湖南省长郡中学2021届高三入学摸底考数学试题 含答案
湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学上学期第一次适应性考试(一模)试题 理(含解析)
湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学上学期第一次适应性考试（一模）试题理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。
【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。
2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。
【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。
3.美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知，，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，求得CE、DE的长，再求得等腰直角三角形CED的内切圆半径，根据几何概型概率求法求得点在△CDE内部的概率即可。
【详解】由勾股定理可得CE=ED=5因为CE⊥ED，所以等腰直角三角形CED的内切圆半径所以等腰直角三角形CED的内切圆面积为直角梯形的面积为所以从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为所以选C【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，直角三角形内切圆半径及面积求法，属于基础题。
4.已知为锐角，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】因为，再根据同角三角函数关系及正弦的和角公式，展开即可求值。
【详解】因为为锐角因为所以大于90°由同角三角函数关系，可得所以=所以选D【点睛】本题考查了三角函数式的变形，和角公式的应用，注意判断的符号，属于中档题。
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(十四)数学(文)试题
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试（十四）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一､选择题：1.若集合A ＝{x |2﹣x ≥0}，B ＝{x |0≤x ≤1}，则A ∩B ＝（ ）A. [0，2]B. [0，1]C. [1，2]D. [﹣1，2]【答案】B【解析】【分析】先求出集合A ，再利用交集定义求出A ∩B ．【详解】解：∵集合A ＝{x |2﹣x ≥0}＝{x |x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤1}，∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}＝[0，1]．故选：B ．【点睛】本题考查交集的概念及运算，属于基础题.2.已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则z =（ ）A. 2 C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】由已知条件，结合复数的运算可得1z i =+，由模长公式可得答案．【详解】∵(1)2z i i ⋅+=， ∴()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，故z ==.故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的相关概念，考查计算能力，属于基础题. 3.已知角α的项点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点()2,1P -在角α的终边上，则tan α=（ ）A. 2B. 12C. 1 2-D. 2- 【答案】C【解析】【分析】直接利用任意角的三角函数的定义求解即可．【详解】∵点(2,1)P -在角α的终边上，∴11tan 22α-==-， 故选：C ．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题. 4.若实数x ，y 满足23300x y x y y +≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A. 2B. 52C. 4D. 6【答案】B【解析】【分析】 由实数x ，y 满足23300x y x y y +≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，作出可行域，将目标函数2z x y =-转化为2y x z =-，平移直线2y x =，当直线在y 轴上截距最大，目标函数取得最小值.【详解】由实数x ，y 满足23300x y x y y +≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，作出可行域如图阴影部分：将目标函数2z x y =-转化为2y x z =-，平移直线2y x =， 当直线经过点31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在y 轴上截距最大， 此时，目标函数取得最小值，最小值为3152222⨯-= 故选：B ．【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想与方法，属于基础题.5.已知函数f （x ）＝1+x 3，若a ∈R ，则f （a ）+f （﹣a ）＝（ ）A. 0B. 2+2a 3C. 2D. 2﹣2a 3 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式求出f （a ）与f （﹣a ）的表达式，进而计算可得答案．【详解】解：根据题意，函数f （x ）＝1+x 3，则f （a ）＝1+a 3，f （﹣a ）＝1+（﹣a ）3＝1﹣a 3，则有f （a ）+f （﹣a ）＝2；故选：C ．【点睛】本题考查了利用函数解析式求函数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.6.若函数()()sin 20,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A. ,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 B. 函数()f x 的图象关于直线3x π=对称 C. 函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. 函数()f x 的图象可由sin 2y A x =的图象向左平移6π个单位得到 【答案】A【解析】【分析】 先由图象可知2A =，再把点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数解析式，结合02πϕ<<，可求得6π=ϕ，从而确定函数的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．然后根据正弦函数的对称中心、对称轴和单调性以及平移变换法则逐一判断每个选项即可． 【详解】由图可知，2A =，函数()y f x =的图象经过点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，52sin 2012πϕ⎛⎫∴⨯+= ⎪⎝⎭， ()526k k Z πϕππ∴+=+∈，即()26k k Z πϕπ=+∈， 02πϕ<<，0k ∴=，6π=ϕ，()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，令()26x k k Z ππ+=∈，则ππ122k x k Z ， 当0k =时，对称中心为,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即A 正确； 令()262x k k Z πππ+=+∈，则()62k x k Z ππ=+∈， 不存在k 使其对称轴为3x π=，即B 错误； 令()222622x k k k Z πππππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦，， 则()36x k k k Z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，， 当0k =时，函数()y f x =的单调递增区间为,,3633ππππ⎡⎤⎡⎤-⊃-/⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即C 错误； 2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位得到()2sin 22sin 263y x x f x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即D 错误． 故选：A ．【点睛】本题考查利用三角函数图象求函数解析式，同时也考查了正弦型函数的对称性、单调性以及三角函数图象变换，考查推理能力，属于中等题.7.《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a （0＜a ＜r ），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为（ ）A. ()221a p r - B. ()22 1a p r + C. () 1a p r - D. () 1a p r +【答案】A【解析】【分析】 计算圆形钱币的面积和正方形的面积，利用几何概型的概率公式求出p ，则π可求．【详解】圆形钱币的半径为r cm ，面积为S 圆＝π•r 2；正方形边长为a cm ，面积为S 正方形＝a 2．在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是 p S S S -==圆正方形圆122a rπ-， 所以π()221a p r =-． 故选：A ．【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法及应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是棱AB 的中点，动点F 是侧面ACC 1A 1（包括边界）上一点，若EF //平面BCC 1B 1，则动点F 的轨迹是（ ）A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分【答案】A【解析】【分析】分别取AC ，A 1C 1，A 1B 1的中点N ，F ，M ，连接ME ，MF ，NE ，EF ，证明N ，E ，M ，F 共面，利用线面平行证明EF ∥平面BCC 1B 1，则轨迹可求【详解】如图所示：分别取AC ，A 1C 1，A 1B 1的中点N ，F ，M ，连接ME ，MF ，NE ，EF ，因为E 为AB 的中点，所以NE ∥BC 且NE 12BC =，FM ∥B 1C 1，MF 12=B 1C 1， 所以N ，E ，M ，F 共面，所以ME ∥BB 1，NE ∥BC ，所以ME ∥平面BCC 1B 1，NE ∥平面BCC 1B 1而NE ∩ME ＝E ，BC ∩BB 1＝B ，所以面NEMF ∥平面BCC 1B 1，而EF ⊂面MN ，所以EF ∥平面BCC 1B 1，所以要使EF ∥平面BCC 1B 1，则动点F 的轨迹为线段FN ．故选：A ．【点睛】本题主要考查线线平行，线面平行，面面平行的转化，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.9.已知函数22log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，则()(1)f x f x <+的解集为( ) A. (1,)-+∞B. (1,1)-C. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】 由题意利用函数的单调性，分类讨论求得x 的范围．【详解】∵函数()22111log x x f x x x ⎧=⎨-≤⎩，＞，，则f （x ）＜f （x +1）， ∴当x ≤0时，则x +1≤1，则不等式f （x ）＜f （x +1），即x 2﹣1＜（x +1）2﹣1，求得12-＜x ≤0．当0<x ≤1时，则x +1>1，则不等式f （x ）＜f （x +1），此时f （x ）=x 2﹣1＜0＜f （x +1）=log 2（x +1），∴0<x ≤1成立．当x ＞1时，不等式f （x ）＜f （x +1），即 log 2x ＜log 2（x +1），求得x ＞1． 综上可得，不等式的解集为（12-，+∞）， 故选：C ．【点睛】本题主要考查分段函数与不等式的综合，涉及到二次函数、对数函数的单调性及值域的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题．10.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b cos C +c cos B ＝6,c ＝3,B ＝2C ,则cos C 的值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式,正弦定理可得6cos b C =，利用两角和的正弦函数公式,正弦定理化简已知等式可得26a c ==，进而根据余弦定理即可求解cos C 的值．【详解】解：3c =，2B C =，sin sin 22sin cos B C C C ∴==， 由正弦定理sin sin bc B C ,可得2sin cos sin b c C C C=,可得6cos b C =， cos cos 6b C c B +=，设ABC 的外接圆半径为R ， 由正弦定理可得6sin cos sin cos 2B C C B R+=， 又()sin cos sin cos sin sin B C C B B C A +=+=，可得6sin 2sin 62A R A R =⇒=， 可得26a c ==，22223636cos 926s cos 26co C Ca b c C ab ∴+-⨯+-==⨯，可得23cos 4C =， c a <，则C 为锐角，解得cos 2C =． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用，需要根据题意确定合适的三角函数公式互化求解，属于中档题.11.若关于x 的不等式2ln x ≤ax 2+（2a ﹣2）x +1恒成立，则a 的最小整数值是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】 根据条件先参变分离得：21212lnx x a x x +-≥+，令g （x ）21212lnx x x x +-=+，问题转化为()max a g x ≥ ，再对()g x 求导判断其单调性，求解()max g x ，从而得到a 的最小整数值.【详解】若关于x 的不等式2ln x ≤ax 2+（2a ﹣2）x +1恒成立，问题等价于a 21212lnx x x x +-≥+在（0，+∞）恒成立，令g （x ）21212lnx x x x +-=+，则g ′（x ）()223112212x x lnx x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令h （x ）3122=-x ﹣ln x ，（x ＞0）， 则h ′（x ）112x =--＜0， 故h （x ）在（0，+∞）递减，又()110h =>，()12ln 202h =-<， 所以存在()01,2x ∈，使得()00031ln =022h x x x =--，即0031ln =22x x -， 所以x ∈（1，x 0）时，g ′（x ）＞0，g （x ）递增，x ∈（x 0，2）时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减，∴g （x ）max ＝g （x 0）002001212lnx x x x +-=+， 又0031ln =22x x -， 所以g （x ）max ＝g （x 0）00020000011112211122lnx x x x x x x x +-+===⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 又1＜x 0＜2， ∴0112x ＜＜1， ∴a ≥1，a 的最小整数值是1.故选：B ．【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围问题，解题关键在于若能参变分离先分离，分离之后转化为利用导数求函数的最值问题，考查运算和分析转化能力，属于中档题.12.过双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）右焦点F 2作双曲线一条渐近线垂线，垂足为P ，与双曲线交于点A ，若223F P F A →→= ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. y ＝±12x B. y ＝±x C. y ＝±2x D. y ＝±25x【答案】A 【解析】【分析】先由题意画出图形，不妨设一条渐近线方程为b yxa=，求得直线F2P：y()ax cb=--,与已知渐近线方程联立求得点P的坐标，再由向量等式求得A的坐标，代入双曲线方程整理即可求得双曲线C的渐近线方程．【详解】如图，不妨设双曲线的一条渐近线方程为by xa=，则F2P所在直线的斜率为ab-，直线F2P的方程为：y()ax cb=--，联立()by xaay x cb⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得P（2a abc c，），设A（x0，y0），由223F P F A→→=，得（2acc-，abc）＝3（x0﹣c，y0），所以()233ac x ccabyc⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：22233a cxcabyc⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即A（2223a cc+，3abc），代入2222x ya b-=1，得222222222(2)199a c a ba cb c+-=，整理得：42340a a b b ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：2a b=，所以12b a =，∴双曲线C 的渐近线方程为y 12x =±． 故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的性质、渐近线方程的求法，考查向量关系的坐标表示，考查计算能力和分析转化能力，属于中档题.二､填空题13.