高三数学复习课上一次有益尝试——准确把握几何概型的测度

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高中数学 3.3几何概型教案苏教版必修3

内容：3．3 几何概型教学目标：1、知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式：P（A）=dD的测度的测度；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（4）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．2、过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

教学重点：几何概型的概念、公式及应用；教学难点：利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．教学过程：一、问题情境1．取一根长度为３ｍ的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于１ｍ的概率有多大？2．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为１２２ｃｍ，靶心直径为１２．２ｃｍ．运动员在７０ｍ外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？3．两个人约定在8：00至9：00之间到某地点约会，规定先到的人等十分钟后离开，问两人能见面的概率是多大？二、建构数学从上面的分析可以看到，对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样。

一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．在几何区域Ｄ中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域内”为事件Ａ，则事件Ａ发生的概率：Ｐ（Ａ）＝dD的测度的测度．这里要求Ｄ的测度不为０，其中“测度”的意义依Ｄ确定，当Ｄ分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．三、数学运用1．例题例1 取一个边长为２ａ的正方形及其内切圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．思考：由此例可知，豆子落入圆内的概率()4P A π=，我们可用Ｅｘｃｅｌ来模拟撒豆子的试验，以此来估计圆周率，请你设计出相关算法。

浅谈高三数学复习课堂中的有效性教学

幽３
得 ≤ 去思中了・到警丁（路断）
学生３ｏ丽ａ：ｈｂ ≤ ａｂ：
ｄ的测度：／Ｄ＝－ＡＣｏ
Ｄ的测度＝＿Ｂ／ＡＣ＝
—
一
ห้องสมุดไป่ตู้（法进行下去）无．．
２２／ｂ＋、ａ
学４ａ＝生：ｂ奇
２
了）．
答案完全不同，引起了学生的激烈讨论，教师看学生都没能解决，就讲了起来：我因素息息相关．而这些因素往往又来源于教师教师也很尴尬地引导学生反思解法，对两种解们可以考虑用基本不等式解决．平时孜孜不倦的钻研，来源于教师虚心求教的法的合理性进行探究．发现第二位学生的解法
一
１
— ～
２２／＋＋Ｘａｂ
＋２
、／
所以ｄ的测度＝线段Ａ０的长度Ｄ
Ｄ的测度＝段Ａ线Ｂ的长度
二、重视学生的主体地位，更应强化教但师的主导作用案例２基本不等式的应用：
可以给学生４如下提示：
教师对该解法给予充分的肯定及点评之后，正要转入下一道例题时，一名学生站起来提出：
的概率．
剖析：堂课看似很充实，本学生展现思维的空间很大，他们也能大胆发表自己的见解．但
深入一层可以发现，堂忽视了教师的适时引课
导，留在杂乱与表层的状态，停学生的思维障碍没能得到化解，最终使一半的教学时间在失
’
‘有路没思
高三数学复习课堂教学的成功与否很大

苏教版高三数学一轮复习---12.3 几何概型

§12.3 几何概型2020高考会这样考 1.以小题形式考查与长度或面积有关的几何概型；2.和平面几何、函数、向量相结合考查几何概型，题组以中低档为主．复习备考要这样做 1.准确理解几何概型的意义，会构造度量区域；2.把握与古典概型的联系和区别，加强与数学其他知识的综合训练．1．几何概型事件A 发生的概率与d 的测度成正比，与d 的形状和位置无关，这样的概率模型称为几何概型．2．几何概型中，事件A 的概率计算公式为P (A )＝d 的测度D 的测度.3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． [难点正本疑点清源]1．几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．2．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解． 3．几何概型的两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．1．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0，1]的概率为________．答案 13解析如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P ＝|CD ||AB |＝13.2．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．答案 23解析如图可设lAB＝1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是23.3．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2,3]，则直线在y 轴上的截距大于1的概率是________．答案 25解析区域D 为区间[－2,3]，d 为区间(1,3]，而两个区间的长度分别为5,2.故所求概率P ＝25. 4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是________．答案 25解析以时间的长短进行度量，故P ＝3075＝25.5．(2012·湖北改编)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．答案 1－2π解析方法一设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连结OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.方法二连结AB ，由S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC 可求出空白部分面积．设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2.由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC ，所以S 空白＝S △OAB＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2.所以P ＝S 阴影S 扇形OAB＝π－2π＝1－2π.题型一与长度有关的几何概型例1 在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋34m ＋1＝0无实根}中随机地取一元素m ，恰使式子lg m 有意义的概率为________．思维启迪：通过转化集合A 和lg m 有意义将问题转化成几何概型．答案 45解析由Δ＝m 2－4⎝⎛⎭⎫34m ＋1<0得－1<m <4. 即A ＝{m |－1<m <4}．由lg m 有意义知m >0，即使lg m 有意义的范围是(0,4)，故所求概率为P ＝4－04－(－1)＝45.探究提高解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算．事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．答案 12解析记事件A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长(此时F 为OE 中点)，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型公式得：P (A )＝12×22＝12.题型二与面积有关的几何概型例2 设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．思维启迪：(1)为古典概型，利用列举法求概率．(2)建立a －b 平面直角坐标系，将问题转化为与面积有关的几何概型．解设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.探究提高数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，通用公式：P (A )＝构成事件A 的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度.抛掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标． (1)求点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10内的概率；(2)若以落在区域C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M ，在区域C 上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M 上的概率．解 (1)以0、2、4为横、纵坐标的点P 共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域C 内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个，∴所求概率为P ＝49.(2)∵区域M 的面积为4，而区域C 的面积为10π，∴所求概率为P ＝410π＝25π.题型三与角度、体积有关的几何概型例3 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．思维启迪：根据“在∠BAC 内作射线AM ”可知，本题的测度是角度．解因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°，在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.探究提高几何概型的关键是“测度”，如本题条件若改成“在线段BC 上找一点M ”，则相应的测度变成线段的长度．一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为________．答案 127解析由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.转化与化归思想在概率中的应用典例：(14分)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．审题视角 (1)向量a ∥b 转化为x ＝2y ，而x 、y 的值均为有限个，可以直接列出，转化为古典概型问题；(2)和(1)中条件类似，但x 、y 的值有无穷多个，应转化为几何概型问题．规范解答解 (1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；[3分]其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P(A)＝212＝16，即向量a∥b的概率为16.[6分](2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.[8分]基本事件空间为Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧(x，y)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x≤2－1≤y≤1，B＝⎩⎪⎨⎪⎧(x，y)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x≤2－1≤y≤12x＋y<0x≠2y，[12分]则P(B)＝μBμΩ＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13，即向量a，b的夹角是钝角的概率是13.[14分]温馨提醒(1)对含两个变量控制的概率问题，若两个变量取值有限个，可转化为古典概型；若取值无穷多个，则可转化为几何概型问题．(2)本题错误的主要原因是不能将问题化归为几何概型问题，找不到问题的切入点．所以要注意体会和应用转化与化归思想在解决几何概型中的作用.方法与技巧1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个．2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．失误与防范1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2012·辽宁改编)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为________．答案 23解析设AC ＝x ，CB ＝12－x ，所以x (12－x )<32，解得x <4或x >8. 所以P ＝4＋412＝23.2．(2012·北京改编)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．答案 4－π4解析如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4.3．点P 在边长为1的正方形ABCD 内部运动，则点P 到顶点A 的距离|P A |<1的概率为______．答案 π4解析由题意可知，点P 到顶点A 的距离|P A |<1的区域为以点A 为圆心，以1为半径的圆的四分之一，它对应的面积为π4，所以所求概率为π4.4．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sin πx 4的值介于－12与22之间的概率为________．答案 56解析 ∵－1≤x ≤1，∴－π4≤πx 4≤π4.由－12≤sin πx 4≤22，得－π6≤πx 4≤π4，即－23≤x ≤1.故所求事件的概率为1＋232＝56.5．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．答案 13解析如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为13.6．设p 在[0,5]上随机地取值，则方程x 2＋px ＋p 4＋12＝0有实根的概率为________．答案 35解析一元二次方程有实数根⇔Δ≥0，而Δ＝p 2－4⎝⎛⎭⎫p 4＋12＝(p ＋1)(p －2)，解得p ≤－1或p ≥2，故所求概率为P ＝[0，5]∩{(－∞，－1]∪[2，＋∞)}的长度[0，5]的长度＝35. 7．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为________．答案 34解析根据函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点得4a 2－4(π－b 2)≥0，即a 2＋b 2≥π，建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD 及其内部，使函数f (x )有零点的区域为图中阴影部分，且S 阴影＝4π2－π2＝3π2.故所求概率为P ＝S 阴影S 正方形＝3π24π2＝34.二、解答题(共27分)8．(13分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率．解如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1.设M －ABCD 的高为h ，则13×S ABCD ×h <16，又S ABCD ＝1，∴h <12，即点M 在正方体的下半部分，∴所求概率P ＝12V正方体V 正方体＝12.9．(14分)已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0x >0y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解因为函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba ≤1，即2b ≤a .依条件，可知试验的全部结果所构成的区域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0a >0b >0. 构成所求事件的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(a ，b )⎪⎪⎪2ba ≤1a >0b >0. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝⎛⎭⎫163，83，所以所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.B 组专项能力提升 (时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为________．答案 34解析要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0. ∵a ，b ∈[0,1]，a ＋2b >0，∴a －2b <0. 作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.2. 如图所示，设M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN 的长超过2R 的概率为________．答案 12解析如图，在圆上过圆心O 作与OM 垂直的直径CD ，则MD ＝MC ＝2R ，当点N 不在半圆弧CMD 上时，MN >2R ，故所求的概率P (A )＝πR 2πR ＝12.3．(2012·陕西改编)如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的流程图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入____________．答案 P ←4M1 000解析 ∵x i ，y i 为0～1之间的随机数，构成以1为边长的正方形面，当x 2i ＋y 2i ≤1时，点(x i ，y i )均落在以原点为圆心，以1为半径且在第一象限的14圆内，当x 2i ＋y 2i >1时对应点落在阴影部分中(如图所示)．∴有NM ＝1－π4π4，N π＝4M －M π，π(M ＋N )＝4M ，π＝4M1 000.4．在区间[0,1]上随意选择两个实数x ，y ，则使x 2＋y 2≤1成立的概率为________．答案 π4解析 D 为直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝1围成的正方形区域，而由x 2＋y 2≤1，即x 2＋y 2≤1(x ≥0，y ≥0)知d 为单位圆在第一象限内部分(四分之一个圆)，故所求概率为14π×121×1＝π4. 5．(2011·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不．在家看书的概率为________．答案 1316解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×(12)2π×12＝34，去打篮球的概率P 2＝π×(14)2π×12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316. 6．如图所示，在单位圆O 的某一直径上随机地取一点Q ，则过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率是________．答案 1－32解析弦长不超过1，即|OQ |≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的，事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝32. ∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32. 二、解答题(共28分)7．(14分)设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13. (2)设其中两条线段长度分别为x 、y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<6－x －y <6，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<x ＋y <6，所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >6－x －y x ＋6－x －y >yy ＋6－x －y >x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >3y <3x <3，所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14. 8．(14分)已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过第一、二、三象限的概率．解 (1)抽取的全部结果的基本事件有(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P (A )＝610＝35. (2)m 、n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1的区域如图所示．要使函数的图象过第一、二、三象限，则m >0，n >0，故使函数图象过第一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P ＝1272＝17.。

