数列题型与解题方法归纳总结
高中数学的归纳数列与排列组合的重要性质及解题方法总结
高中数学的归纳数列与排列组合的重要性质及解题方法总结在高中数学的学习中，归纳数列与排列组合是一类非常重要的概念和方法。
它们不仅在解决实际问题中起着重要作用，还在数学推理和证明中发挥着重要的作用。
本文将介绍归纳数列与排列组合的重要性质以及解题方法，并总结它们在高中数学中的应用。
一、归纳数列的重要性质及解题方法1. 等差数列和等差数列的通项公式等差数列是指数列中任意两项之差都相等的数列。
在解决等差数列问题时，可利用等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。
2. 等比数列和等比数列的通项公式等比数列是指数列中任意两项之比都相等的数列。
在解决等比数列问题时，可利用等比数列的通项公式：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项，a1表示等比数列的首项，r表示等比数列的公比。
3. 斐波那契数列及其性质斐波那契数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前两项之和。
斐波那契数列在自然界中有着广泛的应用，如植物的叶子排列、螺旋形状等。
求解斐波那契数列问题时，可以利用递推关系式：Fn = Fn-1 + Fn-2其中，Fn表示斐波那契数列的第n项，Fn-1表示斐波那契数列的第n-1项，Fn-2表示斐波那契数列的第n-2项。
二、排列组合的重要性质及解题方法1. 排列的计算方法排列是指从一组元素中选取一部分进行排列的方法。
在排列问题中，需要关注选取的元素个数、元素的排列顺序和元素是否可重复选取等因素。
排列的计算公式为：A(n,m) = n! / (n-m)!其中，A(n,m)表示从n个元素中选取m个元素进行排列的方法数，n!表示n的阶乘。
2. 组合的计算方法组合是指从一组元素中选取一部分进行组合的方法。
与排列不同，组合不考虑元素的排列顺序。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)其中，C(n,m)表示从n个元素中选取m个元素进行组合的方法数。
数学数列题型归纳解题方法
数列等差数列与等比数列1.根本量的思想：常设首项、〔公差〕比为根本量，借助于消元思想与解方程组思想等。
转化为“根本量〞是解决问题的根本方法。
2.等差数列与等比数列的联系1〕假设数列{}na是等差数列，那么数列}{n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}na的公差。
〔a>0且a≠1〕；2〕假设数列{}na是等比数列，且na>，那么数列{}loga na是等差数列，公差为loga q，其中a是常数且0,1a a>≠，q是{}n a的公比。
3〕假设{}na既是等差数列又是等比数列,那么{}na是非零常数数列。
3.等差与等比数列的比拟【题型1】等差数列与等比数列的联系例1 〔2010文16〕{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.〔Ⅰ〕求数列{an}的通项;〔Ⅱ〕求数列{2an}的前n项和Sn.解：〔Ⅰ〕由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得121d+＝1812dd++，解得d＝1，d＝0〔舍去〕，故{an}的通项an＝1+〔n－1〕×1＝n. (Ⅱ)由〔Ⅰ〕知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得Sm=2+22+23+…+2n=2(12)12n--=2n+1-2.小结与拓展：数列{}na是等差数列，那么数列}{n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}na的公差。
〔a>0且a≠1〕.【题型2】与“前n项和Sn与通项an〞、常用求通项公式的结合例2数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应一样，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列．求数列{an}与{bn}的通项公式。
解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n(n∈N*)①当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝8(n－1)(n∈N*)②①－②得2n－1an＝8，求得an＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，∴an＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，∴数列{bn＋1－bn}的公差为－2－(－4)＝2，∴bn＋1－bn＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，法一〔迭代法〕bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8) ＝n2－7n＋14(n∈N*)．法二〔累加法〕即bn －bn －1＝2n －8， bn －1－bn －2＝2n －10， …b3－b2＝－2， b2－b1＝－4， b1＝8，相加得bn ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8) ＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n2－7n ＋14(n ∈N*)．小结与拓展：1〕在数列{an}中，前n 项和Sn 与通项an 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1(111n S S n S a a n n n .是重要考点；2〕韦达定理应引起重视；3〕迭代法、累加法与累乘法是求数列通项公式的常用方法。
数列知识点总结及例题讲解
人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。
2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。
5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。
6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。
2、理解递推公式与通项公式的关系。
3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。
4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。
5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、数列的概念与简单表示法1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：(1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项，…,第n项，….3.数列的一般形式：aj,az,ag, …,an, …,或简记为{a},其中a。
是数列的第n项4.数列的通项公式：如果数列{a}的第n项a。
