第三章3.1 复数习题课
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念练习(含解析)新人教A版
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3.1.1数系的扩充和复数的概念一、选择题1．下列命题中：①若a∈R，则（a＋1)i是纯虚数；②若a、b∈R且a>b，则a＋i3〉b＋i2；③若(x2－1）＋(x2＋3x＋2）i是纯虚数,则实数x＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中,正确命题的序号是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】对于复数a＋b i(a,b∈R)，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1,则（a ＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i,b ＋i2＝b－1,复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D. 2．(2014·白鹭洲中学期中）复数z＝(m2＋m)＋m i（m∈R,i为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为（）A．0或－1 B．0 C．1 D．－1【答案】D【解析】∵z为纯虚数，∴错误!∴m＝－1，故选D。
3．复数4－3a－a2i与复数a2＋4a i相等，则实数a的值为( )A．1 B．1或－4 C．－4 D．0或－4【答案】C【解析】由复数相等的充要条件得错误!解得：a＝－4。
湘教版高中数学必修第二册课后习题 第3章 复数 3.1 复数的概念
3.1 复数的概念A级必备知识基础练1.设x+2i=1-yi(i是虚数单位,x∈R,y∈R),若复数z=x+yi,则z=( )A.1-2iB.1+2iC.-1+2iD.2-2i2.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值为( )A.-1B.2C.1D.-1或23.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为( )A.-1B.0C.1D.-1或14.(多选题)已知i为虚数单位,下列说法正确的是( )A.若a≠0,则ai是纯虚数B.虚部为-√2的虚数有无数个C.实数集是复数集的真子集D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等5.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.若(2+m)i为纯虚数,则m= .8.设z=(m2-2m-2)+(2m2+3m+4)i(m∈R).若Re(z)≥Im(z),求实数m的取值范围.9.[北师大版教材习题]求适合下列各方程的实数x,y的值:(1)(x+y)-xyi=6+7i;(2)(x2-4x-5)+(y2+3y-4)i=0;(3)2x-1+(y+1)i=x-y-(x+y)i.B 级关键能力提升练10.以3i-√2的虚部为实部,以3i 2+√2i 的实部为虚部的复数是( )A.3-3iB.3+iC.-√2+√2iD.√2+√2i11.(多选题)已知i 为虚数单位,下列说法正确的是( )A.若x,y ∈C,则x+yi=1+i 的充要条件是x=y=1B.(a 2+1)i(a ∈R)是纯虚数C.若z 12+z 22=0,则z 1=z 2=0D.当m=4时,复数lg(m 2-2m-7)+(m 2+5m+6)i 是纯虚数12.已知关于+ni,则复数z=( )A.3+iB.3-iC.-3-iD.-3+i13.已知z 1=-3-4i,z 2=(n 2-3m-1)+(n 2-m-6)i,且z 1=z 2,则实数m= ,n= .14.[上海宝山校级模拟](sin θ-35)+(cosθ-45)i 是纯虚数,则tan θ= .15.方程(2x 2-3x-2)+(x 2-5x+6)i=0的实数解x= .C级学科素养创新练16.已知复数z=√3x-1-x+(分别为何值时:(1)z是实数?(2)z是纯虚数?3.1 复数的概念1.A 因为2-m-2)i 为实数,所以m 2-m-2=0,解得m=-1或m=2.3.A 由复数z=(x 2-1)+(x-1)i 为纯虚数,知{x 2-1=0,x -1≠0,可得x=-1.故选A. 4.BCD 若a=i,则ai=i 2=-1,不是纯虚数,故A 错误;虚部为-√2的虚数可以表示为m-√2i(m ∈R),有无数个,故B 正确; 根据复数的分类,判断C 正确;两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,故D 正确.5.B “ab=0”则a=0或b=0,“复数a-bi 为纯虚数”则a=0且b≠0,那么“ab=0”是“复数a-bi 为纯虚数”的必要而不充分条件.6.-12,-74依题意得{2x +1=0,x -2y =3,所以{x =-12,y =-74. 7.6 若复数(m 2-5m-6)+(m 2+m)i 为纯虚数,则{m 2-5m -6=0,m 2+m ≠0,解得m=6. 8.解由题意可知Re(z)=m 2-2m-2,Im(z)=2m 2+3m+4.∵Re(z)≥Im(z),∴m 2-2m-2≥2m 2+3m+4,即m 2+5m+6≤0,解得-3≤m≤-2.故实数m 的取值范围为[-3,-2].9.解(1)由{x +y =6,-xy =7,解得{x =7,y =-1或{x =-1,y =7. (2)由{x 2-4x -5=0,y 2+3y -4=0,解得{x =-1,y =1或{x =-1,y =-4或{x =5,y =1或{x =5,y =-4. (3)由{2x -1=x -y ,y +1=-(x +y ),解得{x =3,y =-2.10.A 3i-√2的虚部为3,3i 2+√2i=-3+√2i 的实部为-3,故选A.11.BD 取x=i,y=-i,则x+yi=1+i,但不满足x=y=1,故A 错误; ∀a ∈R,a 2+1>0恒成立,所以(a 2+1)i 是纯虚数,故B 正确;取z 1=i,z 2=1,则z 12+z 22=0,但z 1=z 2=0不成立,故C 错误;当m=4时,复数lg(m 2-2m-7)+(m 2+5m+6)i=42i 是纯虚数,故D 正确.12.B 由题意,n 2+mn+2+(2n+2)i=0.所以{n 2+mn +2=0,2n +2=0,解得{m =3,n =-1.所以z=3-i. 13.2 ±2 由复数相等的充要条件有{n 2-3m -1=-3,n 2-m -6=-4,解得{m =2,n =±2. 14.-34 ∵(sinθ-35)+(cosθ-45)i 是纯虚数, ∴{sinθ-35=0,cosθ-45≠0,解得{sinθ=35,cosθ=-45. ∴tanθ=sinθcosθ=35-45=-34. 15.2 由(2x 2-3x-2)+(x 2-5x+6)i=0,得{2x 2-3x -2=0,x 2-5x +6=0,解得x=2. 16.解∵z>0,∴z ∈R.∴x 2-4x+3=0,解得x=1或x=3.∵z>0,∴√3x -1-x>0.对于不等式√3x -1-x>0,x=1成立,x=3不成立,∴x=1.17.解(1)要使复数z是实数,需满足{m2-2m-2>0,m2+3m+2=0,解得m=-2,或m=-1.即当m=-2或m=-1时,z是实数.(2)要使复数z是纯虚数,需满足{m2-2m-2=1,m2+3m+2≠0,解得m=3.即当m=3时,z是纯虚数.。
