山东省九年级鲁教版(五四制)数学上册课件：36二次函数的应用(2)(共16张PPT)
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初中数学鲁教版九年级上册3.4.二次函数y=a(x-h)2的图像与性质(第2课时)(31张PPT)
(1) y (2) y
1 x2 2 1(x 2
y 1 x 22
2
2)2
(3) y 1 ( x 2)2 2
-8
-6
-4
5 4 3 2 1
-2 B
-1
-2
-3
感悟新知
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
2
4
6
感悟新知
y
1 2
(x
2)2
向左平移2 个单位
y 1 x2 2
向右平移2 个单位
y 1 (x 2)2 2
B．(2，0)
C．(0，－2)
D．(0，2)
2. 在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2
的是( A )
A．y＝(x＋2)2
B．y＝2x2－2
C．y＝－2x2－2
D．y＝2(x－2)2
感悟新知
3. 对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有( C ) ①开口向上；②顶点为(0，－1)；
③对称轴为直线x＝1；
2 在此坐标系中画出抛物线y=－
1
2 x2 (见图中虚线部
分 物)线, 观y=察－抛12物x2线有y什=么－关12 系(x？+1)2，2y=－
1 2
(x－1)2与抛
感悟新知
抛物线 y 1 (x 1)2 与抛物线 y 1 (x 1)2 y 1 x2
2
2
2
有什么关系?
感悟新知
y
1 2
x
2向1个左单平位移y
a＜0
在对称轴的左侧，y的值随x值的增大而增大； 在对称轴的右侧，y的值随x值的增大而减小
例1 下列命题中，错误的是( )
感悟新知
鲁教版九年级数学上册《二次函数的应用2》课件1
何时橙子总产量最大
还记得本章第2节中涉及的“种多少棵橙子树”的问 题吗？
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种 树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就 会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树 就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？ 哪些是因变量？
定要注意二次函数
自变量的取值范围.
符合
判断是否
符合实际背景
建立二次函数关系式
计 算 检验
Байду номын сангаас求出最值
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的 总产量最多？
x/棵 1 2 3 4 5 6 7 y/个 60095 60180 60225 60320 60375 60420 60455 x/棵 8 9 10 11 12 13 14 y/个 60480 60495 60500 60495 60480 60455 60420
若你是商店经理，你需要多长时间定出这个销售单 价？
谈谈你的收获和体会！
1、求二次函数最值的方法： (1)利用图象，找顶点，求最值； (2)利用配方化为顶点式，求最值； (3)利用顶点坐标公式，求最值.
2、利用二次函数知识解决实际问题中最值的步骤：
实际问题
解 决
实际问题 结论
分析
转
解决提实出际最问值题问时题一 化
解：设每间客房的日租金提高x个10元，则每天客房 出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元，则
y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440.
因为x ≥0，且120-6x>0， 所以0 ≤x<20. 当x=2时，y有最大值19440.
鲁教版九年级数学上册《二次函数》课件 ppt
y=-x2 +8x ②
问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今 后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍， 那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而 确定，y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是 20(1+x) 件， 再经过一年后的产量是 20__(_1_+_x_)_2___件，即两年后的产
（2） s=3-2t²是二次函数. 一次项系数: 0
（3） y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2 常数项: 3
即 y=6x+9 不是二次函数. （4）v=10πr²是二次函数.
二Байду номын сангаас项系数: 10π
一次项系数: 0 常数项: 0
现在我们学习过的函数有:
一次函数y=ax+b(a≠0)，其中包括正比例
3.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的 表面积S与半径r之间的关系式.
S=4πr2
4.n支球队参加比赛，每两队之间进行一场 比赛，写出比赛的场次数m与球队数n之间 的关系式.
m 1 nn 1 即 m 1 n2 1 n
2
22
变量的二次式表示的.
2、定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，
c是常数，a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
注意：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
（2）a，b，c为常数，且 a≠0.
整式
（3）等式的右边最高次数为 2 ，可以没
有一次项和常数项，但不能没有二次项. （4）x的取值范围是 任意实数 .
量为_y___2_0__1___x_2.
