调和点列性质
调和点列的定义
调和点列的定义调和点列是数学中的一个概念，用于描述数列中的一种特殊关系。
在数学中，点列是由一系列有序的点构成的集合。
而调和点列则是指一个数列中的每一项与其前后两项的调和平均数相等的数列。
调和平均数是指两个数的倒数的平均数的倒数。
具体而言，对于两个非零实数a和b，它们的调和平均数h可以表示为h = 2/(1/a + 1/b)。
调和平均数的主要特点是当a和b相等时，调和平均数也等于它们的值；而当a和b不相等时，调和平均数总是小于它们的算术平均数。
在调和点列中，每一项与其前后两项的调和平均数相等。
换句话说，对于一个调和点列a1, a2, a3, ...，对于任意的正整数n，我们有1/a(n-1) + 1/a(n+1) = 2/a(n)。
这个等式表明调和点列中的每一项可以通过其前后两项的调和平均数来确定。
调和点列的一个重要性质是它的项与斐波那契数列有关。
斐波那契数列是一个数列，其前两项为0和1，后续的每一项都是它前面两项的和。
调和点列中的前两项也可以选择为0和1，后续的每一项都可以通过前面两项的调和平均数来确定。
因此，调和点列可以看作是斐波那契数列的一种推广。
调和点列在数学中有着广泛的应用。
它们在数值计算和逼近算法中具有重要的作用。
调和点列的性质使得它们可以用来逼近一些特殊函数的值，例如调和级数。
此外，调和点列还可以用于解决一些特殊的数学问题，如求解某些方程或优化问题等。
调和点列是数学中的一个重要概念，用于描述数列中的一种特殊关系。
它们与调和平均数和斐波那契数列有着密切的联系，具有广泛的应用价值。
通过研究和应用调和点列，人们可以更好地理解数学中的一些基本概念和方法，并将其应用于实际问题的求解中。
调和点列性质
四点构成调和点列;其中A 、C 和B 、D 称为调和共轭;性质1：如图,A 为圆O 外一点,AB 、AC 为圆O 的切线,ADEF 截圆O 与D 、F,交BC 与点E 则A 、D 、E 、F 四点调和;证明:A D E F AD AF DE FE ⇔=、、、四点调和 AD DEAF FE⇔=① 又**AD AD AC BD DCAF AB AF BF CF== 而**sin **sin BDC BFCSDE BD CD BDC BD CDFE SBF FC BFC BF FC∠===∠故①成立;得证推广：如图,椭圆外一点A 关于椭圆的两条切线的切点所在的直线为BC 此直线也叫极线,过A 的任意一条直线ADEF 截椭圆于D 、F,交BC 与E 则A 、D 、E 、F 成调和点列;证明：暂略;性质2：112A B C D AB AD AC⇔+=、、、调和 证明：而即证;推论：已知A 、B 、C 、D 四点调和,O 为A 、C 中点,则OD OB OA ⋅=2.反过来也成立,若A 、B 、C 、D 四点共线,O 为A 、C 中点,且OD OB OA ⋅=2,则A 、B 、C 、D 四点调和;性质3：若A 、B 、C 、D 成调和点列,且平面上有点M 满足AM MC ⊥则必有MC 平分BMD ∠,MA 外角平分BMD ∠. 这是调和点列应用中相当重要的一个性质;112112a+b+c ()()()b c AB AD AC a a b a a b a b a b c b c a a b ca abc b c +=⇔+=⇔=+++++++⇔=⇔=++AMB证明：反证法;反设MC 不平分BMD ∠,作MC ’平分角BMD ∠交BD 与C ’,MA ’外角平分角BMD ∠交DB 延长线与A ’ ,则''MC MA ⊥ 由内角平分线定理,''BC BMC D MD = 有外角平分线定理,''BA BMA DMD=所以''''BA BC A D C D =② 由A 、B 、C 、D 成调和点列知BC BACD AD=注意到'''BC BC BC BCC D CD BD BD >⇔>成立 '''BA BA BA BAA D AD BD BD <⇔<成立 所以''BA BA BC BC BD BD BD BD <=<与②矛盾 所以MC 平分BMD ∠,MA 外角平分BMD ∠ABA'。
完全四边形调和点列证明
完全四边形调和点列证明完全四边形调和点列是指在平面上给定4个不共线的点A、B、C、D及它们的共轭点A'、B'、C'、D'，并且这8个点满足调和性质，即(ABCD)=-1。
其中，ABCD表示A与B连线、C与D连线的交点。
调和性质可以表示为以下等式：(AA')/(AC') * (BD')/(BA') = -1(BB')/(BD') * (CA')/(CB') = -1(CC')/(CA') * (DB')/(DC') = -1(DD')/(DB') * (AC')/(AD') = -1对于完全四边形调和点列的证明，我们可以从多个角度进行阐述。
一、几何证明方法：1.利用平行线性质证明：在平面上，如果一组平行线通过一个调和四边形的对角线，则它们必定也通过该调和四边形的共轭对角线。
根据这个性质，我们可以得出扩展的拉美定理（扩展的拉美定理表示：如果A、B、C是一条直线上的三个点，D、E、F是另一条直线上的三个点，那么如果AD、BE、CF交于一点，则AE、DF和BC也必定交于一点）。
利用扩展的拉美定理，可以证明完全四边形调和点列中的任意四个点满足调和性质。
2.利用交比性质证明：在平面几何中，交比是指若干条线段的比值，可以用于表示调和性质。
对于完全四边形调和点列，我们可以使用逆向交比等式进行证明，具体通过运用调和性质的定义和多个交比定义来推导。
二、代数证明方法：可以使用代数运算进行证明，通过直线与坐标系的关系来推导出调和点列的性质。
具体可以通过线的方程来证明四个点的交点满足调和性质，并通过坐标的代数运算来证明三、向量证明方法：利用向量的加法与减法、数量积和矢积等定义和性质进行证明。
具体可以通过定义向量的坐标映射，利用向量的线性叠加性质进行证明。
四、复数证明方法：可以利用复数与几何的关系进行证明。
圆锥曲线中的调和点列
圆锥曲线中的调和点列圆锥曲线中的调和点列是近年来数学研究中的一个非常重要的话题。
它的出现改变了数学领域，引起了研究者们的高度关注，从而开展了一些研究工作。
为此，本文将重点讨论圆锥曲线中的调和点列，研究其形成的条件及其相关的性质。
首先，需要明确的是，圆锥曲线中的调和点列是由一些特定的点组成的，这些点的坐标可以表示为（a,b,c）。
这些点满足一定的条件，即它们之间的距离等于（a＋b＋c）。
其次，调和点列的形成也与曲线的参数有关，即圆锥轴的参数（P，Q，R）。
这些参数决定了曲线的曲率，以及调和点列的特性。
此外，调和点列还具有不同的性质。
其中，它们之间存在三种几何关系，即近似、等差、等比。
第一种几何关系是近似关系，即当两个点之间的距离超过某一允许偏差时，他们之间就不再是调和点列。
第二种几何关系是等差关系，即两个相邻的点之间的距离相等，也就是说，其中第一个点与第二个点之间的距离等于第二个点与第三个点之间的距离。
最后，第三种几何关系是等比关系，即相邻的两个点之间的距离按比例延拓，也就是说，第一个点与第二个点之间的距离为a，第二个点与第三个点之间的距离为a＊b（a＜b）。
除了这些几何关系之外，调和点列还具有其他一些特性。
例如，调和点列中的点可以构成一组完全对称的点，这一点非常有趣。
此外，圆锥曲线中的调和点列也可以运用到曲线的求积法和绘图法中，以用于求解曲线上的积分和曲线的形状。
最后，本文介绍了圆锥曲线中的调和点列，研究了它们形成的几何关系及其相关性质。
本文阐明了调和点列的重要意义，以及它们在曲线的求积法和绘图法中的独特作用。
希望本文能够给研究者们提供一定的参考价值，为进一步研究打下基础。
调和点列与极点极线(解析几何)(解析版)
调和点列与极点极线知识与方法以极点极线为背景的题目经常出现在高考和各级竞赛试题之中, 如圆锥曲线的切线、切点弦、圆锥曲线内接四边形两对边延长线的交点轨迹等, 是圆锥曲线的常考问题, 这些问题大多和极点极线与调和点列的性质有关.熟悉调和点列与极点极线基本性质, 能抓住此类问题的本质，明确问题的目标, 能更高效地解决问题. 下面介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius圆、极点和极线等射影几何的重要概念及性质, 溯本求源，揭示此类与极点极线有关的问题的来龙去脉.(一)调和分割的概念“调和分割”又称“调和共轭” , 来源于交比，分“调和线束”和“调和点列”两种, 它是交比研究中的一个重要特例, 也是贯穿《高等几何》课程的一个重要概念.定义1线束和点列的交比:如图, 过点O的四条直线被任意直线l所截的有向线段之比ACAD/BCBD称为线束OA、OC、OB、OD或点列A,C,B,D的交比.定理1交比与所截直线无关.【证明】令线束O a,b,c,d分别交l于A,B,C,D,则ACAD/BCBD=SΔAOCS△AOD/SΔBOCSΔBOD=CO sin∠AOCDO sin∠AOD/CO sin∠COBDO sin∠BOD=sin∠AOCsin∠AOD,sin∠COBsin∠BOD, 又因为各对应向量方向相同, 故交比与所截直线无关.【注】定理说明，点列的交比与其对应线束的交比是相同的. 保持线束不变, 取另一直线l 交线束于A ,B ,C ,D , 可视为对l作射影变换, 所得交比不变, 由此说明交比是射影不变量, 具有射影不变性.定义2调和线束与调和点列:定理1若交比为-1,则称为调和比.交比为-1的线束称为调和线束,点列称为调和点列. 一般地,若AC=λCBAD=-λDB(λ>0且λ≠1,则A,C,B,D四点构成“调和点列”;①A,B叫做“基点”,C,D叫做“(内、外)分点”.根据定义可得：如果点C内分线段AB，点D外分线段AB, 且ACCB=ADDB, 那么称点C,D调和分割线段AB.亦称A,C,B,D为调和点列. 线段端点和内外分点, 依次构成调和点列.即：调和点列⇔内分比=外分比.②也可以以D,C为基点, 则四点D,B,C,A仍构成调和点列, 故称A,B与C,D调和共轭.③如图, 若A,C,B,D构成调和点列,O为直线AB外任意一点, 则四直线OA,OC,OB,OD为调和线束;若另一直线截此调和线束, 则截得的四点A ,C ,B ,D 仍构成调和点列(由定理1可知).定理2调和点列的性质：若A,C,B,D为调和点列, 即ACCB=ADDB,则:(1)调和性:1AC+1AD=2AB证明:CACB=DADB⇒CBCA=DBDA⇒AB-CACA=DA-ABDA⇒ABCA-1=1-ABDA⇒ABCA+ABDA=2⇒1AC+1AD=2AB(2)共轭性:若A,C,B,D构成调和点列, 则D,B,C,A也构成调和点列.即：若1AC+1AD=2AB成立, 则1DB+1DA=2DC也成立;(3)等比性:①CACB=DADB=λ②记线段AB的中点为M, 则有MA|2=MB|2=MC⋅MD.③记线段CD的中点为N, 则有NC|2=ND|2=NA⋅NB.(同2可证)证明:CACB=DADB⇒MA+MCMA-MC=MD+MAMD-MA⇒MA+MCMD+MA=MA-MCMD-MA由等比性质可知:MA+MC+MA-MCMD+MA+MD-MA=MA+MC-MA- MC∣MD+MA-MD-MA⇒2MA2MD=2MC2MA⇒MA|2=MB2=MC⋅MD同理可得NC|2=ND|2=NA⋅NB.定理3斜率分别为k1,k2,k3的三条直线l1,l2,l3交于x轴外的点P, 过P作x轴的垂线l4, 则k1,k2,k3成等差数列的充要条件为l1,l2、l3,l4成调和线束.分析：不妨设k1、k2、k3均为正数, 其它情况同理可证.【证明】如图, 设l1,l2、l3,l4与x轴分别交于A,B,C,D四点, 则2k2=k1+k3⇔2DB=1DA+1DC⇔DADC=BABC⇔A,B,C,D成调和点列⇔l1,l3,l2,l4成调和线束.定理4已知F为椭圆的焦点,l为F相应的准线, 过F任作一直线交椭圆于A,B两点, 交l于点M, 则A,B,F,M成调和点列.(说明：此处图像应修正：B点在椭圆上，BB1虚线应往上移一点)【证明】如图, 分别过A,B作l的垂线, 垂足为A1,B1,则由椭圆的第二定义及平行线的性质可得:AF BF=AA1BB1=AMBM, 故A,B,F,M成调和点列.定义3阿波罗尼斯Apollonius圆：到两定点A、B距离之比为定值k(k>0且k≠1)的点的轨迹为圆, 称为Apollonius圆(简称阿氏圆)，为古希腊数学家Apollonius最先提出并解决.【证明】如图, 由AP=kPB, 则在AB直线上有两点C、D满足ACBC=ADBD=APBP, 故PC、PD分别为∠APB的内外角平分线, 则CP⊥DP, 即P的轨迹为以CD为直径的圆(圆心O为线段CD的中点).由ACBC=ADBD可知, 图中A,C,B,D为调和点列.定义4完全四边形：我们把两两相交, 且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形, 叫做完全四边形. 如图，凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF,AC、BD、EF称为其对角线.定理5完全四边形对角线所在直线互相调和分割. 即AGCH、BGDI、EHFI分别构成调和点列.【证明】HEHF⋅IFIE=S△AECS△AFC⋅SΔBDFS△BDE=S△AECSΔACD⋅SΔACDSΔAFC⋅SΔBDFSΔBEF⋅SΔBEFSΔBDE=ECCD⋅ADAF⋅DCEC⋅AFAD=1,即HEHF=IEIF, 所以EHFI为调和点列. 其余的可由线束的交比不变性得到.(二)极点和极线的概念1. 极点和极线的几何定义如图,P为不在圆锥曲线Γ上的点, 过点P引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H, 连接EH ,FG交于N, 连接EG,FH交于M, 我们称点P为直线MN关于圆锥曲线Γ的极点, 称直线MN为点P关于圆锥曲线Γ的极线. 直线MN交圆锥曲线Γ于A,B两点, 则PA,PB为圆锥曲线Γ的两条切线. 若P在圆锥曲线Γ上, 则过点P的切线即为极线.(1)自极三角形：极点P一一极线MN；极点M一一极线PN;极点N一一极线MP;即△PMN中,三个顶点和对边分别为一对极点和极线, 称△PMN为“自极三角形”.(2)极点和极线的两种特殊情况(1)当四边形变成三角形时：曲线上的点E F,M,N对应的极线, 就是切线PE;(2)当四边有一组对边平行时, 如：当FH⎳EG时, EG和FH的交点M落在无穷远处;点P的极线NM2和点N的极线PM1满足:FH⎳NM2⎳EG⎳PM1.2. 极点和极线的代数定义对于定点P x0,y0与非退化二次曲线Γ:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，过点P作动直线与曲线Γ交于点A与点B, 那么点P关于线段AB的调和点Q的轨迹是什么?可以证明:点Q在一条定直线l:Ax0x+Cy0y+D x+x02+Ey+y02+F=0上，如下图. 我们称点P为直线l关于曲线Γ的极点;相应地, 称直线l为点P关于曲线Γ的极线.一般地, 对于圆锥曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，设极点P x0,y0, 则对应的极线为l:Ax0x+B x0y+y0x2+Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0【注】替换规则为:x2→xx0, y2→yy0,xy→x0y+y0x2,x→x+x02,y→y+y02.