复数习题课
(3)复数的乘法法则：
(a bi)(c di) （ac bd) (bc ad)i
(4)除法法则:
a bi ac bd bc ad (a bi) (c di) c di c2 d 2 c2 d 2 i
a bi (a bi)(c di)
当 b 0时， z a bi 叫做虚数.
当 a 0且b 0 时，z bi 叫做纯虚数.
规定:两复数 a bi 与 c di (a, b, c, d R)
讲 课 人 ：
相等的充要条件是 a c 且 b d .
邢
启 强
2
共轭复数：
定义:实部相等,虚部互为相反数
a+bi 的共轭复数记作 z, 即 z a bi
说明： 1 | z || z | z z
2 Z1 Z2 Z1 Z2
Z1 Z2 Z1 Z2
3. | z |2 z z a2 b2
讲
课
人
：
邢
启 强
3
复数的意义. 有序实数对(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
2 i 2 i (2 i)(2 i)
5
所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即-2i+a-ai+b=1+i,从而有: (a+b)+(-a-2)i=1+i.
a b 1 a 3
讲 课 人 ：
a
2
1
b
4
.
邢
启 强
9
4.计算:(1+2 i )2
3 4i
5.计算(i-2)(1-2i)(3+4i) -20+15i 6.计算 (1 i)3 -2+2i 7.若 z C 且 (3 z)i 1 ,则 z -__3_-_i_ . 3
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z=(m-1)(m-4)+(m+2)(m-3)i
的点位于第二、四象限。
{ 解： (m-1)(m-4)<0 (m+2)(m-3)>0 { 1<m<4 M<-2或m>3
{ 或 (m-1)(m-4)>0 (m+2)(m-3)<0
{ 或 M<1或m>4 -2<m<3
-2 0 1 3 4 -2 0 1 3 4 3<m<4 或 -2<m<1
当2302<0年m10月<2日4或-2<m<1时，z的点位于第二、四象限5 。
2.设z∈C, 满足条件4≤|Z|<8的
y
点z的集合是什么图形？
{ 解：4≤|z|<8 即
|z|≥4 |z|<8
o
x 48
y |z|≥4的解集是圆|z|=4的外部所有
点组成的集合(包括圆)， |z|<8的解集是圆|z|=8的内部所有
{x2+y2+2y= 得x=a/2
32x=a
可得 y2 + 2y + a2/4 -3=0
解得
y 2 16a2
2020年10月2日
2
8
所以 za2 16a2 i
2
2
（2）因y∈R, 所以△=4-4×(a2/4 - 3)≥0 即16-a2≥0, a2-16≤0, (a+4)(a-4) ≤0
-4≤a≤4,
724i 7 24i
25
25 25
2020年10月2日
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2021年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念练习含解析新人教A版选
2021年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念练习含解析新人教A 版选修一、选择题1．下列命题中：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a 、b ∈R 且a >b ，则a ＋i 3>b ＋i 2； ③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 【答案】D【解析】对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0，且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若x ＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a ＋i 3＝a －i ，b ＋i 2＝b －1，复数a －i 与实数b －1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.2．(xx·白鹭洲中学期中)复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．0或－1B ．0C ．1D ．－1 【答案】D【解析】∵z 为纯虚数，∴⎩⎨⎧ m 2＋m ＝0，m ≠0，∴m ＝－1，故选D.3．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( )A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4【答案】C【解析】 由复数相等的充要条件得⎩⎨⎧ 4－3a ＝a 2，－a 2＝4a .解得：a ＝－4.故应选C.4．已知复数z ＝cos α＋icos2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )A ．{π，2π3，4π3}B ．{π3，5π3}C ．{π，π6，11π6}D ．{π3，π，5π3} 【答案】D【解析】由条件知，cos α＋cos2α＝0，∴2cos 2α＋cos α－1＝0，∴cos α＝－1或12， ∵0<α<2π，∴α＝π，π3或5π3，故选D. 5．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( )A ．a ＝－1B ．a ≠－1且a ≠2C ．a ≠－1D ．a ≠2【答案】C【解析】 若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故应选C.6．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a 、b ∈R )为实数的充要条件是( )A ．|a |＝|b |B ．a <0且a ＝－bC ．a >0且a ≠bD ．a ≤0【答案】D【解析】复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，故a ≤0.二、填空题7．如果x －1＋y i 与i －3x 为相等复数，x ，y 为实数，则x ＝____________，y ＝______________【答案】141 【解析】由复数相等可知，⎩⎨⎧ x －1＝－3x ，y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝14，y ＝1.8．方程(2x 2－3x －2)＋(x 2－5x ＋6)i ＝0的实数解x ＝__________________. 【答案】2【解析】方程可化为⎩⎨⎧ 2x 2－3x －2＝0，x 2－5x ＋6＝0.解得x ＝2.9．如果z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 为纯虚数，那么实数a 的值为________．【答案】-2【解析】 如果z 为纯虚数，需⎩⎨⎧ a 2＋a －2＝0，a 2－3a ＋2≠0.，解之得a ＝－2.10．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R )，当实数m 为________时，z 是纯虚数． 当实数m 为________时，z 是实数．【答案】3 -1或-2【解析】(1)由题意知⎩⎨⎧ lg m 2－2m －2＝0，m 2＋3m ＋2≠0.解得m ＝3.所以当m ＝3时，z 是纯虚数．(2)由m 2＋3m ＋2＝0，得m ＝－1或m ＝－2，又m ＝－1或m ＝－2时，m 2－2m －2>0，所以当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数．。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念练习含解析新人教A版选修1211