即 y=20x2 +40x+20 ③
问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今 后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍， 那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而 确定，y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是 20(1+x) 件， 再经过一年后的产量是 20__(_1_+_x_)_2___件，即两年后的产
（2） s=3-2t²是二次函数. 一次项系数: 0
（3） y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2 常数项: 3
即 y=6x+9 不是二次函数. （4）v=10πr²是二次函数.
二Байду номын сангаас项系数: 10π
一次项系数: 0 常数项: 0
现在我们学习过的函数有:
一次函数y=ax+b(a≠0)，其中包括正比例
3.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的 表面积S与半径r之间的关系式.
S=4πr2
4.n支球队参加比赛，每两队之间进行一场 比赛，写出比赛的场次数m与球队数n之间 的关系式.
m 1 nn 1 即 m 1 n2 1 n
2
22
变量的二次式表示的.
2、定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，
c是常数，a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
注意：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
（2）a，b，c为常数，且 a≠0.
整式
（3）等式的右边最高次数为 2 ，可以没
有一次项和常数项，但不能没有二次项. （4）x的取值范围是 任意实数 .
量为_y___2_0__1___x_2.
即 y=20x2 +40x+20 ③
鲁教版初中数学九年级上册《二次函数》参考课件2ppt课件
有多少棵橙子树? 这时平均每棵树结多少个橙子?
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600 个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但 是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所 接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一 棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
解：（2）果园共有（100 + x）棵树, 平均每棵树结（600 - 5x）个橙子．
3.2 二次函数
什么是函数？
在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是 自变量，y是x的函数．
变
一次函数 y = k x + b (k≠0)
量 之 间 的
正比例函数 y = k x (k≠0)
函 数
反比例函数
y=k
(k≠0)
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地 面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系 是 S = -a²+30a ， a 是自变量， S 是 函数，S是a的 二次 函a)
2
= 30a - a² = -a² + 30a
4.选择题：
如果函数 y =(k-3)xk2 3k 2+ kx + 1
(4) y =(x+3)²-x²
是二次函数的是 (1) 、(2) ．
分析: (4) y =(x+3)²-x²= x²+6x+9-x²= 6x+9
2.若 y = (a２-1) x２是关于 x 的二次函数， 则 a 的取值范围是 a≠±1 ．
分析: ∵二次项系数不等于零，
∴ a２-1 ≠ 0
∴ a ≠ ±1
关
x
系
二次函数
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600 个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但 是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所 接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一 棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
解：（2）果园共有（100 + x）棵树, 平均每棵树结（600 - 5x）个橙子．
3.2 二次函数
什么是函数？
在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是 自变量，y是x的函数．
变
一次函数 y = k x + b (k≠0)
量 之 间 的
正比例函数 y = k x (k≠0)
函 数
反比例函数
y=k
(k≠0)
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地 面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系 是 S = -a²+30a ， a 是自变量， S 是 函数，S是a的 二次 函a)
2
= 30a - a² = -a² + 30a
4.选择题：
如果函数 y =(k-3)xk2 3k 2+ kx + 1