与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意： (1)并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④;(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0, …它的通项公式可以是,也可以是； 1.(3)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第召项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数an= f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。
（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。
求a n 。
例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）2434)1211(211--=--+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结数列是数学中一个重要的概念，也是数学中常见的题型之一。
数列题目通常会给出一定的条件和规律，要求我们找出数列的通项公式、前n项和等相关内容。
下面对数列题型及解题方法进行归纳总结。
一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一列数，用通项公式a_n表示。
2. 首项和公差：对于等差数列，首项是指数列的第一个数，公差是指相邻两项之间的差值。
通常用a1表示首项，d表示公差。
3. 首项和公比：对于等比数列，首项是指数列的第一个数，公比是指相邻两项之间的比值。
通常用a1表示首项，r表示公比。
二、等差数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公差，求第n项的值。
使用通项公式a_n = a1 + (n-1)d。
（2）已知相邻两项的值，求公差。
根据 a_(n+1) - a_n = d，解方程即可。
（3）已知首项和第n项的值，求公差。
根据 a_n = a1 + (n-1)d，解方程即可。
2. 找前n项和：（1）已知首项、公差和项数，求前n项和。
使用公式S_n= (n/2)(a1 + a_n)。
（2）已知首项、末项和项数，求公差。
由于S_n =(n/2)(a1 + a_n)，可以列方程求解。
（3）已知首项、公差和前n项和，求项数。
可以列方程并解出项数。
3. 找满足条件的项数：（1）已知首项、公差和条件，求满足条件的项数。
可以列方程，并解出项数。
三、等比数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公比，求第n项的值。
使用通项公式a_n = a1 * r^(n-1)。
（2）已知相邻两项的值，求公比。
根据 a_n / a_(n-1) = r，解方程即可。
（3）已知首项和第n项的值，求公比。
根据 a_n = a1 * r^(n-1)，解方程即可。
2. 找前n项和：（1）已知首项、公比和项数，求前n项和。
使用公式S_n = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
高中数学数列方法及技巧
高中数学数列方法及技巧1高中数学数列方法和技巧一.公式法如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式.注意等比数列公示q的取值要分q=1和q≠1.二.倒序相加法如果一个数列的首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.三.错位相减法如果一个数列的各项和是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.四.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.用裂项相消法求和时应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也可能前面剩两项,后面也剩两项,前后剩余项是对称出现的.五.分组求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和然后相加减.2高中数学数列问题的答题技巧高中数列，有规律可循的类型无非就是两者，等差数列和等比数列，这两者的题目还是比较简单的，要把公式牢记住，求和，求项也都是比较简单的，公式的运用要熟悉。
题目常常不会如此简单容易，稍微加难一点的题目就是等差和等比数列的一些组合题，这里要采用的一些方法有错位相消法。
题目变化多端，往往出现的压轴题都是一些从来没有接触过的一些通项，有些甚至连通项也不给。
针对这两类，我认为应该积累以下的一些方法。
对于求和一类的题目，可以用柯西不等式，转化为等比数列再求和，分母的放缩，数学归纳法，转化为函数等方法等方法对于求通项一类的题目，可以采用先代入求值找规律，再数学归纳法验证，或是用累加法，累乘法都可以。
总之，每次碰到一道陌生的数列题，要进行总结，得出该类的解题方法，或者从中学会一种放缩方法，这对于以后很有帮助。
3高考数学解题方法解题过程要规范高考数学计算题要保证既对且全，全而规范。
应为高考数学计算题表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学试卷非智力因素失分的一大方面。
高中数学数列求解方法 (完整版)
高中数学数列解题方法总结类型一：)(1n f a a n n +=+（)(n f 可以求和）−−−−→解决方法累加法例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。
解析：121(2)n n a a n n --=-≥∴213243113521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： 211n a a n -=- 2n a n ∴=类型二：1()n n a f n a +=⋅ （()f n 可以求积）−−−−→解决方法累积法 例2、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。
解析：1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅123211143n n n n n n --=⋅⋅⋅⋅+-21n =+ 又1a 也满足上式；21n a n ∴=+ *()n N ∈类型三：1(n n a Aa B +=+≠其中A,B 为常数A 0,1）−−−−→解决方法待定常数法 可将其转化为1()n n a t A a t ++=+，其中1Bt A =-，则数列{}n a t +为公比等于A 的等比数列，然后求n a 即可。
例3 在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。
解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+1t ∴=，于是()1131n n a a -+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列。
1231n n a -∴=⋅-类型四：()110n n n Aa Ba Ca +-++=⋅⋅≠；其中A,B,C 为常数，且A B C 0可将其转化为()()()112n n n n A a a a a n αβα+-+=+≥-----（*）的形式，列出方程组A B C αββα⋅-=⎧⎨-⋅=⎩,解出,;αβ还原到（*）式，则数列{}1n na a α++是以21a a α+为首项， A β为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出n a 。
