0.95×+a=1.9+a∴a=2.6∴回归方程是=0.95x+2.6当x=6时，y的预测值=0.95×6+2.6=8.3故选D点评：题考查线性回归方程，是一个运算量较大的题目，有时题目的条件中会给出要有的平均数，本题需要自己做出，注意运算时不要出错．12.下列结论正确的是（）A．若y=x+，则y′=1+B．若y=cosx，则y′=sinxC．若y=，则y′=D．若y=，则y′=【答案】C【解析】利用导数的运算法则即可得出．解：A．∵，∴，因此A不正确；B．∵y=cosx，∴y′=﹣sinx；C．∵，∴，因此正确；D．∵，∴，因此不正确．综上可知：只有C正确．故选C．点评：熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．13.函数f（x）=xsinx+cosx的导数是（）A．xcosx+sinx B．xcosx C．xcosx﹣sinx D．cosx﹣sinx【答案】B【解析】利用和及积的导数运算法则及基本初等函数的导数公式求出函数的导数．解：∵f（x）=xsinx+cosx∴f′（x）=（xsinx+cosx）′=（xsinx）′+（cosx）′=x′sinx+x（sinx）′﹣sinx=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx故选B点评：本题考查导数的运算法则、基本初等函数的导数公式．属于基础试题14.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x0，y），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x）=0．若函数f（x）=x3﹣3x2，则可求得=（）A．4025B．﹣4025C．8050D．﹣8050【答案】D【解析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1，﹣2）对称，即f（x）+f（2﹣x）=﹣4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2011对﹣4和一个f （1）=﹣2，可得答案． 解：由题意f （x ）=x 3﹣3x 2，则f′（x ）=3x 2﹣6x ，f″（x ）=6x ﹣6，由f″（x 0）=0得x 0=1，而f （1）=﹣2，故函数f （x ）=x 3﹣3x 2关于点（1，﹣2）对称，即f （x ）+f （2﹣x ）=﹣4． 所以，…，，所以=﹣4×2012+（﹣2）=﹣8050，故选D ．点评：本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．15. （2014•虹口区二模）对于数列{a n }，规定{△1a n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中△1a n =a n+1﹣a n （n ∈N *）．对于正整数k ，规定{△k a n }为{a n }的k 阶差分数列，其中△k a n =△k ﹣1a n+1﹣△k ﹣1a n ．若数列{a n }有a 1=1，a 2=2，且满足△2a n +△1a n ﹣2=0（n ∈N *），则a 14= ． 【答案】26【解析】利用新定义，可得{a n }是从第2项起，2为公差的等差数列，即可求出a 14． 解：∵△k a n =△k ﹣1a n+1﹣△k ﹣1a n ，△2a n +△1a n ﹣2=0， ∴△1a n+1=2， ∴a n+2﹣a n+1=2， ∵a 1=1，a 2=2，∴{a n }是从第2项起，2为公差的等差数列， ∴a 14=2+2（14﹣2）=26． 故答案为：26．点评：本题考查数列的应用，考查新定义，确定{a n }是从第2项起，2为公差的等差数列是关键．16. 一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，直观图的底角为45°，两腰和上底边长均为1，则这个平面图形的面积为 ． 【答案】2+【解析】根据斜二测化法规则画出原平面图形，可知水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2， 下底为1+， S=（1++1）×2=2+．故答案为：2+．点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则，正确画出原平面图形是解题的关键．17. 如图所示的直观图（△AOB ），其平面图形的面积为 ．【答案】6【解析】根据直观图与平面图形的画法，推出平面图形的形状，根据数据关系，不难求出平面图形的面积．解：如图所示的直观图（△AOB ），其平面图形是一个直角三角形，直角边长为：3；4； 所以它的面积为：，故答案为：6．点评：本题考查直观图与平面图形的画法，注意两点：一是角度的变化；二是长度的变化；考查计算能力．18.下面程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A．c＞x B．x＞c C．c＞b D．b＞c【答案】A【解析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量X=C．解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，∵条件成立时，保存最大值的变量X=C故选A．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．19.如图是某一问题的算法程序框图，它反映的算法功能是．【答案】计算|x|的值．【解析】从赋值框输入的变量x的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．解：框图首先输入变量x的值，判断x≥0，执行输出x；否则，输出x的相反数：﹣x．算法结束．故此算法执行的是计算|x|的值．故答案为：计算|x|的值．点评：本题考查了程序框图中的选择结构，选择结构是先判断后执行，满足条件时执行一个分支，不满足条件执行另一个分支，此题是基础题．20.在国家法定工作日内，每周满工作量的时间为40小时，若每周工作时间不超过40小时，则每小时工资8元；如因需要加班，超过40小时的每小时工资为10元．某公务员在一周内工作时间为x小时，但他须交纳个人住房公积金和失业保险（这两项费用为每周总收入的10%）．试分析算法步骤并画出其净得工资y元的算法的程序框图（注：满工作量外的工作时间为加班）．【答案】见解析【解析】本题考查的知识点是设计程序框图解决实际问题，我们根据题目已知中公交车票价的定价规则易写出分段函数的解析式y=，然后我们可根据分类标准，设置出判断框中的条件，再由函数两段上的解析式，确定判断框的“是”与“否”分支对应的操作，由此即可画出流程图．解：算法如下：第一步，输入工作时间x小时．第二步，若x≤40，则y=8x•（1﹣10%），否则y=40×8（1﹣10%）+（x﹣40）×10（1﹣10%）．第三步，输出y值．程序框图：点评：编写程序解决分段函数问题，要分如下几个步骤：①对题目的所给的条件的分类进行总结，写出分段函数的解析式；②根据分类标准，设置判断框的个数及判断框中的条件；③分析函数各段的解析式，确定判断框的“是”与“否”分支对应的操作；④画出流程图，再编写满足题意的程序．。

北师大版高一下册数学期末测试卷(一)附答案

北师大版高一下册数学期末测试卷(一)附答案

北师大版高一下册数学期末测试卷（一）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

）1.圆221:(2)(2)1C x y ++-=与圆222:(2)(5)16C x y -+-=的位置关系是（ ） A.外离B.外切C.相交D.内切2.设a 、b 是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下列四个命题：正确的是（ ） A.若,a b a α⊥⊥则b α∥； B.若,,a ααβ⊥∥则a β⊥； C.若,,a αββ⊥⊥则a α∥D.若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥3.已知两条直线1:10l x y +-=，2:320l x ay ++=且12l l ⊥，则a =（ ）A.3-B.13-C.13D.3 4.若函数()y f x =的图像与函数32y x =-的图像关于坐标原点对称，则()y f x =的表达式为（ ）A.23y x =--B.23y x =+C.23y x =-+D.23y x =-5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，420S =，则10a =（ ） A.25B.32C.35D.406.已知ABC △的三边长为a ，b ，c ，且满足直线20ax by c ++=与圆22+4x y =相离，则ABC △是（ ） A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.以上情况都有可能7.如图：正三棱锥A BCD -中，40BAD ∠=︒，侧棱2AB =，BD 平行于过点C 的截面α，则平面α与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为（ ）A.2B. C.4D.8.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明。

现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）C'ABCDB'D'DCBAA.)0,02a ba b +≥＜＞ B.()2220,0a b ab a b +＞≥＞C.)20,0aba b a b+＞＞D.)0,02a b a b +＞＞ 9.已知A （3-，0），B （0，4），M 是圆C ：2240x y x +=-上一个动点，则MAB △的面积的最小值为（ ） A.4B.5C.10D.1510.如图所示，某学习小组进行课外研究性学习，隔河可以看到对岸两目标A 、B ，现在岸边取相距4 km 的C ，D 两点，测得75ACB ∠=︒，45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒，45ADB ∠=︒（A ，B ，C ，D 在同一平面内），则两目标A ，B 间的距离为（ ）kmA.B.C.D.11.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，侧面P AD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ）A.平面PAD ⊥平面PBCB.异面直线AD 与PB 所成的角为60°C.二面角P BC A --的大小为60°D.在棱AD 上存在点M 使得AD ⊥平面PMB12.如图，M 、N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论： ①异面直线AC 与BD 所成的角为定值。

北师大版高一数学测试题及答案

北师大版高一数学测试题及答案

（4）（3）（1）俯视图俯视图俯视图侧视图侧视图 侧视图侧视图正视图正视图 正视图 正视图（2）·高一数学第一学期模块检测卷数学必修2 斗鸡中学 张晓明一、选择题 ：(本大题共10小题 ，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选择项中,只有一项是符合题目要求的.)1．若直线l 经过原点和点A （－2，－2），则它的斜率为（ ） A ．－1B ．1C ．1或－1D ．02．各棱长均为a 的三棱锥的表面积为（ ）A ．234aB ．233aC ．232aD ．23a3． 如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ ）A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台4．经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为（ ）A ．23-B ．32-C ．32D ．25．不论m 取何实数，直线:+-+=20l mx y m 恒过一定点，则该定点的坐标为（ ）A. （－1，2）B.（－1，－2）C. （1，2）D. （1，－2） 6．如果AC ＜0，BC ＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知圆心为C （6，5），且过点B （3，6）的圆的方程为（ ）A ．22(6)(5)10x y -+-=B ．22(6)(5)10x y +++= C ．22(5)(6)10x y -+-= D ．22(5)(6)10x y +++= 8．在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ） A ．30° B ．45°C ．90°D ． 60°9、已知点P 是圆22(3)1x y -+=上的动点，则点P 到直线y ＝x ＋1的距离的最小值为（ ） A. 3 B. 22 C. 22－1 D. 22＋110、两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为（ ）A. 2B. 3C.－1D. 010．给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个1 A12．点),(00y x P 在圆222r y x =+内，则直线200r y y x x =+和已知圆的公共点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不能确定二、填空题（每题5分，共25分）13．已知原点O （0，0），则点O 到直线x+y+2=0的距离等于 ．14．经过两圆922=+y x 和8)3()4(22=+++y x 的交点的直线方程 15．过点（1，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程 16．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．17．已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α； ②若l ∥α，则l 平行于α内的所有直线； ③若m ⊂α，l ⊂β且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ⊂β，α⊥l ，则α⊥β；⑤若m ⊂α，l ⊂β且α∥β，则m ∥l ；其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上） 三、解答题（5道题，共65分）18．（本大题12分）如图是一个圆台形的纸篓（有底无盖），它的母线长 为50cm ，两底面直径分别为40 cm 和30 cm ；现有制作这种纸篓的塑料 制品50m2，问最多可以做这种纸篓多少个？19．（本大题12分）求经过直线L1：3x + 4y – 5 = 0与直线L2：2x – 3y + 8 = 0的交点M ，且满足下列条件的直线方程MA（1）与直线2x + y + 5 = 0平行 ； （2）与直线2x + y + 5 = 0垂直；20．（本大题12分）求圆心在03:1=-x y l 上，与x 轴相切，且被直线0:2=-y x l 截得弦长为72的圆的方程．21．（本大题14分）如图，在棱长为ɑ的正方体ABCD-1111A B C D 中，E 、F 、G 分别是CB 、CD 、1CC 的中点．（1）求直线1AC 与平面ABCD 所成角的正弦的值； （2）求证：平面11AB D ∥平面EFG ； （3）求证：平面1AAC ⊥面EFG ．22．（本大题15分）已知方程04222=+--+m y x y x .（1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m 的值；（3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程.数学必修2参考答案一、选择题：二、填空题：13、2； 14、4 x+3y+13=0 15、3,2+==x y x y 16、3：1：2． 17、 ①④ 三、 解答题：18．解：)('2'rl l r r S ++=π-----------6分=)5020501515(2⨯+⨯+π =0.1975)(2m π----------9分≈=Sn 5080（个）-------11分 答：（略）--------12分19．解：⎩⎨⎧-=-=+832543y x y x 解得⎩⎨⎧=-=21y x --------3分所以交点（-1，2） （1）2-=k -----5分直线方程为02=+y x --------7分 （2）21=k ---------10分 直线方程为052=+-y x --------12分20．解：由已知设圆心为（a a 3,）--------2分与x 轴相切则a r 3=---------3分圆心到直线的距离22a d =----------5分弦长为72得：229247a a =+-------6分 解得1±=a ---------8分圆心为（1，3）或（-1，-3），3=r -----------10分 圆的方程为9)3()1(22=-+-y x ---------11分 或9)3()1(22=+++y x ----------12分21．解：（1）∵C A 1⋂平面ABCD=C ，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1⊥A A 1 平面ABCD ∴AC 为C A 1在平面ABCD 的射影∴CA A 1∠为C A 1与平面ABCD 所成角……….2分正方体的棱长为a ∴AC=a 2，C A 1=a 3………..4分（2）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1连接BD ，1DD ∥B B 1，1DD =B B 11DD 1BB 为平行四边形∴11B D ∥DB∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点 ∴EF ∥BD∴EF ∥11B D …………3分∵EF ⊂平面GEF ，11B D ⊄平面GEF∴11B D ∥平面GEF …………8分 同理1AB ∥平面GEF ∵11B D ⋂1AB =1B∴平面A B 1D 1∥平面EFG ……………10分（3）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1∴⊥1AA 平面ABCD33sin 111==C A A A CA A∵EF ⊂平面ABCD∴⊥1AA EF …………11分 ∵ABCD 为正方形 ∴AC ⊥BD ∵EF ∥BD∴AC ⊥ EF ………..12分A AC AA =⋂1∴EF ⊥平面AA 1C ∵EF ⊂平面EFG∴平面AA 1C ⊥面EFG …………….14分 22．解：（1）04222=+--+m y x y x D=-2，E=-4，F=mF E D 422-+=20-m 40>5<m …………4分 （2）⎩⎨⎧=+--+=-+04204222m y x y x y x y x 24-=代入得081652=++-m y y ………..6分51621=+y y ，5821my y += ……………7分 ∵OM ⊥ON得出：02121=+y y x x ……………8分 ∴016)(852121=++-y y y y ∴58=m …………….10分 （3）设圆心为),(b a582,5421121=+==+=y y b x x a …………….12分 半径554=r …………9分圆的方程516)58()54(22=-+-y x ……………15分。

2024-2025年北师大版数学必修第一册4.3.3.2对数函数的综合应用(带答案)

2024-2025年北师大版数学必修第一册4.3.3.2对数函数的综合应用(带答案)

