浙江省桐乡市高级中学2012届高三10月月考试题数学试题文科

浙江省桐乡市高级中学2012届高三10月月考试题
数学试题文科）
一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的） 1．已知i 是虚数单位,
=-+i
i
21
（ ）
A ．
i 5151+
B ．i 5
351+
C ．i 5
153+
D ．i 5
353-
2．已知集},,2|{R y R x x y x P ∈∈+==,},,4|{22R y R x y x y Q ∈∈=+=,则=
Q P （ ）
A ．φ
B ．)}3,1(),0,2{(-
C ．P
D ．Q
3．已知函数⎩⎨⎧><=,
0,ln ,0,)(x x x e x f x 则)]1
([e f f =
（ ）
A ．
e
1
B ．e
C ．e
1
-
D ．e - 4．等差数列}{n a 中,若1201210864=++++a a a a a ,则15S 的值为
（ ） A ．180
B ．240
C ．360
D ．720
5．已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-+≤-+01033032y y x y x ,若目标函数
y x z +=2的最大值是（ ）
A ．6
B ．3
C ．
2
3
D ．1 6．设n m ,是两条不同的直线,β,a 是两个不同的平面,下列命题
正确的（ ）
A ．若,//,,βαn m n m ⊥⊥则βα//
B ．若,//,//,//βαβαn m 则n m //
C ．若,//,//,//βαn m n m 则βα//
D ．若,//,//,βαβαn m ⊥则n m ⊥
7．某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的S 的值为
A ．1
B ．1
2
C ．14
D ．18
8．对于任意实数x ,<x >表示不小于x 的最小整数，例如<1．1>=2,<-1．1>=-1,那么"
1||"<-y x 是"">>=<<y x （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为21,F F ,过焦点1F 的倾斜角为 30直线交椭圆
于A ,B 两点,弦长8=AB ,若三角形ABF 2的内切圆的面积为π,则椭圆的离心率为 （ ）
A ．
2
2
B ．
63 C ．2
1
D ．33 10．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且0≤x 时,⎪⎩⎪⎨⎧≤<---≤=+0
1),1(1
,)1()(2
x x f x e x f x ．若a
x x f +≥)(对于任意的R x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是
（ ） A ．]21
,(--∞e B ．]2,(--∞
C ．]11
,(--∞e
D ．]1,(--∞
二、填空题（本大题共7小题,每小题4分,共28分） 11．已知,01)sin(2=+-x π则=x 2cos _____ _____．
12．若实数y x ,满足1322=++xy y x ,则xy 的最大值是_____ ____． 13．已知某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸（单位:cm ）,
可得这个几何体的体积是_____ ___ cm 3． 14．已知平面向量b ,且,1||=a ,2||=b )(b a a -⊥,则=+|2|___ ___． 15．在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是c b a ,,,73tan =C ,
4
7
15=
∆ABC S , 9=+b a ,则=c ______ _____． 16．不等式)1(||+≥x a x 对任意的实数x 都成立,则实数a 的取值范围是______ ______．
17．设)0(252
sin )(,12)(2>-+=+=
a a x
a x g x x x f π,若对于任意]1,0[1∈x ,总存在]1,0[0∈x ,使得)()(10x f x g =成立,则a 的取值范围为_____ _____．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）设向量),sin cos 3(),1,(cos m x x x ωωω+==，函数x f ⋅=)(
（其
中R m ∈>,0ω）．且)(x f 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是6
π
．
（Ⅰ）求ω的值和)(x f 单调增区间；
（Ⅱ）如果)(x f 在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-32,6ππ上的最小值为3,求m 的值． 19．（本题满分14分）已知2
14)(x
x f +
-=,点)1
,(1+-n n n a a P 在曲线)(x f y =上)(*N n ∈且.0,11>=n a a （Ⅰ）求证:数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧21n a 为等差数列,并求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列}{2
12+⋅n n a a 的前n 项和为n S ,若对于任意的*N n ∈,存在正整数t ,使得
2
1
2-
-<t t S n 恒成立,求最小正整数t 的值． 20．（本题满分14分）如图,在四棱锥E-ABCD 中,底面ABCD 为正方形, AE ⊥平面CDE ,已知