已知向量(),1a k =-，()4,2b =-，若a 与b 共线，则实数k 的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】根据题意，向量(),1a k =-，()4,2b =-， 若a 与b 共线，则有()()2140k --⨯-=，解得2k =； 故答案为：2．【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.14.已知等比数列{}n a 是单调递增数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若24a =，1310a a +=，则4S =__________.【答案】15 【解析】 分析】设公比为q ，再根据24a =，1310a a +=求得q ，进而求得4S 即可. 【详解】设公比为q ，因为24a =，1310a a +=，故4410q q +=，即22520q q -+=，解得2q 或12q =.又等比数列{}n a 是单调递增数列，且24a =，故2q.故222n n n a a q-==.所以41234124815S a a a a =+++=+++=. 故答案为：15【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量与通项的求解、求和等.属于基础题.15.斜率为3的直线l 过抛物线()220y px p =>的焦点，若直线l 与圆()2224x y -+=相切，则p =_____．【答案】12 【解析】 【分析】求出直线l 方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求解即可．l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l的方程为32p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即02p x --=， 直线l 与圆()22:24M x y -+=相切，圆心为()2,0，半径为2，2=，解得12p =或4p =-（舍去）.故答案为：12.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查抛物线的焦点坐标，解题时由抛物线焦点坐标写出直线方程，由圆心到直线距离等于半径即可求解．16.正四棱锥P ﹣ABCD 的底面边长为2,侧棱长为,过点A 作一个与侧棱PC 垂直的平面α,则平面α被此正四棱锥所截的截面面积为_____,平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为_____. 【答案】(1). (2). 12（或2）【解析】 【分析】由已知得△P AC 为正三角形,取PC 的中点G ,得AG ⊥PC ,且AG =然后证明AG ⊥EF ,且求得AG 与EF的长度,可得截面四边形的面积；再求出四棱锥P ﹣AEGF 的体积与原正四棱锥的体积,则平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值可求. 【详解】解：如图,在正四棱锥P﹣ABCD中,由底面边长为2,侧棱长为2可得△P AC为正三角形,取PC的中点G,得AG⊥PC,且AG6=设过AG与PC垂直的平面交PB于E,交PD于F,连接EF,则EG⊥PC,FG⊥PC,可得Rt△PGE≌Rt△PGF,得GE＝GF,PE＝PF, 在△P AE与△P AF中,由P A＝P A,PE＝PF,∠APE＝∠APF,得AE＝AF. ∴AG⊥EF.在等腰三角形PBC中,由PB＝PC＝2,BC＝2,得cos∠BPC34 22222==⨯⨯,则在Rt△PGE中,得22334PGPEcos BPC===∠.同理PF23=则EF∥DB,得到423EF=.∴1142436223AEGFS AG EF=⨯⨯==四边形则1434623P AEGFV-==.又1462263P ABCDV-=⨯⨯=,∴平面α461924646=-.43；12（或2）.【点睛】本题主要考查了锥体中的截面计算问题,需要根据线面垂直的性质求出截面四边形,再根据三角形中的关系求解对应的边长以及面积等.属于难题.三､解答题17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝n （n +2）（n ∈N *）. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 4nna =,求数列{b n }的前n 项和T n . 【答案】（1）a n ＝2n +1；（2）T n 116111()994nn +=-⋅. 【解析】 【分析】（1）由n ＝1时求得a 1,当n ≥2时,由S n ＝n （n +2）（n ∈N *）① ,可得S n ﹣1＝（n ﹣1）（n +1）② ,由①﹣②得a n ＝2n +1,再检验当n ＝1时是否适合,求得a n ； （2）由（1）求得b n 2144n n n a n +==,再利用错位相减法求其前n 项和T n 即可. 【详解】解：（1）由题知：当n ＝1时,有S 1＝1×3＝3＝a 1； 当n ≥2时,由S n ＝n （n +2）（n ∈N *）① ,可得S n ﹣1＝(1)(1)n n -+② ,由①﹣② 得a n ＝2n +1, 又n ＝1时也适合,故a n ＝2n +1； （2）由（1）知b n 2144n n na n +==, ∵T n ＝314⨯+521()4⨯+7×（14）3+…+（2n +1）•（14）n ③,∴14n T =321()4⨯+5×（14）3+…+（2n +1）11()4n +⋅④, 由③﹣④可得：()2313311112[()())21()444444n n n T n +⎛⎤=++++-+⋅ ⎥⎝⎦()21111()[1)3144221()14414n n n -+⎛⎤- ⎥⎝⎦=+⨯-+⋅-1116111()1234n n ++=-⋅, 所以T n 116111()994nn +=-⋅. 【点睛】本题主要考查了根据数列的前n 项和求解通项公式的方法,同时也考查了错位相减求和的方法,属于中档题.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AC AB ＝，11B C BC O ⋂＝．（1）求证：1B C AB ⊥；（2）若160CBB ∠︒＝，AC BC =，三棱锥1A BB C -的体积为1，且点A 在侧面11BB C C 上的投影为点O ，求三棱锥1A BB C -的表面积．【答案】（1）详见解析；（2153 【解析】 【分析】（1）由侧面11BB C C 为菱形，得1B C BO ⊥，再由1AC AB ＝，O 为1B C 的中点，得1B C AO ⊥，利用直线与平面垂直的判定可得1B C ⊥平面ABO ，从而得到1B C AB ⊥；（2）点A 在侧面11BB C C 上的投影为点O ，即AO ⊥平面11BB C C ，设2BC a =，由三棱锥1A BB C -的体积为1求解a ，再求解三角形可得三棱锥1A BB C -的表面积． 【详解】（1）证明：∵侧面11BB C C 为菱形，∴1B C BO ⊥， 又1AC AB ＝，O 为1B C 的中点，∴1B C AO ⊥， 而AO BO O ⋂＝，∴1B C ⊥平面ABO ，得1B C AB ⊥；（2）解：点A 在侧面11BB C C 上的投影为点O ，即AO ⊥平面11BB C C ， 在菱形11BB C C 中，∵160CBB ∠︒＝，∴1B BC 为等边三角形， 又AC BC =，设2BC a =，则121226032BB CSa a sin a =⨯⨯⨯︒=， 3AO a =，则12313313A BBC V a a a -===，即1a =． 在平面1BB O 中，过O 作1OE BB ⊥，连接AE ，可得OE 31322⨯==，则22315(3)()22AE =+=．∴1115152222ABB S=⨯⨯=，同理可得152ABCS =． 则三棱锥1A BB C -的表面积为151222315232S =⨯+⨯⨯⨯=+．【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求三棱锥的表面积问题，属于常考题型.19.全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数（百分制）随机抽取了30名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1名女职工的健康指数的数据模糊不清（用x 表示），已知这30名职工的健康指数的平均数为76.2．（1）根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数；（2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求抽取的2人都是男职工的概率；（3）经计算，样本中男职工健康指数的平均数为81，女职工现有数据（即剔除x ）健康指数的平均数为69，方差为190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差（结果精确到0.1）． 【答案】（1）众数是76，中位数是81；（2）310；（3）平均数为69，方差约为174.2． 【解析】 【分析】（1）根据茎叶图中数据，计算样本中男职工健康指数的众数和中位数即可；（2）根据分层抽样原理求出抽取的男、女职工人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值即可； （3）根据题意求出x 的值，再计算健康指数的平均数和方差． 【详解】（1）根据茎叶图，得到样本中男职工健康指数的众数是76， 中位数是1(8082)812⨯+=； （2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，抽样比51306== 男职工抽11836⨯=（人），记为,,a b c ，女职工2人，记为,D E ，从这5人中随机抽取2人，所有的基本事件是ab 、ac 、aD 、aE 、bc 、bD 、bE 、cD 、cE 、DE 共10种，抽取的2人都是男职工的事件为ab 、ac 、bc ， 故所求的概率为P 310=； （3）由题意知: 811811696076.230x ⨯+⨯++=⨯，解得69x =； 所以样本中所有女职工的健康指数平均数为(116969)6912x ⨯+==，方差为221[11190(6969)]174.212s =⨯⨯+-≈. 【点睛】本题第一问考查众数和中位数，第二问考查古典概型，第三问考查方差和平均数，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>过点(2,0)A ，且离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率为k (0)k ≠的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点1(,0)8，求k 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）5(,(,)1010-∞-+∞．【解析】 【分析】（1）根据题意得2a =,再由离心率求出c ，进而得出b ，即可得到椭圆的方程．（2）设直线l 的方程：y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立直线l 与椭圆C 的方程得到关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得12x x +，12x x ，12y y +的值和>0∆，即2243m k <+①，根据线段MN 中点2243(,)3434km m k k -++，写出线段MN 的垂直平分线的方程为22314()3434m kmy x k k k -=-+++，将点1(,0)8代入，得()21438m k k=-+，代入①式即可得到k 的取值范围． 【详解】（1）因为椭圆C 过点(2,0),2A a ∴=，且离心率为1,1,2c b ∴== 所以椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）设直线l 的方程：y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立直线l 与椭圆C 的方程联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得： 222(34)84120k x kmx m +++-=. 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->整理得：2243m k <+①122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+， 12122286()2()23434km my y k x x m k m k k +=++=-+=++.因为线段MN 中点2243(,)3434km mk k -++， 所以线段MN 的垂直平分线的方程为22314()3434m kmy x k k k -=-+++， 又因为线段MN 的垂直平分线过点1(,0)8，所以223114()34834m kmk k k-=-+++，即24830k km ++=， 所以()21438m k k =-+， 代入①式得：2222(43)4364k k k++＜， 整理得：4224016890k k +->，即22(201)(129)0k k -+>解得10k >10k <-，所以k 的取值范围为：5(,(,)1010-∞-+∞． 【点睛】本题第一问考查椭圆的方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，属于较难题.21.已知函数f （x ）＝ln x ﹣sin x ,记f （x ）的导函数为f '（x ）. （1）若h （x ）＝ax 1x+-f '（x ）是（0,+∞）上的单调递增函数,求实数a 的取值范围； （2）若x ∈（0,2π）,试判断函数f （x ）的极值点个数,并说明理由.【答案】（1）a ≥1；（2）函数f （x ）在（0,2π）上有且仅有唯一的极大值点,无极小值点；理由详见解析 【解析】 【分析】（1）只需h′（x ）≥0在（0,+∞）恒成立,借助于三角函数的有界性,问题可解决. （2）分x ∈（0,1）,12x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，,322x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,322x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，四种情形分别研究f （x ）的单调性,进而得出结论.【详解】解：（1）∵1'f x cosx x=-（）, ∴11h x ax cosx x x=+-+=（）ax +cos x ,因为h （x ）是（0,+∞）上的单调递增函数, ∴h ′（x ）＝a ﹣sin x ≥0（x ＞0）恒成立,因为sin x ∈[﹣1,1], 故a ≥1时,h ′（x ）≥0恒成立,且导数为0时不连续. 故a ≥1即为所求.（2）由（1）知,1'f x cosx x=-（）, ①当x ∈（0,1]时,f ′（x ）≥1﹣cos x ＞0, 此时函数f （x ）单调递增,无极值点； ②当12x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时,则12x π≥, ∵112cosx cos sin π⎛⎫=-⎪⎝⎭＜,而由三角函数的性质可知,211122sin x πππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＜＜＜,∴1'0f x cosx x=-（）＞, 此时函数f （x ）单调递增,无极值点；③当322x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，时,cos x ＜0,则1'0f x cosx x =-（）＞, 此时函数f （x ）单调递增,无极值点； ④当322x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时,令1'g x f x cosx x ==-（）（）,则21'0g x sinx x =-+（）＜,∴函数g （x ）单调递减, 又()3210210232g g ππππ⎛⎫==-⎪⎝⎭＞，＜, ∴存在唯一的0322x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，,使得g （x 0）＝0, 且当032x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时,g （x ）＝f ′（x ）＞0,f （x ）单调递增,当x ∈（x 0,2π）时,g （x ）＝f ′（x ）＜0,f （x ）单调递减, 故x 0是函数f （x ）的极大值点,综上所述,函数f （x ）在（0,2π）上有且仅有唯一的极大值点,无极小值点.【点睛】本题主要考查了根据函数的单调区间求解参数范围的问题,需要根据题意求导分析在区间上恒成立的问题,同时也考查了利用导数求解函数极值点个数的问题,需要根据题意分情况讨论导数的正负以及原函数的单调区间,再利用零点存在定理求解.属于难题.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为22413sin ρθ=+． （1）写出曲线C 1和C 2的直角坐标方程；（2）已知P 为曲线C 2上的动点，过点P 作曲线C 1的切线，切点为A ，求|P A |的最大值．【答案】（1）C 1的直角坐标方程为22(2)1x y +-=；C 2的直角坐标方程为2214x y +=；（2）3． 【解析】 【分析】（1）由cos 2sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），消去参数α，可得曲线C 1的直角坐标方程．由22413sin ρθ=+，得ρ2+3ρ2sin 2θ＝4，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 2的直角坐标方程；（2）由P 为曲线C 2上的动点，设P （2cos α，sin α），则P 与圆的圆心的距离d ==利用二次函数求最值，再由勾股定理求|P A |的最大值．【详解】解：（1）由cos 2sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），消去参数α，可得22(2)1x y +-=． ∴曲线C 1的直角坐标方程为22(2)1x y +-=； 由22413sin ρθ=+，得ρ2+3ρ2sin 2θ＝4， 即x 2+y 2+3y 2＝4，即2214x y +=． ∴曲线C 2的直角坐标方程为2214x y +=； （2）∵P 为曲线C 2上的动点，又曲线C 2的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩∴设P （2cos α，sin α），则P 与圆C 1的圆心的距离d ===．要使|P A |的最大值，则d 最大，当sin α23=-时，d∴|P A |==． 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．23.已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|2x ﹣2|的最大值为M ，正实数a ，b 满足a +b ＝M ．（1）求2a 2+b 2的最小值；（2）求证：a a b b ≥ab ．【答案】（1）83；（2）详见解析． 【解析】【分析】（1）去绝对值得分段函数：3,1()31,113,1x xf x x xx x-≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-+≥⎩，由单调性易求函数f（x）的最大值，即有M的值，再由柯西不等式，即可得到所求最小值；（2）应用分析法证明，考虑两边取自然对数，结合因式分解和不等式的性质、对数的性质，即可得证.【详解】解：（1）函数3,1 ()31,113,1x xf x x xx x-≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-+≥⎩，∴()f x在（−∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，当x＝1时，f（x）取得最大值(1)2f=，即M＝2，正实数a，b满足a+b＝2，由柯西不等式可得（2a2+b2）（12+1a2+b）2，化为2a2+b22()8332a b+≥=，所以当2222ba=，即b43=，a23=时，2a2+b2取得最小值83；（2）证明：因为a+b＝2，a，b＞0，要证a a b b≥ab，即证a ln a+b ln b≥ln a+ln b，即证（a﹣1）ln a≥（1﹣b）ln b，即证（a﹣1）ln a≥（a﹣1）ln（2﹣a），即证（1﹣a）ln（2a-1）≥0，当0＜a＜1时，2a-1＞1，所以ln（2a-1）＞0，由1﹣a＞0，可得（1﹣a）ln（2a-1）＞0；当a＝1时，（1﹣a）ln（2a-1）＝0；当1＜a＜2时，02a-＜1＜1，所以ln（2a-1）＜0，因为1﹣a＜0，所以（1﹣a）ln（2a-1）＞0，综上所述，（1﹣a）ln（2a-1）≥0成立，即a a b b≥ab.【点睛】本题考查含绝对值的函数最值的求解，考查柯西不等式的应用以及分析法证明不等式，考查学生计算能力与分析能力，是中档题.。