2019届高考数学一轮复习：《几何概型》教学案(含解析)

几_何_概_型[知识能否忆起]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： P(A)＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.[小题能否全取]1．(教材习题改编)设A(0,0)，B(4,0)，在线段AB 上任投一点P ，则|PA|＜1的概率为( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：选C 满足|PA|＜1的区间长度为1，故所求其概率为14.2．(2018·衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 中奖的概率依次为P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13.3.分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )A.4－π2 B.π－22C.4－π4D.π－24解析：选B 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22. 4．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________．解析：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故P ＝0.05. 答案：0.055.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16. 答案：161.几何概型的特点：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果．典题导入[例1] (2018·湖南高考)已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________． [自主解答] (1)根据点到直线的距离公式得d ＝255＝5；(2)设直线4x ＋3y ＝c 到圆心的距离为3，则|c|5＝3，取c ＝15，则直线4x ＋3y ＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x ＋3y ＝15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.[答案] 516本例条件变为：“已知圆C ：x 2＋y 2＝12，设M 为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN.”求弦MN 的长超过26的概率．解：如图，在图上过圆心O 作OM ⊥直径CD.则MD ＝MC ＝2 6. 当N 点不在半圆弧CM D 上时，MN ＞2 6. 所以P(A)＝π×232π×23＝12.由题悟法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．确定点的边界位置是解题的关键．以题试法1．(1)(2018·福建四校联考)已知A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A′，则AA′的长度小于半径的概率为________．(2)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2.在BC 边上任取一点M ，则∠AMB≥90°的概率为________．解析：(1)如图，满足AA′的长度小于半径的点A′位于劣弧BA C 上，其中△ABO 和△ACO为等边三角形，可知∠BOC ＝2π3，故所求事件的概率P ＝2π32π＝13.＝12，且点M 在BD (2)如图，在Rt △ABC 中，作AD ⊥BC ，D 为垂足，由题意可得BD 上时，满足∠AMB≥90°，故所求概率P ＝BD BC ＝122＝14.答案：(1)13 (2)14典题导入[例2] (1)(2018·湖北高考)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，x ＋y≥0，＞表示平面区域M ，若点P(x ，y)在所给的平面区域M 内，则点P 落在M的内切圆内的概率为( )A.2－4πB ．(3－22)πC ．(22－2)πD.2－12π[自主解答] (1)法一：设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC.不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2.所以P ＝π－2π＝1－2π.法二：连接AB ，设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2. 由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形B C ＝S 弓形O C ，所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2.所以P ＝S 阴影S 扇形OAB ＝π－2π＝1－2π.(2)由题知平面区域M 为一个三角形，且其面积为S ＝a 2.设M 的内切圆的半径为r ，则12(2a ＋22a)r ＝a 2，解得r ＝(2－1)a.所以内切圆的面积S 内切圆＝πr 2＝π[(2－1)·a]2＝(3－22)πa 2.故所求概率P ＝S 内切圆S ＝(3－22)π.[答案] (1)A(2)B由题悟法求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率．这类问题常与线性规划[(理)定积分]知识联系在一起．以题试法2．(2018·湖南联考)点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离|PA|≤1的概率为( )A.14 B.12 C.π4D ．π解析：选C 如图，满足|PA|≤1的点P 在如图所示阴影部分运动，则动点P 到顶点A 的距离|PA|≤1的概率为S 阴影S 正方形＝14×π×121×1＝π4.典题导入[例3] (1)(2018·烟台模拟)在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12B ．1－π12C.π6D ．1－π6(2)一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为( )A.18B.116C.127D.38[自主解答] (1)点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球的外部．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P(A)＝23－12×4π3×1323＝1－π12. (2)由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.[答案] (1)B (2)C由题悟法与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域．以题试法3．(2018·黑龙江五校联考)在体积为V 的三棱锥S —ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S —APC 的体积大于V3的概率是________．解析：如图，三棱锥S —ABC 的高与三棱锥S —APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM 、BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S —APC V S —ABC ＝S △APC S △ABC ＝PMBN ，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB＞13时，满足条件．设AD AB ＝13，则P 在BD 上，所求的概率P ＝BD BA ＝23. 答案：231．(2018·北京模拟)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为( )A.13 B.2π C.12D.23解析：选A 由－12＜sin x ＜12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，得－π6＜x ＜π6.所求概率为π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝13.2．(2018·辽宁高考)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16 B.13 C.23D.45解析：选C 设AC ＝x cm ，CB ＝(12－x)cm,0<x<12，所以矩形面积小于32 cm 2即为x(12－x)<32⇒0<x<4或8<x<12，故所求概率为812＝23.3．(2018·滨州模拟)在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A.12 B.23 C.34D.14解析：选C 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2＜0，即(a ＋2b)(a －2b)＜0. ∵a ，b ∈[0,1]，a ＋2b ＞0， ∴a －2b ＜0. 的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a≤1，0≤b≤1，a －2b ＜0的可行域，易得该函数无零点4．(2018·北京西城二模)已知函数f(x)＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]．∀x ∈[0,1]，f(x)≥0的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C 由∀x ∈[0,1]，f(x)≥0得⎩⎪⎨⎪⎧，，有－1≤k≤1，所以所求概率为1－－1－－＝23. 5．(2018·盐城摸底)在水平放置的长为5米的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端的距离都大于2米的概率为( )A.15B.25C.35D.12解析：选A 如图，线段AB 长为5米，线段AC 、BD 长均为2米，线段CD 长率P ＝15.为1米，满足题意的悬挂点E 在线段CD 上，故所求事件的概6．(2018·沈阳四校联考)一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离小于2的概率为( )A.π12 B.π10 C.π6D.π24解析：选A 记昆虫所在三角形区域为△ABC ，且AB ＝6，BC ＝8，CA ＝10，则有AB 2＋BC 2＝CA 2，AB ⊥BC ，该三角形是一个直角三角形，其面积等于12×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于A ＋B ＋C 2π×π×22＝π2×22＝2π，因此所求的概率等于2π24＝π12.7．(2018·郑州模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，y≥－x ，2x －y －3≤0表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．解析：∵y ＝x 与y ＝－x 互相垂直，∴M 的面积为3，而N 的面积为π4，所以概率为π43＝π12.答案：π128．(2018·孝感统考)如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．解析：设题图1长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h ＋＋＝14，解得h ＝3或h ＝－12(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3. 答案：39.(2018·宜春模拟)投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为12米的小方块．试验是向板中投镖，事件A 表示投中阴影部分，则事件A发生的概率为________．解析：∵事件A 所包含的基本事件与阴影正方形中的点一一对应，事件组中每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应．∴由几何概型的概率公式得P(A)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12212＝14. 答案：1410．已知|x|≤2，|y|≤2，点P 的坐标为(x ，y)，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．解：如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．故所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16.11．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y)|x ∈A ，y ∈B}，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y)．(1)求以(x ，y)为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y)为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率．解：(1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y|2≤22即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分，面积S 2＝4，所求概率为P ＝S 2S ＝12.12．(2018·长沙模拟)已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y)． (1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b＜0的概率．解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个；由a·b＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)共3个．故满足a·b＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}；满足a·b＜0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，且－2x ＋y ＜0}；画出图形，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b＜0的概率为2125.1．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x＋3cos x≤1”发生的概率为( ) A.14 B.13 C.12D.23解析：选C 由sin x ＋3cos x≤1得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤12.由于x ∈[0，π]，故x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，因此当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤12时，x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，4π3，于是x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 由几何概型公式知事件“sin x＋3cos x≤1”发生的概率为P ＝π－π2π－0＝12.2．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝2π3.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为2π32π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.答案：233．(2018·晋中模拟)设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段． (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； (2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x ，y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜6－x －y ＜6，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜x ＋y ＜6所表示的平面区域为△OAB.若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞6－x －y ，x ＋6－x －y ＞y ，y ＋6－x －y ＞x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞3，y ＜3，x ＜3所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.1.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14 B.13 C.12D.23解析：选C 由题意知，可设事件A 为“点Q 落在△ABE 内”，构成试验的全部结果为矩形ABCD 内所有点，事件A 为△ABE 内的所有点，又因为E 是CD 的中点，所以S △ABE ＝12AD×AB，S 矩形ABCD ＝AD×AB，所以P(A)＝12.2．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实数根的概率为________．解析：由题意得Δ＝4a 2－4b 2≥0，∵a ，b ∈[0,1]，∴a≥b. ∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤a≤1，0≤b≤1，a≥b，画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12.答案：123．(2018·北京高考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4解析：选D 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y≤2表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x ，y)，则随机事件：在区域D 内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x 2＋y 2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为4－π4. 为( )A.14B.34C.964D.2764解析：选C 设事件A 在每次试验中发生的概率为x ，由题意有1－C 33(1－x)3＝6364，得x ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＝964.。