数列题型及解题方法归纳总结
数列题型及解题方法归纳总结一、等差数列等差数列是指数列中的相邻项之差都相等的数列。
下面对等差数列的题型及解题方法进行归纳总结。
1. 求第n项的值设等差数列的首项为a，公差为d，第n项的值为an，则有公式：an = a + (n-1)d2. 求前n项和设等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn，则有公式：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)3. 求公差已知等差数列的首项为a，第m项与第n项的和为s，则公差d的值可以通过以下公式计算得出：d = (sm - sn)/(m - n)4. 求项数已知等差数列的首项为a，公差为d，第n项的值为an，可以通过以下公式求解项数n：n = (an - a)/d + 15. 应用题解题思路在解等差数列应用题时，关键是要找到规律。
可以通过观察数列的特点，列出方程，再解方程求解。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻项之比都相等的数列。
下面对等比数列的题型及解题方法进行归纳总结。
1. 求第n项的值设等比数列的首项为a，公比为q，第n项的值为an，则有公式：an = a * q^(n-1)2. 求前n项和（当公比q不等于1时）设等比数列的首项为a，公比为q，前n项和为Sn，则有公式：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)3. 求前n项和（当公比q等于1时）当公比q等于1时，等比数列的前n项和为n * a。
4. 求公比已知等比数列的首项为a，第m项与第n项的比为r，则公比q的值可以通过以下公式计算得出：q = (an / am)^(1/(n-m))5. 求项数已知等比数列的首项为a，公比为q，第n项的值为an，可以通过以下公式求解项数n：n = log(an/a) / log(q)6. 应用题解题思路在解等比数列应用题时，关键是要找到规律。
可以通过观察数列的特点，列出方程，再解方程求解。
三、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中第一、第二项为1，后续项为前两项之和的数列。
数列题型及解题方法归纳总结
知识框架数列的分类数列的通项公式数列的递推关系等差数列的疋义a n a n 1d(n2)等差数列的通项公式a n a1 (n1)d等差数列等差数列的求和公式Sn n /(a1a n) na1n(n 1)d 22等差数列的性质a n a m a p a q(m n p q)两个基本数列等比数列的定义ana n 1q(n2)等比数列的通项公式a n a1q n 1数列等比数列a1a n q a1(1q n)(q1)等比数列的求和公式S n 1 q 1 qn a© 1)等比数列的性质a n a m a p a q (m n [)q)公式法分组求和（1）观察法。
（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
⑴递推式为a n+i=a+d及a n+i=qa n（d，q为常数）例1、已知｛a n｝满足a n+i=a n+2，而且a i=1。
求a n。
例1、解■/a n+i-a n=2为常数••• ｛a n｝是首项为1，公差为2的等差数列--a n=1+2 （n-1 ）即a n=2n-11例2、已知｛a n｝满足a n 1 a n，而a1 2，求a n =?2(2)递推式为a n+1=a n+f (n)1例3、已知｛a n｝中a1，a n 12+ ( a n-a n-1 )数列求和错位相减求和裂项求和倒序相加求和解：由已知可知a n 1 a n1(2n 1)(2 n 1)1 1 12(2n 1 2n 1)累加累积令n=1，2，…，（n-1 ），代入得（n-1 ）个等式累加，即（a2-a 1) + (a3-a 2) + …数列的应用分期付款其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法1、求通项公式★ 说明只要和a n C £(1f (1) +f (2) +…+f1 ) 4n 32n 1) 4n 2（n-1 ）是可求的，就可以由a n+1=a n+f （n）以n=1，2，…，（n-1 ）代入，可得n-1个等式累加而求a n ⑶递推式为a n+1=pa n+q （p, q为常数）数列的概念函数角度理解归纳猜想证明例 4、｛a *｝中，a i 1，对于 n > 1 (n € N )有 a n 3a “ 1 2，求 a n .求a * 。
求数列通项的方法总结
求数列通项的方法总结求数列的通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，分享了求数列通项的方法，一起来看看吧！一、累加法：利用an=a1+（a2-a1）+…（an-an-1）求通项公式的方法称为累加法。
累加法是求型如an+1=an+f（n）的递推数列通项公式的基本方法（f （n）可求前n项和）.例1.已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式。
解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+ （a2-a1）+a1=[2（n-1）+1]+[2（n-2）+1]+…+（2×2+1）+（2×1+1）+1=2[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+（n-1）+1=2+（n-1）+1=（n-1）（n+1）+1=n2所以数列an的通项公式为an=n2。
例2：在数列{an}中，已知an+1= ，求该数列的通项公式.备注：取倒数之后变成逐差法。
解：两边取倒数递推式化为：=+，即-=所以-=，-=，-=…-=.…，将以上n-1个式子相加，得：-=++…+即=+++…+==1-故an==二、累乘法：利用恒等式an=a1…（an≠0，n？叟n）求通项公式的方法称为累乘法，累乘法是求型如：an+1=g（n）an的递推数列通项公式的基本方法（数列g（n）可求前n项积）.例3.已知数列{an}中a1=，an=an-1（n？叟2）求数列{an}的通项公式。
解：当n？叟2时，=，=，=，…=将这n-1个式子累乘，得到=，从而an=×=，当n=1时，==a1，所以an= 。
注：在运用累乘法时，还是要特别注意项数，计算时项数容易出错.三、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an=Sn-Sn-1（n？叟2），等差数列或等比数列的通项公式。
数列题型及解题方法归纳总结
. v ..知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法1、求通项公式 （1）观察法。
（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。
求a n 。
例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n. v ..令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）2434)1211(211--=--+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f（n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。
数列题型及解题方法归纳总结