(1)椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的三类极点极线(1)若极点P x 0,y 0 在椭圆外, 过点P 作橢圆的两条㘦线, 切点为A ,B , 则极线为切点弦所在直线AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1;(2)若极点P x 0,y 0 在椭圆上, 过点P 作椭圆的切线l , 则极线为切线x 0xa 2+y 0yb 2=1;(3)若极点P x 0,y 0 在橢圆内, 过点P 作椭圆的弦AB , 分别过A ,B 作椭圆切线, 则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0yb 2=1由此可得椭圆极线的几何作法:(2)对于双曲线x 2a 2-y 2b 2=1, 极点P x 0,y 0 对应的极线为x 0x a 2-y 0y b 2=1;(3)对于拋物线y 2=2px , 极点P x 0,y 0 对应的极线为y =p x 0+x .3. 极点和极线的性质(1)引理:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0), 直线l 的方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1, 点P x 0,y 0 不与原点重合. 过点P 作直线交椭圆于A ,B 两点,M 点在直线AB 上，则“点M 在直线l 上"的充要条件是"P ,M 调和分割A ,B ", 即AP PB =AMMB.【证明】先证必要性. 设M 点的坐标为x 1,y 1 , 则有x 0x 1a 2+y 0y 1b 2=1. 设直线AB 的参数方程为x =x 0+tx 11+ty =y 0+ty 11+t(t 为参数)与椭圆方程联立, 得x 21a 2+y 21b 2-1 t 2+2x 0x 1a 2+y 0y 1b 2-1 t +x 20a 2+y 20b2-1=0，即x21a2+y21b2-1t2+x20a2+y20b2-1=0, 该方程有两个不等实根, 设为t1,t2, 则t1+t2=0.即P,M调和分割A,B, 也即APPB=AMMB.将以上证明过程反向推导，即得充分性成立.设P是圆锥曲线Γ的一个极点, 它对应的极线为l, 过P任意引一条直线, 交Γ于点A,B, 交l于点Q, 若点A是位于P,Q间的点, 结合引理可得如下极点和极线的三个调和性质:(1)调和性1 PA +1PB=2PQ(2)共轨性B,Q,A,P四点也构成“调和点列”, 即1BQ+1BP=2BA.(3)等比性(1)点Q、P是线段AB的内、外分点,PAPB=QAQB=λ.(2)若Γ为椭圆或双曲线，当直线AB经过曲线中心O时, OP⋅OQ=OA|2=OB|2.4. 配极原则若P点关于圆锥曲线Γ的极线通过另一点Q, 则Q点的极线也通过P, 称P、Q关于Γ调和共轭.【证明】设点P x P,y P,则相应的极线为l P:x p xa2+y P yb2=1,点Q x Q,y Q,相应的极线为l Q:x Q xa2+y Q y b2=1. 因为l P过点Q,Q坐标满足方程x P xa2+y P yb2=1, 即x P x Qa2+y P y Qb2=1;则P点坐标满足方程x Q xa2+y Q yb2=1, 这也说明, 也就是l Q过点P.配极原则说明:l P过点Q⇔l Q过点P, 由此可得下面推论:推论1:共线点的极线必然共点(A、G、D、E四点共线, 它们的极线a、g,d、e共交点F);共点线的极点必然共线(直线a、g,d、e共交点F, 它们的极点A、G，D、E四点共线).推论2：如下图, 过极点P作两条直线, 与桞圆分别交于点A,B和C,D, 则直线AD,BC的交点T必在极线上.5. 椭圆的极点与极线的常用性质对于椭圆x2a2+y2b2=1, 极点P x0,y0(不是原点)对应的极线为x0xa2+y0yb2=1, 有如下性质：性质1:“类焦点"与“类准线”当极点P m,0m≠0在x轴上时，对应的极线x=a2m平行于y轴，当极点P0,nn≠0在y轴上时对应的极线y=b2n平行于x轴;特别地, 当极点P为椭圆的焦点时, 极线为相应的准线.性质2：平方模型如下图, 射线OP与椭圆交于点D, 与点P的极线交于点C, 则|OP|⋅|OC|=|OD|2;当点P在x轴上时, |OP|⋅|OC|=a2;当点P在y轴上时, |OP|⋅|OC|=b2.性质3：共轭方向设极点P x0,y0不在坐标轴上, 则直线OP的斜率为k OP=y0x0, 极线l:x0xa2+y0yb2=1的斜率k=-b2x0a2y0，则k OP⋅k=y0x0⋅-b2x0a2y0=-b2a2.【注】性质3表明:椭圆内一点P的极线方向与以极点P为中点的弦的方向相同，称OP与极线方向共轭. 当极点P x0,y0在椭圆内时，极线l平行于以P为中点的弦所在直线EF(用点差法易证). 设直线OP与椭圆相交于点D, 过点D作椭圆的切线l1, 则以P为中点的弦所在直线EF、过点D的切线l1、极点P的极线l, 三线互相平行, 如下图.性质4:平行如下图, 设四边形ABCD为椭圆的内接梯形, AC⎳BD,AD∩BC=Q, 则点P的极线过Q, 且与直线AC、BD平行. 特别地, 若BC⎳AD⎳y轴时, 点P的极线平行y轴, 且与x轴的交点R 也是AC、BD交点, 有|OR|⋅|OP|=|OF|2=a2.性质5:垂直设圆锥曲线Γ的一个焦点为F, 与F相应的准线为l, 若过点F的直线与圆雉曲线Γ相交于M ,N两点, 则Γ在M,N两点处的切线的交点Q在准线l上, 且FQ⊥MN.【证明】以椭圆为例证明, 双曲线与拋物线类似处理.设P x0,y0, 则P x0,y0对应的极线为MN:x0xa2+y0yb2=1, 由F(c,0)在直线MN上得cx0a2=1, 所以x0=a2c, 故Q在准线l:x=a2c上. 由P a2c,y0, 易证k MN⋅k QF=-1, 所以FQ⊥MN.性质6：等角定理如下图, A,B是椭圆Γ的一条对称轴l上的两点(不在Γ上), 若A,B关于Γ调和共轭, 过A 任作Γ的一条割线, 交Γ于P,Q两点, 则∠PBA=∠QBA.证明：因Γ关于直线l对称, 故在Γ上存在P,Q的对称点P ,Q . 若P 与Q重合, 则Q 与P 也重合, 此时P,Q关于l对称, 有∠PAB=∠QAB；若P 与Q不重合, 则Q 与P也不重合, 由于A,B关于Γ调和共轭, 故A,B为Γ上完全四点形PQ QP 的对边交点, 即Q 在P A上也在PB上, 故BP,BQ关于直线l对称, 也有∠PBA=∠QBA.【注】事实上, 性质6对于圆锥曲线都成立. 我们还可以得到下列结论:(1)直线PB与椭圆的另一交点为Q , 则Q 与Q关于l对称;(2)∠PAO=∠QAB=∠Q AB;(3)k AP+k AQ =0.典型例题类型1:判断位置关系【例1】已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外, 则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定【答案】B .【解析】因为 ax +by =1 是圆 x 2+y 2=1 的切点弦方程, 所以直线与圆相交, 故选 B .类型2:求极线方程【例2】过椭圆x 29+y 24=1内一点M (1,2), 作直线AB 与椭圆交于点A ,B , 作直线CD 与椭圆交于点C ,D , 过A ,B 分别作椭圆的切线交于点P , 过C ,D 分别作椭圆的切线交于点Q , 求P ,Q 连线所在的直线方程.【答案】 x9+y 2=1.【解析】该题实质上就是求椭圆 x 29+y 25=1 内一点 M (1,2) 对应的极线方程，答案为 x9+y 2=1.【例3】设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1), 且左焦点为F 1(-2,1).(1)求敉圆C 的方程;(2)当过点P (4,1)的动直线l 于椭圆C 相交于两不同点A ,B 时, 在线段AB 上取点Q , 满足|AP |⋅|QB|=|AQ |⋅|PB |, 证明：点Q 总在某定直线上.【答案】 (1)x 24+y 22=1;(2) 见解析.【解析】(1)由题意得：c 2=22a 2+1b 2=1c 2=a 2-b 2 ，解得a 2=4b 2=2 ，所求椭圆方程为x24+y 22=1.(2) 解法 1: 定比点差法设点 Q 、A 、B 的坐标分别为 (x ,y ),x 1,y 1 ,x 2,y 2由题设知 |AP |,|PB |,|AQ |,|QB | 均不为零, 记 λ=|AP ||PB |=|AQ||QB |, 则 λ>0 且 λ≠1又 A ,P ,B ,Q 四点共线, 从而 AP =-λPB ,AQ=λQB 于是 4=x 1-λx 21-λ,1=y 1-λy 21-λ,x =x 1+λx 21+λ,y =y 1+λy 21+λ,从而:4x =x 21-λ2x 221-λ2⋯⋯⋯⋯(1)y =y 21-λ2y 221-λ2⋯⋯⋯.. (2)又点 A 、B 在椭圆 C 上，即:x 21+2y 21=4⋯⋯⋯⋯⋯(3)x 22+2y 22=4⋯⋯⋯⋯⋯(4)(1)+(2)×2, 并结合(3)(4)得 4x +2y =4,即点 Q (x ,y ) 总在定直线 2x +y -2=0 上.解法 2：构造同构式设点 Q (x ,y ),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由题设知 |AP |,|PB |,|AQ |,|QB | 均不为零, 记 λ=|AP ||PB |=|AQ||QB |,又 A ,P ,B ,Q 四点共线, 可设 PA =-λAQ ,PB =λBQ(λ≠0,±1)于是 x 1=4-λx 1-λy 1=1-λy 1-λ (1), x 2=4+λx 1+λy 2=1+λy 1+λ(2)由于 A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 在椭圆 C 上, 将(1)(2)分别代入 C 的方程 x 2+2y 2=4,整理得:x 2+2y 2-4 λ2-4(2x +y -2)λ+14=0(3)x2+2y 2-4 λ2+4(2x +y -2)λ+14=0(4)(4)-(3)得:8(2x +y -2)λ=0,∵λ≠0,∴2x +y -2=0,即点 Q (x ,y ) 总在定直线 2x +y -2=0 上.解法 3：极点极线由 |AP |⋅|QB |=|AQ |⋅|PB | 可得 AP PB =AQ QB,说明点 P ,Q 关于桞圆调和共轭, 点 Q 在点 P 对应的极线上,此极线方程为4⋅x4+1⋅y 2=1, 化简得 2x +y -2=0.故点 Q 总在直线 2x +y -2=0 上.【注】点 Q 的轨汖方程为 2x -y -2=0( 在椭圆内的部分)类型3：证明直线过定点或三点共线【例4】如图, 过直线l :5x -7y -70=0上的点P 作椭圆x 225+y 29=1的切线PM 和PN , 切点分别为M ,N , 连结MN .(1)当点P 在直线l 上运动时, 证明：直线MN 恒过定点Q ;(2)当MN ⎳l 时, 定点Q 平分线段MN .【答案】见解析.【解析】解法 1: 常规解法(1) 证明：设 P x 0,y 0 ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 .则椭圆过点 M ,N 的切线方程分别为:x 1x 25+y 1y 9=1,x 2x25+y 2y 9=1.因为两切线都过点 P, 则有:x1x025+y1y09=1,x2x025+y2y09=1.这表明 M,N 均在直线 x0x25+y0y9=1 (1)上.由两点确定一条直线知, 式(1)就是直线 MN 的方程, 其中 x0,y0满足直线 l 的方程.当点 P 在直线 l 上运动时,可理解为 x0 取遍一切实数，相应的 y0 为 y0=57x0-10 .代入(1)消去 y0 得 x025x+5x0-7063y-1=0 (2)对一切 x0∈R 恒成立.变形可得 x0x25+5y63-10y9+1=0 ,对一切 x0∈R 恒成立,故有x25+5y63=010y9+1=0⇒x=2514y=-910故直线 MN 恒过定点 Q2514,-910 .(2)当 MN⎳l 时,由式(2)知 x0255-5x0-7063-7≠-1-70. 解得 x0=4375533 . 代入(2),得 MN 的方程5x-7y-53335=0 (3)将此方程与椭圆方程联立,消去 y 得 53325x2-5337x-1280681225=0 .由此可得, 此时 MN 截圆所得弦的中点横坐标恰好为点 Q2514,-910的横坐标, 即x=x1+x22=--53372×53325=2514代入(3)式可得弦中点纵坐标恰好为点 Q2514,-910的纵坐标,即y=57×2514-5337×35=1491252-5332=-910这就是说, 点 Q2514,-910平分线段 MN.解法 2:(1) 动点 P 在定直线 l 上, 则相应的切点弦过定点, 可知定点 Q 必为极点,于是只需求极点即可:由 5x-7y-70=0⇔x14-y10=1, 得到极点坐标 Q2514,-910, 即为所求定点.(2) 由椭圆内一点极线方向与以极点为中点弦的方向相同, 也即 OQ 与极线方向共轭, 即得结论 (2).【注】“极点在已知直线上，则极线过定点”. 这是一类常考的直线过定点问题.【例5】已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点, G为E的上顶点, AG⋅GB=8,P为直线x=6上的动点, PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明：直线CD过定点.【答案】(1)x29+y2=1;(2) 见解析【解析】(1)易得椭圆 E 的方程为 x29+y2=1;(2)利用极点极线角度 1: 如下图, 设 CD 交 AB 于 Q,AD 交 CB 于 R, 则 QR 为 P 对应的极线,即点 Q 在点 P 对应的极线上. 极点 P(6,t) 对应的极线方程为 6x9+ty=1,即 2x3+ty=1, 极线恒过定点32,0, 故直线 CD 也过定点 32,0.角度 2: 如图, 设 CD 交 AB 于 Q(m,0),则点 P(6,t) 在点 Q(m,0) 对应的极线上，极点 Q(m,0) 对应的极线方程为 mx9+0⋅y=1, 即 x=9m, 由9m=6 得 m=32, 所以直线 CD 过定点 Q32,0.角度 3: 如图, 设直线 x=6 交 x 轴于点 H, 由极点极线的性质可知: |OQ|⋅|OH|=|OB|2即 6|OQ|=32, 所以 |OQ|=32, 故直线 CD 过定点 Q32,0.【注】本题的背景是极点极线, 上面解法从三个不同角度进行了“秒杀”，令人回味无穷. 极点极线 是高等几何中的内容, 高中数学教材中虽然没有介绍相关的定义及性质, 但是以此为背景的高考和竞赛试 题层出不穷、常考常新. 我们用其他解法求解本题时，可以用求极线对应极点的解法得到这个定点, 目标 已然心中有数, 那么就能降低运算难度，避免计算错误.