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念练习含解析新人教A 版选修121104[A 基础达标]1．以－3＋i 的虚部为实部，以3i ＋i 2的实部为虚部的复数是( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－3＋3iD ．3＋3i解析：选A.－3＋i 的虚部为1，3i ＋i 2＝－1＋3i ，其实部为－1，故所求复数为1－i. 2．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：选D.复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 3．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，a ＋2 017i ＝2－b i ，则a 2＋b i ＝( ) A ．2 017＋2i B ．2 017＋4i C ．2＋2 017iD ．4－2 017i解析：选D.因为a ＋2 017i ＝2－b i ，所以a ＝2，－b ＝2 017，即a ＝2，b ＝－2 017，所以a 2＋b i ＝4－2 017i ，故选D.4．“a ＝－2”是“复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋1)i(a ∈R )为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当a ＝－2时，复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋1)i ＝－i ，为纯虚数；当复数z ＝(a2－4)＋(a ＋1)i 为纯虚数时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a ＋1≠0，解得a ＝±2，故选A.5．下列命题：①若z ＝a ＋b i ，则仅当a ＝0，b ≠0时z 为纯虚数； ②若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0；③若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A.在①中未对z ＝a ＋b i 中a ，b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z 1＝1，z 2＝i ，则z 21＋z 22＝1－1＝0，但z 1≠z 2≠0，故②错误；在③中忽视0·i ＝0，故③也是错误的．故选A.6．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________． 解析：z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或1. 答案：0或17．若复数cos θ－isin θ与－sin θ＋icos θ(θ∈R )相等，则θ＝________． 解析：根据两个复数相等的充要条件，得cos θ＝－sin θ，即tan θ＝－1，所以θ＝k π－π4(k ∈Z )．答案：k π－π4(k ∈Z )8．使不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 的取值集合是________．解析：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0m 2<10，解得m ＝3，所以所求的实数m 的取值集合是{3}．答案：{3}9．已知关于实数x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ，①（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i ②有实数解，求实数a ，b 的值． 解：对①，根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.③把③代入②，得5＋4a －(6＋b )i ＝9－8i ，且a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5＋4a ＝9，6＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.10．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：(1)当z 为实数时，则a 2－5a －6＝0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，所以a ＝－1或a ＝6，且a ≠±1，所以当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，所以a ≠－1且a ≠6，且a ≠±1.所以当a ≠±1，且a ≠6时，z 为虚数，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1，a ≠6.且a ＝6，所以不存在实数a 使z 为纯虚数．[B 能力提升]11．已知复数z ＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，2π3，4π3B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，5π3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π6，11π6 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π3，5π3解析：选D.由条件，知cos α＋cos 2α＝0，所以2cos 2α＋cos α－1＝0，解得cos α＝－1或12.又0<α<2π，所以α＝π或π3或5π3，故选D.12．若关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0有一根为实数x 0，则x 0＝________． 解析：因为x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0的根为x ＝5＋i 或1，所以x 0＝1. 答案：113．