第2课时 对数函数的综合应用必备知识基础练知识点一 利用单调性求范围问题 1．若log a 23 <1，则a 的取值范围是( )A ．(0，23 )B ．(23 ，＋∞)C ．(23 ，1)D ．(0，23)∪(1，＋∞)2．不等式log 2(2x ＋3)>log 2(5x －6)的解集为( ) A ．(－∞，3) B ．(－32 ，3)C ．(－32 ，65 )D ．(65，3)3．已知a >0且a ≠1，若函数y ＝log a (4－ax )在[1，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(1，2]D ．(1，4) 知识点二 对数函数的实际应用4．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝m log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有200只，到第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只5．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13 ，则使产品达到市场要求的最少过滤次数为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )A ．10B ．9C ．8D ．7知识点三 对数函数的综合应用6．已知函数y ＝log 2(x 2－2kx ＋k )的值域为R ，则k 的取值范围是( ) A ．0<k <1 B ．0≤k <1C ．k ≤0或k ≥1 D．k ＝0或k ≥17．若函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋2a 2)是奇函数，则a ＝________． 8．已知奇函数f (x )＝ln ax ＋1x －1. (1)求实数a 的值；(2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； (3)当x ∈[2，5]时，ln (1＋x )>m ＋ln (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．关键能力综合练1．已知实数a ＝log 45，b ＝(12 )0，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <c <aB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a2．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，f (a )＝b ，则f (－a )＝( )A ．bB ．－bC ．1bD ．－1b3．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )A ．(0，12] B ．(0，1] C ．(0，＋∞) D．[1，＋∞)4．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －2a ，x ≤2，log a （x 2－ax ），x >2 在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32 C ．(1，2) D ．(1，2]5．(探究题)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(1，2] D ．(0，12 )6．(易错题)函数f (x )＝log 0.6（2－x ） 的定义域为________．7．已知函数f (x )＝ln (x ＋x 2＋1 )＋1，若实数a 满足f (－a )＝2，则f (a )＝________． 8．写出一个同时满足下列两个条件的函数f (x )＝________． ①对∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，有f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ②当x ∈(4，＋∞)时，f (x )>1恒成立．9．已知a >0，a ≠1且log a 3>log a 2，若函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为1.(1)求a 的值；(2)解不等式log 13(x －1)>log 13(a －x )；(3)求函数g (x )＝|log a x －1|的单调区间．核心素养升级练1．(多选题)若定义域为[0，1]的函数f (x )同时满足以下三个条件：①对任意的x ∈[0，1]，总有f (x )≥0； ②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2).就称f (x )为“A 函数”，下列定义在[0，1]上的函数中，是“A 函数”的有( ) A ．f (x )＝log 12(x ＋1)B ．f (x )＝log 2(x ＋1)C ．f (x )＝xD ．f (x )＝2x－12．(学科素养—逻辑推理)若函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4 上的最大值为2，最小值为m ，函数g (x )＝(3＋2m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a －m 的值是________．第2课时 对数函数的综合应用必备知识基础练1．答案：D解析：由log a 23 <1，得log a 23<log a a ，若a >1，由函数y ＝log a x 为增函数，得a >23 ，所以a >1；若0<a <1，由函数y ＝log a x 为减函数，得0<a <23 ，所以0<a <23 .综上所述，0<a <23 或a >1.故选D.2．答案：D解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，得65<x <3.3．答案：B解析：y ＝4－ax 在[1，2]上是减函数，y ＝log a (4－ax )在[1，2]上是减函数，故a >1， 考虑定义域：4－2a >0，故a <2， 综上所述：1<a <2.故选B. 4．答案：D解析：由已知第一年有200只，得m ＝200.将m ＝200，x ＝7代入y ＝m log 2(x ＋1)，得y ＝600.5．答案：C解析：设经过n 次过滤，产品达到市场要求，则2100 ×(23 )n ≤11000 ，即(23 )n ≤120 ，由n lg 23 ≤－lg 20，即n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2 ≈7.4，所以选C.6．答案：C解析：令t ＝x 2－2kx ＋k ，由y ＝log 2(x 2－2kx ＋k )的值域为R ，得函数t ＝x 2－2kx ＋k 的图象一定恒与x 轴有交点，所以Δ＝4k 2－4k ≥0，即k ≤0或k ≥1.7．答案：22解析：∵x ＋x 2＋2a 2>0恒成立，∴函数f (x )的定义域为R ，又∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，即log a 2a 2＝0， ∴2a 2＝1，∴a ＝22. 综验证，此时函数y ＝log a (x ＋x 2＋1 )为奇函数，满足题意，故a ＝22. 8．解析：(1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即ln －ax ＋1－x －1 ＝－ln ax ＋1x －1，∴ax －1x ＋1 ＝x －1ax ＋1即(a 2－1)x 2＝0，解得a ＝±1， 经检验，a ＝－1时不符合题意，∴a ＝1.(2)f (x )在(1，＋∞)上为减函数．证明如下：由(1)知，f (x )＝ln x ＋1x －1，任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lnx 1＋1x 1－1 －ln x 2＋1x 2－1 ＝ln (x 1＋1x 1－1 ·x 2－1x 2＋1 )＝ln (x 1x 2＋x 2－x 1－1x 1x 2＋x 1－x 2－1)，∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋x 2－x 1－1x 1x 2＋x 1－x 2－1>1，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(1，＋∞)上为减函数．(3)由已知得m <ln (1＋x )－ln (x －1)，即m <ln x ＋1x －1. 由(2)知f (x )＝lnx ＋1x －1在[2，5]上为减函数， ∴当x ＝5时，(lnx ＋1x －1 )min ＝ln 32 ，∴m <ln 32. 关键能力综合练1．答案：D解析：由题意知，a ＝log 45>1，b ＝(12 )0＝1，c ＝log 30.4<0，故c <b <a .2．答案：B解析：由1－x1＋x >0，得f (x )的定义域为(－1，1).因为f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，所以f (－a )＝－f (a )＝－b . 3．答案：D解析：f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞).4．答案：B解析：若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －2a ，x ≤2，log a （x 2－ax ），x >2 在(－∞，＋∞)上单调递增， 则⎩⎪⎨⎪⎧a >0a >122－2a ≥0a2≤22a －2a ≤log a（22－2a ），解得1<a ≤32 ，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32 .故选B. 5．答案：C解析：设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1，2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0<a <1时，显然不成立．当a >1时，如图所示，要使在(1，2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，∴log a 2≥1，∴1<a ≤2.6．答案：[1，2)解析：要使函数f (x )有意义，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 0.6（2－x ）≥0，2－x >0， 解得1≤x <2.7．答案：0解析：设g (x )＝ln (x ＋x 2＋1 )，则g (－x )＝ln (－x ＋（－x ）2＋1 )＝ln 1x ＋x 2＋1＝－ln (x ＋x 2＋1 )＝－g (x )，又g (x )的定义域关于原点对称，所以g (x )为奇函数．因此f (－a )＝g (－a )＋1＝2，所以g (－a )＝1，从而g (a )＝－1，所以f (a )＝g (a )＋1＝－1＋1＝0.8．答案：log 2x (答案不唯一)解析：因为由f (x )满足的两个条件可以联想到对数函数，当f (x )＝log 2x 时，对∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，f (x 1x 2)＝log 2(x 1x 2)＝log 2x 1＋log 2x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，满足条件①；当x ∈(4，＋∞)时，f (x )>log 24＝2>1，满足条件②. 9．解析：(1)∵log a 3>log a 2，∴a >1， ∴y ＝log a x 在[a ，2a ]上为增函数， ∴log a (2a )－log a a ＝1，∴a ＝2.(2)依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1<2－x ，x －1>0，2－x >0，解得1<x <32，∴所求不等式的解集为(1，32 ).(3)∵g (x )＝|log 2x －1|，∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －1，x ≥2，1－log 2x ，0<x <2.∴函数g (x )在(0，2)上为减函数，在[2，＋∞)上为增函数， 即g (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为[2，＋∞)．核心素养升级练1．答案：CD解析：选项A 中，f (1)＝log 12(1＋1)＝－1，f (x )＝log 12(x ＋1)不是“A 函数”．选项B 中，若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则f (x 1)＋f (x 2)＝log 2(x 1＋1)＋log 2(x 2＋1)＝log 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)≥log 2(x 1＋x 2＋1)＝f (x 1＋x 2)，不满足③，因此，f (x )＝log 2(x ＋1)不是“A 函数”．选项C 中，f (x )显然满足①②，又f (x 1＋x 2)＝x 1＋x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，因此，f (x )＝x 是“A 函数”．选项D 中，f (x )显然满足①②.∵f (x 1＋x 2)＝2x 1＋x 2－1，f (x 1)＋f (x 2)＝2x 1＋2x 2－2，∴f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝2x 1＋x 2－2x 1－2x 2＋1＝(2x 1－1)( 2x 2－1).又x 1，x 2∈[0，1]，∴2x 1－1≥0，2x 2－1≥0.从而f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2).因此，f (x )＝2x－1是“A 函数”．故选CD.2．答案：3解析：当a >1时，函数f (x )＝log a x 是正实数集上的增函数，而函数f (x )＝log a x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4 上的最大值为2，因此有f (4)＝log a 4＝2，解得a ＝2，所以m ＝log 212 ＝－1，此时g (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数，符合题意，因此a －m ＝2－(－1)＝3；当0<a <1时，函数f (x )＝log a x 是正实数集上的减函数，而函数f (x )＝log a x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上的最大值为2，因此有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝log a 12 ＝2，a ＝22 ，所以m ＝log 22 4＝－4，此时g (x )＝－5x 在[0，＋∞)上是减函数，不符合题意.综上所述，a ＝2，m ＝－1，a －m ＝3.。

2024年北师大版高一数学下册阶段测试试卷含答案530

2024年北师大版高一数学下册阶段测试试卷含答案530

2024年北师大版高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、【题文】设是定义在上的奇函数，当时，则（）.A.B.C. １D. 32、【题文】函数的图象一定过点（）A.B.C.D.3、【题文】集合集合则的关系是（）A.B.C.D.4、设则f[f（﹣1）]=（）A. 1B. 2C. 4D. 85、在等比数列｛a n｝中, a1<0, 若对正整数n都有a nn+1, 那么公比q的取范围是( )A. q>1B. 0<1C. q<0D. q<16、已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为2的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A. 18娄脨B. 6娄脨C. 5娄脨D. 4娄脨评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)7、设扇形的圆心角的弧度数是面积为4cm2，则扇形的半径长为____cm．8、【题文】圆x2＋y2－ax＋2＝0与直线l相切于点A(3,1)，则直线l的方程为________．9、【题文】函数为奇函数，则的增区间为_________________10、【题文】如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知∠D=46°，则∠A= ．11、已知A={2，x}，B={xy，1}，若A=B，则x+y= ______ ．12、已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x2-3．（1）当x＜0时；求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在R上的解析式；（3）解方程f（x）=2x．13、已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为 ______ ；若△ABC的平面直观图为边长为a的正△A′B′C′，那么△ABC的面积为 ______ ．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)14、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．15、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．16、作出下列函数图象：y=17、作出函数y=的图象．18、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h 的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．19、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）评卷人得分四、证明题(共4题，共12分)20、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．21、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．22、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．23、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、A【分析】试题分析：由已知条件，当时，有则所以故选A.考点：奇函数的定义，函数求值.【解析】【答案】A.2、B【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于函数令x-1=0，x=1，可知函数值为2，故可知函数一定过点选B.考点：指数函数。

2024-2025年北师大版数学必修第一册1.4.1一元二次函数(带答案)

2024-2025年北师大版数学必修第一册1.4.1一元二次函数(带答案)

