【全国校级联考】广东省汕头市潮南区2018届高考(5月)冲刺数学（理）试题
广东省汕头市潮南区2018届高考(5月)冲刺理综化学试题(含答案)
汕头市潮南区2018高考冲刺题化学部分可能用到的元素相对原子质量：H—1C—12N—14O—16Na—23Mg—24Al —27Si—287．《开宝本草》中记载：“此即地霜也，所在山泽，冬月地上有霜，扫取以水淋汁后，乃煎炼而成”。
文中对硝酸钾提取没有涉及的操作方法是：A．溶解B．蒸发C．升华D．结晶8．设N A为阿伏加德罗常数的值。
下列有关叙述正确的是：A．用浓盐酸分别和MnO2、KClO3反应制备1mol氯气，转移的电子数均为2N AB．常温下，pH=2的H2SO4溶液1L中，硫酸和水电离的H+总数为0.01N AC．常温常压下，O2与O3的混合气体16g，分子总数为N AD．1molH2O最多可形成4N A个氢键9．2017年12月5日国家食药监总局要求莎普爱思尽快启动临床有效性试验。
莎普爱思有效成分是由苄达酸与赖氨酸生成的有机盐，苄达酸结构如图所示。
下列关于苄达酸的叙述正确的是：A．属于芳香族化合物，且有弱酸性B．分子式为C16H16N2O3C．苯环上的一氯代物有5种D．所有原子可能共平面10．某同学结合所学知识探究Na2O2与H2能否反应，设计装置如下，下列说法正确的是：A．装置A气密性的检查方法：直接向长颈漏斗中加水，当漏斗中液面高于试管中液面且高度不变说明气密性良好B.装置A也可直接用于Cu与浓硫酸反应制取SO2C. 装置B中盛放硅胶，目的是除去A中挥发出来的少量水蒸气D. 装置C加热前，用试管在干燥管管口处收集气体点燃，通过声音判断气体纯度11．锂空气电池是一种用锂作负极，以空气中的氧气作为正极反应物的电池．比锂离子电池具有更高的能量密度，具有很广阔的应用前景。
其工作原理如图，A．多孔电极可以提髙电极与电解质溶液的接触面积，并有利于氧气扩散至电极表面B．正极的电极反应：O2＋4e‾＋2H2O＝4OH‾C．有机电解液可以是乙醇等无水有机物D．充电时专用充电电极可防止空气极腐蚀和劣化12．已知X、Y、Z、W、M 均为短周期元素。
2018年广东省汕头市潮南区高考考前冲刺数学试卷(文科)Word版含解析
2018年广东省汕头市潮南区高考考前冲刺试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12小题，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1．已知全集U=R ，集合A={x|x ＞2}，B={1，2，3，4}，那么（∁U A ）∩B=（ ） A ．{3，4} B ．{1，2，3} C ．{1，2} D ．{1，2，3，4}2．已知复数z=+i ，则z 的共轭复数为（ ） A ．1+i B ．1+2iC ．1﹣2iD ．2+3i3．下列说法中不正确的个数是（ ） ①“x=1”是“x 2﹣3x+2=0”的必要不充分条件②命题“∀x ∈R ，cosx ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，cosx 0≥1” ③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真． A ．3B ．2C ．1D ．04．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n 人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（ ） A ．860 B ．720 C ．1020D ．10405．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A ．3B ．4C ．5D ．66．若执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ） A ．2log 23 B ．log 27 C ．3D ．27．双曲线的一条渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．C ．D ．8．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．16B ．32C ．D ．9．已知函数f （x ）=的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，2）B ．[﹣1，2）C ．（﹣∞，﹣1]D ．{﹣1}10．在等腰直角△ABC 中，AC=BC ，D 在AB 边上且满足：，若∠ACD=60°，则t 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．设偶函数f （x ）（x ∈R ）的导函数是函数f′（x ），f （2）=0，当x ＜0时，xf′（x ）﹣f （x ）＞0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C ．（﹣2，0）∪（2，+∞）D ．（0，2）∪（﹣2，0）12．抛物线y 2=8x 的焦点为F ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线上的两个动点，若x 1+x 2+4=|，则∠AFB 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知实数x ，y 满足条件，则z=2x+y ﹣5的最小值为 ．14．已知向量，，且∥，则= ．15．正四棱锥O ﹣ABCD 的体积为，底面边长为，求正四棱锥O ﹣ABCD 的内切球的表面积 ．16．设Sn 为数列{an}的前n项和，若2an+（﹣1）n•an=2n+（﹣1）n•2n（n∈N*），则S10= ．三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，三个内角的对边分别为a，b，c，cosA=，asinA+bsinB﹣csinC=asinB．（1）求B的值；（2）设b=10，求△ABC的面积S．18．某中学环保社团参照国家环境标准，制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2016年连续100天的空气质量指数数据作为样本，绘制了如图的频率分布表，将频率视为概率．估算得全年空气质量等级为2级良的天数为73天（全年以365天计算）．（Ⅰ）求x，y，a，b的值；（Ⅱ）请在答题卡上将频率分布直方图补全（并用铅笔涂黑矩形区域），并估算这100天空气质量指数监测数据的平均数．19．在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求点A到面PBC的距离．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳21．已知函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．2018年广东省汕头市潮南区高考考前冲刺试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1．已知全集U=R，集合A={x|x＞2}，B={1，2，3，4}，那么（∁UA）∩B=（）A．{3，4} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{1，2，3，4}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】由题意和补集的运算求出∁U A，由交集的运算求出（∁UA）∩B．【解答】解：因为全集U=R，集合A={x|x＞2}，所以CUA={x|x≤2}，又B={1，2，3，4}，则（CUA）∩B={1，2}，故选C．2．已知复数z=+i，则z的共轭复数为（）A．1+i B．1+2i C．1﹣2i D．2+3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z=+i=，∴．故选：C．3．下列说法中不正确的个数是（）①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的必要不充分条件②命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是“∃x0∈R，cosx≥1”③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．A．3 B．2 C．1 D．0【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用充要条件判断①的正误；命题的否定判断②的正误；四种命题的逆否关系判断③的正误；【解答】解：对于①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，不是必要不充分条件，所以①不正确；对于②命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是“∃x0∈R，cosx≥1”，不满足命题的否定形式，所以②不正确；对于③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．满足四种命题的逆否关系，正确；故选：B．4．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n 人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．1040【考点】B3：分层抽样方法．【分析】先求得分层抽样的抽取比例，根据样本中高二被抽取的人数为30，求总体．【解答】解：由已知条件抽样比为，从而，解得n=1040，故选：D．5．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A．3 B．4 C．5 D．6【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】设出塔顶灯的盏数，由题意可知灯的盏数自上而下构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和等于381列式计算即可．【解答】解：由题意设塔顶有a盏灯，由题意由上往下数第n层就有2n﹣1•a盏灯，∴共有（1+2+4+8+16+32+64）a=381盏灯，即．解得：a=3．故选：A．6．若执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．2log23 B．log27 C．3 D．2【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序的功能是求S=×的值，即可求得S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是求S=×的值，由于S=×=×==3．故选：C．7．双曲线的一条渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆相切，∴圆心到渐近线的距离为=1或=1，求得a=b，∴c2=a2+b2=4a2，∴e=2．故选：A．8．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．16 B．32 C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，过点P作PO⊥底面ABC，垂足为O，连接OB，OC，则四边形OBAC是边长为4的正方形，高PO=4．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，过点P作PO⊥底面ABC，垂足为O，连接OB，OC，则四边形OBAC是边长为4的正方形，高PO=4．则该几何体的体积V==．故选：D．9．已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1] D．{﹣1}【考点】34：函数的值域．x是增函数，可得y=（2﹣a）x+3a 【分析】根据分段函数的值域为R，具有连续性，由y=log2也是增函数，故得2﹣a＞0，（2﹣a）+3a≤0，可得答案．【解答】解：函数f（x）=的值域为R，x是增函数，由y=log2∴y=（2﹣a）x+3a也是增函数，故得2﹣a＞0，解得：a＜2，∵函数f（x）的值域为R，1，（2﹣a）×1+3a≥log2解得：a≥﹣1．∴实数a的取值范围是[﹣1，2）．故选B．10．在等腰直角△ABC中，AC=BC，D在AB边上且满足：，若∠ACD=60°，则t的值为（）A．B．C． D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】易知A，B，D三点共线，从而建立坐标系，从而利用坐标运算求解即可．【解答】解：∵，∴A，B，D三点共线，∴由题意建立如图所示坐标系，设AC=BC=1，则C（0，0），A（1，0），B（0，1），直线AB的方程为x+y=1，直线CD的方程为y=x，故联立解得，x=，y=，故D（，），故=（，），=（1，0），=（0，1），故t+（1﹣t）=（t，1﹣t），故（，）=（t，1﹣t），故t=，故选：A．11．设偶函数f（x）（x∈R）的导函数是函数f′（x），f（2）=0，当x＜0时，xf′（x）﹣f （x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（0，2）∪（﹣2，0）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=，利用导数得到，g（x）在（﹣∞，0）是增函数，再根据f （x）为偶函数，得到g（x）是奇函数，在（0，+∞）递增，从而求出f（x）＞0的解集即可．【解答】解：令g（x）=，∴g′（x）=，∵x＜0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，∴x＜0时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）上是增函数，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣=﹣g（x），∴g （x ）是奇函数，∴g （x ）在（0，+∞）上是增函数，∵f （2）=0，∴g （2）==0，∴g （﹣2）=﹣g （2）=0， 如图示：当x ＞0，f （x ）＞0，即g （x ）＞0=g （2），解得：x ＞2， 当x ＜0时，f （x ）＜0，即g （x ）＜g （﹣2）=0，解得：x ＜﹣2故不等式f （x ）＜0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）， 故选：B ．12．抛物线y 2=8x 的焦点为F ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线上的两个动点，若x 1+x 2+4=|，则∠AFB 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB 的最大值．【解答】解：因为，|AF|+|BF|=x 1+x 2+4，所以．在△AFB中，由余弦定理得：=．又．所以，∴∠AFB的最大值为，故选D．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知实数x，y满足条件，则z=2x+y﹣5的最小值为﹣6 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先利用二元一次不等式表示平面区域的性质画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合得最优解，代入目标函数即可得目标函数的最值【解答】解：画出的可行域如图阴影区域：由得A（﹣1，1）目标函数z=2x+y可看做斜率为﹣2的动直线l，由图数形结合可知：当l过点A时，z最小为﹣2×1+1﹣5=﹣6．故答案为：﹣6．14．已知向量，，且∥，则= 2．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵∥，∴2x﹣6=0，解得x=3．则=（﹣2，﹣4），则==2．故答案为：．15．正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，求正四棱锥O﹣ABCD的内切球的表面积．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【分析】利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O﹣ABCD的高，可得斜高，利用等体积法求出正四棱锥O﹣ABCD的内切球的半径，根据球的表面积公式计算即得结论．【解答】解：正四棱锥O﹣ABCD的体积V=Sh=×h=，∴h=，∴斜高为=，设正四棱锥O﹣ABCD的内切球的半径为r，则×（+4×）r=，∴r=∴正四棱锥O﹣ABCD的内切球的表面积为4πr2=．故答案为：．16．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若2a n +（﹣1）n •a n =2n +（﹣1）n •2n （n ∈N*），则S 10= ．【考点】8H ：数列递推式．【分析】由2a n +（﹣1）n •a n =2n +（﹣1）n •2n ，得当n=2k ﹣1（k ∈N *）时，可得a 2k ﹣1=0．当n=2k时，，即a 2k =．再利用等比数列的前n 项公式即可得出答案．【解答】解：∵2a n +（﹣1）n •a n =2n +（﹣1）n •2n ， ∴当n=2k ﹣1（k ∈N *）时，2a 2k ﹣1﹣a 2k ﹣1=0，即a 2k ﹣1=0．当n=2k 时，，即a 2k =．∴S 10=a 2+a 4+…+a 10===．故答案为：．三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC 中，三个内角的对边分别为a ，b ，c ，cosA=，asinA+bsinB ﹣csinC=asinB ．（1）求B 的值；（2）设b=10，求△ABC 的面积S ． 【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得cosC 的值，进而求得C ，进而求得sinA 和sinC ，利用余弦的两角和公式求得答案． （2）根据正弦定理求得c ，进而利用面积公式求得答案．【解答】解：（1）∵，∴．∴．又∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴．∵，又∵A、B、C是△ABC的内角，∴0＜A+C＜π，∴．∴．（2）∵，∴．∴△ABC的面积．18．某中学环保社团参照国家环境标准，制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2016年连续100天的空气质量指数数据作为样本，绘制了如图的频率分布表，将频率视为概率．估算得全年空气质量等级为2级良的天数为73天（全年以365天计算）．（Ⅰ）求x，y，a，b的值；（Ⅱ）请在答题卡上将频率分布直方图补全（并用铅笔涂黑矩形区域），并估算这100天空气质量指数监测数据的平均数．【考点】B8：频率分布直方图；BB：众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）由题意得：365b=73，a+b=0.3，由此能求出x，y，a，b的值．（Ⅱ）补全直方图，由频率分布直方图，可估算这100天空气质量指数监测数据的平均数．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：365b=73，解得b=0.2，又a+b=0.3∴a=0.1，∴x=100×0.1=10，y=100×0.2=20﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）补全直方图如图所示﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由频率分布直方图，可估算这100天空气质量指数监测数据的平均数为：25×0.1+75×0.2+125×0.25+175×0.2+225×0.15+275×0.1=145．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求点A到面PBC的距离．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】（1）证明点O为△ABD的外心，利用△ABD是直角三角形，可得O是AD中点；（2）由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，即可证明：BC⊥PB；（3）由等体积法VP﹣ABC =VA﹣PBC，求点A到面PBC的距离．【解答】（1）证明：∵△PAB和△PBD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，又∵PO⊥底面ABCD，∴OA=OB=OD，则点O为△ABD的外心，又因为△ABD是直角三角形，∴点O为AD中点．（2）证明：由（1）知，点P在底面的射影为点O，点O为AD中点，于是PO⊥面ABCD，∴BC⊥PO，∵在Rt△ABD中，BD=BA，OB⊥AD，∴，又，∴，从而即CB⊥BO，由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，∴BC⊥PB．（3）解：∵，∴ABCD是平行四边形，在Rt△ABD中，∵AB=AC=2，∴，由（2）知：PO⊥面ABCD，BC⊥PB，由PB=2，，∴，∴，．设点A到面PBC的距离为h，由等体积法VP﹣ABC =VA﹣PBC，∴，∴．即点A到面PBC的距离为1．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案；（Ⅱ）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把︳MA︳•︳MB︳化为，再由两点间的距离公式求得︳MC︳•︳MD︳的值得答案．【解答】（Ⅰ）解：如图，由题意可得，解得a2=4，b2=1，∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）证明：设AB所在直线方程为y=，联立，得x2+2mx+2m2﹣2=0．∴△=4m2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，即．设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），则，|AB|==．∴x=﹣m，，即M（），则OM所在直线方程为y=﹣，联立，得或．∴C（﹣，），D（，﹣）．则︳MC︳•︳MD︳===．而︳MA︳•︳MB︳=（10﹣5m2）=．∴︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳．21．已知函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；53：函数的零点与方程根的关系．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数g（x）的单调性结合函数零点的个数确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（x﹣1）e x+ax2，f′（x）=x（e x+2a），①a≥0时，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；②﹣＜a＜0时，ln（﹣2a）＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜ln（﹣2a），令f′（x）＜0，解得：ln（﹣2a）＜x＜0，故f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））递减，在（ln（﹣2a），0）递增，在（0，+∞）递减；③a=﹣时，ln1=0，f（x）在R递增；④a＜﹣时，ln（﹣2a）＞0，令f′（x）＞0，解得：x＜0或x＞ln（﹣2a），令f′（x）＜0，解得：ln（﹣2a）＞x＞0，故f （x ）在（﹣∞，0）递减，在（0，ln （﹣2a ））递增，在（ln （﹣2a ），+∞）递减； （Ⅱ）函数g （x ）的定义域为R ，由已知得g'（x ）=x （e x +2a ）． ①当a=0时，函数g （x ）=（x ﹣1）e x 只有一个零点； ②当a ＞0，因为e x +2a ＞0，当x ∈（﹣∞，0）时，g'（x ）＜0；当x ∈（0，+∞）时，g'（x ）＞0． 