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，且M ∩NM ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．解：若M ∩N ＝{3i}，则(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ， 即a ＋3＝0且b 2－1＝3， 得a ＝－3，b ＝±2.当a ＝－3，b ＝－2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，M ∩N ＝M ，不合题意； 当a ＝－3，b ＝2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8＋4i}，符合题意． 所以a ＝－3，b ＝2.若M ∩N ＝{8}，则8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ， 即a 2－1＝8且b ＋2＝0，得a ＝±3，b ＝－2. 当a ＝－3，b ＝－2时，不合题意；当a ＝3，b ＝－2时，M ＝{6＋3i ，8}，N ＝{3i ，8}，符合题意． 所以a ＝3，b ＝－2.若M ∩N ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i}＝{(a 2－1)＋(b ＋2)i}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝a 2－1b 2－1＝b ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －4＝0b 2－b －3＝0，此方程组无整数解．综上可得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.14．(选做题)已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy a ＝x －y ，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法一：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2，解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．法二：令⎩⎨⎧x －1＝2cos αy ＋1＝2sin α，得⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1y ＝2sin α－1(α∈R )，所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)， 于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．。
数学：新人教A版选修1-2 3.1数系的扩充和复数的概念(同步练习)
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3. 1 数系的扩充和复数的概念典型例题:1．设z ＝i a a a a a )152(54522-++-+-为实数时，实数a 的值是（ A ） A.3 B.－5C.3或－5D.－3或52．设关于x 的方程0)2()(tan 2=+-+-i x i x θ,若方程有实数根，则锐角θ和实数根______________________________________.解：0)1(2tan 2=+---i x x x θ原方程可化为， 4,10102tan 2ππθθ+=-=⎩⎨⎧=+=--k x x x x 解得 3．设复数i m m m m Z )23()22lg(22+++--=，试求m 取何值时（1）Z 是实数； （2）Z 是纯虚数； （3）Z 对应的点位于复平面的第一象限解：是实数时，或－。
即或－解得Z m m m m m m 1212023022)1(22-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++>--。
是纯虚数时，。
即解得＝Z m m m m m m 33023122)2(22==⎪⎩⎪⎨⎧≠++--。
时，－或。
即－或解得2323023122)3(22<=><>⎪⎩⎪⎨⎧>++>--m m m m m m m m Z 对应的点位于复平面的第一象限。
练习:一．选择题：1．复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为,21,2,21i i i --+-+那么第四个顶点对应的复数是（ ）（A ）i 21- （B ）i +2 （C ）i -2 （D ）i 21+-2．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 满足 （ ）（A ）m ≠－1 （B ）m ≠6 (C) m ≠－1或m ≠6 (D) m ≠－1且m ≠63．下列命题中，假命题是( )（A ）两个复数不可以比较大小 （ B ）两个实数可以比较大小（ C ）两个虚数不可以比较大小 （ D ）一虚数和一实数不可以比较大小二．填空题：4．复数2(2)(11)()a a a ia R --+--∈不是纯虚数，则有__________________. 5．已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =三．解答题：6．已知复数1Z ，2Z 满足2122212510Z Z Z Z =+，且212Z Z +为纯虚数，求证：213Z Z - 为实数。
复数习题课课件
二.复数的乘法法则：
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(bc+ad)i 显然任意两个复数的积仍是一个复数. 复数的乘法运算法则： 对于任意z1,z2,z3 ∈ C,有
z1∙z2= z2∙z1 , z1∙z2 ∙z3= z1∙(z2 ∙z3) , z1∙(z2 +z3)= z1∙z2 +z1∙z3
当堂检测
1.a 0是复数a bi(a, b R)为纯虚数的（ ） A.充分非必要条件 C.充分必要条件 B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件
2.设o是原点，向量OA, OB对应的复数分别为2 3i， 3 2i 那么向量BA对应的复数是（） A. 5 5i B. 5 5i C.5 5i D.5 5i 2 3.当 m 1时，复数m(3 i ) (2 i )在复平面内 3 对应的点位于（ ）
4.若z 1 2i, 则z 2 2 z的值为 __________
1 z 5.若复数z满足 i则 z 1的值为 __________ 1 z 1 3 （ .( i) (1 i ) 计算： 1） 2 2 3 1 1 3 (2).( i )( i) 2 2 2 2 2i (3). 7 4i 5(4 i ) 2 (4). i(2 i)
复数z=a+bi （数）
y 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b) （形）
b
建立了平面直角坐标系来 z=a+bi 表示复数的平面——复平面 Z(a,b) x轴——实轴 y轴——虚轴 a x
0
这是复数的一种几何意义.