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(十四)数学(理)试题
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试（十四）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}22|10,|log 0A x x B x x =-<=<，则AB =（ ）A. (1,0]-B. (0,1)C. (1,1)-D. ∅【答案】A 【解析】 【分析】由得可得()1,1A =-和(0,1)B =，然后根据补集的定义即可得出答案. 【详解】解：210x -<，11x ∴-<<，()1,1A ∴=-.2log 0,01,(0,1)x x B <∴<<∴=.(]1,0A B ∴=-.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的补集运算、一元二次不等式和对数不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题.2.设复数11iz i+=-，则22z z -+的虚部为（ ） A. i B. i -C. 1-D. 1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，代入22z z -+，整理后即可求得22z z -+的虚部． 【详解】解：21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+， 22221z z i i i ∴-+=-+=-，则22z z -+的虚部为1-． 故选：C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．3.X 表示某足球队在2次点球中射进的球数，X 的分布列如下表，若()1E X =，则()D X =（ ）A.13B.12C.14D.23【答案】D 【解析】 【分析】根据期望和方差的数学公式求解即可【详解】由()1E X =，可得1()01213E X a b =⨯+⨯+⨯=①，又由113a b ++=②，由①和②可得，13a =，13b =，所以，2221112()(01)(11)(21)3333D X =⨯-+⨯-+⨯-= 故选：D【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差公式的应用，属于基础题. 4.已知1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2=α（ ）A.35B.35C.45D. 45-【答案】B 【解析】 【分析】先用两角和的正切公式求出tan α，再用倍角公式化简cos2α，再用弦化切技巧求解.【详解】由1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则tan tan44tan tan 441tan tan44ππαππααππα⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭=-+= ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭2=，又222222cos sin cos 2cos sin cos sin ααααααα-=-=+221tan 14141tan αα--==++35=- 故选：B ． 【点睛】本题考查两角和的正切公式，余弦的倍角公式，弦化切技巧，角变换技巧，是考查了多个基本知识的基础题． 5.对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知{1,3}M =，{1,3,5,7,9}N =，若从集合M ，N 中各任取一个数x ，y ，则3log ()xy 为整数的概率为（ ） A.15B.25C.35D.45【答案】C 【解析】 【分析】基本事件总数2510n，利用列举法求出3log ()xy 为整数包含的基本事件有6个，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】{1,3}M =，{1,3,5,7,9}N =， 若从集合M ，N 中各任取一个数x ，y ， 基本事件总数2510n，3log ()xy 为整数包含的基本事件有()1,1，()1,3，()1,9，()3,1，()3,3，()3,9，共有6个，∴3log ()xy 为整数的概率为63105p ==.故选：C【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、分步计数原理、列举法求基本事件个数、对数的运算，属于基础题.6.已知直线l m 、与平面αβ、，,l m αβ⊂⊂，则下列命题中正确的是（ ） A. 若//l m ，则//αβ B. 若l β⊥，则αβ⊥ C. 若l β//，则//αβ D. 若αβ⊥，则l m ⊥【答案】B 【解析】 【分析】根据空间点、直线、平面之间的位置关系，对四个选项逐一判断可得答案. 【详解】对于A ，若//l m ，则//αβ或α与β相交，故A 不正确；对于B ，若l β⊥，又l α⊂，则根据平面与平面垂直的判定定理可得αβ⊥，故B 正确； 对于C ，若l β//，则//αβ或α与β相交，故C 不正确；对于D ，若αβ⊥，则//l m 或l 与m 为异面直线，或l 与m 相交，故D 不正确. 故选：B.【点睛】本题考查了空间点、直线、平面之间的位置关系，属于基础题.7.甲、乙、丙三名学生参加数学竞赛，他们获得一、二、三等奖各一人，对于他们分别获得几等奖，其他学生作了如下的猜测：猜测1：甲获得二等奖，丙获得三等奖； 猜测2：甲获得三等奖，乙获得二等奖； 猜测3：甲获得一等奖，丙获得二等奖；结果，学生们的三种猜测各对了一半，则甲、乙、丙所获得的奖项分别是（ ） A. 一等、二等、三等 B. 二等、一等、三等 C. 二等、三等、一等 D. 三等、二等、一等 【答案】A 【解析】 【分析】首先假设猜测1：甲获得二等奖正确，得到与猜测2矛盾，假设不成立，得到丙获得三等奖正确，从而得到猜测3中甲获得一等奖正确和猜测2中乙获得二等奖正确，综合即可得到答案. 【详解】假设猜测1：甲获得二等奖正确，则猜测2：甲获得三等奖错误，乙获得二等奖错误；与题意矛盾，假设不成立. 故：猜测1：甲获得二等奖错误，丙获得三等奖正确； 根据丙获得三等奖正确得到：猜测3：甲获得一等奖正确，丙获得二等奖错误； 根据甲获得一等奖正确，得到：猜测2：甲获得三等奖错误，乙获得二等奖正确， 综上：甲获得一等奖，乙获得二等奖，丙获得三等奖. 故选：A【点睛】本题主要考查合情推理，同时考查学生分析问题和解决问题的能力，属于简单题.8.过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点1(2,0)F -作垂直于实轴的弦MN ，A 为E 的右顶点.若AM AN ⊥，则E 的方程为（ ）A. 22139x y -=B. 2213x y -=C. 2213y x -=D. 22193x y -=【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得c 的值，再由题意及双曲线的对称性可得2ba c a+=，又有a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出双曲线的方程．【详解】解：由题意可得2c =，由题意可得2(2,)b M a -，2(2,)b N a--，由双曲线的对称性及AM AN ⊥可得2b ac a +=，2224c a b =+=，解得：21a =，23b =，所以双曲线的方程为：2213y x -=，故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的性质，属于基础题．9.已知函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，若数列{}n a 满足12(0)n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1(1)n f f n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前20项和为（ ）A. 100B. 105C. 110D. 115【答案】D 【解析】 【分析】根据函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，利用倒序相加法求出n a ，再求前20项和． 【详解】解：函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，()()12110n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋯⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，由①+②可得21n a n =+，12n n a +∴=，所以数列 {}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，其前20项和为20120121152+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=． 故选：D ．【点睛】本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题．10.已知圆柱的高为h ，它的两个底面半径为r 的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（ ）A. 2πB. 3πC. 4πD. 8π【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形，利用勾股定理可得2214h r +=，再由基本不等式求得rh 的最大值，则圆柱侧面积的最大值即可求得. 【详解】解：如图：根据题意可得：1,,2h OA OG GA r ===，则2212h r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 所以2214h r +=，则221242h h r r rh =+≥⋅⋅=，当且仅当2hr =，即22r 时上式等号成立. 所以，圆柱的侧面积22S r h ππ=⋅≤. 即该圆柱的侧面积的最大值为2π. 故选：A.【点睛】本题主要考查圆柱的外接球，基本不等式，考查学生数形结合的能力，属于中档题.11.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 交于,A B 两点.若112AF F B =，2||AB BF =，则C 的离心率为（ ）A.13B.23C.3 D.23【答案】C 【解析】 【分析】由112AF BF =，2AB BF =，利用椭圆的定义，求得1AF a =，2AF a =，32AB a =， 可得2112cos 332aBAF a ∠==，1sin c OAF a ∠=，由于212BAF OAF ∠=∠，由二倍角公式列方程可得结果. 【详解】如图，由题意可得：122AF AF a +=，122F B BF a +=，112AF F B =，213AB BF BF ==，所以1132F B F B a +=，故12a F B =， 可得1AF a =，2AF a =，32AB a =，122F F c =， 利用2AB BF =，则2ABF ∆为等腰三角形，所以，221122cos 332AF a BAF AB a ∠===，1sin c OAF a ∠=，212BAF OAF ∠=∠,可得2112()3ca =-，可得3c e a ==．故选：C【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用以及椭圆的离心，属于难题．离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．12.已知函数()f x 是定义在R 上连续的奇函数，当0x >时，()2()0xf x f x '+>，且(1)1f =，则函数21()()g x f x x=-的零点个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设2()()h x x f x =，由函数的零点与方程的关系分析可得函数21()()g x f x x =-的零点就是方程2()1x f x =的根，分析可得()h x 为R 上连续的奇函数，且在R 上为增函数，又由f （1）的值可得h （1）的值，据此可得方程2()1x f x =只有一个根，即函数21()()g x f x x=-只有1个零点，可得答案． 【详解】根据题意，若21()()0g x f x x =-=，变形可得22()1()0x f x g x x -==， 设2()()h x x f x =， 则函数21()()g x f x x=-的零点就是方程2()1x f x =的根， 2()()h x x f x =，其定义域为R ，又由()f x 为定义在R 上连续的奇函数，则2()()()()h x x f x h x -=--=-， 则()h x 为R 上连续的奇函数，2()()h x x f x =，则2()2()()[()2()]h x xf x x f x x xf x f x ''=+'=+，又由当0x >时，()2()0xf x f x '+>，则有()0h x '>，即函数()h x 为(0,)+∞上的增函数， 又由()h x 为R 上连续的奇函数，且(0)0h =， 则()h x 为R 上的增函数，又由f （1）1=，则h （1）f =（1）1=，则方程2()1x f x =只有一个根， 故函数21()()g x f x x =-只有1个零点， 故选：B.【点睛】本题考查函数的零点与方程的关系以及函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分题，共20分.13.已知13,2a ⎛= ⎝⎭，()a b a +⊥，则a b ⋅=________. 【答案】1- 【解析】 【分析】计算出2a 的值，再由()a b a +⊥可得出()0a b a +⋅=，由此可得出a b ⋅的值.【详解】13,22a ⎛= ⎝⎭，222112a ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭⎝⎭， ()a b a +⊥，()0a b a ∴+⋅=，即20aa b +⋅=，因此，21a b a ⋅=-=-.故答案为：1-.【点睛】本题考查向量数量积的运算，考查垂直向量的等价条件的应用，考查计算能力，属于基础题. 14.函数()cos (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π有且只有3个零点，则ω的取值范围是______. 【答案】710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】根据x 的取值范围，求得6x πω+的取值范围，结合余弦函数的零点列不等式，由此求得ω的取值范围.【详解】依题意，0>ω.由0x π≤≤得666x πππωωπ≤+≤+，要使函数()cos (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π有且只有3个零点，则需57262πππωπ≤+<，即71033ω≤<.所以ω的取值范围是710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本小题主要考查三角函数的零点问题，属于中档题. 15.在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2B Cb a B +⋅=⋅，且2c =，则锐角ABC 面积的取值范围是______.【答案】,2⎛ ⎝ 【解析】 【分析】根据已知条件，利用正弦定理求得A .画出图象，结合三角形ABC 是锐角三角形，求得b 的取值范围，由此求得三角形ABC 面积的取值范围.【详解】依题意，锐角三角形ABC 中，sin sin 2B Cb a B +⋅=⋅， 即sinsin 2Ab a B π-⋅=⋅，即cossin 2Ab a B ⋅=⋅.由正弦定理得cossin sin 2sin A B A B ⋅=⋅，由于02B π<<，所以sin 0B >. 故cossin 2AA =，即cos 2sin cos 222A A A =，由于02A π<<，所以024A π<<，所以2sin 12A=，1sin 22263A A A ππ=⇒=⇒=.画出三角形ABC 的图象如下图所示，其中12,BC AC BC AB ⊥⊥，1212cos21,4132cos32AB AC AB AC ππ=⋅=⨯====， 由于三角形ABC 是锐角三角形，所以C 在线段12C C 内运动（不包括端点）， 所以12AC b AC <<，即14b <<. 所以133sin ,23222ABCS bc A b ⎛⎫==∈ ⎪ ⎪⎝△. 故答案为：3,232⎛⎫⎪ ⎪⎝【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题. 16.