数列题型及解题方法归纳总结数列在数学中是一个非常重要的概念，它在各种数学问题中都有着重要的应用。
在学习数列的过程中，我们需要了解不同的数列题型及相应的解题方法，这样才能更好地掌握数列的知识，提高解题能力。
下面，我们将对数列题型及解题方法进行归纳总结，希望能对大家的学习有所帮助。
一、等差数列。
等差数列是最基本的数列之一，它的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$。
在解等差数列的问题时，我们需要注意以下几种情况：1. 求前n项和，$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$；2. 求首项、公差或项数，$a_n = a_1 + (n-1)d$；3. 已知前几项求第n项，$a_n = a_m + (n-m)d$。
二、等比数列。
等比数列也是常见的数列类型，它的通项公式为：$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$。
解等比数列的问题时，需要注意以下几点：1. 求前n项和，$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$；2. 求首项、公比或项数，$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$；3. 已知前几项求第n项，$a_n = a_m \cdot q^{n-m}$。
三、特殊数列。
除了等差数列和等比数列外，还有一些特殊的数列，如斐波那契数列、等差-等比数列等。
在解题时，需要根据具体情况选择合适的方法，不能生搬硬套。
四、解题方法。
在解数列题时，我们可以采用以下几种方法：1. 找规律法，观察数列的前几项，找出它们之间的规律，从而得出通项公式或前n项和的表达式；2. 递推法，根据数列的递推关系，逐步求解出数列的各项；3. 通项公式法，如果数列是等差数列或等比数列，可以直接利用其通项公式进行求解；4. 常用公式法，对于常见的数列题型，可以直接利用其前n项和的公式进行求解。
五、总结。
通过以上的归纳总结，我们可以看出，数列题型及解题方法是一个比较系统的知识体系，需要我们掌握一定的基本原理和方法。
等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结
等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1.数列(1)定义：按照一定顺序排列的一列数就叫做数列. (2)数列与函数的关系.从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在()y f x =中,当自变量x N *∈时,所对应的函数值(1),(2),(3),f f f 就构成一数列,通常记为{}n a ,所以数列有些问题可用函数方法来解决.2.等差数列 (1)定义：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母d 表示,即1()n n a a d n N *+-=∈.(2)等差数列的通项公式.若等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则其通项公式为11(1)()n a a n d nd a d =+-=+-,是关于n 的一次型函数.或()n m a a n m d =+-,公差n m a a d n m-=-(直线的斜率)(,,m n m n N *≠∈).(3)等差中项.若,,x A y 成等差数列,那么A 叫做x 与y 的等差中项,即2x yA +=或2A x y =+,.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.(4)等差数列的前n 项和2111()2(1)2222n n a a n a dn n d d S na n n +--==+=+(类似于2n S An Bn =+),是关于n 的二次型函数(二次项系数为2d且常数项为0).n S 的图像在过原点的直线(0)d =上或在过原点的抛物线(0)d ≠上.3.等比数列(1)定义.：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母q 表示,即1(q 0,)n na q n N a *+=≠∈. (2)等比数列的通项公式. 等比数列的通项1111()(,0)n n n a a a qc q c a q q-==⋅=≠,是不含常数项的指数型函数. (3)m n mna q a -=. (4)等比中项如果,,x G y 成等比数列,那么G 叫做x 与y 的等比中项,即2G xy =或G =两个同号实数的等比中项有两个).(5)等比数列的前n 项和111(1)(1)(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩注①等比数列的前n 项和公式有两种形式,在求等比数列的前n 项和时,首先要判断公比q 是否为1,再由q 的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比q 是否为1时,要分1q =与1q ≠两种情况讨论求解.②已知1,(1),a q q n ≠(项数),则利用1(1)1n n a q S q -=-求解;已知1,,(1)n a a q q ≠,则利用11n n a a qS q-=-求解.③111(1)(0,1)111n n n n a q a aS q kq k k q q q q--==⋅+=-≠≠---,n S 为关于n q 的指数型函数,且系数与常数互为相反数.例如等比数列{}n a ,前n 项和为212n n S t +=+,则t =.解:等比数列前n 项和21224n n n S t t +=+=⋅+,则2t =-.二、基本性质1.等差数列的性质 (1)等差中项的推广.当(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈时,则有m n p q a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=.(2)等差数列线性组合.①设{}n a 是等差数列,则{}(,)n a b b R λλ+∈也是等差数列.②设{},{b }n n a 是等差数列,则1212{}(,)n n a b R λλλλ+∈也是等差数列. (3)有限数列.①对于项数为2n 的等差数列,有: (Ⅰ)21()n n n S n a a +=+.(Ⅱ)11,,,n n n nS a S na S na S S nd S a ++==-==偶奇奇偶偶奇. ②对于项数为21n -的等差数列,有; (Ⅰ)21(21)n n S n a -=-.(Ⅱ),(1),,1n n n S nS na S n a S S a S n ==--==-奇奇奇偶偶偶.(4)等差数列的单调性及前n 项和n S 的最值. 公差0{}n d a >⇔为递增等差数列,n S 有最小值; 公差0{}n d a <⇔为递减等差数列,n S 有最大值; 公差0{}n d a =⇔为常数列. 特别地 若10a d >⎧⎨<⎩,则n S 有最大值(所有正项或非负项之和);若100a d <⎧⎨>⎩,则n S 有最小值(所有负项或非正项之和).(5)其他衍生等差数列.若已知等差数列{}n a ,公差为d ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等差数列,公差为td . ②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等差数列,公差为2m d .