有序实数对(a,b)
复数习题课课件
信号的傅里叶变换
复数可以帮助我们分解和分析 信号的频率和幅度，以实现傅 里叶变换。
工程和科学领域中的 实际应用案例
复数的应用不限于数学领域， 也可以帮助我们解决模拟和数 字信号等方面的问题。
复数的重要性
我们可以看到，复数不仅在数学领域有着广泛应用，而且在工程和科学领域中也有接踵而至的重要作用。
电力系统中的应用
复杂的电力网络需要使用复数数 学来计算电流和电压。
波动现象中的应用
复数数学可以帮助我们分析和计 算波动现象。
人工智能领域中的应用
复数数学可以帮助我们模拟神经 网络等复杂系统。
复数的深入学习和研究
1 探索更高级的复数应用
在学习和应用复数中，我们可以不断挑战自 己，去探索和发现更多的应用场景。
2 培养数学素养
复数的常见运算法则
1
复数乘法
2
在直角坐标和极坐标形式下的运算法则
是不同的。
3
共轭复数
4
通过将复数中的虚数部分取相反数，可 以得到其对应的共轭复数。
复数加减法
在直角坐标和极坐标形式下的运算法则 是不同的。
复数除法
在直角坐标和极坐标形式下的运算法则 是不同的。
复数的代数形式和实数部分和虚数部分
复数可以写成实数部分和虚数部分的和的形式，也称为代数形式。实数部分指复数的实数部分，虚数部分指复 数的虚数部分。
复数不仅是一种数学概念，更是培养我们数 学素养和逻辑思考能力的极好工具。
ห้องสมุดไป่ตู้
复数习题课ppt课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨复数的概念，表示和运算法则，并讨论复 数的实际应用。欢迎加入!
什么是复数?
复数的基本概念
2021年人教B版数学选修1-2练习：3.1.1 复数的概念及复数相等 Word版含解析
3.1数系的扩充与复数的引入第1课时复数的概念及复数相等课时过关·能力提升1.对于实数a,b,以下结论正确的选项是()A.a +b i是实数B.a +b i是虚数C.a +b i是复数D.a +b i≠0答案:C2.以2i- +2iC.解析:2i2-2,所以新复数为2 -2i.答案:A3.复数z =(a -1) +i,假设z是纯虚数,那么实数a等于()A.2B.1C.0D. -1解析:∵z为纯虚数,∴a -1 =0,故a =1.答案:B4.复数z =(a2 -1) +(a -2)i(a∈R),那么"a =1”是"z为纯虚数〞的()解析:假设a =1,那么z = -i为纯虚数;假设z为纯虚数,那么a =±1.所以"a =1〞是"z为纯虚数〞的充分不必要条件.答案:A★5.z =(sin θ -1) +i(sin θ -cos θ)(θ∈R),那么z为纯虚数时,θ的取值是()A.θ =2kπ∈Z)B.θ =2kπ∈Z)C.θ =2kπ∈Z)D.θ =2kπ∈Z)解析:由z为纯虚数∈Z.答案:A6.假设复数z =m +(m2 -1)i(m∈R)满足z<0,那么m =.解析:由z<0,m = -1.答案: -17.复数z1 =m +(4 +m)i(m∈R),z2 =2cos θ +(λ +3cos θ)i(λ,θ∈R),假设z1 =z2,那么λ的取值范围是.解析:∵z1 =z2,θ.又-1≤cosθ≤1,∴3≤4 -cos θ≤5.∴λ∈[3,5].答案:[3,5]8.有以下命题:①假设a∈R,那么(a +1)i是纯虚数;②假设a,b∈R,且a>b,那么a +i>b +i;③假设(x2 -1) +(x2 +3x +2)i是纯虚数,那么实数x =±1;④两个虚数不能比拟大小.其中正确的命题序号是.解析:①当a = -1时,(a +1)i是实数,不是纯虚数;②a +i与b +i不能比拟大小,故错误;③应满足x2 -1 =0,且x2 +3x +2≠0,解得x =1.故只有④正确.答案:④9.