所以函数g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增． 又g （0）=﹣1，g （1）=a ，因为x ＜0，所以x ﹣1＜0，e x ＜1，所以e x （x ﹣1）＞x ﹣1，所以g （x ）＞ax 2+x ﹣1， 取x 0=，显然x 0＜0且g （x 0）＞0，所以g （0）g （1）＜0，g （x 0）g （0）＜0，由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．③当a ＜0时，由g'（x ）=x （e x +2a ）=0，得x=0，或x=ln （﹣2a ）． ⅰ） 当a＜﹣，则ln （﹣2a ）＞0．当x 变化时，g'（x ），g （x ）变化情况如下表：注意到g （0）=﹣1，所以函数g （x ）至多有一个零点，不符合题意．ⅱ） 当a=﹣，则ln （﹣2a ）=0，g （x ）在（﹣∞，+∞）单调递增，函数g （x ）至多有一个零点，不符合题意．若a ＞﹣，则ln （﹣2a ）≤0．当x 变化时，g'（x ），g （x ）变化情况如下表：注意到当x ＜0，a ＜0时，g （x ）=（x ﹣1）e x +ax 2＜0，g （0）=﹣1，所以函数g （x ）至多有一个零点，不符合题意．综上，a 的取值范围是（0，+∞）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号22．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1过点P （a ，1），其参数方程为（t 为参数，a ∈R ）．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+4cos θ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C 1与曲线C 2交于A 、B 两点，且|PA|=2|PB|，求实数a 的值． 【考点】QH ：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； （Ⅱ）根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t 1|，|PB|=2|t 2|，利用|PA|=2|PB|，分类讨论，求实数a 的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C 1参数方程为，∴其普通方程x ﹣y ﹣a+1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+4cos θ﹣ρ=0，∴ρ2cos 2θ+4ρcos θ﹣ρ2=0 ∴x 2+4x ﹣x 2﹣y 2=0，即曲线C 2的直角坐标方程y 2=4x ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设A 、B 两点所对应参数分别为t 1，t 2，联解得要有两个不同的交点，则，即a ＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t 1|，|PB|=2|t 2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t 1|=2×2|t 2|，即t 1=2t 2或t 1=﹣2t 2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴当t 1=2t 2时，有t 1+t 2=3t 2=，t 1t 2=2t 22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当t 1=﹣2t 2时，有t 1+t 2=﹣t 2=，t 1t 2=﹣2t 22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上所述，实数a的值为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．【解答】解：（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|=5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M=4．（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即 [（a+b）+（b+c）]=1∴+= [（a+b）+（b+c）]（+）=（1+1++）≥（2+2）≥×4=1，当且仅当=即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号．∴+≥1成立．。
2018届广东省六校高三5月高考模拟考试理科数学试题及
第4题图2018届高三六校高考模拟考试理科数学试题本试卷共21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．满足3i 13i z ⋅=-的复数z 的共轭复数．．．．是（ ） A ．3i -+ B ．3i -- C ．3i + D ．3i -2．已知函数()f x =M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M N = （ ）A ．{}|1x x >-B ．{}|1x x <C ．{}|11x x -<<D ．∅3．如图给出的是计算1111352013++++的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入（ ）A ．1i i =-B ．1i i =+C ．2i i =-D ．2i i =+4．若变量x y ，满足24023000x y x y x y ⎧+⎪-+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则3z x y =-+的最大值是（ ）A ．90B ．80C ．50D ．405．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，22S =，则4S = （ ）A ．2B ．6C ．16D ．206． 已知直线1:4l y x =，2:4l y x =-，过3(,2)2M 的直线l 与12,l l 分别交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则||AB 等于（ ）A ．12B C D7．已知某四棱锥的三视图，如右图。
则此四棱锥的体积为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．设00x y >>，，定义x y ⊗=，则()2x y ⎡⊗⎣+2()x y ⊗()max y x ⊗⎤⎦等于（ ）AB．32+C．22+D．12+二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题（第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答）9．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ．10．若12322()log (1) 2.，，，x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则((2))f f 的值为 . 11．曲线33y x ax =++在点（1，m ）处的切线方程为2y x n =+，则a = ．（a m n ，，为常数） 12．已知()2sin()(||)32f x x ππϕϕ=+<，若1x =是它一条对称轴，则 ϕ= ．13．如右图，等边△ABC 中，244AB AD AC AE =＝＝＝，则BE CD ⋅=．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）曲线4cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上一点P 到点()20A -，与()20B ，的距离之和为 ．15．（几何证明选讲选做题）如右图，在Rt △ABC 中，斜边12AB =，直角边6AC =，如果以C 为圆心的圆与AB 相切于D ，则⊙C 的半径长为 ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（本小题满分12分）已知函数21()2cos 22f x x x x R =--∈，． （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c且c =()0f C =，若sin 2sin B A =，求,a b 的值。
汕头市2018届三模理数试题
B． 8 D． 4
2 3 3 8 3 3
4 3 3
1 7. 若 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x 2 a)( x )10 的展开式中 x 6 的系数为 30，则 a x 1 1 A．B．-2 C． 2 2
D．2
8. 已知函数 f ( x) Asin( x ) (0 ) ，满足 f (
2 x y 40 x 2 y 50 3. 设动点 P( x, y) 满足 ，则 z 5x 2 y 的最大值是 x 0 y 0
A．100
B．90
C．80
D．50
4．要使右边的程序框图输出的 S=2cos 23 cos3 299 cos99 , 则判断框内(空白框内)可填入 A. n 99 B. n 100 C. n 99 D. n 100
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2018 年汕头市高三考前冲刺统一测试试题理科数学
5. 已知等差数列 {an } 满足 a6 a7 a8 0 ，a6 a9 0 ，那么当 {an } 的前 n 项和最大时，n 的值为 A．6 B．7 C ．8 D．9 6. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为 4 的 正三角形，俯视图是由边长为 4 的正三角形和一个半圆 构成，则该几何体的体积为 A． 8 C． 4
x2 y 2 3 2 2 1(a 0, b 0) 的离心率为 2，其渐近线与圆 x a y 2 相切， 2 a b 4
则该双曲线的方程为 _______. 15. 三棱锥 P ABC 中，PC 底面 ABC, ABC 为正三角形， 若 MA / / PC, AB PC AM 2 ， 则三棱锥 P ABC 与三棱锥 M ABC 的公共部分构成的几何体的外接球的表面积为 __________． 16. 将正整数对 (m, n) 作如下分组，第 1 组为 1, 2 , 2,1 ，第 2 组为 1,3 , 3,1 ，第 3 组为
2018届广东省高考数学三轮复习冲刺模拟试题有答案(共275题)
高考数学三轮复习冲刺模拟试题01集合一、选择题1 ．已知集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．2 ．设集合{1}A x x a x R =-<∈，，B={x|1<x<5,x ∈Ｒ}，若A ⋂B=φ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{a|0≤a ≤6}B ．{a|a ≤2，或a ≥4}C ．{a|a ≤0，或a ≥6}D ．{a|2≤a ≤4}3 ．已知集合2A ={|log<1},B={x|0<<c}x x x，若=A B B ，则c 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．[1,+)∞C ．(0,2]D ．[2,+)∞二、填空题4 ．若不等式4+-2+1x m x≥对一切非零实数x 均成立,记实数m 的取值范围为M .已知集合{}=A x x M ∈,集合{}2=--6<0B x R x x ∈,则集合=A B ___________.5 ．设集合是A={32|()=83+6a f x xax x -是(0，+∞)上的增函数}，5={|=,[-1,3]}+2B y y x x ∈，则()R A B ð= ；6．试题）己知集合222{|28},{|240}xxA xB x x mx -=<=+-<, 若{|11},{|43}A B x x A B x x =-<<=-<<,则实数m 等于__________ .7 ．设集合{}1,R A x x a x =-<∈,{}15,R B x x x =<<∈,若∅=B A ,则实数a 取值范围是___________.三、解答题8 ．已知={()|1},B={()|3,0x 3}2A x,y y =-x+mx -x,y x+y =≤≤，若A B ⋂是单元素集，求实数m的取值范围.参考答案一、选择题 1. 【答案】B【解析】{(3)0}{03}P x x x x x =-<=<<,={2}{22}Q x x x x <=-<<，所以{02}(0,2)P Q x x =<<=,选B.2. 【答案】C【解析】{1}{11}A x x a x R x a x a =-<∈==-<<+，,因为=A B φ，所以有15a -≥或11a +≤，即6a ≥或0a ≤，选C.3. 【答案】D【解析】2{log 1}{01}A x x x x =<=<<.因为A B B =，所以A B ⊆.所以1c ≥，即[1,)+∞，选B.二、填空题4. {}-1<3x x ≤; 5. 【答案】(,1)(4,)-∞+∞【解析】2()=2466f 'x x ax -+，要使函数在(0,)+∞上是增函数，则2()=24660f 'x x ax -+>恒成立，即14a x x <+，因为144x x +≥=，所以4a ≤，即集合{4}A a a =≤.集合5={|=,[-1,3]}+2B y y x x ∈{15}y x =≤≤，所以{14}A B x x ⋂=≤≤，所以()=R A B ð(,1)(4,)-∞+∞.6. 【答案】32222{|28}{|230}{13}x xA x x x x x x -=<=--<=-<<，因为{|11},{|43}AB x x A B x x =-<<=-<<，所以由数轴可知{|41}B x x =-<<，即4,1-是方程2240x mx +-=的两个根，所以4123m -+=-=-，解得32m =。
2018届普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟(五)理
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（五）本试卷共6页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}12|{},02|{2+==<-=x y y N x x x M ，则=⋂N M （ ）A ．)2,0(B ．)2,1(C ．)1,0(D ．∅2.已知i 为虚数单位，复数iai i z ++=1)1(的虚部为2，则实数=a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.函数x x y sin 22cos +=的最大值为（ ）A ．21B ．1C ．23 D ．2 4.如图，分别以C A ,为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A ．21B ．22-π C. 41 D ．42-π 5.已知O 为坐标原点，分别在双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 第一象限和第二象限的渐近线上取点N M ,，若MON ∠的正切值为34，则双曲线离心率为（ ） A ．55 B ．25 C. 45 D ．35 6.若点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥+3202y x x y y x ，则22)2(-+y x 的最小值为（ ）A ．552B ．55 C. 54 D ．51 7.按下面的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的x 的取值范围为（ ）A ．]4,3[-B ．]3,1[- C. ]9,3[- D ．]4,3[8.将函数)3cos(sin )(π+=x x x f 的图象向右平移3π个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 图象的一个对称中心是（ ）A ．)0,6(πB ．)0,3(π C. )43,6(-πD ．)43,3(-π9. )102()1(10101022101105x C x C x C x ++++ 展开式中，7x 项的系数是（ ）A ．50400B ．15300 C. 30030 D ．15001510.如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）A ．425πB ．1625π C. 41125π D ．161125π 11.已知函数)(x f 是定义在R 内的奇函数，且满足)()2(x f x f =-，若在区间]1,0(上，x x f 1)(=，则=++++++)818()212()111(f f f （ ） A ．631 B ．1231 C. 635 D ．1235 12.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线l 交抛物线于点B A ,，若→→=FB AF λ，且)21,31(∈λ，则k 的取值范围是（ ） A ．)3,1( B ．)2,3( C. )22,2( D ．)22,3(第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年5月高考冲刺数学试题(理)含答案
2018年5月高考冲刺数学试题（理）含答案第Ⅰ卷（共60分）;一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}12A x x =-≥，(){}lg 3,,B x y x x y R ==--∈，则A B = （ ） A ．()4,-+∞ B ．[)4,-+∞ C ．(),3-∞- D ．()[),33,-∞-+∞2.某学校在校艺术节活动中，有24名学生参加了学校组织的唱歌比赛，他们比赛的成绩的茎叶图如图所示，将他们的比赛成绩从低到高编号为1-24号，再用系统抽样方法抽出6名同学周末到某音乐学院参观学习.则样本中比赛成绩不超过85分的学生人数为（ ） 6 97 0 1 2 2 58 1 3 6 6 7 8 8 9 9 9 9 0 0 1 2 2 3 4 7A ．1B ．2C ．3D ．不确定3.二项式632x y x⎛⎫-+⎪⎝⎭展开式的常数项为（ ） A ．1352 B ．1352- C ．1358 D ． 1358- 4.执行如图所示的程序框图，若输入的10n =，则输出的T 为（ ）A ．64B ．81 C. 100 D ．121 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8163π-B ．403 C. 4163π- D ．3236.下列有关命题的说法中错误的是（ ）A ．随机变量()~3,4N ξ，则“3c =”是“()()22P c P c ξξ>+=<-”的充要条件B ．ABC 中，“A B >”的充要条件为“sin sin A B >”C. 若命题“0x R ∃∈，使得200230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是()(),26,-∞+∞D ．命题“无理数的平方是有理数”的否定是“存在一个无理数，它的平方不是有理数”7.已知函数()()sin f x A x ωθ=+（0A >，θπ<）的部分如图所示，将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位得到函数()y g x =的图像，则函数()y g x =的解析式为（ ）A ．2sin 2y x =B ．2sin 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. 2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8.已知实数x 、y 满足条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则52y z x -=+的最大值为（ ）A ．45B ．49 C. 23D ．19.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈1.73≈） A ．15 B ．16 C. 17 D ．1810.已知α为锐角，β为第二象限角，且()1cos 2αβ-=，()1sin 2αβ+=，则()sin 3αβ-=（ ）A ．12- B ．12C. 2-D ．211.已知函数()5x f x e x =--，且函数()()()2225g x m f x mf x m =⎡⎤++-⎣⎦有四个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．125m <<B ．25m >或1m < C. 125m ≤≤ D ．04m <<12.已知1232a e =，2343b e =，13838c e =，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >> C. b c a >> D ．b a c >>第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）; 13.已知复数21aii-+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点在虚轴上，则实数a =．14.平面内，线段AB 的长度为10，动点P 满足6PA PB =+，则PB 的最小值为．15.已知()y f x =是奇函数，()y g x =是偶函数，它们的定义域均为[]3,3-，且它们在[]0,3x ∈上的图象如图所示，则不等式()()0f x g x <的解集是．16.抛物线具有这样的光学性质：从抛物线的焦点出发的光线，经抛物线发射后，其发射光线平行于抛物线的对称轴；反过来，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线发射后，其发射光线经过抛物线的焦点.今有一个抛物镜面，其焦点到顶点A 的距离为0.5米，其抛物镜面的轴截面图如图所示，在抛物镜面的对称轴上与抛物镜面的顶点A 距离为4米处有点B ，过点B 有一个与抛物镜面对称轴垂直的平面M ，在平面M 上的某处（除点B ）向抛物镜面发射了一束与抛物镜面对称平行的光线，经抛物镜面两次发射后，返回到平面M 上，则光线所经过的路程有米．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足：112n n S a =-（*n N ∈）. (1) 求n S .(2)若()31log 1n n b S +=--（*n N ∈），12233411111n n n T b b b b b b b b +=+++，则是否存在正整数m ，当n m ≥时n n S T >恒成立？若存在，求m 的最大值；若不存在，请说明理由.18.有120粒试验种子需要播种，现有两种方案：方案一：将120粒种子分种在40个坑内，每坑3粒；方案二：120粒种子分种在60个坑内，每坑2粒 如果每粒种子发芽的概率为0.5，并且，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种（每个坑至多补种一次，且第二次补种的种子颗粒同第一次）.假定每个坑第一次播种需要2元，补种1个坑需1元；每个成活的坑可收货100粒试验种子，每粒试验种子收益1元. (1)用ξ表示播种费用，分别求出两种方案的ξ的数学期望； (2)用η表示收益，分别求出两种方案的收益η的数学期望；(3)如果在某块试验田对该种子进行试验，你认为应该选择哪种方案？19. 已知直三棱柱111ABC A BC -的底面是边长为6的等边三角形，D 是BC 边上的中点，E 点满足12B E EB =，平面ACE ⊥平面1AC D ，求：(1)侧棱长；(2)直线11A B 与平面ACE 所成的角的正弦值.20. 