2021届全国新高考数学精品备考几何概型

的面积小于S2.∴概率为 p＝S四S边△形AEBFCCB＝34.
图D105
考点 1 与长度(角度)有关的几何概型
例 1：(1)(2016 年新课标Ⅰ)某公司的班车在 7：30,8：00,
8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且
到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概
的距离为
|2k| k2＋1 .
要使直线 y＝k(x－2)与圆 x2＋y2＝1 有两个交点，则需
k|22＋k| 1<1，解得－
3 3 <k<
33，
∴在区间[－1,1]上随机取一个数 k，
使直线 y＝k(x－2)与圆 x2＋y2＝1 有两个交点的概率 p＝
313－－(－－13)3＝ 33.故选 D.
答案：D
2.通过阅读材料，了解人类认识
随机现象的过程
域( 长度或面积) 是解决几何概
型问题的关键
1.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称为__几__何__概__型__. 2.几何概型中，事件 A 的概率计算公式 P(A)＝全构部成结事果件所构A 成的的区区域域长长度度(面(面积积或或体体积积) )
1.一只蚂蚁在如图 9-3-1 所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在灰色地板砖上的概率是( B )
图 9-3-1
A.14
B.13
C.15
D.12
2.取一根长度为 4 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那
么剪得的两段都不少于 1 m 的概率是( C )
A.14
率是( )