实数k为何值时,复数z =(k2 -3k -4) +(k2 -5k -6)i:(1)是实数?(2)是虚数?(3)是纯虚数?(4)是零? 解:(1)当k2 -5k -6 =0时,z∈R,即k =6或k = -1.故当k =6或k = -1时,z∈R.(2)当k2 -5k -6≠0时,z是虚数,即k≠6,且k≠ -1.故当k≠6且k≠ -1时,z是虚数.(3),z是纯虚数,解得k =4.故当k =4时,z是纯虚数.(4),z =0,解得k = -1.故当k = -1时,z是零.★10.关于t的一元二次方程(t2 +2t +2xy) +(t +x -y)i =0(x,y∈R).(1)当方程有实根时,求点(x,y)的轨迹方程;(2)求方程的实根的取值范围.分析设出方程的实根,根据复数相等求解(1),根据直线与圆的位置关系求解(2).解:(1)设实根为t0,根据复数相等的充要条件,得由②,得t0 =y -x.代入①,得(y -x)2 +2(y -x) +2xy =0,即(x -1)2 +(y +1)2 =2.③所以所求点(x,y)的轨迹方程为(x -1)2 +(y +1)2 =2.(2)由③,得圆心为(1, -1),半径r t0 =y -x与圆有公共点,即|t0 +2|≤2,所以-4≤t0≤0.故方程的实根的取值范围是[ -4,0].。
高一数学(人教B版)复数的运算习题课
高一年级 数学
实部与虚部 复数相等 共轭复数 复数的模
实数
虚数 复数z a bi 平面向量 OZ
分类
概念
复 数
几何 意义
一一对应
复平面内的点 Z(a,b)
y
Z
b
• abi
运算
加减乘 除 法法法 法
0 ax
实数集
虚数单位 i
复数集
实数的运算
类比
复数的运算
知识梳理
运算
实数
复数
法则： (a bi) +(c + di) (a c) +(b d )i
2i 1 (2i 1)(2i+1) 5 5 5
○2 i 1 i 1 i i 1 i 1 1 i；
1 i (1 i)(1 i)
2 22
5
5
5
○3
1 1
i i
5
1 i 1 i
4 4
1 i4
1
i
4
4
2i2
2i
2
4
1.
分析与解答： 对于○1 i3 i(2i+1) 2 i 2 i ：
已知复数 z 满足 z 1，则 z (4 3i) 的最大、最小值为( )
A. 5，3
B. 6，4
C. 7，5
D. 6，5
分析与解答：（思维方向：代数）
z abi z 1
z = a2 b2
z (4 3i)
a2 b2 1
(a 4) (b 3)i
(a 4)2 (b 3)2
已知复数 z 满足 z 1，则 z (4 3i) 的最大、最小值为( )
1 i (1 i)(1 i)
人教A版高中数学选修1-2：3.1.1数系的扩充与复数概念同步课时练习
x＝ 0，
x＝ 0，
解析： 依题意得
解得
－ 3＝ 8x－ y，
y＝ 3.
答案： 0 3
11．已知 (3x＋ y)＋ (2x－ y)i ＝ (7x－ 5y)＋ 3i，则实数 x＝ ________， y＝ ________. 解析： ∵ x， y 是实数， ∴根据两个复数相等的充要条件，
3x＋ y＝ 7x－ 5y，
A．1 B．2
C． 3 D． 0 解析： 易知 ① 正确， ②③ 错误，故选 A. 答案： A
2．下列各数中，纯虚数的个数是 ( )
2－
7，
1 7i
，
i
2,5i
＋
8
，
i
2＋
1＋
3i,0.618
＋
ai(
a∈
R
)
．
A．0 B．1
C． 2 D． 3
解析： 由纯虚数的定义知，
1 7i
，
i
2＋
1＋
3i
＝
3i
是纯虚数．
2 A ．－ 2 B. 3
2 C．－ 3 D ． 2 解析： 复数 2－ bi 的实部为 2，虚部为－ b，由题意知 2＝－ (－ b)，即 b＝ 2. 答案： D
2－2i.
