高等概率论

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高等概率论

高等概率论第一章：测度与积分第一节：集族与测度(Ω,Φ,μ)---------测度空间①Ω---------------非空集合-------------研究对象全体②Φ----------------σ代数（域）-------由Ω的一些子集组成σ代数对集合的一切有限次或可数次运算封闭Φ{,}φ=Ω-------------平凡的σ代数③μ：Φ+→R （[0,1]）集函数（是Ω的元素的一种测度或度量）例：Ω=[0,1].（a,b]?Ω,((,])a b b a μ- ,I 是Ω的子集，I 为区间，()I μ=I 的长度，Φ=B （[0,1]）=()σε--------包含ε的最小σ代数，[0,1]ε=中的一切开集测度的唯一扩张定理,{:()}n x x ωξω?∈≤∈R Φ 称ξ是可测函数({})a b μξξ<≤---的分布①..()lim ()n x a e μξωμ→∞几乎处处收敛依测度收敛依分布收敛（弱收敛）②ξ是一维可测函数，积分ξωμωΩ（）d ()-------数学期望积分的收敛性---------Lebesgue 控制收敛定理lim ()?lim ()n n x x d d ξωμξωμ→∞→∞ΩΩ=??Fatou 引理，Levy 引理记号、述语：大写英文字母表示Ω的子集（事件）花写英文字母表示Ω的子集组成的集合类（集类，集族）AαBβXχ?δEεΦφΓγHηIι??KκΛλMμNνOο∏πΘθPρ∑σTτYυ??ΩωΞξψψZζ 某集类对某种运算封闭：如A 对可数并封闭指：对?A1，A2，…A n ∈A ，则1i ∞=A i ∈A第二节：集族与测度1. 集合序列的极限设1,2,...,,...,A A An ?Ω111limsup {:}{,,...,}x K k k K k n kAn n An X A A Anωω→∞∞+=∞∞==∈Ω?∈== 可数个不同的，使至少一个发生111lim inf {:}{,,...,}x k k k k n kAn n An A A Anωω→∞∞+=∞∞==∈Ω∈== 除有限个以外，都发生关系：lim inf lim sup n n An An →∞→∞如果lim inf lim sup n n An An →∞→∞=，称{}An 的极限存在，记为lim x An →∞特例：单调上升集合列：121,lim n n A A An An ∞→∞=?=单调下降集合列：121,lim n n A A An An ∞→∞=?=例：A,B 是Ω的两个子集，221,,1,2,n n A A A B n -=== ，则lim sup ,lim inf n n An A B An A B →∞→∞==11((1),1(1))nn An n n=-+-，则lim sup [0,1],lim inf (0,1)n n An An →∞→∞==11(,1)(0,1)2211(,1)(0,1)22n n n n An Bn =-↑=-+↓2几种常用集类的定义：①A 称为一个π类：如果A 对有限交封闭②?称为一个λ类：如果：(a).ω∈ ?;(b). ?对真差封闭：若,A B ∈?,且A B ?,则B A -∈? （c ）?对单调上升（下降）集合列的极限封闭③环A ：如果A 对有限并、差运算封闭（交：()A B A A B =-- ）④代数Φ：如果Φ是环，且Ω∈Φ0（代数对一切有限次运算封闭）⑤σ环A ：如果A 对可数并、差运算封闭（?可数交封闭，极限运算封闭）⑥σ代数（域）Φ：如果Φ是σ环，且Ω∈Φ（σ代数对一切可数次集合运算封闭）⑦单调族M ：如果M 对单调上升（下降）列的极限封闭，即：如果An ∈M ，且An ↑，则1n An ∞=∈ M如果An ∈M ，且An ↓，则1n An ∞=∈ M代数、且又是单调族σ?代数π类、且又是λ类σ?代数A 是任意集类，分别称λ（）A ，σ（）A ，M （A ）是由A 生成的最小λ类，最小σ代数，最小单调类。

高等数学概率论与数理统计知识点总结(详细)

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质：（i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件1。

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§2.3 连续型随机变量及其分布一. 连续型随机变量的概率分布二. 三种常用分布一. 连续型随机变量及其分布定义2-4 注1：连续型v r .X 的分布函数)(x F 是连续函数。

注2：概率密度)(x f 具有如下性质：（1）0)(≥x f ；（2）⎰∞+∞-=1)(dx x f ；（3）⎰=-=<≤21)()()(}{1221x x dx x f x F x F x X x P ；若v r .X 的分布函数)(x F 可表示成 ⎰∞-=xdu u f x F )()( （2-7）其中)(x f 为一非负可积函数，则称X 为连续型v r .，)(x f 称为X 的概率密度(或概率分布、分布密度)。