4．1 一元二次函数必备知识基础练知识点一一元二次函数的解析式1．一个二次函数图象的顶点坐标是(2，4)，且过另一点(0，－4)，则这个二次函数的解析式为( )A．y＝－2(x＋2)2＋4B．y＝－2(x－2)2＋4C．y＝2(x＋2)2－4D．y＝2(x－2)2－42．已知一元二次函数的图象过点(2，－1)，(－1，－1)，且函数值的最大值为8，求一元二次函数的解析式．知识点二一元二次函数的图象变换3．将抛物线y＝－3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是( )A ．y ＝－3(x －1)2－2 B ．y ＝－3(x －1)2＋2 C ．y ＝－3(x ＋1)2－2 D ．y ＝－3(x ＋1)2＋24．将抛物线y ＝－x 2＋2x －1向右平移一个单位长度，向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是( )A ．y ＝－x 2＋2 B ．y ＝－x 2＋4x －2 C ．y ＝－x 2－2 D ．y ＝－x 2＋4x －6 知识点三 一元二次函数的图象与性质5．对于二次函数y ＝ax 2＋(1－2a )x (a >0)，下列说法错误的是( ) A ．当a ＝12 时，该二次函数图象的对称轴为y 轴B ．当a >12 时，该二次函数图象的对称轴在y 轴的右侧C ．该二次函数的图象的对称轴可为x ＝1D ．当x >2时，y 的值随x 的值增大而增大6．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (1，2)，B (3，2)，C (5，7).若点M (－2，y 1)，N (－1，y 2)，K (8，y 3)也在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上，则下列结论正确的是( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 2<y 1<y 3C ．y 3<y 1<y 2D ．y 1<y 3<y 27．当a －1≤x ≤a 时，函数y ＝x 2－2x ＋1的最小值为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0或3关键能力综合练1．已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(1，－3)，则抛物线对应的函数解析式为( )A ．y ＝x 2－2x ＋2 B ．y ＝x 2－2x －2 C ．y ＝－x 2－2x ＋1 D ．y ＝x 2－2x ＋12．一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y ＝bx 2＋ax ＋c (b ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )3．把函数y ＝2x 2－4x －5的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得到的函数图象的解析式为( )A ．y ＝2x 2＋4x －8 B ．y ＝2x 2－8x ＋8 C ．y ＝2x 2＋4x －2 D ．y ＝2x 2－8x －24．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，f (－1)＝8，则下列判断错误的是( ) A ．b ＋c ＝－1 B ．f (3)＝0C ．f (x )图象的对称轴为直线x ＝4D ．f (x )的最小值为－15．(探究题)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 同时满足下列条件：图象的对称轴是x ＝1，最值是15，图象与x 轴有两个交点，其横坐标的平方和为15－a ，则b 的值是( )A ．4或－30B ．－30C ．4D ．6或－206．函数y ＝x 2＋m 的图象向下平移2个单位长度，得到函数y ＝x 2－1的图象，则实数m ＝________．7．设函数f (x )＝4x 2－(a ＋1)x ＋5在[－1，＋∞)上f (x )随x 的增大而增大，在(－∞，－1]上f (x )随x 的增大而减小，则f (－1)＝________．8．(易错题)当x ∈[－2，1]时，二次函数y ＝－(x －m )2＋m 2＋1有最大值3，则实数m 的值为________．9．已知二次函数y ＝－12 x 2－x ＋72.(1)用配方法把这个二次函数的解析式化为y ＝a (x ＋m )2＋k 的形式； (2)写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；(3)将二次函数y ＝－12 x 2的图象如何平移能得到二次函数y ＝－12 x 2－x ＋72 的图象，请写出平移方法．核心素养升级练1．(多选题)若关于x 的一元二次方程(x －2)(x －3)＝m 有实数根x 1，x 2，且x 1<x 2，则下列结论中说法正确的是( )A ．当m ＝0时，x 1＝2，x 2＝3B ．m >－14C ．当m >0时，2<x 1<x 2<3D ．当m >0时，x 1<2<3<x 22．(学科素养—逻辑推理)已知抛物线y ＝ax 2＋6x －8与直线y ＝－3x 相交于点A (1，m ). (1)求抛物线的解析式；(2)请问(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y ＝ax 2的图象．4．1 一元二次函数必备知识基础练1．答案：B解析：设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋4，把(0，－4)代入得a (－2)2＋4＝－4，解得a ＝－2，所以抛物线的解析式为y ＝－2(x －2)2＋4，故选B.2．解析：设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求一元二次函数的解析式为y ＝－4x 2＋4x ＋7. 3．答案：C解析：将抛物线y ＝－3x 2向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为y ＝－3(x ＋1)2，再向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为y ＝－3(x ＋1)2－2.故选C.4．答案：B解析：将抛物线y ＝－(x －1)2向右平移一个单位长度所得抛物线的解析式为y ＝－(x －1－1)2，再向上平移2个单位长度所得抛物线的解析式为y ＝－(x －1－1)2＋2，即y ＝－(x －2)2＋2，即y ＝－x 2＋4x －2.故选B.5．答案：C解析：该抛物线的对称轴为x ＝－1－2a 2a ＝1－12a ，A 中，当a ＝12 时，此时x ＝0，即二次函数的图象对称轴为x ＝0，即y 轴，故正确；B 中，当a >12 时，此时x ＝1－12a >0，此时对称轴在y 轴的右侧，故正确；C 中，由于a >0，故对称轴不可能是x ＝1，故错误；D 中，由于1－12a <1，所以对称轴x <1，由于a >0，∴抛物线的开口向上，∴x >2时，y 的值随x的值增大而增大，故正确，故选C.6．答案：B解析：把A (1，2)，B (3，2)，C (5，7)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝2，25a ＋5b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝58，b ＝－52，c ＝318．∴函数解析式为y ＝58 x 2－52 x ＋318 ＝58 (x －2)2＋118 .∴当x >2时，y 随x 的增大而增大；当x <2时，y 随x 的增大而减小；根据对称性，K (8，y 3)的对称点是(－4，y 3)，所以y 2<y 1<y 3.故选B.7．答案：D解析：当y ＝1时，有x 2－2x ＋1＝1，解得x 1＝0，x 2＝2，∵当a －1≤x ≤a 时，函数有最小值1，∴a －1＝2或a ＝0，∴a ＝3或a ＝0.故选D.关键能力综合练1．答案：B解析：因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(1，－3)，所以y ＝(x －1)2－3，即y ＝x 2－2x －2.故选B.2．答案：D解析：由于一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y ＝bx 2＋ax ＋c (b ≠0)的图象的对称轴方程分别是x ＝－b 2a ，x ＝－a 2b ，则－b 2a 与－a2b同号，即它们的图象的对称轴位于y 轴的同一侧，由此排除A ，B ；由C ，D 中给出的图象，可判定两函数图象的开口方向相反，故ab <0，于是－b 2a >0，－a2b>0，即两函数图象的对称轴都位于y 轴右侧，排除C ，故选D.3．答案：A解析：y ＝2x 2－4x －5＝2(x －1)2－7，将y ＝2(x －1)2－7的图象向左平移2个单位长度得y ＝2(x －1＋2)2－7，再向下平移3个单位长度得y ＝2(x ＋1)2－7－3，即y ＝2x 2＋4x －8.故选A.4．答案：C解析：由题得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝01－b ＋c ＝8 ，解得b ＝－4，c ＝3，所以f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，因为f (1)＝0，∴b ＋c ＝－1，所以选项A 正确；所以f (3)＝0，所以选项B 正确；因为f (x )min ＝－1，所以选项D 正确； 因为f (x )＝0的对称轴为x ＝2，所以选项C 错误．故选C. 5．答案：C解析：∵对称轴是x ＝1，最值是15，∴可设y ＝a (x －1)2＋15，∴y ＝ax 2－2ax ＋15＋a ， 设方程ax 2－2ax ＋15＋a ＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－－2a a ＝2，x 1x 2＝15＋a a，∵二次函数的图象与x 轴有两个交点，其横坐标的平方和为15－a ，则x 21 ＋x 22 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝15－a ，∴22－2（15＋a ）a＝15－a ，即a 2－13a －30＝0，∴a 1＝15(不符合题意，舍去)，a 2＝－2，∴y ＝－2(x －1)2＋15＝－2x 2＋4x ＋13，∴b ＝4.故选C.6．答案：1解析：因为函数y ＝x 2－1的图象向上平移2个单位长度，得到函数y ＝x 2＋1的图象，所以m ＝1.7．答案：1 解析：由题意可得a ＋18＝－1，解得a ＝－9.∴f (x )＝4x 2＋8x ＋5.∴f (－1)＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1.8．答案：32或－2解析：二次函数的对称轴为x ＝m ，①当m <－2时，x ＝－2时二次函数有最大值，此时－(－2－m )2＋m 2＋1＝3，解得m ＝－32，与m <－2矛盾，故m 值不存在；②当－2≤m ≤1时，x ＝m 时二次函数有最大值，此时m 2＋1＝3，解得m ＝－2 或m ＝2 (舍去)；③当m >1时，x ＝1时二次函数有最大值，此时－(1－m )2＋m 2＋1＝3，解得m ＝32 .综上所述，m 的值为32或－2 .9．解析：(1)y ＝－12 x 2－x ＋72 ＝－12 (x ＋1)2＋4，即y ＝－12(x ＋1)2＋4.(2)因为a ＝－12 <0，所以该抛物线的开口方向向下，由y ＝－12 (x ＋1)2＋4知，抛物线的顶点坐标是(－1，4)，对称轴为直线x ＝－1.(3)∵y ＝－12 (x ＋1)2＋4，∴将y ＝－12 x 2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可．核心素养升级练1．答案：ABD解析：当m ＝0时，(x －2)(x －3)＝0， ∴x 1＝2，x 2＝3，故A 对；方程(x －2)(x －3)＝m 化为x 2－5x ＋6－m ＝0，由方程有两个不等实根得Δ＝25－4(6－m )＝1＋4m >0，∴m >－14 ，故B 对；当m >0时，画出函数y ＝(x －2)(x －3)和函数y ＝m 的图象如图，由(x －2)(x －3)＝m 得，函数y ＝(x －2)·(x －3)和函数y ＝m 的交点横坐标分别为x 1，x 2，由图可知，x 1<2<3<x 2，故C 错，D 对．故选ABD.2．解析：(1)∵点A (1，m )在直线y ＝－3x 上，∴m ＝－3×1＝－3. 把x ＝1，y ＝－3代入y ＝ax 2＋6x －8， 得a ＋6－8＝－3，解得a ＝－1， ∴抛物线的解析式是y ＝－x 2＋6x －8.(2)∵y＝－x2＋6x－8＝－(x－3)2＋1，∴该抛物线的顶点坐标为(3，1).因此，把抛物线y＝－x2＋6x－8向左平移3个单位长度得到y＝－x2＋1的图象，再把y＝－x2＋1的图象向下平移1个单位长度就可以得到y＝－x2的图象．。

高一数学试题及答案大全北师大版

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高一数学试题及答案大全北师大版一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x)=2x+1，则f(-1)的值为（）。

A. -1B. 1C. 3D. -32. 已知集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B等于（）。

A. {1}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,2,3}3. 函数y=x^2-4x+3的顶点坐标为（）。

A. (2,-1)B. (-2,-1)C. (2,1)D. (-2,1)4. 直线y=2x+3与x轴的交点坐标为（）。

A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, 3)D. (0, -3)5. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则a5的值为（）。

A. 17B. 14C. 11D. 86. 函数y=1/x的图像关于（）对称。

A. 原点B. y轴C. x轴D. 直线y=x7. 圆的一般方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0中，圆心坐标为（）。

A. (-D/2, -E/2)B. (D/2, E/2)C. (-D, -E)D. (D, E)8. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，若f'(x)=0，则x的值为（）。

A. 1B. 2C. -1D. 39. 抛物线y=x^2-2x+1的顶点坐标为（）。

A. (1, 0)B. (-1, 0)C. (1, 2)D. (-1, 2)10. 函数y=√(x-1)的定义域为（）。

A. (1, +∞)B. (-∞, 1)C. (-∞, +∞)D. [1, +∞)二、填空题（每题5分，共30分）1. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，其对称轴为直线x=______。

2. 圆的方程为(x-2)^2+(y+3)^2=16，其半径为______。

3. 等比数列{an}的首项a1=3，公比q=2，则a4的值为______。

4. 函数y=2x-1与直线y=x+2平行，则它们的斜率之比为______。

5. 抛物线y=-2x^2+4x+3的顶点坐标为（______，______）。

北师大数学高一试题

北师大数学高一试题

1、若集合A = {x | x是奇数且x < 10}，则集合A中元素的个数为A. 4B. 5C. 6D. 7（答案：B。

解析：集合A中的元素为1, 3, 5, 7, 9，共5个奇数且都小于10。

）2、已知直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，且a < b，若斜边长为c，以下关系式正确的是A. c = a + bB. c2 = a2 - b2C. c2 = a2 + b2D. c = sqrt(a * b)（答案：C。

解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边的平方和。

）3、下列哪个数不是有理数？A. 1/2B. -3C. sqrt(2)D. 0（答案：C。

解析：sqrt(2)为无理数，不能表示为两个整数的比。

）4、设全集U = {1, 2, 3, 4, 5}，若集合A = {1, 2, 3}，则集合A的补集为A. {4, 5}B. {1, 2}C. {3, 4, 5}D. {1, 2, 3, 4}（答案：A。

解析：补集是全集中不属于A的元素组成的集合。

）5、下列哪个选项表示的是等差数列？A. 1, 3, 6, 10B. 2, 4, 8, 16C. 5, 5, 5, 5D. 7, 10, 13, 16（答案：D。