③算术平均值312,,,123S S S 为等差数列,公差为2d . 2.等差数列的几个重要结论(1)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m a m a n m n m n N *==≠∈,则0m n a +=. (2)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m S m S n m n m n N *==≠∈,则()m n S m n +=-+. (3)等差数列{}n a 中,若(,,)n m S S m n m n N *=≠∈,则0m n S +=.(4)若{}n a 与{b }n 为等差数列,且前n 项和为n S 与n T ,则2121m m m m a S b T --=. 3.等比数列的性质 (1)等比中项的推广.若m n p q +=+时,则m n p q a a a a =,特别地,当2m n p +=时,2m n p a a a =.(2)①设{}n a 为等比数列,则{}n a λ(λ为非零常数),{}n a ,{}mn a 仍为等比数列.②设{}n a 与{b }n 为等比数列,则{b }n n a 也为等比数列.(3)等比数列{}n a 的单调性(等比数列的单调性由首项1a 与公比q 决定).当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时,{}n a 为递增数列;当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时,{}n a 为递减数列.(4)其他衍生等比数列.若已知等比数列{}n a ,公比为q ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等比数列,公比为tq .②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等比数列,公比为mq (当1q =-时,m 不为偶数).4.等差数列与等比数列的转化(1)若{}n a 为正项等比数列,则{log }(c 0,c 1)c n a >≠为等差数列. (2)若{}n a 为等差数列,则{c }(c 0,c 1)n a>≠为等比数列. (3)若{}n a 既是等差数列又是等比数列{)n a ⇔是非零常数列. 题型归纳及思路提示题型1 等差、等比数列的通项及基本量的求解 思路提示利用等差(比)数列的通项公式或前n 项和公式,列出关于1,()a d q 基本量的方程或不等式从而求出所求的量.一、求等差数列的公差及公差的取值范围例6.1 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若244,20S S ==,则该数列的公差d =( ). A.7 B.6 C.3 D.2解析 212124S a a a d =+=+= ①414620S a d =+= ②由式①②可解得3d =,故选C.评注 求解基本量用的是方程思想.变式1 (2012福建理2)等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==则数列{}n a 的公差为( ). A.1 B.2 C.3 D.4变式2 已知等差数列首项为31,从第16项起小于1,则此数列公差d 的取值范围是( ). A.(,2)-∞- B.15,27⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C.(2,)-+∞ D.15,27⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、求等比数列的公比例6.2 在等比数列{}n a 中,201320108a a =,则公比q 的值为( ). A.2 B.3 C.4 D.8 解析 因为201320108a a =,所以3201320108,a q a ==则2q =,故选A. 变式1 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1234,2,a a a 成等差数列,若11a =,则4S =( ). A.7 B.8 C.15 D.16变式2 (2012浙江理13)设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若224432,32S a S a =+=+,则q =.变式3 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若123,2,3S S S 成等差数列,则{}n a 的公比为.三、求数列的通项n a例6.3 (1)(2012广东理11)已知递增等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-,则n a =.(2)(2012辽宁理14)已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列{}n a 的通项公式n a =.解析 (1)利用等差数列的通项公式求解.设等差数列公差为d ,则由2324a a =-得,212(1)4d d +=+-,所以24d =,得2d =±,又该数列为递增的等差数列,所以2d =.故1(1)21()n a a n d n n N *=+-=-∈.(2)由数列{}n a 为等比数列,设公比为q ,由212()5n n n a a a +++=,得22()5n n n a a q a q +=,即22(1)5q q +=,解得12q =或2.又25100a a =>,且数列{}n a 为递增数列,则2q =. 因此5532q a ==,所以2()n n a n N *=∈.变式1 n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,264,1S S a ==,则n a =.变式2 已知两个等比数列{},{b }n n a ,满足11122331,1,2,4a b a b a b a =-=-=-=,求数列{}n a 的通项公式.例6.4 在等差数列{}n a 中,138a a +=,且4a 为2a 和9a 的等比中项,求数列{}n a 的前n 项和为n S .解析 设该数列的公差为d ,前n 项和为n S .由已知,得211228,(3)a d a d +=+=11()(8)a d a d ++,所以114,(3)0a d d d a +=-=,解得14,0a d ==或11,3a d ==,即数列{}n a 的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以数列的前n 项和为4n S n =或232n n nS -=.变式1 已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-,则其通项n a =;若它的第k 项满足58k a <<,则k =.变式2 已知数列{}n a 的前n 项和1(nn S a a =-为非零实数),那么{}n a ( ).A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列题型2 等差、等比数列的求和 思路提示求解等差或等比数列的前n 项和n S ,要准确地记住求和公式,并合理选取公式,尤其是要注意其项数n 的值;对于奇偶项通项不统一和含绝对值的数列的求和问题要注意分类讨论.主要是从n 为奇数、偶数,项n a 的正、负进行分类.一、公式法(准确记忆公式,合理选取公式)例6.5 在等比数列{}()n a n N *∈中,若1411,8a a ==,则该数列的前10项和为( ). 