初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题01 二次根式的化简与求值-精编

专题01 二次根式的化简与求值

阅读与思考

二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.

有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：

1、直接代入

直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入

适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.

数学思想：

数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.

=x , y , n 都是正整数）

例题与求解

【例1】 当12

x +=

时，代数式32003

(420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003

2-

（绍兴市竞赛试题）

【例2】 化简

（1(b

a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题）

（2

（五城市联赛试题）

（3

（北京市竞赛试题）

（4

（陕西省竞赛试题）

解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.

思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.

【例3】比6大的最小整数是多少？

（西安交大少年班入学试题）

解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y

==

想一想：设x=求

432

32

621823

7515

x x x x

x x x

--++

-++

的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）

的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.

【例4】 设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.

（“宗泸杯”竞赛试题）

解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.

【例5】 （1的最小值.

（2的最小值.

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：对于（1）的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），

设y =，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.

方法精髓：

解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.

【例6】 设2)m a =≤≤，

求10987

47m m m m m +++++-的

值.

解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.

能力训练

A级

1.

化简：

7

()

3

“希望杯”邀请赛试题）

2.

若x y x y

+=-=，则xy＝_____(北京市竞赛试题)

3.

+（“希望杯”邀请赛试题）

4.若满足0＜x＜y

=x，y）是_______（上海市竞赛试题）

5.

2x－3，则x的取值范围是（）A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞0

6）

A．1B C. D. 5

（全国初中数学联赛试题）

7．a，b，c为有理数，且等式a+=成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）A．1999 B. 2000 C. 2001D. 不能确定

（全国初中数学联赛试题）

8、有下列三个命题

甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ

+-是无理数；

乙：若α，β是不相等的无理数，则αβ

αβ

-

+

是无理数；

丙：若α，β

其中正确命题的个数是（）

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

（全国初中数学联赛试题）9、化简：

（1（2

（3

（4 （天津市竞赛试题）

（5 （“希望杯”邀请赛试题）

10、设x =

(1)(2)(3)(4)x x x x ++++的值. （“希望杯”邀请赛试题）

117x =，求x 的值.

12、设x x =

=

（n 为自然数），当n 为何值，代数式22

1912319x xy y ++的 值为1985？

B 级

1.已知3312________________

x y x xy y =

=++=则. (四川省竞赛试题)

2.已知实数x ，y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--＝＿

＿＿＿（全国初中数学联赛试题）

3.已知42

4______31

x x x ==++2

x 那么. （重庆市竞赛试题）

4.a =

那么

23

331

a a a ++＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题）

5. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=

++则a ＋b ＝（ ）

A .2

B . 4

C . 6

D . 8

(全国初中数学联赛试题)

6． 已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）

.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b

(全国初中数学联赛试题)

7.

=

） A . 1a a -

B .

1a a - C . 1

a a

+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则

等于（ ）

A .1

B .2

C .3

D . 4

（陕西省竞赛试题）

9． 把(1)a - ）