（4）若)(x f 在x 点连续，则)()(x f x F ='。

由（2-8）式知，若不计高阶无穷小，则有 xx f x x X x P ∆=∆+<≤)(}{即X 落在小区间),[x x x ∆+上的概率近似等于x x f ∆)(。

注3：若X 是连续型v r .，则R a ∈∀,0}{==a X P 。

结论：若A 是不可能事件，则0)(=A P ，反之不然。

}{b X a P <≤}{b X a P <<= }{b X a P ≤<=}{b X a P ≤≤=几种常用分布：（1）均匀分布:设随机变量X 在有限区间][b a ，内取值,且其分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他，，01)(bx a a b x f ,则称X在有限区间][b a ，上服从均匀分布,记为)(~b a U X ，。

其分布函数为（自行验证）⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤=b x b x a a b ax a x x F ，，，10)(Uniform Distribution⎩⎨⎧≤>-=-0001)(x x e x F x，，λ 一般地,若随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧≤>=-000)(x x e x f x，，λλ其中0>λ为常数，则称X 服从参数为 λ的指数分布。

高等概率论

高等概率论作业一，高等概率论的发展历程现代概率论的研究方向和研究方法已经获得了极大发展，特别是近几十年，概率论和其他学科逐渐交叉结合，形成了一些新的学科分支和增长点，并且在科学研究和实际应用中都取得了突出成果。