解析：等差数列中任意两项的差相等，只有选项D满足这一条件。

）6、若一个角的补角是120°，则这个角的度数为A. 30°B. 60°C. 90°D. 150°（答案：B。

解析：两角互补，它们的角度和为180°，所以180°-120°=60°。

）7、下列哪个不等式表示的是x的绝对值小于5？A. x < 5B. x > -5C. -5 < x < 5D. x ≠ 5（答案：C。

解析：|x| < 5意味着x的值在-5和5之间，不包括-5和5。

）8、已知一个正方形的边长为a，如果它的边长增加2倍，那么新的正方形面积与原来正方形面积的比值为A. 2B. 3C. 4D. 9（答案：D。

北师大版高一数学必修一第3、4章检测题含答案

北师大版高一数学必修一第3、4章检测题含答案

高一数学必修一第三章检测题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．log 32＋log 392的值为( )A ．2B ．－2C ．9D ．log 3132解析： 原式：log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2×92＝log 39＝2.故选A. 答案： A2．化简a 23·b 12·(－3a 12·b 13)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 16·b 56的结果为( ) A ．6a B ．－a C ．－9a D ．9a解析： a 23·b 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 12·b 13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 16·b 56 ＝－3a 23＋12·b 12＋13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 16·b 56 ＝－9a 23＋12－16·b 12＋13－56＝－9a . 答案： C3．0.32，log 20.3,20.3三个数的大小关系为( ) A ．0.32<20.3<log 20.3 B ．0.32<log 20.3<20.3 C ．log 20.3<0.32<20.3 D ．log 20.3<20.3<0.32 解析： 0<0.32<1，log 20.3<0,20.3>1， ∴20.3>0.32>log 20.3. 答案： C4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，(x >0)2x ，(x ≤0).若f (a )＝12，则实数a ＝( )A ．－1B ．－1或 2C. 2D ．1或－ 2 解析： 由log 2a ＝12得a ＝2>0，合适；由2a ＝12得a ＝log 212＝－1<0，合适， 故a ＝－1或 2. 答案： B5．函数f (x )＝lg 1－xx －4的定义域为( )A ．[1,4)B ．(1,4)C ．(－∞，1)∪(4，＋∞)D ．(－∞，1]∪(4，＋∞)解析： 由题意知1－xx －4>0，∴1<x <4.故选B. 答案： B6．已知f (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)，若当x ∈(－1,0)时，f (x )<0，则f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数函数D ．不单调的函数解析： 由于x ∈(－1,0)，则x ＋1∈(0,1)，所以a >1.因而f (x )在(－1，＋∞)上是增函数．答案： A7．已知函数y ＝f (x )＝log a (x ＋b )的图像如右图所示，则f (6)的值为( ) A ．3 B ．6 C ．5 D ．4解析： 把(－2,0)和(0,2)代入y ＝log a (x ＋b )得：⎩⎨⎧0＝log a (－2＋b )，2＝log ab ，∴⎩⎨⎧a ＝3，b ＝3.∴f (6)＝log 3(6＋3)＝4. 答案： D 8．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝3·a x －1在[0,1]上的最大值是( )A ．6B ．1C ．3 D.32解析： 由于函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，因此最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝3·2x －1在[0,1]上是单调递增函数，最大值当x ＝1时取到，即为3.答案： C9．若log a －1(2x －1)>log a －1(x －1)，则有( ) A ．a >1，x >0 B ．a >1，x >1 C ．a >2，x >0 D ．a >2，x >1解析： 由题意知⎩⎨⎧2x －1>0x －1>0，即x >1.因为当x >1时，2x －1>x －1，由对数函数的性质知a －1>1，即a >2.答案： D10．若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图像是( )解析： 由f (x )是奇函数得，f (－x )＝－f (x )， 即(k －1)a －x －a x ＝(1－k )a x ＋a －x ，∴k ＝2，∴f (x )＝a x －1a x ，又∵f (x )是R 上的减函数，∴0<a <1，则g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上递减，且过(－1,0)，故选A.答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．23＋log 0.54＝________.解析： 23＋log 0.54＝23·2log 0.54＝8·2log ⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝8·2－log 24＝8·2log 214＝8×14＝2.答案： 212．函数y ＝2x 2＋x ＋1(x ≥1)的值域是________． 解析： ∵x ≥1，∴x 2＋x ＋1≥3. ∴2x 2＋x ＋1≥8. 答案： [8，＋∞)13．函数f (x )＝－a 2x －1＋2恒过定点的坐标是________．解析： 令2x －1＝0，解得x ＝12，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－a 0＋2＝1，∴f (x )过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，114．设f (x )＝⎩⎨⎧2－x x ∈(－∞，1]log 81x x ∈(1，＋∞)，则满足f (x )＝14的x 的值为________．解析： ∵当x ≤1时，2－x ≥12，∴由f (x )＝14知x >1， ∴log 81x ＝14，∴x ＝8114＝3.答案： 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)计算下列各式的值：(1)(32×3)6＋(2×2)43－(－2 008)0； (2)lg 5lg 20＋(lg 2)2；(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＋(log 3312)2＋ln e －lg 1.解析： (1)原式＝(213×312)6＋(2×212)12×43－1＝213×6×312×6＋232×12×43－1 ＝22×33＋21－1＝4×27＋2－1 ＝109.(2)原式＝lg 5lg(5×4)＋(lg 2)2 ＝lg 5(lg 5＋lg 4)＋(lg 2)2 ＝(lg 5)2＋lg 5lg 4＋(lg 2)2 ＝(lg 5)2＋2lg 5lg 2＋(lg 2)2 ＝(lg 5＋lg 2)2＝1.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＋14＋12－0 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＋34 ＝54＋34＝2.16．(12分)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．解析： (1)由⎩⎨⎧1－x >0x ＋3>0得－3<x <1，所以函数的定义域{x |－3<x <1}， f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)，设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， 所以t ≤4，又t >0，则0<t ≤4.当a >1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}． 当0<a <1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}． (2)由题意及(1)知：当0<a <1时，函数有最小值，所以log a 4＝－2，解得：a ＝12. 17．(12分)已知函数f (x )＝3x ，且f (a ＋2)＝18，g (x )＝3a －4x 的定义域为[0,1]． (1)求函数g (x )的解析式； (2)判断函数g (x )的单调性．解析： (1)∵f (x )＝3x ，∴f (a ＋2)＝3a ＋2＝18，∴3a ＝2. ∴g (x )＝2－4x (x ∈[0,1])．(2)设x 1，x 2为区间[0,1]上任意两个值，且x 1<x 2，则g (x 2)－g (x 1)＝2－4x 2－2＋4x 1＝(2x 1－2x 2)(2x 1＋2x 2)， ∵0≤x 1<x 2≤1，∴2x 2>2x 1>1， ∴g (x 2)<g (x 1)．所以，函数g (x )在[0,1]上是减函数．18．(14分)已知f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x，(1)求f (x )的定义域；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 012＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 012；(3)当x ∈(－a ，a ](其中a ∈(－1,1)，且a 为常数)时，f (x )是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．解析： (1)由1－x 1＋x >0得x －1x ＋1<0 ∴⎩⎨⎧ x －1>0x ＋1<0或⎩⎨⎧x －1<0x ＋1>0， ∴－1<x <1，即f (x )的定义域为(－1,1)．(2)对x ∈(－1,1)有f (－x )＝－(－x )＋log 21＋x1－x＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋log 21－x 1＋x ＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 012＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 012. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 012＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 012＝0. (3)设－1<x 1<x 2<1， 则1－x 11＋x 1－1－x 21＋x 2＝2(x 2－x 1)(1＋x 1)(1＋x 2). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，(1＋x 1)(1＋x 2)>0， ∴1－x 11＋x 1>1－x 21＋x 2. ∴函数y ＝1－x1＋x在(－1,1)上是减函数．从而得f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x在(－1,1)上也是减函数．又a ∈(－1,1)，∴当x ∈(－a ，a ]时，f (x )有最小值，且最小值为f (a )＝－a ＋log 21－a 1＋a .高一数学必修一第四章检测题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中在[1,2]内有零点的是( )A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5B ．f (x )＝x 3－5x －5C ．f (x )＝ln x －3x －6D ．f (x )＝e x ＋3x －6 解析： 对于A 、B 、C 中的函数f (1)·f (2)>0，只有D 项中f (1)·f (2)<0.故选D.答案： D2．对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )>0，f (b )>0，则函数f (x )在区间(a ，b )内( )A ．一定有零点B ．一定没有零点C ．可能有两个零点D ．至多有一个零点解析： 对于A 选项，可能存在；对于B 选项，必存在但不一定唯一；对于D 选项，根据函数的零点的存在性定理知一定存在．故选C.答案： C3．下列各函数图像与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )解析： B 中函数零点左右两边函数值同号，故不能用二分法求解． 答案： B4．函数f (x )＝x 2＋1x ，x ∈(0，＋∞)的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析： 由于x 2＞0，1x >0，∴f (x )>0，因此不存在x ∈(0，＋∞)使得f (x )＝x 2＋1x ＝0，因此函数没有零点．答案： A5．图中所给的4个图像中，与所给的3个事件吻合最好的顺序为( ) a ．我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再去学校；b ．我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；c ．我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A ．(1)(2)(4)B ．(4)(2)(3)C ．(1)(2)(3)D ．(4)(1)(2)解析： 事件a 与(4)吻合，事件b 与(1)吻合，事件c 与(2)吻合．答案： D6．若函数f(x)＝2ax2－x＋1在(0,1)内恰有一个零点，则a的取值为() A．a>0 B．a<0C．－1<a≤0 D．0≤a≤1解析：f(0)＝1，f(1)＝2a，由零点存在性定理得f(0)·f(1)＝2a<0，∴a<0.故选B.答案： B7．下列给出的四个函数f(x)的图像中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是()解析：把y＝f(x)的图像向下平移1个单位后，只有C图中图像与x轴无交点．故选C.答案： C8．函数f(x)＝|x|＋k有两个零点，则()A．k<0 B．k>0C．0≤k<1 D．k＝0解析：f(x)有两个零点，即|x|＝－k有两个不等实根，∴－k>0，k<0.答案： A9．设方程3x＝|lg(－x)|的两个根为x1，x2，则()A．x1x2<0 B．x1x2＝0C．x1x2>1 D．0<x1x2<1解析：作函数y＝3x和y＝|lg(－x)|的图像如图x1<－1，x2∈(－1,0)．∵x2>x2′∴x1x2<x1x2′.又∵x1x2′＝1，∴0<x1x2<1.答案： D10．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如右图所示)．当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y应为()A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14解析：结合图形，可得：x20＝24－y16，y＝24－45x，矩形面积S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫24－45x ＝－45x 2＋24x ，所以当x ＝－242×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝15时，S 最大，则y ＝24－45×15＝12.故选A. 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．用二分法求方程x 3＋4＝6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．解析： 设f (x )＝x 3－6x 2＋4， 显然f (0)>0，f (1)<0，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋4>0，∴下一步可断定方程的根所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，112．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其部分图像如图所示，则这个函数的零点至少有________个．解析： 由图知在x >0时，f (x )至少有3个零点，又f (x )是偶函数，∴x <0时，f (x )也至少有3个零点，故至少有6个零点．答案： 613．某类产品按质量可分10个档次(第1档次为最低档次，第10档次为最高档次)，生产最低档次，每件利润为8元，如果产品每提高一个档次，则利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件产品，则生产第________档次的产品，所获利润最大．解析： 设生产第x 档次的产品，1≤x ≤10， 则y ＝[60－3(x －1)][2(x －1)＋8] ＝(63－3x )(2x ＋6) ＝6(－x 2＋18x ＋63) ＝6[－(x －9)2＋144]．当x ＝9时，y 取到最大值，即生产第9档次的产品获利最大． 答案： 914．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≥2(x －1)3，x <2，若函数y ＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．解析： 画出分段函数f (x )的图像如图所示．结合图像可以看出，函数y＝f(x)－k有两个零点．即y＝f(x)与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1)．答案：(0,1)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．解析：(1)若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，函数必有一个零点－1.(2)若a≠0，函数是二次函数，因为二次方程ax2－x－1＝0只有一个实数根，所以Δ＝1＋4a＝0，得a＝－1 4.综上，当a＝0和－14时函数只有一个零点．16．(12分)以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图像在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．先求值：f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________.所以f(x)在区间________内存在零点x0，填表：区间中点m f(m)的符号区间长度结论：_____________________________________________________________________ ___.区间中点m f(m)的符号区间长度(1,2) 1.5＋ 1(1,1.5) 1.25＋0.5(1,1.25) 1.125－0.25(1.125,1.25) 1.187 5＋0.125(1.125,1.187 5)0.062 5∵|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，∴原方程的近似解可取为1.187 5.17．(12分)已知函数f(x)＝x－1＋12x2－2，试利用基本初等函数的图像，判断f (x )有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间．(各区间长度不超过1)解析： 由f (x )＝0，得x －1＝－12x 2＋2.令y 1＝x －1，y 2＝－12x 2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图像(如图所示)，其中抛物线的顶点坐标为(0,2)，与x 轴的交点分别为(－2,0)，(2,0)，y 1与y 2的图像有3个交点，从而函数f (x )有3个零点．18．(14分)某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿度)与(x －0.4)元成反比例．又当x ＝0.65元时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]解析： (1)∵y 与x －0.4成反比例，∴设y ＝kx －0.4(k ≠0)．把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k0.65－0.4，解得k ＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2.即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2.(2)由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15x －2·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%) 整理得x 2－1.1x ＋0.3＝0. 解得x 1＝0.5或x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5或x 2＝0.6都是方程的根． 因x 的取值范围在0.55～0.75之间， ∴x ＝0.6，答：电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.。

高一数学试题及答案上册北师大版

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高一数学试题及答案上册北师大版一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列函数中，哪一个是一次函数？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = sin(x)答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B。

A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}答案：B3. 若a + b = 5，a - b = 3，求a和b的值。

A. a = 4, b = 1B. a = 1, b = 4C. a = 2, b = 3D. a = 3, b = 2答案：A4. 已知sin(θ) = 1/2，θ为锐角，求cos(θ)的值。

A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/2答案：A5. 抛物线y = x^2 - 2x + 1的顶点坐标是什么？A. (1, 0)B. (1, 1)C. (-1, 2)D. (0, 1)答案：B二、填空题（每题2分，共10分）6. 函数y = f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x的导数是______。

答案：f'(x) = 3x^2 - 4x + 37. 已知等差数列的首项a1 = 3，公差d = 2，求第5项a5的值。

答案：a5 = 3 + 4 × 2 = 118. 圆的半径为5，求其面积。

答案：π × 5^2 = 25π9. 点P(1, 2)到直线x + 2y - 5 = 0的距离是______。

答案：|1 + 4 - 5| / √(1^2 + 2^2) = √5 / 510. 已知向量a = (3, -1)，b = (2, 4)，求向量a与b的点积。

答案：3 × 2 + (-1) × 4 = 2三、解答题（共75分）11. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 < 0。

（10分）答案：首先，将不等式分解为(2x - 1)(x - 3) < 0。

(北师大版)高中数学必修第一册第三章综合测试01(含答案)

(北师大版)高中数学必修第一册第三章综合测试01(含答案)