已知函数32()1f x x ax bx =+++，关于函数()y f x =有下列结论： ①0x R ∃∈，()00f x =；②函数()y f x =的图象是中心对称图形，且对称中心是(0,1)； ③若0x 是()f x 的极大值点，则()f x 在区间()0,x +∞单调递减；④若0x 是()f x 的极小值点，且()00f x >，则()y f x =有且仅有一个零点. 其中正确的结论有________（填写出所有正确结论的序号）.【答案】①④ 【解析】 【分析】根据零点存在定理，对称性，导数与极值的关系对各选项判断．【详解】易知x →+∞时，()f x →+∞，x →-∞时，()f x →-∞，因此()f x 一定存在零点，①正确； 32322()()(1)(1)22f x f x x ax bx x ax bx ax -+=-+-+++++=+，所以()f x 图象不一定关于点(0,1)对称，②错；由题意2()32f x x ax b '=++，若0x 是()f x 的极大值点，则0x 是()0f x '=的一根，则它还有另一根2x ，据题意02x x <，只有在02(,)x x x ∈上()0f x '<，()f x 递减，在2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增，③错；与上面讨论类似，2()320f x x ax b '=++=有两个不等实根10,x x ，10x x <，在1x x <或0x x >时，()0f x '>，()f x 在两个区间上都是递增，10x x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，0x 是极小值点，1x 是极大值点，0()0f x >则，1()0>f x ，()f x 在1(,)x +∞上无零点，在1(,)x -∞上有唯一零点．④正确． 故答案：①④【点睛】本题考查函数的对称性，考查导数与极值的关系，函数的零点问题． 对称性结论：若()(2)2f x f a x b +-=在定义域内恒成立，则()f x 的图象关于点(,)a b 对称．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分.17.在①224n n n a a S b +=+，且25a =，②224n n n a a S b +=+，且1b <-，③224n n n a a S b +=+，且28S =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的b 存在，求出b 和数列{}n a 的通项公式与前n 项和；若b 不存在，请说明理由.设n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和，满足________，是否存在b ，使得数列{}n a 成为等差数列？ 【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】由224n n n a a S b +=+，用1n +换n 后得211124n n n a a S b ++++=+，两式相减得12n n a a +-=，若选择①，由25a =可求得等差数列{}n a 的通项公式及b 值，前n 项和；若选择②，由1n =得1a 和b 的关系式，作为关于1a 的二次方程，至少有正根，由根的分布得其条件是0∆≥，得出与已知矛盾的结论，说明不存在；若选择③，由28S =，同样可求n a 和b ． 【详解】解：选择①，因为224n n n a a S b +=+，所以211124n n n a a S b ++++=+，两式相减，得()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，即()()1120n n n n a a a a ++--+=，又10n n a a ++>，所以12n n a a +-=， 因为25a =，且212a a -=，所以13a =，由224n n n a a S b +=+，得211124a a a b +=+，即21120a a b --=， 把13a =代入上式，得3b =，当3b =时，由21120a a b --=及10a >，得13a =，所以13a =，25a =，满足12n n a a +-=，可知数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. 数列{}n a 的通项公式为32(1)21n a n n =+-=+， 数列{}n a 的前n 项和为2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+. 选择②，因为224n n n a a S b +=+，所以211124n n n a a S b ++++=+，两式相减，得()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，即()()1120n n n n a a a a ++--+=，又10n n a a ++>，所以12n n a a +-=， 由224n n n a a S b +=+，得121124a a a b +=+，即12120a a b --=， 因为已知数列{}n a 的各项均为正数，所以10a >，因为关于1a 的一元二次方程12120a a b --=至少存在一个正实数解的充要条件是440b ∆=+，解得1b -，这与已知条件1b <-矛盾，所以满足条件的b 不存在.（注：若21120a a b --=存在两个实数解分别为1x ，2x ，则122x x +=，12x x b =-，当0b >时，21120a a b --=的解一正一负；当0b =时，21120a a b --=的解一正一零； 当10b -≤<时，21120a a b --=的解均为正.所以方程21120a a b --=至少存在一个正实数解，当且仅当440b ∆=+.） 选择③，因为224n n n a a S b +=+，所以211124n n n a a S b ++++=+，两式相减，得()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，即()()1120n n n n a a a a ++--+=，又10n n a a ++>，所以12n n a a +-=， 由12n n a a +-=，得212a a -=，又已知2128S a a =+=， 所以13a =，25a =，由224n n n a a S b +=+，得121124a a a b +=+，2112b a a =-，所以21123b a a =-=，当3b =时，由21120a a b --=及10a >得13a =， 由2222243a a S +=+，13a =及20a >，得25a =，所以13a =和25a =满足12n n a a +-=，可知数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}n a 的通项公式为32(1)21n a n n =+-=+， 数列{}n a 的前n 项和为2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+. 【点睛】本题考查数列的探索性命题，考查数列的前n 项n S 与n a 的关系，确定数列的通项公式．解题根据是1(2)n n n S S a n --=≥．18.如图，在Rt ABC 中，,2AB BC AB BC ⊥==，点P 为AB 的中点，//PD BC 交AC 于点D ，现将PDA 沿PD 翻折至1PDA ，使得平面1PDA ⊥平面PBCD .（1）若Q 为线段1A B 的中点，求证：PQ ⊥平面1A BC ； （2）在线段1A C 上是否存在点E ，使得二面角B PD E --大小为4π.若存在，请求出点E 所在位置，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在；E 为线段1A C 的中点 【解析】 【分析】（1）推导出AB BC ⊥，//PD BC ，从而PD AB ⊥，推导出1PD A P ⊥，1BC A P ⊥，进而BC ⊥平面1PBA ，由此能求出PQ BC ⊥，1PQ A B ⊥，由此能证明PQ ⊥平面1A BC ．（2）推导出PD PB ⊥，1PD PA ⊥，得1PA ⊥平面PBCD ，以点P 为坐标原点，分别以PA ，PD ，1PA 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，当点E 为线段1A C 的中点时，二面角B PD E --的大小为4π． 【详解】解：（1）证明：在Rt ABC 中，,//AB BC PD BC ⊥，PD AB ∴⊥，将PDA 沿PD 翻折至1PDA ，1PD A P ∴⊥，1BC A P ∴⊥ 又1AB A P P ⋂=，BC ∴⊥平面1PBA ， PQ ⊂平面1PBA ，PQ BC ∴⊥，在1PBA 中1PA PB =，Q 为1A B 的中点，1PQ A B ∴⊥，又1A B BC B ⋂=，PQ ∴⊥平面1A BC（2）在Rt ABC ，,//AB BC PD BC ⊥，PD PB ∴⊥，又PDA 沿PD 翻折至1PDA ，且平面1PDA ⊥平面PBCD ，由（1）有1PD PA ⊥，得1PA ⊥平面PBCD .以点P 为坐标原点，分别以1,,PA PD PA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系P xyz -，如图所示. 则1(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,2,0)P A D C -，1(0,1,0),(1,2,1)PD AC ==--. 设11(01)A E AC λλ=，则(,2,1)E λλλ--，所以(,2,1)PE λλλ=--设平面PDE 的一个法向量为(,,)m x y z =则由0,0,m PE m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2(1)0,x y z y λλλ-++-=⎧⎨=⎩可得(1,0,)m λλ=-可取平面BPD 的一个法向量为(0,0,1)n = 则()222cos ,21m n m n m nλλ⋅===-+，解得12λ=. 所以当点E 为线段1A C 的中点时，二面角B PD E --大小为4π.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.某校举行了全体学生的一分钟跳绳比赛，为了了解学生的体质，随机抽取了100名学生，其跳绳个数的频数分布表如下： 一分钟跳绳个数 [145,155) [155,165) 165,[175) 175,[185) [185,195) [195,205) [205,215]频数 612183016108（1）若将抽取的100名学生一分钟跳绳个数作为一个样本，请将这100名学生一分钟跳绳个数的频率分布直方图补充完整（只画图，不需要写出计算过程）；（2）若该校共有3000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数X 近似服从正态分布()2,15N μ，其中μ为样本平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.利用所得正态分布模型，解决以下问题： ①估计该校一分钟跳绳个数超过165个的人数（结果四舍五入到整数）；②若在该校所有学生中任意抽取4人，设一分钟跳绳个数超过180个的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列、期望与方差.附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-+=，(22)0.9544P Z μσμσ-+=，(33)0.9974P Z μσμσ-+=.【答案】（1）作图见解析；（2）①2524（人）②分布列见解析；()2,()1E D ξξ== 【解析】 【分析】（1）由跳绳个数的频数分布表能完成频率分布直方图．（2）①由频率分布直方图求出样本数据的平均数的估计值，从而该校全体学生的一分钏跳绳个数X 近似服从正态分布(180N ，215)，由18015165μσ-=-=，求出0.68261(165)0.841322P X >=+=，由此能求出该校一分钟跳绳个数超过165个的人数．②由正态分布求出在该校任取一人，一分钟跳绳个数超过180个的概率约为12，从而1~(4,)2B ξ，由此能求出随机变量ξ的分布列、期望与方差． 【详解】解：（1）由题意可得，（2）样本数据的平均数的估计值为0.061500.121600.181700.31800.16190μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+0.12000.08210180⨯+⨯=（个）所以该校全体学生的一分钟跳绳个数X 近似服从正态分布()2180,15N①18015165μσ-=-=，0.68261(165)0.841322P X ∴>=+= 所以该校一分钟跳绳个数超过165个的人数约为30000.84132523.92524⨯=≈（人） ②由正态分布可得，在该校任取一人，一分钟跳绳个数超过180个的概率约为12，所以1~4,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，4.所以0404111(0)12216P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1314111(1)1224P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2224113(2)1228P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3134111(3)1224P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，444111(4)12216P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4P 116 14 3814 116所以111()42,()411222E D ξξ⎛⎫=⨯==⨯⨯-= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查频率分布直方图的画法，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查正态分布、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 20.已知函数()21xf x e x =--.（1）若函数()()f x F x x=，讨论()F x 在()0,∞+的单调性； （2）若()()23522f x k x x k Z -+∈，对任意x ∈R 恒成立，求整数k 的最大值. 【答案】（1）()F x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增（2）1- 【解析】 【分析】（1）利用导数的符号可求得()F x 在()0,∞+的单调性； （2）分离变量k ，转化为求函数()215122xh x e x x =+--的最小值，通过导数和零点存在性定理可得结果.【详解】（1）因为()()()211x x e x F x x ---'=，令()1xg x e x =--，则()()100xg x e x =->>'.所以函数()g x 在()0,∞+单调递增，从而()()00g x g >=，所以10x e x -->. 由()0F x '>，得1x >；由()0F x '<得01x <<. 所以()F x 区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增.（2）因为()()23522f x k x x k Z -+∈，对任意x ∈R 恒成立， 所以2min15122xk e x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭. 令()215122xh x e x x =+--，则()52x h x e x '=+-，所以()h x '在R 上单调递增， 又()()3300,1022h h e ''=-<=->，所以存在唯一的()00,1x ∈，使得()00h x '=又1202h ⎛⎫'=<⎪⎝⎭由（1）知当0x >时，1xe x >+，所以343737104444h e ⎛⎫=->+-⎪'= ⎝⎭所以存在唯一的013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=，即0052x e x =-.当01,2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 单调递减； 当03,4x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以()h x 单调递增；所以()()0222000000min151731737122222224x h x h x e x x x x x ⎡⎤⎛⎫==+--=-+=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()min 271,328h x ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭又k Z ∈，所以k 的最大值为1-.【点睛】本题考查了利用导数讨论函数的单调性，考查了零点存在性定理，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，属于中档题.21.已知抛物线2:2(0)M x py p =>上一点(4,)Q a 到焦点F 的距离为54a . （1）求抛物线M 的方程；（2）过点F 斜率为k 的直线l 与M 相交于C ，D 两点，线段CD 的垂直平分线l '与M 相交于,A B 两点，点,E H 分别为线段CD 和AB 的中点.①试用k 表示点E H 、的坐标；②若以线段AB 为直径的圆过点C ，求直线l 的方程.【答案】（1）24x y =（2）①()22,21E k k +；2222,23H k k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭②1y x =+，或1y x =-+ 【解析】 【分析】（1）根据题意可得524p aa +=且216pa =，解得p ，进而得出抛物线方程． （2）①点F 的坐标为(0,1)，写出直线l 的方程为：1(0)y kx k =+≠，联立直线l 与抛物线M 的方程得2440(x kx --=0)∆>，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，则由韦达定理得124x x k +=，21242y y k +=+，进而得中点E 的坐标，再写出线段CD 垂直平分线l '的方程：21(23)y x k k=-++，联立它与抛物线方程，同理得线段AB 中点H 的坐标．②根据题意得AC BC ⊥，1||||2CH AB =，在Rt CEF 中，由勾股定理得222||||||CE EH CH +=，即22211(||)||(||)22CD EH AB +=，分别由抛物线定义，弦长公式，两点之间得距离公式表示||CD ，||AB ，||EH ，代入化简解得21k =，进而得直线l 的方程．