AE =3,DE =4．
（Ⅰ）若F 为DE 的中点,求证:BE //平面ACF ； （Ⅱ）求直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值．
21．（本题满分15分）已知函数.ln )(2x a x x f += （Ⅰ）当2-=a 时,求函数)(x f 的单调区间; （Ⅱ）若x
x f x g 2
)()(+=在),1[+∞是单调函数,求实数a 的取值范围．
A F
E D
C B G
22．（本题满分15分）已知抛物线C 的顶点在原点,焦点在y 轴正半轴上,点)4,(m P 到其准线的距离等于5．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程;
（Ⅱ）如图,过抛物线C 的焦点的直线从左到右依次与抛物线C 及圆1)1(22=-+y x 交于A 、C 、D 、B 四点,试证明||||BD AC ⋅为定值;
（Ⅲ）过A 、B 分别作抛物C 的切线21,l l 且21,l l 交于点M ,求ACM ∆与BDM ∆面积之和的最小值．
参考答案
一、选择题（每小题5分，共50分）
题号
1 2 3 4 5
6
7
8
9
10
答案
B D A
C A
D C B C D
二、填空题（每小题4分，共28分） （11）
21 （12）51 （13） 43
5+π （14）21 （15）6 （16）]0,1[- （17） ]4,2
5
[
三、解答题（共72分） （18）（本题满分14分）本题主要考查平面向量数量积运算、三角变换和三角函数的性质，
同时考查运算求解能力。

解: （Ⅰ） 因为m x m x x x x f ++
+=++=⋅=2
3
)3
2sin(sin cos cos 3)(2π
ωωωω…3分 又因为)(x f 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是6
π
,
故2362π
ππω=
+
⨯
,即2
1
=
ω.......................................．．........................． (2)
m x x f +++=23)3sin()(π,故)(x f 的单调增区间是.],62,652[Z k k k ∈+-π
πππ…．
．．2分 （Ⅱ） 因为326ππ≤≤-x ,得到 ππ
π≤+≤3
6x ,
所以1)3sin(0≤+≤π
x ,………………………………………………………．………．…．3分 所以323)(min
=+=m x f ,……．…．．3分，所以2
3=m ．…………………．．………．1分 （19）（本题满分14分）本题主要考查等差数列概念、等差数列通项公式、数列求和、不等
式等基础知识，同时考查学生的运算求解能力和分析问题解决问题的能力。

解: （Ⅰ） 2
1
141n
n a a +
-=-
+ ,411221=-∴+n n a a ………………………………………．．…．．2分 所以}1
{
2n
a 是以1为首项,4为公差的等差数列．………………………………………．……．2分 341
2-=∴
n a n
,0>n a ,3
41
-=∴n a n ……………………………………………………3分 （Ⅱ） )1
41
341(41)14)(34(1212+--=+-=
⋅=+n n n n a a b n n n (2)
4
1
)1411(41)1413419151511(4121<+-=+--++-+-=+++=∴n n n b b b S n n (2)
对于任意的*N n ∈使得212--<t t S n 恒成立,所以只要2
1
412--≤t t ,…………………2分
2
3
≥∴t 或21-≤t ,所以存在最小的正整数2=t 符合题意……………………．
．…………． 1分 （20）（本题满分14分） 本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知
A
B
G
识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。

解:（Ⅰ）设AC 与BD 相交于G ,连结GF ． 正方形ABCD ,GD BG =∴,又DF EF = , BE GF //,………………………………………2分 ⊂GF 平面ACF ,⊄BE 平面ACF ,
//BE ∴平面ACF ………………………………3分
（Ⅱ）解法一:过E 点作EH ⊥AD ,垂足为H ,连结BH ………．1分 ⊥AE 平面CDE ,CD AE ⊥∴,又AD CD ⊥ ,A AD AE = ,
⊥∴CD 平面ADE ,EH CD ⊥∴,D AD CD = ,⊥∴EH 平面ABCD,
所以EBH ∠是直线BE 与平面ABCD 所成的角……………………………………………．4分 Rt ADE ∆中,AE =3,DE =4,5
12
,5=
=∴EH AD ．34,,//=∴⊥∴BE AE AB CD AB , .85346sin ==∠∴BE HE EBH 所以直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值为.85
34
6．．．．．．．．．．4
分
解法二:⊥AE 平面CDE ,CD AE ⊥∴,又AD CD ⊥ ,A AD AE = , ⊥∴CD 平面
ADE ,
DE CD ⊥∴,34,,//=∴⊥∴BE AE AB CD AB , ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．4分
Rt ADE ∆中,AE =3,DE =4,,5=∴AD ADC E CDE A V V --= ,即h S AE S ADC CDE ⋅=⋅∆∆31
3
1
,5
12=
∴h 设直线BE 与平面ABCD 所成角为θ,.85
