《微波天线》习题课解析

《微波技术与天线》 习题课
助教：郭琪 2016.4.27
第 1章 均匀传输线理论
习题1.1 、1.3、1.5
1.3 设特性阻抗为Z0的无耗传输线的驻波比为ρ，第一个电压波
节点离负载的距离为lminl，试证明此时终端负载应为：
1 j tan lmin1 Zl Z0 j tan lmin1
知识点（三）： 回波损耗和插入损耗
1、回波损耗Lr
2、插入损耗Li
1、回波损耗
对于无耗传输线，回波损耗定义为入射波功率与反射波 功率之比, 表示为Lr
Lr ( z) 20lg Γl
dB
式中，Γ l为负载反射系数。可见，回波损耗只取决 于反射系数，反射越大，回波损耗越小。
2、插入损耗
定义入射波功率与传输功率之比，以分贝来表示为
Z1 jZ 0 tan(z ) Z in ( z ) Z 0 Z 0 jZ1 tan(z )
式中, Zl为终端负载阻抗，β为相移常数，Z0为传输线特性阻抗。
Z in (lminl ) 在距负载第一个波节点处的阻抗为：
Z0

Zin (lmaxl ) Z0 在距负载第一个波腹点处的阻抗为：
Z1 Z 0 式中, 1 1 e j1 称为终端反射系数。Z0为特 Z1 Z 0
征阻抗，Zl为负载阻抗,。
输入阻抗与反射系数的关系 1 ( z ) Z in Z 0 1 ( z )
或
Z in Z 0 ( z ) Z in Z 0
结论： 当传输线的特性阻抗一定时，输入阻抗与反射系数一一 对应，因此输入阻抗可通过反射系数的测量来确定。 当Zl=Z0，Γl=0，此时传输线上任意一点的反射系数等于 零，称之为负载匹配。 无耗传输线的阻抗具有λ/2重复性和阻抗变换特性两个 重要性质。
1、λ/4阻抗变换器法
(1) 、当负载阻抗为纯电阻 Rl 且与传输线特性阻抗 Z0 不相等时, 可在两者之间加接一节长度为 λ/4、特性阻抗为Z01的传输线来 实现负载和传输线间的匹配, 如下图(a)所示。
(a)纯电阻负载的匹配
根据传输线的λ/4的阻抗变换性，得阻抗变换器的特性阻抗 Z01为：
Z01 R1Z0
1.14 有一空气介质的同轴线需装入介质支撑片, 薄片的材 料为聚苯乙烯, 其相对介电常数为εr=2.55,如图所示。 设同轴线外导体的内径为7mm,而内导体的外径为2mm,为 使介质的引入不引起反射, 则由介质填充部分的导体的内 径应为多少？
习题1.7
1.7 求无耗传输线上回波损耗为3dB和10dB时的驻波比。
结论： 1 对于均匀无耗传输线，相速 v p ，与频率无关， LC 这种波称为无色散波。 对于有耗传输线，相速与频率有关，这种波称为色散波
0 2 p c / f f r r
1.2求内外导体直径分别为0.25cm和0.75cm的空气同轴线的特性
阻抗；若在两导体间填充介电常数ɛr=2.25 的介质，求其特性阻 抗及300MHz时的波长。
1.3 设特性阻抗为Z0的无耗传输线的驻波比为ρ，第一个电压波
节点离负载的距离为lminl，试证明此时终端负载应为：
1 j tan lmin1 Zl Z0 j tan lmin1
1.5 试证明无耗传输线上任意相距λ/4的两点处的阻抗的乘积等 于传输线特性阻抗的平方。
习题1.2 、1.14
1.11 设特性阻抗为Z0=50Ω的均匀无耗传输线,终端接有负载阻 抗 Zl=100+j75Ω 为复阻抗时 ,可用以下方法实现 λ/4阻抗变换器 匹配: 即在终端或在λ/4阻抗变换器前并接一段终端短路线, 如 题1.11图所示, 试分别求这两种情况下λ/4阻抗变换器的特性阻 抗Z01及短路线长度l。
知识点(四)：阻抗匹配
负载阻抗匹配
1、串联λ /4阻抗变换器法
2、 支节调配器法
阻抗匹配的意义： 对一个由信号源、传输线和负载构成的系统，希望信号源 在输出最大功率时，负载全部吸收，以实现高效稳定的传输。 传输线的三种匹配状态： 负载阻抗匹配 负载阻抗等于传输线的特性阻抗时（Zl =Z0），传输线上只 有从信号源到负载方向传输的入射波，而无从负载向信号源 方向传输的反射波。 源阻抗匹配 电源内阻等于传输线的特性阻抗时，对匹配源来说，它给 传输线的入射功率不随负载变化，负载有反射时，反射回来 的反射波被电源吸收。 共轭阻抗匹配。 对于不匹配的电源，负载阻抗折合到电源参考面上的输入 阻抗等于电源内阻的共轭值。
(R jL)(G jC)
结论：对于无耗传输线，
0, LC
3、相速υp与波长 λ
传输线上的相速定义为电压、电流入射波（或反射波）的 等相位面沿传播方向的传播速度, 用υp来表示
1 c vp r r
传输线上的波长 λ与自由空间的波长 λ0有以下关系:
Li 10lg
1 1 Γl
2
1 20lg 2
插入损耗也取决于反射系数，反射越大，插入损耗越大。
1.7 求无耗传输线上回波损耗为3dB和10dB时的驻波比。
习题1.10 、1.11
1.10 特性阻抗为Z0=150Ω 的均匀无耗传输线, 终端接有负载 Zl=250+j100Ω , 用λ /4阻抗变换器实现阻抗匹配(如图所示), 试求λ /4阻抗变换器的特性阻抗Z01及离终端距离。
知识点(二)：传输线的工作特性参数
1、特性阻抗Z0 2、传播常数 γ 3、相速υp与波长 λ
1、特性阻抗Z0
特性阻抗定义为传输线上入射波电压与入射波电流的比值 或反射波电压与反射波电流比值的负值，用Z0来表示为：
R jL Z0 G jC
它仅由自身的分布参数决定，而与负载及信号源无关。 结论： 一般情况下，特性阻抗为复数，且与频率有关。 对于无耗（R=G=0）传输线，其特性阻抗 Z0 L / C 为 实数，且与频率无关。
3. 驻波系数ρ
定义传输线上波腹点电压振幅与波节点电压振幅之比为电 压驻波比, 简称驻波系数，用ρ表示：

