算法期末总结

一、时间复杂度：

InsertionSort的运行时间是Ω(n)

排序问题的比较次数为Ω(nlog n)

SelectionSort算法和BottomUpSort算法可分别使用Θ(n2)和Θ(nlog2n)描述

任何基于比较的排序算法，可以证明它的运行时间必定是Ω(nlog n)

◆通常把时间复杂性为O(nlog n)的基于比较的排序算法，称为该问题的最优算法。

◆根据这一定义，算法BottomUpSort是该问题的最优算法

二、空间复杂度

算法LinearSearch空间复杂性为Θ(1)

算法Merge空间复杂性为Θ(n)

三、基本的符号（O类似于≤、Ω类似于≥、Θ类似于= 、o类似于<）

O符号提供了一个运行时间的上界

Ω符号在运行时间的一个常数因子内提供一个下界。

Θ符号给出算法运行时间增长率的一个精确描述。

Ω符号定义的一个重要推论：f(n)= Ω(g(n))，当且仅当g(n)=O(f(n))

Θ符号定义的一个重要推论：f(n)= Θ(g(n))当且仅当f(n)=O(g(n))并且g(n)=O(f(n))

任一常数函数是O(1)、Ω(1)、Θ(1)

一个（二叉）堆是一棵几乎完全的二叉树，它的每个结点都满足堆的特性：设v是一个结点，p(v)是v的父结点，那么存储在p(v)中的数据项键值大于或等于存储在v中的数据项键值。堆的蕴含特性：

沿着每条从根到叶子的路径，元素的键值以降序（或称非升序）排列。

◆T的根结点存储在H[1]中；

◆设T的结点存储在H[j]中，如果它有左子结点，则这个左子结点存储在H[2j]

中；如果它还有右子结点，这个右子结点存储在H[2j+1]；

◆若元素H[j]不是根结点，它的父结点存储在H[⎣j/2⎦]中。

由“几乎完全二叉树” 的定义可知，如果堆中某结点有右子结点，则它一定也有左子结点。

堆具有如下性质：

key(H[⎣j/2⎦])≥key(H[j]) 2≤j≤n

创建堆

①方法一

给出有n个元素的数组A[1..n]，要创建一个包含这些元素的堆可以这样进行：

首先假设堆由1个元素构成，然后将第2个、第3个元素插入堆，直至n个。

②方法二

设数组A有n=10个元素，构造它的几乎完全二叉树T。

构造一个n元素的堆，算法MakeHeap需要Θ(n)时间和Θ(1)空间

算法HeapSort对n个元素排序，需要用O(nlog2n)时间和Θ(1)空间

最大堆：最大键值元素存放在根结点。

最小堆：最小键值元素存放在根结点

由于堆树的高度为⎣log2n⎦，所以删除一个元素所需的时间为O(log2n)。

堆排序不稳定。

用根树来表示每个集合，集合中的元素存储在节点中，树中除根节点外的每个元素X都有一个指向父节点P（X）的指针。根有一个空指针，用做集合的名字或集合的代表。这样产

生了森林，其中每一棵树对应于一个集合。

㈡不相交集数据结构

①将用于命名子集的元素视为根，其余元素视为其后代，每个子集可用一棵根树来表示，这样便形成了森林。

②除根结点外，每个结点都有一个指针指向父结点。根结点用作集合的名字。根结点的指针值为0，表示不指向任何结点。

③森林可方便地用数组A[1..n]，A[j]是j的父结点，A[j]=0表示j是根结点。

④对于任一元素x，用root(x)表示包含x的树的根，例root(6)=3。

归纳法也叫尾递归，指算法一般只调用一次递归。

基数排序法时间复杂性Θ(n)

空间复杂性

◆若采用数组，除需大小为n*10的二维数组外，还需记录表Li中的元素个数的数组

Len[0..9]，故算法需10n+10个存储单元，空间复杂性可用Θ(n)表示。

◆若采用链表，仅需准备10个空表，无需额外的存储空间，故算法空间复杂性为Θ(1)。说明：

基于比较的排序算法的时间复杂性为Ω(nlog2n)，而基数排序法的时间复杂性为Θ(n)，基数排序法不是采用比较方法来实现的。

1. for j←1 to k

2. 准备10个空链表L0,L1,...,L9

3. while L非空

4. a←L中的第一个元素:从L删除该元素

5. i←a中第j位数字: 将a加入Li

6. end while

7. L←L0

8. for i←1 to 9

9. L←L,Li //将表Li添加到表L的尾部

10. end for

11. end for

12. return L

四、整数幂整数幂的递归和非递归算法，这种方法仅需Θ(log2n)次乘法。

（二）递归算法

算法5.4 ExpRec(Page 93-94)

输入：实数x和非负整数n

输出：xn

1. PowerRec(2,5)

过程

0. procedure PowerRec(x,n)

1. if n=0 then y←1

2. else

3. y←PowerRec(x, ⎣n/2⎦ )

4. y←y*y

5. if n是奇数then y←xy

6. end if

7. return y

8. end procedure

㈢非递归算法A

算法5.5_1 Exp (Page 94)

输入：实数x和非负整数n

输出：xn

1. PowerA(2,10) //PowerA(2,1010)

过程

0. procedure PowerA(x,n)

1. y←1

2. 将n用二进制数dkdk-1...d1 表示

3. for j←k downto 1

4. y←y*y

5. if dj=1 then y←xy

6. end for

7. return y

8. end procedure

五、多项式求值（Horner规则）

算法5.6 Hormer(Page 95)

输入：a n , a n-1 ,..., a0和x

输出：Pn(x) = a n x n+a n-1x n-1+...+a2x2+a1x+a0

1. p←an

2. for j←1 to n

3. p←xp+a n-j

4. end for

5. return p

六、生成排列运行时间

算法5.7 Permutations1（Page95-96）

输入：正整数n

输出：数1,2, …,n的所有可能排列

1. for j←1 to n //置初值

2. P[j]←j

3. end for

4. perm1(1) //调用过程

过程perm1(m)

0. procedure perm1(m)

1. if m=n then output P[1..n]

2. else

3. for j←m to n

4. 互换P[j]和P[m] //在调用前交换

5. perm1(m+1) //调用过程（n-m个数在P[m+1..n]中）

6. 互换P[j]和P[m] //在调用后恢复原状态

7. end for

8. end if

9. end procedure