已知()1,0M -，()1,0N ，MR = ()12OQ ON OR =+ ，MP MR λ=，0QP NR =，记动点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的轨迹方程.(2)若斜率为2的直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，l 与x 轴相交于D 点，则22DA DB +是否为定值？若为定值，则求出该定值；若不为定值，请说明理由.21. 已知()()()222x f x x e m x x =---.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有且仅有一个极值点，求函数()()ln g x f x x x x =+-的最小值；(3)证明：()()()11112ln 1k nk k e k k e n n k k +=⎡⎤+++->++⎢⎥⎣⎦∑（*n N ∈）. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()3,0P ，倾斜角为3π，以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=.(1)求直线l 的参数方程；(2)若A 点在直线l 上，B 点在曲线C 上，求AB 的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，0c >.若函数()f x x a x b c =++-+的最小值为2. (1)求a b c ++的值； (2)证明：11194a b b c c a ++≥+++. 试卷答案一、选择题1-5: CBBCC 6-10: CDABB 11、12：AD 二、填空题13. 2 14. 2 15. {}210123x x x x -<<-<<<<或或16. 9 三、解答题17.解：（1）当1n =时，11a S =，由11112S a =-，得123a =. 当2n ≥时，112n n S a =-，11112n n S a --=-，所以1111111112222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫⎛⎫=-=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即113n n a a -=， 所以{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列，所以21133111313nnn S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎪⎝⎭-. （2）由（1）可知，()1313311log 1log 11log 133n n n n b S n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---=-=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()()111111212n n b b n n n n +==-++++， 所以122334111111111111123344512n n n T b b b b b b b b n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111222n =-<+. 又113nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以{}n S 为递增数列，123n S S ≥=.而2132>，所以*n N ∀∈恒有n n S T >，故存在正整数，当n m ≥时n n S T >恒成立，其m 的最大值为1.18.解：（1）方案一：用1X 表示一个坑播种的费用，则1X 可取2，3.∴ 1711723888EX =⨯+⨯=. ∴ 114085E EX ξ=⨯=元.方案二：用2X 表示一个坑播种的费用，则2X 可取2，3.∴ 231923444EX =⨯+⨯=. ∴ 2260135E EX ξ=⨯=元.（2）方案一：用1Y 表示一个坑的收益，则1Y 可取0，100.∴ 16315751006416EY =⨯=. ∴ 11403937.5E EY η=⨯=元.方案二：用2Y 表示一个坑的收益，则2Y 可取0，100.∴ 215375100164EY =⨯=. ∴ 22605625E EY η=⨯=元.（3）方案二所需的播种费用比方案一多50元，但是收益比方案一多1687.5元，故应选择方案二.19.解：（1）如图所示，以A 点为原点，AD 所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，则()D ，()C .设侧棱长为3a ，则()1C a ，()3,E a -.∵ AD ⊥平面11BCC B ， ∴ AD CE ⊥.故要使平面ACE ⊥平面1AC D ，只需1CE C D ⊥即可，就是当1CE C D ⊥时， 则CE ⊥平面1AC D ， ∴平面ACE ⊥平面1AC D .∴ ()()210,6,0,3,31830CE C D a a a =---=-=，即a =.故侧棱长为时，平面ACE ⊥平面1AC D .（2）设平面ACE 法向量为(),,n x y z =，则()(,,0,60n CE x y z y =-=-+=，∴z =. ()(),,30n AC x y z y ==+= ，∴y =.取(1,n =- .又()113,0A B =- ， ∴111,3,0cos ,22n A B --==. 故直线11A B 与平面ACE 所成的角的正弦值为22. 20.解：（1）由()12O Q O N O R =+ 可知，Q 为线段NR 的中点.由MP MR λ= 可知，P 点在直线MR 上. 由0QP NR = 可知，QP NR ⊥.所以P 点为线段NR 的垂直平分线与直线MR的交点，所以PN PR =，所以PM PN MR +==所以动点P 的轨迹为以M 、N 为焦点，长轴长为a =1c =，所以1b =.所以曲线C 的轨迹方程为2212x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y，(),0D m ，则直线l 的方程为)2y x m =-，将()2y x m =-代入2212x y +=得222220x mx m -+-=. ∴ ()2224821640m m m ∆=--=->，所以22m -<<.则12x x m +=，21222m x x -=. 所以()()2222221122DA DB x m y x m y +=-++-+()()()()22221212333222x m x m x m x m ⎡⎤=-+-=-+-⎣⎦()22212123222x x m x x m ⎡⎤=+-++⎣⎦()2222121232222x x x x m m ⎡⎤=+--+⎣⎦ ()223232m m ⎡⎤=--=⎣⎦ 故22DA DB +是定值3.21. 解：（1）因为()()()()()'12112x x f x x e m x x e m =---=--， 所以：①当0m ≤时，()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增； ②当02e m <<时，()f x 在()(),ln 2m -∞上单调递增，在()()ln 2,1m 上单调递减，在()1,+∞上单调递增； ③当2e m =时，()f x 在R 上单调递增； ④当2em >时，()f x 在(),1-∞上单调递增，在()()1,ln 2m 上单调递减，在()()ln 2,m +∞上单调递增.（2）由（1）可知，要使函数()f x 有且仅有一个极值点，则0m ≤. 又()()()222ln x g x x e m x x x x x =---+-，所以()()()'12ln x g x x e m x =--+，所以函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 所以()()min 11g x g e m ==-+-.（3）取0m =，则由（2）可知，()g x 在()0,1上单调递减，所以()()1g x g >， 即()2ln 1x x e x x x e -+->--，即()21ln x x e e x x x -++>-. 令()*1k x k N k =∈+，则()0,11k x k =∈+， 所以121ln 1111k k k k k k e e k k k k +++->-++++，即()()111211ln k k e k k k e k k k+++++->+. 所以()()11111211ln k nn k k k e k k k e k k k +==⎡⎤++++⎡⎤->+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑ ()2341ln ln ln ln ln 1123n n n n n+=+++++=++ . 22.解：（1）l的参数方程为cos 3sin 3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），即122x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（2）由122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩30y --=由2sin ρθ=得22sin ρρθ=，即2220x y y +-=，即()2211x y +-=. 所以曲线C 是以点()0,1Q 为圆心，1为半径的圆. 又点Q 到直线l30y --=的距离为2d ==. 故AB 的最小值为211-=.23.解：（1）∵()()()f x x a x b c x a x b c a b c a b c =++-+≥+--+=++=++， 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，∴ ()f x 的最小值为a b c ++，∴ 2a b c ++=.（2）由（1）可知，2a b c ++=，且a ，b ，c 都是正数，所以()()()11111114a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=⎡+++++⎤++ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭， 134b c a b b c c a a b a c a b b c c a b c c a a b ⎡⎤++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()19322244≥+++= 当且仅当1a b c ===时，取等号， 所以11194a b b c c a ++≥+++得证.。
广东省汕头市潮南区2018届高考(5月)冲刺数学文试题(解析版)
汕头市潮南2018高考冲刺试卷数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．每小题有四个选项，只有一个是正确的）1. 已知全集，集合，，那么=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意和补集的运算求出，由交集的运算求出（．【详解】因为全集，集合，，所以，又，则（，故选：C．【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算，属于基础题．2. 已知复数满足则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算法则计算即可．【详解】故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题A. 15B. -15C. 4D. -4【答案】A【解析】【分析】利用成等差数列求出公比即可得到结论．【详解】由题成等差数列．，即即解得，故选：A．【点睛】本题考查等比数列的前n项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键．4. 设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】移项得.故选B视频5. 下列命题正确的是（）A. 命题的否定是：B. 命题中，若，则的否命题是真命题C. 如果为真命题，为假命题，则为真命题，为假命题D. 是函数的最小正周期为的充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】在A中，命题的否定是：；在B中，命题中，若，则的否命题是假命题；在C中，与中一个是假命题，另一个是真命题；在D中，，从而是函数的最小正周期为的充分不必要条件．【详解】在A中，命题的否定是：，故A错误；在B中，命题中，若，则的否命题是假命题，故B错误；在C中，如果为真命题，为假命题，则与中一个是假命题，另一个是真命题，故C错误；在D中，∴ω=1⇒函数f（x）=sinωx-cosωx的最小正周期为2π，函数f（x）=sinωx-cosωx的最小正周期为2π⇒ω=±1．∴是函数的最小正周期为的充分不必要条件，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查否命题、复合命题的真假判断、充分不必要条件等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6. 若如右图所示的程序框图输出的是，则①可以为 ( )A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：不成立，输出考点：程序框图7. 已知函数，下列结论中错误的是（）A. 的图像关于中心对称C. 的图像关于对称D. 的最大值为【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的单调性，最值性，对称性的性质分别进行判断即可．【详解】A．当时，，则的图像关于中心对称，故A正确，B．由得当时，函数的递减区间是，故B错误，C．当时，，则的图像关于对称，故C正确，D．当时，函数取得最大值为，故D正确，故选：B．【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的性质是解决本题的关键．8. 若＝＝＝1，则a，b，c的大小关系是（）A. a＞b＞cB. b＞a＞cC. a＞c＞bD. b＞c＞a【答案】D【解析】【分析】由求出的值，由求得的值，由＝1求得的值，从而可得答案．【详解】由，可得故，由，可得，故，由，可得，故，．故选：D．9. 已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值，然后根据基本不等式的性质进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．代入目标函数得．即．则，当且仅当取等号，故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是一个几何体的三视图.则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案．【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的组合体，长方体的长，宽，高分别为：2，1，2，体积为：4，切去的三棱锥的长，宽，高分别为：2，1，1，体积为，故组合体的体积，故选：A．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度不大，属于基础题．11. 抛物线的焦点为，设是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由抛物线定义得所以由得,因此所以，选D.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．12. 已知函数，若，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【解析】作出函数f(x)的图象如图，若m<n,且f(m)=f(n)，则当ln(x+1)=1时，得x+1=e，即x=e−1，则满足0<n⩽e−1，−2<m⩽0，则ln(n+1)=m+1,即m=2ln(n+1)−2，则n−m=n+2−2ln(n+1)，设h(n)=n+2−2ln(n+1)，0<n⩽e−1则，当h′(x)>0得1<n⩽e−1，当h′(x)<0得0<n<1，即当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2−2ln2=3−2ln2，当n=0时,h(0)=2−2ln1=2，当n=e−1时,h(e−1)=e−1+2−2ln(e−1+1)=1+e−2=e−1<2，则3−2ln2⩽h(n)<2，即n−m的取值范围是[3−2ln2,2)，本题选择A选项.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知实数满足条件,则的最小值为__________．【答案】-6【解析】先利用二元一次不等式表示平面区域的性质画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合得最优解，代入目标函数即可得目标函数的最值【详解】画出的可行域如图阴影区域：由得，目标函数可看做斜率为-2的动直线，由图数形结合可知：当过点时，最小为．故答案为：-6．【点睛】本题主要考查了简单线性规划问题的一般解法，线性约束条件对应的可行域的画法，数形结合解决问题的思想方法，属基础题．14. 已知动点在圆上运动,点为定点与点距离的中点，则点的轨迹方程为__________【答案】【解析】【分析】设，用表示出点坐标，代入圆方程化简即可．【详解】设，则把代入圆的方程可得：，即，故答案为：．【点睛】本题考查了轨迹方程的求解，中点坐标公式的应用，属于基础题．15. 三棱锥D-ABC中，DC⊥平面ABC，且AB=BC=CA=DC=2，则该三棱锥的外接球的表面积是__________【答案】【解析】【分析】作的外接圆，过点作圆的直径，连结则为三棱锥的外接球的直径，由此能求出三棱锥的外接球表面积．【详解】作的外接圆，过点作圆的直径，连结，则为三棱锥的外接球的直径，∵三棱锥平面，且，∵平面，∴三棱锥的外接球表面积为：．故答案为：．【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16. 定义为中的最大值，函数的最小值为，如果函数在上单调递减，则实数的范围为__________【答案】【解析】【分析】根据题意，将函数写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得的值，进而可得，由减函数的定义可得，解可得的范围，即可得答案．【详解】根据题意，，则，则，若为减函数，必有，解可得：，即m的取值范围为；故答案为：．【点睛】本题考查函数单调性、函数最值的计算，关键是求出c的值．三、解答题（共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知(1)若向量，，且∥，求的值.(2)在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标运算与辅助角公式得到：，从而可求)的值；（2）利用正弦定理求出取值范围，然后求出函数的取值范围．【详解】（1），即，所以.（2）因为，由正弦定理得：即又中，∴∵，∴，则，因此，于是，由，∴，故的取值范围为.【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，考查三角函数中的恒等变换应用，突出考查辅助角公式与两角和的余弦，属于中档题．18. 2017年5月27日当今世界围棋排名第一的柯洁在与的人机大战中中盘弃子认输，至此柯洁与的三场比赛全部结束，柯洁三战全负，这次人机大战再次引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查，根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.（1）请根据已知条件完成下面列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？（2）为了进一步了解“围棋迷”的围棋水平，从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取5名学生组队参加校际交流赛，首轮该校需派两名学生出赛，若从5名学生中随机抽取2人出赛，求2人恰好一男一女的概率.参考数据:【答案】(1)没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关.(2).【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求得频率与频数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）根据分层抽样原理，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【详解】（1）由频率分布直方图可知，所以在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而列联表如下因为，所以没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关.（2）由（1）中列联表可知25名“围棋迷”中有男生15名，女生10名，所以从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取的5名学生中，有男生3名，记为，有女生2名，记为.则从5名学生中随机抽取2人出赛，基本事件有：，，，，，，，，，，共10种；其中2人恰好一男一女的有：，，，，，，共6种；故2人恰好一男一女的概率为.【点睛】本题考查了频率分布直方图、独立性检验和列举法求概率的应用问题，是基础题．19. 如下图，四梭锥中,⊥底面,,为线段上一点，,为的中点.(1)证明:平面；（2）求四面体的体积.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）取的中点，连接，得到四边形为平行四边形，即，利用直线与平面平行的判定定理，即可证得平面；（Ⅱ）由平面，得到平面的距离为，取的中点，连结，求德，利用，即可求解三棱锥的体积．试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面（Ⅱ）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为.取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故.所以四面体的体积.20. 已知椭圆的右焦点为,坐标原点为.椭圆的动弦过右焦点且不垂直于坐标轴，的中点为,过且垂直于线段的直线交射线于点(I)证明:点在直线上;(Ⅱ)当四边形是平行四边形时,求的面积.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）设所在直线为：，联立方程组，由韦达定理得，得到，从而和所在直线方程，联立方程组解得，即可证得点在直线上.（Ⅱ）由点是的中点，且四边形是平行四边形，即点是的中点，由（Ⅰ）知的坐标，求得的值，得到，利用弦长公式和两点的距离公式分别求得，即可求得的面积．试题解析：（Ⅰ）易知，设所在直线为：，，联立方程组，化简得由韦达定理得，，则，从而所在直线方程为又所在直线方程为，联立两直线方程解得.所以点在直线上.（Ⅱ）∵点是的中点，且四边形是平行四边形∴点是的中点由（Ⅰ）知，，则此时.从而.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21. 已知函数（1）求函数的极值（2）定义：若函数在区间上的取值范围为，则称区间为函数的“美丽区间”．试问函数在上是否存在“美丽区间”？若存在，求出所有符合条件的“美丽区间”；若不存在，请说明理由【答案】(1)当时，函数有极大值为1，当时，函数有极小值为．(2)见解析.【解析】【分析】（1）利用函数的正负性，来求原函数的单调区间，可得函数的极值；（2）据“域同区间”的定义得到，则方程有两个大于3的相异实根．，然后利用方程根的情况列式求解，即可得出结论．【详解】（1）因为，所以．令，可得或．则在上的变化情况为：所以当时，函数有极大值为1，当时，函数有极小值为．（2）假设函数在上存在“美丽区间”，由（1）知函数在上单调递增．所以即也就是方程有两个大于3的相异实根．设，则．令，解得，．当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．因为，，，所以函数在区间上只有一个零点．这与方程有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立．所以函数在上不存在“美丽区间”．【点睛】本题考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号22. 选修：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，）．以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线与曲线交于、两点，且，求实数的值．【答案】(1)见解析;(2)或．【解析】试题分析：（1）对曲线进行消参即可得曲线的普通方程，根据和将曲线化为直角坐标方程；（2）将曲线的参数方程代入曲线,根据参数方程的几何意义可知，| |，利用，分类讨论，即可求实数的值．试题解析：（1）的参数方程，消参得普通方程为，的极坐标方程为两边同乘得即；（2）将曲线的参数方程（为参数，）代入曲线得，由，得，设对应的参数为，由题意得即或，当时，，解得，当时，解得，综上：或．23. 选修：不等式选讲已知关于的不等式有解，记实数的最大值为.（1）求的值；（2）正数满足，求证：.【答案】(1).(2)见解析.【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式可求得，所以，解这个不等式可求得.（2）由（1）得，将此式乘以要证明不等式的左边，化简后利用基本不等式可求得最小值为.试题解析：（1）, 若不等式有解，则满足，解得，∴.（2）由（1）知正数满足，∴.当且仅当，时，取等号.。