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：9.6 几何概型 Word版含答案

第六节几何概型几何概型(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． (2)了解几何概型的意义．知识点几何概型 1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).易误提醒易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．[自测练习]1．有一根长为1米的细绳，随机将细绳剪断，则使两截的长度都大于18米的概率为( )A.34B.13C.12D.23解析：如图，将细绳八等分，C ，D 分别是第一个和最后一个等分点，则在线段CD 的任意位置剪断，得到的两截细绳长度都大于18米(C 、D 两点除外)．由几何概型的计算公式可得，两截的长度都大于18米的概率为P ＝681＝34.答案：A2．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( )A.45B.35C.25D.15解析：区间[－2,3]的长度为5，区间[－2,1]的长度为3，因此P (X ≤1)＝35，选B.答案：B3．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．解析：设阴影区域的面积为S ，则S 2×2＝23，∴S ＝83.答案：83考点一与长度(角度)有关的几何概型|1．(2016·韶关调研)在区间[0,2]之间随机抽取一个数x ，则x 满足2x －1≥0的概率为( ) A.34 B.12 C.14 D.13解析：区间[0,2]看作总长度为2，区间[0,2]中满足2x －1≥0的只有⎣⎡⎦⎤12，2，长度为32，P ＝322＝34. 答案：A2．(2015·高考重庆卷)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．解析：设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0的两个根分别为x 1，x 2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，结合0≤p ≤5，解得23<p ≤1或2<p ≤5，所以所求概率P ＝⎝⎛⎭⎫1－23＋(5－2)5＝23. 答案：233.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.答案：16(1)与长度有关的几何概型：如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为 P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.(2)与角度有关的几何概型：当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．考点二与体积相关的几何概型|在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．[解析] 由题意，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点，满足几何概型，记“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ，则事件A 发生时，点P 位于以O 为球心，以1为半径的半球外．又V 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1＝23＝8，V 半球＝12·43π·13＝23π，∴所求事件概率P (A )＝8－23π8＝1－π12.[答案] 1－π12对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )A ．0.008B ．0.004C ．0.002D ．0.005解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005. 答案：D考点三与面积有关的几何概型|与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一．归纳起来常见的命题角度有： 1．与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题． 2．与线性规划交汇命题的问题． 3．与定积分交汇命题的问题．探究一与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题1．(2015·湖北八校二联)记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2的概率为________．解析：作圆O ：x 2＋y 2＝4，区域Ω1就是圆O 内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就是图中△AOB 内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为24π＝12π.答案：12π探究二与线性规划交汇命题的问题2．(2015·高考湖北卷)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1解析：x ，y ∈[0,1]，事件“x ＋y ≥12”表示的区域如图(1)中阴影部分S 1，事件“|x －y |≤12”表示的区域如图(2)中阴影部分S 2，事件“xy ≤12”表示的区域如图(3)中阴影部分S 3.由图知，阴影部分的面积S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1.根据几何概型的概率计算公式，可得p 2<p 3<p 1.答案：B探究三与定积分交汇命题的问题3．(2015·高考福建卷)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．解析：依题意知点D的坐标为(1,4) ，所以矩形ABCD的面积S＝1×4＝4，阴影部分的面积S阴影＝4－⎠⎛12x2d x＝4－13x3|21＝4－73＝53，根据几何概型的概率计算公式得，所求的概率P＝S阴影S＝534＝512.答案：512求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．22.混淆长度型与面积型几何概型致误【典例】在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，则这三条线段能构成三角形的概率为________．[解析]设x、y表示三段长度中的任意两个．因为是长度，所以应用0<x<1,0<y<1,0<x＋y<1，即(x，y)对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．要形成三角形，由构成三角形的条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y>1－x －y ，1－x －y>x －y ，1－x －y>y －x ，所以x<12，y<12，且x ＋y>12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14. [答案] 14[易误点评] 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率． [防范措施] 解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．[跟踪练习] 在等腰直角三角形ABC 中，D 为斜边AB 上任意一点，则AD 的长小于AC 的长的概率为( )A.12 B ．1－22C.22D. 2解析：依题意得知，所求的概率等于12＝22，选C. 答案：CA 组考点能力演练1．已知点P ，Q 为圆C ：x 2＋y 2＝25上的任意两点，且|PQ |<6，若PQ 中点组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )A.35 B.925 C.1625D.25解析：PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示，那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为25π－16π25π＝925，故选B. 答案：B2．已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P-ABC <12V S -ABC 的概率是( ) A.78 B.34 C.12D.14解析：当点P 到底面ABC 的距离小于32时，V P -ABC <12V S -ABC . 由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝⎛⎭⎫123＝78. 答案：A3．(2016·石家庄一模)在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825解析：设这两个数分别是x ，y ，则总的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y <65，确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.答案：C4.如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (4,0)，B (4,2)，C (0,2)，曲线y ＝x 经过点B .小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC 中，则该电子元件落在图中阴影区域的概率是( )A.512B.12C.23D.34解析：图中阴影部分是事件A 发生的区域，其面积S 阴＝⎠⎛04x d x ＝23x 32| 40＝163，S 长方形＝4×2＝8，∴所求概率P ＝S 阴S 长方形＝1638＝23.故选C.答案：C5．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14B.34C.49D.916解析：设AB 、AC 上分别有点D 、E 满足AD ＝34AB 且AE ＝34AC ，则△ADE ∽△ABC ，DE ∥BC 且DE ＝34BC .∵点A 到DE 的距离等于点A到BC 的距离的34，∴DE 到BC 的距离等于△ABC 高的14.当动点P 在△ADE 内时，P 到BC 的距离大于DE 到BC 的距离，∴当P 在△ADE 内部运动时，△PBC 的面积大于S4，∴所求概率为S △ADE S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫342＝916，故选D.答案：D6．已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm 3的概率为________．解析：依题意，设长方体的长为x cm ，则相应的宽为(12－x ) cm ，由4x (12－x)>128得x 2－12x ＋32<0,4<x <8，因此所求的概率等于8－412＝13.答案：137．一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．解析：本题考查几何概率的计算．如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为12×5×12＝30，阴影部分的面积为12×π×22＝2π，所以其概率为2π30＝π15. 答案：π158．(2015·广州调研)在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足∠AMB >90°的概率为________．解析：如图，如果M 点位于以AB 为直径的半圆内部，则∠AMB >90°，否则，M 点位于半圆上及空白部分，则∠AMB ≤90°，所以∠AMB >90°的概率P ＝12×π×1222＝π8.答案：π89．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，求使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率．解：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|2≤ 2，解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25.10．(2016·济南调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )． (1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．解：(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .基本事件空间为Ω＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1，B ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，则由图可知，P (B )＝μB μΩ＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13，即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.B 组高考题型专练1．(2015·高考山东卷)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14解析：由－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1得log 12 2≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤log 12 12，所以12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为322＝34.故选A. 答案：A2．(2015·高考福建卷)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12解析：依题意得，点C 的坐标为(1,2)，所以点D 的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD 的面积S 矩形ABCD ＝3×2＝6，阴影部分的面积S 阴影＝12×3×1＝32，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝326＝14，故选B.答案：B3．(2015·高考陕西卷)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1π C.12－1π D.14－12π解析：复数|z |≤1对应的区域是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆及其内部，图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y ≥x 的区域，该区域的面积为14π－12×1×1＝14π－12，故满足y ≥x 的概率为14π－12π×12＝14淘宝店铺：漫兮教育－12π，故选D. 答案：D4．(2014·高考湖北卷)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.78解析：区域Ω1为直角△AOB 及其内部，其面积S △AOB ＝12×2×2＝2.区域Ω2是直线x ＋y ＝1和x ＋y ＝－2夹成的条形区域．由题意得所求的概率P ＝S 四边形AODC S △AOB＝2－142＝78.故选D. 答案：D。

高三数学一轮复习 9.3几何概型课件

故所求概率为182＝23.
[答案]
2 3
在长为12 cm的线段AB上任取一点C，并以线段AC为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率是多少？
解：面积为 36 cm2 时，边长 AC＝6，面积为 81 cm2 时，边长 AC＝9，故 P＝9－ 126＝132＝14.
[探究] 1.几何概型有什么特点？提示：几何概型的特点： ①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件) 有无限个． ②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
2．几何概型和古典概型有什么区别？提示：几何概型和古典概型中基本事件发生的可
能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，
而几何概型的基本事件则有无限个．
构成所求事件的区域长度为 1 min，故 P＝110. 答案：110
3．某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中靶点与
靶心的距离小于2的概率为________．解析：射中区域的面积与整个圆形靶的面积的比值是19. 答案：19
4．点 A 为周长等于 3 的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取一点 B，则劣弧 AB的长度小于 1 的概率为_____出集合 U 与 A 所表示的平面区域 (如图)，由图可知 SU＝18，SA＝4，则点 P 落入区域 A 的概率为 P＝SSUA＝29.
(2)设 OA＝OB＝r，则两个以2r为半径的半圆的公共部
分面积为 214π·2r2－12×2r2＝π－82r2，两个半圆外部的阴
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求解与长度有关的几何概型的两点注意
(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长
度之比、面积之比还是体积之比；

高考数学一轮复习几何概型课件

A)＝12×2 2＝12.
与面积有关的几何概型
例 2 在可行域内任取一点，规则如程序框图所示，求能输出数对(x，y)的概率．
即在可行域－－11≤ ≤xx＋－yy≤ ≤11 内求出点(x，y)，求它在 x2＋y2≤12
内的概率．
解由题意，求输出的数对(x，y)的概率，即求 x2＋y2≤12所表
探究提高
几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测度”．因为射线 AD 落在∠DAB 内的任意位置是等可能的，所以选择“角度”为“测度”是解决本题的关键．
变式训练 3 如图所示，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C ＝45°，高 AD＝ 3，在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，求 BM<1 的概率．解 ∵∠B＝60°，∠C＝45°， ∴∠BAC＝75°，在 Rt△ADB 中，AD＝ 3，∠B＝60°， ∴BD＝taAn D60°＝1，∠BAD＝30°.
变式训练 2 设关于 x 的一元二次方程 x2＋2ax＋b2＝0.若 a 是从区间[0,3] 任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解设
当 a≥0，b≥0 时，方程 x2＋2ax＋b2＝0 有实根的充要条件为 a≥b. 试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件 A 的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，所以所求的概率为 P(A)＝3×23－×122×22＝23.
探究提高
从该题可以看出，我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样．而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．