5．复数 z1＝ sin 2θ＋ icos θ，z2＝ cos θ＋ i 3sin θ(θ∈ R )，若 z1＝ z2，则 θ等于 ( )
m2＋ m－ 2＝ 0，
解 析 ： 复 数 m2 ＋ m － 2 ＋ (m2 － 1)i 是 纯 虚 数 的 充 要 条 件 是
解得
m2－ 1≠ 0，
m＝ 1或 m＝－ 2，
m≠ ±1， 即 m＝－ 2. 故 m＝－ 2 时， m2＋ m－ 2＋ (m2－ 1)i 是纯虚数． 答案： － 2
311数系的扩充与复数的概念课件---高二数学人教A版选修2-2第三章
答案：1x 1 3i
22
2x 1 7i
44
1.虚数单位i的引入: 2.复数有关概念：
复数的代数情势:z a bi (a R,b R)
复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等
若a,b, c,
a bi
d R,
c
di
a b
c d
课后作业：
1 已知复数Z= 3x-1 x (x2 4x 3)i 0,求实数x
说明下列数中，哪些是实数，哪些是虚数， 哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
2 7 , 0.618, 2 i, 0，
7
i i 2 , i 1 3 , 3 9 2i, 5 +8
复数z=a+bi(a,b∈R)
实数：2 7
0.618
0
i2
虚数： i 1 3
2
纯虚数
i
7
3 9 2i
5 i+8
0
0
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
虚数集 复数集
纯虚数集
实数集
二、复数相等的定义
如果两个复数的实部和虚部分别相等，
那么我们就说这两个复数相等．
若a,b, c, d R,
a bi c di
a c b d
注意： 除了复数的相等之外，还规定： 只有当两个复数都是实数时，它们才能比较大小。
知识引入
我们已经知道：
对于一元二次方程 x2 1 0 没有实数根．
x2 1
i 引入一个新数： 满足 i21
一、复数的概念
引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
（1）i21；
课时作业14：3.1.1 数系的扩充和复数的概念
第三章 数系的扩充与复数的引入§3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念基础过关1.设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A.－iB.iC.－1D.1解析 ∵i 2＝－1，∴－i 2＝i·(－i)＝1，∴z ＝－i.答案 A2.设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a －b i 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若复数a －b i 为纯虚数，则a ＝0且b ≠0，故ab ＝0.而由ab ＝0不一定能得到复数a －b i 是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a －b i 为纯虚数”的必要不充分条件.答案 B3.以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A.2－2iB.－5＋5iC.2＋iD.5＋5i解析 设所求新复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知：复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A.答案 A4.若实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是________.解析 因为实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，所以x ＋x i ＋y －y i ＝2，可得⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，所以x ＝y ＝1，所以xy ＝1. 答案 15.若复数m －3＋(m 2－9)i ≥0，则实数m 的值为________.解析 依题意知⎩⎨⎧m －3≥0，m 2－9＝0，解得⎩⎨⎧m ≥3，m ＝－3或3，即m ＝3.答案 36.当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋m －6)i ＋m 2－7m ＋12m ＋3是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解 (1)由⎩⎨⎧m 2＋m －6＝0，m ＋3≠0，得m ＝2. ∴当m ＝2时，z 是实数.(2)由⎩⎨⎧m 2＋m －6≠0，m ＋3≠0，得⎩⎨⎧m ≠2且m ≠－3，m ≠－3，即m ≠2且m ≠－3. ∴当m ≠2且m ≠－3时，z 是虚数.(3)由⎩⎨⎧m 2＋m －6≠0，m ＋3≠0，m 2－7m ＋12＝0，得⎩⎨⎧m ≠2且m ≠－3，m ≠－3，m ＝3或m ＝4，即m ＝3或m ＝4.∴当m ＝3或m ＝4时，z 是纯虚数.7.已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1，1，4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值.解 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，∴(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，m ∈R 得⎩⎨⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i 得⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2.能力提升8.如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( )A.1B.0C.－1D.－1或1解析 由题意知⎩⎨⎧m （m ＋1）＝0，m 2－1≠0，∴m ＝0. 答案 B9.若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )A.2k π－π4(k ∈Z )B.2k π＋π4(k ∈Z )C.2k π±π4(k ∈Z )D.k 2π＋π4(k ∈Z ) 解析 由题意，得⎩⎨⎧sin 2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π4，θ≠2k π±3π4(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z . 答案 B10.已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________.解析 由z 1＞z 2，a ∈R 得⎩⎨⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，解得a ＝0，故a 的取值集合为{0}.答案 {0}11.在给出的下列几个命题中，正确命题的个数为________.①若x 是实数，则x 可能不是复数；②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④－1没有平方根.解析 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i ，故④错.答案 112.已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i ，λ，m ∈R ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，z 1＝z 2，求λ的取值范围.解 由z 1＝z 2，λ，m ∈R ，可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ. 整理，得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916. ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin θ∈[0，1]，∴λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1. 创新突破13.已知关于m 的一元二次方程m 2＋m ＋2m i －12xy ＋(x ＋y )i ＝0(x ，y ∈R ).当方程有实根时，试确定点(x ，y )所形成的轨迹.解 不妨设方程的实根为m ，则m 2＋m ＋2m i ＝12xy －(x ＋y )i.∵x ，y ，m ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝12xy ， ①2m ＝－（x ＋y ）. ②由②，得m ＝－x ＋y 2.代入①，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22－x ＋y 2＝12xy ， ∴(x －1)2＋(y －1)2＝2，∴点(x ，y )的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝2，其轨迹是以(1，1)为圆心，2为半径的圆.。
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习题课 课时目标 1.进一步理解复数的概念.2.通过具体实例理解复平面的概念，复数的模的概念．
1．复数的代数形式：____________ (a ，b ∈R )．
2．复数相等的条件：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．
3．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )对应向量OZ →，复数z 的模|z |＝|OZ →|＝____________.