这些成果的取得，都源于概率论公理化体系的建立。

概率论的发展历史一般分为四个时期：（1）萌芽时期（1653年之前），以统计数据为主要手段，分析贸易、保险、赌博、占卜等人类实际生活领域中的一些问题。

（2）古典概率论时期（1654-1811年），用代数及组合方法为研究手段，以研究离散型随机变量为主。

（3）分析概率论时期（1812-1932），用微分方程、特征函数等分析方法为研究手段，以研究连续型随机变量为主。

（4）现代概率论时期（1933年至今），以集合论、测度论的思想方法为主要理论基础，研究方向呈现多元化。

20世纪30年代以来，因为概率论公理化体系的建立以及科学研究中的一些实际问题的推动，概率论得到了快速的发展，不断取得理论上的新突破。

目前主要研究方向有极限理论、独立增量过程、马尔科夫过程、平稳过程和时间序列、鞅和随机微分方程、点过程等。

（1）极限理论极限理论主要研究与随机变量序列或随机过程序列的收敛性相关的问题。

20世纪30年代以后，随机变量序列的极限理论（主要是中心极限定理）的研究，是将独立序列情形的结果推广到鞅差序列等情形，以及研究收敛速度问题。

近年来，由于统计物理学的需要，人们开始研究强相依随机变量序列的非中心极限定理。

自1951年唐斯克提出不变原理（随机过程的极限定理）后，有关随机过程序列的弱收敛的研究成了极限理论的中心课题，普罗霍洛夫及斯科罗霍德在这方面做出了最主要的贡献。

1964年斯特拉森的工作出现后，引起了有关随机过程序列的强收敛的研究，这就是强不变原理。

近年来，鞅论方法已渗透到这一领域，使许多经典结果的证明得到简化和统一处理，并且还导致了一些新的结果。

（2）独立增量过程人们最早知道的独立增量过程是在物理现象中观察到的布朗运动和泊松运动，一般的独立增量过程的研究，归功于莱维，它在20世纪40年代已臻成熟。

高等概率论与数理统计

高等概率论与数理统计
高等概率论与数理统计是一门数学分支学科，它研究的是随机事件的规律性、概率分布和随机现象的统计规律等。

该学科主要包括概率论和数理统计两个部分。

概率论是研究随机事件及其概率分布规律的数学理论，研究的对象是无法确定结果的随机现象。

概率论主要研究随机变量、随机事件、概率分布、随机过程等概念，以及概率的运算、概率分布的性质和随机过程的统计规律等。

数理统计是研究从已知数据中推断总体特征的一门学科，主要研究样本的统计量及其分布规律以及利用样本信息对总体参数进行估计和假设检验等问题。

数理统计主要包括描述统计和推断统计两个部分，描述统计研究如何对已知数据进行整理、总结和图形化展示，推断统计研究如何从样本中推断总体特征、进行参数估计和假设检验。

高等概率论与数理统计不仅是数学本身的一个重要分支，也是应用数学、统计学、经济学、物理学、生物学等其他学科中的重要工具和方法。

在实际中，它常用于风险评估、决策分析、统计模型的建立和检验等方面，对于随机现象的分析和预测具有重要意义。

高等概率论重要集类归纳

第一部重要集类归纳
一、重要集类
(一)定义：
1.半域：
（1）
（2）， B
（3）
2.域：
（1）
（2）， B
3.
（1）
（2）对每个n
4.单调类：对任一集合序列{ }
（1）当{ }递增时，
（2）当{ }递减时，
5.
（1）， B
6.
（1）
（2）A,B ,AB= ,A+B
（3）对递增数列{ }
(二)性质比较：
封闭
（定义）
封闭（证明2。5）
封闭（证明2。6）
封闭（证明2。6）
单调类
{ }单调时（证明3.1）
{ }单调时
（证明4.2）
{ }单调时（证明3.3）
{ }单调时（证明3.4）
{ }单调时（证明3.5）
{ }单调时（证明3.5）
封闭（定义）
属于（证明4。2）
属于（证明4.1）
封闭
（定义）
{ }两两互不相交时（定义）
有限交
有限并
A/B
上极限
下极限
半域
属于（定义）
属于（定义）
可表示为两两互不相交的集合的并（定义）
封闭（定义）
域
属于
（证明1。2）
属于（证明1。1）
封闭
（定义）
封闭（证明1。3）
封闭（定义）
封闭（证明1。4）
属于（证明2。2）
属于（证明2。1）
封闭
（定义）
封闭（证明2.4）
封闭（证明2.3）
封闭（证明2.4
{ ห้องสมุดไป่ตู้递增时（定义）
{ }递增时（证明4.3）
{ }递增时（证明4.3）

概率论高等院校概率论课件

应用场景
强大数定律在统计学中用于估计极端事件发生的概率和风险，在决策理论中用于评估最优策略和期望收益，在可靠性工程中用于分析系统的可靠性和寿命。
注意事项
强大数定律的应用有一定的限制条件，例如随机序列必须是独立同分布的。此外，强大数定律并不能保证每个随机事件的绝对正确性，而只是给出了最大值分布的稳定性。
连续随机过程
如布朗运动，每一步都是连续的，每一步的状态都是连续的
。
随机游走与布朗运动
随机游走
一个随机过程，其中每一步都是随机的，通常用来描述粒子的无规则运动。
布朗运动
一种连续随机过程，由大量微小粒子在流体中无规则运动产生，通常用来描述微观粒子的运动。
马尔科夫链与马尔科夫过程
马尔科夫链
一个随机过程，其中下一个状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。
注意事项
大数定律的前提是试验次数必须足够多，并且随机事件之间必须是独立的。此外，大数定律并不能保证每个随机事件的绝对正确性，而只是给出了频率趋于概率的稳定性。
强大数定律
总结词
强大数定律是概率论中的重要定理之一，它描述了随机序列中最大值的分布性质。
详细描述
强大数定律指出，对于任意给定的正整数序列$a_n$和 $b_n$，有$lim_{n to infty} frac{a_n}{b_n} = 1$的概率为1。这个定理说明了随机序列中最大值的分布具有很强的稳定性。
随机变量的性质
随机变量具有可测性、可加性和有限可加性。
离散型随机变量及其分布
离散型随机变量的定义
离散型随机变量是在样本空间中取有限个或可数个值的随机变量。
离散型随机变量的分布

高等概率论

高等概率论《高等概率论》是2009年科学出版社出版的图书，作者是胡晓予。

主要介绍测度的扩张定理和分解定理，Lebesgue—Stieltjes测度、可测函数及其积分的基本性质，还有乘积可测空间和Fubini定理等。

第二部分是第4～6章。

主要介绍独立随机变量序列的极限定理，包括中心极限定理、级数收敛定理、大数定律和重对数律。

在介绍中心极限定理之前，介绍了测度的弱收敛、特征函数以及相关结论。

这部分内容突出了经典的概率论证明技巧。

第三部分为第7、8章，介绍一些特殊的随机过程。

第7章介绍离散鞅论，第8章简单介绍了马氏链、布朗运动和高斯自由场。

《高等概率论》适合数学专业的研究生作为教材，亦可作为教师参考用书。

前言第1章测度与积分1.1 符号与假定1.2 集族与测度1.3 测度的扩张1.4 Lebesgue—Stieltjes测度1.5 Hausdorff测度和填充测度1.6 可测函数及其收敛性1.7 可积函数及积分性质习题1第2章测度的分解2.1 测度的Jordan—Hahn分解2.2 Radon—Nikodym定理2.3 Radon—Nikodym定理在实分析中的应用习题2第3章乘积空间上的测度与积分3.1 乘积测度3.2 Fubini定理3.3 无穷维乘积空间上的测度习题3第4章概率论基础4.1 符号与概念4.2 条件概率与条件期望4.3 Borel—Cantelli引理4.4 Kolmogorov零一律第5章中心极限定理5.1 测度的弱收敛5.2 特征函数5.3 Lindeber9中心极限定理5.4 无穷可分分布族5.5 二重随机变量序列的极限定理习题5第6章大数定律6.1 级数收敛定理6.2 大数定律6.3 kolmogorov重对数律习题6第7章离散鞅论7.1 鞅的基本概念7.2 鞅不等式和鞅的几乎处处收敛性7.3 一致可积性与鞅的Lp收敛性7.4 鞅的选样定理第8章随机过程选讲8.1 随机游动与马氏链8.2 布朗运动8.3 高斯自由场。

