高中数学(北师大版)必修1知识点

数学必修1知识点1.集合的基本运算；；2.集合的包含关系:；；3.识记重要结论： A B A =⇔A B ⊆; A B A A B =⇔⊇; ()U U U AB C C A C B =; ()U U U A B C C A C B =4．对常用集合的元素的认识①{}2340A x x x =+-=中的元素是方程2340x x +-=的解，A 即方程的解集； ②}06|{<-=x x B 中的元素是不等式06<-x 的解，B 即不等式的解集；③{}221,05C y y x x x ==+-≤≤中的元素是函数221,05y x x x =+-≤≤的函数值，C 即函数的值域；④(){}22log 21D x y x x ==+-中的元素是函数()22log 21y x x =+-的自变量， D 即函数的定义域； ⑤(){},23M x y y x ==-中的元素可看成是关于,x y 的方程的解集，也可看成以方程23y x =-的解为坐标的点，M 为点的集合，是一条直线。

5. 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.6.方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ， 或0)(1=k f 且22211k k a b k +<-<, 或0)(2=k f 且221k b k k <-<+. 7.闭区间上的二次函数的最值问题：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的 最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得。

8.()()max a f x a f x ≥⇔≥⎡⎤⎣⎦；()()min a f x a f x ≤⇔≤⎡⎣9. 由不等导相等的有效方法：若a b ≥且a b ≤，则a b =.函 数一、函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．注：1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。

(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；（3)对数式对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5指数为零底不可以等于零， 2.相同函数的判断：①定义域一致 ②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） 3.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一：看开口方向；二：看对称轴与所给区间的相对位置关系。

1方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． 2、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．3、二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个零点．（3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数 无零点．1.函数的单调性 （1）设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. （2）单调性性质：①增函数+增函数=增函数； ②减函数+减函数=减函数； ③增函数-减函数=增函数； ④减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

2. 复合函数单调性的判断方法：⑴如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数（增函数）,则在公共定义域内, 和函数)()(x g x f +也是减函数（增函数）; ⑵3．函数的奇偶性（注：奇偶函数大前提：定义域必须关于原点对称）⑴若()f x 是偶函数，则()()()fx f x f x =-=；偶函数的图象关于y 轴对称；偶函数在对称区间上的单调性相反。

⑵如果一个奇函数在0x =处有定义，则(0)0f =；奇函数的图象关于原点对称； 奇函数在对称区间上的单调性相同。

⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或者()()()()10f x f x f x -=±≠ ⑷奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；的单调性。

的单调性，从而得出与的单调性，必须考虑对于复合函数)]([)()()]([x g f y x g u u f y x g f y ====增函数 增函数 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 减函数 减函数 减函数 ()y f u =()u g x =()y f g x =⎡⎤⎣⎦小结：同增异减。

研究函数的单调性，定义域优先考虑。

且复合函数的单调区间是它的定义域的某个子区间。

如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． （5）两个奇函数之和（差）为奇函数；之积（商）为偶函数。

（6）两个偶函数之和（差）为偶函数；之积（商）为偶函数。

（7）一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

（8）两个函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

4.函数()y f x =的图象的对称性：函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.5.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0y =(即x 轴)对称. (3)指数函数xa y =和x ya log =的图象关于直线y=x 对称.6.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象7.互为反函数的两个函数的关系：a b f b a f =⇔=-)()(1. 8.几个常见抽象函数模型所对应的具体函数模型(1)正比例函数()f x kx =,()()(),(1)f x y f x f y f k +=+=.(2)指数函数 ()xf x a =,()()(),()()(),(1)0f x y f x f y f x y f x f y f a +=-=÷=≠. (3)对数函数 ()log a f x x =,()()(),()()(),x f xy f x f y f f x f y y=+=÷.()1(0,1)f a a a =>≠(4)幂函数 ()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.12.分数指数幂 ：(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）;(2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.13．根式的性质:na =； 当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.14．有理指数幂的运算性质(1)(0,,)rsr s a a aa r s R +⋅=>∈;(2)()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈;(3)()(0,0,)r rrab a b a b r R =>>∈.15.指数式与对数式的互化式： log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>. 16.对数的换底公式 ：log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 17．对数有关性质： ⑴log a b 的符号有口诀“同正异负”记忆； ⑵log 1a a =；log 10a =；(3)对数恒等式：()log 0,1,0a NaN a a N =>≠> (4)log log m a a b m b =⋅；(5)设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.；9.幂函数，指数函数，对数函数的图像及性质分析1y x=12y x = 2y x = 3y x = y x = 表1幂函数()y x R αα=∈α0α<0<α01α<<1α>1α=第一象限性质 减函数增函数过点（1，1）后，|α|越大，图像下落的越快图像是向上凸的 图像是向下凸的过定点 （1，1）（0，0）,（1，1）表2 指数函数()0,1xy a a a =>≠对数函数()log 0,1a y x a a =>≠定 R x ∈∈x （0，+∞）值 ∈y （0，+∞）∈y R01a <<1a >01a <<1a >图象过定点（0，,1） 过定点（1，,0）减函数增函数减函数增函数 0x >时，01y <<；0x <时，1y >0x >时，1y >； 0x <时，01y << 01x <<时，0y >； 1x >时 ，0y < 01x <<时，0y <；1x >时，0y >a b <a b >a b <a b >。