广东省普通高中2018届高考数学三轮复习冲刺模拟试题(25)201805300323
下学期高二数学5月月考试题05一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上． 1.若222{|},{|2},PP y y x Q x x y Q ===+==A．[0 B ．{1111}（,）,(-,) C． D ．Φ 2.已知i 为虚数单位，则212ii-++的值等于 A. i - B.12i - C. 1- D. i3. 已知函数()()()()⎩⎨⎧>-≤=0302x x f x x f x ，则()=5fA.32B.16C.21 D.321 4. 函数()()x x x f +=2312log ,则()x f 的单调递增区间是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞41,-- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,41- C. ()+∞,0 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞21,--5. 函数()=x f ()1log 422--x x 的定义域是A.()+∞,2B. [)+∞,2C. ()+∞,1D. (][)+∞-∞-,22, 6. 若函数432--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则m 的取值范围为 A ．[]4,0 B 。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,23 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,237. 已知命题:p “[]0,2,12≥-∈∀a x x ”，命题:q “022,2=-++∈∃a ax x R x ”若命题()()q p ⌝∨⌝是假命题,则实数a 的范围为A ．2-≤aB ．2-≤a 或1=aC ．12≤<-aD ．Φ 8. 给出下列四个结论：①“若22,am bm <则a b <”的逆命题为真； ②若0()f x 为()f x 的极值，则0()0f x '=； ③函数()sin f x x x =-（x R ∈）有3个零点；④对于任意实数x ，有()(),()(),f x f x g x g x -=--=且0>x 时()0'>x f，()0'>x g ，则0<x 时()().f x g x ''>其中正确结论的序号是A ．①②B ．②C ．②③D ．④9. 若曲线()0≠=a a xy ，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是 A ．22a B ．2a C ．a 2 D ．a 10.已知函数()xxa x f ln ln +=在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是 A ．e a <<0 B ．e a ≤<0 C ．e a ≤ D ．e a ≥ 11. 定义一种运算：()()⎩⎨⎧<≥=⊗b a b b a a b a ，已知函数()()x x f x-⊗=32，那么函数()1+=x f y 的大致图象是12. 定义在R 上的函数()x f 满足()()01'≤-x fx ，且()1+=x f y 为偶函数，当1121-<-x x 时，有A ．()()2122x f x f ->-B ．()()2122x f x f -=-C ．()()2122x f x f -<-D ．()()2122x f x f -≤- 二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分）13. 若关于x 的不等式a x x >-++13恒成立，则a 的取值范围是_ 14.用二分法求函数43)(--=x x f x的一个零点，其参考数据如下：根据此数据，可得方程043=--x 的一个近似解（精确到0.01）为15．已知函数()x f 满足x x f 2log 1=⎪⎭⎫⎝⎛，则()x f 的解析式是 16. 已知函数()x xxx f sin 11ln +-+=，则关于a 的不等式()()0422<-+-a f a f 的解集是________三、解答题（本题共6个小题 共计70分） 17．（本题满分10分）设0a >，函数()x x e af x a e=+是R 上的偶函数． （1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上是增函数． 18．（本题满分12分）直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为θρcos 4=，直线l 方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty t x 21232（t 为参数），直线l 与C 的公共点为T(1)求点T 的极坐标(2)过点T 作直线'l ，'l 被曲线C 截得的线段长为2，求直线'l 的极坐标方程19．（本题满分12分）已知函数()1+=x x f ,()a x x g +=2. (1)当0=a 时,解不等式()()x g x f ≥;(2)若存在R x ∈,使得()()x g x f ≥成立,求实数a 的取值范围. 20．（本题满分12分）已知ABC ∆中，AC AB =，D 是ABC ∆外接圆劣弧AC 上的点(不与点C A ,重合)，延长BD 至E (1)求证：AD 的延长线DF 平分CDE ∠； (2)若030=∠BAC ，ABC ∆中BC 边上的高AH 为 2＋3，求ABC ∆外接圆O 的面积．21．（本题满分12分）已知函数()x f 定义域为[]1,1-，若对于任意的[]1,1,-∈y x ，都有()()()y f x f y x f +=+，且0>x 时，有()0>x f⑴证明:()x f 为奇函数;⑵判断()x f 在[]1,1-上的单调性，并证明⑶设()11=f ,若()122+-<am m x f ,对所有[][]1,1,1,1-∈-∈a x 恒成立,求实数m 的取值范围.22．（本题满分12分）设()x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，且当01<≤-x 时()b x a ax x x f +++=223452(1)求函数()x f 的解析式；(2)当31≤<a 时，求函数()x f 在(]1,0上的最大值()a g ． 答案一、ADCDA CBDCD BA二、4<a ；56.1； ()x x f 2log -=； (3，2) 三、17．（本题满分10分）解：（1）对一切x R ∈有()()f x f x -=，即1x xx x e a ae a e ae +=+则11()()0x x a e a e--=对一切x R ∈成立．得10a a-=，即1a =．。
广东省汕头市潮南区2017-2018学年高考数学模拟试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年广东省汕头市潮南区高考数学模拟试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）A．（﹣3，3）B．（﹣3，6）C．（﹣1，3）D．（﹣3，1）2．若复数（i是虚数单位），则=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．函数y=sinxsin的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π4．程序框图如图，当输入x为2016时，输出的y的值为（）A．B．1 C．2 D．45．给出下列四个结论：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.6，则P（ξ＞2）=0.2；②若P：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈（﹣∞，1），x2﹣x﹣1≥0；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是=﹣3；④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知等比数列{a n}中，a5+a7=dx，则a6（a4+2a6+a8）的值为（）A．16π2 B．4π2C．2π2D．π27．若直线y=2x与双曲线﹣=1没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]8．现有4名选手参加演讲比赛活动，若每位选手可以从4个题目中任意1个，则恰有1个题目没有被这4为选手选中的情况有（）A．36种B．72种C．144种D．288种9．展开式中不含x4项的系数的和为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．210．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（）A．B．C．1 D．11．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）A．﹣B． + C．D．12．已知函数f（x）=，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值为（）A．2 B．3 C．5 D．8二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知平面向量，满足||=1，||=2，且（+）⊥，则与的夹角为________．14．设实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为________．15．设A，B，C，D是半径为4的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是________．16．已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为，设，若在数列{c n}中，（n∈N*，n≠10），则实数p的取值范围是________．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足acosB+bcosA=2ccosC．（1）求C；（2）若△ABC的面积为2，a+b=6，求∠ACB的角平分线CD的长度．18．某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，82100（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．19．在边长为5的菱形ABCD中，AC=8．现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；（2）若M是AB的中点，求折起后AC与平面MCD所成角的正弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图所示，设直线l与圆x2+y2=r2（1＜r＜）、椭圆C同时相切，切点分别为A，B，求|AB|的最大值．21．已知f（x）=e x﹣ax2﹣2x+b（e为自然对数的底数，a，b∈R）．（Ⅰ）设f′（x）为f（x）的导函数，证明：当a＞0时，f′（x）的最小值小于0；（Ⅱ）若a＞0，f（x）＞0恒成立，求符合条件的最小整数b．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，过点P分别做圆O的切线PA、PB和割线PCD，弦BE交CD于F，满足P、B、F、A四点共圆．（Ⅰ）证明：AE∥CD；（Ⅱ）若圆O的半径为5，且PC=CF=FD=3，求四边形PBFA的外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ和曲线C2：ρcosθ=3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ 长度的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．2016年广东省汕头市潮南区高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）A．（﹣3，3）B．（﹣3，6）C．（﹣1，3）D．（﹣3，1）【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，再求A∩B的值．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}={x|﹣1＜x＜6}，B={x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3）．故选：C．2．若复数（i是虚数单位），则=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴．故选：B．3．函数y=sinxsin的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【考点】二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．【分析】利用诱导公式、二倍角公式对已知函数进行化简，然后代入周期公式即可求解【解答】解：∵y=sinxsin=sinxcosx=sin2x∴T==π故选B4．程序框图如图，当输入x为2016时，输出的y的值为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，x=2013，满足进行循环的条件，第2次执行循环体后，x=2010，满足进行循环的条件，第3次执行循环体后，x=2007，满足进行循环的条件，…第n次执行循环体后，x=2016﹣3n，满足进行循环的条件，…第672次执行循环体后，x=0，满足进行循环的条件，第673次执行循环体后，x=﹣3，不满足进行循环的条件，故y=，故选：A5．给出下列四个结论：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.6，则P（ξ＞2）=0.2；②若P：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈（﹣∞，1），x2﹣x﹣1≥0；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是=﹣3；④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】的真假判断与应用．【分析】①根据正态分布的性质进行判断，②根据含有量词的的否定进行判断．③根据直线垂直的等价条件进行判断．④根据回归直线的性质进行判断．【解答】解：①若ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.6，则P（ξ＞2）===0.2，故①正确，②若p：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈[1，+∞），x2﹣x﹣1≥0；故②错误③当b≠0时，两直线的斜率分别为，，由•（）==﹣1，即a=﹣3b，当b=0，a=0时，两直线分别为l1：3y﹣1=0，l2：x+1=0，满足l1⊥l2，故l1⊥l2的充要条件是错误，故③错误，④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均减少2.5个单位．故④错误，故正确是①，故选：A．6．已知等比数列{a n}中，a5+a7=dx，则a6（a4+2a6+a8）的值为（）A．16π2 B．4π2C．2π2D．π2【考点】定积分；等比数列的通项公式．【分析】先利用定积分的几何意义计算定积分dx的值，然后利用等比数列的性质进行化简整理，可得结论．【解答】解：∵dx，表示以原点为圆心以2为半径的圆的面积的二分之一，∴dx=π×4=2π，∴a5+a7=2π，∵等比数列{a n}，∴a6（a4+2a6+a8）=a6a4+2a62+a6a8=a52+2a5a7+a72=（a5+a7）2=4π2．故选：B．7．若直线y=2x与双曲线﹣=1没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得渐近线的斜率的正值不大于2，由a，b，c 的关系和离心率公式，可得范围．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由直线y=2x与双曲线﹣=1没有公共点，可得≤2，即b≤2a，又e==≤=，但e＞1，可得1＜e≤．故选：D．8．现有4名选手参加演讲比赛活动，若每位选手可以从4个题目中任意1个，则恰有1个题目没有被这4为选手选中的情况有（）A．36种B．72种C．144种D．288种【考点】计数原理的应用．【分析】利用间接法，先确定4个选手无遗漏的选择，再去掉恰好2、3、4道题目被选的情况，即可得出结论．【解答】解：由题意，每个选手都有4种选择，所以4个选手无遗漏的选择是44种，其中恰好2道题目被选的有C42（C43A22+C42）=84、恰好3道未被选（四人选了同一题目，有4种）、恰好0道题未被选的（4个题目都被选，有A44=24种）．故共有256﹣84﹣4﹣24=144种．故选：C．9．展开式中不含x4项的系数的和为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】二项式定理．【分析】采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去x4项系数C8820（﹣1）8=1即为所求【解答】解：中，令x=1得展开式的各项系数和为1的展开式的通项为=令得含x4项的系数为C8820（﹣1）8=1故展开式中不含x4项的系数的和为1﹣1=0故选项为B10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（）A．B．C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图利用三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：由题意，原几何体为三棱锥，如图所示．点P在底面ABC上的射影与ACB组成正方形．∴．故选：D．11．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）A．﹣B． + C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，=1+3（k﹣1）=3k﹣2，a2k=2+3（k﹣1）=3k﹣1．且a2k﹣1则当n为偶数时，设2k=n，数列{a n}的前n项和S n=+=3k2=．故选：C．12．已知函数f（x）=，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值为（）A．2 B．3 C．5 D．8【考点】其他不等式的解法．【分析】画出函数f（x）的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．【解答】解：函数f（x），如图所示，[f（x）]2+af（x）＜0，当a＞0时，﹣a＜f（x）＜0，由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，因此其整数解为3，又f（3）=﹣9+6=﹣3，∴﹣a＜﹣3＜0，﹣a≥f（4）=﹣8，则8≥a＞3，a≤0不必考虑，故选：D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知平面向量，满足||=1，||=2，且（+）⊥，则与的夹角为120°．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设与的夹角为θ，根据（+）•=+=0，求得cosθ，可得θ的值．【解答】解：平面向量，满足||=1，||=2，且（+）⊥，设与的夹角为θ，则（+）•=+=1+1×2×cosθ=0，cosθ=﹣，∴θ=120°，故答案为：120°．14．设实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】作出约束条件对应的平面区域，得如图所示的扇形及其内部．再将直线直线l：z=x+y 进行平移，观察直线l在y轴的截距变化，可得当l经过扇形的顶点B时，目标函数z达最大值，由此可得目标函数z=x+y的最大值．【解答】解：作出约束条件D：对应的平面区域，为如图所示的扇形及其内部．将直线l：z=x+y进行平移，当直线越向上平移，z的值越大可得当l与圆弧BC相切时，l在y轴上的截距最大，目标函数z同时达最大值，求得切点（2，2）∴目标函数z=x+y的最大值是z max=F（2，2）=2+2=4．故答案为：4．15．设A，B，C，D是半径为4的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是32．【考点】球内接多面体．【分析】设AB=a，AC=b，AD=c，根据AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，可得a2+b2+c2=4R2=64，而S△ABC+S△ACD+S△ADB=（ab+ac+bc），利用基本不等式，即可求得最大值．【解答】解：设AB=a，AC=b，AD=c，∵AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，∴a2+b2+c2=4R2=64∴S△ABC+S△ACD+S△ADB=（ab+ac+bc）≤（a2+b2+c2）=32∴S△ABC+S△ACD+S△ADB的最大值为32故答案为：32．16．已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为，设，若在数列{c n}中，（n∈N*，n≠10），则实数p的取值范围是（24，30）．【考点】数列递推式．【分析】当n≤10时，a n＞b n，可得c n=b n＜c10=a10；当n≥11时，a n≤b n，∴c n=a n＜c10=b10，解出即可得出．【解答】解：当n≤10时，a n＞b n，∴c n=b n＜c10=﹣20+p，∴﹣20+p＞b9=22，解得p＞24；当n≥11时，a n≤b n，∴c n=a n＜c10=b10，∴﹣22+p＜23，解得p＜30．