高等概率论的一些学习心得兼推荐一些相关书籍

高等概率论的一些学习心得兼推荐一些相关书籍高等概率论的一些学习心得兼推荐一些相关书籍_教育学_高等教育_教育专区学习概率已经有快 2 年了，几乎查阅了所有跟概率相关的书籍，到目前为止没有找到我认为特别好的。

有人认为Feller 的概率论及其应用是经典，我买了两本中译本，对我来说帮助不大。

看了程士宏的测度论与概率论基础，反而有所收获。

下面是我转载的一片网文，里面认为的现代型是我追求的目标，也就是说希望从测度论和实分析的角度去理解概率这门学科。

高等概率论的一些学习心得兼推荐一些相关书籍一般人们对概率论这门学科的理解可以划分为三个层次：1--古典型--未受过任何相关训练的人都属于此类，他们只能够理解一些离散的（古典的）概率模型；2--近代型，通常指学过概率论基础的非数学专业理科生，他们从微积分的角度理解各种连续分布，概率模型的数字特征；3--现代型，这类人能够抽象地从测度论和实分析高度理解这门学科，任何数学专业的本科毕业生达不到这个层次都是可耻的。

建立在测度基础上的概率论通常所谓的高等概率论。

而我的主要目的就是为希望学习高等概率的学生--选择适合自己的书籍--提供些许帮助。

选一本适合自己的好的教材对自己以后的学习是决定性的重要--这是学数学的人首先必须明白的--不仅是对概率方向，对数学的各个分支都是如此。

大一的时候齐名友老师跟我特别提到过这一点，可惜我当时不以为然，结果走了很多弯路，到研究生以后才慢慢明白这个道理。

一本山寨小学校的老师七拼八凑编写的烂书，常常对学习（特别是自学）不仅无益反而有害，因为你往往浪费了时间却只能得到这个一些支离破碎的印象，这样你会遗忘得很快，很可能到头来你还得重新学一遍；另一些时候，你选择了众人推荐的名著，但你如果当前的水平达不到一定的层次，它往往会打击你的信心让你灰心丧气，甚至会让你不再有学下去的欲望。

这两种情形显然都是人们应该尽量避免的。

需要指出的是，有的书适合作教材，有的书却只适合作参考书；就算都是教材，它定位的读者群体也可能不一样。

高等数学(概率论)习题及解答

高等数学(概率论)习题及解答高等数学（概率论）题及解答
1. 题一
1.1. 题目
已知事件A和B的概率分别为P(A) = 0.2，P(B) = 0.3，且P(A∪B) = 0.4，求P(A∩B)。

1.2. 解答
根据概率的加法定理，有：
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
代入已知数据得：
0.4 = 0.2 + 0.3 - P(A∩B)
P(A∩B) = 0.1
所以，P(A∩B)的概率为0.1。

2. 题二
2.1. 题目
已知某城市一天中的天气分为晴天、阴天和雨天三种情况，其中晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.3。

现已知，当下为晴天时，随后一天也是晴天的概率为0.7；当下为阴天时，随后一天为晴天的概率为0.5。

求当下为晴天时，随后一天为阴天的概率。

2.2. 解答
设事件A为当下为晴天，事件B为随后一天为阴天。

根据条件概率的定义，有：
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
已知 P(A) = 0.4，P(B|A) = 0.5，代入并整理得：
0.5 = P(A∩B) / 0.4
P(A∩B) = 0.5 * 0.4
P(A∩B) = 0.2
所以，当下为晴天时，随后一天为阴天的概率为0.2。

以上是高等数学（概率论）习题及解答的部分内容，如有更多问题或需要补充，请随时告知。

概率论高等院校概率论课件JXHD4-1

第四章大数定律与中心极限定理大数定律中心极限定理要求：1.理解解切比雪夫（Chebyshev）不等式；理解切比雪夫定理和伯努利定理。

2.理解林德伯格-列维定理（独立同分布的中心极限定理）和棣莫弗拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限）。