类型4:证明两直线垂直【例6】已知A(-2,0),B(2,0), 点C是动点, 且直线AC和直线BC的斜率之积为-3 4.(1)求动点C的轨迹方程;(2)设直线l 与(1)中轨迹相切于点P , 与直线x =4相交于点Q , 且F (1,0), 求证:∠PFQ =90∘.【答案】 (1)x 24+y 23=1(y ≠0);(2) 证明见解析.【解析】(1)设 C (x ,y ), 则依题意得 k AC ⋅k BC =-34, 又 A (-2,0),B (2,0),所以有 y x +2⋅y x -2=-34(y ≠0),整理得 x 24+y 23=1(y ≠0), 即为所求轨迹方程.(2)解法 1:设直线 l :y =kx +m , 与 3x 2+4y 2=12 联立得3x 2+4(kx +m )2=12 ,即 3+4k 2 x 2+8km x +4m 2-12=0 ,依题意 Δ=(8km )2-43+4k 2 4m 2-12 =0， 即 3+4k 2=m 2,∴x 1+x 2=-8km 3+4k 2, 得 x 1=x 2=-4km 3+4k2,∴P -4km 3+4k 2,3m 3+4k2 , 而 3+4k 2=m 2, 得 P -4k m ,3m , 又 Q (4,4k +m ),又 F (1,0), 则 FP ⋅FQ =-4k m -1,3m ⋅(3,4k +m )=0. 知 FP⊥FQ , 即 ∠PFQ =90∘.解法 2:设 P x 0,y 0 ,则曲线 C 在点 P 处切线 PQ :x 0x 4+y 0y 3=1 , 令 x =4 ,得 Q 4,3-3x 0y 0, 又 F (1,0) , ∴FP ⋅FQ =x 0-1,y 0 ⋅3,3-3x 0y 0 =0 ,知 FP ⊥FQ , 即 ∠PFQ =90∘ . 解法 3:x =4 为椭圆的右准线, 椭圆右焦点为 F (1,0),由椭圆极点极线性质 5 可知:PF ⊥FQ , 即 ∠PFQ =90∘.【注】模型：已知椭圆 C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的右焦点为 F , 直线 l 与椭圆 C 相切于 P , 且与右准线交于点 Q , 则有 PF ⊥FQ .类型5:证明向量数量积(或线段长度之积)为定值【例7】如图, 椭圆有两顶点A (-1,0),B (1,0), 过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点, 并与x 轴交于点P , 直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当|CD |=322时, 求直线l 的方程A (-1,0);(2)当点P 异于A 、B 两点时, 求证：OP ⋅OQ为定值.【答案】 (1)y =±2x +1； (2) 定值为 1 .【解析】解法 1:设 P (t ,0), 则点 P 的极线过 Q . 易得椭圆方程 x 2+y 22=1, 则 P 的极线为 0⋅y 2+tx =1, 即 x =1t .于是点 Q 在直线 x =1t 上, 设 Q 1t ,y 0 , 则 OP ⋅OQ =(t ,0)⋅1t ,y 0 =t ⋅1t+0⋅y 0=1.解法 2:根据极点极线几何性质, 点 p 关于敉圆 x 2+y 22=1 的极线为过点 Q 且与 x 轴垂直的直线上.设该直线交 x 轴于 Q , 由 “调和点列” 的 “等比性” , 可知 OQ ⋅OP =OB 2, 从而 OP ∙OQ=1.类型6:与斜率有关的定值问题【例8】设P x 0,y 0 为桞圆x 24+y 2=1内一定点(不在坐标轴上), 过点P 的两条直线分别与椭圆交于点A ,C 和B 、D , 且AB ⎳CD .(1)证明:直线AB 的斜率为定值;(2)过点P 作AB 的平行线, 与椭圆交于E 、F 两点, 证明：点P 平分线段EF .【答案】见解析【解析】(1)因为 AB ⎳CD , 所以点 P 对应的极线 x 0x4+y 0y =1 平行于 AB ,即 AB 的斜率是 -y 04x 0(定值);(2) 直线 EF :y =-x 04y 0x -x 0 +y 0, 代入椭圆x 24+y 2=1, 得x 24+-x 04y 0x -x 0 +y 02=1x 20+4y 2016y 20⋅x 2-x 0x 20+4y 20 8y 20⋅x +x 4016y 20+x 202+y 20-1=0则x E +x F =--x 0x 20+4y 20 8y 20x 0x 20+4y 28y 20=2x 0此时点 P 是 EF 中点, 即点 P 平分线段 EF .【例9】如图, 椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0的离心率为22, 直线l :y =12x 与椭圆E 相交于A 、B 两点, AB =25,C 、D 是椭圆E 上异于A 、B 的任意两点, 且直线AC 、BD 相交于点M , 直线AD 、BC 相交于点N , 连结MN .(1)求椭圆E 的方程;(2)求证：直线MN 的斜率为定值.【答案】 (1)x 26+y 23=1;(2) 见解析.【解析】 (1)x 26+y 23=1.( 过程略)(2) 设点 N 的坐标为 (m ,n ), 直线 DC 与 BA 交于点 P ,则 MP 为点 N 对应的极线, 其方程为 mx 6+ny 3=1. 结合 y =12x , 得到 P 点坐标为 6m +n ,3m +n . 所以, 点 P 对应的极线 MN 的方程为 16⋅6m +n x +13⋅3m +n x =1, 即 x +y =m +n ,所以直线 MN 的斜率为定值 -1.【注】本题需要极点、极线之间的两次转化, 通过点 P 在点 N 对应的极线上, 以及 MN 是点 P 对应的 极线, 使问题得以解决.【例10】四边形ABCD 是椭圆x 23+y 22=1的内接四边形, AB 经过左焦点F 1,AC ,BD 交于右焦点F 2, 直线AB 与直线CD 的斜率分别为k 1,k 2.(1)证明:k 1k 2为定值;(2)证明：直线CD 过定点, 并求出该定点的坐标.【答案】见解析.【解析】(1)设 A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,C x 3,y 3 ,D x 4,y 4则直线 AC 的方程为 x =x 1-1y 1y +1, 代入椭圆方程 x 23+y 22=1 整理得2-x 1 y2+x 1-1 y 1y -y 21=0∵y 1⋅y 3=-y 212-x 1,∴y 3=y 1x 1-2, 从而 x 3=x 1-1y 1y 3+1=2x 1-3x 1-2,故点 C 2x 1-3x 1-2,y 1x 1-2, 同理,点 D 2x 2-3x 2-2,y 2x 2-2 . 因为三点 A 、F 1,B 共线,所以 y 1x 1+1=y 2x 2+1, 从而 x 1y 2-x 2y 1=y 1-y 2.从而k 2=y 4-y 3x 4-x 3=y 2x 2-2-y 1x 1-22x 2-3x 2-2-2x 1-3x 1-2=y 2x 1-2 -y 1x 2-2 2x 2-3 x 1-2 -2x 1-3 x 2-2=x 1y 2-x 2y 1 +2y 1-y 2x 1-x 2=3y 1-y 2 x 1-x 2=3k 1故k 1k 2=13 .(2)解法 1:由(1)知:C 2x 1-3x 1-2,y 1x 1-2,D 2x 2-3x 2-2,y 2x 2-2,设直线 CD 交 x 轴于点 M x 0,y 0 ,则x 0=x 3y 4-x 4y 3y 4-y 3=2x 1-3x 1-2⋅y 2x 2-2-2x 2-3x 2-2⋅y 1x 1-2y 2x 2-2-y 1x 1-2=2x 1-3 y 2-2x 2-3 y 1y 2x 1-2 -y 1x 2-2 =2x 1y 2-x 2y 1 +3y 1-y 2 x 1y 2-x 2y 1 +2y 1-y 2=5y 2-y 1 3y 1-y 2 =53故直线 CD 过定点 53,0.解法 2:设 AB ,DC 交于点 P , 则 P 在 F 2 对应的极线1⋅x 3+0⋅y 2=1 即 x =3 上，可设 P (3,m ),由对称性可知：直线 CD 过定点必在轴上，不妨设定点为 T (t ,0), 则 k 1=k PF 1=m 4,k 2=k PT =m3-t,由(1)知 k 1k 2=13, 得 3-t 4=13⇒t =53, 所以 T 53,0 , 故直线 CD 过定点 53,0 .类型7:等角问题【例11】设椭圆C :x 22+y 2=1的右焦点为F , 过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时, 求直线AM 的方程;(2)设O 为坐标原点, 证明:∠OMA =∠O MB .【答案】(1)AM 的方程为 y =-22x +2 或 y =22x -2;(2) 证明见解析.【解析】(1)由已知得 F (1,0),l 的方程为 x =1.由已知可得, 点 A 的坐标为 1,22 或 1,-22 . 所以 AM 的方程为 y =-22x +2 或 y =22x -2.(2)解法 1:设直线 l 的方程为:x =my +1,A x 1,y 1 ,B x 2,,y 2 ,k AM =y 1-0x 1-2,k BM =y 2-0x 2-2联立方程组得:x =my +1x 22+y 2=1, 消去 x 并整理得:m 2+2 y 2+2my -1=0(1)因为点 F 为椭圆的右焦点, 所以方程(1)有两个实数根分别为 y 1,y 2.由韦达定理可得:y 1+y 2=-2m 2+m 2,y 1y 2=-12+m 2因为:k AM +k BM =y 1-0x 1-2+y 2-0x 2-2=y 1my 1-1+y 2my 2-1=2my 1y 2-y 1+y 2 my 1-1 my 2-1整体代入可得:k AM +k BM =2my 1y 2-y 1+y 2 my 1-1 my 2-1 =-2m 2+m 2+2m2+m 2my 1-1 my 2-1 =0则直线 AM 的倾斜角与直线 BM 的倾斜角互补, 故 ∠OMA =∠O MB .解法 2:过点 A ,B 分别作椭圆右准线的垂线, 垂足分别为 A 1,B 1(如图所示)由椭圆的第二定义可得: e =AF AA 1=BF BB 1, 所以有: AFBF =AA 1BB 1(1),因为 AA 1⎳x 轴⎳ BB 1 ,所以 AFBF =A 1M B 1M(2) 由(1)(2)得AA 1BB 1=A 1M B 1M ,即有 AA 1A 1M=BB 1B 1M 且 ∠AA 1M =∠BB 1M ， 所以 △AA 1M ∼ΔBB 1M , 即可得 ∠AMA 1=∠B MB 1,故 ∠OMA =∠O MB .【例12】如图, 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F , 点-1,32 在椭圆C 上, 过原点O 的直线与椭圆C 相交于M 、N 两点, 且|MF |+|NF |=4.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P (1,0),Q (4,0), 过点Q 且斜率不为零的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点, 证明:∠APO =∠BPQ【答案】(1)x24+y2=1；(2) 见解析.【解析】(1) 如图, 取椭圆 C 的左焦点 F , 连 MF ,NF , 由椭圆的几何性质知 |NF|=MF, 则MF+|MF|=2a=4, 得 a=2, 将点 -1,3 2代入椭圆 C 的方程得:1a2+34b2=1, 解得:b=1, 故椭圆C 的方程为:x24+y2=1.(2) 设点 A 的坐标为 x1,y1, 点 B 的坐标为 x2,y2解法 1:y1x1-4=y2x2-4⇒y21x1-42=y22x2-42⇒1-x214x1-42=1-x224x2-42⇒4-x21x2-42=4-x22x1-42⇒2x1x2x1-x2-5x21-x22+8x1-x2=0因为 x1≠x2, 所以 2x1x-5x1+x2+8=0所以k x1-4x1-1+k x2-4x2-1=k x1-4x2-1+k x2-4x1-1x1-1x2-1=k2x1x2-5x1+x2+8x1x2-x1+x2+1=0所以直线 AP 与 BP 的斜率互为相反数, 故 ∠APO=∠BPQ.解法 2:设直线 AB 的方程为 x=ty+4, 联立方程x2+4y2=4x=ty+4, 消去 x 得:t2+4y2+8ty+12=0则y1+y2=-8tt2+4y1y2=12t2+4, 所以y1y2y1+y2=-32t, 所以 2ty1y2=-3y1+y2所以k AP+k BP=y1x1-1+y2x2-1=y1ty1+3+y2ty2+3=2ty1y2+3y1+y2ty1+3ty2+3=-3y1+y2+3y1+y2ty1+3ty2+3=0所以直线 AP 与 BP 的斜率互为相反数, 故 ∠APO=∠BPQ.类型8:三斜率成等差数列引理:二次曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0与直线PQ交于点P,Q, 定点O在直线PQ 上, PQ 与O 点关于曲线C 的极线交于点R . 曲线C 上有两动点A ,B , 且直线AO 、BO 分别交曲线Γ于点C , D , 直线AB ，CD 分别交PQ 于点M ,N . 则M ,O ,N ,R 成调和点列.【证明】延长XO 交BC 于点E , 由定理5可知：B ,E ,C ,Y 成调和点列(完全四边形中的调和点列), 故M ,O ,N ,R 也成调和点列(调和点列在射影变换下的不变性).【例13】椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1,P 的坐标是x 0,0 ,Q 点在P 关于椭圆的极线x =a 2x 0上. 过P 作直线交椭圆于点A ,B . 求证：直线AQ ,PQ ,BQ 的斜率成等差数列.该结论对于拋物线, 双曲线同样适用. 特别地，当Q 点在x 轴上时, 就是等角线, 此时PQ 斜率为0 , PQ 平分∠AQB .【答案】见解析.【解析】 解法 1:作出以下辅助线:作 PR ⊥x 轴于 R , 设 AB 与 CD 交于点 P , 由引理可知:M 、P 、N 、R 成调和点列,于是有:1RM +1RN =2RP所以k AQ +k cQ =k MQ +k NQ =QR RM +QR RN =2QR RP =2k PQ 即直线 AQ ,PQ ,BQ 的斜率成等差数列.