∴p的取值范围是（24，30）．故答案为：（24，30）．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足acosB+bcosA=2ccosC．（1）求C；（2）若△ABC的面积为2，a+b=6，求∠ACB的角平分线CD的长度．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）根据正弦定理将边化角，化简得出cosC；（II）根据三角形的面积公式列方程解出CD．【解答】解：（Ⅰ）∵acosB+bcosA=2ccosC，∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，因为0＜C＜π，所以，故；（Ⅱ）在△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴．∵S△ABC=S△ACD+S△BCD，∴2=a+=（a+b）•CD•sin．解得．18．某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（Ⅰ）分布求出甲乙芯片合格品的频数，然后代入等可能事件的概率即可求解（Ⅱ）（ⅰ）先判断随机变量X的所有取值情况有90，45，30，﹣15．，然后分布求解出每种情况下的概率，即可求解分布列及期望值（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5﹣n件．由题意，得50n﹣10（5﹣n）≥140，解不等式可求n，然后利用独立事件恰好发生k次的概率公式即可求解【解答】解：（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为，芯片乙为合格品的概率约为．…（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15.；；；．X（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5﹣n件．依题意，得50n﹣10（5﹣n）≥140，解得．所以n=4，或n=5．设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A，则．…19．在边长为5的菱形ABCD中，AC=8．现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；（2）若M是AB的中点，求折起后AC与平面MCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取BD中点O，连接OA，OC，利用余弦定理求出AC，利用勾股定理的逆定理得出AO⊥OC，又OA⊥BD，故而AO⊥平面BCD，于是平面ABD⊥平面CBD；（2）以O为原点建立空间坐标系，求出和平面MCD的法向量，则|cos＜，＞|即为AC与平面MCD所成角的正弦值．【解答】证明：（1）取BD中点O，连接OA，OC，则OA=OC=4，∵AD=CD=5，cos∠ADC=．∴AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC=25+25﹣2×=32．∴OA2+OC2=AC2，∴OA⊥OC．∵AB=AD，O是BD的中点，∴OA⊥BD．又BD⊂平面BCD，OC⊂平面BCD，BD∩OC=O，∴OA⊥平面BCD．又OA⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD．解：（2）∵BC=CD，∴OC⊥BD．以O为原点，以OC，OD，OA为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则C（4，0，0），A（0，0，4），D（0，3，0），M（0，﹣，2）．∴=（4，0，﹣4），=（4，﹣3，0），=（4，，﹣2）．设平面MCD的一个法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=3，得=（3，4，9）．∴=﹣24．∴cos＜＞==﹣．∴AC与平面MCD所成角的正弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图所示，设直线l与圆x2+y2=r2（1＜r＜）、椭圆C同时相切，切点分别为A，B，求|AB|的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知得，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能推导出当R→时，|AB|取得最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，∴，解得a=，b=1，∴椭圆方程为=1．（Ⅱ）由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0，设A（x1，y1），B（x0，y0），∵直线l与圆M相切，∴=r，即m2=r2（k2+1），①联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由直线l与椭圆G相切，得△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0，即m2=2k2+1，②由①②得k2=，m2=，设点B（x0，y0），则=，=1﹣=∴|OB|2===3﹣，∴|AB|2=|OB|2﹣|OA|2=3﹣﹣r2=3﹣（r2+）≥3﹣2=3﹣2，∵1，∴1＜r2＜2，∴r2→2时，|AB|取得最大值=．21．已知f（x）=e x﹣ax2﹣2x+b（e为自然对数的底数，a，b∈R）．（Ⅰ）设f′（x）为f（x）的导函数，证明：当a＞0时，f′（x）的最小值小于0；（Ⅱ）若a＞0，f（x）＞0恒成立，求符合条件的最小整数b．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）令g（x）=f'（x）=e x﹣2ax﹣2，求出g'（x）=e x﹣2a，判断导函数的符号，推出单调性，求出原函数的导数的最小值，再构造最小值函数，利用导数求解最小值函数的最大值为负值，说明f'（x）min＜0成立．（Ⅱ）利用f（x）＞0恒成立，等价于f（x）min ＞0恒成立，构造g（x）=f'（x）=e x﹣2ax﹣2，求出导函数g'（x）=e x﹣2a，判断单调性，推出恒成立且求出b的表达式，a的表达式，在构造函数令，判断单调性，求出满足椭圆的b即可．法2：令x=0，得到符合条件的最小整数b=0，然后证明b=0时，f（x）＞0 求f（x）=e x ﹣ax2﹣2x的最小值．令g（x）=f'（x）=e x﹣2ax﹣2，判断g（x）单调性，求解函数，且，在构造函数函数，利用函数的最值，推出b=0是符合条件的．【解答】解：（Ⅰ）证明：令g（x）=f'（x）=e x﹣2ax﹣2，则g'（x）=e x﹣2a，因为a＞0，令g'（x0）=0，x0=ln2a，所以当x∈（﹣∞，ln2a）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（ln2a，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令G（x）=x﹣xlnx﹣2，（x＞0）G'（x）=1﹣（lnx+1）=﹣lnx当x∈（0，1）时，G'（x）＞0，G（x）单调递增当x∈（1，+∞）时，G'（x）＜0，G（x）单调递减所以G（x）max=G（1）=﹣1＜0，所以f'（x）min＜0成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）f（x）＞0恒成立，等价于f（x）min＞0恒成立令g（x）=f'（x）=e x﹣2ax﹣2，则g'（x）=e x﹣2a，因为a＜0，所以g'（x）＞0，所以g（x）单调递增，又g（0）=﹣1＜0，g（1）=e﹣2a﹣2＞0，所以存在x0∈（0，1），使得g（x0）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则x∈（﹣∞，x0）时，g（x）=f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（x0，+∞）时，g（x）=f'（x）＞0，f（x）单调递增；所以恒成立 (1)且 (2)由（1）（2），即可﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又由（2），所以x0∈（0，ln2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令n（x）=，所以，所以m（x）单调递增，m（x）＞m（0）=（﹣1）e0=﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以b＞﹣1，所以符合条件的b=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣法2：令x=0，f（0）=1+b＞0，b＞﹣1，故符合条件的最小整数b=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣现证明b=0时，f（x）＞0 求f（x）=e x﹣ax2﹣2x的最小值即可令g（x）=f'（x）=e x﹣2ax﹣2，则g'（x）=e x﹣2a，因为a＜0，所以g'（x）＞0，所以g（x）单调递增，又g（0）=﹣1＜0，g（1）=e﹣2a﹣2＞0，所以存在x0∈（0，1），使得g（x0）=0，则x∈（﹣∞，x0）时，g（x）=f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（x0，+∞）时，g（x）=f'（x）＞0，f（x）单调递增；所以．（1）且 (2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又由（2），所以x0∈（0，ln2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣现在求函数的范围q（x0）=，，所以，所以p（x）单调递减，p（x）＜p（0）=（﹣1）e0=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以b=0是符合条件的．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，过点P分别做圆O的切线PA、PB和割线PCD，弦BE交CD于F，满足P、B、F、A四点共圆．（Ⅰ）证明：AE∥CD；（Ⅱ）若圆O的半径为5，且PC=CF=FD=3，求四边形PBFA的外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接AB，利用P、B、F、A四点共圆，PA与圆O切于点A，得出两组角相等，即可证明：AE∥CD；（Ⅱ）四边形PBFA的外接圆就是四边形PBOA的外接圆，OP是该外接圆的直径，由切割线定理可得PA，即可求四边形PBFA的外接圆的半径．【解答】（I）证明：连接AB．∵P、B、F、A四点共圆，∴∠PAB=∠PFB．…又PA与圆O切于点A，∴∠PAB=∠AEB，…∴∠PFB=∠AEB∴AE∥CD．…（II）解：因为PA、PB是圆O的切线，所以P、B、O、A四点共圆，由△PAB外接圆的唯一性可得P、B、F、A、O共圆，四边形PBFA的外接圆就是四边形PBOA的外接圆，∴OP是该外接圆的直径．…由切割线定理可得PA2=PC•PD=3×9=27 …∴．∴四边形PBFA的外接圆的半径为．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ和曲线C2：ρcosθ=3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ 长度的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据极坐标和普通坐标之间的关系进行转化求解即可．（Ⅱ）设出直线PQ的参数方程，利用参数的几何意义进行求解即可．【解答】解：（I）C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，…，C2的直角坐标方程为x=3；…（II）设曲线C1与x轴异于原点的交点为A，∴PQ过点A（2，0），设直线PQ的参数方程为，代入C1可得t2+2tcosθ=0，解得，可知|AP|=|t2|=|2cosθ|…代入C2可得2+tcosθ=3，解得，可知…所以PQ=，当且仅当时取等号，所以线段PQ长度的最小值为．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．【考点】函数恒成立问题．【分析】（I）求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m﹣1|≤1，求解m的范围，得到m的最大值M．（II）法一：综合法，利用基本不等式证明即可．法二：利用分析法，证明不等式成立的充分条件即可．【解答】解：（I）由已知可得，所以f min（x）=1，…所以只需|m﹣1|≤1，解得﹣1≤m﹣1≤1，∴0≤m≤2，所以实数m的最大值M=2…（II）法一：综合法∴ab≤1∴，当且仅当a=b时取等号，①…又∴∴，当且仅当a=b时取等号，②…由①②得，∴，所以a+b≥2ab…法二：分析法因为a＞0，b＞0，所以要证a+b≥2ab，只需证（a+b）2≥4a2b2，即证a2+b2+2ab≥4a2b2，，所以只要证2+2ab≥4a2b2，…即证2（ab）2﹣ab﹣1≤0，即证（2ab+1）（ab﹣1）≤0，因为2ab+1＞0，所以只需证ab≤1，下证ab≤1，因为2=a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，所以a+b≥2ab…2016年9月7日。
广东省汕头市潮南区高三5月高考模拟理科数学试卷
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7.难度：简单
如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）
A．84 B．72 C．64 D．56
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8.难度：简单
已知f（x）=x2，g（x）=|x﹣1|，令f1（x）=g（f（x）），fn+1（x）=g（fn（x）），则方程f2015（x）=1解的个数为（ ）
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由上表算得，因此得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
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18.难度：中等
（本小题满分14分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在点，使// 平面？若存在，求出；若不存在，说明理由．
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19.难度：中等
（本小题满分14分）在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(五)数学(理)含答案
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（五）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2|5 A x x x =＞，{}=1,3,7B -，则A B =（ ） A ．{}1-B ．{}7C ．{}1,3-D ．{}1,7-2．已知a b ＞，则条件“0c ≥”是条件“ac bc ＞”的（ ）条件． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的的值为（ ） A ．34B ．78C ．1516D ．31324．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．34D5数()()cos g x A x ωϕ=+图像的一个对称中心可能为（ ）A ．()2,0-B ．()1,0C ．()10,0D ．()14,06．()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A ．-5B ．7C ．-11D ．137．四面体A BCD -中，10AB CD ==，AC BD ==AD BC ==，则四面体A BCD -外接球的表面积为（ ） A ．50πB ．100πC ．200πD ．300π8．已知函数()()sin 2(0)f x x ϕϕ=-+π＜＜的图像向右平移数()g x 的图像关于直线12x π=对称，）A ．725-B ．34-C ．725D ．349．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在ABC △中，点D 满足34BD BC =，当E 点在线段AD 上移动时，若AE AB AC λμ=+，则()221t λμ=-+的最小值是（ ） ABC ．910D ．41811()()()1g x f x k x =-+在(],1-∞恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A ．[)1,3B ．(]1,3C ．[)2,3D ．()3,+∞12．如图，已知抛物线2y =的焦点为F ，直线过点F且依次交抛物线及圆(222x y -+=于A ，B ，C ，D 四点，则4AB CD +的最小值为（ ）A．B．C． D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
广东省汕头市高三数学下学期5月第二次模拟试题 理 新人教A版
理科数学本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式： 棱锥的体积公式sh v 31=，其中S 是棱锥体的底面积，h 为棱锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合U ＝｛1，2，3，4｝，M ＝｛x ｜x 2－5x ＋p ＝0｝，若C U M ＝｛2,3｝，则实数p 的值（ ）A ．－6B ．－4C ．4D ．6 2．从1,2，3,4，5中不放回地依次取2个数，事件A ＝“第1次取到的是奇数”，B ＝“第2次取到的是奇数”，则P （B ｜A ）＝（ ）15A 、 310B 、 25C 、 12D 、3．已知tan 2=-α，那么3sin cos sin cos +-αααα的值为（35A 、- 53B 、-35C 、 53D 、 4．某流程图如图所示，现输入4个函数，则可以输出的函数为（ ）()sin cos A f x x x =+、 ln(1)B x -、2()3C f x x x =+、 ()x x x xe e Df x e e --=+、 5．设()21n a +()2n a ,n ∈N*，n a >0，令lg n n b a =则数列n 为（ ）A ．公差为正数的等差数列B ．公差为负数的等差数列C ．公比为正数的等比数列D ．公比为负数的等比数列6．已知F 1，F 2是双曲线221x y a b-=（a >0，b >0）的左，右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△2ABF 为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A 、2BC 、 3D 7．如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ， PA ＝2AB ，则下列结论正确的是A 、PB ⊥AD B 、平面PAB ⊥平面PBCC 、直线BC ∥平面PAED 、直线PD 与平面ABC 所成的角为45°8．设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数z ＝ax ＋by ，（a >0,b >0）的最大值为12，则23a b+的最小值为（ ）A ． 256B. 83C. 113D. 4二、填空题：（本大共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡的相应位置．）（一）必做题（9-13题）PABCD E F9、20121()1i i-+＝ 。
广东省普通高中2018届高考数学三轮复习冲刺模拟试题(21)201805300323
下学期高二数学5月月考试题01满分150分。
用时120分。
第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和2{|0}N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）2．已知,a b 是实数，则“00a b >>且”是“00a b ab +>>且”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A∩（C R B ）=（ ）A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪（3,4） 4．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是（ ） A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<05．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．1y x =+B ．2y x =- C ．1y x= D ．||y x x =6．函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是（ ） A U NMBM N UC MNU DUN M7．把函数sin(2)6y x π=+的图像向左平移6π个单位，所得图像的函数解析式为（ ）A ．sin(2)3y x π=+B ．sin(2)6y x π=- C ．sin 2y x = D ．cos 2y x =8．实数,a b 满足01a b <<<，则下列不等式正确的是（ ） A ．baa b <B ．bb ab --< C ．ab ab --< D ．b bb a <9．定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =。
广东省汕头市潮南区高考数学5月模拟试卷理(含解析)