概率篇引理（Chebyshev’s 不等式）：若r v .X 具有期望EX =μ，方差DX =σ2，则对于任意的ε>0有 P X {}-≥≤μεσε22 （4-1）证明：(只证连续型）设X 的概率密度为f x ()，则 ⎰≥-=≥-εμεμx dx x f X P )(}{dx x f x x )()(22⎰≥--≤εμεμ2222)()(1εσμε=-≤⎰∞+∞-dx x f x §4.1 大数定律或 P X {}-<≥-μεσε122 （4-2）若X N ~(,)μσ2，则P X {}.-<=μσ30997，即事件“X -<μσ3”的发生几乎是可以肯定的。

但对任意的随机变量X （不知其分布），若EX DX ==μσ，2，那么事件“X -<μσ3”的概率又如何来估计呢？law of large numbers上式说明随机变量X 取值于开区间)(εμεμ+-，的概率不小于221εσ-，例如：设X 的分布未知，记EX =μ，DX =σ2，取εσ=3，则显然方差2σ越小则221εσ-越大，从而随机变量X 取值于开区间)(εμεμ+-，的概率也越大。

即X 的取值越集中在均值μ的附近，这说明方差是刻画随机变量的概率分布对均值的集中程度。

P X {}.-<≥-=-≈μσσσ3191190888922例如：设X 的分布未知，记EX =μ，DX =σ2，取εσ=3，则 P X {}.-<≥-=-≈μσσσ3191190888922若取σε4=，则P X {}.-<≥-=-≈μσσσ411611160935722这就是说无论X 服从什么分布，它落在σμ4<-x 内的概率不小于0.93，这种估计在实际应用中形成了所谓σ—原则。

高等数学教材概率论

高等数学教材概率论概率论是高等数学中的重要分支，研究随机现象的规律和概率计算的理论和方法。

它在各个领域都有广泛的应用，如统计学、金融、工程、生物学等。

本文将从概率的基本概念，到概率模型的建立和常见的概率分布，综合介绍高等数学教材中的概率论内容。

1. 概率的基本概念在概率论中，我们首先需要了解概率的基本概念。

概率是用来描述随机事件发生的可能性大小的数值。

在数学上，概率用一个介于0和1之间的实数表示，0表示不可能事件，1表示必然事件。

而对于一个随机试验而言，它的所有可能结果组成的集合被称为样本空间，样本空间中的每一个元素称为样本点。

2. 概率的计算方法为了计算概率，我们需要引入事件的概念。

事件是样本空间的子集，表示我们关心的某些结果，而不关心其他结果。

对于事件A，它包含样本空间中一部分样本点。

概率的计算方法有经典概型、几何概型、古典概型等。

其中，经典概型适用于样本点等可能出现的情况，几何概型适用于样本点在某个空间内均匀分布的情况，古典概型适用于样本点按一定几率出现的情况。

3. 随机变量与概率分布随机变量是描述随机试验结果的数学模型，通常用大写字母表示，如X、Y等。

随机变量可以分为离散型和连续型。

离散型随机变量只能取有限个或可数个值，例如扔一枚硬币的结果可以是正面或反面。

连续型随机变量可以取无限个值，例如测量某一物理量的结果。

4. 基本概率分布在概率论中，常见的概率分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布等。

伯努利分布是最简单的离散型随机变量分布，二项分布适用于重复试验且每次试验结果仅有两种可能的情况，泊松分布适用于计数型问题，均匀分布适用于样本在某个区间内均匀分布的情况，正态分布适用于很多实际问题的模型。

5. 概率论的应用概率论在各个领域都有广泛的应用。

在统计学中，我们可以通过概率论来推断总体的特征；在金融学中，我们可以通过概率论来计算股票的风险；在工程学中，我们可以通过概率论来分析系统的可靠性；在生物学中，我们可以通过概率论来研究基因变异的概率等等。

高等数学概率论知识点

(1)
+∞ ∫− ∞ ϕ ( x )dx
=1
1 ( 2) Φ(0) = 2
( 3) Φ ( − x ) = 1 − Φ ( x )
( x > 0)
x−μ )
(4) X ~ N ( μ , σ 2 ) P( X ≤ x) = Φ (
σ b−μ a−μ P ( a < X < b) = Φ ( ) − Φ( ) σ σ
P ( A1 L An ) = P ( A1 ) P ( A2 | A1 )L P ( An | A1 L An−1 )
（2）全概率公式
P ( A) = ∑ P ( Bi ) P ( A | Bi ) ；
i =1
n
（3）贝叶斯公式 P ( B j | A) =
P ( AB j ) P ( A)
=
P(B j )P( A | B j )
∞
∑
∞
Pij = Pi • ；
Pij = P• j 关于 Y 的边缘分布为 P{Y = y j } = ∑ i =1
2)连续型
+∞ 关于 X 的边缘密度函数： f X ( x ) = ∫− ∞ f ( x , y )dy
+∞ 关于 Y 的边缘密度函数： fY ( y ) = ∫− ∞ f ( x , y )dx
7．二维随机变量函数的分布 1）二维连续型随机变量函数和 X+Y 的分布
fZ ( z) = ∫
+∞ −∞ +∞
f ( x, z − x)dx f ( z − y, y )dy
密度函数为
=∫
−∞
当 X,Y 相互独立时，卷积公式 f X ∗ f Y 2) 泊松分布和二项分布的可加性 3） M = max( X , Y ) 及 N = min( X , Y ) 的分布（X,Y 相互独立）