(4) y =(x+3)²-x²
是二次函数的是 (1) 、(2) ．
分析: (4) y =(x+3)²-x²= x²+6x+9-x²= 6x+9
2.若 y = (a２-1) x２是关于 x 的二次函数， 则 a 的取值范围是 a≠±1 ．
分析: ∵二次项系数不等于零，
∴ a２-1 ≠ 0
∴ a ≠ ±1
关
x
系
二次函数
鲁教版(五四制)九上：3.3二次函数y=ax2的图象与性质第一课时课件
4
3.一次函数的图象是 一条直线 。 4.反比例函数的图象是 双曲线 。 5.二次函数的图象是什么形状呢？
5
6.通常怎样画一个函数的图象？ 答：通常用描点法画一个函数的图象。
用描点法画函数图象的主要步骤是： （1）列表 （2）描点 （3）连线
6
画二次函数y=x2的图象 (1)视察y=x2的表达式，选择适当的x值， 并计算相应的y值，完成下表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
9
你是如何知道的？
8
7
当x=0时，函数y的值
6
最小，最小值是0。
5
4
可以视察图象，也
3 2
可以分析表达式。
1
-3 -2 -1 O
y=x2 1 23x
15
(5) 图 象 是 轴 对 称 图 形 吗 ？
y
如果是，它的对称轴是什么？
9
请你找出几对对称点。
8 7
是，对称轴是y 轴。
6 5
对称点有很多，如：
-2
(2)图象与 x 轴交于
-3
原点(0，0)。
-4
-5
(3)当x <0时，y 随 x 的增 -6
大而增大；当x >0时，y
-7 -8
随 x 的增大而减小。
-9
1 23x
y=- x2
21
y
(4)当 x=0时，y最大值 = 0 -3 -2 -1-O1
-2
(5)图象关于 y 轴对称。
-3
-4
-5
(6)图象的顶点是原点，它
y=x2 1 23x
17
二次函数y=x2的图象
y
9
是一条抛物线，它的特
鲁教版(五四制)九年级数学上册《二次函数》课件
1.物体从某一高度落下,已知下落的高度h(m)与下
落的时间t(s)的关系是：h=4.9t2,填表表示物体在
前 5s 下落的高度：
t/s
1
2
3
4
5
h/m 4.9 19.6 44.1 78.4 122.5
2.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽
相等,高比长多0.5 m.
(1)长方体的长和宽用 x (m)表示,长方体需要涂漆的表面积 S
(1)问题中有哪些变量? 其中哪些是自变量? 哪些是因变量?
(2)假设果园增种 1 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树? 这时平均
每棵树结多少个橙子?
(3)假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树? 这时平均每
棵树结多少个橙子?
(4)如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x 之间的关系式．
些需要注意的问题？
2.在解决问题的过程中，你运用了哪
些方法？
1．下列函数不属于二次函数的是（ C ）
A．y=(x－1)(x+2)
B．y=(x+1)2
2
C．y=2(x+3)2－2x2
D．y=1－x
m2 2
2.当m= -2 时， y (m 2) x
是二次函数.
※3.某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为每件20元，
为调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，产品每天的销
售量t（件）与每件的售价x（元）之间有如下关系：t=-3x+70.
请写出每天的利润y（元）与x之间的函数关系式.
y=(x-20)(-3x+70)=-3x2+130x-1400
必做：新课堂P27 T2,3,4,5
鲁教版(五四制)九上：3.3二次函数y=ax2的图象与性质第二课时课件
5
6
你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持 一定距离吗？汽车刹车时向前滑行的距离 (称为刹车距离)与什么因素有关？
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶 的速度及路面的摩擦系数。
7
有研究表明,晴天在某段公路上行驶时,
速度为v(km／h)的汽车的刹车距离s(m)可以
由公式
ｓ＝ 1 v２
100
确定；雨天行驶时, 这一公式为
道的？
72
答：36m
1 50
×602
－
1
×
100
602
=36（m）
36
也可以由视察图象得。
ｓ＝ 1 v２
50
15
1.画出二次函数y=2x2的图象。
(1)完成下表：
x -3
-2 -1
0
1 2 3 ……
y=2x2 18
8
2
0
2
8
18 … …
(2)在下图中作出y= 2x2的图象。
16
(3)二次函数y=2x2 的图象是什
28
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点 是原点。当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是 抛物线的最低点，a 越大抛物线开口越小；当 a<0时，抛物线的开口向 下 ，顶点是抛物线的
最 高 点，a 越大抛物线开口越 大 。 |a|越大,开口越__小___。
二次函数y=-ax2的图象与y=ax2的图象关于x轴对称。
y
1
=2
x2的图象呢？
25
答：二次函数y=－3x2的图象与y=3x2的图象形状相同，对称轴都是y轴，
顶点坐标都是(0，0)，
但它们的开口方向不同， y=－3x2的图象的开口向下，而y=3x2的图象
鲁教版(五四制)九年级上册数学课件3.6二次函数的应用(2)
灿若寒星
小结 拓展
2.不同点: 和(0,0).