8910111111.2.2 C.2 D.22222A B ----解析 由334111,82a a q q q ====得,所以1010911()1221212S -==--,故选B. 变式1 {}n a 是由正数组成的等比数列,n S 为前n 项和,已知2431,7a a S ==,则n S =.变式2 设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈,则()()f n =.1342222.(81).(81).(81).(81)7777n n n n A B C D +++----二、关于等比数列求和公式中q 的讨论例6.6 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若396,,S S S 成等差数列,求数列的公比q .解析 若1q =,则3161913,6,9S a S a S a ===,因为10a ≠,所以3692S S S +≠,与396,,S S S 成等差数列矛盾,故1q ≠.由题意可得3692S S S +=,即有369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---,整理得363(21)0q q q --=,又0q ≠,故63210q q --=,即33(21)(1)0q q +-=.因为31q ≠,所以312q =-,所以q ==变式1 设数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为n S ,且333S a =,则其公比q =.变式2 求和2311357(21)(2,,)n n S x x x n x n n N x R -*=+++++-≥∈∈.三、关于奇偶项求和问题的讨论例6.7 已知数列{}n a 的通项公式为12(1)n n a n -=-,求其前n 项和为n S . 解析 (1)当n 为偶数时,222221234(1)n S n n =-+-++--22222(12)(34)[(1)]n n =-+-++--[37(21)]n =-+++-(321)(1)222nn n n +-+=-=-. (2)当n 为奇数时,则1n +为偶数,所以211(1)(2)(1)(1)22n n n n n n n S S a n +++++=-=-++=. 综上,(1)()2(1)()2n n n n S n n n +⎧-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为正偶数为正奇数.评注：本题中，将n 为奇数的情形转化为n 为偶数的情形，可以避免不必要的计算，此技巧值得同学们借鉴和应用。
数列题型及解题方法归纳总结
数列题型及解题方法归纳总结数列是数学中的基本概念，出现在许多数学问题和实际生活中的各种场景中。
在数列问题中，通常需要找出数列中的规律、求解数列的通项公式或特定项的值等。
本文将对数列题型及解题方法进行归纳总结。
一、等差数列等差数列是最常见的数列类型。
等差数列的特点是数列中任意两个相邻的项之间的差值都相等。
解题时常用的方法有以下几种：1. 求和公式：等差数列的前n项和公式是Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1是首项，an是末项。
如果已知前n项和Sn，可以用Sn = n/2 * (a1 + a1+(n-1)d)来求解未知的参数a1或d。
2. 求第n项的值：对于等差数列，可以用通项公式an = a1 + (n-1)d来求解第n项的值。
其中a1是首项，d是公差。
二、等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻的项之间的比值都相等。
解题时常用的方法有以下几种：1. 求和公式：等比数列的前n项和公式是Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，其中a1是首项，q是公比。
如果已知前n项和Sn，可以用Sn = a1* (1 - q^n) / (1 - q)来求解未知的参数a1或q。
2. 求第n项的值：对于等比数列，可以用通项公式an = a1 * q^(n-1)来求解第n项的值。
其中a1是首项，q是公比。
三、等差-等比混合数列等差-等比混合数列是指数列中既有等差又有等比的特点。
解题时常用的方法有以下几种：1. 求和公式：等差-等比混合数列的前n项和公式是Sn = S1 * (1 - q^n) / (1 - q) + a1 * (1 - q) / (1 - q) - n * d，其中Sn是前n项和，S1是等比数列的首项和，a1是等差数列的首项，q是等比数列的公比，n是项数，d是公差。
2. 求等差数列和等比数列的通项公式：对于等差-等比混合数列，可以通过观察数列的规律，将其拆分为等差数列和等比数列两个部分，然后分别求解其通项公式，最后将两个序列的对应项相加即可得到整个数列的通项公式。
数列解题技巧归纳总结 好(5份)
数列解题技巧归纳总结好(5份)一、典型题的技巧解法1、求通项公式（1）观察法。
（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d，q为常数）例1、已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。
求an。
例1、解∵an+1-an=2为常数∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列∴an=1+2（n-1）即an=2n-1例2、已知满足，而，求=？（2）递推式为an+1=an+f（n）例3、已知中，，求、解：由已知可知令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）★ 说明只要和f （1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。
(3)递推式为an+1=pan+q（p，q为常数）例4、中，，对于n＞1（n∈N）有，求、解法一：由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。
两式相减：an+1-an=3（an-an-1）因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=（31+2）-1=4∴an+1-an=43n-1 ∵an+1=3an+2∴3an+2-an=43n-1 即 an=23n-1-1解法二：上法得{an+1-an}是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=43，a4-a3=432，…，an-an-1=43n-2，把n-1个等式累加得：∴an=23n-1-1(4)递推式为an+1=p an+q n（p，q为常数）由上题的解法，得：∴ (5)递推式为思路：设,可以变形为：，想于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。
求。
(6)递推式为Sn与an的关系式关系；（2）试用n表示an。
数列常见方法总结
数列常见方法总结一、考点、热点回顾1 数列通项公式的求法1.1. 累加法 1.2. 累乘法 1.3. 取倒数法 1.4. 待定系数法1.5. 构造等差、等比数列法 2 数列求和的基本方法和技巧2.1 错位相减法求和 2.2 倒序相加法求和 2.3 分组法求和 2.4 裂项法求和二、典型例题1. 数列通项公式的求法 1.1. 公式法①；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.例 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nn n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2nna 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n na n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