高考数学课程一轮复习第26课时几何概型

第26课时几何概型【考点点知】知己知彼，百战不殆几何概型是新课标新增添内容，所以高考在考查上可能会有所侧重，当然由于课时所限，也不会占分太多，由于几何命题的空间较为广阔,因而此部分的考题也相当的丰富．复习时应理解好基本概念，注意培养用几何度量来理解概率问题的习惯．1.几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A . 2.很多概率问题可以归结为几何概型.对于几何概型,随机事件A 的概率P (A )与表示它的区域(面积、长度或体积)成正比,而与区域的位置和形状无关.只要表示两个事件的区域有相同的长度、面积或体积,不管它们的位置和形状如何,这两个事件的概率一定相等.由此可知,利用公式求概率的关键在于求解产生指定范围内的随机数或指定范围内的面积、体积、长度等的计算.【小题热身】明确考点，自省反思1. (2008江苏卷)在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是2.（湖南卷）在区间[-1，2]上随机取一个数x ，则1||≤x 的概率为．3.（2009山东卷）在区间[,22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为 .【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.设点A 是圆O 上一定点，点B 是圆O 上的动点，6,πθθ≤则与的概率为 .思路透析:如右图所示, 当点B 在劣弧 CD上运动时, 6AO AB πθ≤ 与的夹角为, 此时∠DOC=22263ππ⨯⨯=, 则6πθ≤的概率 21323R CD P R ππ==劣弧长=圆周长. 点评:在本题中，构造几何图形，找出两“弧长”，套用几何概型公式.此类几何概型题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征度量来求随机事件的概率.例2.如图，60AOB ∠= ，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，则A O C ∆为钝角三角形的概率是____________.思路透析:如图，由平面几何知识：当AD OB ⊥时，1OD =；当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =．当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时， AOC ∆为钝角三角形记”AOC ∆为钝角三角形”为事件M ，则11()0.45OD EB P M OB ++=== 即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4．点评:求与长度有关的几何概型的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度.例3.在线段[0,a ]上随机地取三个点，则由点O 至三个点的线段能够成一个三角形的概率为 .思路透析:令A =“三线段能构成一个三角形”.设三线段各长为x ,y ,z ,则每一个试验结果可表示为:(x ,y ,z ),0≤x ,y ,z ≤a ,所有可能的结果组成集合Ω={(x ,y ,z )|0≤x ,y ,z ≤a }.因为三线段构成一个三角形的条件是:x +y >z,x +z >y ,y +z >x ;所以事件A 构成集合A ={(x ,y ,z )|x +y >z ,x +z >y ,y +z >x ,0≤x ,y ,z ≤a }，表示一个以O 、A 、B 、C 、D 为顶点的六面体，其体积等于a 3－3·31·22a ·a =21a 3. 从而P (A )=的体积的体积ΩA =3321aa =0.5. 点评:在必修2中我们学习了空间直角坐标系,本题中引入了三个随机变量,其变量的轨迹为正方体,而符合条件的随机事件为六面体,该几何概型为的概率为两个几何体的体积之比.你还能用其它方法解决这一问题吗?例4.设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．思路透析:设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”．当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．（Ⅰ）基本事件共12个：(00)(01)(02)(10)(11)，，，，，，，，，，(12)(20)(21)，，，，，，(22)(30)(31)(32)，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==．（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤．构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥．所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯．点评:本题中不少考生将区域约束条件不等式列式错误,导致平面区域的面积求解出现偏差.在几何概型问题的分析中,试验的构成区域决定着概率运算的正确性,因而列式时要注意范围列式中边界值的确定依据.【即时测评】学以致用，小试牛刀1. 二次方程042=++b x a x )2,0(,(∈b a ）的两根都是实数的概率为( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 2. 在圆心为90o 的扇形O A B 中,以圆心O 为起点任作射线OC ,OD ,则使得30o AOC BOD ∠+∠<的概率是( )A. 12B. 13C. 14D. 153. 如图，设M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN的概率为( )A. 12B. 13C. 14D. 154. 公共汽车站每隔5 min 有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，乘客候车不超过3 min 的概率为( )A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.8【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题:1. 已知实数,a b 满足11,11a b -≤≤-≤≤，则方程2220x ax b -+=有实数解的概率为 . 2. 在区间(0，L )内任取两点，则两点之间的距离小于3L 的概率为 . 3. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ,并以线段AM 为边作正方形.这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为 . 4. 若不等式组240y x y x x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为M ，221x y +≤所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为___________.5.已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内任取点M ，则使点M 到底面ABC ∆的距离小于2h 的概率为 . 6.在ABC ∆中， 45,60=∠=∠C B ，高3=AE ，在BAC ∠内作射线AM 交BC 于M ，则BM ＜1的概率为 .二、解答题:7.在地面上画一正方形框，其边长为一枚硬币半径的4倍，向框中投硬币（硬币完全落在正方形外的不计），试求硬币与正方形框相交的概率．8.如左下图,在0～1之间随机选择两个数,这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条线段,试求这三条线段能构成三角形的概率.第26课时几何概型参考答案【小题热身】 1. 16π 2. 23 3.31【即时测评】1. A2. B3. A4. C 【课后作业】一、填空题:1. 122. 953. 414. 364π5. 876. 25二、解答题:7.解析:这是一道二维几何概型问题，设硬币半径为r ，则正方形框的边长为r 4，将硬币视为一几何点，则问题转化为：以正方形上任一点为圆心，与圆心距离小于等于r 的平面区域是有利场合的测度d ，而正方形的面积加上有利场合中正方形外的测度就是基本事件空间的测度D ，于是3228])4()4(4[)2(])4()4(4[22222++=+⨯⨯+-+⨯⨯+=ππππr r r r r r r r r D d . 8.解析:设三条线段的长度分别为x 、y ,1－x －y ,则⎪⎩⎪⎨⎧<--<<<<<,110,10,10y x y x 即⎩⎨⎧+-<<<<.10,10x y x 在平面上建立如右上图所示的直角坐标系,直线x =0,x =1,y =0,y =－x +1围成如右上图所示的三角形区域G ,每一对(x ,y )对应着G 内的点(x ,y ).由题意知,每一个试验结果出现的可能性是相同的,因此,试验属于几何概型.三条线段能构成三角形当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧>->--->+,1,1,1y y x x y x y x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<+->.21,21,21y x x y 因此图中的阴影区域g 就表示“这三条线段能构成三角形”.容易求得g 的面积为81,G 的面积为21,由几何概型的概率计算公式,“这三条线段能构成三角形”的概率 P (这三条线段能构成三角形)=的面积的面积G g =41.。