【详解】解：（1）根据抛物线的定义和已知条件，得524p a a +=，故2a p =， 由点Q 在M 上，可知216pa =，把2a p =代入，得2p =.所以抛物线M 的方程为：24x y =.（2）①由（1）可知点F 的坐标为(0,1)，所以直线l 的方程为：1(0)y kx k =+≠. 联立21,4y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 得2440(0)x kx --=∆>， 设()()1122,,,C x y D x y ，则124x x k +=，所以21242y y k +=+，所以线段CD 中点()22,21E k k +.因为l '过点E 且与l 垂直，所以l '的方程为：()2123y x k k=-++ 联立()22123,4y x k k x y ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩消去y ，得()2244230x x k k +-+=，>0∆显然成立. 设()()3344,,,A x y B x y ，则()234344,423x x x x k k +=-=-+，所以2342446y y k k+=++， 所以线段AB 中点2222,23H k k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭②因为以线段AB 为直径的圆过点C ，所以1,||||2AC BC CH AB ⊥=， 在Rt CEH 中，222||||||CE EH CH +=， 即22211||||||22CD EH AB ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.根据抛物线定义，得212||44CD y y p k =++=+，又34||AB x =-== 222222||22EH k k k ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，由22211||||||22CD EH AB ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得()22222222111111123k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解方程得21k =，所以直线l 的方程为1y x =+，或1y x =-+.【点睛】本题考查抛物线方程，直线与抛物线相交问题，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按照所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为65cos ,5sin .x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:C θα=，其中4tan 3α=. （1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）设曲线2C 和曲线1C 交于A ，B 两点，求||AB .【答案】（1）1C 是以(6,0)为圆心，5为半径的圆；212cos 110ρρθ-+=（2）14||5AB =【解析】【分析】（1）消去参数t 得到1C 的普通方程，再利用极坐标公式得到答案.（2）根据韦达定理得到1212cos ρρα+=，1211ρρ=，根据12||AB ρρ=-计算得到答案.【详解】（1）消去参数t 得到1C 的普通方程为22(6)25x y -+=， 1C 是以(6,0)为圆心，5为半径的圆，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代人1C 的普通方程中，得到()22(cos 6)sin 25ρθρθ-+=，化简整理得到：212cos 110ρρθ-+=.（2）设A ，B 两点所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将曲线2C 的极坐标方程代人曲线1C 的极坐标方程，得212cos 110ρρα-+=.于是1212cos ρρα+=，1211ρρ=，12||AB ρρ=-==. 由4tan 3α=，得4sin cos 3αα=，两边平方整理得29cos 25α=，所以14||5AB ===. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，求弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力. 23.已知x ，y ，z 为正实数，且1xyz =，证明：（1）()()()8x y y z z x +++；（2）222111x y z x y z++≤++. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）利用3次均值不等式，相乘计算得到答案.（2）变换111yz xz xy x y z++=++，利用3次均值不等式相加，计算得到证明. 【详解】（1）因为x ，y ，z 为正实数，所以2x y xy +，2y z yz +，2z x zx +， （当且仅当1x y z ===时，等号同时成立），所以()()()288x y y z z x xy xyz +++⨯==.（2）因为1xyz =，所以111111xyz yz xz xy x y z x y z ⎛⎫++=++⋅=++ ⎪⎝⎭ 又()()()()2222222222222x y zx y y z z x xy yz zx ++=+++++++， 即222x y z xy yz zx ++++.（当且仅当1x y z ===时，等号同时成立）.所以222111x y z x y z ++++，即222111x y z x y z++≤++. 【点睛】本题考查了利用均值不等式证明不等式，意在考查学生对于均值不等式各种变形技巧的灵活运用.。
2021届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学(文)试卷
2021年湖南长沙长郡中学高三入学考试数学（文）试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{|1}U x x =>，集合{|2}A x x =>，则U C A =（ ）A ．{|12}x x <≤B ．{|12}x x <<C ．{|2}x x >D ．{|2}x x ≤2．设i 是虚数单位，则复数25()2i i -+=+（ ） A ．22i - B ．1i - C ．3i - D ．115i -3．已知(cos ,sin )66a ππ=，55(cos ,sin )66b ππ=，则||a b -=（ ） A ．1 B ．62 C ．3 D ．1024．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m >n 的概率为 ( )A ．710B ．310 C ．35 D ．25 5．在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．156．将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的图象可能为（ ） A ．B ．C ．D ．7．某棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该棱锥的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm8．已知点(1,2)-和3(在直线:10l ax y -+=(0)a ≠的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ）A ．(,)43ππB ．3(0,)(,)34πππ⋃ C ．35(,)46ππ D ．23(,)34ππ 9．若不等式组1010102x y x y y ⎧⎪+-≤⎪-+≥⎨⎪⎪+≥⎩表示的区域Ω，不等式2211()24x y -+≤表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻约为（ ）A ．114B ．10C ．150D ．5010．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 也是抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点，1C 与2C 的一个交点为P ，若PF x ⊥轴，则双曲线1C 的离心率为（ ）A 21B 2C 21D 3111．已知函数22()()()n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数且()(1)n a f n f n =++，则12350a a a a ++++=（ ）A ．50B ．60C ．70D ．8012．若函数()()b f x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则()f x 在下列区间上单调递增的是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(2,)+∞二、填空题13．已知f(x)=axlnx +1，x ∈(0，+∞)(a ∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，f′(1)=2，则a =__________．14．若,x y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =+的最大值为 . 15．抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = .16．若定义在区间D 上的函数()y f x =满足：对,x D M R ∀∈∃∈，使得|()|f x M ≤恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上有界，则下列函数中有界的是 .①sin y x =；②1y x x=+；③tan y x =；④x x x x e e y e e ---=+；⑤321(44)y x ax bx x =+++-≤≤，其中,a b R ∈.三、解答题17．已知函数()22sin cos cos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<在x π=处取最小值. （1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知()31,2,a b f A ===，求角C .18．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面BCP ，//CD AB ，2AB BC CP BP ====，1CD =.（1）求点B 到平面DCP 的距离；（2）点M 为线段AB 上一点（含端点），设直线MP 与平面DCP 所成角为α，求sin α的取值范围.19． 某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：（1）求表中n ，p 的值和频率分布直方图中a 的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[)1015，和[)2530，的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在[)1015，的概率. 20．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>上的左、右顶点分别为,A B ，1F 为左焦点，且1||2AF =，又椭圆C 过点(0,.（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆2216x y +=上（点,A B 除外），设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若1234kk =，证明：,,A P Q 三点共线. 21．已知函数()ln f x x x =.（1）求函数()y f x =的单调区间和最小值；（2）若函数()()f x a F x x -=在[1,]e 上的最小值为32，求a 的值； （3）若k Z ∈，且()(1)0f x x k x +-->对任意1x >恒成立，求k 的最大值.22．如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .（1）求证：//BC DE ；（2）若,,,D E C F 四点共圆，且AC BC =，求BAC ∠.23．已知直线l ：1123x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，曲线1C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． (1)设l 与1C 相交于,A B 两点，求AB ；(2)若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，3得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值．24．设函数()22f x x a a =-+.（1）若不等式()6f x ≤的解集为{}|64x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式()()215f x k x ≤--的解集非空，求实数k 的取值范围.参考答案1．A【解析】试题分析：{|12}U C A x x =<≤,故选A.考点：集合的运算.2．B【解析】 试题分析：255(2)()11212(2)(2)i i i i i i i --+=-+=-+-=-++-,故选B. 考点：复数的运算.3．C【解析】试题分析：因为55(coscos ,sin sin )6666a b ππππ-=--=，所以||3a b -=，故选C.考点：向量的坐标运算.4．A【解析】 试题分析：m >n 的概率为,故选A.考点：几何概型.5．D【解析】 试题分析：此程序框图所表示的算法功能为1234515S =++++=，故选D.考点：程序框图.6．D【解析】试题分析：将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的函数解析式为cos[3()]cos(3)sin 31832y x x x πππ=++=+=-，故选D.考点：1.图象的平移变换；2.三角函数的图象与性质.7．B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的四棱锥P ABCD -，所以其体积1543203V =⨯⨯⨯=，故选B.考点：1.三视图；2.多面体的体积.8．D【解析】试题分析：因为点(1,2)-和,0)3在直线:10l ax y -+=(0)a ≠的同侧,所以(201)0a --+-+>，即(1)(0a a +<，所以1a <<-，又直线l 的斜率ka =，即1k <<-，所以倾斜角的范围为23(,)34ππ，故选D. 考点：1.直线的倾斜角与斜率；2.线性规划.9．A 【解析】 试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示，其中芝麻落在区域Γ内的概率为23111132422221336322P ππ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯ ⎪+⎝⎭==⨯⨯，所以落在区域Γ中芝麻约为3236011436π+⨯≈,故选A.考点：1.线性规划；2.几何概型.【名师点睛】本题考查几何概型与线性规划，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过线性规划相关知识来完成的，把线性规划与几何概型有机的结合在一起是本题的亮点.10．A【解析】 试题分析：由题意可知22,22p b c p a ==，所以224b c a=，即222c a ac -=，所以2210e e --=，解之得21e =，故选A.考点：1.双曲线的标准方程与几何性质；2.抛物线的标准方程与几何性质.11．A【解析】试题分析：由题意可知221123a =-=-，222235a =-+=，223347a =-=-，224459a =-+=，4950,99,101a a =-=，所以1235012344950()()()25250a a a a a a a a a a ++++=+++++=⨯=，故选A. 考点：1.数列的表示；2.数列求和.【名师点睛】本题考查数列的表示以及数列求和，属中档题；数列求和问题是高考常考内容之一，数列求和的主要方法有：1.公式法；2.分组求和法；3.倒序相加法；4.错位相减法；5.裂项相消法.其中错位相减法与裂项相消法是考试的重点内容，本题主要采用的是分组求和法.12．D【解析】 试题分析：函数()()b f x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点,由22()10b x b f x x x-'=-==得2x b =，所以12b <<,且函数()f x 的单调递增区间为(,),(,)b b -∞-+∞，所以函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，故选D.考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与方程【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数与方程，属中档题；导数与函数的单调性是高考的必考内容，也是难点，导数与单调性关系：()0()f x f x '>⇒单调递增，()0()f x f x '<⇒单调递减；反之，当()f x 在某个区间上单调递增()0f x '⇒≥，当()f x 在某个区间上单调递减()0f x '⇒≤.13．2【解析】依题意，f ′(x)=a(1+lnx),f ′(1)=a =2.14．4【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示的三角形区域，由图可知，目标函数3z x y =+取得最大值时的最优解为(1,1)B ，此时max 3114z =⨯+=.考点：线性规划. 15．【解析】试题分析：抛物线22(0)x py p =>的焦点为(,0)2p F ,准线方程为2px =-，与双曲线221x y -=的交点为((,22p pA B --，又若ABF ∆为等边三角形，所以02322AF k p p ===---，解之得：p =考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质与双曲线的标准方程与几何性质，属中档题；高考对圆锥曲线的考查主要是考查定义、标准方程、几何性质，小题和大题中均有.本题主要考查双曲线与抛物线的对称性的应用. 16．①④⑤ 【解析】试题分析：因为sin 1x ≤，所以sin y x =为有界函数；12x x+≥，无上界，所以②不是有界函数；tan y x =的值域为(,)-∞+∞，是无界函数；22212111x x x x x x x e e e y e e e e ----===-+++,因为22021x e <<+，所以221111x e -<-<+，即1y <，所以x x x x e e y e e ---=+是有界函数；对于⑤，函数321y x ax bx =+++ 为实数上连续函数，所以在区间[4,4]-上一定有最大值和最小值，所以是有界函数，故应填①④⑤. 