趣味数学题

1、如图所示, △EFC 为等边三角形, E 、F 在正方形ABCD 的边上. 试证明, 绿色部分面积等于红色面积与蓝色面积之和.

【分析】：∆BCF 的面积=∆CDE 的面积，且AE=AF ,设BC =1,AF=x ，则222(1)1)x -+=，2112

x x =-，左边就是∆AEF 的面积，右边就是∆BCF 的面积+∆CDE 的面积 2、三只外观完全一样的盒子, 一只装有两枚金币, 一只装有两枚银币, 一只装有一金币一银币. 现随机打开一盒, 再闭眼随机摸出一枚钱币, 结果为金. 问打开的是装了两枚金币的那只盒子的概率是多少?

3、将整数 1至 8填入如图所示的八个方格中, 令差为 1的两个数不相邻 (“不相邻”指所在方格既无公共边, 亦无公共点), 有几种排法?

4、边长为 1的正方形 ABCD 内, 动点 P 从 AB 上一点 E 出发, 沿直线向 BC 上一点 F 运动， 每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角. 问在何种条件下, P 才能返回出发点 E?

5、观察 (1)的正整数幂:

(−1)2=

(−1)3=

是否 (−1)的所有正整数幂都可以表示为两个相邻正整数的平方根之差？

6、看看下面的两幅图. 右边多出的两个红格子是怎么冒出来的呢?

7、中世纪的欧洲, 两名少女被指控“勾结恶魔”. 她们将被关入不同的密室内, 每分钟抛出一枚硬币, 并猜测另一人所抛的硬币何面朝上. 60次猜测中, 只要有一次两人皆猜对, 便会作为“勾结恶魔”的铁证, 将她们送上火刑架.所幸, 少女们冰雪聪明, 很快就想出了逃出生天的方法. 你能想到她们采用的策略吗?

8、(i) 甲的表快了10分钟但他以为表慢了5分钟;

(ii) 乙的表慢了5分钟但他以为快了10分钟;

(iii) 丙的表快了5分钟但他以为快了3分钟;

(iv) 丁的表慢了10分钟但他以为慢了5分钟.

用他们的表, 每一人都相信恰好能赶上下午6时的火车. 谁误了火车?

9、一正多边形内接于一单位圆. 连结多边形各端点, 形成的所有不等长的弦如下图黑线所示. 请问, 所有这些弦的平方和S, 与多边形的边数N存在何种关系?

10、科学计算器的除法键坏了！我该怎样用sin,cos,tan,sin−1,cos−1,tan−1来计算1

x 呢?

11、黑板上有2005个数, 分别是1,1/2,1/3,1/4,…,1/2005. 每次操作允许从黑板上擦去任意a,b两数, 写上新数ab+a+b, 经过2004次操作后, 剩下一个数, 求这个数.

12、某国所有的道路都是单行道, 每两座城市之间有且仅有一条道路相连. 问该国是否存在这么一座城市, 从国内任意其他城市出发, 最多只经过另外一座城市中转即可抵达它？

13、(1) 2012可否写成两个整数的平方差?

(2) 本世纪的所有年份数字, 是否都可以写成两个整数的平方差?

14、已知正方形ABCD, 只用一根直尺, 能否作出面积为ABCD两倍的正方形? 注: 直尺只能用来作连结两点的直线, 尺上面没有刻度, 也不能做标记.

15、五名科学家合作一项机密研究, 研究材料被锁在保险箱里. 当且仅当超过一半成员在场时, 保险箱才能被打开. 为此, 保险箱被上了多把不同的锁, 其钥匙被分配给每名科学家. (同一把锁可以有多把钥匙, 一把钥匙只能开一把锁)

问至少需要几把锁? 每人至少要分几把钥匙?

16、甲、乙、丙、丁和戊玩一种游戏, 其中每个人充当狼或羊. 狼说的总是假的而羊说的总是真的.

甲说乙是羊;

丙说丁是狼;

戊说甲不是狼;

乙说丙不是羊;

丁说戊和甲是不同的动物.

请问有几只狼?

17、很多整数都能用由三个2组成的算式表达, 譬如:

C, 26=(2+2)!+2

4=2

22

问最小的不能用三个2表达的正整数是什么?

注: 为明确起见, 本题可用的运算仅限加、减、乘、除、乘方、开根、阶乘、对数、排列数和组合数.

18、一列长200m的火车沿长直轨道匀速前进. 车厢里, 一只闲的发慌的蜜蜂自车尾起飞, 飞向车头, 抵达后立即飞回车尾(车内视角全程匀速). 当蜜蜂回到车尾时, 火车恰好行驶了等同于自身长度的距离. 以地面为参照物, 这只蜜蜂总共的飞行路程是多少？

19、“若x, y均为无理数, 则xy一定为无理数”是真命题吗? 请作出证明.

20、某相亲节目, 男嘉宾要从n名女嘉宾中挑选一位. 女嘉宾们依次登场, 每次面见一人. 若决定不予选择, 之后便不可再反悔. 一旦选定, 无论还剩几人未登场, 均终止选

择程序. 当n=5时, 问采取何种策略, 才能使选到最靓女嘉宾的可能性达到最大?

21、一列长200m的火车沿长直轨道匀速前进. 火车外面, 一只闲的发慌的蜜蜂自车尾起飞, 飞向车头, 抵达后立即飞回车尾(全程匀速). 当蜜蜂回到车尾时, 火车恰好行驶了等同于自身长度的距离. 问这只蜜蜂总共的飞行路程是多少？

22、数学老师和班主任打赌, 班上的50名同学中, 至少有两个同学生日相同. 输家要请对方吃大餐, 班主任信心满满准备痛宰对方一顿, 毕竟一年365天, 自己赢面居多. 事实真的像他所想的那样吗？

下结论之前, 不妨先点击下面的图片, 做个小游戏, 亲手来试试概率大概是多少.

23、一次考试有200名学生参加, 分数是1到100的自然数. 这200人的总成绩是10101分. 问: 至少有几名同学会得到同一个分数?

24、话说月老是个马大哈, 闭着眼睛将红绳乱拴一气, 到头来不知多少痴男怨女被错配鸳鸯, 有情无缘. 只不知道他老人家糊涂到什么程度, 哪怕只拴对了一对儿也好嘛. 问: 五对注定姻缘的男女, 连一对儿都拴不对的可能性有多大?