概率论高等院校概率论课件JXHD1-5

§1.5 条件概率条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯（Bayes) 公式CH1事件B 已发生的条件下事件A 发生的概率，记为)(B A P [引例] 设10件产品中有5件不合格品，而5件不合格品中有3件次品2件废品，现从10件产品中任取一件，求（1）取得废品的概率；（2）已知取到的是不合格品,它是废品的概率。

解：设事件A 表示“取得废品”；事件B 表示“取得不合格品”，则（1）取得废品的概率5/1)(=A P （2）已知取到的是不合格品，它是废品的概率为52)|(=B A P )()(B n AB n =)()()()(ΩΩ=n B n n AB n )()(B P AB P =条件概率Conditional Probabilitydef 1-3 可以验证)|(B A P 满足公理化定义，即（1）1)|(0≤≤B A P ；（2）1)|(=ΩB P ；（3）若，，n A A A ,,21是两两互不相容的事件，则 )|()|((11∑∞=∞==n n n n B A P B A P （1-4）B 为样本空间Ω中的两个事件，))B AB （1-3）发生的条件下事件A 发生的条件概率。

设BA 、为样本空间Ω中的两个事件，0)(>B P ，则称)()(ˆ)|(B P AB P B A P = （1-3）为事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率。

思考题：条件概率与无条件概率有何区别与联系？由引例及定义1-3不难总结出求条件概率的一般方法：1B 在缩小的样本空间中计算A 发生的概率)|(B A P ；0)(AB P 、)(B ，再按既然不用定义1-3也可求条件概率)|(B A P ，因此上述定义式可反过来应用，即先求概率)|(B A P 、)(B P ，由此计算)(AB P 。

即得计算积事件概率的乘法公式：事件发生后，在缩小的样本空间中计算事件 02在样本空间中先计算)(AB P P 定义计算)|(B A P 。

高等数学概率论与数理统计课件PPT大全

(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，
(AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
A B A B, AB A B
可推广 Ak Ak , Ak Ak .
k
k
k
k
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C
定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n.
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon
K. Pearson K. Pearson
随机事件
二、样本空间(p2)
1、样本空间：试验的所有可能结果所
组成的集合称为样本空间，记为={e}；
2、样本点: 试验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点,记为e. 3.由样本点组成的单点集称为基本事件, 也记为e.
幻灯片 6
随机事件
1.定义样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“ 事件”.记作A、B、C等
P( AB) P( AC) P(BC) P( ABC )
30% 3 10% 0 0 0 80%
例1.3.2.在110这10个自然数中任取一数，求
（1）取到的数能被2或3整除的概率，
（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，
（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。
解:设A—取到的数能被2整除; P(A) 1 P(B) 3
的概率有多大？
3.分组问题
例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组

高等数学第11章概率论

解法二利用概率的加法公式
由于A1，A2，A3两两互斥
P (A ) P (A 1 ) P (A 2 ) P (A 3 )
CC 31C 230127
CC 32C 230117
CC 33C 230107
23 57
解法三利用互逆事件的概率公式
A的逆事件表示没有取到白球，故
P(A)1P(A)1C30C13723 C2 30 57
定理11.1 如果事件A与B互斥，即 AB，
则 P (A B ) P (A ) P (B )。
推论1 若 A1,A2,,An两两互斥，则
P ( A 1 A 2 A n ) P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A n )
推论2 P(A)1P(A)
（1）P(A) 70 7 100 10
（2）P(B) 25 1 100 4
（3）P(AB) 20 1 100 5
11.2 事件的独立性
由于甲厂产品有70件，其中次品有20件，故
P(B| A)202 70 7
类似地 P(A| B)204
25 5
从上例可引出求条件概率的计算方法，即
P ( C ) 0 .0 3 ， P (A |B ) 0 .4 5
P (A ) P (A ) B P ( B ) P (A |B )
[ 1 P ( C ) ] P ( A |B ) ( 1 0 . 0 3 ) 0 . 4 5 0 . 4 3 6 5
11.2 事件的独立性
11.1 随机事件的概率
例4 袋中有20个球, 其中有3个白球、17个黑球，从中任取3个，求至少有一个白球的概率。
分析用Ai表示取到i个白球，用A表示至少有一个白球。