U U
max min
驻波系数反映了传输线上驻波的大小，即驻波系数越大， 传输线的驻波成分越大，表明负载匹配性越差。 倒数称为行波系数, 用K表示：
K
1


U min U max
行波系数反映了传输线上行波的大小，即行波系数越大， 传输线的行波成分越大，表明负载匹配性越好。
(2)、当负载阻抗为电容性（电感性）负载，在离负载最近的即 第一个波节点（或波腹点）处，加接一节长度为λ/4、特性阻抗 为Z01的传输线来实现负载和传输线间的匹配, 如下图(b)所示。
(b)电抗负载的匹配
负载阻抗为电容性，离负载第一个波节点位置为：
lmin1 1 4 4 Rx Z0 / ，则阻抗变换 此时输入阻抗等效为纯电阻，即 ： 器的特性阻抗为： Z0 Z 01
驻波系数和负载反射系数的关系

1 1 1 1
1 Γ1 1
由此可知, 当|Γl|=0 即传输线上无反射时, 驻波比ρ=1; 而当 |Γl|=1即传输线上全反射时, 驻波比ρ→∞, 因此驻波比ρ的取值
范围为1≤ρ＜∞。可以看出，反射系数和驻波系数都可以反映
传输线的匹配状况。 反射系数为复数，驻波系数为实数。
120
b Z0 ln r a
式中, εr为同轴线内、外导体间填充介质的相对介电常数。 常用的同轴线的特性阻抗有50 Ω 和75Ω两种。
60
2、传播常数 γ
传播常数 γ 是描述传输线上导行波沿导波系统传播过程中 衰减和相移的参数, 通常为复数,由γ表示：
a j
其中α为衰减常数,β为相移常数, 其一般表达式为：
1.2求内外导体直径分别为 0.25cm和0.75cm的空气同轴线的特性 阻抗；若在两导体间填充介电常数ɛr=2.25 的介质，求其特性阻 抗及300MHz时的波长。 1.14 有一空气介质的同轴线需装入介质支撑片, 薄片的材料为聚 苯乙烯, 其相对介电常数为 εr=2.55,如图所示。设同轴线外导体 的内径为7mm,而内导体的外径为2mm,为使介质的引入不引起反 射, 则由介质填充部分的导体的内径应为多少？
1.5 试证明无耗传输线上任意相距λ/4的两点处的阻抗的乘积 等于传输线特性阻抗的平方。
知识点（一）：传输线的状态参量
1、输入阻抗Zin 2、反射系数Γ 3、驻波系数ρ
1、输入阻抗Zin
定义传输线上任意一点z处的输入电压和输入电流之比为该 点的输入阻抗，记作 Zin(z), 它与导波系统的状态特性有关，对 于无耗传输线，它的表达式为：
串联单支节调配器
（2） 并联支节调配器法 在特性导纳为Y0的传输线上，不匹配负载的反射系数 |为 Γl|ejφl，驻波系数为ρ。所谓并联支节调配器法，就是在离负载 阻抗距离为 l1 （即 A点）处并联长度为 l2 、特性导纳为 Y0 的一 段传输线，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ达到阻抗匹配的目的，如下图所示：
并联单支节调配器
2. 反射系数Γ
定义传输线上任意一点z处的反射波电压（或电流）与入射 波电压（或电流）之比为电压（或电流）反射系数, 即
U _(z ) I _(z ) Γu 或Γ i U ( z) I ( z)
得
Z1 Z 0 j2 z Γ ( z) e Γ l e j2 z Γ1 e j(1 2 z ) Z1 Z 0
jY0 G1 jB1 tan(l2 )
1.10 特性阻抗为Z0=150Ω 的均匀无耗传输线, 终端接有负载 Zl=250+j100Ω , 用λ /4阻抗变换器实现阻抗匹配(如图所示), 试求λ /4阻抗变换器的特性阻抗Z01及离终端距离。
1.10图
1.11 设特性阻抗为Z0=50Ω的均匀无耗传输线,终端接有负载阻抗 Zl=100+j75Ω为复阻抗时,可用以下方法实现λ/4阻抗变换器匹配: 即在终端或在λ/4阻抗变换器前并接一段终端短路线, 如题1.11图 所示, 试分别求这两种情况下λ/4阻抗变换器的特性阻抗Z01及短路 线长度l。