1.2. 累加法例 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。
例 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+⨯+转化为1231nn n a a +-=⨯+，进而求出⎩⎨⎧≥-==-)2()111n S S n S a n nn （11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。
1.3. 累乘法例 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
数列知识点归纳总结
数列知识点归纳总结第一篇一、概念数列是数学中的一类有规律的数的集合，通常用数学符号表示。
数列可以根据其对应的公式或规律进行分类，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
二、常见数列类型1. 等差数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列就是等差数列。
公式：an=a1+(n-1)d特征：公差d不变，每一项与前一项的差值相等。
例子：{2，5，8，11...}2. 等比数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项都是它前一项的r倍（r≠0），则这个数列称为等比数列。
公式：an=a1×r^(n-1)特征：公比r不变，每一项与前一项的比值相等。
例子：{1，2，4，8...}3. 斐波那契数列定义：一个数列中，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
即a(n) = a(n-1) + a(n-2)，其中n>2。
这个数列就是斐波那契数列。
斐波那契数列可以用于描述动植物种群的增长、黄金分割问题等。
例子：{1，1，2，3，5，8，13...}4. 等差-等比混合数列定义：有些数列既具有等差数列的特点，又具有等比数列的特点，那么这个数列就是等差-等比混合数列。
公式：an=a1+r^(n-1)m特征：首项a1+公差r乘上一个常数m后再乘上公比r的n-1次方。
例子：{1，3，9，27，81...}三、性质1. 推导通项公式：使用等差/等比公式或递推公式。
2. 求和公式：等差数列的和：S_n=(a1+an)n/2等比数列的和：S_n=(a1(1-r^n))/(1-r)四、求解题目步骤1. 确定数列类型（等差/等比/混合）2. 确定已知条件3. 构造数学模型4. 解方程组5. 检验答案五、应用举例1. 有一条长1000米的路需要铺设新的路面。
铺设工作将在第一天开展，每天的工作进度是前一天的50%。
问需要多少天才能完成铺设工作？解题：这是一个等比数列，首项为1000，公比为0.5。
(完整)数列题型及解题方法归纳总结,推荐文档
1 2
5
文德教育
n 2时，a n Sn Sn1 …… 3·4 n1
a n ca n1 d c、d为常数，c 0，c 1，d 0
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 4、叠乘法
可转化为等比数列，设a n x c a n1 x
例如：数列a n 中，a1
3，
a n1 an
n n 1 ，求an
a n ca n1 c 1x
解： a 2 · a 3 …… a n 1 · 2 …… n 1 ，∴ a n 1
a1 a2
a n1 2 3
n
a1 n
又a 1
3，∴a n
3 n
5、等差型递推公式
由a n a n1 f (n)，a1 a 0，求a n ，用迭加法
令(c 1)x d，∴x d c1
（3）形如 an1 ank 的递推数列都可以用对数法求通项。
（7）（理科）数学归纳法。
4
文德教育
建议收藏下载本文，以便随时学习！ （8）当遇到 an1
an1
d或 an1 an1
q 时，分奇数项偶数项讨论，结果
求数列通项公式的常用方法：
1、公式法
可能是分段形式。 数列求和的常用方法：
2、 由S n 求a n
∴a n
c
d
1是首项为a
1
c
d ，c为公比的等比数列 1
∴a n
c
d 1
a1
c
d
1
·c
n
1
n
2时，a 2 a3
a1 a2
f (2)
f
(3)
两边相加，得：
…… ……
a n a n1 f (n)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
.下载可编辑.知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法1、求通项公式 （1）观察法。
（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。
求a n 。
例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）.下载可编辑.2434)1211(211--=--+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。
(3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数）例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a .解法一： 由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。
两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1） 因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3a n +2 ∴3a n +2-a n =4·3n-1 即 a n =2·3n-1-1 解法二： 上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2， 把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1(4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数）)(3211-+-=-n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )32(23-= ∴nn nn n b a )31(2)21(32-==(5)递推式为21n n n a pa qa ++=+思路：设21n n n a pa qa ++=+,可以变形为：211()n n n n a a a a αβα+++-=-， 想 于是{a n+1-αa n }是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。
求n a 。
.下载可编辑.(6)递推式为S n 与a n 的关系式关系；（2）试用n 表示a n 。
∴)2121()(1211--++-+-=-n n n n n n a a S S∴11121-+++-=n n n n a a a ∴n n n a a 21211+=+ 上式两边同乘以2n+1得2n+1a n+1=2na n +2则{2na n }是公差为2的等差数列。