准确把握几何概型的区域和测度

○学习指导○准确把握几何概型的区域和测度李慧敏(江苏省无锡市梅村高级中学,214000) 几何概型是一种特殊的随机事件概率模型,是概率问题的几何形式.在解决这类问题时可把每个基本事件理解为从某个特定的可度量的几何区域D 内随机地取一点,区域D 内的每一点被取到的机会都一样,即点在区域D 中是均匀分布的;随机事件A 的发生则可理解为恰好取到区域D 的子区域d 内的点,从而得到事件A 的概率为P (A )=d 的测度D 的测度.其中D的测度不能为零,测度可以是一维图形的长度、二维图形的面积和三维图形的体积.由定义可知几何概型问题的处理关键是找准试验所对应的图形,准确把握所求条件所对应的图形区域和测度.在找试验所对应的图形时通常有明显的点的分布,但也有时是隐性(不明显)的点分布问题.学生对明显是点分布的几何概型问题较容易理解,对一些隐性(不明显)的点分布的几何概型问题难于理解,要学会将基本事件转化到几何概型问题解决,这种转化与化归思想,也是高考重点考察的思想方法之一.笔者通过下面几个典型例题谈谈在解决几何概型问题时如何确保区域和测度正确.1.明确试验的条件和结果,准确选择区域和测度例1　(高中数学教材苏教版必修3第102页中的例3)如图1,在等腰直角三角形AB C 中,在斜边AB 上任取一点M ,求AM 小于AC 的概率.分析　记“AM <AC ”为事件A,由于点M 随机地落在线段AB 上,是等可能的,所以区域D 为线段AB ,测度为线段AB 的长度,在线段AB 上截取AC ′=AC,当点M 落在线段AC ′内时,事件A 发生,d 的测度为线段AC ′的长度,于是P (A )=d 的测度D 的测度=AC AB =22.变式1　(高中数学教材苏教版必修3第104页中练习6)如图2,在等腰直角三角形AB C 中,过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线,与线段AB 交于点M ,求AM <AC 的概率.分析　因射线CM 在∠ACB 内等可能分布,当射线扫过相同的角度时,在圆弧AB 上截取的圆弧是相等的,射线CM 在∠ACB 内是等可能分布的,这等价于点F 在圆弧AB 上等可能分布.如图2,区域D 为弧AB ,测度为AB 弧长,记“AM<AC ”为事件B ,∠ACC ′=∠AC ′C,当F 点落在弧AD 上,事件B 发生.所以区域d 为弧AD,测度为AD 弧长.P (B )=l AD l AB=12R ∠ACC ′12R ∠ACB =67.5°90°=3 4 .变式2　如图3在等腰直角三角形&AB C 中,C为直角顶点,在三角形内取点P连CP交AB于M,求AM<AC的概率.分析　点P随机落在R t&AB C中,点P 等可能地落在R t&AB C中,符合几何概型.D 为&AB C内部,它的测度为&AB C的面积,记“AM<AC”为事件C,d为&ACC′,它的测度为&ACC′的面积.P(C)=S&ACC′S&ACB=12AC・AC′・sin∠CAC′12AC・AB・sin∠CAB=ACAB=22.评注　上面的三个问题是形似质异的几何概率问题,都是在同样的直角三角形中求AM<AC的概率.但由于事件的条件不同,等可能的角度不同,概率当然会改变.对于例1,在AB上取点测度为AB的长度,而变式1中只涉及一条射线,也是一元,但我们为什么区域D不取线段AB,而取∠ACB或弧AB呢?那是因为试验是从∠ACB内部随机地取射线,当扫过相同的角度时,对应的弧长相等,但在AB 上对应截取的线段却不等,这样就破坏了等可能性,因此我们在等价转化过程中不仅要注意一一对应,而且还需考虑符合几何概型的等可能性.变式2是在三角形内部随机取点,点在三角形内部均匀分布,故测度应为面积.例2　如图4,在边长为10cm的正方形硬纸板上,以正方形的中心为圆心有一个直径为2cm的圆洞,现将半径为1cm的硬币随机投到该纸板上(硬币完全落在硬纸板外面忽略不计),求硬币落下后与圆无公共点的概率.分析　硬币随机地落在硬纸板上,抓住硬币的圆心,考虑硬币的圆心随机所处的位置,则区域D为如图所示的整个图形,记“硬币落下后与圆无公共点”为事件A,d为图中阴影区域.P(A)=d的测试D的测试=S阴S=S阴S正+4S小长方形+4×14×S圆=S-4π100+4×10×1+4×14×π×12 =140-3π140+π≈0.91.变式1　如图5,在边长为10cm的正方形硬纸板上,以正方形的中心为圆心有一个直径为2cm的圆洞,现将半径为1cm的硬币投到该纸板上,使硬币整体随机落在纸板上,求硬币落下后与圆无公共点的概率.分析　硬币整体随机地落在硬纸板上,即硬币圆心也随机落在硬纸板上,考虑到硬币整体在硬纸板上,则区域D为如图所示的正方形AB CD,记“硬币落下后与圆无公共点”为事件E,区域d为图中的阴影部分.P(E)=S阴S AB CD=S AB CD-4πS AB CD=64-4π64≈0.8573.变式2　边长为10cm的正方形的网格,现将半径为1cm 的硬币投到网格上,求硬币落下后与网格线有公共点的概率.分析　记区域D 为正方形AB CD 内部,“硬币落下后与网格线有公共点”为事件F,则区域d 为图6中的阴影部分,P (F )=S 阴S 正=10×10-8×810×10=925.评注　抓住几何概型的本质———基本事件的等可能性和无限性.把点看作基本事件后,基本事件的等可能即为“点在什么样的特定区域内均匀分布”是解决几何概型问题的关键,一定要明确事件的条件和结果,准确把握区域和测度,才能正确解题.例2及变式1看上形似,但条件不同,所以导致区域D 不同,所以概率也不同.下面重点谈谈等价转化的问题.2.慎重对待基本事件的等可能性,转化要以等可能为前提例3　如图7在半径为R 的圆内画平行弦,如果这些弦与垂直弦的直径的交点在该直线上的位置是等可能的,那么所画的弦的长度大于R 的概率.分析　因为在圆内画平行弦,这些弦与垂直直径的交点在该直线上的位置是等可能的,所以研究弦等价于研究它与直径的交点.设C,D 两点是直径AB 上的两点,过这两点垂直于AB 的弦长等于R.记“所画的弦的长度大于R ”为事件G,则P (G )=CD AB =3R 2R =32.3.隐性几何概型,利用数形结合,等可能转化到几何概型例4　(1)在[0,10]中任取一个整数,求它与4的和大于6的概率;(2)在[0,10]中任取一个数,求它与4的和大于6的概率;(3)从[0,10]中随机地取两个数,求这两数之和大于12的概率;(4)在[0,10]上分别取三个数,求使得任意两数之和大于第三个数的概率.分析　(1)基本事件的个数为11个,且等可能的,故为古典概型,记“[0,10]中任取一个整数,与4的和大于6”为事件I,则P (I )=m n =811.(2)基本事件的个数是无限的,可看成在长度为10的线段上取点,即每取一个数便是在线段上上随机取一点,故为几何概型.记“[0,10]中任取一个数,与4的和大于6”为事件J,则P (J )=810=45.(3)基本事件的个数是无限的,虽然随机试验是在线段上随机取点,但不能把线段视为区域D,不能用长度测度进行概率计算.因为两点间的距离值不是等可能的.而应该引进变量,设x,y 为[0,10]上任意两个数,则有0≤x ≤10,0≤y ≤10.在平面直角坐标系内,作出点(x,y )(如图8),则记“[0,10]中随机地取两个数,求这两数之和大于12”为事件K,则事件K应满足 0≤x≤10, 0≤y≤10, x+y>12,P(K)=S阴S正=12×8×810×10=825.(4)在[0,10]上随机取三个数等价于空间直角坐标系的一点(x,y,z),使得任意两数之和大于第三个数,即x+y>z,x+z>y,y+z>x. 分析可得,区域D为边长为10的正方体AG,区域d为六面体DB EGF(如图9),故P=103-3×13×12×103103=12.评注　几何概型问题即把试验的每个基本事件看作区域中的点,每个基本事件的发生就相当于每个点随机地被取到.当基本事件不是以几何图形中的“点”出现时,我们可以利用数形结合,把所要研究的问题看作坐标系中的点,把点赋予实际意义,于是可以转化到以长度、面积、体积为测度的几何概型上来.只要我们抓住几何概型的两大特征———等可能性和无限性.转化合理,区域、测度准确,定能拨开几何概型的迷雾,掌握几何概型问题.(上接第4页)使该种病毒的传播得到控制.从某天起,每天的新患者平均比前一天的患者少30人,到11月30日止,该市在30日内的患者共有8670人,问11月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多?读该题时很多同学都相视一笑,因为本班不久前就出现了很严重的流感疫情,每天感染的同学比前一天多4、5人,直至最后停课.看得出同学们的思绪一下子回到了停课的那段特别的时光.解决策略　笔者将这道题留为课后作业,第二天发现这道题本班的解决情况明显好于其他班,多位同学画出了示意图辅助解题:11月1日(20人)→11月n日(20+50(n -1))→11月30日(50n-30-30(29-n))反思　这道题的解决留在课后,学生直接体会到数学应用无处不在,模型就可以在身边建立.与此同时,这道题的教育功能也得到了很好的体现,学生都能意识到数学应用的本质是反映社会问题并解决社会问题,所以耐心细致地解决好应用问题不仅可以巩固数学知识,更可以亲近社会,感受社会责任.情感是人对客观事物的态度和体验,它是一种比较复杂的、高级的心理活动现象.数学教师的情感是对学生及所讲授知识的态度的自然流露.选择应用题教学尝试别样的情感铺垫,包括引领想象,换位思考,感悟经历等等,实际效果是显著的.实际上,一道好的数学应用题是用相关数学知识为载体兼具良好社会教育功能的,面对这样的数学题,数学教师应用心体会情感铺垫的形式与内涵,从而将问题逐步清晰化,思维逐步系统化,有效化解学生怕阅读,胡乱转化的现象,增强学生应用数学知识解决实际问题的信心.作为一名处于教学一线的数学教师,只有自己拥有健康积极的情感,扎实深厚的专业功底,才有可能在数学的课堂内呈现一段段看似平常但美丽非凡的风景.。