解法 2:由 A 、P 、B 共线可得： k PA =k PB , 即y A x A -x 0=y B x B -x 0所以y2Ax A-x02=y2Bx B-x02即a2b2-b2x2Aa2x A-x02=a2b2-b2x2Ba2x B-x02化简可得:2x0x A x B-x20+a2x A+x B+2a2x0=0恒等变形后得到:x0a2-x0x A+x0a2-x0x B=2x0a2-x20注意到恒等变形:x0a2-x0x A-x0a2-x20=-x20x0-x Aa2-x0x Aa2-x20于是我们将 (1)式等号的右边的式子移到左边, 还可以得到一个与(1)式等价的(2)式:x0-x Aa2-x0x A+x0-x Ba2-x0x B=0则y Ax Q-x A+y Bx Q-x B=y Aa2x0-x A+y Ba2x0-x B=x0y Aa2-x0x A+x0y Ba2-x0x Bk AQ+k BQ=y Q-y Ax Q-x A+y Q-y Bx Q-x B=y Q⋅1x Q-x A+1x Q-x B-y A xQ-x A+y Bx Q-x B所以=y Q⋅x0a2-x0x A+x0a2-x0x B-k AB⋅x0⋅x0-x Aa2-x0x A+x0-x Ba2-x0x B=y Q⋅x0a2-x0x A+x0a2-x0x B=2y Q x0a2-x20=2y Qx Q-x0=2k PQ故直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列.【例14】如图, 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0), 过焦点F任作一直线交椭圆C于A,B两点, 交F相应的准线于点M,P为过F与x轴垂直的直线上的任意一点, 则直线PA,PM,PB的斜率成等差数列.【答案】见解析【解析】易知 A,B,F,M 成调和点列, 从而直线 PA,PB,PF,PM 成调和线束, 又因为 PF⊥x 轴, 故由定理 3 知 k1,k2,k3 成等差数列.【注】类似地, 可得下面结论成立：已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0), 过点 E(t,0)(0<t<a) 任作一直线交椭圆 C 于 A,B 两点, 交直线 l:x=a2t 于点 M,P 为椭圆上的点且满足 PE⊥x 轴, 则直线 PA、PM、PB 的斜率成等差数列.【例15】如下图, 椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右顶点为A 1,B 1,Q 为直线x =m 上一点, QA 1,QB 1分别于椭圆交于点A ,B , 过点P 作直线交桞圆于A ,B 两点, 直线AB 与x 轴交于点P , 与直线x =m 交于点M , 记直线QA 1,QB 1,QP 的斜率分别为k 1,k 2,k 0, 则:(1)k 1,k 0,k 2成等差数列;(2)x P xQ =a 2.【答案】见解析.【解析】由完全四边形性质可知 Q 在 P 的极线 x =m 上, 则 P ,H 调和分割 A 1B 1.而 k 1+k 2=2k 0⇔QH A 1H+QH B 1H =2×QH PH ⇔A 1H HB 1=A 1P PB 1⇔P ,H 调和分割 A 1B 1⇔|OP |⋅|OH |=OB 1 2⇔x P x Q =a 2, 于是(1)(2)成立.【注】设与直线 AB 与直线 x =m 交于点 M , 则 P ,M 调和分割 BA .【例16】椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点M 1,32 , 离心率e =12.(1)求椭圆的方程;(2)设P 是直线x =4上任意一点, AB 是经过椭圆右焦点F 的一条弦(不经过点M ). 记直线PA ,PF ,PB 的斜率依次为k 1,k 2,k 3. 问：是否存在常数λ, 使得k 1+k 3=λk 2. 若存在, 求λ的值;若不存在, 说明理由.【答案】 (1)x 24+y 23=1； (2) 见解析【解析】(1)易知椭圆为 x 24+y 23=1.(2) 设直线 AB 方程为 x =ty +1, 点 A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由 x 24+y 23=1x =ty +1消去 x , 整理得:3t 2+4 y 2+6ty -9=0.则 y 1,y 2 为上述方程的根, 设 s =y 1+y 2=-6t 3t 2+4,p =y 1y 2=-93t 2+4 于是 s p =6t 9, 即有:t =3s 2p 设点P 的坐标为 (4,m ), 则 k 2=m 3,k 1+k 3=m -y 14-x 1+m -y 24-x 2=m -y 13-ty 1+m -y 23-ty 2=6m -(3+mt )y 1+y 2 +2ty 1y 29-3t y 1+y 2 +t 2y 1y 2=6m -3+m 3s 2p s +23s 2p p 9-33s 2p s +3s 2p2p =6m -3ms 22p 91-s 24p=2m 3=2k 2这表明存在常数 λ=2, 使得 k 1+k 3=λk 2.【注】本题中, 点 P 所在直线刚好为椭圆的右准线. 如图, 设直线 PA ,PB 与 x 轴交于 C ,D , 准线与 x 轴交于点 E . 则本题结论用图中线段可表示为 EP CE +EP DE =2⋅EP FE , 即 2EF =1EC+1ED . 这表明 (C ,D ;F ,E )为 调和点列, 由定理 3 知 k 1,k 2,k 3 成等差数列, 即 k 1+k 3=2k 2.。
调和点列与圆锥曲线
调和点列与圆锥曲线圆锥曲线是数学中一个重要的概念，它是由一个平面上的点P和一个定点F及一条定直线L所定义的几何图形。
当点P沿着定直线L 移动时，点P到定点F的距离与点P到定直线L的距离的比值保持不变，这个比值称为离心率。
圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线的特例。
本文将探讨调和点列与圆锥曲线之间的关系。
调和点列是指一个序列中相邻两项点的连接线经过一个定点。
这个定点称为调和中心，调和中心是调和点列的一个重要性质。
调和点列在几何学中有着广泛的应用，尤其是在圆锥曲线的研究中，调和点列是解决圆锥曲线问题的常用工具。
对于任意一条圆锥曲线，都存在一个调和点列，这个调和点列的构造方法是通过圆锥曲线上的两个点P和Q，以及圆锥曲线的离心率e，构造出一个调和点列。
具体的构造方法如下：1. 以点P和点Q为圆锥曲线的两个焦点，连接两个焦点，得到一条直线F1F2。
2. 在点P和点Q的中垂线上分别取一点A和B，使得PA/AB=e。
3. 连接点A和点B，得到一条直线L。
4. 在直线L上取一点C，使得PC与QC的比值等于e。
5. 连接点P和点Q，得到一条直线F3F4。
6. 连接点C和直线F3F4的交点D，得到一条直线F5F6。
7. 以点P和点Q为圆锥曲线的两个焦点，以点D为调和中心，连接点P、D、Q，得到调和点列P、D、Q。
构造出的调和点列P、D、Q具有以下性质：1. 点D是点P和点Q的中垂线上的点，即PD=QD。
2. 点D到点P和点Q的距离的倒数之和为2，即1/PD+1/QD=2。
3. 调和点列P、D、Q是圆锥曲线上的一条直线。
因此，调和点列是圆锥曲线上的一条直线，这个性质在解决圆锥曲线问题时非常有用。
例如，在求解圆锥曲线的渐近线时，可以利用调和点列的性质来求解。
对于一条双曲线，其渐近线是通过双曲线两个焦点的中垂线的交点的调和点列；对于一条椭圆，其渐近线是通过两个焦点和两个顶点的调和点列；对于一条抛物线，其渐近线是经过抛物线顶点和焦点的调和点列；对于一条圆，其渐近线是不存在的。
高考数学专题调和点列中的定比点差法
调和点列中的定比点差法【微点综述】定比点差在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势，本文介绍定比点差法在调和点列中的应用．一、调和定比分点若AM =λMB 且AN =-λNB，则称M ,N 调和分割A ,B ，根据定义，那么A ,B 也调和分割M ,N (其中M 在线段AB 内，称为内分点，N 在线段AB 外，称为外分点)．二、调和定比分点的性质【性质1】在椭圆或双曲线x 2a 2±y 2b 2=1a >0,b >0 中，设A ,B 为椭圆或双曲线上的两点．若存在M ,N 调和分割A ,B ，即满足AM =λMB ，AN =-λNB ，则一定有x M x Na 2±y M y Nb 2=1．证明：由已知点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 在椭圆或双曲线x 2a 2±y 2b2=1a >0,b >0 上，设M x M ,y M ,N x N ,y N ．首先AM =λMB ，则由定比分点坐标公式可得x M =x 1+λx21+λ,y M =y 1+λy 21+λ,又AN =-λNB ，则由定比分点坐标公式可得x N =x 1-λx21-λ,y N =y 1-λy 21-λ,当λ≠±1时，将A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 代入曲线，有x 21a 2±y 21b 2=1①x 22a 2±y 22b2=1②，②×λ2得到λ2x 22a 2±λ2y 22b2=λ2③③和①作差整理可得：x 1+λx 2 x 1-λx 2a 21+λ 1-λ±y 1+λy 2 y 1-λy 2b 21+λ 1-λ=1，将前式代入整理得x M x Na 2±y M y Nb 2=1．【性质2】在抛物线y 2=2px 中，设A ,B 为抛物线上的两点．若存在M ,N 调和分割A ,B ，即满足AM=λMB ，AN =-λNB ，则一定有y P y Q =p x P +x Q ．证明：设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，由AM =λMB ，得M x 1+λx 21+λ,y 1+λy 21+λ，由AN =-λNB ，得N x 1-λx 21-λ,y 1-λy 21-λ，又y 12=2px 1①λ2y 22=2λ2px 2②，①-②得：y 12-λ2y 22=p x 1+x 1-λ2x 2-λ2x 2 ，即y 1+λy 2 y 1-λy 2 =p x 1+λx 2+x 1-λx 2+λx 1-λ2x 2-λx 1-λ2x 2 ，y 1+λy 2 y 1-λy 2 1+λ 1-λ=p (x 1+λx 2)1-λ 1-λ 1+λ +p x 1-λx 2 1+λ1-λ 1+λ,∴y P y Q =p x P +x Q ．定比点差的原理谜题解开，就是两个互相调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程．【性质3】定比点差转换定理：在椭圆、双曲线或抛物线中，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 为椭圆或双曲线上的两点．若存在P ,Q 两点，满足AP =λPB ，AQ =-λQB，则一定有x 1=x P +x Q2+x P -x Q2⋅λ,x 2=x P +x Q2+x P -x Q2λ.(重点中的重点！！！)证明：x P x Qa 2±y P y Q b2=1⇒x 1+λx 21+λ=x P ,x 1-λx 21-λ=x Q⇒x 1+λx 2=1+λ x P ,x 1-λx 2=1+λ x Q ⇒x 1=x P +x Q2+x P -x Q2⋅λ,x 2=x P +x Q2+x P -x Q2λ.三、定比点差法在调和点列中的应用例1.已知椭圆C :x 24+y 22=1，过点P 4,1 的动直线l 交椭圆C 于A ,B 两点，在线段AB 上取点Q 满足AP QB =AQ PB ，求证：点Q 在某条定直线上．BAO PQxy例2.已知F 1、F 2分别为椭圆C 1：y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2:x 2=4y 的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且|MF 1|=53．OxyMF 1F 2(1)求椭圆C 1的方程；(2)已知点P (1,3)和圆O ：x 2+y 2=b 2，过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点A ,B ，在线段AB 上取一点Q ，满足：AP =-λPB ，AQ =λQB，(λ≠0且λ≠±1)．求证：点Q 总在某定直线上．例3.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为23．(1)求a ，b 的值；(2)当过点P 6,0 的动直线l 与椭圆C 交于不同的点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，使得AP ⋅BQ+AQ ⋅BP=0，问点Q 是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由．例4.已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的中心为原点O ，左､右焦点分别为F 1､F 2，离心率为54，且过点M 5,94 ，又P 点是直线x =a 25上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足PF 2 ⋅QF 2 =0．(1)求双曲线的方程；(2)证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；(3)若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ､N ，在线段MN 上取异于点M ､N 的点H ，满足PM PN=MH HN，证明点H 恒在一条定直线上．例5.椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦点F 1，F 2是等轴双曲线C 2：x 22-y 22=1的顶点，若椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点是P ，△PF 1F 2的周长为4+22．(1)求椭圆C 1的标准方程；(2)点M 是双曲线C 2上任意不同于其顶点的动点，设直线MF 1、MF 2的斜率分别为k 1，k 2，求证k 1，k 2的乘积为定值；(3)过点Q -4,0 任作一动直线l 交椭圆C 1与A ，B 两点，记AQ =λQBλ∈R ，若在直线AB 上取一点R ，使得AR =-λ RB，试判断当直线l 运动是，点R 是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．例6.在平面直角坐标系xOy 中，已知动点M 到定点F 1,0 的距离与到定直线x =3的距离之比为33．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)已知P 为定直线x =3上一点．①过点F 作FP 的垂线交轨迹C 于点G (G 不在y 轴上)，求证：直线PG 与OG 的斜率之积是定值；②若点P 的坐标为3,3 ，过点P 作动直线l 交轨迹C 于不同两点R 、T ，线段RT 上的点H 满足PR PT=RHHT，求证：点H 恒在一条定直线上．【针对训练】1.(2022·江苏·南京师大附中高三开学考试)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，已知椭圆的短轴长为22，离心率为22．