考点：1.新定义问题；2.值域及求法.【名师点睛】本题主要考查新定义问题、值域及求法.函数值域的求解是难点，主要方法有：配方法、单调性法、数形结合法、换元法、基本不等式法、导数法、利用已知函数的有界性法等方法. 17．（1）2π；（2）712π或12π【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式得()()sin f x x ϕ=+，由在x π=处取最小值及0ϕπ<<查求得2πϕ=；（2）由()f A =6A π=，再由正弦定理求出sin B ，从而求出角B 的值，即可求角C . 试题解析：（1）()1cos 2sin ?cos sin sin 2f x x x x ϕϕ+=+- sin sin cos cos sin sin x x x x ϕϕ=++-()sin cos cos sin sin x x x ϕϕϕ=+=+因为函数()f x 在x π=处取最小值，所以()sin 1πϕ+=-， 由诱导公式知sin 1ϕ=，因为0ϕπ<<，所以2πϕ=.所以()sin cos 2f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.（2）因为()2f A =cos 2A =，因为角A 为ABC ∆的内角，所以6A π=.又因为1,a b ==sin sin a bA B=，也就是sin 1sin 22b A B a ===， 因为b a >，所以4B π=或34B π=.当4B π=时， 76412C ππππ=--=；当34B π=时， 36412C ππππ=--=.考点：1.三角恒等变换；2.正弦定理；3.三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、三角函数的图象与性质，属中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.视频18．（1（2）42【解析】试题分析：（1） 要求点B 到平面DCP 的距离,只要能过点B 作出平面DCP 的垂线即可，由题意可知CD ⊥平面CPB ，所以CD ⊥平面CPB 内的任意一条直线，因此只要在平面CPB 内过点B 作BF PC ⊥即可得到BF ⊥平面DCP ，求出BF 的长即可；（2）由（1）可知点M 到平面DCP 的距离即点B 到平面DCP 的距离,所以sin BFMPα=，即只要求出BFMP的取值范围即可. 试题解析：（1）过点B 作BF PC ⊥，由平面DCP ⊥平面BCP 可知，BF 即点B 到面DCP的距离，在正PBC ∆中，BF =B 到平面DCP （2）∵//CD AB ，所以点M 到平面DCP 的距离即点B 到平面DCP 的距离，而[2,MP ∈，所以sin 42BF MP α=∈. 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.直线与平面所成的角.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，属中档题；文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主. 19．（1）0.625,0.075n p ==,0.125a =，中位数为17；（2）23【解析】试题分析：（1）由第一组内频数为20，频率为0.25可求出总人数为20800.25M ==，由此可求出第二组的频率为500.62580n ==，并可求频率直方图中0.1255na ==，由频率之和为1可求出p ，频率分布直方图求出面积的一半处求出中位数即可；（2）分分层抽样的原则先求出共抽取6人时在[10,15)和[25,30)的人数，再列出所有基本事件，可求2人服务次数都在[10,15)的概率.试题解析：（1）因200.25M ÷=，所以80M =，所以500.62580n ==， 310.250.6250.050.07540p =---==， 10.12558n a ===. 中位数位于区间[15,20)，设中位数为(15)x +，则0.1250.25x =，所以2x =，所以学生参加社区服务区次数的中位数为17次. （2）由题意知样本服务次数在[10,15)有20人，样本服务次数在[25,30)有4人， 如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在[10,15)和[25,30)的人数分别为：206524⨯=和46124⨯=. 记服务次数在[10,15)为，在[25,30)的为b .从已抽取的6人任选两人的所有可能为：121314151232425234(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a b a a a a a a a b a a 3534545(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a a a b a b 共15种，设“2人服务次数都在[10,15)”为事件A ，则事件A 包括1213141523242534(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a a a a a a a a 3545(,),(,)a a a a共10种， 所有102()153P A ==. 考点：1.频率分布表；2.频率分布直方图；3.古典概型.20．（1）2211612x y +=；（2）见解析 【解析】试题分析：（1）1||2AF a c ==-,由椭圆C 过点(0,可得b =，由椭圆中,,a b c 关系求出,,a b c 的值即可；（2）由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由此可得2111121114416PA y y y k k x x x •=•=+--，又因为22113124y x =-，1234k k =，由此可得21PA k k •=-，同理可得21QA k k •=-，所以PA QA k k =，即可证,,A P Q 三点共线.试题解析：（1）由已知可得2,a c b -==，又22212b a c =-=，解得4a =，故所求椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以2111121114416PA y y y k k x x x •=•=+--，因为11(,)P x y 在椭圆C 上， 所以221111612x y +=，即22113124y x =-，所以2112131234164PA x k k x -•==--. 又因为1234k k =，所以21PA k k •=-.（a ） 由已知点22(,)Q x y 在圆2216x y +=上，AB 为圆的直径，所以QA QB ⊥，所以21QA k k •=-（b ）由（a ）（b ）可得PA QA k k =，因为直线,PA QA 有共同点A ， 所以,,A P Q 三点共线.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.21．（1）()f x 的单调递增区间为1[,)e +∞，单调减区间为1(0,]e ,min 1()f x e=-.（2）a =（3）3 【解析】试题分析：（1）求导'()ln 1(0)f x x x =+>，解不等式'()0f x ≥与'()0f x ≤可得函数()f x 的单调区间；（2）求函数()ln a F x x x =-的导数'2()x a F x x+=，分0a ≥与0a <讨论函数()ln a F x x x =-在区间[1,]e 的单调性与最小值，由min 3()2f x =求之即可；（3）由题意分离参数得ln 1x x x k x +<-对任意1x >恒成立，构造函数ln ()1x x xh x x +=-，求导'2ln 2()(1)x x h x x --=-，'2ln 2()(1)x x h x x --=-的符号由分子()ln 2(1)x x x x ϕ=-->确定，且函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈,由此可知函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增,所以min 0()k g x x <=，可证结论成立.试题解析：（1）因为'()ln 1(0)f x x x =+>，令'()0f x ≥，即1ln 1ln x e -≥-=，所以1x e≥， 同理，令'()0f x ≤，可得1(0,]x e ∈，所以()f x 的单调递增区间为1[,)e+∞，单调减区间为1(0,]e.所以min 1111()()ln f x f ee e e ===-. （2）()ln a F x x x =-，'2()x aF x x+=， Ⅰ．当0a ≥时，'()0F x >，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去.Ⅱ．当0a <时，()F x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增， ①若(1,0)a ∈-，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去，②若[,1]a e ∈--，()F x 在[1,]a -上单调递减，在[,]a e -上单调递增，所以min 3()(1)ln()2F x F a a ==-+=，解得[,1]a e =--. ③若(,)a e ∈-∞-，()F x 在[1,]e 上单调递减，min 3()()12a F x F e e ==-=，所以(,)2ea e =-∉-∞-，舍去，综上所述，a =（3）由题意得：(1)ln k x x x x -<+对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立. 令ln ()1x x x h x x +=-，则'2ln 2()(1)x x h x x --=-，令()ln 2(1)x x x x ϕ=-->，则'11()10x x x xϕ-=-=>， 所以函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，因为方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈，当01x x <<时，()0x ϕ<，即'()0h x <，当0x x >时，()0x ϕ>，即'()0h x >.所以函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增. 所以0000min 0000(1ln )(12)()()(3,4)11x x x x h x h x x x x ++-====∈--所以min 0()k g x x <=，又因为0(3,4)x ∈，故整数k 的最大值为3. 考点：1.导数与函数的单调性、最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的单调性、最值；函数与不等式,属难题.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等. 22．（1）见解析；（2）27π 【解析】试题分析：（1）要证//BC DE ，只要证EDC DCB ∠=∠即可，由弦切角和圆周角关系可得EDC DAC ∠=∠，由角平分线性质得EDC DAC ∠=∠，又同弧上的圆周角相等，所以DAB DCB ∠=∠，即可证得EDC DCB ∠=∠；（2）由,,,D E C F 四点共圆及（1）得CFA ACF ∠=∠，设DAC DAB x ∠=∠=，在等腰三角形ACF 中，列出方程7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=，解之即可.试题解析： （1）∵BAC ∠的平分线与圆交于点D ∴EDC DAC ∠=∠，DAC DAB ∠=∠，∵BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，∴EDC DCB ∠=∠， ∴//BC DE .（2）因为,,,D E C F 四点共圆，所以CFA CED ∠=∠，由（1）知，ACF CED ∠=∠， 所以CFA ACF ∠=∠. 设DAC DAB x ∠=∠=，因为AC BC =，所以2CBA BAC x ∠=∠=， 所以3CFA FBA FAB x ∠=∠+∠=，在等腰三角形ACF 中，7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=， 则7x π=，所以227BAC x π∠==.考点：1.圆的性质；2.等腰三角形性质；3.圆内接四边形性质. 23．(1)1；36【分析】（1）消去直线l 参数方程的参数t ，求得直线l 的普通方程.消去曲线1C 参数方程的参数θ，求得曲线1C 的普通方程，联立直线l 和曲线1C 的方程求得交点,A B 的坐标，再根据两点间的距离公式求得AB .（2）根据坐标变换求得曲线2C 的参数方程，由此设出P 点坐标，利用点到直线距离公式列式，结合三角函数最值的求法，求得P 到直线l 的距离的最大值. 【详解】（1）l 的普通方程为)31y x =-，1C 的普通方程为221x y +=，联立方程组223(1)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得交点为()131,0,,2A B ⎛ ⎝⎭,所以AB1=； （2）曲线2C：1cos 22x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数）．设所求的点为1cos 2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 则P 到直线l的距离d ==)4πθ+.当cos()14时，d． 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直线和圆相交所得弦长的求法，考查坐标变换以及点到直线距离公式，还考查了三角函数最值的求法，属于中档题. 24．（1）2a =-；（2）．【解析】试题分析：（1）262x a a -≤-333322a x a ⇔-≤≤-,由3362a -=-可求出a ；（2）由（1）2()(1)5f x k x ≤--可转化为2221(1)x k x ++≤-，作出函数23,1()221{21,1x x g x x x x +≥-=++=--<-的图象，数形结合可求k 的范围.试题解析：（1）262x a a -≤-，∴26262a x a a -≤-≤-， ∴333322a x a -≤≤- 3362a -=-，2a =-. （2）由（1）知，2221(1)x k x ++≤-，23,1()221{21,1x x g x x x x +≥-=++=--<-，()g x 的图象如图：要使解集非空，212k ->或211k -≤-，∴{0}k k k <=.考点：1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示及应用.。
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(三)理科数学
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试（三）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x|x-2＜0}，B={x|log2(x-1)＜1}，则A∩B=（）A.（-∞，2）B.（1,3）C.（-∞，3）D.（1,2）2、已知复数ii Z 212017-=，则复数Z 的虚部为（ ）A.52-B. 51-C. i 51D. 513、n xa x )(-展开式中所有二项式系数之和是512，常数项为-84，则实数a 的值是（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 24、设a=4.05.0,4.0log ,3.0log 84.0==c b ,则a,b,c 的大小关系是（ ） A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. b<c<a5、运行如图所示的程序框图，若输出的S=－46， 则①处应填（ ） A. k<4？ B. k>4？C. k<5？D. k>5？6、已知ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为A,b,c ，若4,222=-+=bc bc c b a ，则ΔABC 的面积（ ）A.21B. 1C. 3D. 27、已知圆9:22=+y x c ，一个直径为1的小圆E 与 是 圆C 相内切且在圆C 内滚动，若在圆C 内任取一点P ， 否 则P 能被小圆E 覆盖的概率为（ ）A.31B.32C.94D. 95开 始K=1，S=2K=k+1S=2S -3k①输出S结束8、已知实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤--0122304202y x y x y x ， 直线(2+λ)x+(λ-1)y+λ+8=0（λϵR ）过定点A （00,y x ），则0x x y y Z --=的取值范围为（ ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,114 B. [)+∞,2 C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-114, D. [)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-,2114,9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 610、已知焦点为F 的抛物线)0(22＞p px y =上有一点A （m,22）, 以A 为圆心，|AF|为半径的圆被y 轴截得的弦长为52， 则m=（ ）A. 2或-2B. 2C. 1D. 1或-111、已知数列{}n a 的首项1a =3，对任意m, n ϵ*N ，都有n m nm a a a +=.，则当n ≥1时，=+++-1233313log log log n a a a （ ）A. n(2n -1)B. 2)1(+nC. 2nD. 2)1(-n12、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=102),4sin(2x 0,log )(2x x x x f π＜＜，若存在实数4321,,,x x x x ，满足4321x x x x ＜＜＜，且)()()()(4321x f x f x f x f ===，则2143)2()2(x x x x ⋅-⋅-的取值范围是（ ）A. （0,12）B. （4,16）C. （9,21）D. （15,25）132二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(一)数学(理)试题
即 ，
可知，循环变量 的初值为1，终值为1011， 的步长值为1，循环共执行1011次，
可得②中填入的可以是 ，
又 的值为正奇数倒数正负交错相加，
可得①中填入的可以是 .