广东省汕头市潮南区2015届高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）若复数z=，则z在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合M={x|log2（x﹣1）＜2}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（2，b），则a+b=（）A．4 B．5 C．6 D．73．（5分）通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110由上表算得k≈7.8，因此得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”4．（5分）一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为（）A．12πB．15πC．24πD．36π5．（5分）“m＜2”是“一元二次不等式x2+mx+1＞0的解集为R”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知F是双曲线﹣=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．107．（5分）如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A．84 B．72 C．64 D．568．（5分）已知f（x）=x2，g（x）=|x﹣1|，令f1（x）=g（f（x）），f n+1（x）=g（f n（x）），则方程f2015（x）=1解的个数为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017三、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9．（5分）计算（2x+）dx=．10．（5分）若（2﹣）n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为．11．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，公差d＜0，若S20＞0，S21＜0，当S n取得最大值时，n的值为．12．（5分）给出下列六种图象变换方法：①图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；③图象向右平移个单位；④图象向左平移个单位；⑤图象向右平移个单位；⑥图象向左平移个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y=sinx的图象变换到函数的图象，那么这两种变换的序号依次是（填上一种你认为正确的答案即可）．13．（5分）运行如图所示框图，坐标满足不等式组的点共有个．【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=1，点P是直线l上的一个动点，过点P作曲线C的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为．【平面几何选做题】15．（平面几何选做题）已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD 于D，交半圆O于点E，DE=1，则BC的长为．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边，锐角α的终边与单位圆在第一象限交于点A，且点A的纵坐标为，锐角β的终边与射线x﹣7y=0（x≥0）重合．（1）求tanα和tanβ的值；（2）求2α+β的值．17．（12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由；（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．18．（14分）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．19．（14分）在单调递增数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a2n﹣1，a2n，a2n+1成等差数列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列，n=1，2，3，…．（1）分别计算a3，a5和a4，a6的值；（2）求数列{a n}的通项公式（将a n用n表示）；（3）设数列的前n项和为S n，证明：，n∈N*．20．（14分）如图，椭圆（a＞b＞0）过点，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率，M，N是椭圆右准线上的两个动点，且．（1）求椭圆的方程；（2）求MN的最小值；（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论．21．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且在x=1处的切线与直线x﹣y+1=0平行．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数f（x）的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数g（x）=﹣2lnx，试判断函数g（x）在（1，+∞）上的符号，并证明：lnn+（1+）≤（n∈N*）．广东省汕头市潮南区2015届高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）若复数z=，则z在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数对应点的坐标，则答案可求．解答：解：∵z==，∴z在复平面上对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（5分）已知集合M={x|log2（x﹣1）＜2}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（2，b），则a+b=（）A．4 B．5 C．6 D．7考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，根据M与N交集求出a与b的值，即可求出a+b的值．解答：解：由M中的不等式变形得：log2（x﹣1）＜2=log24，即0＜x﹣1＜4，解得：1＜x＜5，即M=（1，5），∵N=（a，6），且M∩N=（2，b），∴a=2，b=5，则a+b=7．故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110由上表算得k≈7.8，因此得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”考点：独立性检验的应用．专题：计算题．分析：根据列联表数据得到7.8，发现它大于6.635，得到有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”，从而可得结论．解答：解：∵7.8＞6.635，∴有0.01=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”故选C．点评：本题考查独立性检验的应用，考查利用临界值，进行判断，是一个基础题4．（5分）一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为（）A．12πB．15πC．24πD．36π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知该几何体为一个圆锥，底面直径为6，母线长为5，根据圆锥表面积公式求解即可．解答：解：由三视图可知该几何体为一个圆锥，底面直径为6，母线长为5，底面圆的面积S1=π×（）2=9π．侧面积S2=π×3×5=15π，表面积为S1+S2=24π．故选C．点评：本题考查三视图求几何体的表面积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．5．（5分）“m＜2”是“一元二次不等式x2+mx+1＞0的解集为R”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：可得解集为R的充要条件为m2﹣4×1×1＜0，解之由集合的包含关系可得答案．解答：解：“一元二次不等式x2+mx+1＞0的解集为R”的充要条件为△=m2﹣4×1×1＜0，解得﹣2＜m＜2，集合{m|﹣2＜m＜2}是集合{m|m＜2}的真子集，故“m＜2”是“一元二次不等式x2+mx+1＞0的解集为R”的必要不充分条件．故选B点评：本题考查充要条件的判断，涉及一元二次不等式的解集问题，属基础题．6．（5分）已知F是双曲线﹣=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：求出右焦点H 的坐标，由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|，从而求得2a+|AH|的值．解答：解：∵F是双曲线﹣=1的左焦点，∴a=2，b=2，c=4，F（﹣4，0 ），右焦点为H（4，0），由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|=4+=4+5=9，故选 C．点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把|PF|+|PA|化为2a+|PH|+|PA|是解题的关键．7．（5分）如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A．84 B．72 C．64 D．56考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色；A、C 同色两大类解答：解：分两种情况：（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2中颜色中任意取一色）：有4×3×2×2=48种；（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3中颜色中任意取一色）：有4×3×1×3=36种．共有84种，故选：A点评：本题考查了区域涂色、种植花草作物是一类题目．分类要全要细．8．（5分）已知f（x）=x2，g（x）=|x﹣1|，令f1（x）=g（f（x）），f n+1（x）=g（f n（x）），则方程f2015（x）=1解的个数为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用特殊值法分别求出f1（x），f2（x），f3（x），f4（x）的解的个数，从而找到规律，进而求出f2015（x）的解的个数．解答：解：∵f（x）=x2，g（x）=|x﹣1|，∴n=0时：f1（x）=g（x2）=|x2﹣1|，令|x2﹣1|=1，方程f1（x），3=1+2个解，n=1时：f2（x）=g（|x2﹣1|）=||x2﹣1|﹣1|，令||x2﹣1|﹣1|=1，方程f2（x）有4=2+2个解，n=2时：f3（x）=|||x2﹣1|﹣1|﹣1|，令|||x2﹣1|﹣1|﹣1|=1，方程f3（x）有5=3+2个解，n=3时：f4（x）=||||x2﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|，令||||x2﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=1，方程f4（x）有6=4+2个解，…，n=2014时：f2015（x）有2017=2015+2个解，故选：D．点评：本题考查了函数的零点问题，考查了特殊到一般的数学思想，本题属于中档题．三、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9．（5分）计算（2x+）dx=e2．考点：定积分．专题：计算题．分析：先求出被积函数2x+的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可．解答：解：（2x+）dx=（x2+lnx）=e2+lne﹣1﹣ln1=e2故答案为：e2点评：本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数，属于基础题．10．（5分）若（2﹣）n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为﹣160．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项式定理系数的性质，求出n，然后通过二项式定理的通项公式求出常数项即可．解答：解：因为（2﹣）n的展开式的二项式系数之和为64，所以2n=64，所以n=6，由二项式定理的通项公式可知 T r+1=（2）6﹣r（﹣）r=26﹣r（﹣1）r C x3﹣r，当r=3时，展开式的常数项为：23（﹣1）3C=﹣160．故答案为：﹣160．点评：本题是基础题，考查二项式定理系数的性质，通项公式的应用，考查计算能力．11．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，公差d＜0，若S20＞0，S21＜0，当S n取得最大值时，n的值为10．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的求和公式和等差数列的性质结合题意易得数列{a n}前10项均为正数，从第11项开始为负数，可得答案．解答：解：由题意可得S20==10（a1+a20）=10（a10+a11）＞0，S21===21a11＜0，∴a10+a11＞0，a11＜0，∴a10＞0，a11＜0，∴等差数列{a n}前10项均为正数，从第11项开始为负数，∴当S n取得最大值时，n的值为10故答案为：10点评：本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．12．（5分）给出下列六种图象变换方法：①图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；③图象向右平移个单位；④图象向左平移个单位；⑤图象向右平移个单位；⑥图象向左平移个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y=sinx的图象变换到函数的图象，那么这两种变换的序号依次是④②（填上一种你认为正确的答案即可）．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解答：解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位可得函数y=sin（x+）的图象；再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数的图象，故答案为：④②．点评：本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．13．（5分）运行如图所示框图，坐标满足不等式组的点共有2个．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；循环结构．专题：计算题．分析：本题是一个循环结构，由过程可以看出程序共执行6次，然后在把点的坐标代入不等式组进行检验即可解答：解：阅读算法中流程图知输出的（x，y）有（1，1），n=1；（2，2），n=2；（3，3），n=3；；（4，4），n=4；（5，5），n=5；（6，6）n=6结束循环即输出的（x，y）有（1，1）；（2，2）；（3，3）；；（4，4）；（5，5）；（6，6），经检验满足不等式组的有（2，2），（3，3）共2个故答案为：2点评：本题考查循环结构，本题解题的关键是读懂框图，并且能够利用数字进行检验，本题是一个基础题．【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=1，点P是直线l上的一个动点，过点P作曲线C的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：本题考查直线的参数方程程为（t为参数）转化，以及圆C的极坐标方程为ρ=1的转化，是一道基础题目．解答：解：∵直线l的参数方程为（t为参数）∴l：x+y﹣4=0又∵曲线C的极坐标方程为ρ=1∴圆C：x2+y2=1显然过过圆C的圆心（0，0）做直线l：x+y﹣4=0的垂线，垂足为Q，此时|PQ|的值最小∴圆C的圆心（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离d=∴|PQ|=即|PQ|的最小值为故答案为点评：本题的考点是坐标系与参数方程，难点是方程的转化，一道2015届高考常见题型【平面几何选做题】15．（平面几何选做题）已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD 于D，交半圆O于点E，DE=1，则BC的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：连结OC，过E作EF⊥OC于F，连接OE，由已知条件推导出四边形CDEF是矩形，并求出DC和AD的长，由此利用勾股定理能求出BC的长．解答：解：连结OC，过E作EF⊥OC于F，连接OE，∵AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，∴四边形CDEF是矩形，∵DE=1，∴CF=DE=1，∴OF=OC﹣1=﹣1=1，∴CD=EF==，∵CD2=DE•DA，∴DA=3，∴AC2=CD2+AD2=12，∴BC2=AB2﹣AC2=16﹣12=4，∴BC=2．故答案为：2．点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，解题时要注意切害割线定理和勾股定理的合理运用，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边，锐角α的终边与单位圆在第一象限交于点A，且点A的纵坐标为，锐角β的终边与射线x﹣7y=0（x≥0）重合．（1）求tanα和tanβ的值；（2）求2α+β的值．考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由条件得，由α为锐角，可求，即可求得，根据锐角β的终边与射线x﹣7y=0（x≥0）重合，即可求得tanβ的值．（2）由两角和与差的正切函数可求tan（α+β），tan（2α+β）的值，由，y=tanx 在且，可求，，从而可得，即可求2α+β的值．解答：解：（1）由条件得，∵α为锐角，故：cosα＞0且，…（2分）所以…（3分）因为锐角β的终边与射线x﹣7y=0（x≥0）重合，所以…（6分）（2）∵，，∴…（7分）∴…（8分）∵，y=tanx在上单调递增，且，∴，…（10分）同理，∴…（11分）从而…（12分）点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数，任意角的三角函数的定义，属于基本知识的考查．17．（12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由；（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；极差、方差与标准差．专题：综合题；概率与统计．分析：（1）由题设条件先作出茎叶图，再求学生乙成绩中位数．（2）先分别求出，，，，由，＜，得到甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．（3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，则P（A）==，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ服从B（3，），由此能求出ξ的分布列和Eξ．解答：解：（1）茎叶图如下：…（2分）学生乙成绩中位数为84，…（4分）（2）派甲参加比较合适，理由如下：=，==85，…（5分）=+（83﹣85）2+（85﹣85）2+（90﹣85）2+（92﹣85）2+（95﹣85）2]=35.5=+（83﹣85）2+（85﹣85）2+（90﹣85）2+（92﹣85）2+（95﹣85）2]=41，…（7分）∵，＜，∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．…（8分）（3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，则P（A）==，…（9分）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ服从B（3，），∴P（ξ=k）=（）k（1﹣）k﹣3，k=0，1，2，3，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P∴Eξ=np=3×=．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．18．（14分）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系．专题：综合题；空间角．分析：（Ⅰ）取AB中点O，连接EO，DO．利用等腰三角形的性质，可得EO⊥AB，证明边形OBCD为正方形，可得AB⊥OD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面EOD，从而可得AB⊥ED；（Ⅱ）由平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，可得EO⊥平面ABCD，从而可得EO⊥OD．建立空间直角坐标系，确定平面ABE的一个法向量为，，利用向量的夹角公式，可求直线EC与平面ABE所成的角；（Ⅲ）存在点F，且时，有EC∥平面FBD．确定平面FBD的法向量，证明=0即可．解答：（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接EO，DO．因为EB=EA，所以EO⊥AB．…（1分）因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD．…（2分）因为EO∩OD=O所以AB⊥平面EOD．…（3分）因为ED⊂平面EOD所以AB⊥ED．…（4分）（Ⅱ）解：因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB所以EO⊥平面ABCD，因为OD⊂平面ABCD，所以EO⊥OD．由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．…（5分）因为△EAB为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．所以，平面ABE的一个法向量为．…（7分）设直线EC与平面ABE所成的角为θ，所以，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为．…（9分）（Ⅲ）解：存在点F，且时，有EC∥平面FBD．…（10分）证明如下：由，，所以．设平面FBD的法向量为=（a，b，c），则有所以取a=1，得=（1，1，2）．…（12分）因为=（1，1，﹣1）•（1，1，2）=0，且EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD．即点F满足时，有EC∥平面FBD．…（14分）点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，考查线面角，考查利用向量解决线面角问题，确定平面的法向量是关键．19．（14分）在单调递增数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a2n﹣1，a2n，a2n+1成等差数列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列，n=1，2，3，…．（1）分别计算a3，a5和a4，a6的值；（2）求数列{a n}的通项公式（将a n用n表示）；（3）设数列的前n项和为S n，证明：，n∈N*．考点：等差数列与等比数列的综合；数列递推式．专题：计算题；证明题．分析：（1）由a1=1，a2=2，且a2n﹣1，a2n，a2n+1成等差数列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列递推可得a3=3，a5=6，，a6=8．（2）由（1）猜想出通项公式，再用数学归纳法证明，要注意递推的严密性，（3）由（1）求得，用数学归纳法证明．解答：解：（1）由已知，得a3=3，a5=6，，a6=8．（2分）（2），，，；，，，．∴猜想，，n∈N*，（4分）以下用数学归纳法证明之．①当n=1时，a2×1﹣1=a1=1，，猜想成立；②假设n=k（k≥1，k∈N*）时，猜想成立，即，，那么，．∴n=k+1时，猜想也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n∈N*，猜想成立．（6分）∴当n为奇数时，；当n为偶数时，．即数列{a n}的通项公式为．（9分）（3）由（2），得．以下用数学归纳法证明，n∈N*．①当n=1时，；当n=2时，．∴n=1，2时，不等式成立．（11分）②假设n=k（k≥2）时，不等式成立，即，那么，当k为奇数时，=；当k为偶数时，=．∴n=k+1时，不等式也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n∈N*，不等式成立．（14分）点评：本题主要考查等差数列、等比数列、递推数列的有关概念，考查归纳推理、数学归纳法、分类讨论、不等式的放缩等重要数学思想方法，并对学生的创新意识、推理论证能力、运算求解能力进行了考查．20．（14分）如图，椭圆（a＞b＞0）过点，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率，M，N是椭圆右准线上的两个动点，且．