第三章综合测试第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1111242x M N xx +⎧⎫=−=∈⎨⎬⎩⎭Z ，，＜＜，，则M N 为（ ）A .{}11−，B .{}1−C .{}0D .{}10−，2.在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（ ） A .())0.50x x −=≠B()130yy =＜C.)340x xy y −⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭D.13x−=3.已知关于x 的不等式42133x x −−⎛⎫⎪⎝⎭＞，则该不等式的解集为（ ）A .[)4+∞，B .()4−+∞，C .()4−∞−，D .(]41−，4.下列函数中，值域为+R 的是（ ）A .125xy −=B .113xy −⎛⎫= ⎪⎝⎭C.y =D.y =5.已知函数()2020xx a x f x x −⎧⎪=⎨⎪⎩，≥，＜若()()11f f −=，则a =（ ）A .14B .12C .1D .26.已知3114221133a b c π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则下列不等式正确的是（ ）A .a b c ＞＞B .b a c ＞＞C .c a b ＞＞D .c b a ＞＞7.已知函数()()()x xf x x e ae x −=+∈R ，若()f x 是偶函数，记a m =，若()f x 是奇函数，记a n =，则2m n +的值为（ ）A .0B .1C .2D .1−8.在下图中，二次函数2y bx ax =+与指数函数xa yb ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象只可能是（ ）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.若函数()1x y a b =+−（0a ＞，且1a ≠）的图象不经过第二象限，则有（ ） A .1a ＞B .01a ＜＜C .1b ＞D .0b ≤10.已知函数()133xxf x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，则()f x （ ）A .是奇函数B .是偶函数C .在R 上是增函数D .在R 上是减函数11.设指数函数()x f x a =（0a ＞，且1a ≠），则下列等式中正确的是（ ） A .()()()f x y f x f y +=B .()()()f x f x y f y −=C .()()()nf nx f x n =∈⎡⎤⎣⎦QD .()()()()nnnf xy f x f y n +=∈⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦N12.已知3515a b ==，则a b ，可能满足的关系是（ ） A .4a b +＞B .4ab ＞C .()()22112a b −+−＞D .228a b +＜第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上） 13.已知函数()f x 是指数函数，且35225f ⎛⎫−=⎪⎝⎭，则()f x =________. 14.函数()2223x xf x −⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间是________，值域为________.15.已知函数()x af x e −=（a 为常数）.若()f x 在区间[)1+∞，上是增函数，则a 的取值范围是________. 16.设函数()31121x x x f x x −⎧=⎨⎩，＜，≥，则满足()()2f a f f a =⎡⎤⎣⎦的a 的取值范围是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）计算下列各式的值：（1）00.54413925421e −⎛⎫⎛⎫−++− ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭；（2）若346a b c ==，则1112a b c+−.18.（本小题满分12分）函数()y F x =的图象如图所示，该图象由指数函数()x f x a =与幂函数()b g x x =“拼接”而成. （1）求()F x 的解析式；（2）比较b a 与a b 的大小；（3）若()()432bbm m −−+−＜，求m 的取值范围.19.（本小题满分12分）设()0x xe aa f x a e =+＞，是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）证明()f x 在()0+∞，上是增函数.20.（本小题满分12分）某城市现有人口总数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： （1）写出x 年后该城市的人口总数y （万人）与年数x （年）的函数关系式；（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万）；（3）计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万（精确到1年）.()()()1015161 1.2% 1.1271 1.2% 1.1961 1.2% 1.21⎡⎤+≈+≈+≈⎣⎦，，21.（本小题满分12分）已知函数()x f x b a =（其中a b ，为常数，且01a a ≠＞，）的图象经过点()()16324A B ，，，.（1）试确定()f x ；（2）若不等式110x xm a b ⎛⎫⎛⎫+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥在(]81x ∈−，时恒成立，求实数m 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知()f x 是定义在()11−，上的奇函数，当()01x ∈，时，()241xx f x =+. （1）求()f x 在()11−，上的解析式；（2）求()f x 的值域.第三章综合测试 答案解析1.【答案】B【解析】1124112212x x x +−+−∵＜＜，∴＜＜，∴＜＜.又x ∈Z ，{}{}101N M N =−=−∴，，∴∩.2.【答案】C【解析】)33440x y xy y x −⎛⎫⎛⎫==≠ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选C .3.【答案】B【解析】依题意可知，原不等式可转化为4233x x −+−＞，由于指数函数3x y =为增函数，故424x x x −+−−＞，＞，故选B . 4.【答案】B【解析】选项A 中函数的值域为()()011+∞，，，选项C 中函数的值域为[)0+∞，，选项D 中函数的值域为[)01，，故选B . 5.【答案】A【解析】根据题意可得()()()()121221221f f f f a −==−===，∴，解得14a =，故选A . 6.【答案】D【解析】因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且13024＜＜，所以1b a ＞＞.又因为x y π=在R 上单调递增，且102＞，所以1c ＞.所以c b a ＞＞.故选D . 7.【答案】B【解析】当()f x 是偶函数时，()()f x f x =−，即()()x x xx x e ae x e ae −−+=−+，即()()10x x a e e x −++=①.因为①式对任意实数x 都成立，所以1a =−，即1m =−.当()f x 是奇函数时，()()f x f x =−−，即()()x x x x x e ae x e ae −−+=+，即()()10x x a e e x −−−=②. 因为②式对任意实数x 都成立，所以1a =，即1n =，所以21m n +=. 8.【答案】C【解析】由二次函数常数项为0可知函数图象过原点，排除A ，D ；B ，C 中指数函数单调递减，因此()01a b∈，，因此二次函数图象的对称轴02ax b=−＜.故选C . 9.【答案】AD【解析】由题意当()1x y a b =+−）不过第二象限时，其为增函数，1a ∴＞且110b +−≤，即1a ＞且0b ≤，故选AD . 10.【答案】AC【解析】()()113333xx xx f x f x −−⎡⎤⎛⎫⎛⎫−=−=−−=−⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()f x 是奇函数，A 正确；又3x y =为增函数，13xg ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，所以()133xx f x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭为增函数，C 正确，故选A 、C .11.【答案】ABC【解析】因为()()()x y x y x y f x y a f x f y a a a +++===，，所以A 正确；()()()x y f x f x y a f y −−==，所以B 正确；()()()nnnx xf nx a a f x ===⎡⎤⎣⎦，所以C 正确；()()()()()()n nn nxy xyn x yf xy a a a a f x f y ====⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以D 错误，故选ABC . 12.【答案】ABC【解析】由3515a b ==，得()()315515315515351515baab b a ab b ab a ab ab b a =====，，∴，，∴，即1515ab a b a b ab +=+=，∴，又a b ，为不相等的正数，a b ab +∴＞＞，即4ab ＞，故A ，B 正确；()()22112a b −+−＞等价于()222a b a b ++＞，又a b ab +=，则222a b ab +＞，故C 正确；因为2222248a b ab ab a b ++＞，＞，∴＞，故D 错误.故选A 、B 、C .13.【答案】5x【解析】设()xf x a =（0a ＞，且1a ≠），由32f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭得()31322225555x a a f x −−−====，∴，∴.14.【答案】[)1+∞，302⎛⎤⎥⎝⎦， 【解析】令22u x x =−，其单调递增区间为[)1+∞，，根据函数23uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是定义域上的减函数知，函数()f x 的单调递减区间就是[)1+∞，.由1u ≥，得23032u⎛⎫⎪⎝⎭＜≤，所以()f x 的值域为302⎛⎤ ⎥⎝⎦，. 15.【答案】(]1−∞，【解析】令t x a =−，则t x a =−在区间[)a +∞，上单调递增，而t y e =在R 上为增函数，所以要使函数()x af x e−=在[)1+∞，上单调递增，则有1a ≤，所以a 的取值范围是(]1−∞，. 16.【答案】23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【解析】因2x y =与31y x =−在()1−∞，上没有公共点，故由()()2f a f f a =⎡⎤⎣⎦可得()1f a ≥，故有1311a a ⎧⎨−⎩＜≥或121a a ⎧⎨⎩≥≥，解得a 的取值范围是23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. 17.【答案】（1）原式221133e e =−++−=+. （2）设346a b c m ===，则0m ＞.346log log log a m b m c m ===∴，，.1111log 3log 4log 622m m m a b c +−=+−∴ log 3log 2log 6m m m =+−32log log 106mm ⨯===. 18.【答案】（1）依题意得11421142b a ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得11612a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()111641124x x F x x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎪⎩，≤，＞. （2）因为1122161111622b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以12161122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，即b a a b ＜.（3）由()()1122432m m −−+−＜，得40320432m m m m +⎧⎪−⎨⎪+−⎩＞＞＞，解得1332m −＜＜，所以m 的取值范围是1332⎛⎫− ⎪⎝⎭，.19.【答案】（1）因为()x xe af x a e =+是R 上的偶函数，所以()()f x f x =−，即x x x x e a e aa e a e −−+=+， 故()10x x a e e a −⎛⎫−−= ⎪⎝⎭，又x x e e −−不可能恒为0， 所以当10a a−=时，()()f x f x =−恒成立，故1a =. （2）证明：在()0+∞，上任取12x x ＜， 因为()()12121211f x f x ex ex ex ex −=+−− ()()()()()12121212211212121111ex ex ex ex ex ex ex ex ex ex ex ex ex ex ex ex −−⎛⎫=−+−=−+−= ⎪⎝⎭， 又12100e x x ＞，＞，＞，所以121ex ex ＜＜，所以1212010ex ex ex ex −−＜，＞，故()()120f x f x −＜，即()()12f x f x ＜，所以()f x 在()0+∞，上是增函数.20.【答案】（1）1年后该城市人口总数为()100100 1.2%1001 1.2%y =+⨯=⨯+； 2年后该城市人口总数为()()()21001 1.2%1001 1.2% 1.2%1001 1.2%y =⨯++⨯+⨯=⨯+； 3年后该城市人口总数为()31001 1.2%y =⨯+；……；x 年后该城市人口总数为()1001 1.2%xy x +=⨯+∈N ，.（2）10年后该城市人口总数为()()10101001 1.2%100 1.012112.7y =⨯+=⨯≈万. （3）令120y =，则有()1001 1.2%120x⨯+=， 解方程可得1516x ＜＜.故大约16年后该城市人口总数将达到120万.21.【答案】（1）因为()x f x b a =的图象过点()()16324A B ，，，，所以3624b a b a =⎧⎨=⎩，①，②÷②①得24a =，又0a ＞且1a ≠，所以23a b ==，，所以()32x f x =.（2）由（1）知110x x m a b ⎛⎫⎛⎫+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥在(]1x ∈−∞，时恒成立可化为1123x xm ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤在(]1x ∈−∞，时恒成立. 令()1123xxg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 在(]1−∞，上单调递减， 所以()()min 1151236m g x g ==+=≤， 即实数m 的取值范围是56⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦，.22.【答案】（1）当()10x ∈−，时，()01x −∈，. ∵函数()f x 为奇函数，()()224114x xx xf x f x −−=−−=−=−++∴. 又()()()()()00020000f f f f f =−=−==，∴，.故当()11x ∈−，时，()f x 的解析式为()()()201410021041xx xx x f x x x ⎧∈⎪+⎪==⎨⎪⎪−∈−+⎩，，，，，. （2）因为()214xxf x =+在()01，上单调递减，从而由奇函数的对称性知()f x 在()10−，上单调递减. ∴当01x ＜＜时，()1010224141f x ⎛⎫∈ ⎪++⎝⎭，，即()2152f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，；当10x −＜＜时，()010*******f x −−⎛⎫∈−− ⎪++⎝⎭，，必修第一册 6 / 6 即()1225f x ⎛⎫∈−− ⎪⎝⎭，. 而()00f =，故函数()f x 在()11−，上的值域为{}211205225⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，.。