故选：D．
【点睛】本题考查由循环程序框图的输出值选择条件，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
8.已知函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能（）
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
所以 ≥ ，即 ≤ ，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为 ，
故选：B
【点睛】此题考查两直线垂直的性质，利用基本不等式求最值，属于基础题.
7.2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”（昵称： ），2020年3月14日是第一个“国际数学日”．圆周率 是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数． 有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式 ，即为正奇数倒数正负交错相加等．小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的 值与 非常近似，则①、②中分别填入的可以是（）
9.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，为了解每壶“金萱排骨茶”中所放茶叶量 克与食客的满意率 的关系，通过试验调查研究，发现可选择函数模型 来拟合 与 的关系，根据以下数据：
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(十三)数学(理)试题
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试（十三）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数31iz i =+，则复数z 的虚部为（ ） A.12B. 12iC. 12-D. 12i -【答案】C 【解析】 【分析】根据虚数的性质以及复数的乘除法运算法则化简复数z ，根据共轭复数的概念可得其共轭复数，再根据复数的概念可得结果. 【详解】因为31i z i =+(1)11(1)(1)2i i i i i i i +-+===--+1122i =-+， 所以1122z i =--，所以复数z 的虚部为12-. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的乘除法运算法则，考查了共轭复数的概念，属于基础题.2.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后某组抽到的号码为41.抽到的32人中，编号落入区间[401,731]的人数为( ) A. 10 B. 11C. 12D. 13【答案】C 【解析】 【分析】根据系统抽样的特征可知，抽出的号码成等差数列，由题意即可写出通项公式，解不等式即可求出. 【详解】∵9603230÷=，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列， ∴等差数列的通项公式为11(1)303019n a n n =+-=-， 由4013019731n ≤-≤，n 为正整数可得1425n ≤≤， ∴编号落入区间[401,731]的人数2514112-+=. 故选：C.【点睛】本题主要考查系统抽样的特征应用，以及等差数列的通项公式的应用，属于基础题. 3.有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数2R 变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱【答案】A 【解析】 【分析】由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项.【详解】∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.4.等比数列{}n a 的前项和为n S ，若1,3,2,S S S 成等差数列，则{}n a 的公比q 等于 A. 1 B.12C. -12D. 2【答案】C 【解析】【详解】因为1,3,2,S S S 成等差数列，所以123112232311=+2(202)2a a a a a a a a S q S S ∴++=++∴+=∴=-，选C 5.函数()2ln xf x x x =-的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()f x 的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项. 【详解】因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D.当0x >时，()2ln x x f x x =-，()332ln 1'x x f x x=+-， 令()'0f x <，得01x <<，即()f x 在()0,1上递减；令()'0f x >，得1x >，即()f x 在()1,+∞上递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B. 故选：A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题. 6.已知2a =，2b =，且()b a b ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A. 1B.C. 2D.2【答案】B 【解析】 【分析】设a 和b 的夹角为α，根据已知得cos α=，再求出向量a 在b 方向上的投影. 【详解】设a 和b 的夹角为α， 因为()b a b ⊥-，所以2()=22cos 20,cos b a b a b b αα⋅-⋅-=-=∴=所以向量a 在b 方向上的投影为2cos α=故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查向量投影的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7.在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A. -120 B. 120C. -15D. 15【答案】C 【解析】【分析】写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数． 【详解】101()2x x -的展开式的通项公式为101021101011()()22r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，即3r =时，系数为33101()152C -=-．故选C 【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．8.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C. 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D. 若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】 试题分析：m α⊥，,n βαβ∴⊥,故选D.考点：点线面的位置关系.9.在ABC 中，3sin()sin 2A B C -+=，3BC AC =，则B =（ ） A.3πB.6π C.6π或3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式以及3sin()sin 2A B C -+=可得3sin cos 4A B =①，再由3BC AC =得到sin 3sin A B ②，联立①②解方程组即可.【详解】因为3sin()sin 2A B C -+=，所以3sin()sin()2A B A B -++=，化简得32sin cos 2A B =，即3sin cos 4A B=①，又3BC AC =及正弦定理可得 sin 3sin AB ②，由①②可得33sin cos 4B B =，即3sin 2B =， 又(0,)B π∈，所以6B π=或3π，注意到sin 3sin 1A B =≤，所以3sin 3B ≤， 所以6B π=.故选：B【点睛】本题考查正弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式，本题容易错选C ，要注意题中隐含的信息，是一道中档题. 10.函数()cos 2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),i i x y （1i =，……，n ），则()1nii i xy =+=∑（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】 【分析】根据直线()g x 过定点()1,0，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果. 【详解】由题可知：直线()g x kx k =-过定点()1,0 且()cos 2xf x π=在[]6,8-是关于()1,0对称 如图通过图像可知：直线()g x 与()f x 最多有9个交点 同时点()1,0左、右边各四个交点关于()1,0对称所以()912419iii x y =+=⨯+=∑故选：C【点睛】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数cos y x =的性质，属难题.11.已知不等式1ln ax x a x x e++≥对()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A. B. e 2- C. e - D. 2e -【答案】C 【解析】 【分析】将不等式变形,通过构造函数()ln g x x x =-,求导数后,结合函数的单调性即可得解. 【详解】不等式1ln a x x a x x e++≥对()1,x ∈+∞恒成立 可变形为1ln ax x x a x e≥-+, 即n n l l x x a a e x x e ----≥对()1,x ∈+∞恒成立设()ln g x x x =- 则()11'1x g x x x-=-= 当()1,x ∈+∞时,()'0g x >,即()ln g x x x =-在()1,x ∈+∞时单调递增 当()0,1x ∈时,()'0g x <,即()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减 因而()()xa g eg x -≥在()1,x ∈+∞上恒成立即可当()1,x ∈+∞时, 10,xee -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭而当0a <时(因四个选项都小于0,所以只需讨论0a <的情况)()0,1a x ∈因为()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减,若()()x a g e g x -≥只需x a e x -≤不等式两边同取自然底数的对数,可得ln x a x -≤ 当()1,x ∈+∞时, 0ln x < 化简不等式可得ln xa x-≤只需maxln x a x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 令()ln xh x x-=,()1,x ∈+∞ 则()()21ln 'ln xh x x -=,令()'0h x =解得x e =当()1,x e ∈时, ()'0h x >,则()ln xh x x -=在()1,e 内单调递增 当(),x e ∈+∞时, ()'0h x <,则()ln xh x x-=在(),e +∞内单调递减所以()ln x h x x -=在x e =处取得最大值, ()max ln eh x e e-==- 故e a -≤所以实数a 的最小值为e - 故选:C【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,根据不等式恒成立问题求参数的取值,利用构造函数法求最值,对函数式的变形尤为重要,属于难题.12.已知双曲线221221(0,0)x y C a b a b ：-=>>的一个焦点F 与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点相同，1C 与2C 交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A.B.C. 2D.1【答案】D 【解析】 【分析】由图形的对称性及题设条件AF ⊥x 轴，且,22p c p c ==，不难得到,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入双曲线方程化简可得22241c e b-=，再化简整理可得212e e -=，解之即可得到结果.【详解】由图形的对称性及题设条件AF ⊥x 轴，且,22p c p c ==，不妨设交点1,2p A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入22y px =可得1y p =，故,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线方程化简可得222214p p a b -=，即22241c e b -=，也即222241c e c a-=-，由此可得()22214e e -=，即212e e -=，也即2(1)2e -=，所以1e =+.所以本题应选D.【点睛】圆锥曲线是平面解析几何的重要内容，也是高考和各级各类考试的重要内容和考点，解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，探寻出,22pc p c ==，及AF ⊥x 轴等条件，这些都是解答本题的重要条件和前提.解答时，将,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线方程化简得到222214p p a b-=后化简并求出双曲线的离心率仍是一个难点，因为22241c e b-=距离求出离心率的目标仍然较远，解这个方程不是很简单，这需引起足够的重视.第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(,4),(3,2)a m b ==-，且a b ∥，则m =___________. 【答案】6- 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示得出2430m --⨯=，求解即可得出答案. 【详解】因为a b ∥，所以2430m --⨯=，解得6m =-. 故答案为：6-【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.14.已知cos θ=，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2θ=__________．【答案】43【解析】分析：根据cos θ的值得到tan θ的值，再根据二倍角公式得到tan 2θ的值．详解：因此cos 5θ=-且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 2θ=-，所以()()2224tan 2312θ⨯-==--，故填43．点睛：三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．15.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11xx+=求得x=，类似上述过程，则=__________．【解析】【分析】()0m m=>，平方可得方程23m m+=，解方程即可得到结果.()0m m=>，则两边平方得，得23m+=即23m m+=，解得：m=m=【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.16.设1F，2F分别是椭圆C：22221x ya b+=（0a b>>）的左、右焦点，直线l过1F交椭圆C于A，B两点，交y轴于E点，若满足112F E AF=，且1260EF F∠=，则椭圆C的离心率为______.【答案】13【解析】【分析】采用数形结合，计算1F E以及1AF，然后根据椭圆的定义可得2AF，并使用余弦定理以及cea=，可得结果.【详解】如图由1260EF F ∠=，所以12cos60c F E c == 由112F E AF =，所以1112AF F E c == 又122AF AF a +=，则22AF a c =- 所以222121212121cos 2AF F F AF AF F AF F F +-∠= 所以()()22222cos12022c c a c c c+--=⋅ 化简可得：()227227c a c a c c =-⇒-= 则7171c a -==+ 71- 【点睛】本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题.三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.某火锅店为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店四月份中5天的日营业额y （单位：千元）与该地当日最低气温x （单位：C ︒）的数据，如下表： x 2 5 8 9 11（Ⅰ）求y关于x的回归方程y bx a=+；（Ⅱ）设该地区4月份最低气温()2,X Nμσ，其中μ近似为样本平均数x，2σ近似为样本方差2s，求()0.610.2P X<<.附：（1）回归方程y bx a=+中，1221ni iiniix y nx ybx nx==-⋅=-∑∑，a y bx=-；（2 3.2≈ 1.8≈；（3）若()2,X Nμσ，则()0.6827P Xμσμσ-<<+=，()220.9545P Xμσμσ-<<+=.【答案】（Ⅰ）0.5612.92y x=-+（Ⅱ）0.8186【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意计算x、y，求出回归系数，写出回归直线方程；（Ⅱ）由题意知平均数μ和方差2σ，利用正态分布计算(0.610.2)P X<<的值．