346sin ==∴BE h θ 所
以
直
线
BE
与
平
面
ABCD
所
成角的正弦值为
.8534
6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （21）（本题满分15分） 本题主要考查导数的应用、函数的基本性质、不等式恒成立问题
等基础知识，以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．
解:（Ⅰ） 当2-=a 时,),0(,ln 2)(2+∞∈-=x x x x f ,
,2
222)('2x
x x x x f -=-=∴…………………………………………………………．．…．．．2分,
当10<<x 时,0)('<x f ,所以)(x f 的减区间是)1,0(.................................．．.........2分 当1>x 时,0)('>x f ,所以)(x f 的减区间是),1(+∞ (2)
（Ⅱ） x
x a x x g 2
ln )(2
++=,),1[+∞∈x ．2322222)('x ax x x x a x x g -+=-+=…………．．…．2
分
①若)(x g 在),1[+∞是单调减函数,则0)('≤x g 在),1[+∞上恒成立,不可能,故)(x g 不可能在
),1[+∞是单调减函数;……………………………………………………………………．……2分 ②若)(x g 在),1[+∞上是单调增函数,即0)('≥x g 在),1[+∞上恒成立, 所以0223≥-+ax x 在),1[+∞上恒成立,即x
x a 2
22+
-≥在),1[+∞上恒成立,
令x
x x h 2
2)(2+
-=,因为)(x h 在),1[+∞上单调减函数,0)1()(max ==∴h x h ,0≥∴a ………．4分 所以a 的取值范围是0≥a ……………………………………………………………………．．1分
（22）本题主要考查抛物线的定义和几何性质,直线与抛物线的位置关系,直线与圆的位置关
系,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
解: （Ⅰ）设抛物线方程为)0(22>=p py x ,由题意得:
52
4=+
p
,2=∴p , 所以抛物线C 的方程为y x 42=…4分
（Ⅱ） 解法一:抛物线焦点与1)1(22=-+y x 的圆心重合即为E
（0,1）,
设过抛物线焦点的直线方程为1+=kx y ,),(),,(2211y x B y x A ,
⎩⎨
⎧+==1
42kx y y
x ,0442=--∴kx x ,得到4,42121-==+x x k x x ,…………………………．2分 由抛物线的定义可知1||1+=y AE ,1||2+=y BE ,
==--=⋅∴21)1|)(|1|(|||||y y BE AE BD AC 116
22
21=x x ．即||||BD AC ⋅为定值1………．．3分 （Ⅲ）241x y = ,所以x y 2
1
'=,
所以切线AM 的方程为)(2141121x x x x y -=-
,切线BM 的方程为)(2
14222
2x x x x y -=-, 解得)4
,2(2
121x x x x M +即)1,2(-k M (2)
所以点M 到直线AB 的距离为2
21|22|k
k d ++=
．
设=++⋅+=+=+=∆∆222112
2)(21|)||(|21k
k y y d BD AC S S y BDM
ACM
1)24(11]2)([222
221++=++⋅
++=k k k k x x k …………………………………．
．…………．2分 令),1[12+∞∈=+t k ,所以t t y 243-=,0212'2>-=∴t y ,
所以t t y 243-=在),1[+∞上是增函数,当1=t ,即0=k 时,2min =y ,即ACM ∆与BDM ∆面积
之和的最小值为2………………………………………………………………………………2分
（Ⅱ）解法二:设过抛物线焦点的直线方程为1+=kx y ,),(),,(2211y x B y x A ,不妨设
0,021><x x ．
⎩⎨
⎧+==1
42kx y y
x ,0442=--∴kx x ,得到4,42121-==+x x k x x ,…………………………．2分 12121||1||x k x k AE ⋅+-=+=∴,22221||1||x k x k BE ⋅+=+=,
1)(1)1()11)(11(||||2122122212+-+++-=-⋅+-⋅+-=⋅∴x x k x x k x k x k BD AC
1116161)1(4222=++⋅+++=k k k ,即||||BD AC ⋅为定值……………．
．………．．3分 （Ⅲ）241x y = ,所以x y 2
1
'=,所以切线AM 的方程为)(2141121x x x x y -=-, 切线BM 的方程为)(2142222x x x x y -=-,解得)4
,2(2
121x x x x M +即)1,2(-k M ………．2分 所以点M 到直线AB 的距离为2
21|22|k
k d ++=
．
设2222
12122)1111(21|)||(|21k
k x k x k d BD AC S S y BDM
ACM ++⋅
-⋅++-⋅+-=+=+=∆∆ 1]2)1(4[11]2)(1[222
2122
+⋅-+=++⋅
--+=k k k k x x k (2)
令),1[12+∞∈=+t k ,所以t t y 243-=,0212'2>-=∴t y ,
所以t t y 243-=在),1[+∞上是增函数,当1=t ,即0=k 时,2min =y ,即ACM ∆与BDM ∆面积
之和的最小值为2………………………………………………………………………………2分。