高三一轮总复习理科数学新课标第10章-第6节

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自主落实 · 固基础
2)试验的全部结果所构成的区域为{a， b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}.
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典例探究 · 提知能
1 2 3×2－ ×2 2 2 所以所求的概率为PA)＝＝ . 3 3×2
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次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过 2分钟的概率是 3 A. 5 ) 4 B. 5 2 C. 5 1 D. 5
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【解析】试验的全部结果构成的区域长度为5，所求 2 事件的区域长度为2，故所求概率为P＝ . 5
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菜
单
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自主落实 · 固基础
变式训练2 如图10－6－2所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为 1 A. 4 1 C. 6 ) 1 B. 5 1 D. 7
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1.固基升华)判断下列结论的正误.正确的打“√”，错误的打“×”) 1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率 2)概率为0的事件一定是不可能事件 ) )
2
2
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高三新数学第一轮复习教案(讲座21)几何概型

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座21）—几何概型及随机模拟一．课标要求：1．了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义；2．通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

二．命题走向本讲内容在高考中所占比较轻，纵贯近几年的高考对概率要求降低，但本讲内容使新加内容，考试涉及的可能性较大。

预测07年高考：（1）题目类型多以选择题、填空题形式出现，；（2）本建考试的重点内容几何概型的求值问题，我们要善于将实际问题转化为概率模型处理。

三．要点精讲1．随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。

2．随机数的产生方法（1）利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；（2）在Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数。

3．几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；4．几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A 。

5．几种常见的几何概型（1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积（3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积四．典例解析题型1：线长问题例1．一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T 表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T 发生的概率。

高三数学一轮复习精品学案1：§12.3 几何概型

§12.3 几何概型考纲展示1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2.了解几何概型的意义．考点1 与长度(角度)有关的几何概型第1步回顾基础一、自读自填 1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果________； (2)等可能性：每个试验结果的发生具有________． 3．几何概型的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).提醒：求解几何概型问题注意数形结合思想的应用．二、链接教材在区间『－3,5』上随机取一个数x ，则x ∈『1,3』的概率为__________．三、易错问题几何概型的特点：等可能性；无限性．给出下列概率模型：①在区间『－5,5』上任取一个数，求取到1的概率；②在区间『－5,5』上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③在区间『－5,5』上任取一个整数，求取到大于1的数的概率；④向一个边长为5 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 与正方形ABCD 的中心的距离不超过1 cm 的概率．其中，是几何概型的有__________．(填序号) 第2步自主透练典题1 (1)在区间『0,2』上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12 ⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A.34B.23C.13D.14(2)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( ) A.16 B.13 C.23 D.45(3)如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．点石成金1.与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解． 2.与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．考点2 与体积有关的几何概型第1步师生共研典题2 如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．点石成金与体积有关的几何概型求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求. 第2步跟踪训练1.在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．2．在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V 3的概率是________．考点3与面积有关的几何概型第1步回顾基础一、链接教材(1)如图所示，圆中阴影部分的圆心角为45°，某人向圆内投镖，假设他每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为________．(2)如图所示，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω，向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估计值为__________．三、通性通法几何概型：构成事件区域的长度(面积或体积)；几何概型的概率公式．设一直角三角形的两条直角边长均是区间(0,1)上的任意实数，则斜边长小于34的概率为__________．第2步多角探明考情聚焦与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一．主要有以下几个命题角度：角度一与平面图形面积有关的问题典题3(1)如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC的内角A，B分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为()A.3＋316πB.3＋34πC.4π3＋3D.16π3＋3(2)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12角度二与线性规划交汇命题的问题典题4 (1)在区间『0,1』上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1＜p 2＜12B ．p 2＜12＜p 1 C.12＜p 2＜p 1D ．p 1＜12＜p 2(2)在区间『1,5』和『2,6』内分别取一个数，记为a 和b ，则方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a <b )表示离心率小于5的双曲线的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732 D.3132角度三与定积分交汇命题的问题典题5 如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．点石成金求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.第3步课堂归纳方法技巧判断几何概型中的几何度量形式的方法(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系．(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域．易错防范1.准确把握几何概型的“测度”是解题的关键几何概型的概率公式中的“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．2.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．——★ 参考答案 ★——考点1 与长度(角度)有关的几何概型第1步回顾基础(1)有无限多个 (2)等可能性二、链接教材『答案』14『解析』记“x ∈『1,3』”为事件A ，则由几何概型的概率计算公式可得P (A )＝3－15＋3＝14.三、易错问题『答案』①②④『解析』①在区间『－5,5』内有无限多个数，取到1这个数的概率为0，故是几何概型； ②在区间『－5,5』和『－1,1』内有无限多个数(无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的可能性都相同(等可能性)，故是几何概型；③在区间『－5,5』内的整数只有11个，不满足无限性，故不是几何概型；④在边长为5 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点(无限性)，且点P 落在这两个区域内的任何位置的可能性都相同(等可能性)，故是几何概型．第2步自主透练典题1 (1)『答案』 A『解析』不等式－1≤log 12 x ＋12≤1可化为log 12 2≤log 12 ⎝⎛⎭⎫x ＋12≤log 12 12，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式，得P ＝32－02－0＝34.(2)『答案』 C『解析』设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )>20，解得2<x <10，故所求概率P ＝10－212＝23.(3)『答案』 16『解析』如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.考点2 与体积有关的几何概型第1步师生共研典题2 『答案』 16『解析』设事件M ＝“动点在三棱锥A －A 1BD 内”， P (M )＝V 三棱锥A －A 1BD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝V 三棱锥A 1－ABDV 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝13AA 1·S △ABD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝13AA 1·12S 矩形ABCD AA 1·S 矩形ABCD ＝16.第2步跟踪训练 1.『答案』1－π12『解析』正方体的体积为2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为1－23π8＝1－π12.2．『答案』23『解析』由题意可知，V S －APC V S －ABC >13，三棱锥S －ABC 的高与三棱锥S －APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S －APC V S －ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB >13，故所求的概率为23(即为长度之比)．考点3 与面积有关的几何概型第1步回顾基础一、链接教材 (1)『答案』18『解析』所求概率为45°360°＝18.(2)『答案』ma 2n『解析』由题意知，不规则图形Ω的面积∶正方形的面积＝m ∶n ，所以不规则图形Ω的面积＝m n ×正方形的面积＝m n ×a 2＝ma 2n .三、通性通法『答案』9π64『解析』设两条直角边长分别为a ，b ，由已知可知a 2＋b 2< ⎝⎛⎭⎫342，如图所示，所以所求概率P ＝14π×⎝⎛⎭⎫3421×1＝9π64.典题3 (1)『答案』 B『解析』由正弦定理BC sin A ＝ACsin B＝2R (R 为圆的半径)⇒⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝20sin 60°，AC ＝20sin 45°⇒⎩⎨⎧BC ＝103，AC ＝10 2.那么S △ABC ＝12×103×102×sin 75°＝12×103×102×6＋24＝25(3＋3)．于是，豆子落在三角形ABC 内的概率为S △ABC 圆的面积＝253＋3102π＝3＋34π. (2)『答案』 B『解析』由图形知C (1,2)，D (－2,2)， ∴S 矩形ABCD ＝6. 又S 阴＝12×3×1＝32，∴P ＝326＝14.典题4 (1)『答案』 D『解析』如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1. 事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE ，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18＜12；事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于12，故p 2＞12，则p 1＜12＜p 2，故选D.(2)『答案』 B『解析』 ∵e 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2<5， ∴⎝⎛⎭⎫b a 2<4，∴b a<2，即a <b <2a . 作出⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤5，2≤b ≤6表示的区域如图，并作出直线b ＝2a 与b ＝a .∴S 阴＝4×4－12×3×3－12×4×2＝152，∴所求概率P ＝S 阴S 正方形＝1524×4＝1532.典题5 『答案』512『解析』 ∵S ＝⎠⎛12(4－x 2)d x ＝＝53，∴ 所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.。