【详解】解：（Ⅰ）根据题意，计算1(258911)75x=⨯++++=，1(1210887)95y=⨯++++=，22212875790.5629557ni iiniix y nx ybx nx==--⨯⨯===--⨯-∑∑，9(0.56)712.92a y bx=-=--⨯=，y∴关于x回归直线方程为0.5612.92y x=-+；（Ⅱ）由题意知平均数7μ=，计算方差210σ=，~(7,10)X N∴，(0.610.2)(0.67)(710.2)P X P X P X∴<<=<<+<<110.95450.682722=⨯+⨯0.8186=．【点睛】本题考查了线性回归方程与正态分布的应用问题，属于中档题．18.已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，若36S =,且1a ，2a ，31a +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n a n n b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =.（2）(1)1122n n n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据等差数列公式得到()213212316a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩，计算得到答案. （2）12nn b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用分组求和法计算得到答案.【详解】（1）依题意，得()213212316a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩即()()2111121336a a d a d a d ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得220d d +-=. ∵0d >，∴1d =，11a =.∴数列{}n a 的通项公式()11n a n n =+-=即数列{}n a 的通项公式n a n =.（2）1222n na nn n b a n n --⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭， 12n n T b b b =+++211221122n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪=+++ +++⎪⎝⎭⎝⎭， ()231111122222n n T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11122(1)1212n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+- 11122(1)1212n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-(1)1122n n n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭故(1)1122n n n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了等差数列通项公式，分组求和法求前n 项和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19.如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，60A ∠=︒，现沿对角线BD 将ABD ∆折起，使点A 到达点P ，点M ，N 分别在直线PC ，PD 上，且A ，B ，M ，N 四点共面.（1）求证：MN BD ⊥；（2）若平面PBD ⊥平面BCD ，二面角M AB D --平面角大小为30，求直线PC 与平面BMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（215 【解析】【分析】（1）根据余弦定理，可得AB BD ⊥，利用AB //CD ，可得CD //平面ABMN ，然后利用线面平行的性质定理，CD //MN ，最后可得结果.（2）根据二面角M AB D --平面角大小为30，可知N 为PD 的中点，然后利用建系，计算PC 以及平面BMN 的一个法向量，利用向量的夹角公式，可得结果.【详解】（1）不妨设2AB =，则4=AD ，在ABD ∆中, 2222cos BD AB AD AB AD A =++⋅⋅， 则23BD =因为22241216AB BD AD +=+==，所以AB BD ⊥，因为AB //CD ，且A 、B 、M 、N 四点共面，所以CD //平面ABMN .又平面ABMN 平面PCD MN =，所以CD //MN .而CD BD ⊥，MN BD ⊥.（2）因为平面PBD ⊥平面BCD ，且PB BD ⊥，所以PB ⊥平面BCD ，PB AB ⊥，因为AB BD ⊥，所以AB ⊥平面PBD ，BN AB ⊥，因为BD AB ⊥，平面BMN 与平面BCD 夹角为30，所以30DBN ∠=︒，在Rt PBD ∆中，易知N 为PD 的中点，如图，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()002P ,,，()2,23,0C ， ()3,1N ，()3,1M ， ()1,0,0NM =，()0,3,1BN =，()2,23,2PC =-，设平面BMN 的一个法向量为(),,n x y z =， 则由00030x n NM n BN z =⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎩⎩， 令1y =，得(0,1,3n =-.设PC 与平面BMN 所成角为θ，则()15sin cos 905n PCn PC θθ⋅=︒-==⋅. 【点睛】本题考查线面平行的性质定理以及线面角，熟练掌握利用建系的方法解决几何问题，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F ，斜率为1的直线与抛物线C 交于点A ，B ，且8AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点Q （1，1）作直线交抛物线C 于不同于R （1，2）的两点D 、E ，若直线DR ，ER 分别交直线:22l y x =+于M ，N 两点，求|MN|取最小值时直线DE 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）20x y +-=．【解析】【分析】（1）过点F 且斜率为1的直线方程与抛物线的方程联立，利用8AB =求得p 的值，即可求得抛物线C 的方程；（2）设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），直线DE 的方程为(1)1,0x m y m =-+≠，直线DR 的方程为1(1)2y k x =-+，由题意求出,M N x x 得值，建立MN 的解析式，再求出MN 的最小值以及直线DE 的方程．【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p F ， 直线方程为：2p y x =-， 代入22(0)y px p =>中，消去y 得： 22304p x px -+=， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有123x x p +=，由8AB =，得128x x p ++=，即38p p +=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为：24y x =；（2）设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），直线DE 的方程为(1)1,0x m y m =-+≠，如图所示， 由2(1)14x m y y x=-+⎧⎨=⎩，消去x ，整理得：244(1)0y my m -+-=，∴12124,4(1)y y m y y m +==-，设直线DR 的方程为1(1)2y k x =-+，由()11222y k x y x ⎧=-+⎨=+⎩，解得点M 的横坐标112M k x k =-， 又k 1=1121y x --=142y +，∴x M =112k k -=-12y ， 同理点N 的横坐标22N x y =-， 1221212()4y y y y y y +--==421m m -+，∴|MN|=5|x M -x N |=5|-12y +22y |=25|2112y y y y -|=285141m m m ⋅-+-=22511m m m ⋅-+-， 令1,0m t t -=≠，则1m t =+，∴|MN|=25•221t t t++=25•211()1t t ++=25•2113()24t ++≥25•34=15， 所以当2t =-，即01x ≠时，|MN|取最小值为15，此时直线DE 的方程为20x y +-=．【点睛】本题主要考查了抛物线线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21.已知函数21()ln ()2f x x ax x a R =-+∈，函数()23g x x =-+. （Ⅰ）判断函数1()()()2F x f x ag x =+的单调性；（Ⅱ）若21a -≤≤-时，对任意12,[1,2]x x ∈，不等式1212()()()()f x f x t g x g x -≤-恒成立，求实数t 的最小值.【答案】(1) 故函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减;(2)114. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意得到()F x 的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可得()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立，构造函数()()()()21ln 1232h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+，则有()()1120h x ax t x'=-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立，然后通过求函数的最值可得所求．试题解析：（I ）由题意得()()()()2113ln 1222F x f x ag x x ax a x a =+=-+-+，()x 0,∈+∞， ∴()()21111ax a x F x ax a x x-+-+=-+-=' ()()11ax x x -++=. 当0a ≤时，()0F x '≥，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令()0F x '>，解得10x a <<；令()0F x '<，解得1x a>. 故函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上，当0a ≤时，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增；当0a >时，函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （II ）由题意知0t ≥. ()2111ax x f x ax x x-+=='+-+， 当21a -≤≤-时，函数()y f x =单调递增．不妨设1≤ 122x x ≤≤，又函数()y g x =单调递减，所以原问题等价于：当21a -≤≤-时，对任意1212x x ≤≤≤，不等式()()21f x f x -≤ ()()12t g x g x ⎡⎤-⎣⎦恒成立，即()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立.记()()()()21ln 1232h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+， 由题意得()h x 在[]1,2上单调递减. 所以()()1120h x ax t x'=-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立. 令()()112H a xa t x=-++-，[]2,1a ∈--， 则()()max 122120H a H x t x =-=++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立. 故max 1212t x x ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭， 而12y x x=+在[]1,2上单调递增， 所以函数12y x x =+在[]1,2上的最大值为92. 由9212t -≥，解得114t ≥. 故实数t 的最小值为114． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1x t y t=-+⎧⎨=-⎩（t 为参数）,以原点O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ-,直线l 与曲线C 交于A 、B 两点.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若(1,0)P -,求11AP BP +值.【答案】（1）10x y ++=；22(2)4x y ++=（2）3【解析】【分析】(1)相加消去参数t 可得直线l 的普通方程,对=4cos ρθ-两边乘以ρ再根据极坐标与,x y 的关系化简可得曲线C 的直角坐标方程.(2)将直线l 写成过(1,0)P -的标准直线参数方程,再联立圆的方程化简求得关于t 的二次方程,进而根据t 的几何意义,结合韦达定理求解11AP BP+即可. 【详解】（1）因为1x t y t =-+⎧⎨=-⎩,相加可得直线的普通方程为10x y ++=,. 又=4cos ρθ-,即2224cos 40x y x ρρθ=-⇒++=,化简可得曲线C 的直角坐标方程22(2)4x y ++=. （2）直线的参数方程可化为12x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入曲线()2224x y ++=可得2214⎛⎫⎫-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,化简可得230t -=,由韦达定理有1212123,t t t t t t +==--==所以121211||||3t t AP BP t t -+== 【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标方程的互化,同时也考查了直线参数的几何意义,属于中档题. 23.已知函数()211f x x x =-++.（1）求不等式()2f x x ≤+的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设0a >，0b >，且有a b m +=.求1212a b +++的最小值. 【答案】（1）[]0,1（2【解析】【分析】（1）作出函数图象，数形结合即可得到答案；（2）32a b +=⇒9122a b +++=，()()112121212912a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，在乘开，利用基本不等式即可.【详解】解（1）因为()3,1,1 2112,1,213,.2x xf x x x x xx x⎧⎪-<-⎪⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩从图可知满足不等式()2f x x≤+的解集为[]0,1.（2）由图可知函数()y f x=的最小值为32，即32m=.所以32a b+=，从而9122a b+++=，从而()()112121212912a ba b a b⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()21212222642332912912a ab ba b a b⎡⎡⎤+-⎛⎫+++=++≥+⋅=⎢⎢⎥⎪++++⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣当且仅当()21212aba b++=++，即92111492,22a b-==时，等号成立，∴1212a b+++的最小值为6429+.【点睛】本题考查解绝对值不等式以基本不等式求最值的问题，是一道中档题.。
长郡高三模拟数学试卷答案
一、选择题1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. 2C. -1/2D. 1/2答案：C解析：绝对值是数的大小，不考虑其正负。
比较四个选项，-1/2的绝对值最小。
2. 函数f(x) = 2x - 3在定义域内的（）A. 单调递增B. 单调递减C. 奇函数D. 偶函数答案：A解析：函数的导数f'(x) = 2，大于0，所以函数在定义域内单调递增。
3. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an = （）A. 19B. 20C. 21D. 22答案：C解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 3，d = 2，n = 10，得an = 3 + (10 - 1) 2 = 21。
4. 下列复数中，不是纯虚数的是（）A. 2iB. -3iC. 1 + 2iD. 1 - 2i答案：C解析：纯虚数是指实部为0的复数。
选项C的实部为1，不是纯虚数。
5. 下列不等式中，恒成立的是（）A. x^2 + 1 > 0B. x^2 - 1 > 0C. x^2 + 1 < 0D. x^2 - 1 < 0答案：A解析：对于任何实数x，x^2都大于等于0，所以x^2 + 1 > 0恒成立。
二、填空题6. 若log2(3x - 2) = 3，则x = ______。
答案：4解析：由对数定义，2^3 = 3x - 2，解得x = 4。
7. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，d = 3，则S10 = ______。
答案：165解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2，代入a1 = 2，d = 3，n = 10，得S10 = 10(2 + 2 + 93)/2 = 165。
8. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的轨迹是 ______。
答案：y轴解析：由复数模的性质，|z - 1| = |z + 1|表示复数z到点1和-1的距离相等，所以z的轨迹是y轴。