高中数学数列知识点总结

数列

一、数列的概念

1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数称为该数列的项，记作a n 。排在第一位的项叫第一项（或首项），排在第二位的项叫第二项......，排在第n 位的项叫第n 项。

数列的一般形式：a 1，a 2，a 3，.....，a n ，....简记为{}n a 。

注意：⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”。因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列。

⑵在数列中同一个数可以重复出现。

⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念。

⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列。

例：判断下列各组元素能否构成数列

（1）a ，-3，-1, 1，b ，5,7,9

（2）2010年各省参加高考的考生人数。

2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.

例：（1）1,2,3,4,5，...

（2）1，21，31，41，5

1,... 注意：（1）｛a n ｝表示数列，a n 表示数列中的第n 项，)(n f a n =表示数列的通项公式。

（2）同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，例如：

（3）不是每一个数列都有通项公式。例如：1, 1.4, 1.41, 1.414,.....

3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或

),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.

例：a 1=1，a n =2a n-1+1(n>1)

a 2=2a 1+1=3

a 3=2a 2+1=7

4.数列的前n 项和S n 与通项a n 的公式

①n n a a a S +++= 21； ②.⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n

例：已知数列｛a n }的前n 项和S n =2n 2+3，求数列｛a n }的通项公式。

例：已知数列｛a n }的前n 项和S n =n 2，则a 8的值为 15

5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法。

6. 数列的分类：（1）按数列项数是有限还是无限分：有穷数列，无穷数列；

（2）按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列，递减数列），摆动数列，常数数列。

例：（1）1,2,3,4,5,6，..... (2)10,9,8,7,6，.....

(3)1,0,1,0,1,0，..... (4)a ，a ，a ，a ，a ，...... 练习：

1、已知a n =3n 2

-28n ，则在数列{}n a 的最小项为第5项

2、数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，实数λ的取值范围（-3，+∞）

3、数列{}n a 的前n 项和S n =n 2-4n+1，则通项公式为.

二、 等差数列

1、等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差（用字母d 表示）。即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+)。

例：等差数列a n =2n-1，a n -a n-1=2

2、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。公式变形为:b an a n +=. 其中a=d, b= a 1－d.

变式：a 1=a n －(n －1)d

d=

1

1--n a a n d=m n a a m n -- 特征：a n=dn+(a 1-d)，即a n =kn+m(k ，m 为常数)，是数列成等差数列的充要条件。

例：等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a =210n +.

例：等差数列{}n a 中，a 3+a 8=22，a 6=7，则a 5= 15 .

例：{}n a 是首项1a =1，公差d=3的等差数列，如果a n =2005，则n= 669 .

3、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2

a b A +=，a ，A ，b 成等差数列是2A=a+b 的充要条件，即212+++=n n n a a a ，

m n m n n a a a +-+=2 例：{}n a 是公差为正数的等差数列，若15321=++a a a ，80321=a a a ，则=++131211a a a 105

例：等差数列{}n a 中，12012864=+++a a a a ，则1193

1a a -的值为 16 例：等差数列{}n a 中，1291,0S S a =>，则前 10或11 项的和最大。

4、 等差数列的前n 项和n S ：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。 公式变形为：n d a n d S n )2

(212-+= 即Bn An S n +=2，其中2d A =

，B=21d a -. 例:如果等差数列{}n a 中，12543=++a a a ，那么=++++7321...a a a a 28

例：数列{}n a 中，*11(2,)2

n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝ -3 ，n ＝ 10 .

例：设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知11,362==a a ，则=7S 49 . 注意：（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、