原子物理学第三章题解

m=
p=
p=
1 1 1 E 2 − m02 c4 = ( Ek + m0 c2 )2 − m02 c4 = c c c
kh da
课 后
λ= λc = h hc hc = = m0c m0c 2 E 0 hc E0 hc
( E 2 − E 20 )
1 1 1 E 2 − m02 c4 = ( Ek + m0 c 2 ) 2 − m0 2 c 4 = Ek ( Ek + 2m0 c 2 ) c c c
整理后得:
答 案
(4)
w.
8
网
x>a ,
V ( x) = V0
薛定 谔 方 程 为 :
则 (6) 式 可 改 为 : uctgu = −v
w.
u 和 v 还必须满足下列关系式: (8)
2b
为: N
2
∫e
0
−2
2a
dx ∫ e
−∞
−2
dy ∫ e
−∞
+∞
−2
z
2c
dz
ww
= N 2 4abc − (e −1 − 1) =
(3) 粒子的
−2
[
]
1 1 (1 − ) 2 e
+c −2Fra biblioteky ∈ (−b, b), z ∈ ( −c, c) 区域内的几率为:
y z
2c
N
2
∫
+∞
x
−∞
e
2a
dx∫ e
w.
λ=
掠射角(入射束与布喇格面之间的夹角)为 30°,试求这些热中子的能
nλ=d sinθ
ww
λ=d sinθ =0.18×sin30 °nm=0.09 nm
1.226nm Ek (eV ) 1.226nm 2 Ek = ( ) = 13.622 2 eV = 185.56eV λ
3-5
电子显微镜中所用加速电压一般都很高，电子被加速后的速度
课
3-14 证明下列对易关系： ⌢ ⌢ [ y, p] = iℏ
kh da
后
答 案
一玻尔半径，试求势能
w.
网
ππ
co m
1
3 ⋅ a1
与经典结果相一致．
e
r a1
的基态，a1 为第
V0 a 2 ≥
ℏ2 32m
解: (1) 在 x<0 时,由薛定谔方程可得:
⎡ ℏ2 2 ⎤ ⎢− 2 m ∇ + V(r ) ⎥ψ = Eψ ⎣ ⎦
p=
E = Ek + mc02
1 1 1 E 2 − m0 2 c4 = ( Ek + m0 c2 )2 − m02 c4 = Ek ( Ek + 2m0c2 ) c c c
hc
2m e c 2 2me c 2 1.226
h λ= = p
w.
题意得证.
Ek ( Ek + 2me c 2 )
ww
=
1.226 1.226 1.226 = = −6 V Vr V (1 + 0.9785 ×10 V ) V( + 1) 2 2me c
试求: (1)粒子能级表达式; (2)证明在此阱内至少存在一个束缚态 的条件是,阱深 V0 和阱宽 a 之间满足关系式:
w.
7
⌢ ⌢ [x, p y ] = 0 ⌢ ⌢ [x, Lx ] = 0 ⌢ ⌢ [ x , Ly ] = i ℏ z ⌢ ⌢ [ p x , Lx ] = 0 ⌢ ⌢ ⌢ [ p x , L y ] = i ℏ Pz
kh da
课 后
kctgαk = k ' u = ka v = k' a
d 2ψ 3 2m(V0 − E ) − ψ 3 = 0 令 k = 2m(V0 − E ) / ℏ dx 2 ℏ2 d 2ψ 3 则: (5) − k ' 2 ψ 3 = 0 方程的解为: ψ 3 = Be −k 'x 2 dx ψ ' (a ) ψ ' 3 ( a) ψ' 式中 A,B 为待定系数,根据标准化条件 的连续性,有 2 = ψ 2 (a ) ψ 3 ( a) ψ
(
E 2 ) = 2, E = 2E0 E0
E = 2 E0 = 2 × 511 = 722.55KeV
则电子的动能为 211.55KeV. 则电子的动能为 211.55KeV 1. ΔP 转化为 Δλ表示 ; 注意变换： 注意变换：1. 转化为Δ 表示; Δν 表示 ; 2. ΔE 转化为 转化为Δ 表示;
那么粒子的动量必定有一个不确定度，它至少为： ∆p x ≥ ∵ ∴ ∆p x = [( p x − p x ) 2 ]
ℏ 2∆x
px = 0
1 (∆p x ) 2 平均 = ( p 2 ) 平均 3
3ℏ 2 Ek = = 2.848 ×10 8 eV 2 8 mr
⎧ | x| | y| | z|⎫
解： 依
E = hν = h
w.
kh da
∆E∆t ≥ h
c λ
∆λ = 10 −7 ，试问该原子态的寿命为多长 ? ，试问该原子态的寿命为多长? λ
课
后
答 案
测得波长的精度 为 3-7 一原子的激发态发射波长为 600nm 的光谱线， 测得波长的精度为
求Δt
∆E = hc
∆λ λ2
w.