一、选择题
1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( )
A ．3－3i
B ．3＋i
C ．－2＋2i
D ．2＋2i
2．若2＋a i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2等于( )
A ．0
B ．2
C ．52
D ．5 3．若点P 对应的复数z 满足|z |≤1，则P 的轨迹是( )
A ．直线
B ．线段
C ．圆
D ．单位圆以及圆内
4．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为( )
A ．1
B ．1或3
C ．3
D ．9
5．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应复数为－1－2i ，则点A 关于直线y ＝－x 对称
点为B ，向量OB →对应复数为( )
A ．－2－i
B ．2＋i
C ．1＋2i
D ．－1＋2i
二、填空题
6．若x 是实数，y 是纯虚数且满足2x －1＋2i ＝y ，则x ＝________，y ＝________.
7．下列命题：
(1)两个复数不能比较大小；
(2)若z ＝a ＋b i ，则当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数；
(3)x ＋y i ＝1＋i ⇔x ＝y ＝1；
(4)若实数a 与虚数a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应．
其中正确命题的个数是________．
8．若|log 3m ＋4i|＝5，则实数m ＝________.
三、解答题
9．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m
＋(m 2－2m )i 为 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
10．已知z ＝2a ＋1－2＋(a －3)i 对应的点在第四象限，求a 的取值范围．
能力提升
11．求复数z 1＝3＋4i ，及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们模的大小．
12．实数m 分别取何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 的对应点：(1)在x 轴上方；(2)在直线x ＋y ＋5＝0上．
1．复数问题主要是利用实数化思想，转化为复数的实虚部应满足的条件．
2．复数可以和复平面内的点、复平面内从原点出发的向量建立一一对应关系．
习题课
答案
知识梳理
1．a ＋b i 2.a ＝c ，b ＝d 3.a 2＋b 2
作业设计
1．A [3i －2的虚部为3,3i 2＋2i 的实部为－3，故所求复数为3－3i.]
2．D [由已知a ＝－1，b ＝2，∴a 2＋b 2＝5.]
3．D
4．D [若表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则m －3＝2m ，
即m －2m －3＝0， ∴(m －3)(m ＋1)＝0，∴m ＝3，∴m ＝9.]
5．B [点A (－1，－2)，设B (x ，y )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1＝1
－1＋x 2＋－2＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝1，
∴向量OB →对应的复数为2＋i.]
6．12
2i 解析 设y ＝b i (b ≠0)，∴⎩
⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝0b ＝2，∴x ＝12. 7．0
解析 因为实数也是复数，而两个实数是可以比较大小的，故(1)错；(2)中没有注意到z ＝a ＋b i 中未对a ，b 加以限制，故(2)错；(3)中在x ，y ∈R 时可推出x ＝y ＝1，而此题未限制x ，y ∈R ，故(3)错；(4)中忽视了当a ＝0时，a i ＝0，即0在虚数集中没有对应，故(4)错．
8．27或127
解析 由题意得，(log 3m )2＋16＝25，
即(log 3m )2＝9，∴log 3m ＝±3，
∴m ＝27或m ＝127
. 9．解 (1)当⎩
⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0m ≠0， 即m ＝2时，复数z 是实数；
(2)当m 2－2m ≠0，
即m ≠0，且m ≠2时，复数z 是虚数；
(3)当⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋m －6m ＝0m 2－2m ≠0， 即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．
10．解 由题意得⎩⎨⎧ 2a ＋1－2>0，a －3<0，
∴32<a <3. 11．解 |z 1|＝32＋42＝5，
|z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋(－2)2＝32
. ∵5>32
，∴|z 1|>|z 2|. 12．解 (1)由题意得m 2－2m －15>0，
解得m <－3或m >5.
(2)由题意得(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，
m ＝－3±414
.。