数列题型及解题方法归纳总结
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知识框架
掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法
1、求通项公式
（1）观察法。（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为a
n+1=a
n
+d及a
n+1
=qa
n
（d，q为常数）
例1、? 已知{a
n }满足a
n+1
=a
n
+2，而且a
1
=1。求a
n
。
例1、解? ∵a
n+1-a
n
=2为常数∴{a
n
}是首项为1，公差为2
的等差数列
∴a
n
=1+2（n-1）即a
n
=2n-1
例2、已知{}
n
a满足
1
1
2
n n
a a
+
=，而
1
2
a=，求
n
a=？
（2）递推式为a
n+1
=a
n
+f（n）
例3、已知{}
n
a中
1
1
2
a=，
12
1
41
n n
a a
n
+
=+
-
，求
n
a.
解：由已知可知
)1
2
)(1
2(
1
1-
+
=
-
+n
n
a
a
n
n
)
1
2
1
1
2
1
(
2
1
+
-
-
=
n
n
令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a
2
-a
1
）
+（a
3
-a
2
）+…+（a
n
-a
n-1
）
★说明 ?只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，
就可以由a
n+1
=a
n
+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得
n-1个等式累加而求a
n
。
(3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数） 例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a . 解法一： 由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1）
因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4
∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3a n +2? ∴3a n +2-a n =4·3n-1 即 a n =2·3n-1-1
解法二： 上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2，
把
n-1
个
等
式
累
加
得
： ∴an=2·3n-1-1
(4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数）
)(3211-+-=
-n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )3
2(23-= ∴n n n
n n b a )31(2)21(32
-==
(5)递推式为21n n n a pa qa ++=+
思路：设21n n n a pa qa ++=+,可以变形为：
211()n n n n a a a a αβα+++-=-，
想
于是{a n+1-αa n }是公比为β的等比数列，就转化为前面的
类型。
求n a 。
(6)递推式为S n 与a n 的关系式
关
系；（2）试用n 表示a n 。
∴
)2121(
)(1
2
11--++-+-=-n n n n n n a a S S
∴
1
1121-+++
-=n n n n a a a
∴n n n a a 2
1
211+=
+ 上式两边同乘以2n+1得2n+1a n+1=2n a n +2则{2n a n }是公差为2的等差数列。
∴2n a n = 2+（n-1）·2=2n
数列求和的常用方法：
1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。
2、错项相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数列）
即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。
3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，
只余有限几项，可求和。
适用于数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬
⋅⎩⎭和11n n a a +⎧⎫⎪⎪
⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
（其中{}n a 等差）
可裂项为：
11
1111
()n n n n a a d a a ++=-⋅，