数字信号处理程佩青第三版课件第三章离散付氏变换

e N
10
一般性的周期为N的周期性序列的傅里叶变换
~x (n)
x(n
iN )
x(n)
(n
iN )
i
i
x(n) X (e j )
(n
iN )
2
(
2
k)
i
N k
N
~x (n) X (e j ) 2
(
2
k )
N k
N
2
j 2 k
X (e N ) (
2
k)
N k
N
2
X~ (k) ( 2
k)
N k
6
解：方法1 整理x(n)有(N=12)：
~
x(n)
1
j 2π n
e 12
1
j 2π n
e 12
1
j 2
e 12
n
1
e
j 2
12
(11) n
2
2
2
2
与DFS定义对比知：在 k 112r 和 k 11 12r 时：
~
~
X (k ) N / 2 6, 其他 X (k ) 0。
方法2 由定义式直接计算，得
3
§3.2 傅里叶变换的几种可能形式
FT
X a ( j)
xa
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(t
)e
jt
dt
xa
(t)
1
2
X
a
(
j)e
jt
d
4
FS
X
(
jk0
)
1 T
T/ T
2 /2
~xa
(t
)
e jk 0t
dt
X
a
( j) T
|k0
~xa (t)
X ( jk0 ) e jk 0t
k
时域周期化，频域离散化 5
X (0) 60 X (1) 9 j3 3 X (2) 3 j 3
X (3) 0 X (4) 3 j 3 X (5) 9 j3 3 16
例：已知序列x(n) R4 (n), 将x(n)以N 8为周期 进行周期延拓成x(n)，求x(n)的DFS。
解法一：数值解
N 1
X (k ) x(n)WNnk
N
X~ (k ) X (e j ) 2 k N 1 ~x (n)e jn 2 k
N
n0
N
11
X k 与z变换的关系：
令x
n
x
n
0
0 n N 1 其它n
N 1
对x n作z变换: X z x n zn x n zn
n
n0
N 1
X
k
x n WN nk X
解法二：公式解
X
k
DFS
x
n
N
1
x(n)e
j
2 N
kn
7
xn
n0
j k
n0
e e j 2 kn 8
3 j kn 4
n0
j k
j k
j k4
1
e
4 j
k
1e 4
e 2 e 2 e 2
j k j k
j k
e 8 e 8 e 8
e
j 3 k 8
第三章 离散傅里叶变换
1
主要内容
离散傅里叶级数（DFS） 离散傅里叶变换（DFT） 抽样z变换——频域抽样理论
2
§3.1 引言
傅里叶变换的几种形式： 时间函数 频率函数
❖连续时间、连续频率—傅里叶变换 ❖连续时间、离散频率—傅里叶级数 ❖离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 ❖离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
n0
7
3
x(n)W8nk W8nk
n0
n0
j 2 k
j 2 2k
j 2 3k
1 e 8 e 8 e 8
X (0) 4 X (1) 1 j 2 1 X (2) 0
X (3) 1 j 2 1
X (4) 0 X (5) 1 j 2 1 X (6) 0 X (7) 1 j 2 1 17
2
2 j 2 ( k 1)
j 2 ( k 11)
1 e 12
1 e 12
6, k 1 12r
6,
k
11
12r
0, 其它的k
~
x(n) cos n
6
N=12
6, k 112r
X~(k) 6,
k
11
12r
0, 其它的k
6
-2 -1 0 1 2
11 12
n
-2 -1 0 1 2
~
X (k)
11
[1
e
j 2 12
n
e
j 2 12
kn
1
e
j 2 12
n
e
j 2 12
kn
]
n0 2
2
14
X~ (k) 1
11
j 2 ( k 1)n
e 12
1
11
j 2 ( k 11)n
e 12
2 n0
2 n0
j 2 ( k 1)12
j 2 ( k 11)12
1 1 e 12
1 1 e 12
n0
z
z
WN
k
e
j
2 N
k
X k 可看作是对 xn 的一个周
期 xn 做z变换然后将z变换在z
平面单位圆上按等间隔角 2
抽样得到
N
jIm
2
3
1
4
5 6
|z|=1
K=0 Re[z]
7 N=8
12
DFS的图示说明
~
x(n)
...
-N
0
N
~
X (k)
... n
-N
0
N
k
13
例：周期序列
~
x(n
)
展co开s 为nDFS，求其系数。
7
四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数
频率函数
连续和非周期
非周期和连续
连续和周期(T0) 非周期和离散(Ω0=2π/T0) 离散(T)和非周期 周期(Ωs=2π/T)和连续 离散(T)和周期(T0) 周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)
8
§3.3 离散傅里叶级数DFS
( Discrete Fourier Series )
连续周期信号:
~xa (t) ~xa (t kT0 )
~xa (t)
A(k )e jk0t
k
基频：0 2 / T0
k次谐波分量：e jk0t
周期序列 ~x (n) ~x (n rN )
N为(周r 为期整的数周, 期N 序为列周期：)
x(n) A(k )e jk0n
k
基频：0 2 / N
11 12
k
15
例：已知序列x(n)是周期为6的周期序列， 如图所示，试求其DFS的系数。
解：根据定义求解
N 1
X (k ) x(n)WNnk
n0
5
x(n)W6nk
n0
j 2 k
j 2 2k
14 12e 6 10e 6
j 2 3k
j 2 4k
j 2 5k
8e 6 6e 6 10e 6
k次谐波分量：e jk0n 9
周期序列的DFS正变换和反变换：
X (k)
DFS[x(n)]
N 1
j 2 nk
x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
x(n)
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k)e N
k 0
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
其中：
WN
j 2
DTFT
X (e j ) x(n)e jn
n
x(n) 1 X (e j )e jn d
2
时域离散化，频域周期化。
6
但是，前三种傅里叶变换对都不适于计算机 上运算，因为它们至少在一个域（时域或频域）中 函数是连续的。
因此，我们感兴趣的是时域及频域都是离散 的情况。
若时域离散并周期化，频域周期化并离散化。