（1）求椭圆的方程；（2）求MN的最小值；（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：（1）因为：，且过点，列出关于a，b的方程，解得a，b．最后写出椭圆方程即可；（2）设点M（4，y1），N（4，y2）写出向量的坐标，利用向量的数量积得到y1y2=﹣15，又，结合基本不等式即可求得MN的最小值；（3）利用圆心C的坐标和半径得出圆C的方程，再令y=0，得x2﹣8x+1=0从而得出圆C过定点．解答：解：（1）∵，且过点，∴解得∴椭圆方程为．（4分）（2）设点M（4，y1），N（4，y2）则，，∴y1y2=﹣15，又∵，∴MN的最小值为．（3）圆心C的坐标为，半径．圆C的方程为，整理得：x2+y2﹣8x﹣（y1+y2）y+16+y1y2=0．∵y1y2=﹣15，∴x2+y2﹣8x﹣（y1+y2）y+1=0令y=0，得x2﹣8x+1=0，∴．∴圆C过定点．点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、圆与圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．21．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且在x=1处的切线与直线x﹣y+1=0平行．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数f（x）的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数g（x）=﹣2lnx，试判断函数g（x）在（1，+∞）上的符号，并证明：lnn+（1+）≤（n∈N*）．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据极值的信息，则选用导数法，先求f'（x），再由f（x）有极值，可有=a2﹣4b＞0，又由在x=﹣1处的切线与直线x﹣y+1=0平行，可得f'（﹣1）=1﹣a+b=1从而求解．（Ⅱ）存在．令f′（x）=0得到函数的两个稳定点，然后分区间讨论函数的增减性，得到函数的极小值令其等于1，讨论得到a的值存在，求出a即可；（Ⅲ）求得g（x）=x﹣﹣2lnx，利用导数工具g（x）在（1，+∞）上是增函数，故g（x）＞g（1）=0，设x=，则g（）=﹣﹣2ln=1+﹣1+﹣2[ln（n+1）﹣lnn]=+﹣2[ln（n+1）﹣lnn]＞0，即+＞2[ln（n+1）﹣lnn]，再利用累加法进行证明即可．解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=x2+2ax﹣b，∴f′（1）=1+2a﹣b，又因为函数在x=1处的切线与直线x﹣y+1=0平行，所以在x=1处的切线的斜率等于1，∴f′（1）=1∴b=2a①∵f（x）有极值，故方程f′（x）=x2+2ax﹣b=0有两个不等实根∴△=4a2+4b＞0∴a2+b＞0②由①．②可得，a2+2a＞0∴a＜﹣2或a＞0故实数a的取值范围是a∈（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）（（Ⅱ）存在a=﹣…（5分）由（1）可知f′（x）=x2+2ax﹣b，令f′（x）=0∴x1=﹣a﹣，x2=﹣a+∴f（x）极小=f（x2）=x23+ax22﹣2ax2+1=1，∴x2=0或x22+3ax2﹣6a=0若x2=0，则﹣a+=0，则a=0（舍），若x22+3ax2﹣6a=0，又f′（x2）=0，∴x22+2ax2﹣2a=0，∴ax2﹣4a=0∵a≠0∴x2=4∴﹣a+=4，∴a=﹣＜2∴存在实数a=﹣，使得函数f（x）的极小值为1．（Ⅲ）由g（x）=﹣2lnx=﹣2lnx=x﹣﹣2lnx 故g′（x）=1+==＞0，则g（x）在（1，+∞）上是增函数，故g（x）＞g（1）=0，所以，g（x）在（1，+∞）上恒为正．当n是正整数时，＞1，设x=，则g（）=﹣﹣2ln=1+﹣1+﹣2[ln（n+1）﹣lnn]=+﹣2[ln（n+1）﹣lnn]＞0，即+＞2[ln（n+1）﹣lnn]上式分别取n的值为1、2、3、…、n﹣1（n＞1）累加得：（）+（）+（）+…+＞2[ln2﹣ln1+ln3﹣ln2+ln4﹣ln3+…lnn﹣ln（n﹣1）]∴1+2（）＞2lnn2（1+）＞2lnn+1+∴1+）＞lnn+（1+）即lnn+（1+）＜，（n＞1）又当n=1时，lnn+（1+）=，故ln n+（1+）≤，当且仅当n=1时取等号．点评：考查学生利用导数研究函数性质的能力，以及转化，特值构造证明不等式．。
2018届广东省汕头市潮南区高三5月高考模拟理科综合试
高三理科综合试题一、单项选择题：（共16小题，每小题4分，共64分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题目要求，选对的得4分，多选、选错或不答的得0分．）1．关于细胞内以下过程的描述正确的是A．能够在生物膜上完成的过程是2、5、6、7、8B．过程3、4都是以基因为单位进行的，都需要酶的催化C．图中7过程需要1过程的参与，而8过程中同时进行了2过程D．在绿色植物的叶肉细胞内，线粒体通过2过程合成的ATP 比叶绿体通过2过程合成的ATP用途单一2.下列与细胞衰老和凋亡有关的叙述不正确．．．的是A．人体皮肤上的“老年斑”是细胞衰老的产物B．衰老细胞的清除可通过细胞凋亡，也可通过免疫系统来实现C．细胞衰老染色体固缩，会影响细胞中基因的表达D．老年人头发变白是因为细胞中不能合成酪氨酸酶,黑色素无法合成3．重症肌无力是由于正常机体在受到某种抗原感染后，产生的抗体破坏了神经—肌肉突触后膜的受体蛋白而引起的一种自身免疫病，下列相关叙述错误．．的是A．受刺激后，患者的神经—肌肉突触前膜能分泌神经递质B．受刺激后，患者的神经—肌肉突触后膜难以产生动作电位C．受刺激后，神经—肌肉突触前膜完成了化学信号→电信号的转变D．适当注射药物抑制抗体产生，可以缓解重症肌无力的症状4.下图是蛋白质合成的示意图， a、b、c表示相应物质，①和②表示相应过程，下列叙述错误．．的是A．b 从细胞核转移到核糖体上需通过核孔B．一种 c 物质可以转运多种氨基酸C．要完成②过程，核糖体必须沿着 b 运行D．①过程必须有 RNA 聚合酶的催化5.下图是探究诱导植物根愈伤组织分化因素的实验示意图，据图判断下列说法错误．．的是A ．实验①中生长素可以渗入根的愈伤组织B ．本实验体现了对照原则和单一变量原则C ．根愈伤组织分化是由实验①中根产生的“某物质”直接诱导D ．实验②④分别排除了玻璃纸和琼脂块对实验的干扰6.图6为细胞分裂某阶段的模式图。
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(五)理科数学含答案解析
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(五)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:12p x -<<，2:log 1q x <，则p 是q 成立的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．既不充分有不必要 D ．充要【答案】B【解析】2:log 102q x x <⇒<<，因为()()0,21,2⊂-，所以p 是q 成立的必要不充分条件，选B ． 2．已知复数11i z a =+，232i z =+，a ∈R ，i 是虚数单位，若12z z ⋅是实数，则a =（ ）A ．23-B ．13-C ．13D ．23【答案】A【解析】复数11i z a =+，232i z =+，()()()()121i 32i 32i 3i 23223i z z a a a a a ⋅=++=++-=-++．若12z z ⋅是实数，则230a +=，解得23a =-．故选A ．3．下列函数中既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的函数是（ ）A ．()22xxf x -=- B ．()21f x x =-C ．()12log f x x = D ．()sin f x x x =【答案】B【解析】A 是奇函数，故不满足条件；B 是偶函数，且在()0,+∞上单调递增，故满足条件；C 是偶函数，在()0,+∞上单调递减，不满足条件；D 是偶函数但是在()0,+∞上不单调．故答案为B ．4．已知变量x ，y 之间满足线性相关关系 1.31ˆyx =-，且x ，y 之间的相关数据如下表所示：则m =（ ） A ．0.8 B ．1.8 C ．0.6 D ．1.6【答案】B【解析】，代入线性回归方程为 1.31ˆyx =-，可得 0.1 3.144 2.25m ∴+++=⨯， 1.8m ∴=，故选B ．5．若变量x ，y 满足约束条件00340x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≥≤，则32x y +的最大值是（ ）A ．0B ．2C ．5D ．6【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点()1,1A 处取得最大值，max 3231215z x y =+=⨯+⨯=．本题选C ．6．已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且124a a a 、、成等比数列，则1143a a a +=（ ） A ．2B ．3C ．5D ．7【答案】C【解析】由124a a a 、、成等比数列得2214a a a =，()()21113a d a a d ∴+=+，21d a d ∴=，0d ≠，1d a ∴=，C ． 7．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ） A ．58 B ．59C ．60D ．61【答案】C【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-（8+6+5）+1=60． 故选C ．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A．2+B．2+ C．2+ D．8+【答案】A【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥P ABC -，其中三棱锥的高为2，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，表面积为A ．9，则()1πf x dx -=⎰（ ）A ．2π+ C D【答案】Dπ24dx =-，故选D ．10．已知A ，B 是函数2x y =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B ．(),2-∞-C ．()1,-+∞D ．()2,-+∞【答案】B【解析】设(),2a A a ，(),2b B b ，则112222a b -=-，因为a b ≠，所以221a b +=，由基本不等式有222a b +>，故21<，所以2a b +<-，选B ．11．在三棱锥A BCD-中，1AB AC ==，2DB DC ==，AD BC ==A BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．π B ．4πC ．7πD ．9π【答案】C【解析】该三棱锥的图象如图所示，由1AB AC ==，2DB DC ==，AD BC ==AB AD ⊥，AC AD ⊥，易证AD ⊥平面ABC ．在ABC △中，由余弦定理可得，即120BAC ∠=︒，以AC 为x 轴，以AD 为z 轴建立如图所示的坐标系，则()000A ，，，102B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()100C ，，，(00D ，设三棱锥A BCD -的外接球球心为(),,M x y z ，则()(222222222222112x y z x y z x y z x y z ⎛⎛⎫++=++-+=-++=++- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，3y =，3z =2227r x y z =++=∴外接球的表面积为24π7πS r ==，故选C ．12．在等腰梯形ABCD 中//AB CD ，且2AB =，1AD =，2CD x =，其中()0,1x ∈，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意()0,1x ∈都t 的最大值为（ ）A ．74B ．38C ．58D ．54【答案】C【解析】如图，过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，则1A E x =-，1EB x =+，所以DE =DB =所以1，2e ==，所以1212e e +=，令1t =，则121e e t t +=+，因t ⎛∈ ⎝⎭，故12e e +>C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 2c B a b =+，则C ∠=_________． 【答案】120︒【解析】∵2cos 2c B a b =+，∴222222a c b c a b ac +-⨯=+，即222a b c ab +-=-， ∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴120C =︒． 14．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为__________．【答案】138【解析】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知：当1x =，1y =时，220z x y =+=<，1x =，2y =，运算程序依次继续：320z x y =+=<，2x =，3y =；520z x y =+=<，3x =，5y =；820z x y =+=<，5x =，8y =；1320z x y =+=<，8x =，13y =；2120z x y =+=>，138y x =运算程序结束，输出138，应填答案138． 15．在ABC △中，22CA CB ==，1CA CB ⋅=-，O 是ABC △的外心，若CO xCA yCB =+，则x y +=______________． 【答案】136【解析】由题意可得：120CAB ∠=︒，2CA =，1CB =，则：()24CO CA xCA yCB CA xCA yCB CA x y ⋅=+⋅=+⋅=-， ()2CO CB xCA yCB CB xCA CB yCB x y ⋅=+⋅=⋅+=-+，如图所示，作OE BC E ⊥=，OD AC D ⊥=，则212CO CA CA ⋅==，21122CO CB CB ⋅==，42x y -=⎧x ⎧⎪136x y +=．16．已知函数()f x 满足()()2f x f x =，且当[)1,2x ∈时()ln f x x =．若在区间[)1,4内，函数()()2g x f x ax=-有两个不同零点，则a 的范围为__________． 【解析】()()2f x f x =，()2x f x f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，当[)2,4x ∈时，，故函数()[)[)ln ,12ln ln 2,24x x f x xx ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，，，作函数()f x 与2y ax =的图象如下，过点()4,ln 2时，ln 28a ∴=，ln ln 2y x =-，1y x '=，故2e >4x =，故实数a三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分． 17．已知在ABC △中，2B A C =+，且2c a =． （1）求角A ，B ，C 的大小；（2）设数列{}n a 满足n 项和为n S ，若20n S =，求n 的值． 【答案】（1π3B =，π2C =；（2）4n =或5n =． 【解析】（1）由已知2B A C =+，又πA B C ++=，所以2c a =， 222c a b =+，ππππ（2 ，*k ∈N ，由2224203k n S +-==，得22264k +=，所以226k +=，所以2k =，所以4n =或5n =． 18．某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：（1）求m 的值；并且计算这50名同学数学成绩的样本平均数x ；（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在[]130,150的同学中选出3位作为代表进行座谈，记成绩在[]140,150的同学人数位ξ，写出ξ的分布列，并求出期望． 【答案】（1）0.008m =（2）见解析．【解析】（1）由题()0.0040.0120.0240.040.012101m +++++⨯=，解得0.008m =，1350.012101450.00810121.8⨯⨯+⨯⨯=．（2）成绩在[)130,140的同学人数为6，成绩在[)140,150人数为4，所以ξ的分布列为：19．如图，多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，CDEF 是梯形，//EF CD ，12EF CD =，DE ⊥平面ABCD 且DE DA =，M N 、分别为棱AE BF 、的中点．（1）求证：平面DMN ⊥平面ABFE ；（2）求平面DMN 和平面BCF 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2．【解析】（1）∵//EF CD ，ABCD 是正方形，∴//EF AB ，∵M N 、分别为棱AE BF 、的中点，∴//MN AB ， ∵DE ⊥平面ABCD ，∴DE AB ⊥，∵AB AD ⊥，AD DE D =， ∴AB ⊥平面ADE ，∴AB AE ⊥，从而MN AE ⊥， ∵DE DA =，M 是AE 中点，∴DM AE ⊥， ∵MNDM M =，∴AE ⊥平面DMN ，又AE ⊂平面ABFE ，∴平面DMN ⊥平面ABFE ．（2）由已知，DA ，DC ，DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -， 设2AD =，则()2,0,0A ，()0,0,2E ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,1,2F ， ∴()2,0,0CB =，()0,1,2CF =-，设平面BCF 的一个法向量为(),,n x y z ，由00n CB n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y z =⎧⎨-+=⎩，令2y =，则()0,2,1n =， 由（1）可知AE ⊥平面DMN ，∴平面DMN 的一个法向量为()2,0,2AE =-，设平面DMN 和平面BCF 所成锐二面角为θ10cos<>nAE ⋅=所以，平面DMN 和平面BCF ．20．已知椭圆1C ：22221x y a b+= (0)a b >>，焦距为，抛物线2C ：22x py =(0)p >的焦点F 是椭圆1C 的顶点．（1）求1C 与2C 的标准方程；（2）1C 上不同于F 的两点P ，Q 满足0FP FQ ⋅=，且直线PQ 与2C 相切，求FPQ △的面积．【答案】（1）221124x y +=，28x y =；（2）1835．【解析】（1）设椭圆1C 的焦距为2c ，依题意有2c =，3c a =， 解得a =2b =，故椭圆1C 的标准方程为221124x y +=． 又抛物线2C ：22(0)x py p =>开口向上，故F 是椭圆1C 的上顶点，()0,2F ∴，4p ∴=，故抛物线2C 的标准方程为28x y =．（2）显然，直线PQ 的斜率存在．设直线PQ 的方程为y kx m =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,2FP x y =-，()22,2FQ x y =-，()121212240FP FQ x x y y y y ∴⋅=+-++=，即()()()22121212440k x x km k x x m m ++-++-+=()*，y 整理得，()()2223163120**k x kmx m +++-=．依题意1x ，2x ，是方程()**的两根，2214412480k m ∆=-+>，122631kmx x k -∴+=+，212231231m x x k -⋅=+， 将12x x +和12x x ⋅代入()*得220m m --=， 解得1m =-，（2m =不合题意，应舍去）联立218y kx x y=-⎧⎨=⎩，消去y 整理得，2880x kx -+=，令264320k '∆=-=，解得212k =． 经检验，212k =，1m =-符合要求．21．已知函数()2ln f x x x =-．（1）求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）在函数()2ln f x x x =-的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上．若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y x =；（2()1,1．【解析】（1）∵()11f =x，∴()1211f '=-=， 故所求切线方程为()111y x -=⨯-即y x =．（2）设所求两点为()11,x y ，()22,x y ，1x ，21,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不妨设12x x <，由题意：121211221x x x x ⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又12x x <，∴()()12f x f x ''<，∴解得：112x =，（11x =-舍），21x =，（212x =-舍） ()1,1即为所求．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1lt 为参数），直线2l的参数程为m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C ． （1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为Q 为曲线1C 的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最小值．【答案】（1）1C 的普通方程为()22103x y y +=≠；（2）d的最小值为【解析】（1）将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程；(1:3l y k x =+，①)21:33l y x k=，②①×②消k 可得：2213x y +=，因为0k ≠，所以0y ≠，所以1C 的普通方程为()22103x y y +=≠．（2）直线2C 的直角坐标方程为：80x y +-=． 由（1）知曲线1C 与直线2C 无公共点，由于1Ca 为参数，πa k ≠，k ∈Z ），所以曲线1C80x y +-=的距离为：d的最小值为23（1）当2a= （2M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|0x x ≤或1}x ≥；（2）14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，所以0x ≤；②当23x <<时，原不等式可化为3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x <≤．③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥，解得1x ≥，所以2x ≥， 综上所述，当2a =时，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥． （2）不等式()13x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤， 依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即11a x a -+≤≤，所以a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。