概率论高数知识点总结归纳

概率论高数知识点总结归纳概率论高数知识点总结归纳概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件的发生概率以及相关统计问题。

在高等数学中，概率论占据着重要的位置，涉及到许多重要的知识点。

本文将对概率论高数中的主要知识点进行总结归纳，帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。

一、概率的基本概念1. 随机试验：具有不确定的结果的试验称为随机试验，例如掷硬币、抛骰子等。

2. 样本空间：随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，记作Ω。

3. 事件：样本空间的子集称为事件，通常用大写字母A、B、C等表示。

4. 概率：概率是一个函数，它将事件映射到实数，表示事件发生的可能性，通常用P(A)表示事件A的概率。

二、事件的关系与运算1. 包含关系：事件A包含事件B，表示为B⊆A。

2. 互斥事件：事件A和事件B不可能同时发生，即A∩B=∅。

3. 和事件：事件A和事件B都发生的集合，表示为A∪B。

4. 差事件：事件A发生而事件B不发生的集合，表示为A-B。

三、概率的性质1. 非负性：对于任意事件A，P(A)≥0。

2. 可加性：对于互斥事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)。

3. 完备性：对于样本空间Ω，P(Ω)=1。

4. 减法公式：对于事件A和事件B，P(A-B)=P(A)-P(A∩B)。

四、条件概率与独立性1. 条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率，表示为P(A|B)，计算公式为：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。

2. 独立事件：事件A和事件B相互独立，表示为P(A∩B)=P(A)·P(B)。

五、全概率公式与贝叶斯公式1. 全概率公式：设B₁、B₂、…、Bn为一组互不相容事件，且它们的并集构成了样本空间Ω，事件A与B₁、B₂、…、Bn有关，求事件A的概率，计算公式为：P(A)=P(A|B₁)·P(B₁)+P(A|B₂)·P(B₂)+…+P(A|Bn)·P(Bn)。

高等概率论

对于确定事件B，实际上，若令
则是上的新集函数，且个“新概率”。请验证！
是一
事实上
i)
ii)
iii) 对
（可列可加性）
由此，条件概率满足概率定义中的三条，则它是概率空间(Ω, )上新概率。由，
可得
.
乘法公式
设A1, …, An是n个事件且，则
全概率公式
设Bi (i=1, 2, …n)为Ω的一个分割，则对任意的事件A有
概率论与数理统计
江一鸣 ymjiangnk@
2012年秋
X ~ N (0,1)
1，密度是什么，如何验证？
2，期望，方差是什么？
3，特征函数是什么？
古典概型
从n个元素中有放回、无顺序的取出r个，则不同的取法有多少种？
第一章事件与概率
§1.1 样本空间与事件
基本概念
样本点（每个可能的结果） ω 样本空间（｛样本点｝） Ω (随机)事件(某些样本点构成的集合)A
例（匹配问题）某人写好n封信，又写好n个信封。随机地将每封信放入一个信封中，试求至少有一封信放对的概率。
解：记Ai={第i封信与信封符合}，则所求事件为可应用一般加法公式，
故
§2.2 条件概率
定义设A, B是概率空间(Ω, , P)上的两个随机事件，且P(B)>0。记事件A关于B的条件概率。，则称是
2l pa
从上式，通过多次的随机试验可知针与平行线相交的概率（近似值）。另一方面，在随机试验中，a与l的长度均是已知的，这样可以得到的近似值。这种思想出现在数值计算的Monte-Carlo方法（即通过随机试验来估计某些确定值等）。

高等数学概率论入门教材

高等数学概率论入门教材概率论是高等数学的一门重要分支，是研究随机现象及其规律性的数学学科。

概率论的应用范围广泛，涉及自然科学、社会科学、工程技术等众多领域。

对于大部分高等数学学习者而言，概率论作为一门基础性课程，是其学习路径中的必修内容之一。

本文将介绍一本适合初学者的高等数学概率论入门教材。

一、教材简介本教材的名称为《高等数学概率论导论》，由李明等多位概率统计学专家合作编写。

该教材以通俗易懂的语言，系统全面地介绍了概率论的基本概念、性质与理论推导，并附有大量实例与习题，以帮助读者更好地掌握概率论的核心知识。

二、教材结构该教材分为八个章节，内容覆盖了概率论的基础与应用，具体包括：1. 概率论引论介绍概率论的起源、发展与学科特点，引出概率与随机事件的概念，阐述概率公理及其重要性。