最新北师大版高一数学必修一测试题全套及答案

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最新北师大版高一数学必修一测试题全套及答案第一章测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2<x≤5}，则A∪B等于()A．{x|2<x<3}B．{x|－1≤x≤5}C．{x|－1<x<5} D．{x|－1<x≤5}解析：结合数轴分析可知，A∪B＝{x|－1≤x≤5}．答案：B2．符合条件{a}P⊆{a，b，c}的集合P的个数是()A．2 B．3C．4 D．5解析：集合P内除了含有元素a外，还必须含b，c中至少一个，故P＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3个．答案：B3．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁U A)∩B＝{5}，则集合B等于()A．{1,3} B．{3,5}C．{1,5} D．{1,3,5}解析：画出满足题意的Venn图，由图可知B＝{1,3,5}．答案：D4．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是() A．M＝P B．M PC．P M D．M与P没有公共元素解析：∵a∈N*，∴x＝a2＋1＝2,5,10，….∵b∈N*，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，….∴M P.答案：B5．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于()A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)解析：∵∁U M＝{1,4,5,6}，∁U N＝{2,3,5,6}，∴(∁U M)∩(∁U N)＝{5,6}．答案：D6．如图，I为全集，M，P，S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是() A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩(∁I S)D．(M∩P)∪(∁I S)解析：阴影部分在M中，也在P中但不在S中，故表示的集合为(M∩P)∩(∁I S)．答案：C7．已知集合A＝{x|x<3，或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为() A．a>3 B．a≥3C．a≥7 D．a>7解析：因为A＝{x|x<3，或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x<7}，又(∁U A)∩B≠∅，则a>3.答案：A8．已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是() A．{a|a≤1} B．{a|a<1}C．{a|a≥2} D．{a|a>2}解析：∁R B＝{x|x≤1或x≥2}，∵A∪(∁R B)＝R，∴a≤1.答案：A9．若集合A＝{x||x|＝1}，B＝{x|ax＝1}，若A∪B＝A，则实数a的值为()A．1 B．－1C．1或－1 D．1或0或－1解析：∵A＝{－1,1}且A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝{－1}或{1}或∅.当B＝{1}时a＝1；当B＝{－1}时a＝－1；当B＝∅时a＝0.∴a的值为0或1或－1.答案：D10．定义集合M与N的新运算：M⊕N＝{x|x∈M或x∈N且x∉M∩N}，则(M⊕N)⊕N ＝()A．M∩N B．M∪NC．M D．N解析：按定义，M⊕N表示右上图的阴影部分，两圆内部的公共部分表示M∩N.(M⊕N)⊕N应表示x∈M⊕N或x∈N且x∉(M⊕N)∩N的所有x的集合，(M⊕N)∩N表示右下图右边的阴影部分，因此(M⊕N)⊕N＝M.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．解析：如图中数轴所示，要使A∪B＝R，需满足a≤2.答案：a≤212．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为________．解析：当x＝1时，x－1＝0∉A，x＋1＝2∈A；当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4∉A；当x＝5时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A；综上可知，A中只有一个孤立元素5.答案：513．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝________________________________________________________________________.解析：∵∁U B＝{x|x≤1}，借助数轴可以求出∁U B与A的交集为图中阴影部分，即{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}14．已知集合A{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．解析：(1)若A中有且只有1个奇数，则A＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}；(2)若A中没有奇数，则A＝{2}或∅.答案：6三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知M ＝{1，t }，N ＝{t 2－t ＋1}，若M ∪N ＝M ，求t 的取值集合． 解析： ∵M ∪N ＝M ， ∴N ⊆M ，即t 2－t ＋1∈M ，(1)若t 2－t ＋1＝1，即t 2－t ＝0，解得t ＝0或t ＝1，当t ＝1时，M 中的两元素相同，不符合集合中元素的互异性，舍去．∴t ＝0. (2)若t 2－t ＋1＝t ，即t 2－2t ＋1＝0，解得t ＝1， 由(1)知不符合题意，舍去． 综上所述，t 的取值集合为{0}．16．(12分)已知集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a >0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解析： (1)∵B ＝{x |x ≥2}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}(2)∵C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－a 2，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ，∴－a2<2， ∴a >－4.∴a 的取值范围是{a |a >－4}．17．(13分)若集合A ＝{x |－3≤x ≤4}和B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}． (1)当m ＝－3时，求集合A ∩B . (2)当B ⊆A 时，求实数m 的取值范围．解析： (1)当m ＝－3时，B ＝{x |－7≤x ≤－2}， A ∩B ＝{x |－3≤x ≤－2}． (2)∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ≠∅. 当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，即m >2. 当B ≠∅时，有 ⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤m ＋12m －1≥－3m ＋1≤4，即－1≤m ≤2.综上所述，所求m 的范围是m ≥－1.18．(13分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{a |a ≥2或a ≤－2}，B ＝{a |关于x 的方程ax 2－x＋1＝0有实根}．求A ∪B ，A ∩B ，A ∩(∁U B )．解析： A ＝{a |a ≥2或a ≤－2}， 对于方程ax 2－x ＋1＝0有实根， 当a ＝0时，x ＝1；当a ≠0时，Δ＝1－4a ≥0，a ≤14. 所以B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ≤14 .所以A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ≤14或a ≥2，A ∩B ＝{a |a ≤－2}， A ∩(∁U B )＝{a |a ≥2}．第二章 测试题一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}解析： 当x ＝0时y ＝0，当x ＝1时y ＝－1， 当x ＝2时y ＝0，当x ＝3时y ＝3，值域为{－1,0,3}． 答案： A2．幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图像如图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <3B ．0C ．1D ．2解析： 从图像上看，由于图像不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m <3；又从图像看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数， 将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．答案： C3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是( )解析： 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶直至停车，在行进过程中s 随时间t 的增大而增大，故排除D.另外汽车在行进过程中有匀速行驶的状态，故排除C.又因为在开始时汽车启动后加速行驶的过程中行驶路程s 随时间t 的变化越来越快，在减速行驶直至停车的过程中行驶路程s 随时间t 的变化越来越慢，排除B.答案： A4．函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝a (a ∈R )的交点有( ) A ．至多有一个 B ．至少有一个 C ．有且仅有一个D ．有一个或两个以上解析： 由函数的定义对于定义域内的任意一个x 值，都有唯一一个y 值与它对应，所以函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝a (a ∈R )至多有一个交点(当a 的值不在定义域时，也可能没有交点)．答案： A5．对于定义域为R 的奇函数f (x )，下列结论成立的是( ) A ．f (x )－f (－x )>0 B ．f (x )－f (－x )≤0 C ．f (x )·f (－x )≤0D ．f (x )·f (－x )>0解析： f (－x )＝－f (x )，则f (x )·f (－x )＝－f 2(x )≤0. 答案： C6．函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数，则有( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．c ≥0D ．c ≤0解析： 作出函数y ＝x 2＋bx ＋c 的简图，对称轴为x ＝－b2.因该函数在[0，＋∞)上是单调函数，故对称轴只要在y 轴及y 轴左侧即可，故－b2≤0，所以b ≥0.答案： A7.幂函数y ＝f (x )图像如图，那么此函数为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x 32 C ．y ＝x 12D ．y ＝x 23解析： 可设函数为y ＝x α，将(2，2)代入得α＝12. 答案： C8．某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距离地面3 m 高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m ，如图所示．则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)( )A ．6.9 mB ．7.0 mC ．7.1 mD ．6.6 m解析： 建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y ＝ax 2(a <0)，设点A 的坐标为(4，－h )，则C (3,3－h )，将这两点的坐标代入y ＝ax 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－h ＝a ·42，3－h ＝a ·32，解得⎩⎨⎧a ＝－37，h ＝487≈6.9，所以厂门的高约为6.9 m.答案： A9．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，(x >10)，f (f (x ＋5))，(x ≤10)，则f (5)的值是( ) A ．24 B ．21 C ．18D ．16解析： f (5)＝f (f (10))，f (10)＝f (f (15))＝f (18)＝21，f (5)＝f (21)＝24. 答案： A10．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0”的是( ) A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝－3x ＋1C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x ＋1x解析： f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在(0，＋∞)上为增函数，而f (x )＝2x 及f (x )＝－3x ＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故排除A ，B.f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故排除D.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12，x >0，－2，x ＝0，(x ＋3)12，x <0，则f (f (f (0)))＝________.解析： f (0)＝－2，f (f (0))＝f (－2)＝(－2＋3)12＝1，f (f (f (0)))＝f (1)＝1－12＝1. 答案： 112．设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m －1)>f (2m －1)，则实数m 的取值范围是________． 解析： 由题意得m －1<2m －1，故m >0. 答案： (0，＋∞)13．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x为奇函数，则a ＝________. 解析： f (－x )＝(1－x )(a －x )－x ，又f (x )为奇函数，故f (x )＝－f (－x )， 即(x ＋1)(x ＋a )x ＝(1－x )(a －x )x ，所以x 2＋(a ＋1)x ＋a x ＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ， 从而有a ＋1＝－(a ＋1)，即a ＝－1. 答案： －114．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：当g [f (x )]＝2时，x ＝解析： ∵g [f (x )]＝2，∴f (x )＝2，∴x ＝1. 答案： 1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知二次函数y ＝f (x )的最大值为13，且f (3)＝f (－1)＝5，求f (x )的解析式，并求其单调区间．解析： ∵f (3)＝f (－1)＝5， ∴对称轴为x ＝1，又∵最大值为13，∴开口向下，设为f (x )＝a (x －1)2＋13(a ＜0)，代入x ＝－1， ∴4a ＋13＝5，∴a ＝－2， ∴f (x )＝－2(x －1)2＋13.函数在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． 16．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ，且f (1)＝2， (1)证明函数f (x )是奇函数；(2)证明f (x )在(1，＋∞)上是增函数； (3)求函数f (x )在[2,5]上的最大值与最小值．解析： (1)证明：f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，因为f (1)＝2所以1＋a ＝2，即a ＝1f (x )＝x 2＋1x ＝x ＋1x f (－x )＝－x －1x ＝－f (x ) 所以f (x )是奇函数．(2)证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2 f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2) ＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2∵x 1<x 2，且x 1x 2∈(1，＋∞) ∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1，∴f (x 1)－f (x 2)<0 所以f (x )在(1，＋∞)上为增函数．(3)由(2)知，f (x )在[2,5]最小值为f (2)＝52.17．(13分)已知函数f (x )＝1x 2＋1，令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x .(1)如图，已知f (x )在区间[0，＋∞)的图像，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图像，并说明你的作图依据；(2)求证：f (x )＋g (x )＝1(x ≠0)．解析： (1)∵f (x )＝1x 2＋1，所以f (x )的定义域为R . 又任意x ∈R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，故f (x )的图像关于y 轴对称，补全图像如图所示．(2)证明：∵g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1⎝⎛⎭⎫1x 2＋1＝x 21＋x 2(x ≠0)， ∴f (x )＋g (x )＝11＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋x 21＋x 2＝1， 即f (x )＋g (x )＝1(x ≠0)．18．(13分)已知函数f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3在区间⎣⎡⎦⎤－32，2上的最大值为1，求实数a的值．解析： 当a ＝0时，f (x )＝－x －3，f (x )在⎣⎡⎦⎤－32，2上不能取得1，故a ≠0.∴f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3(a ≠0)的对称轴方程为 x 0＝1－2a 2a .(1)令f ⎝⎛⎭⎫－32＝1，解得a ＝－103， 此时x 0＝－2320∈⎣⎡⎦⎤－32，2， 因为a <0，f (x 0)最大，所以f ⎝⎛⎭⎫－32＝1不合适；(2)令f (2)＝1，解得a ＝34， 此时x 0＝－13∈⎣⎡⎦⎤－32，2，因为a ＝34>0，x 0＝－13∈⎣⎡⎦⎤－32，2，且距右端点2较远， 所以f (2)最大，合适；(3)令f (x 0)＝1，得a ＝12(－3±22)， 验证后知只有a ＝12(－3－22)才合适． 综上所述，a ＝34或a ＝－12(3＋22)．第三章 测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化简[3（－5）2]34的结果为( ) A ．5 B ．5 C ．－ 5D ．－5解析： [3（－5）2]34＝(352)34＝523×34＝512＝ 5.答案： B2．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝( )A ．9B ．19C ．25D ．125解析： 由换底公式，得lg 1 3lg 5·lg 6lg 3·lg xlg 6＝2，∴－lg xlg 5＝2.∴lg x＝－2lg 5＝lg 125.∴x＝125.答案：D3．已知函数f(x)＝4＋a x＋1的图像恒过定点P，则点P的坐标是()A．(－1，5) B．(－1，4)C．(0，4) D．(4，0)解析：∵y＝a x恒过定点(0，1)，∴y＝4＋a x＋1恒过定点(－1，5)．答案：A4．函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是()A．|a|>1 B．|a|>2C．a> 2 D．1<|a|<2解析：由0<a2－1<1得1<a2<2，∴1<|a|< 2.答案：D5．函数y＝a x－1的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围是()A．a>0 B．a>1C．0<a<1 D．a≠1解析：由a x－1≥0得a x≥1，又知此函数的定义域为(－∞，0]，即当x≤0时，a x≥1恒成立，∴0<a<1.答案：C6．函数y＝f(x)＝a x－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是() A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0解析：由图像得函数是减函数，∴0<a<1.又分析得，图像是由y ＝a x 的图像向左平移所得， ∴－b >0，即b <0.从而D 正确． 答案： D7．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1－2，x ≤1，⎝⎛⎭⎫13x －1－2，x >1的值域是( )A ．(－2，－1)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－2，－1]解析： 当x ≤1时，0<3x －1≤31－1＝1， ∴－2<3x －1－2≤－1. 当x >1时，⎝⎛⎭⎫13x<⎝⎛⎭⎫131， ∴0<⎝⎛⎭⎫13x －1<⎝⎛⎭⎫130＝1， 则－2<⎝⎛⎭⎫13x －1－2<1－2＝－1.答案： D8．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像为( )解析： 由题意知前3年年产量增大速度越来越快，可知在单位时间内，C 的值增大的很快，从而可判定结果．答案： A9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x －1），x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0，2)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1，3)解析： 当x 0≥2时，∵f (x 0)>1， ∴log 2(x 0－1)>1，即x 0>3；当x 0<2时，由f (x 0)>1得⎝⎛⎭⎫12x 0－1>1，⎝⎛⎭⎫12x 0>⎝⎛⎭⎫12－1，∴x 0<－1. ∴x 0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案： C10．函数f (x )＝log a (bx )的图像如图，其中a ，b 为常数．下列结论正确的是( ) A ．0<a <1，b >1 B ．a >1，0<b <1 C ．a >1，b >1D ．0<a <1，0<b <1解析： 由于函数单调递增，∴a >1，又f (1)>0， 即log a b >0＝log a 1，∴b >1. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x，x ∈[－1，0]，3x ，x ∈（0，1]，则f ⎝⎛⎭⎫log 312＝________． 解析： ∵－1＝log 313<log 312<log 31＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫log 312＝⎝⎛⎭⎫13log 312＝3－log 312＝3log 32＝2.答案： 212．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8升，则m＝________．解析： 根据题意12＝e 5n ，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，所以⎝⎛⎭⎫123＝e 5n ×3.故18＝e 15n ，解得t ＝15， 故m ＝15－5＝10. 答案： 1013．若函数y ＝2x ＋1，y ＝b ，y ＝－2x －1三图像无公共点，结合图像则b 的取值范围为________．解析： 如图．当－1≤b ≤1时，此三函数图像无公共点． 答案： [－1，1]14．函数f (x )＝－a 2x －1＋2恒过定点的坐标是________． 解析： 令2x －1＝0，解得x ＝12，又f ⎝⎛⎭⎫12＝－a 0＋2＝1， ∴f (x )过定点⎝⎛⎭⎫12，1. 答案： ⎝⎛⎭⎫12，1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)计算下列各式的值： (1)(32×3)6＋(2×2)43－(－2 008)0； (2)lg 5lg 20＋(lg 2)2；(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＋(log 3312)2＋ln e －lg 1. 解析： (1)原式＝(213×312)6＋(2×212)12×43－1＝213×6×312×6＋232×12×43－1 ＝22×33＋21－1 ＝4×27＋2－1 ＝109.(2)原式＝lg 5lg(5×4)＋(lg 2)2 ＝lg 5(lg 5＋lg 4)＋(lg 2)2 ＝(lg 5)2＋lg 5lg 4＋(lg 2)2 ＝(lg 5)2＋2lg 5lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.(3)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＋14＋12－0 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＋34＝54＋34＝2. 16．(12分)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．解析： (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x ＋3>0得－3<x <1，所以函数的定义域{x |－3<x <1}， f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)， 设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， 所以t ≤4，又t >0，则0<t ≤4.当a >1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}． 当0<a <1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}． (2)由题意及(1)知：当0<a <1时，函数有最小值， 所以log a 4＝－2，解得：a ＝12.17．(13分)已知函数f (x )＝3x ，且f (a ＋2)＝18，g (x )＝3a －4x 的定义域为[0，1]． (1)求函数g (x )的解析式； (2)判断函数g (x )的单调性．