(1)求椭圆的方程；(2)点P为直线x=4上的动点，过点P的动直线l与椭圆C相交于不同的A,B两点，在线段AB上取点Q，满足|AP|⋅|QB|=|AQ|⋅|PB|，求证：点Q总在一条动直线上且该动直线恒过定点．2.已知椭圆E：x2a2+y24=1(a>0)的中心为原点O，左、右焦点分别为F1、F2，离心率为53，点P是直线x=-5a25上任意一点，点Q在椭圆E上，且满足PF1⋅QF1=0．(1)试求出实数a；(2)设直线PQ与直线OQ的斜率分别为k1与k2，求积k1•k2的值；(3)若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与椭圆交于不同的两点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足PMPN=MHHN，证明点H恒在一条定直线上．3.在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为23(1)求a ，b 的值(2)当过点P (6，0)的动直线1与椭圆C 交于不同的点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，使得AP BQ=AQ BP ，问点Q 是否总在某条定直线上?若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是C 上一点，MF 1 =2，且MF 1 MF 2 =-2MF 1⋅F 2M .(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)当过点P 4,1 的动直线l 与椭圆C 相较于不同两点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且Q 满足AP QB =AQ PB，证明点Q 总在某定直线上，并求出该定直线.5.(2022·山东·模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知动点C到定点F(1,0)的距离与它到直线l:x=4的距离之比为12.(1)求动点C的轨迹方程；(2)点P为直线l上的动点，过点P的动直线m与动点C的轨迹相交于不同的A，B两点，在线段AB上取点Q，满足|AP|=λ|PB|,|AQ|=λ|QB|，求证：点Q总在一条动直线上且该动直线恒过定点.6.(2022·北京八中高二期末)如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴端点为B1、B2，且B1B2=2，椭圆C的离心率e=22，点P(0,2)，过点P的动直线l椭圆C交于不同的两点M、N与B1，B2均不重合)，连接MB1，NB2，交于点T．(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：当直线l绕点P旋转时，点T总在一条定直线上运动；(3)是否存在直线l，使得MT⋅NT=B1T⋅B2T？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．MNOPTB1B2x y调和点列中的定比点差法【微点综述】定比点差在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势，本文介绍定比点差法在调和点列中的应用．一、调和定比分点若AM =λMB 且AN =-λNB，则称M ,N 调和分割A ,B ，根据定义，那么A ,B 也调和分割M ,N (其中M 在线段AB 内，称为内分点，N 在线段AB 外，称为外分点)．二、调和定比分点的性质【性质1】在椭圆或双曲线x 2a 2±y 2b 2=1a >0,b >0 中，设A ,B 为椭圆或双曲线上的两点．若存在M ,N 调和分割A ,B ，即满足AM =λMB ，AN =-λNB ，则一定有x M x Na 2±y M y Nb 2=1．证明：由已知点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 在椭圆或双曲线x 2a 2±y 2b2=1a >0,b >0 上，设M x M ,y M ,N x N ,y N ．首先AM =λMB ，则由定比分点坐标公式可得x M =x 1+λx21+λ,y M =y 1+λy 21+λ,又AN =-λNB ，则由定比分点坐标公式可得x N =x 1-λx21-λ,y N =y 1-λy 21-λ,当λ≠±1时，将A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 代入曲线，有x 21a 2±y 21b 2=1①x 22a 2±y 22b2=1②，②×λ2得到λ2x 22a 2±λ2y 22b2=λ2③③和①作差整理可得：x 1+λx 2 x 1-λx 2a 21+λ 1-λ±y 1+λy 2 y 1-λy 2b 21+λ 1-λ=1，将前式代入整理得x M x Na 2±y M y Nb 2=1．【性质2】在抛物线y 2=2px 中，设A ,B 为抛物线上的两点．若存在M ,N 调和分割A ,B ，即满足AM=λMB ，AN =-λNB ，则一定有y P y Q =p x P +x Q ．证明：设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，由AM =λMB ，得M x 1+λx 21+λ,y 1+λy 21+λ，由AN =-λNB ，得N x 1-λx 21-λ,y 1-λy 21-λ，又y 12=2px 1①λ2y 22=2λ2px 2②，①-②得：y 12-λ2y 22=p x 1+x 1-λ2x 2-λ2x 2 ，即y 1+λy 2 y 1-λy 2 =p x 1+λx 2+x 1-λx 2+λx 1-λ2x 2-λx 1-λ2x 2 ，y 1+λy 2 y 1-λy 2 1+λ 1-λ=p (x 1+λx 2)1-λ 1-λ 1+λ +p x 1-λx 2 1+λ1-λ 1+λ,∴y P y Q =p x P +x Q ．定比点差的原理谜题解开，就是两个互相调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程．【性质3】定比点差转换定理：在椭圆、双曲线或抛物线中，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 为椭圆或双曲线上的两点．若存在P ,Q 两点，满足AP =λPB ，AQ =-λQB，则一定有x 1=x P +x Q2+x P -x Q2⋅λ,x 2=x P +x Q2+x P -x Q2λ.(重点中的重点！！！)证明：x P x Qa 2±y P y Q b2=1⇒x 1+λx 21+λ=x P ,x 1-λx 21-λ=x Q⇒x 1+λx 2=1+λ x P ,x 1-λx 2=1+λ x Q ⇒x 1=x P +x Q2+x P -x Q2⋅λ,x 2=x P +x Q2+x P -x Q2λ.三、定比点差法在调和点列中的应用例1.已知椭圆C :x 24+y 22=1，过点P 4,1 的动直线l 交椭圆C 于A ,B 两点，在线段AB 上取点Q 满足AP QB =AQ PB ，求证：点Q 在某条定直线上．BAO PQxy【解析】解法一：设AP PB=AQ BQ=λλ≠1 ，即AP =λPB ，AQ =-λQB，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，Q x ,y ，由于AP =λPB ，4=x 1+λx21+λ⋅⋅⋅①1=y 1+λy 21+λ⋅⋅⋅②，又x 214+y 212=1,λ2x 224+λ2y 222=λ2，两式相减得x 1+λx 2 x 1-λx 2 4+y 1+λy 2 y 1-λy 2 2=1-λ2③①②式代入③式，x 1-λx 21-λ+y 1-λy 221-λ=1④又由于AQ =-λQB ，x =x 1-λx21-λ⋅⋅⋅⑤y =y 1-λy 21-λ⋅⋅⋅⑥，⑤⑥式代入④式，x +12y =1，即点Q 在定直线2x +y -2=0上．解法二：设AP PB =AQBQ =λλ≠1 ，即AP =λPB ，AQ =-λQB ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，Q x 0,y 0 ，则Px 1-λx 21-λ,y 1-λy 21-λ,Q x 1+λx 21+λ,y 1+λy 21+λ，于是有x 1-λx 21-λ=4,y 1-λy 21-λ=1,x 1+λx 21+λ=x 0,y 1+λy 21+λ=y 0,由点A ,B 在椭圆上，则x 21+2y 21=4,λ2x 21+2λ2y 21=4λ2, 于是有x 1+λx 21+λ⋅x 1-λx 21-λ+2⋅y 1+λy 21+λ⋅y 1-λy 21-λ=4，即4x 0+2y 0=4，故点Q 在定直线2x +y -2=0上．【评注】共线的四点成两组等比例线段，于是设AP =λPB ,AQ =-λQB，自然想到定比点差法，非常巧妙地得到结论，体现出定比点差法比其他方法的优越性．例2.已知F 1、F 2分别为椭圆C 1：y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2:x 2=4y 的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且|MF 1|=53．OxyMF 1F 2(1)求椭圆C 1的方程；(2)已知点P (1,3)和圆O ：x 2+y 2=b 2，过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点A ,B ，在线段AB 上取一点Q ，满足：AP =-λPB ，AQ =λQB，(λ≠0且λ≠±1)．求证：点Q 总在某定直线上．【答案】(1)y 24+x23=1；(2)x +3y =3析】(1)设M x 0，y 0 ，由已知得x 02=4y 0y 0+1=53，可求得点M 的坐标，代入椭圆的方程中可求得a ,b ,c ，可得椭圆C 1的方程；(2)由向量的坐标运算和向量相等的条件，以及点在圆上可得出点Q 所在的直线．【解析】(1)设M x 0，y 0 ，因为点M 在抛物线C 2上，且|MF 1|=53，所以x 02=4y 0y 0+1=53 ，解得x 0=-263y 0=23，又点M 在抛物线C 1上，所以232a2+-2632b2=1，且c =1，即b 2=a 2-1，解得a 2=4,b 2=3，所以椭圆C 1的方程y 24+x 23=1；(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，Q x ,y ，因为AP =-λPB ，所以1-x 1，3-y 1 =-λx 2-1,y 2-3 ，即有x 1-λx 2=1-λ，1y 1-λy 2=31-λ ，2 ，又AQ =λQB ，所以x -x 1，y -y 1 =λx 2-x ,y 2-y ，即有x 1+λx 2=x 1+λ ，3 y 1+λy 2=y 1+λ ，4 ，所以1 ×3 +2 ×4 得：x 12+y 12-λ2x 22+y 22 =x +3y 1-λ2 ，又点A 、B 在圆x 2+y 2=3上，所以x 12+y 12=3，x 22+y 22=3，又λ≠±1，所以x +3y =3，故点Q 总在直线x +3y =3上．OPQABxy【评注】本题考查椭圆和抛物线的简单几何性质，以及直线与圆的交点问题，属于较难题．例3.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为23．(1)求a ，b 的值；(2)当过点P 6,0 的动直线l 与椭圆C 交于不同的点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，使得AP ⋅BQ+AQ ⋅BP=0，问点Q 是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由．【答案】(1)a =2，b =3；(2)直线Q 恒在定直线x =23上析】(1)利用椭圆a ,b ,c 关系、离心率和三角形面积可构造方程求得结果；(2)根据四点的位置关系可知AP AQ=BP BQ，由此可得Q x 0,y 0 中y 0=2y 1y 2y 1+y 2，将直线AB 方程代入椭圆方程，得到韦达定理形式，整理可求得y 0，代入直线方程可知x 0=32恒成立，由此可确定结论．【解析】(1)以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大时，三角形另一顶点为椭圆短轴的端点，∴a 2=b 2+c 2e =c a =1212×2a ×b =ab =23，解得：a =2，b =3．(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，Q x 0,y 0 ，AP ⋅BQ =-AP ⋅BQ ，AQ ⋅BP=AQ ⋅BP ，∴-AP ⋅BQ +AQ ⋅BP =0，即AP AQ=BP BQ，即y 1-0y 1-y 0=y 2y 0-y 2，整理可得：y 0=2y 1y 2y 1+y 2，设直线AB ：x =ty +6，联立直线AB 与椭圆：x 24+y 23=1x =ty +6 ，整理得：3t 2+4 y 2+36ty +96=0，∴y 1+y 2=-36t3t 2+4y 1y 2=963t 2+4，∴y 0=2y 1y 2y 1+y 2=1923t 2+4-36t 3t 2+4=-163t，∵Q 在线段AB 上，则x 0=ty 0+6=t ⋅-163t +6=23，∴点Q 恒在定直线x =23上．OPQ A Bxy【评注】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用Δ>0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求量，通过化简整理确定所求的定直线．例4.已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的中心为原点O ，左､右焦点分别为F 1､F 2，离心率为54，且过点M 5,94 ，又P 点是直线x =a 25上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足PF 2 ⋅QF 2 =0．(1)求双曲线的方程；(2)证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；(3)若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ､N ，在线段MN 上取异于点M ､N 的点H ，满足PM PN=MH HN，证明点H 恒在一条定直线上．【答案】(1)x 216-y 29=1；(2)证明见解析；(3)证明见解析析】(1)由离心率公式和点满足双曲线的方程，结合双曲线的a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b ，进而得到双曲线的方程；(2)设出P 165,t ，Q x 0,y 0 ，代入双曲线的方程，再由PF 2 ⋅QF 2 =0，再由直线的斜率公式，得到直线PQ 与直线OQ 的斜率之积，化简整理，运用代入，即可得到定值916；(3)设点H x ,y ，且过点165,1的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，设PM PN=MH HN=λ，代入可得求出坐标之间的关系，化简可得点H 恒在定直线9x -5y -45=0上．