广东省汕头市潮南区2018届高考(5月)冲刺数学理试题 含
汕头市潮南2018高考冲刺试卷数 学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．设集合{|(3)(6)0}A x x x =+-≥R ()A B =ð A ．(3,6)-B ．[6,)+∞C ．(3,2]--D ．(,3)(6,)-∞-+∞2．i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ． 第四象限3．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A ．215π B ．320π C ．2115π- D ．3120π- 4. 在如图所示的框图中，若输出360S =，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 A ．2?k > B ．2?k < C ．3?k > D ．3?k <5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数列，则42S S = A ．3 B ．9 C ．10 D ．136．已知直线20x y a -+=与圆O ：222x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），则“a =0OA OB ⋅=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x>则(1)(2)(3)(2020)f f f f +++⋅⋅⋅+= A ．2log 5B ．2log 5-C ．2-D ．08．将函数()=2sin(2+)3f x x π图像上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()g x 的图像，()g x 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为 A ．24x π=-B ．4x π=C ．524x π=D ．12x π= 9．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-a y y x y x 41，目标函数y x z 23-=的最小值为4-，则a 的值是A ．1B ．0C ．1-D ．1210．如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π11．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ， 1AA l ⊥于点1A ，若四边形1AACF的面积为l 的方程为A．x =．x =-．2x =- D ．1x =-12．已知A ，B 是函数2e ,()()(2),()x a x a f x f a x x a -⎧-≥=⎨-<⎩（其中常数0a >）图象上的两个动点，点(),0P a ，若PA PB ⋅的最小值为0，则函数()f x 的最大值为（ ）A ．21e -B ．1e-C．-D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．已知向量a ，b 满足||5b =，||4a b +=，||6a b -=，则向量a 在向量b 上的投影为 ．14．已知5()(21)a x x x+-展开式中的常数项为30，则实数a = ．15．定义12nn p p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则122320172018111b b b b b b +++= ．16．已知三棱锥A BCD -中，3,1,4,2A B A D B C B D ====当三棱锥A BCD -的体积最大时，其外接球的体积为 ． 三、解答题：17．（本小题满分12分）ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知cos b A c =．（1）求cos B ；（2）如图，D 为ABC ∆外一点，若在平面四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，BC =AB 的长．18. （本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，6AB =，BC =AC =,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2AD DB =，2CE EB =，PD AC ⊥.（1）求证：PD ⊥平面ABC ； （2）若PA 与平面ABC 所成的角为4π，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角.19．（本小题满分12分）为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.CAB D（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位） （2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布2(,)N u σ（0u u =， σ约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%. （ⅰ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位） （ⅱ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y ．（说明：()111()x uP X x φσ->=-表示1X x >的概率.参考数据：(0.7257)0.6φ=,(0.6554)0.4φ=）20.（本小题满分12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于B A ,两点，抛物线C 在B A ,两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4. (1)求抛物线C 的方程；(2)设N M ,是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足OB OA ON OM k k k k ⋅=⋅，求OM N ∆面积的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数2()ln (R)f x x ax x a =++∈. （1）讨论函数()f x 在[1,2]上的单调性； （2）令函数12()()x g x ex a f x -=++-， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数，若函数()g x 有且只有一个零点m ，判断m 与e 的大小，并说明理由.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：22x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线:2sin C ρθ=． （1）求直线的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）记射线0,02θαραπ⎛⎫=≥<< ⎪⎝⎭与直线和曲线C 的交点分别为点M 和点N （异于点O ），求ON OM的最大值．23．已知函数()1f x x =-．（1）解关于x 的不等式()21f x x ≥-；（2）若关于x 的不等式()21f x a x x <-++的解集非空，求实数a 的取值范围．.汕头市潮南2018高考冲刺试卷(理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． C B C D C A B A C C A B 12【答案】B【解析】由题2e ,()()e ,()x a x x a f x x a --⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，当点A ，B 分别位于分段函数的两支上，且直线PA ，PB 分别与函数图像相切时，PA PB ⋅最小，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当x a ≥时，2()e x a f x -'=-，121()e x a f x -'=-，直线11221:e e ()x a x a PA y x x --+=--，因为点(,0)P a 在直线直线PA 上，112210e e ()x a x a a x --∴+=--，解得11x a =+，同理可得21x a =-，则1(1,e )a A a -+-，1(1,e )a B a ---，112(1)(1,e )(1,e )1e 0a a a PA PB A ---∴⋅=---=--=，1a ∴=2e ,(1)()e ,(1)x x x f x x --⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，且函数在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递见，故函数()f x 的最大值为1e-．故选B ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1- 14．3 15．20172018 16．1256π 三、解答题：17. （本小题满分12分）解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理得sin cos sin B A A C =， ………………2分 又()C A B π=-+，所以sin cos sin()B A A A B +=+，故sin cos sin cos cos sin 3B A A A B A B +=+，…………………………………4分所以sin cos A B A =，又(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，故cos B =6分（2）2D B ∠=∠，21cos 2cos 13D B ∴=-=-………………………………………7分又在ACD ∆中， 1AD =， 3CD = ∴由余弦定理可得22212cos 1923()123AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴AC = ………………………………………………………………………………9分在ABC ∆中， BC = AC = cos B =， ∴由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =-+⋅，即21262AB AB =+-⋅260AB --=，解得AB =故AB 的长为12分18．（本小题满分12分）解:（1）证明：连接DE ，由题意知,2,4==BD AD.90,222 =∠∴=+ACB AB BC AC …………………………………………………（2分）.33632cos ==∠ABC .8cos 322212222=∠⨯⨯-+=∴ABC CD .22=∴CD 222AC AD CD =+∴,则AB CD ⊥,…………………………………（4分）又因为ABC PAB 平面平面⊥，所以,,PD CD PAB CD ⊥∴⊥平面 因为AC PD ⊥，CD AC ,都在平面ABC 内，所以⊥PD 平面ABC ……………………………………………………………………（6分） （2）由（1）知,,PD CD AB 两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系D xyz -，且PA 与平面ABC 所成的角为4π，有4=PD ，……………………………………………（7分）则)4,0,0(),0,2,0(),0,0,22(),0,4,0(P B C A -∴)4,4,0(),0,4,22(),0,2,22(--==-=因为,//,2,2AC DE EB CE DB AD ∴==………………………………（8分） 由（1）知,BC AC ⊥⊥PD 平面ABC ，∴ CB ⊥平面DEP ∴)0,2,22(-=CB 为平面DEP 的一个法向量.设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥,,PA n AC n∴⎩⎨⎧=--=+0440422z y y x ，令1=z ，则1,2-==y x ，∴)1,1,2(-=为平面PAC 的一个法向量.……………………………（10分）∴.2312424,cos -=⋅-->=<…………………………（11分）故平面PAC 与平面PDE 的锐二面角的余弦值为23, 所以平面PAC 与平面PDE 的锐二面角为 30…………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ …3分（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为1x ， 根据题意，111103()1()1()0.419.3x ux P x x φφσ-->=-=-=，即1103()0.619.3x φ-=. 由(0.7257)0.6φ=得，111030.7257117.011719.3x x -=⇒=≈，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分. …………7分 （ⅱ）因为(45)2,Y B ～，4423()55()()i i iP Y i C -∴==，0,1,2,3,4i =.所以Y 的分布列为…………………………………………………………………10分所以()45528E Y =⨯=. …………………………12分20．（本小题满分12分） 解：(1)依题意得),2(),,2(p pB p p A -， 由px y 2=，得pxpy 2='，………………………………………………………………1分 ∴抛物线C 在A 处的切线斜率为1，由抛物线C 的对称性，知抛物线C 在B 处的切线斜率为1-，……………………………2分抛物线在A 处的切线方程为2px p y -=-……………………………3分 令y=0,得2-p x = ∴S=4221=⋅⋅p p ，解得2=p . ∴抛物线C 的方程为x y 42=.…………………………………………………5分(2)由已知可得4-=⋅O B O A k k ，………………………………………………6分设),,41(),,41(222121y y N y y M 则416222121-=⋅=⋅y y y y k k ON OM ，∴421-=y y .…………7分令直线MN 的方程为n ty x +=，联立方程组⎩⎨⎧+==nty x x y ,42消去x 得0442=--n ty y ，……………………………8分则t y y n y y 4,42121=+-=， ∵421-=y y ，∴1=n .∴直线MN 过定点（1，0）……………………………9分 ∴121616214)(2121222122121+=+=-+=-=∆t t y y y y y y S OMN .…………11分 ∵02≥t ，∴2≥∆OMN S .综上所示，OMN ∆面积的取值范围是),2[+∞.……………………………………12分 21．（本小题满分12分）解：（1）由已知0x >，且2121()2x ax f x x a x x++'=++=①当280a ∆=-≤时，即当a -≤≤()0f x '≥则函数()f x 在[1,2]上单调递增…………………………………………………………1分 ②当280a ∆=->时，即a <-a >2210x ax ++=有两个根，4a x -=，因为0x >，所以4a x -+=1°当14a -≤时，令(1)30f a '=+≥，解得3a ≥- ∴当3a -≤<-a >()f x 在[1,2]上单调递增…………………3分2°当124a -<<时，令(1)30f a '=+<，9(2)02f a '=+>， 解得932a -<<- ∴当932a -<<-时，函数()f x在[1,4a -上单调递减，在[4a -上单调递增；…………………5分 32≥时，令9(2)02f a '=+≤，解得92a ≤- ∴当92a ≤-时，函数()f x 在[1,2]上单调递减； ……………………………………6分 （2）函数121()()ln x x g x e x a f x e x ax a --=++-=--+ 则11()()x g x e a h x x-'=--= 则121()0x h x e x -'=+>，所以()g x '在(0,)+∞上单调增 当0,(),,()x g x x g x →→-∞→+∞→+∞，所以()R g x '∈所以()g x '在(0,)+∞上有唯一零点1x当11(0,),()0,(,),()0x x g x x x g x ''∈<∈+∞>，所以1()g x 为()g x 的最小值由已知函数()g x 有且只有一个零点m ，则1m x =所以()0,()0,g m g m '==则1110ln 0m m e a m e m am a --⎧--=⎪⎨⎪--+=⎩…………………………………9分 则11111ln ()()0m m m e m e m e m m ------+-=，得11(2)ln 0m m m e m m----+= 令11()(2)ln (0)x x p x x e x x x --=--+>，所以()0,p m =则121()(1)()x p x x e x-'=-+，所以(0,1),()0,(1,),()0x p x x p x ''∈>∈+∞< 所以()p x 在(1,)+∞单调递减， 因为1111(1)10,()(2)1(2)0e e e p p e e e e e e e---=>=--+=--< 所以()p x 在(1,)e 上有一个零点，在(,)e +∞无零点所以m e < …………………………………………………………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．22．【解析】（1）由题意得直线l 的普通方程为：4x y +=， 所以其极坐标方程为：4sin cos ρθθ=+． 由2sin ρθ=得：22sin ρρθ=，所以222x y y +=，所以曲线C 的直角坐标方程为：2220x y y +-=．（2）由题意2sin ON α=，4sin cos OM αα=+，所以2sin sin cos 12244ON OM αααα+π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭， 由于02απ<<，所以当38απ=时，ON OM． 23．【解析】（1）由题意()22211111f x x x x x x ≥-⇔-≥-⇔-≥-或211x x -≤-，所以220x x +-≥或20x x -≥，即2x ≤-或1x ≥，或1x ≥或0x ≤， 故原不等式的解集为{}01x x x ≤≥或．（2）()22111f x a x x a x x x <-++⇔>+--+， 由于211x x x +--+2222,12,112,1x x x x x x x ⎧+<-⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，所以当1x =时，211x x x +--+的最小值为1-．所以实数a 的取值范围为()1,-+∞．。
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【全国校级联考】广东省汕头市潮南区2018届高考
(5月)冲刺数学（理）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 设集合，则 ( ) A．B．C．D．
2. 在复平面内，复数是虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( )
A．B．C．D．
4. 在如图所示的框图中，若输出，那么判断框中应填入的关于的判断条件是( )
A．B．C．D．
5. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，
成等差数列，则( )
A．3 B．9 C．10 D．13
6. 已知直线与圆相交于A，B两点(O为坐标原点)，
则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7. 已知定义域为R的奇函数，当时，满足
，则
A．B．C．D．0
8. 将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，
纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到数学函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（）
A．B．C．D．
9. 设变量满足约束条件，目标函数的最小值为，则的值是( )
A．1 B．0 C．-1
D．
10. 如图所示的三视图表示的几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为
A．B．C．D．
11. 已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，且
，抛物线的准线与轴交于点，于点，若四边形
的面积为，则准线的方程为（）
A．B．C．D．
12. 已知是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为( )
A．B．C．D．
二、填空题
13. 已知向量满足，，，则向量在向量上的投影为_____________．
14. 已知展开式中的常数项为，则实数_____________．
15. 定义为个正数的“均倒数”，若已知数列
的前项的“均倒数”为，又，则
___________．
16. 已知三棱锥中，，当三棱锥
的体积最大时，其外接球的体积为__________．
三、解答题
17. 的内角、、的对边分别为、、，已知.
（1）求；
（2）如图，为外一点，若在平面四边形中，，且，，，求的长.
18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，
，，，分别为线段，上的点，且，
，.
(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角．
19. 为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）
（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布
（，约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占；
（i）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）
（ii）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为，求的分布列及数学期望.（说明
表示的概率.参考数据：，
）
20. 已知抛物线的焦点为，过点垂直于轴的直线与抛物线相交于两点，抛物线在两点处的切线及直线所围成的三角形面积为.
(1)求抛物线的方程；
(2)设是抛物线上异于原点的两个动点，且满足
，求面积的取值范围.
21. 已知函数.
（1）讨论函数在定义域上的单调性；
（2）令函数，是自然对数的底数，若函数有且只有一个零点，判断与的大小，并说明理由.
22. [选修4–4：极坐标和参数方程选讲]
在平面直角坐标系中，直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线：.
(Ⅰ)求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；
(Ⅱ) 记射线与直线和曲线的交点分别为点和点（异于点），求的最大值.
23. 已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.。