2. 随机变量与概率分布讲解随机变量的定义、分类及常见概率分布（如离散分布、连续分布），引入随机变量的数学期望与方差等重要性质。

3. 多维随机变量及其分布探讨多维随机变量的概念与性质，介绍联合概率分布、条件概率分布以及随机变量的独立性等相关概念。

4. 大数定律与中心极限定理介绍大数定律与中心极限定理的概念与证明思路，讨论其在实际问题中的应用及意义。

5. 数理统计基础引入数理统计的基本概念与方法，介绍样本与总体、统计量与抽样分布等重要内容。

6. 参数估计与假设检验介绍参数估计的方法与原理，讲解假设检验的基本思想与步骤，并给出实例进行实际应用的演练。

7. 回归分析与方差分析讨论回归分析与方差分析的基本原理与应用，引导读者了解线性回归与方差分析的概念及数据处理方法。

8. 随机过程简介简要介绍随机过程的基本概念与分类，初步了解马尔可夫链及泊松过程等典型随机过程。

三、教材特点《高等数学概率论导论》教材具有以下几个特点：1. 深入浅出作者以通俗易懂的语言阐述概率论的概念与理论，避免过多使用专业术语，让读者易于理解与掌握。

2. 理论与实践结合教材中有丰富的例题与习题，通过实例分析与计算，使读者能够将概率论的理论知识应用于实际问题的解决。

《高等概率论课程》教学大纲

《高等概率论课程》教学大纲课程编号：Math1092课程名称：高等概率论英文名称：Advanced Probability Theory开课单位：数学科学学院开课学期：秋课内学时： 34教学方式：讲授适用专业及层次：统计学学术型硕士考核方式：考试预修课程：概率论、实变函数、分析学、代数学一、教学目标与要求《高等概率论》课程是统计学专业研究生的必修专业课程，也是应用性很强的一门数学课程．它是研究随机现象的数量规律的数学学科，以研究生课程分析学与代数学，本科生课程初等概率论与实变函数等为前期课程准备。

高等概率论课程重点给出集合、空间、测度、可测函数与积分的定义，以适合于概率需要的形式讲述了测度论的知识；给出概率、随机变量、随机向量、随机函数的概念，以及概率论研究中的所需的重要工具—常用的矩不等式和基本不等式；空间及其完备性；积分表现定理—Riesz定理；独立性的概念，独立扩张定理，复合定理和乘法定理。

重点是独立随机变量序列的零壹律，独立随机变量和的收敛性与稳定性，利用Borel-Cantelli引理、等价性引理等得到独立随机变量序列的二级数定理、三级数定理以及强大数定理。

通过本课程的教学，应使学生掌握高等概率论的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生掌握以测度论为基础的高等概率论的基础知识，为后续课程的学习、开展科学研究打下坚实的理论基础。

二、课程内容与学时分配导论（5学时）0．1 简单随机变量 0.2 Borel强大数律1．3 经验分布函数与格里定理第一章集合、空间与测度（12学时）1．1 序列的极限 1．2 域与-域1．3 单调类 1．4 乘机集合与截口1．5 函数与反函数 1．6 可测函数与可测函数第二章可测函数与积分（12学时）2．1 可测函数 2．2 测度的各种收敛性2．3 依测度收敛 2．4 积分与性质2．5 积分的收敛性定理 2．6 不定积分与累次积分2．7 Radon-Nikodym定理 2．6 无穷乘积概率空间第三章概率（12学时）3．1 概率空间与随机变量 3．2 随机向量、随机序列和随机函数3．3 矩不等式和各种收敛性 3．4 空间及其完备性3．5 积分表现定理—Riesz定理第四章独立随机变量和（13学时）4．1 独立性概念 4．2 独立扩张定理与复合定理4．3 乘法定理与等价性定理 4．4 Borel-Cantelli引理，Kolmogorov 0-1律4．5 独立随机变量和的收敛性与稳定性 4．6 二级数定理与三级数定理三、教材M. Loeve，《Probability Theory I》，4th edition, Springer-Verlag．主要参考书1．缪柏其, 概率论教程, 中国科学技术大学出版社, 1998．2．Y. S. Chow, H. Teicher, Probability Theory, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 1988. 3．Shiryayev A.N, Probability, Springer-Verlag, 1984．4．汪嘉冈, 现代概率论基础, 复旦大学出版社, 1988．5．严加安, 测度与积分, 陕西师范大学出版社, 1988.6．李贤平, 概率论基础, 第三版, 北京:高等教育出版社, 2011.。

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