解析： (1)∵f (x )＝3x ，∴f (a ＋2)＝3a ＋2＝18，∴3a ＝2. ∴g (x )＝2－4x (x ∈[0，1])．(2)设x 1，x 2为区间[0，1]上任意两个值，且x 1<x 2， 则g (x 2)－g (x 1)＝2－4x 2－2＋4x 1＝(2x 1－2x 2)(2x 1＋2x 2)， ∵0≤x 1<x 2≤1，∴2x 2>2x 1>1， ∴g (x 2)<g (x 1)．所以，函数g (x )在[0，1]上是减函数．18．(13分)已知f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x ，(1)求f (x )的定义域； (2)求f ⎝⎛⎭⎫－12 012＋f ⎝⎛⎭⎫12 012；(3)当x ∈(－a ，a ](其中a ∈(－1，1)，且a 为常数)时，f (x )是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．解析： (1)由1－x 1＋x >0得x －1x ＋1<0∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0x ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0x ＋1>0， ∴－1<x <1，即f (x )的定义域为(－1，1)． (2)对x ∈(－1，1)有f (－x )＝－(－x )＋log 21＋x 1－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋log 21－x 1＋x ＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数∴f ⎝⎛⎭⎫－12 012＝－f ⎝⎛⎭⎫12 012. ∴f ⎝⎛⎭⎫－12 012＋f ⎝⎛⎭⎫12 012＝0. (3)设－1<x 1<x 2<1， 则1－x 11＋x 1－1－x 21＋x 2＝2（x 2－x 1）（1＋x 1）（1＋x 2）. ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，(1＋x 1)(1＋x 2)>0， ∴1－x 11＋x 1>1－x 21＋x 2. ∴函数y ＝1－x1＋x在(－1，1)上是减函数．从而得f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x在(－1，1)上也是减函数．又a ∈(－1，1)，∴当x ∈(－a ，a ]时，f (x )有最小值，且最小值为f (a )＝－a ＋log 21－a1＋a.第四章 测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝(x －1)(x 2－2x －3)的零点为( ) A ．1，2，3 B ．1，－1，3 C ．1，－1，－3D ．无零点解析： 令y ＝(x －1)(x 2－2x －3)＝0，解得x ＝1，－1，3，故选B. 答案： B2．下列函数中没有零点的是( ) A ．f (x )＝log 2x －3 B ．f (x )＝x －4 C ．f (x )＝1x －1D ．f (x )＝x 2＋2x解析： 由于函数f (x )＝1x －1中，对任意自变量x 的值，均有1x －1≠0，故该函数不存在零点．答案： C3．如图所示的函数图像与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④解析： 对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求． 答案： A4．已知函数f (x )＝e x －x 2＋8x ，则在下列区间中f (x )必有零点的是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)解析： f (－1)＝1e －9<0，f (0)＝e 0＝1>0，f (x )是连续函数，故f (x )在(－1，0)上有一零点．答案： B5．若函数f (x )的图像是连续不断的，且f (0)>0, f (1)·f (2)·f (4)<0，则下列说法中正确的是( )A ．函数f (x )在区间(0，1)内有零点B ．函数f (x )在区间(1，2)内有零点C ．函数f (x )在区间(0，2)内有零点D ．函数f (x )在区间(0，4)内有零点解析： 因为f (0)>0，f (1)·f (2)·f (4)<0，则f (1)，f (2)，f (4)恰有一负两正或三个都是负的，函数的图像与x 轴相交有多种可能．例如，所以函数f (x )必在区间(0，4)内有零点． 答案： D6．二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的零点为1和m ，且－1<m <0，那么p 、q 应满足的条件是( ) A ．p >0且q <0 B ．p >0且q >0 C ．p <0且q >0D ．p <0且q <0解析： 由已知得f (0)<0，－p2>0，解得q <0，p <0.答案： D7．若x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0属于区间( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4)解析： 构造函数f (x )＝ln x ＋x －4，则函数f (x )的图像是连续不断的一条曲线，又f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3＋3－4>0，所以f (2)·f (3)<0，故函数的零点所在区间为(2，3)，即方程ln x ＋x ＝4的解x 0属于区间(2，3)，故选C.答案： C8．若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0，2 B ．0，－12C ．0，12D ．2，12解析： 函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，则2a ＋b ＝0，所以b ＝－2a (a ≠0)，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，故函数g (x )有两个零点0，－12，故选B.答案： B9．当x ∈(4，＋∞)时，f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x 的大小关系是( ) A ．f (x )>g (x )>h (x ) B ．g (x )>f (x )>h (x ) C ．g (x )>h (x )>f (x )D ．f (x )>h (x )>g (x )解析： 在同一坐标系中，画出三个函数的图像，如右图所示． 当x ＝2时，f (x )＝g (x )＝4，当x ＝4时，f (x )＝g (x )＝16，当x >4时，g (x )图像在最上方，h (x )图像在最下方，故g (x )>f (x )>h (x )． 答案： B10．为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x 年植树亩数y (万亩)是时间x (年)的一次函数，这个函数的图像是( )解析： 函数解析式为y ＝x ＋0.5，故选A. 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．用二分法求方程x 3＋4＝6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0，1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．解析： 设f (x )＝x 3－6x 2＋4， 显然f (0)>0，f (1)<0， 又f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫123－6×⎝⎛⎭⎫122＋4>0， ∴下一步可断定方程的根所在的区间为⎝⎛⎭⎫12，1. 答案： ⎝⎛⎭⎫12，112．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1在[0，2]上的零点有________个． 解析： x 3－x 2－x ＋1＝(x －1)2(x ＋1)， 由f (x )＝0得x ＝1或x ＝－1. ∴f (x )在[0，2]上有1个零点． 答案： 113．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，（x ≥2）（x －1）3，（x <2）若函数y ＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．解析： 画出分段函数f (x )的图像如图所示．结合图像可以看出，函数y ＝f (x )－k 有两个零点，即y ＝f (x )与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0，1)．答案： (0，1)14．已知函数t ＝－144lg ⎝⎛⎭⎫1－N100的图像可表示打字任务的“学习曲线”，其中t (小时)表示达到打字水平N (字/分钟)所需的学习时间，N (字/分钟)表示每分钟打出的字数，则按此曲线要达到90字/分钟的水平，所需的学习时间是________小时．解析： 当N ＝90时，t ＝－144lg ⎝⎛⎭⎫1－90100＝144. 答案： 144三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)若函数y ＝ax 2－x －1只有一个零点，求实数a 的取值范围． 解析： (1)若a ＝0，则f (x )＝－x －1为一次函数，函数必有一个零点－1.(2)若a ≠0，函数是二次函数，因为二次方程ax 2－x －1＝0只有一个实数根，所以Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.综上，当a ＝0和－14时函数只有一个零点．16．(12分)以下是用二分法求方程x 3＋3x －5＝0的一个近似解(精确度0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．设函数f (x )＝x 3＋3x －5，其图像在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线． 先求值：f (0)＝________，f (1)＝________，f (2)＝________，f (3)＝________． 所以f (x )在区间________内存在零点x 0，填表：结论：________________________________________________________________________. 解析： －5 －1 9 31 (1，2)∵∴原方程的近似解可取为1.187 5.17．(13分)某商品在近100天内，商品的单位f (t )(元)与时间t (天)的函数关系式如下：f (t )＝⎩⎨⎧t4＋22，0≤t ≤40，t ∈Z ，－t2＋52，40<t ≤100，t ∈Z .销售量g (t )与时间t (天)的函数关系式是( ) g (t )＝－t 3＋1123(0≤t ≤100，t ∈Z )．这种商品在这100天内哪一天的销售额最高？解析： 依题意，该商品在近100天内日销售额F (t )与时间t (天)的函数关系式为F (t )＝f (t )·g (t )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫t 4＋22⎝⎛⎭⎫－t 3＋1123，0≤t ≤40，t ∈Z ，⎝⎛⎭⎫－t 2＋52⎝⎛⎭⎫－t 3＋1123，40<t ≤100，t ∈Z .(1)若0≤t ≤40，t ∈Z ，则F (t )＝⎝⎛⎭⎫t 4＋22⎝⎛⎭⎫－t 3＋1123 ＝－112(t －12)2＋2 5003，当t ＝12时，F (t )max ＝2 5003(元)．(2)若40<t ≤100，t ∈Z ，则 F (t )＝⎝⎛⎭⎫－t 2＋52⎝⎛⎭⎫－t 3＋1123 ＝16(t －108)2－83，∵t ＝108>100， ∴F (t )在(40，100]上递减，∴当t ＝41时，F (t )max ＝745.5.∵2 5003>745.5，∴第12天的日销售额最高．18．(13分)据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图像如图所示，过线段OC 上一点T (t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解析： (1)由图像可知：当0≤t ≤10时，v ＝3t ，则 当t ＝4，v ＝3×4＝12， 故s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时， s ＝12·t ·3t ＝32t 2， 当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150； 当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550. 综上，可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]30t －150，t ∈（10，20]－t 2＋70t －550，t ∈（20，35].(3)∵t ∈[0，10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10，20]时，s max ＝30×20－150＝450<650， ∴当t ∈(20，35]时，令－t 2＋70t －550＝650. 解得t 1＝30，t 2＝40. ∵20<t ≤35， ∴t ＝30.即沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列表示错误的是( ) A ．{a }∈{a ，b } B ．{a ，b }⊆{b ，a } C ．{－1，1}⊆{－1，0，1}D ．∅⊆{－1，1}解析： A 中两个集合之间不能用“∈”表示，B ，C ，D 都正确． 答案： A2．若集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．A ⊆B B ．A ⊇B C ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅解析： A ＝{y |y >0}，B ＝{y |y ≥0}，∴A ⊆B . 答案： A3．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析： 易知log 23>1，log 32，log 52∈(0，1)．在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y ＝log 5x 的图像，观察可知log 32>log 52.所以c >a >b .比较a ，b 的其他解法：log 32>log 33＝12，log 52<log 55＝12，得a >b ；0<log 23<log 25，所以1log 23>1log 25，结合换底公式即得log 32>log 52. 答案： D4．函数y ＝ax 2＋bx ＋3在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数，则( ) A ．b >0且a <0 B ．b ＝2a <0 C ．b ＝2a >0D ．a ，b 的符号不定解析： 由题知a <0，－b2a ＝－1，∴b ＝2a <0.答案： B5．要得到y ＝3×⎝⎛⎭⎫13x的图像，只需将函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x的图像( ) A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度 C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度解析： 由y ＝3×⎝⎛⎭⎫13x＝⎝⎛⎭⎫13－1×⎝⎛⎭⎫13xx －1正确．答案： D6．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a <0)和y ＝ax ＋1a的图像可能是如图中的( )解析： ∵a <0，∴y ＝ax ＋1a 的图像不过第一象限．还可知函数y ＝x a (a <0)和y ＝ax ＋1a 在各自定义域内均为减函数．答案： B7．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <cD ．b <a <c解析： ∵0<log 53<log 54<1，log 45>1，∴b <a <c . 答案： D8．若函数f (x )＝ax 2＋2x ＋1至多有一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．1B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．以上都不对解析： 当f (x )有一个零点时，若a ＝0，符合题意， 若a ≠0，则Δ＝4－4a ＝0得a ＝1， 当f (x )无零点时，Δ＝4－4a <0，∴a >1. 综上所述，a ≥1或a ＝0. 答案： D9．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3)<f (－2)<f (1) B ．f (1)<f (－2)<f (3) C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析： 因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a >1，f (1)<f (2)<f (3)．又函数为f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)<f (－2)<f (3)．答案： B10．设f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增加的，又f (－3)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( ) A ．{x |x <－3，或0<x <3} B ．{x |－3<x <0，或x >3} C ．{x |x <－3，或x >3}D ．{x |－3<x <0，或0<x <3}解析： ∵f (x )是奇函数， ∴f (3)＝－f (－3)＝0. ∵f (x )在(0，＋∞)是增加的， ∴f (x )在(－∞，0)上是增加的．结合函数图像x ·f (x )<0的解为0<x <3或－3<x <0. 答案： D11．一个商人有一批货，如果月初售出可获利1 000元，再将收益都存入银行，已知银行月息为2.4%；如果月末售出可获利1 200元，但要付50元货物保管费．这个商人若要获得最大收益，则这批货( )A ．月初售出好B ．月末售出好C ．月初或月末一样D ．由成本费的大小确定出售时机解析： 设这批货成本为a 元，月初售出可收益y 1＝(a ＋1 000)×(1＋2.4%)(元)，月末售出可收益y 2＝a ＋1 200－50＝a ＋1 150(元)．则y 1－y 2＝(a ＋1 000)×1.024－a －1 150 ＝0.024a －126.当a >1260.024>5 250时，月初售出好；当a <5 250时，月末售出好；当a ＝5 250时，月初、月末收益相等，但月末售出还要保管一个月，应选择月初售出． 答案： D12．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析： 计算出函数在区间端点处的函数值并判断符号，再利用零点的存在条件说明零点的位置．∵f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )， ∴f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )， f (c )＝(c －a )(c －b )，∵a <b <c ，∴f (a )>0，f (b )<0，f (c )>0，∴f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内． 答案： A二、填空题(本大题共4分．请把正确答案填在题中横线上)13．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝⎛g ．解析： ∵g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12<0，∴g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝eln 12＝12. 答案： 1214．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________．解析： A ＝{x |0<x ≤4}，B ＝(－∞，a )．若A ⊆B ，则a >4，即a 的取值范围为(4，＋∞)，∴c ＝4. 答案： 415．函数y ＝22－2x －3x 2的递减区间是________． 解析： 令u ＝2－2x －3x 2，y ＝2u ，由u ＝－3x 2－2x ＋2知，u 在⎝⎛⎭⎫－13，＋∞上为减函数，而y ＝2u 为增函数，所以函数的递减区间为⎝⎛⎭⎫－13，＋∞. 答案： ⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ 16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x >1的图像和函数g (x )＝log 2x 的图像有________个交点．解析： 作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像如图，由图可知，两个函数的图像有3个交点．答案： 3三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <a }． (1)求A ∪B ； (2)求(∁R A )∩B ；(3)若A ⊆C ，求a 的取值范围．解析： (1)因为A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}， 所以A ∪B ＝{x |2<x <10}．(2)因为A ＝{x |3≤x <7}，所以∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}． 因为B ＝{x |2<x <10}，所以(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}．(3)因为A ＝{x |3≤x <7}，C ＝{x |x <a }，A ⊆C ， 所以a 需满足a ≥7.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5].(1)在直角坐标系内画出f (x )的图像； (2)写出f (x )的单调递增区间．解析： (1)函数f (x )的图像如下图所示：(2)函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]和[2，5]． 19．(本小题满分12分)计算下列各式的值： (1)⎝⎛⎭⎫21412－(－9.6)0－⎝⎛⎭⎫82723＋⎝⎛⎭⎫32－2. (2)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72. 解析： (1)原式＝⎝⎛⎭⎫9412－1－⎝⎛⎭⎫233×23＋⎝⎛⎭⎫32－2 ＝⎝⎛⎭⎫322×12－1－⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫232＝32－1＝12. (2)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2＝log 33－14＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154.20．(本小题满分12分)若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解析： (1)由f (0)＝1得，c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1， 又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1， 由－m －1>0，得m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．21．(本小题满分13分)定义在[－1，1]上的偶函数f (x )，已知当x ∈[0，1]时的解析式为f (x )＝－22x ＋a 2x (a ∈R )．(1)求f (x )在[－1，0]上的解析式． (2)求f (x )在[0，1]上的最大值h (a )． 解析： (1)设x ∈[－1，0]， 则－x ∈[0，1]，f (－x )＝－2－2x＋a 2－x ，又∵函数f (x )为偶函数， ∴f (x )＝f (－x )， ∴f (x )＝－2－2x＋a 2－x ，x ∈[－1，0]．(2)∵f (x )＝－22x ＋a 2x ，x ∈[0，1]， 令t ＝2x ，t ∈[1，2]． ∴g (t )＝at －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －a 22＋a 24. 当a2≤1，即a ≤2时，h (a )＝g (1)＝a －1； 当1<a2<2，即2<a <4时，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a24；当a2≥2，即a ≥4时，h (a )＝g (2)＝2a －4. 综上所述，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1， a ≤2，a24， 2<a <4，2a －4， a ≥4.22．(本小题满分13分)通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力(f (x )的值越大，表示接受能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可以有以下公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43， （0<x ≤10）59， （10<x ≤16）－3x ＋107， （16<x ≤30）(1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？ (2)开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解析： (1)当0<x ≤10时， f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43 ＝－0.1(x －13)2＋59.9，故f (x )在0<x ≤10时递增，最大值为f (10)＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59. 当10<x ≤16时，f (x )＝59.当x >16时，f (x )为减函数，且f (x )<59.因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力(为59)，能维持6分钟时间． (2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5， f (20)＝－3×20＋107＝47<53.5，故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些． (3)当0<x ≤10时，令f (x )＝55， 解得x ＝6或x ＝20(舍)， 当x >16时，令f (x )＝55， 解得x ＝1713.因此学生达到(含超过)55的接受能力的时间为1713－6＝1113<13，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．。