【解析】(1)双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，c 2=a 2+b 2，由于离心率为54，即e =ca =1+b 2a2=54，M 5,94 代入双曲线的方程可得25a 2-8116b 2=1，解得a =4，b =3，c =5，即有双曲线的方程为x 216-y 29=1．(2)由于点P 是直线x =a 25=165上任意一点，可设P 165,t ，再由Q 为双曲线x 216-y 29=1上一点，可设Q x 0,y 0 ，则x 2016-y 209=1，即y 20=916x 20-16 ．由F 25,0 ，则PF 2 ⋅QF 2 =5-165 5-x 0 +-t -y 0 =0，即有9-95x 0+ty 0=0，即有ty 0=-9+95x 0，则k PQ ⋅k OQ =y 0-t x 0-165⋅y 0x 0=y 20-ty 0x 20-165x 0=916x 20-16 -95x 0-5 x 20-165x 0=916，则直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值916．(3)设点H x ,y ，且过点P 165,1的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则x 2116-y 219=1x 2216-y 219=1，即y 21=916x 21-16 ，y 22=916x 22-16 ，设PM PN =MH HN=λ，则PM =λPNMH =λHN ，即x 1-λx 2=1651-λ ,1 y 1-λy 2=1-λ,2 x 1+λx 2=x 1+λ ,3 y 1+λy 2=y 1+λ ,4 由1 ×3 ，2 ×4 得x 21-λ2x 22=1651-λ2 x ,5 y 21-λ2y 22=1-λ2y ,6，将y 21=916x 21-16 ，y 22=916x 22-16 ，代入6 ，得y =916⋅x 21-λ2x 221-λ2-9,7 ，将5 代入7，得y =95x -9，所以点H 恒在定直线9x -5y -45=0上．例5.椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦点F 1，F 2是等轴双曲线C 2：x 22-y 22=1的顶点，若椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点是P ，△PF 1F 2的周长为4+22．(1)求椭圆C 1的标准方程；(2)点M 是双曲线C 2上任意不同于其顶点的动点，设直线MF 1、MF 2的斜率分别为k 1，k 2，求证k 1，k 2的乘积为定值；(3)过点Q -4,0 任作一动直线l 交椭圆C 1与A ，B 两点，记AQ =λQB λ∈R ，若在直线AB 上取一点R ，使得AR =-λ RB，试判断当直线l 运动是，点R 是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 22=1；(2)证明见解析；(3)是，x =-1析】(1)根据双曲线与椭圆的关系，求得a ,b ,c ，可得结果．(2)假设点M x ,y ，直接表示斜率，然后根据双曲线方程化简即可．(3)设直线方程并与椭圆联立，结合韦达定理，然后根据AQ =λQB ,AR =-λ RB，求得λ，最后计算x 0即可．【解析】(1)有由题可知：c =2，由△PF 1F 2的周长为4+22，所以PF 1 +PF 2 =4+22-22=4，即2a =4⇒a =2，所以b 2=a 2-c 2=2，所以椭圆的方程为x 24+y 22=1．(2)设M x ,y ，由F 1-2,0 ,F 22,0 ，所以k 1=y x +2,k 2=yx -2，所以k 1⋅k 2=y 2x 2-2，又x 22-y 22=1，则y 2=x 2-2，所以k 1⋅k 2=1．(3)依题可知：直线的斜率存在，设方程为y =k x +4 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，所以y =k x +4x 24+y 22=1⇒1+2k 2 x 2+16k 2x +32k 2-4=0，所以Δ=16k 2 2-4×1+2k 2×32k 2-4 =161-6k 2>0，x 1x 2=32k 2-41+2k 2,x 1+x 2=-16k 21+2k2，由AQ =λQB ⇒-4-x 1=λx 2+4 ⇒λ=-4+x 1x 2+4，设R x 0,y 0 ，由AR =-λ RB ⇒x 0-x 1=-λx 2-x 0 ，所以x 0=x 1-λx 21-λ=x 1+4+x1x 2+4x 21+4+x 1x 2+4=2x 1x 2+4x 1+x 2x 1+x 2+8，所以x 0=2×32k 2-41+2k 2+4×-16k 21+2k 2-16k 21+2k2+8=-1．【评注】关键点点睛：本题第(3)问，第一，假设直线方程；第二，联立椭圆方程并使用韦达定理；第三，根据条件求得λ；第四，计算x 0．例6.在平面直角坐标系xOy 中，已知动点M 到定点F 1,0 的距离与到定直线x =3的距离之比为33．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)已知P 为定直线x =3上一点．①过点F 作FP 的垂线交轨迹C 于点G (G 不在y 轴上)，求证：直线PG 与OG 的斜率之积是定值；②若点P 的坐标为3,3 ，过点P 作动直线l 交轨迹C 于不同两点R 、T ，线段RT 上的点H 满足PR PT=RHHT，求证：点H 恒在一条定直线上．【答案】(1)x 23+y 22=1(2)①直线PG 与OG 的斜率之积为定值-23．②点H 在定直线2x +3y -2=0上析】(1)设动点坐标(x ,y )，直接利用轨迹方程定义计算即可；(2)令P 3,t ，①令G x 0,y 0 ，由FG ⊥FP ，得FG ·FP=0，即x 0-1,y 0 ·2,t =0，即ty 0=2-2x 0，又因为点G x 0,y 0 在椭圆x 23+y 22=1上，所以y 20=2-2x 203，而PG 、OG 的斜率分别为k PG =y 0-t x 0-3、k OG =y 0x 0，于是k PG ·k OG =y 0-t y 0x 0-3 x 0=y 20-ty 0x 20-3x 0=2-2x 203-2+2x 0x 20-3x 0=-23x 2-3x 0 x 20-3x 0=-23，即直线PG 与OG 的斜率之积为定值-23； ②令PR PT =RHHT=λ(λ>0)，则PR =λPT ,RH =λHT ，代入椭圆，消元即可证明点H 在定直线2x +3y -2=0上．【解析】(1)设M x ,y ，则MF =x -12+y 2，点M 到直线x =3的距离d =x -3 ，由MFd=33，得x -1 2+y 2x -32=13，化简得x 23+y 22=1，即点M 在轨迹C 的方程为x 23+y 22=1．(2)因为P 为直线x =3上一点，所以令P 3,t ，①令G x 0,y 0 ，由FG ⊥FP ，得FG ·FP=0，即x 0-1,y 0 ·2,t =0，即ty 0=2-2x 0，又因为点G x 0,y 0 在椭圆x 23+y 22=1上，所以y 20=2-2x 203，而PG 、OG 的斜率分别为k PG =y 0-t x 0-3、k OG =y 0x 0，于是k PG ·k OG =y 0-t y 0x 0-3 x 0=y 20-ty 0x 20-3x 0=2-2x 203-2+2x 0x 20-3x 0=-23x 20-3x 0 x 20-3x 0=-23，即直线PG 与OG 的斜率之积为定值-23．②令PR PT =RHHT =λ(λ>0)，则PR =λPT ,RH =λHT ，令点H x ,y ,R x 1,y 1 ,T x 2,y 2 ，则x 1-3,y 1-3 =λx 2-3,y 2-3x -x 1,y -y 1=λx 2-x ,y 2-y ，即x 1-3=λx 2-3λ,y 1-3=λy 2-3λ,x -x 1=λx 2-λx ,y -y 1=λy 2-λy , ，即3=λx 2-x 1λ-1①3=λy 2-y 1λ-1②x =λx 2+x 1λ+1③y =λy 2+y 1λ+1④由①×③，②×④，得3x =λ2x 22-x 21λ2-1⑤3y =λ2y 22-y 21λ2-1⑥ ，因为R x1,y1,T x2,y2在椭圆x23+y22=1上，所以{2x21+3y21=62x22+3y22=6，⑤×2+⑥×3，得6x+9y=2λ2x22-2x21+3λ2y22-3y21λ2-1=λ22x22+3y22-2x21+3y21λ2-1=6λ2-6λ2-1=6λ2-1λ2-1=6，即2x+3y-2=0，所以点H在定直线2x+3y-2=0上．【评注】本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立a,b,c的方程，求出a2,b2即可，注意a2=b2+c2,e=ca的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出x1 +x2,x1⋅x2，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．【针对训练】1.(2022·江苏·南京师大附中高三开学考试)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，已知椭圆的短轴长为22，离心率为22．(1)求椭圆的方程；(2)点P为直线x=4上的动点，过点P的动直线l与椭圆C相交于不同的A,B两点，在线段AB上取点Q，满足|AP|⋅|QB|=|AQ|⋅|PB|，求证：点Q总在一条动直线上且该动直线恒过定点．【答案】(1)x24+y22=1(2)证明见解析【分析】(1)根据椭圆定义即离心率求出a,b,c即可.(2)设出点的坐标，分别表示出|AP|，|QB|，|AQ|，|PB|的长度，代入题目关系式中，得到一组关系即2x1x2-(x1+x2)(4+x)+8x=0，由此可发现可将联立直线与椭圆的韦达定理代入，寻找Q所满足的直线关系(1)由题意可知2b=22c a =22，解得a=2,b=2,c=2，则椭圆的方程：x24+y22=1(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)，Q(x,y)，P(4,t)，直线AB的斜率显然存在设为k，则AB的方程为y=k(x-4) +t．因为A,P,B,Q四点共线，不妨设x2<x<x1<4，|AP |=1+k 2(4-x 1)，|AQ |=1+k 2(x 1-x )，|QB |=1+k 2(x -x 2)，|PB |=1+k 2(4-x 2)，由|AP |⋅|QB |=|AQ |⋅|PB |可得(4-x 1)(x -x 2)=(x 1-x )(4-x 2)，化简可得2x 1x 2-(x 1+x 2)(4+x )+8x =0．(*)联立直线y =k (x -4)+t 和椭圆的方程消去y ：x 24+y 22=1y =k x -4 +t，即(2k 2+1)x 2+4k (t -4k )x +2(t -4k )2-4=0，由韦达定理，x 1+x 2=-4k (t -4k )2k 2+1，x 1x 2=2(t -4k )2-42k 2+1．代入(*)化简得x =4kt +2-t 2kt +2=4-6+t 2kt +2，即6+t 2kt +2=4-x又k =y -t x -4代入上式：6+t 2y -t x -4t +2=4-x ，化简：2x +ty -2=0，所以点Q 总在一条动直线2x +ty -2=0上，且该直线过定点(1,0)2.已知椭圆E ：x 2a2+y 24=1(a >0)的中心为原点O ，左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P 是直线x =-5a 25上任意一点，点Q 在椭圆E 上，且满足PF 1 ⋅QF 1 =0．(1)试求出实数a ；(2)设直线PQ 与直线OQ 的斜率分别为k 1与k 2，求积k 1•k 2的值；(3)若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上取异于点M 、N 的点H ，满足PM PN=MH HN，证明点H 恒在一条定直线上．【答案】(1)a =3(2)-49(3)证明见解析【分析】(1)根据椭圆的离心率列方程求出实数a 的值；(2)由(1)可设点P -955，t ，Q (x 0，y 0)，根据PF 1 ⋅QF 1 =0得出ty 0=4+455x 0再由点Q 在椭圆E 上得出y 02=41-x 029，用斜率公式及可求出k 1•k 2的值；(3)设过P -955，1 的直线l 与椭圆交于两个不同点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，点H (x ，y )，代入椭圆方程得出4x 12+9y 12=36，4x 22+9y 22=36，再设PM PN=MH HN=λ，即PM =λPN，MH =λHN，代入数据整理即可得出点H 恒在一条定直线上．【详解】(1)解：设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可得c a =53a 2=4+c 2，解得a =3；(2)解：由(1)可知，直线x =-5a 25=-955，点F 1(-5，0)．设点P -955，t ，Q (x 0，y 0)，∵PF 1 ⋅QF 1 =0，∴-5+955，-t •(-5-x 0，-y 0)=0，得ty 0=4+455x 0．∵点Q (x 0，y 0)在椭圆E 上，∴x 029+y 024=1，即y 02=41-x 029．∴k 1•k 2=y 0-t x 0+955⋅y 0x 0=y 02-ty 0x 02+955x 0=4-49x 02-4-455x 0x 02+955x 0=-49，∴k 1•k 2的值是-49；(3)证明：设过P -955，1 的直线l 与椭圆交于两个不同点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，点H (x ，y )，则4x 12+9y 12=36，4x 22+9y 22=36，设PM PN=MH HN=λ，则PM =λPN ，MH =λHN，∴x 1+955，y 1-1 =λx 2+955，y 2-1 ，(x -x 1，y -y 1)=λ(x 2-x ，y 2-y )，整理得955=λx 2-x 11-λ，x =x 1+λx 21+λ，1=y 1-λy 21-λ，y =y 1+λy 21+λ，从而955x =λ2x 22-x 121-λ2，y =y 12-λ2y 221-λ2，由于4x 12+9y 12=36，4x 22+9y 22=36，∴3655x -9y =4λ2x 22-4x 12-9y 12+9λ2y 221-λ2=λ24x 22+9y 22 -4x 12+9y 12 1-λ2=-36．