用三元组表示稀疏矩阵的乘法

都要进行一次乘法运算，而实际上，这是没有必要的。采用三
元组表的方法来实现时，因为三元组只对矩阵的非零元素做存
储 所 以 可 以 采 用 固 定 三 元 组 表 a 中 的 元 素 （ i ， k ， Mik ）
（ 1≤i≤m1 ， 1≤k≤n1 ），在三元组表 b 中找所有行号为 k 的的对 应元素（k，j， Nkj）（1≤k≤m2，1≤j≤n2）进行相乘、 累加， 从而得到Q［i］［j］，即以三元组表a中的元素为基准， 依次 求出其与三元组表b的有效乘积。
0 1 Q 0 0 0
0 6 21 3 0 0 0 0 0 8 0 1 0 0 0 0 0 0 6 0
图5.19 Q=M×N
第十二讲
Row Num[row]
1 2
2 1
3 1
4 1
(5)
First[row]
1
3
4
5
6
图5.20 图5.19中矩阵N对应的向量num［row］, first［row］
第十二讲
具体算法如下：
该算法的时间主要耗费在乘法运算及累加上，其时间复杂度为O （A.len×B.n）。当A.len 接近于A.m×A.n时，该算法时间复杂度接近于 经典算法的时间复杂度O（A.m×A.n×B.n）。
第十二讲
稀疏矩阵的链式存储结构: 十字链表
与用二维数组存储稀疏矩阵比较，用三元组表表示的稀疏
第十二讲
用三元组表实现稀疏矩阵的乘法运算
第十二讲
两个矩阵相乘也是矩阵的一种常用的运算。设矩阵 M 是
m1×n1 矩阵， N 是 m2×n2 矩阵；若可以相乘，则必须满足矩
阵 M 的列数 n1 与矩阵 N 的行数 m2 相等，才能得到结果矩阵 Q=M×N（一个m1×n2的矩阵）。
数学中矩阵Q中的元素的计算方法如下：
{
int row, col; value; /* 非零元素的行和列下标 */ ElementType
struct OLNode * right, *down; /* 非零元素所在行表、列表的后继链域 */ }OLNode; *OLink; typedef struct {
OLink * row_head, *col_head; /* 行、 列链表的头指针向量 */
for(k=1; k<=n1; k++)
Q［i］［j］=Q［i］［j］+M［i］［k］*N［k］[j］;
}
第十二讲
图5.17给出了一个矩阵相乘的例子。当矩阵M、N是稀疏 矩阵时，我们可以采用三元组表的表示形式来实现矩阵的相
乘。
3 0 0 5 M 0 1 0 0 2 0 0 0
Q[i ][ j ] M [i ][k ] N [k ][ j ]
k 1
n1
其中： 1≤i≤m1, 1≤j≤n2。
第十二讲
根据数学上矩阵相乘的原理， 我们可以得到矩阵相乘的 经典算法：
for(i=1; i<=m1; i++)
for(j=1; j<=n2; j++)
{Q［i］［j］=0;
该结点除了（ row ， col ， value ）以外，还要有以下两个链域：
right： down： 用于链接同一列中的下一个非零元素。
row Down
colຫໍສະໝຸດ Baidu
Value right
第十二讲
1 1 3
1 4 5
2 2 －1
3 1 3
图5.23 十字链表的结构
第十二讲
十字链表的结构类型说明如下：
typedef struct OLNode
0 1 N 2 0
2 0 4 0
0 Q 1 0
6 0 4
图5.17 Q=M×N
第十二讲
图5.18 矩阵M、N、Q的三元组表
第十二讲
经典算法中，不论 M ［ i ］［ k ］、 N ［ k ］［ j ］是否为零，
矩阵不仅节约了空间，而且使得矩阵某些运算的运算时间比经
典算法还少。但是在进行矩阵加法、减法和乘法等运算时，有 时矩阵中的非零元素的位置和个数会发生很大的变化。如
A=A+B， 将矩阵B加到矩阵A上，此时若还用三元组表表示法，
势必会为了保持三元组表“以行序为主序”而大量移动元素。
第十二讲
在十字链表中，矩阵的每一个非零元素用一个结点表示，
第十二讲
算法中附设两个向量 num ［ ］、 first ［ ］，其中 num
［row］表示三元组表b中第row行非零元素个数（1≤row≤m2）， first ［ row ］表示三元组表 b 中第 row 行第一个非零元素所在的 位置。显然，first［row+1］-1指向三元组表b中第row行最后一 个非零元素的位置。 first［1］=1 first［row］=first［row-1］+num［row-1］， 2≤row≤m2+1。 这里， first ［ m2+1 ］ -1 表示最后一行最后一个非零元素 的存储位置。当三元组表 a 中第 i 行非零元素的列号等于三元
组表b中非零元素的行号时，则元素相乘并将结果累加。
第十二讲
0 0 3 0 0 1 M 1 2 0 0 0 0 0 0 0
7 0 0 0 0 N 1 0 0 2
0 2 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0
第十二讲
＃define MAXSIZE 1000 /*非零元素的个数最多为1000*/ ＃define MAXROW 1000 /*矩阵最大行数为1000*/ typedef struct { int row, col; /*该非零元素的行下标和列下标*/ ElementType e； /*该非零元素的值*/ }Triple; typedef struct { Triple data［MAXSIZE+1］; /* 非零元素的三元组表，data［0］未用*/ int first［MAXROW+1］; /* 三元组表中各行第一个非零元素所在的 位置 */ int m, n, len;/*矩阵的行数、 列数和非零元素的个数*/ }TriSparMatrix；