北师大高一数学必修测试题附标准答案

北师大高一数学必修测试题附标准答案

高一数学必修2测试题斗鸡中学 强彩虹一、 选择题（12×5分＝60分）1、下列命题为真命题地是（ ）A. 平行于同一平面地两条直线平行；B.与某一平面成等角地两条直线平行；C. 垂直于同一平面地两条直线平行；D.垂直于同一直线地两条直线平行. D.2、下列命题中错误地是：（ ）A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ.3、右图地正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中,异面直线AA ’与BC 所成地角是（ ）A. 300B.450C.600D.9004、右图地正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’中，二面角D ’-AB-D 地大小是（ ）A. 300B.450C.600D.9005、直线5x-2y-10=0在x 轴上地截距为a,在y 轴上地截距为b,则（ ）A.a=2,b=5;B.a=2,b=5-;C.a=2-,b=5;D.a=2-,b=5-.6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0地交点是（ ）A (3,-1)B (-1,3)C (-3,-1)D (3,1)7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直地直线方程是（ ）A 4x+3y-13=0B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0D 3x+4y-8=08、正方体地全面积为a,它地顶点都在球面上，则这个球地表面积是：（ ）A BA ’A.3aπ; B.2aπ; C.a π2; D.a π3.9、已知一个铜质地五棱柱地底面积为16cm 2,高为4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体地铜块（不计损耗），那么铸成地铜块地棱长是（ ）A. 2cm; B.cm 34; C.4cm; D.8cm.10、圆x 2+y 2-4x-2y-5=0地圆心坐标是：（ ）A.(-2,-1);B.(2,1);C.(2,-1);D.(1,-2).11、直线3x+4y-13=0与圆1)3()2(22=-+-y x 地位置关系是：（ ） A. 相离; B. 相交; C. 相切; D. 无法判定. 12、圆C 1: 1)2()2(22=-++y x 与圆C 2:16)5()2(22=-+-y x 地位置关系是（ ）A 、外离B 相交C 内切D 外切二、填空题（5×5=25）13、底面直径和高都是4cm 地圆柱地侧面积为cm 2. 14、两平行直线0962043=-+=-+y x y x 与地距离是.15、、已知点M （1，1，1），N （0，a ，0），O （0，0，0），若△OMN 为直角三角形，则a ＝____________；16、若直线08)3(1=-++=-my x m y x 与直线平行，则=m .17，半径为a 地球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点地距离为________________； 三、解答题18、（10分）已知点A （-4，-5），B （6，-1），求以线段AB 为直径地圆地方程. 19、（10分）已知三角形ABC 地顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上地中点.（1）求AB 边所在地直线方程；（2）求中线AM 地长.20、（15分）如图，在边长为a 地菱形ABCD 中，ABCD PC ABC 面⊥=∠,60，E,F是PA 和AB 地中点. （1）求证： EF||平面PBC ; （2）求E 到平面PBC 地距离.21、（15分）已知关于x,y 地方程C:04222=+--+m y x y x . （1）当m 为何值时，方程C 表示圆.（2）若圆C 与直线l:x+2y-4=0相交于M,N 两点，且MN=54,求m 地值.22、（15分）如图，在底面是直角梯形地四棱锥S-ABCD 中，.21,1,90====⊥=∠AD BC AB SA ABCD SA ABC ，面(1)求四棱锥S-ABCD 地体积; (2)求证：;SBC SAB面面⊥(3)求SC 与底面ABCD 所成角地正切值.SCADBBCDPEF答案二、填空题（55=25）13、π1614、201015、1 16、23- 17、、√3a三、解答题18、解：所求圆地方程为：222)()(r b y a x =-+-..................2 由中点坐标公式得线段AB 地中点坐标为C （1，-3）......5LDAYt 29)53()41(22=+-++==AC r (7)故所求圆地方程为：29)3()1(22=++-y x ………………10 19、解：（1）由两点式写方程得121515+-+=---x y ，........................2 即 6x-y+11=0 (3)或 直线AB 地斜率为 616)1(251=--=-----=k (1)直线AB 地方程为 )1(65+=-x y ………………………………………3 即 6x-y+11=0…………………………………………………………………5 （2）设M 地坐标为（00,y x ），则由中点坐标公式得1231,124200=+-==+-=y x 故M （1，1）...........................8 52)51()11(22=-++=AM (10)20、（1）证明：PBEF BF AF PE AE ||,,∴== (1)又 ,,PBC PB PBC EF 平面平面⊂⊄故 PBC EF 平面|| (5)（2）解：在面ABCD 内作过F 作H BC FH 于⊥ (6)PBC PC ABCD PC 面面⊂⊥,ABCD PBC 面面⊥∴ (8)又 BC ABCD PBC =面面 ，BC FH ⊥，ABCD FH 面⊂ABCD FH 面⊥∴又PBC EF 平面||，故点E 到平面PBC 地距离等于点F 到平面PBC 地距离FH. …………………………………………………10 在直角三角形FBH 中，2,60a FB FBC ==∠， a a a FBC FB FH 4323260sin 2sin 0=⨯=⨯=∠=……………12 故点E 到平面PBC 地距离等于点F 到平面PBC 地距离， 等于a 43.………………………………………………………………15 21、解：（1）方程C 可化为 m y x -=-+-5)2()1(22………………2 显然 5,05<>-m m 即时时方程C 表示圆.………………5 （2）圆地方程化为 m y x -=-+-5)2()1(22圆心 C （1，2），半径 m r -=5 (8)则圆心C （1，2）到直线l:x+2y-4=0地距离为5121422122=+-⨯+=d (10)5221,54==MN MN 则 ，有 222)21(MN d r +=,)52()51(522+=-∴M 得 4=m (15)22、（1）解：4111)121(61)(213131=⨯⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯==SA AB BC AD Sh v （2）证明：BCSA ABCD BC ABCD SA ⊥∴⊂⊥,面，面 又,A AB SA BC AB =⊥ ， SAB BC 面⊥∴SAB BC 面⊂SBC SAB 面面⊥∴（3）解：连结AC,则SCA ∠就是SC 与底面ABCD 所成地角. 在三角形SCA 中，SA=1,AC=21122=+,2221tan ===∠AC SA SCA版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.Zzz6Z 。

北师大版高一数学期末试卷及答案

北师大版高一数学期末试卷及答案

北师大版高一数学期末试卷及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）A. 180种B. 90种C. 60种D. 30种2. 已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（）A. a＞0B. a≤3C. a＜3D. a≥33. 若函数f(x)=x²-2x+1在区间（1，3）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A. a＞1B. a＜1C. a≥1D. a≤14. 函数f(x)=x²-4x+3的对称轴是（）A. x=2B. x=1C. x=-2D. x=-15. 下列函数中，奇函数是（）A. f(x)=x²+1B. f(x)=x³C. f(x)=|x|D. f(x)=2x+16. 已知函数f(x)=2x+1，若f(x+1)=3，求x的值（）A. x=1B. x=2C. x=0D. x=-17. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=15，S10=30，则S15的值为（）A. 45C. 75D. 908. 已知等比数列{an}的首项为1，公比为2，求第8项的值（）A. 128B. 64C. 32D. 169. 若a，b是方程x²-2ax+b=0的两个根，则a+b的值为（）A. 2aB. 2bC. a+bD. 4a10. 若函数f(x)=x²-2x+c在x=1处取得最小值，则c的值为（）A. 1B. 0C. -1二、填空题（每题4分，共40分）11. 已知函数f(x)=x²-4x+c在区间（0，4）上单调递减，则实数c的取值范围是______。

12. 已知函数f(x)=x²-2x+1的顶点坐标为______。

13. 若函数f(x)=x²+bx+c是奇函数，则b的值为______。

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一数学第一学期模块检测卷
数学必修2 斗鸡中学 张晓明
一、选择题 ：(本大题共10小题 ，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选择项中,只有一
项是符合题目要求的.)
1．若直线l 经过原点和点A （－2，－2），则它的斜率为（ ） A ．－1
B ．1
C ．1或－1
D ．0
2．各棱长均为a 的三棱锥的表面积为（ ）
A ．2
34a
B ．2
33a
C ．2
32a
D ．2
3a
3． 如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ ）
A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C ．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台
D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
4．经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．
23
-
B ．
32-
C ．32
D ．2
5．不论取何实数，直线
恒过一定点，则该定点的坐标为（ ）
A. （－1，2）
B.（－1，－2）
C. （1，2）
D. （1，－2） 6．如果AC ＜0，BC ＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
7．已知圆心为C （6，5），且过点B （3，6）的圆的方程为（ ）
A ．22(6)(5)10x y -+-=
B ．22
(6)(5)10x y +++= C ．22(5)(6)10x y -+-= D ．
22(5)(6)10x y +++= 8．在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC1的中点，
则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ） A ．30° B ．45°
C ．90°
D ． 60°
9、已知点P 是圆22(3)1x y -+=上的动点，则点P 到直线y ＝x ＋1的距离的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. 2－1 D. 2＋1
10、两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为（ ）
A. 2
B. 3
C.－1
D. 0
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 A ．0个 B ．1
个
C ．2个
D ．3个
12．点
)
,(00y x P 在圆2
22r y x =+内，则直线200r y y x x =+和已知圆的公共点的个数为（ ）
m :+-+=20l mx y m 222
1
A ．0
B ．1
C ．2
D ．不能确定
二、填空题（每题5分，共25分）
13．已知原点O （0，0），则点O 到直线x+y+2=0的距离等于 ．
14．经过两圆922=+y x 和
8)3()4(2
2=+++y x 的交点的直线方程 15．过点（1，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程 16．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．
①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α； ②若l ∥α，则l 平行于α内的所有直线； ③若m ⊂α，l ⊂β且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ⊂β，α⊥l ，则α⊥β；
⑤若m ⊂α，l ⊂β且α∥β，则m ∥l ； 三、解答题（5道题，共65分）
18．（本大题12分）如图是一个圆台形的纸篓（有底无盖），它的母线长 为50cm ，两底面直径分别为40 cm 和30 cm ；现有制作这种纸篓的塑料 制品50m2，问最多可以做这种纸篓多少个？
19．（本大题12分）求经过直线L1：3x + 4y – 5 = 0与直线L2：2x – 3y + 8 = 0的交点M ，且满足下列条件的直线方程
（1）与直线2x + y + 5 = 0平行 ； （2）与直线2x + y + 5 = 0垂直；
20．（本大题12分）求圆心在03:1=-x y l 上，与x 轴相切，且被直线0:2=-y x l 截得弦长为
M
T
F
G
E
C1 D1
A1
B1
D
C
A
B
72的圆的方程．
21．（本大题14分）如图，在棱长为ɑ的正方体ABCD-1111A B C D 中，E 、F 、G 分别是CB 、CD 、1CC 的中点．
（1）求直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦的值； （2）求证：平面11AB D ∥平面EFG ； （3）求证：平面1AA C ⊥面EFG ．
22．（本大题15分）已知方程
0422
2=+--+m y x y x . （1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m 的
值；
（3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程.
数学必修2参考答案
一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B
D
A
A
C
C
A
D
C
B
B
A
二、填空题：
13、2； 14、4 x+3y+13=0 15、3,2+==x y x y 16、3：1：2． 17、 ①④ 三、 解答题：
18．解：)('
2
'rl l r r S ++=π-----------6分
=)5020501515(2⨯+⨯+π =0.1975)(2
m π----------9分
≈=
S
n 50
80（个）-------11分 答：（略）--------12分
19．解：⎩⎨
⎧-=-=+832543y x y x 解得⎩⎨⎧=-=2
1
y x --------3分
所以交点（-1，2） （1）2-=k -----5分
直线方程为02=+y x --------7分 （2）2
1
=
k ---------10分 直线方程为052=+-y x --------12分
20．解：由已知设圆心为（a a 3,）--------2分
与x 轴相切则a r 3=---------3分
圆心到直线的距离2
2a d =
----------5分
弦长为72得：22
92
47a a =+-------6分 解得1±=a ---------8分
圆心为（1，3）或（-1，-3），3=r -----------10分 圆的方程为9)3()1(2
2
=-+-y x ---------11分 或9)3()1(22
=+++y x ----------12分
21．解：（1）∵C A 1⋂平面ABCD=C ，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1
⊥A A 1 平面ABCD ∴AC 为C A 1在平面ABCD 的射影
∴CA A 1∠为C A 1与平面ABCD 所成角……….2分
正方体的棱长为a ∴AC=a 2，C A 1=a 3
………..4分
（2）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1
连接BD ，1DD ∥B B 1，1DD =B B 1
1DD 1BB 为平行四边形
∴11B D ∥DB
∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点 ∴EF ∥BD
∴EF ∥11B D …………3分
∵EF ⊂平面GEF ，11B D ⊄平面GEF
∴11B D ∥平面GEF …………8分 同理1AB ∥平面GEF ∵11B D ⋂1AB =1B
∴平面A B 1D 1∥平面EFG ……………10分
（3）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1
∴⊥1AA 平面ABCD ∵EF ⊂平面ABCD
∴⊥1AA EF …………11分 ∵ABCD 为正方形 ∴AC ⊥BD ∵EF ∥BD
∴AC ⊥ EF ………..12分
3
3
sin 111==
C A A A CA A
A AC AA =⋂1
∴EF ⊥平面AA 1C ∵EF ⊂平面EFG
∴平面AA 1C ⊥面EFG …………….14分 22．解：（1）0422
2
=+--+m y x y x D=-2，E=-4，F=
F E D 422-+=20-m 40>
5<m …………4分
（2）⎩
⎨⎧=+--+=-+0420422
2m y x y x y x y x 24-=代入得 081652
=++-m y y ………..6分
5
1621=
+y y ，5821m
y y += ……………7分
∵OM ⊥ON
得出：02121=+y y x x ……………8分 ∴016)(852121=++-y y y y ∴5
8
=
m …………….10分 （3）设圆心为),(b a
5
8
2,5421121=+==+=
y y b x x a …………….12分 半径5
5
4=
r …………9分 圆的方程5
16
)58()54(22=-+-y x ……………15分
m。

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