(1)位置不同(2)顶点不同:分别是
b 2a
,
4ac 4a
b2
(3)对称轴不同:分别是 直线x b 和y轴. (4)最值不同:分别是 4ac b2 和0. 2a
4a 3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象
灿若寒星Βιβλιοθήκη 链接中考解（1）横向甬道的面积为：
120 180 x 150x m2 2
（2）甬道的宽为5米．
（3）设建设花坛的总费用为 y 万元．
y 0.04x2 0.5x 240
当 x b 0.5 6.25 时，y值最小. 2a 2 0.04
最少费用为：0.04 62 0.5 6 240 238.44
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果 以单价30元销售,那么半个月内可以售出400 件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的 减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少 20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最 大利润? 若你是商店经理,你需要多长时间定出这个销 售单价?
灿若寒星
函数小y结=ax2+拓b展x+c(a≠0)与y=ax²的关
万元.
灿若寒星
y 100 x600 5x 5x2 100x 60000
5x 102 60500.
2.利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的 棵数之间的关系.
3.增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个 以上?
当y 60400时,得
5x 102 60500 60400. 灿若寒星
练习
灿若寒星
何时获得最大利润
服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元.根据市场调查，以单价 13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元， 愿意多经销500件.
鲁教版九年级数学上册《二次函数》课件ppt
随堂练习
在实践中感悟
1.下列函数中，哪些是二次函数？
怎么 判断
？
(1)
y=3(x-1)²+1；
(2)
y
x
1 x
.
(3) s=3-2t².
(4).y
1 x2
. x
(5)y=(x+3)²-x². (6) v=10πr².
随堂练习
知道就做别客气
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²) 与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？ 是哪一种函数？
解：S=a( 60 -a)=a(30-a)=30a-a²= -a²+30a .
2
是二次函数关系式.
由感性到理性
1.下列函数中，(x，t是自变量)，哪些是二次函数？
(1)y=
1 2
+3x² ，
(2)
y=
1 2
x²+x³+25，
(3) y=2²+2x，
(4) s=1+t+5t²
2.圆的半径是1cm，假设半径增加xcm时，圆的面积增 加ycm².
想一想
生活问题数学化
果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙 子，因此果园橙子的总产量
y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000.
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙 子的总产 量最多？
X/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Y/个
是二次，自变量x的取值范围是全体实数.
独立作业
1. 物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)与下落
鲁教版(五四制)九年级上册数学课件鲁教版九年级数学上册确定二次函数的表达式课件
y=x2
。
评注:图象经过原点的二次函数的表达式是 y=ax2和y=ax2+bx(a≠0) 4.顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛 物线的解析式为 。
5.抛物线y=－x2－2x＋m，若其顶点在轴上，则 m= -1 。 6.已知二次函数y=3(x－1)2+4，当x取哪些值 时,y的值随x值的增大而减小?
2
例3. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)， 并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次 函数的解析式。 解法1：（利用一般式） 设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c (a≠0) 由题意知 16a+4b+c = -3 -b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4 解方程组得： a= -7 b= 42 c= -59 ∴ 二次函数的解析式为：y= -7x2+42x-59
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=a(x-h)2+k(a>0)
（h ，k） 直线x=h
由h和k确定
y=a(x-h直线x=h
由h和k确定
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
〔选作做一做〕
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线 （曲 线AOB） 的薄壳屋顶．它的拱宽AB为6m，拱高CO为 0.9m． 试建立适当的直角坐标系,并写出这段抛物线所对应的二 次函数表达式?
解: ∵ 二次函数的对称轴为直线x=3 ∴设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k 图象过点A(0,5),B(5,0)两点 ∴
5=a(0-3)2+k 0=a(5-3)2+k
。
评注:图象经过原点的二次函数的表达式是 y=ax2和y=ax2+bx(a≠0) 4.顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛 物线的解析式为 。
5.抛物线y=－x2－2x＋m，若其顶点在轴上，则 m= -1 。 6.已知二次函数y=3(x－1)2+4，当x取哪些值 时,y的值随x值的增大而减小?