5
网
ww
ℏ ℏλ ⋅ λ λ λ 600 × 10 −9 × 10 7 −9 ∆t ≥ = = = = 1 . 6 × 10 s 2 ∆E 2 hc∆λ 4 πc ∆λ 4 × 3 .14 × 3 × 10 8
分析:考虑德布罗意波长,考虑相对论情况质量能量修正,联系德布罗
⎛ E ⎞ ⎜ ⎟ −1 ⎜E ⎟ ⎝ 0⎠
2
式中 Eo 和 E 分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量． (康普顿波 长λc=h/m 0c,m 0 为粒子静止质量，其意义在第六章中讨论) (2)当电子的动能为何值时， 它的德布罗意波长等于它的康普顿波长? 证明：根据相对论能量公式 理乘 c2
h 解： （ 1 ）由 λ = 可知光子的动量等于电子的动量，即 p 光 子:p 电 子=1: 1 （1 =1:1 p
ww
3-3
w.
λ 光子 =
λ电子 =
则知
（2）由 光子动能与波长的对应的关系
电子动能与波长的关系
课
，试 问： （ 1）光子的动量与电 子 3-2 设光子和电子的波长均为 0.4nm 0.4nm，试 （1 ）光子的动量与电子
+∞
−∞
ψ dv = N
2
2
∫
+∞
x
2a
−∞
dx ∫ e
−∞
+∞
=
N 2a ∫ e
kh da
−
课
x
后
a
d x 2b ∫ e
a
0
∞
−
y
b
d y 2c ∫ e
b
0
∞
−
z
c
d z = N 2 8abc = 1
c
所以 N = (2)
a
1
8abc
w.
粒 子 的
x
+∞
x 坐 标 在 0→a 区 域 内 几 率
y
3-6
(1)试证明： 一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于
w.
Ek ( Ek + 2me c 2 )
=
3
网
根据相对论质量公式
m=
m0 v 2 将其平方整理乘 c 2,得其能 1− ( ) c m 2c 2 − p 2c 2 = m0 2c 2
co m
Ek = E − E0
Ek (Ek + 2me c 2 ) 2me c2
因为
0 ≤ x≤ a,
V ( x) = −∞
所以
Ψ1 ( x) = 0
(1)
V(x)=0,体系满足的薛定谔方程为:
2 则: d ψ2 2 + k 2ψ 2 = 0
因为ψ 2 (0) = 0 所以波函数的正弦函数: ψ 2 = A sin( kx)
将(3),(5)式代人得: (2): 证 明 : 令 (7) 同时,
第三章题解
3-1 电子的能量分别为 10eV ，100 eV ，1000 eV 时，试计算 相 10eV， eV， 时，试计算相 应的德布罗意波长。 解：依计算电子能量和电子波长对应的公式
p2 ⇒ p = 2me E k 电子的能量 : Ek = 电子的能量: 2m e
的动量之比是多少？
（2）光子的动能与电子的动能之比是多少？
3-8 一个电子被禁闭在线度为 10fm 的区域中，这正是原子核线度的 数量级，试计算它的最小动能． 解：
∆x∆p x ≥ ℏ Δx = r 粒子被束缚在线度为 r 的范围内，即 的范围内，即Δ 2
co m
∆t ∆E ≥ ℏ 2
Ek = E − E0 = 722.55 − 511 = 211.55(KeV)
Ek ( Ek + 2 m0 c2 ) =
1 ( E − E0 )( E + E0 ) c
（1）相对论下粒子的德布罗意波长为：
ww
w.
λc = λ
h hc = = p ( E − E0 )(E + E0 )
答 案
E 2 = p 2c 2 + m02c 4
E = Ek + mc02
粒子的康普顿波长为
（2）若粒子的德布罗意波长等于它的康顿波长