考前过关训练(一)

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考前过关训练(一)
常用逻辑用语
(30分钟50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2016·三明高二检测)命题:“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是( )
A.若x2≥1,则x≥1或x≤-1
B.若-1<x<1,则x2<1
C.若x>1或x<-1,则x2>1
D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1
【解析】选D.x2<1的否定为x2≥1;-1<x<1的否定为x≥1或x≤-1,故原命题的逆否命题为若x≥1或x≤-1,则x2≥1.
2.(2016·长沙高二检测)命题p:∀x>0,e x>1,则p是( )
A.∃x0≤0,≤1
B.∃x0>0,≤1
C.∀x>0,e x≤1
D.∀x≤0,e x≤1
【解析】选A.p是∃x 0>0,≤1.
3.命题p:x>2是x2>4的充要条件;命题q:若>,则a>b,则( )
A.“p∨q”为真
B.“p∧q”为真
C.p真q假
D.p,q均为假
【解析】选A.命题p:x>2是x2>4的充要条件是假命题;命题q:“若>,则a>b”是真命题,所以“p∨q”为真.
4.(2016·茂名高二检测)“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0<b<1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.若“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”,则圆心到直线的距离为d=<1,即<,不能推出0<b<1;
反过来,若0<b<1,则圆心到直线的距离为d=<<1,所以直线y=x+b与圆x2+y2=1相交.
【补偿训练】设向量a=(1,x),b=(2,1-x),则“x=-1”是“a⊥b”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由a⊥b可得:x+2=0⇒x=2或x=-1,所以“x=-1”是“a⊥b”的充分而不必要条件.
5.下列命题中的真命题是( )
A.∃x0∈R,使得sinx0cosx0=
B.∃x0∈(-∞,0),>1
C.∀x∈R,x2>x-1
D.∀x∈(0,π),sinx>cosx
【解析】选C.由sinx0cosx0=,得sin2x0=>1,故A错误;结合指数函数和三角函数的图象,可知B,D错误;
因为x2-x+1=+>0恒成立,所以C正确.
6.(2016·安康高二检测)“直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )
A.-1<k<3
B.-1≤k≤3
C.0<k<3
D.k<-1或k>3
【解析】选C.“直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点”等价于<,
也就是k∈(-1,3).四个选项中只有(0,3)是(-1,3)的真子集,故充分不必要条件可以是0<k<3.
【补偿训练】已知命题p:在△ABC中,“C>B”是“sinC>sinB”的充分不必要
条件;命题q:“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件,则下列选项中正确的
是( )
A.p真q假
B.p假q真
C.“p∨q”为假
D.“p∧q”为真
【解析】选C.在△ABC中,设角C与角B所对应的边分别为c,b,由C>B,知c>b,由正弦定理=可得sinC>sinB,当sinC>sinB时,易证C>B,故“C>B”是“sinC>sinB”的充要条件.当c=0时,由a>b得ac2=bc2,由ac2>bc2易证a>b,故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件,即命题p是假命题,命题q也是假命题,所以“p∨q”为假.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.在下列结论中,
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件;
②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件;
③“p∨q”为真是“p”为假的必要不充分条件;
④“p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件.
正确的是.
【解析】①“p∧q”为真是同时为真,可得到“p∨q”为真,反之不成立;②“p∧q”为假说明至少一个为假,此时“p∨q”可真可假;③中当“p”为假时可得到“p∨q”为真,所以“p∨q”为真是“p”为假的必要不充分条件;④“p”为真可得“p∧q”为假.
答案:①③
8.(2016·嘉峪关模拟)已知命题p:不等式|x-1|>m的解集是R,命题q:f(x)=在区间(0,+∞)上是减函数,若命题“p或q”为真,命题“p且q”为假,则实数m的
范围是.
【解析】因为不等式|x-1|>m的解集是R,
所以m<0,即p:m<0.
若f(x)=在区间(0,+∞)上是减函数,
则2-m>0,即m<2,即q:m<2.
若p或q为真命题,p且q为假命题,则p,q一真一假.
若p真,q假,则此时m无解,若p假,q真,
则解得0≤m<2.综上:0≤m<2.
答案:0≤m<2
【补偿训练】设p:方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;q:方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根.则使p∨q为真,p∧q为假的实数m的取值范围是.
【解析】设方程x2+2mx+1=0的两根分别为x1,x2,由得m<-1,
所以p:m<-1;
由方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,可得Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0,知-2<m<3,所以q:-2<m<3.
由p∨q为真,p∧q为假,可知命题p,q一真一假,
当p真q假时,此时m≤-2;
当p假q真时,此时-1≤m<3,
所以m的取值范围是m≤-2或-1≤m<3.
答案:(-∞,-2]∪[-1,3)
9.下列结论:
①若命题p:∃x 0∈R,tanx0=2;命题q:∀x∈R,x2-x+>0.则命题“p∧(q)”是假命
题;
②已知直线l1:ax+3y-1=0, l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;
③“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为:“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”.
其中正确结论的序号为.(把你认为正确结论的序号都填上).
【解析】在①中,命题p是真命题,命题q也是真命题,故“p∧(q)”是假命题是正确的.在②中l1⊥l2⇔a+3b=0,所以②不正确.在③中“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为:“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”,正确.
答案:①③
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2016·湛江高二检测)已知a,b,c,d均为实数,且2bd-c-a=0.
命题p:关于x的方程ax2+2bx+1=0有实根;
命题q:关于x的方程cx2+2dx+1=0有实根;
证明:“p或q”为真命题.
【证明】由ax2+2bx+1=0得Δ1=4b2-4a,
由cx2+2dx+1=0得Δ2=4d2-4c,
又因为2bd-c-a=0,所以a+c=2bd,
所以Δ1+Δ2=4[b2+d2-(a+c)]
=4(b2+d2-2bd)
=4(b-d)2≥0,
即Δ1,Δ2中至少有一个大于或等于0,
所以两方程至少有一个有实根,即“p或q”为真命题.
11.(2016·临汾高二检测)已知c>0,设命题p:函数y=c x在R上为减函数,命题q:当x∈时,函数f=x+>恒成立.如果“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求c的取值范围.
【解题指南】根据指数函数的图象和性质可求出命题p为真命题时,c的取值范围;
根据对勾函数的图象和性质,结合函数恒成立问题的解答思路,可求出命题q为真命题时,c的取值范围,进而根据“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,可知p 和q一真一假,分类讨论后,综合讨论结果,即可求出答案.
【解析】因为c>0,所以如果命题p:函数y=c x在R上为减函数,是真命题,那么0<c<1.
如果命题q:当x∈,函数f=x+>恒成立是真命题,
又因为函数f=x+≥2,
当且仅当x=时,即x=1时,函数f(x)=2,
所以当x∈,函数f(x)∈>,所以<2,即c>.
又因为p或q为真命题,p且q为假命题,所以p或q一个为真命题一个为假命题. 如果p为真命题q为假命题,那么0<c<1且c≤,所以0<c≤;
如果p为假命题q为真命题,那么c≤0或c≥1且c>,所以c≥1.
综上所述,c的取值范围为0<c≤或c≥1.
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