2
例3. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)， 并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次 函数的解析式。 解法1：（利用一般式） 设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c (a≠0) 由题意知 16a+4b+c = -3 -b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4 解方程组得： a= -7 b= 42 c= -59 ∴ 二次函数的解析式为：y= -7x2+42x-59
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=a(x-h)2+k(a>0)
（h ，k） 直线x=h
由h和k确定
y=a(x-h直线x=h
由h和k确定
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
〔选作做一做〕
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线 （曲 线AOB） 的薄壳屋顶．它的拱宽AB为6m，拱高CO为 0.9m． 试建立适当的直角坐标系,并写出这段抛物线所对应的二 次函数表达式?
解: ∵ 二次函数的对称轴为直线x=3 ∴设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k 图象过点A(0,5),B(5,0)两点 ∴
5=a(0-3)2+k 0=a(5-3)2+k
鲁教版九年级上册第二章二次函数第四节二次函数的图象和性质第二课时课件
练习:
1.抛物线y=2(x+3)2+5的开口向_____,对称 轴为_______,顶点坐标为______,当 x=_____时,函数值有最____值,它的值为 _____,当x______时，y随x的增大而减少 2.抛物线y=-3(x-1)2-2的开口向_____,对称 轴为_______,顶点坐标为______,当 x=_____时,函数值有最____值,它的值为 _____,当x______时，y随x的增大而增大
y -3 –2 -1 o 1 பைடு நூலகம் 3 -2
● ● ● ● ●
● ●
●
●
●
●
● ●
●
●
● ● ●
-4
●
1 2 y x 2
x
●
●
(1)三条抛物线 形状相同，只是位置不同。
1 2 -6 y x 1 2 1 y ( x 1) 2 1 2 1 2 1 1 2 2 y ( x 1) 1 y x 1 y x 2 2 2
对称轴 顶点坐标 最值
Y轴 Y轴 x=-1
(0,0) (0,-1) (-1,-1)
x=0时，y最大=0 x=0时，y最大=-1 x=-1时，y最大=-1
y
-3 –2 -1 o 1 2 3 -2
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
x
1 2 y x 2
●
●
-4
-6
●
●
● ● ● ●
● ●
1 2 y x 1 1 2 2 y ( x 1) 1 2 问:抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象有什
-3 –2 -1y o 1 2 3 -2
3.6 二次函数的应用(2)(数学鲁教版九年级上册)
1、完成教材相应习题； 2、完成同步练习册相应习题。
文本
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文本
文本
新课进行时
[归纳总结]解一次函数和二次函数相结合问题的方法： (1)将实际问题转化为数学问题，有时还要注意根据实际生活确 定自变量的取值范围；(2)由自变量的取值范围确定对应的函数 表达式；(3)利用二次函数的性质解决相关的最值问题．
知识小结
知识点一 利润最大化问题
利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤： (1)找出销售单价与利润之间的函数表达式(注明范围)； (2)求出该二次函数图象的顶点坐标； (3)由图象的顶点坐标求得其最值，即求得“最大利润”．
新课进行时
(3)设每天销售甲种水果的利润为 w 元． 由题意可得 w＝(m－8)(－2m＋40) ＝－2m2＋56m－320 ＝－2(m－14)2＋72， ∵a＝－2＜0， ∴当 m＝14 时，w 最大值＝72. 答：当甲种水果的售价为每千克 14 元时，每天销售甲种 水果所获得的利润最大，最大利润为 72 元．
[解析] (1)每辆车的日租金为400＋50(20－x)＝(1400－50x)(
元)；(2)由基本的等量关系：日收益＝日租金收入－平均每日 的各项支出；日租金收入＝每辆车的日租金×日租出车辆的数
量，不难得出y与x间的函数表达式．转化为顶点式，求最值即 可；(3)租赁公司的日收益不盈也不亏，即y＝0时，求x的值．
鲁教版九年级上册
第三章 二次函数
3.6 二次函数的应用
第2课时 最大利润问题
新课目标
通过对销售问题的分析，建立二次函数模型，能利 用二次函数的性质解决销售中的最大利润问题．
新课进行时
核心知识点 利用二次函数解决最大利润问题
鲁教版(五四制)九年级数学上册3.6二次函数的应用 课件
知识归纳
利用二次函数求几何图形面积的最值的基本步骤：
（1）：引入自变量；
（2）：用含__________的代数式分别表示出所求几何图形相关的量； （3）：根据几何图形的特征，用函数表示这个图形的面积； （4）：根据函数关系式，求出最大值及取得最大值时自变量的值。
当堂检测
解：设截取的一个正方形的边长为x 要是截取的板材面积最小，应该怎样截取？ m，则另外一个的边长为（2-x）m。 s=x² +(2-x)² =2x² -4x+4（0<x<2） 对称轴：x=1，s=2
例2：某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总
长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多?此时,窗户
的面积是多少?