∴点H 恒在直线3655x -9y +36=0．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．3.在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为23(1)求a ，b 的值(2)当过点P (6，0)的动直线1与椭圆C 交于不同的点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，使得AP BQ=AQ BP ，问点Q 是否总在某条定直线上?若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.OPQ P MH NF 1xy【答案】(1)a =2,b =3；(2)存在，点Q (x ,y )总在定直线x =23上.【分析】(1)由已知建立关于a ,b ,c 方程组，解之可求得答案；(2)设点Q ,A ,B 的坐标分别为(x ,y ),(x 1,y 1)，(x 2,y 2).记λ=|AP ||PB |=|AQ ||QB |，由已知得坐标的关系：6=x 1-λx 21-λ，0=y 1-λy 21-λ，x =x 1+λx 21+λ，y =y 1+λy 21+λ，由点A ,B 在椭圆上，代入可得定直线.【详解】(1)由已知得c a =1212×2a ×b =23b 2+c 2=a 2，解得a =2b =3c =1，所以a =2,b =3；(2)由(1)得椭圆的方程为C :x 24+y 23 =1，设点Q ,A ,B 的坐标分别为(x ,y ),(x 1,y 1)，(x 2,y 2).由题设知|AP |,|PB |,|AQ |,|QB |均不为零，记λ=|AP ||PB |=|AQ||QB |，则λ>0且λ≠1，又A ,P ,B ,Q 四点共线，从而AP =-λPB ,AQ =λQB ，于是6=x 1-λx 21-λ，0=y 1-λy 21-λ，x =x 1+λx 21+λ，y =y 1+λy 21+λ，从而x 21-λ2x 221-λ2=6x ①，y 21-λ2y 221-λ2=0②，又点A ,B 在椭圆上，所以3x 21+4y 21-12=0③，3x 22+4y 22-12=0④，所以3×①+4×②并结合③，④，得18x =3x 21-λ2x 22 +4y 21-λ2y 221-λ2=3x 21+4y 21 -λ23x 22+4y 221-λ2，化简得x =23.即点Q (x ,y )总在定直线x =23上.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系之：定直线问题.证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等.属于较难题.4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是C 上一点，MF 1 =2，且MF 1 MF 2 =-2MF 1⋅F 2M .(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)当过点P 4,1 的动直线l 与椭圆C 相较于不同两点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且Q 满足AP QB =AQ PB ，证明点Q 总在某定直线上，并求出该定直线.【答案】(Ⅰ)x 24+y 23=1；(Ⅱ)证明见解析，直线方程为3x +y -3=0．【分析】(1)本问主要考查求椭圆标准方程，由MF 1 MF 2 =-2MF 1 ·F 2M ，可得cos ∠F 1MF 2=MF 1 ·MF 2MF 1 MF 2=12，所以∠F 1MF 2=60°，则在ΔF 1MF 2中，MF 2 =2a -2，F 1F 2 =2c ，再根据余弦定理及a =2c ，可以求出a ,c 的值，于是可以求出椭圆的方程；(2)本问主要考查直线与椭圆的综合应用，分析题意可知直线l 的斜率显然存在，故设直线方程为y -1=k x -4 ，再联立直线方程与椭圆方程，消去未知数y 得到关于x 的一元二次方程，根据韦达定理表示出A ,B 两点横坐标之和及横坐标之积，于是设点Q x 0,y 0 ，将题中条件AP QB =AQ PB 转化为横坐标的等式，于是可以得出Q x 0,y 0 满足的方程，即可以证明Q x 0,y 0 总在一条直线上.【解析】(1)由已知得a =2c ，且∠F 1MF 2=600，在ΔF 1F 2M 中，由余弦定理得2c 2=22+4c -2 2-2×24c -2 cos600，解得c =1.则a =2,b =3，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y -1=k x -4 ，即y =kx +1-4k ，代入椭圆方程，整理得3+4k 2 x 2+8k -32k 2 x +64k 2-32k -8=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=32k 2-8k 3+4k 2,x 1x 2=64k 2-32k -83+4k 2.设Q x 0,y 0 ，由AP QB = AQ PB 得4-x 1 x 0-x 2 =x 1-x 0 4-x 2 (考虑线段在x 轴上的射影即可)，所以8x 0=4+x 0 x 1+x 2 -2x 1x 2，于是8x 0=4+x 0 32k 2-8k 3+4k 2-2×64k 2-32k -83+4k2，整理得3x 0-2=4-x 0 k ，(*)又k =y 0-1x 0-4，代入(*)式得3x 0+y 0-3=0，所以点Q 总在直线3x +y -3=0上.【考点】1.椭圆标准方程；2.直线与椭圆位置关系.【点睛】圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题时高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、分类讨论思想的考查.求定值问题常见的方法：(1)从特殊点入手，求出定值，再证明这个值与变量无关，(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.定点问题的常见解法：(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点，(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意.5.(2022·山东·模拟预测)在平面直角坐标系xOy 中，已知动点C 到定点F (1,0)的距离与它到直线l :x =4的距离之比为12.(1)求动点C 的轨迹方程；(2)点P 为直线l 上的动点，过点P 的动直线m 与动点C 的轨迹相交于不同的A ，B 两点，在线段AB 上取点Q ，满足|AP |=λ|PB |,|AQ |=λ|QB |，求证：点Q 总在一条动直线上且该动直线恒过定点.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【分析】(1)直接根据题意翻译条件为代数式，即可求解.(2)设点设直线，将条件翻译成代数式，联立直线方程和椭圆方程，再利用韦达定理消元即可.【解析】(1)设动点C (x ,y )，由动点C 到定点F (1,0)的距离与它到直线l :x =4的距离之比为12.得(x -1)2+y 2|x -4|=12，化简得x 24+y 23=1，即点C 的轨迹方程为x 24+y 23=1(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,Q (x ,y ),P (4,t )，直线AB 的斜率显然存在设为k ，则AB 的方程为y =k (x -4)+t .因为A ，P ，B ，Q 四点共线，不妨设x 1<x <x 2<4，由|AP |=λ|PB |,|AQ |=λ|QB |可得，AP =λBP ,AQ =λQB即4-x 1,t -y 1 =λ4-x 2,t -y 2 ,x -x 1,y -y 1 =λx 2-x ,y 2-y ，所以4-x 1=λ4-x 2 ,x -x 1=λx 2-x ;t -y 1=λt -y 2 ,y -y 1=λy 2-y可得4-x 1 x 2-x =x -x 1 4-x 2 ，化简可得2x 1x 2-x 1+x 2 (4+x )+8x =0.(*)联立直线y =k (x -4)+t 和椭圆C 的方程：x 24+y 23=1y =k x -4 +t，消去y 得：4k 2+3 x 2+8k (t -4k )x +4(t -4k )2-12=0，由韦达定理，x 1+x 2=-8k (t -4k )4k 2+3，x 1x 2=4(t -4k )2-124k 2+3.代入(*)化简得x =4kt +3-t 2kt +3=4-9+t 2kt +3，即9+t 2kt +3=4-x 又k =y -t x -4代入上式：9+t 2y -t x -4t +3=4-x ，化简：3x +ty -3=0，所以点Q 总在一条动直线3x +ty -3=0上，且该直线过定点(1,0)6.(2022·北京八中高二期末)如图，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的短轴端点为B 1、B 2，且B 1B 2 =2，椭圆C 的离心率e =22，点P (0,2)，过点P 的动直线l 椭圆C 交于不同的两点M 、N 与B 1，B 2均不重合)，连接MB 1，NB 2，交于点T ．MNOPTB1B2x y(1)求椭圆C的方程；(2)求证：当直线l绕点P旋转时，点T总在一条定直线上运动；(3)是否存在直线l，使得MT⋅NT=B1T⋅B2T？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x22+y2=1(2)证明见解析；(3)不存在直线l，使得MT⋅NT=B1T⋅B2T成立，理由见解析.【分析】(1)根据题意，列出方程组，求得a2=2,b2=1，即可求得椭圆的方程；(2)设直线的方程为y=kx+2，联立方程组求得x1+x2=-8k2k2+1,x1x2=62k2+1，设T(m,n)，根据B1,T,M和B2,T,M在同一条直线上，列出方程求得n的值，即可求解；(3)设直线l的为x=m(y-2)，把MT⋅NT=B1T⋅B2T转化为-y1y2+12(y1+y2)=1，联立方程组求得y1+y2,y1y2，代入列方程，求得m=0，即可得到结论.【解析】(1)解：由题意可得e=ca=222b=2c2=a2-b2，解得a2=2,b2=1，所以所求椭圆的方程为x22+y2=1.(2)解：由题意，因为直线l过点P(0,2)，可设直线的方程为y=kx+2，M(x1,y1),N(x2,y2)，联立方程组y=kx+2x2+2y=2，整理得(2k2+1)x2+8kx+6=0，可得x1+x2=-8k2k2+1,x1x2=62k2+1，因为直线l 与椭圆有两个交点，所以Δ=(8k )2-4×6⋅(2k 2+1)>0，解得k 2>32，设T (m ,n )，因为B 1,T ,M 在同一条直线上，则n +1m =y 1+1x 1=kx 1+3x 1=k +3x 1，①又由B 2,T ,M 在同一条直线上，则n -1m =y 2-1x 2=kx 2+1x 2=k +1x 2，②由①+②×3所以n +1m +3⋅n -1m =4k +3(x 1+x 2)x 1x 2=4k +3⋅-8k 2k 2+162k 2+1=0，整理得4n -2=0，解得n =12，所以点T 在直线y =12，即当直线l 绕点P 旋转时，点T 总在一条定直线y =12上运动.(3)解：由(2)知，点T 在直线y =12上运动，即y T =12，设直线l 的方程为x =m (y -2)，且M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，又由B 1(-1,0),B (1,0)且MT ⋅NT =B 1T ⋅B 2T ，可得y 1-12 ⋅12-y 2 =1-12 ⋅12+1 ，即-y 1y 2+12(y 1+y 2)=1，联立方程组x =m (y -2)x 2+2y =2，整理得(m 2+2)y 2-4m 2y +4m 2-2=0，可得y 1+y 2=-4m 2m 2+2,y 1y 2=4m 2-2m 2+2，代入可得-4m 2-2m 2+2-4m 2m 2+2=1，解得8m 2=0，即m =0，此时直线的斜率不存在，不合题意，所以不存在直线l ，使得MT ⋅NT =B 1T ⋅B 2T 成立.。
关于调和点列的若干证明
关于调和点列的若干证明
关于调和点列表的若干证明引起了普遍的关注，其实，调和点列表本身
就存在于比较简单的数学表达式中。
调和点列表是指等距取样，即每个数据
点之间差值相等的一组数据。
本文讨论的是调和点列表的性质，以下展开讲解：
首先，它是周期性的，每个数据点之间的距离相等，而且数据点的位置
也准确无误。
例如：给定一个调和序列，那么其中一个数据点定位到另一个
数据点上，两个数据点之间的距离相同，而这种特性也决定了它构成的是一
个周期性的序列。
其次，它的和总是定值。
调和点列表的和可以用求和算式来表示：
Sn=n(2a+(n-1)d)/2，其中，n为序列项数，a为序列的首项，d为项的公差。
求和算式表明，无论调和点列表的首项和公差怎样，它的和总是定值。
最后，它的方差总是零。
调和点列表数据具有完全一样的间隔，因此，
数据中心点自然也是此序列中心，其方差为零。
综上，调和点列表也是一种非常有用的数据，由于它拥有上述证明的特性，因此，在统计学、抽样和数据分析领域，调和点列表也得到了广泛应用。
调和点列的一个性质在线段中点问题中的应用
根据性质 1 可知, K 是 HD 的中点; 同理可证, N 是 DM 的 中点. 于是有 KN = 1 HM . 证毕.
2 例 2 (《数学通报》2450 号问题
1[6]) 如 图 3, AB, AC 分 别 切 ⊙O 于
B, C, 过 A 作割线交 ⊙O 于 D, E, 过
D 作 AB 的平行线分别交 BC, BE 于
F, G, 求证: F 是 DG 的中点. 分析与证明 易知 BC 是点 A 关
于 ⊙O 的极线, 设 AE 交 BC 于 H 点,
图3
则 A, H, D, E 是调和点列, 由交比的性质 [9] 知 H, A, E, D
也是调和点列. 连 EF 交 AB 于点 M , 则 F H, F A, F E, F D
点 G, 过点 D 作 BC 的平行线交
AB, BG, CG, AG 于 点 H, K, N
图2
和 M , 试证: KN = 1 HM . 2
分析与证明 注意到图 2 中有完全四边形 AEDF , 延长
AD 交 BC 于 I, 根据完全四边形的调和性可知: A, D, G, I
是调和点列, 则 BA, BD, BG, BI 是调和线束, 又 BC//HM ,
如下性质的应用: 性质 1[3] 如图 1, 如果 P A、
P B、P C、P D 为调和线束, 且 P D
平行于 AB, 则 P C 必平分线段
AB.