∴2na n = 2+（n-1）·2=2n数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。
2、错项相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。
3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
适用于数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭和11n n a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭（其中{}n a 等差）可裂项为：111111()n n n n a a d a a ++=-⋅，1111()n n n n a a da a ++=-+等差数列前n 项和的最值问题：1、若等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值。
（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最大⇔10n n a a +≥⎧⎨≤⎩；.下载可编辑.（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2qp-的非零自然数时n S 最大；2、若等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，则前n 项和n S 有最小值 （ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最小⇔10n n a a +≤⎧⎨≥⎩；（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2qp-的非零自然数时n S 最小；数列通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。
已知12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑶已知条件中既有n S 还有n a ，有时先求n S ，再求n a ；有时也可直接求n a 。
⑷若1()n n a a f n +-=求na 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅(2)n ≥。
⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。
特别地，（1）形如1n n a ka b -=+、1nn n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a ；形如1n n n a ka k -=+的递推数列都可以除以nk 得到一个等差数列后，再求n a 。
（2）形如11n n n a a ka b--=+的递推数列都可以用倒数法求通项。
（3）形如1kn n a a +=的递推数列都可以用对数法求通项。
（7）（理科）数学归纳法。
（8）当遇到q a a d a a n n n n ==--+-+1111或时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式。
数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。
（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k=-++；.下载可编辑.③2211111()1211k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k-=<<=-++--； ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ；⑤11(1)!!(1)!n n n n =-++；⑥=<<=二、解题方法：求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、n n a S 求由（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--12111 3、求差（商）法{}如：满足……a a a a n n n n 121212251122+++=+<>解：n a a ==⨯+=1122151411时，，∴n a a a n n n ≥+++=-+<>--2121212215212211时，……<>-<>=12122得：n n a∴a n n =+21∴a n n n n ==≥⎧⎨⎩+141221()()［练习］{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +==++111534 （注意到代入得：a S S S S n n n n n+++=-=1114 {}又，∴是等比数列，S S S n n n144==n a S S n n n n ≥=-==--23411时，……·4、叠乘法{}例如：数列中，，，求a a a a nn a n n n n 1131==++ 解：a a a a a a n n a a nn n n 213211122311·……·……，∴-=-= 又，∴a a nn 133==5、等差型递推公式由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪-22321321时，…………两边相加，得：()()().下载可编辑.a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()() ［练习］{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥--()（）a n n=-1231 6、等比型递推公式()a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，， ()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1 ()⇒=+--a ca c x n n 11 令，∴()c x d x dc -==-11∴是首项为，为公比的等比数列a d c a dc c n +-⎧⎨⎩⎫⎬⎭+-111 ∴·a d c a d c c n n +-=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1111∴a a d c c dc n n =+-⎛⎝⎫⎭⎪---1111［练习］{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+（）a n n =-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-843117、倒数法例如：，，求a a a a a n nn n 11122==++由已知得：1221211a a a a n n n n+=+=+ ∴11121a a n n +-= ∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭=111121a a n 为等差数列，，公差为 ()()∴=+-=+11112121a n n n · ∴a n n =+212．数列求和问题的方法 （1）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n 项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。