高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题6.3 几何概型(原卷版)

6.3 几何概型1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝M N作为所求概率的近似值．考向一长度【例1】某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．【举一反三】1．在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．2．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log ()2x +≤1”发生的概率为_______．考向二面积【例2】（1）一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC 区域内随机爬行，则其恰在到顶点A 或顶点B 或顶点C 的距离小于1的地方的概率为________．(2)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －4≤0所表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．【举一反三】1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________．2．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________．考向三体积【例3】（1）在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．（2）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是________．【举一反三】1．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A—A1BD内的概率为______．考向四角度【例4】如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．【举一反三】1．在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于点M，则AM>AC的概率为________．1．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A B．32π-C．34π-D．3π2．最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（）A ．140B ．1121C ．1364D ．110933．已知在椭圆方程22221x y a b+=中，参数,a b 都通过随机程序在区间()0,t 上随机选取，其中0t >，则椭圆的离心率在⎫⎪⎪⎝⎭之内的概率为（）A ．12 B ．13 C ．14 D ．234．在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1x ≤的概率为（）A ．25 B ．35 C ．15 D ．235．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股(+股-勾2)4=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A ．866B ．500C ．300D ．1346．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设∠BEC =15°，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角ΔCDE 中（阴影部分）的概率是（）A ．√32B ．34C ．23D ．√227．函数()()22846f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使()00f x ≥的概率是（）A ．310B ．23C ．35D ．458．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1,2,3AB AD PC ===，若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（）A ．127πB ．427πC ．827πD ．49π9．在区间[0,2]π上随机取一个数x ，则事件“1sin 2x ≤”发生的概率为（） A ．13B ．12C ．23 D ．．3410．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（） A ．23B ．34C ．25D ．1311．若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（） A ．0.18 B ．0.32 C ．0.36 D ．0.6412．如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1πB．12πC．1142π-D．112π-13．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）.A．215πB．320πC．2115π-D．3120π-14．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为( )A BCD15．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（）A ．12B ．13C D16．如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设33DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边角形的概率是（）A ．37B C ．413D17．关于圆周率，数学发展史上出现过多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级n 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对()(),y 01,01x x y <<<<；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数n ，m 估计π的值.那么可以估计π的值约为（）A ．m nB ．n mn- C ．()4n m n- D ．4mn18．如图，矩形ABCD 满足2BC AB =，E 为BC 的中点，其中曲线为过,,A D E 三点的抛物线.随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A ．16B ．13C ．14D ．24π-19．如图所示的程序框图，满足2x y +≤的输出有序实数对(),x y 的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．3420．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．2-B ．4-C D21．如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形（阴影部分）放在圆内，现在向圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为（）A ．11π- B ．1π C ．π D ．41π-22．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础．刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据．如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据： 2.09460.8269≈）（）A ．3.1419B ．3.1417C ．3.1415D ．3.141323．在区间[]4,4-上任取一个实数a ，使得方程22123x y a a +=+-表示双曲线的概率为（） A ．18 B ．14 C ．38 D ．5824．P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（）A ．1325B ．35C ．1225πD ．35π25．一根绳子长为5米，若将其任意剪为两段，则剪成的两段绳子的长度有一段大于3米的概率为________.。

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几何概型是
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式
，
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是概率问题的几何形４面积作为如度＾ＡＢ的发生可以恰好视为取得区域内的某个指定
，
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，
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教师要相信自己的学生
，
让高三的学生誠良好的反思习惯
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在上述海域中任意
．
一
＜
求钻到油层面的概率都大于乂８的概率＾３用橡皮泥做成个直径为６ｃｍ的小球假设橡皮泥中混入了变式在正方形内点戶求使尸到各边距离都大于的概率个很小的砂粒求这个砂粒距离球心不小于ｃｍ的概率分析本题纖可以把面积作为测度只要在正方形内找到满足为起点作雜变式 ■ 条件的＿阿願聊 ‘ ９Ｃ求使得Ｚ和乙都不小于３０的概率
，，
是培养学生综合素质的大好机会
。
阅读能力
转化能力
思辨能力都
）
：
在正方形内部任意取
一
，
。
：
，
，
、
，
，
，
，
。
生数学知识的学习技能的训练能力的培养乃至数学素质的全面提ＡＢ迟原题取点的测度为乂的长度则層Ｉ７Ｔｌ高都要依赖于教师精心设计组织与实施数学课堂教学以下是我
点钻探
一
，
，

一
：
，
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。

ｌ
，
。
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，
。
。
，
。
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，

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９
，
，
、
Ｂ，＿？
提问
／／
ｎ
：
１
．
３
【
型的特征
评注
：
以上各个问题以什么为测度２几何概型的特征是什
？
．
’
设计了
ｓ好的题目
在解题过程中
，
为直径的圆上
，
课ｍ热身
１
ｉ两根相距为在
那么的木杆上系根绳子并在绳子上挂盖灯
８ｍ
一
乙ｚ尸５
为锐角或钝角
。
则
＝
在圆内还是圆外
，
这道题显然转化
。
一
，
，
求灯与两端的距离都大于
２
３ｍ
的鹏
。
、、
，
ｔ
Ｉ
＝
＝
■
，
。
变式 ⑴ 应
—
）
，
一
，
，
，
高三数学的
＿
一
堂复习课的讲解要点和心得
，
、
放飞思维
一
明确试验条件
，
权当抛砖引玉之效选取乙ＺＳＣ的度数作为测度准确选择测度
，
。
，
则
ＰＳ
（
＝
）
＾
９０
￣
＝
，

１
课例拾粹

Ｉ
高三数学复习课上
—
一
次有益尝试
准确把握几何概型的测度
陈庆有张顺军
江苏省仪征市陈集中学
髙中数学概率论的几何概型这
容
，
一
节内容
，
是新教材中新出现的内Ｐ
，
Ｗ
＝
一
一
点户求＃＜狀麵摩条射线与线段ＪＣ交
，

。
分教师对这部分内容有所忽视
但我却认为解决几何概型问题的过程
，
于点／
＞
，
求Ｊ尸
（
＜
的概率
。
的概率点Ｐ求使变式２是必不可少的分析这三个问题都是形似质异的几何概率问题都是要求数学课堂是学习数学知识启迪数学智慧的主阵地主渠道学＜ＸＳ但事件的条件不同等可能的角度不同概率当然会改变
了
，
，二二
子生云试
ｐ
．
二：＝
【
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川
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，
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、
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概率
：
：
在正方形赢＾内取
＾
ｃ广亦ｍｆ
破式训ａ
ｉｉ
＾点求使需
一
：

Ｓ
，
评注
、
：
本题延伸了上题的题干
、
，
不仅复习几何概型
’
培养子生转化能力
？
’
角度作为测度问题
，
体积这四个简单的谋前热身分别选取了长度学生对显性的几何概型较容易理解轻易解决了上述
，
、
面积
化了计算公式？
教帅引导
，
教师在讲解过程中适时变题
丄
在高考中要求学
。
相关的简单问题
近二年高考中少有出现这部分内容
，
今
对几何概型的含义有最基本的认识
，
第＾小组以至学生及部变式１
（
并能解决
：
）
：
在正方形对角线此上取过５在正方形内部任作