图1
应用此性质解题的困难之处在于, 图形中的调和点列或
者平行关系往往比较隐ຫໍສະໝຸດ 、不易发现. 本文通过实例说明如何突破难点、发现图形中隐藏的位置关系, 应用性质 1 解题,
上面应用调和点列性质的证法简洁明了, 是其他解法
高三数学圆锥曲线调和点列
高三数学圆锥曲线调和点列在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的概念。
其中，调和点列是圆锥曲线研究中的一个有趣且具有深度的概念。
通过学习和理解调和点列的特性，可以帮助我们更好地理解圆锥曲线的性质。
首先，我们来介绍什么是调和点列。
在平面直角坐标系中，设直线L经过圆锥曲线的一个焦点F，该直线和另一焦点F'的连线与圆锥曲线交于点A。
如果对称于点A的点A'恰好也在圆锥曲线上，那么点A和点A'就构成了一个调和点列。
简单来说，调和点列就是在圆锥曲线上取两点A和A'，使得直线L通过其中一个焦点，并且对称于点A的点A'也在圆锥曲线上。
接下来，让我们来研究调和点列的性质。
首先，我们考虑椭圆。
在椭圆上，对任意取定的直线L，过椭圆两个焦点的直线与直线L交于A、A'两点。
根据椭圆的性质，可以证明A和A'构成一个调和点列。
而且，不仅仅是在椭圆上，对任何一对构成调和点列的点，它们所在的直线都必定与椭圆的两个焦点相交。
这个性质可以帮助我们更好地理解椭圆的几何性质。
然后，我们来研究另一种圆锥曲线——双曲线。
在双曲线上，调和点列的性质也是有趣的。
通过分析可以发现，在双曲线上取两点A和A'，使得直线L通过其中一个焦点，并且对称于点A的点A'也在双曲线上，构成的调和点列，直线L必定未与双曲线相交。
这个性质与椭圆上的性质有所不同，我们可以通过这个性质来区分椭圆和双曲线。
除了椭圆和双曲线，调和点列还可以应用于抛物线的研究。
在抛物线上，调和点列的性质与椭圆和双曲线有所不同，但同样有趣。
在抛物线上取两点A和A'，使得直线L通过其中一个焦点，并且对称于点A的点A'也在抛物线上，构成的调和点列，直线L与抛物线的准线平行。
这个性质可以帮助我们更好地理解抛物线的形态。
通过对圆锥曲线调和点列的研究，我们不仅可以更好地理解椭圆、双曲线和抛物线的性质，还可以帮助我们解决一些圆锥曲线相关的问题。
调和点列的定义
调和点列的定义调和点列是数学中的一个重要概念，主要用于解决函数的连续性和收敛性问题。
在本文中，我们将对调和点列进行定义和讨论，并探讨其在数学分析中的应用。
首先，我们来定义调和点列。
在实数集上，对于一个函数 f(x) ，如果存在数列 {x_n} ，满足以下条件：1. 数列 {x_n} 是严格递增的。
2. 数列 {f(x_n)} 是收敛的。
3. 对于任意给定的实数 h ，存在一个数列 {y_n} ，满足以下条件：(a) 数列 {y_n} 是严格递增的；(b) 数列 {f(x_n + hy_n)} 是收敛的。
那么我们称数列 {x_n} 为调和点列，函数 f(x) 在调和点列上具有调和性质。
接下来，我们将介绍调和点列的一些性质和应用。
1. 调和点列的存在性：对于一个函数 f(x) ，如果它在实数集上有界且单调增加，那么存在一个调和点列。
证明思路是采用二分法和闭区间套定理，通过构造递归数列确保函数值的有界性和单调性，从而证明调和点列的存在性。
2. 调和点列与函数的连续性：如果函数 f(x) 在调和点列上连续，则函数 f(x) 在实数集上连续。
证明思路是利用调和点列的定义以及函数的极限性质，通过构造递推关系和收敛性的性质，证明函数在调和点列上的连续性，再利用函数的单调性和有界性，推导出函数在实数集上的连续性。
3. 调和点列与函数的逼近性：如果函数 f(x) 在调和点列上收敛于 L ，那么函数 f(x) 在实数集上也收敛于 L 。
证明思路是利用调和点列的定义以及函数的逼近性质，通过构造递推关系和收敛性的性质，证明函数在调和点列上的逼近性，再利用函数的单调性和有界性，推导出函数在实数集上的逼近性。
4. 调和点列的应用：调和点列在数学分析中有广泛的应用。
例如在函数逼近、数值计算和优化等领域，调和点列能够提供一种有效的方法和工具。
调和点列可以用于构造数值算法和数值模型，用于解决实际问题的数值计算。
调和点列的收敛性和连续性性质，可以帮助我们分析算法的收敛速度和精度。
调和点列的性质
调和点列的性质在数学中，“调和点列”是指非负实数的非空点列，点列长度为正无穷，所有点列中的点均满足变址对称性（也称旋转对称性）。
既然已经确定了调和点列的定义，那么它的性质也就可以了解了。
首先，调和点列是一种具有旋转对称性的点列。
这意味着，在这种特定的点列中，不管以什么样的方式调整，它们仍会保持原有的对称性。
另外，由于其变址对称性，将每个位置旋转某个固定的角度，所有点会按照固定的角度旋转，不管从哪种角度看，整个点列看起来都会一样。
由此可见，调和点列具有极大的视觉美感，以及极强的对称性。
另一个与调和点列密切相关的性质则是“变址对称性”。
在变址对称性中，每个点列元素都会随着旋转而改变位置，而点列中剩余元素的位置则不会受到影响。
因此，调和点列中的各元素位置之间存在一定的相互关系，使得调和点列更加紧凑，可以将它作为一个完全等价的点列。
此外，调和点列还具有π和σ比度。
π比度指的是比例，其中π为调和点列元素在其中每个位置的平均值；σ比度指的是分布，它衡量了每个元素与其平均值的差异程度。
这两个参数具有很强的反映性，可以用来衡量调和点列的精确性和完整性。
最后，调和点列具有遵循一定原则的特性。
这一原则就是当两个点的距离相等时，它们的值也相等。
也就是说，任何两个点之间的距离相等，它们的值也是相等的，也就是调和。
因此，调和点列可以用来表示一定范围内相等的点列，从而更好地反映出距离和值的关系。
以上所述，就是调和点列的一些性质。
调和点列具有旋转对称性和变址对称性，具有π和σ等比度以及遵循一定原则的特性，因此调和点列在数学领域具有广泛的应用。
圆锥曲线专题：调和点列-极点极线
一、问题综述(一)概念明晰(系列概念)：1.调和点列：如图，在直线l 上有两基点A ,B ，则在l 上存在两点C ,D 到A ,B 圆锥曲线专题：调和点列-极点极线两点的距离比值为定值，即AC BC =AD BD =λ，则称顺序点列A ,C ,B ,D 四点构成调和点列(易得调和关系2AB =1AC +1AD )。
同理，也可以C ,D 为基点，则顺序点列A ,C ,B ,D 四点仍构成调和点列。
所以称A ,B 和C ,D 称为调和共轭。
2.调和线束：如图，若A ,C ,B ,D 构成调和点列，O 为直线AB 外任意一点，则直线OA ,OC ,OB ,OD 称为调和线束。
若另一直线截调和线束，则截得的四点A ,C ,B ,D 仍构成调和点列。
3.阿波罗尼斯圆：如图，A ,B 为平面中两定点，则满足APBP=λ(λ≠1)的点P 的轨迹为圆O ，A ,B 互为反演点。
由调和点列定义可知，圆O 与直线AB 交点C ,D 满足A ,C ,B ,D 四点构成调和点列。
4.极点极线：如图，A ,B 互为阿圆O 反演点，则过B 作直线l 垂直AB ，则称A 为l 的极点，l 为A 的极线.5.极点极线推广(二次曲线的极点极线)：(1).二次曲线Ax 2+By 2+Cxy +Dx +Ey +F =0极点P (x 0,y 0)对应的极线为Ax 0x +By 0y +Cx 0y +y 0x 2+D x 0+x2+E y 0+y 2+F =0x 2→x 0x ,y 2→y 0y ,xy →x 0y +y 0x 2,x →x 0+x2,y →y 0+y 2(半代半不代)(2)圆锥曲线的三类极点极线(以椭圆为例)：椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1①极点P (x 0,y 0)在椭圆外，PA ,PB 为椭圆的切线，切点为A ,B 则极线为切点弦AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1；②极点P (x 0,y 0)在椭圆上，过点P 作椭圆的切线l ，则极线为切线l :x 0x a 2+y 0y b 2=1；③极点P (x 0,y 0)在椭圆内，过点P 作椭圆的弦AB ，分别过A ,B 作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0yb 2=1；(3)圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.(二)重要性质性质1：调和点列的几种表示形式如图，若A ,C ,B ,D 四点构成调和点列，则有AC BC =AD BD =λ⇔2AB =1AD +1AC⇔OC 2=OB ⋅OA ⇔AC ⋅AD =AB ⋅AO ⇔AB ⋅OD =AC ⋅BD性质2：调和点列与极点极线如图，过极点P作任意直线，与椭圆及极线交点M,D,N则点M,D,N,P成调和点列(可由阿圆推广)性质3：极点极线配极原则若点A的极线通过另一点D，则D的极线也通过A．一般称A、D互为共轭点．推广：如图，过极点P作两条任意直线，与椭圆分别交于点MN,HG，则MG,HN的交点必在极线上，反之也成立。
圆锥曲线里的调和点列-概述说明以及解释
圆锥曲线里的调和点列-概述说明以及解释1.引言1.1 概述圆锥曲线是几何学中非常重要的一门研究领域，它涵盖了椭圆、双曲线和抛物线这三种基本类型的曲线。
圆锥曲线的研究可以追溯到古希腊时期，当时数学家们对这些曲线的性质和特点产生了浓厚的兴趣。
调和点列是圆锥曲线中一个重要的概念，它是由四个在圆锥曲线上的点构成的。
调和点列具有许多特殊的性质和应用，因此在数学和物理学领域都受到广泛关注。
本文将围绕圆锥曲线中的调和点列展开讨论。
首先，我们将介绍圆锥曲线的定义，让读者对这一概念有一个清晰的了解。
然后，我们将详细探讨调和点列的概念，并分析它的几个重要性质。
在结论部分，我们将进一步探讨调和点列在圆锥曲线中的应用。
这些应用涉及到椭圆、双曲线和抛物线，我们将从几何和物理两个方面进行讨论，以展示调和点列的实际价值和重要性。
通过本文的阅读，读者将能够更深入地了解圆锥曲线中调和点列的概念和性质，并意识到其在数学和物理学中的广泛应用。
同时，本文的内容也可作为进一步研究和学习圆锥曲线以及相关领域的基础知识。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下:2. 文章结构本文将按照以下结构进行论述：2.1 圆锥曲线的定义首先，我们将引入圆锥曲线的概念。
我们将介绍圆锥曲线在几何学中的研究背景，并详细阐述各种圆锥曲线的定义。
通过了解圆锥曲线的特征和性质，我们可以更好地理解调和点列在其中的作用。
2.2 调和点列的概念接下来，我们将专注于调和点列的概念。
我们将介绍调和点列在数学中的定义和性质，解释为什么调和点列在圆锥曲线中具有重要的意义。
我们将探讨调和点列与圆锥曲线之间的关系，并讨论调和点列在圆锥曲线研究中的应用。
3. 结论在本节中，我们将总结调和点列的性质和圆锥曲线中的调和点列的应用。
我们将回顾本文的主要观点和讨论，并强调调和点列在圆锥曲线研究中的重要性。
最后，我们将展望未来可能的研究方向，以进一步深入探索圆锥曲线中的调和点列的应用价值。
通过以上结构，本文将系统地介绍圆锥曲线中的调和点列的概念、性质和应用。
椭圆调和点列证明 -回复
椭圆调和点列证明 -回复
椭圆调和点列是指在椭圆上存在无重复的一列点，它们的调和平
均等于椭圆上的一点。
下面给出椭圆调和点列的证明。
设椭圆的焦点为F1, F2，它的长轴长度为2a，短轴长度为2b，
且椭圆的离心率小于1。
取椭圆上的一点P(x,y)，我们需要证明存在
无重复的一列点，它们的调和平均等于P点。
首先，我们取F1P和F2P的长度为a(n)，其中n为正整数。
那么根据椭圆的性质，F1P + F2P = 2a，即a(n) + a(n) = 2a，即a(n) = a。
接下来，我们取F1P和F2P的长度为bn，其中n为正整数。
那么根据椭圆的性质，F1P + F2P = 2b，即bn + bn = 2b，即bn = b。
现在，我们来构造点列。
从点P开始，我们每次在椭圆上取F1P
和F2P的长度为an(n = 1, 2, 3, ...)得到的点，将它们按顺序连接
起来。
这样就构成了一列从P出发的点。
同样地，我们从点P开始，
每次在椭圆上取F1P和F2P的长度为bn(n = 1, 2, 3, ...)得到的点，将它们按顺序连接起来。
这样就构成了另一列从P出发的点。
根据上述构造方法，由于a(n) = a和bn = b，我们可以得到两
列点的调和平均分别等于P点。
在证明过程中，我们没有使用任何网址、超链接和电话等外部资料，仅仅利用椭圆本身的性质进行推导，从而得出椭圆调和点列的证明。
调和点列及调和线束性质的证明与应用举例
调和点列及调和线束性质的证明与应
用举例
调和点是指在多维空间中，经过多个点的调和平均得到的点。
调和线束是指在多维空间中，由若干条调和线段构成的轮廓线。
调和点和调和线束具有如下性质：
1.调和点的调和平均与原点距离相等：若有n个点
A1, A2,...,An，则它们的调和点P满足
PA1=PA2=...=PAn=OP。
2.调和线束与原点距离相等：若有n条调和线段
AB1, AB2,...,ABn，则它们的调和线束的轮廓线与原点距
离相等。
调和点和调和线束在几何学中有着广泛的应用。
例如，在三维几何中，调和点可用来求多个点的重心，调和线束可用来确定平行六面体的形状。
另外，调和点和调和线束也可用来证明一些几何定理。
例如，调和点可用来证明欧拉定理：在三维空间中，任意四点构成的四边形的重心距离原点相等。
调和线束也可用来证明若干条调和线段构成的调和线束一定与原点重合，这也是欧拉定理的一种推广。
以上就是调和点和调和线束的性质及其在几何学中的应用的简要介绍。
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点构成调和点列。
其中A 、C 和B 、D 称为调和共轭。
性质1：如图，A 为圆O 外一点，AB 、AC 为圆O 的切线，ADEF 截圆O 与D 、
F ，交BC 与点E 则A 、D 、E 、F 四点调和。
证明:A D E F AD AF DE FE ⇔=、、、四点调和 AD DE
AF FE
⇔=
① 又**
AD AD AC BD DC
AF AB AF BF CF == 而
**sin **sin BDC BFC
S
DE BD CD BDC BD CD FE S
BF FC BFC BF FC
∠==
=∠
故①成立。
得证！
推广：如图，椭圆外一点A 关于椭圆的两条切线的切点所在的直线为BC （此直线也叫极线），过A 的任意一条直线ADEF 截椭圆于D 、F ，交BC 与E 则A
、D 、E 、F 成调和点列。
证明：暂略。
性质2：
112
A B C D
AB AD AC
⇔+=
、、、调和
证明：
而
即证。
推论：已知A、B、C、D四点调和，O为A、C中点，则OD
OB
OA⋅
=
2.
反过来也成立，若A、B、C、D四点共线，O为A、C中点，且OD
OB
OA⋅
=
2，则A、B、C、D四点调和。
性质3：若A、B、C、D成调和点列，且平面上有点M满足AM MC
⊥
则必有MC平分BMD
∠，MA外角平分BMD
∠.
这是调和点列应用中相当重要的一个性质。
112112
a+b+c()()()
b c
AB AD AC a a b a a b a b a b c
b c a a b c
a a
b
c b c
+=⇔+=⇔=
+++++
++
⇔=⇔=
++
A
M
B
A
M
B
A'
证明：反证法。
反设MC 不平分BMD ∠，作MC ’平分角BMD ∠交BD 与C ’，MA ’外角平分角BMD ∠交DB 延长线与A ’ ，则''MC MA ⊥
由内角平分线定理，
'
'BC BM
C D MD = 有外角平分线定理，'
'BA BM
A D
MD
=
所以''''BA BC A D C D =
② 由A 、B 、C 、D 成调和点列知
BC BA
CD AD
=
注意到'''BC BC BC BC
C D CD BD BD >⇔>
成立 '''BA BA BA BA
A D AD BD BD <⇔<
成立 所以''BA BA BC BC BD BD BD BD <=<
与②矛盾！ 所以MC 平分BMD ∠，MA 外角平分BMD ∠。