贝特朗概率悖论的解释

贝特朗概率悖论的解释

贝特朗概率悖论是一个著名的悖论题，与其他的集合悖论不一样，这个悖论只是我们看起来“错”而已，也并没有像集合悖论一样带来一次数学危机，正确审视它，就是让我们对“几何概型”这一概念更加地深入了解而已。

我就不废话，我们直接来看什么是贝特朗概率悖论，百度上有很多，随便一搜就到处都是题目是这样子滴：在圆中做弦MN，求使MN的长大于圆内接正三角形边长的概率。

这道题若从不同的角度看，就有几种不同的答案，百度百科里有，我就不想在这里多费口舌，希望各位先到那里去看看具体的答案，我把图片下载下来，大家可以自己看：百度百科词条解释

虽然这多种解法各有各得说法，似乎每一个都对，但是悖论毕竟是悖论，他终究是错的。概率问题一个基本的原则就是，不管从哪个角度看，答案只能有一个，否则一件事情的概率都不一致，这问题要么就是本身就有问题，要么就是条件不够。而对于贝特朗概率悖论所涉及到的问题，正是如此，因为其条件不够。

首先我们看第一种“解法”。

解法1的思路是，在于AB平行的弦中，只有与PQ交点落在MN上的，弦长才大于根号3。弦与PQ的交点肯定就是落在PQ上的，而NM=1/2PQ，所以此时概率为1/2.

这个解法其实有一个重要前提，那就是弦与PQ的交点在PQ上是均匀分布的。正正是题目中所缺乏的条件，因为圆中任意的弦，这到底怎么个做法？是像这种解法所说的，使其与PQ 交点在PQ上均匀分布么？还是使弦与圆周的交点是任意分布？如果满足后者，就不可能满足前者，满足前者，就不可能满足后者。一个比较明显的说法就是：做几条平行弦，使其在PQ上均匀分布，也就是相互之间的距离相等，我们可以看见，这些弦之间的弧长并不相等，也就是说，在PQ上均匀分布，一定不会在圆周上均匀分布。原题中没有给出这样的条件，解法1加了这么一个条件，显然就有不一样的结果了。

再看解法2.

解法2的思路是，链接OA，在OA两边做弦AM和AN，使其和AO的夹角为30°。在圆中所有的弦中，只有当B点落在弧MN上时，才满足条件，而MN的弧长占据整个弧长的1/3，所以概率为1/3

看了解法1，你就知道这个解法的原因所在了，他正是采用了在圆周上均匀分布这一条件得出的结果。

最后看解法3

解法3的思路是，在圆中任意取一点M，只有当OM<1/2的时候，以M点为位中点的弦才满足条件，故满足条件的M点只能分布于以O为圆心，半径为1/2的圆中，而该圆的面积占据大圆的1/4，故概率为1/4.

学夫子自己的看法来说，这种解法最牵强，他将弦的分布划归为其中点在圆中的分布，认为“一个中点M只对应于一条弦”，显然这是错误的，因为圆心O所对应的弦有无数条，而对于非圆心的点M，以M为中点的弦只有一条。所以这本身就不是等可能的，这种解法就是错误，他就跟前两种解法不一样，加上条件就是对的，这种解法无论加什么条件都是错的，因为不是条件缺与不缺的问题，而是犯了概率论中最基本的前提错误——等可能分布。

不过网络上更倾向于第二种方法的答案作为这道题的“标准答案”，因为任意给一条弦，他应该由圆周上的两点决定。

文章来源：学夫子数学博客

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