解 : 1.由4 y 7 x x 15. 得, y 15 7 x x . 4 2 x 2 15 7 x x x 2.窗户面积S 2 xy 2 x 2 4 2 2 7 2 15 7 15 225 x x . x 2 2 2 14 56 b 15 4ac b 2 225 或用公式 : 当x 时,y 最大值 . 2a 14 4a 56
小试牛刀
典型例题
例2：某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总
长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多?此时,窗户
的面积是多少?
分析：通过的光线最多，说明窗户的面积最大，说明上面 的半圆和下面的矩形的面积之和最小。上面的半圆半径已 知，可以求面积，所以本题的关键是求下面的矩形面积， 也就是求它的长和宽。
如图，在边长为2米的正方形铁板内，沿着一条边恰好截取两块相邻的正方形板材，
【课件】6.第3课时二次函数的应用
解得，x1=70,x2=110. 由图象可知，要使该商场获得利润不低于 500元，销售单价应在70元到110元之间，
而 60≤ x ≤87
所以，销售单价x的范围是
70≤ x ≤87
中考专练
青年企业家刘敏准备在北川禹里乡投 资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游 度假村，并将其全部利润用于灾后重 建．据测算，若每个房间的定价为60元∕天， 房间将会住满；若每个房间的定价每增加5 元∕天时，就会有一个房间空闲．度假村对 旅客住宿的房间将支出各种费用20元∕天·间 （没住宿的不支出）．问房价每天定为多 少时，度假村的利润最大？
画板演示
练一练
公园要建造一个圆形喷水池,在水池中央O点处安装一 根垂直于水面的柱子OA，OA=1.25米.水流由柱子顶 端A处的喷头向外喷出,从各个方向呈完全相同抛物线 的形状落下.为使水流形状看起来较为美观,设计要求 水流在与柱子OA的距离为1米处达到最高点.这时距水 面的最大高度为2.25米.如果不计其他 因素,那么水池的半径至少 是多少米时,才能使喷出的 水流不致落到池外?
课堂练习
在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物 线，如图，正在甩绳的A、B两名学生拿绳的手间距为4 米，距地面均为1米，学生C、D分别站在距A拿绳的手 水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过 他们的头顶，已知学生C的身高是1.5米，根据以上信息 你能知道学生D的身高吗？
课堂练习
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．
Байду номын сангаас
中考专练
解：（1）根据题意，得
65k 75k
b b
55， 45.
解得 k 1，b 120
所求一次函数的表达式为
而 60≤ x ≤87
所以，销售单价x的范围是
70≤ x ≤87
中考专练
青年企业家刘敏准备在北川禹里乡投 资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游 度假村，并将其全部利润用于灾后重 建．据测算，若每个房间的定价为60元∕天， 房间将会住满；若每个房间的定价每增加5 元∕天时，就会有一个房间空闲．度假村对 旅客住宿的房间将支出各种费用20元∕天·间 （没住宿的不支出）．问房价每天定为多 少时，度假村的利润最大？
画板演示
练一练
公园要建造一个圆形喷水池,在水池中央O点处安装一 根垂直于水面的柱子OA，OA=1.25米.水流由柱子顶 端A处的喷头向外喷出,从各个方向呈完全相同抛物线 的形状落下.为使水流形状看起来较为美观,设计要求 水流在与柱子OA的距离为1米处达到最高点.这时距水 面的最大高度为2.25米.如果不计其他 因素,那么水池的半径至少 是多少米时,才能使喷出的 水流不致落到池外?
课堂练习
在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物 线，如图，正在甩绳的A、B两名学生拿绳的手间距为4 米，距地面均为1米，学生C、D分别站在距A拿绳的手 水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过 他们的头顶，已知学生C的身高是1.5米，根据以上信息 你能知道学生D的身高吗？
课堂练习
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．
Байду номын сангаас
中考专练
解：（1）根据题意，得
65k 75k
b b
55， 45.
解得 k 1，b 120
所求一次函数的表达式为
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.最大面积的求法
(1)确定自变量x及其取值范围 (2)将面积表示以x为自变量的二 次函数
(3)利用 或 求最大面积. (4)一般地，因为抛物线 的顶点是 最高（低）点，所以当x= 时， 函数有最大（小）值为
议一议
还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？
增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)之
例2：
某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元， 每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租 金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间. 不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到 多少元时，客房日租金的总收入最高？
大家自己动手做一做 吧，相信你是最棒的！
分析：有客房120间，每间房的日租金为160元，每天 都. 客满.如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房 每天出租数会减少6间.
件.
厂家批发单价是多少时，可以获利最多?
分析：服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元. 根. 据市场调查,以单价13元批发给经销商，经销商愿意经 销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.
解：设批发单价为x元(0<x≤13元),那么 销售量可表示为 : 5000+5000(13-;x)
每件小商品的利润为: X-10 元;
所获总利润可表示为: (X-10) [5000还+5有00其0(1他3-x解)]法元吗;？
即y＝-5000x2+120000x-700000=-5000(x-12)2+20000
∵-5000<0 ∴当销售单价为
12 元时,可以获得最大利润,
最大利润是 20000
元.
则 y=〔 800-10(30-x) 〕·x
=-10x2+1100x =-10(x-55)2+30250
∴当x=55时，y最大=30250 答：一个旅行团有55人时，旅行社可获最大
利润30250元
课堂小结
通过本节学习你有哪些收获和疑惑？ （组内分享，并展示，教师点拨归 纳讲解)
课堂寄语
二次函数是一类最优化问题真学习数学吧，因为数学来源于生活，更能 优化我们的生活。
间的二次函数表达式: y=(600-5x)(100+x ) =-5x²+100x+60000
（1）利用函数图象描述橙 子的总产量与增种橙子树的 棵数之间的关系。 （2）增种多少棵橙子树， 可以使橙子的总产量在 60400个以上？
验证猜想
解：
y=(600-5x)(100+x ) =-5x²+100x+60000 =-5(x-10)2+60500 ∵当x=10时，y最大=60500 ∴增种10棵树时， 总产量最多，是60500个
解：设每间客房的日租金提高10x元（0≤x<20) 出租间数可表示为 : 120-6x ; 每间的日租金为: (160+10x) 元;
所获总租金可表示为: (160+10x)(120-6x) 元;
即y＝(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440
∵-60<0，当x=2时，y最大=19440，这时每间客房日 租金为160+10×2=180（元）； ∴当每间客房的日租金提高到 180 元时,客房总 收入最高,最高收入为 19440 元.
∴当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元
课堂练习2
某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价 800元。旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每 增加一人，每人的单价就降低10元。当一个旅行团的人 数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？
解：设一个旅行团有x人时，旅行社营业额为y元.
3.6二次函数的应用（2)
-利润问题
复习提问
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线， 它的对称轴是 直线x=h ，顶点坐标是 (h，k) .
2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它
的对称轴是
直线x b ，顶点坐标是（-
2a
b , 4ac b2 2a 4a
)
.
当a>0时，抛物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有最
4ac b2
_小__值，是___4_a___；当
a<0时，抛物线开口向
4ac b2
下
，
有最 高 点，函数有最大 值，是 4a 。
回顾旧知
利润= 售价－进价 总利润= 每件利润×销售量
想一想
服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元. 根据市场调查,以单价13元批发给经销商，经销商愿意 经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500
课堂练习1
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30 元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提 高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售 量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获 得最大利润?
解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(40-20x) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500