实变函数判断题集锦
实变函数试题库及参考答案
实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1．设,A B 为集合，则()\A B B A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写）6．设nE ⊂是可数集，则*m E 07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是 函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ⊂是开集，则（ ）3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ）A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE = 2．设nE ⊂是无限集，则（ ）A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）3. 相等的集合是对等的. （ ）4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题1. 设()[]230,1\xx E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ⎰.2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.七、证明题1．证明集合等式：(\)A B B A B =2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1[|()|]|()|EmE x f x a f x dx a ≥≤⎰ 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1.=2.≤3.闭集4.开集5.≤6.=7.可测集8.可测9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB三、多选题ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差. 六、解答题1.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰，而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系， 因此()[]0,114f x dx =⎰. 2.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰七、证明题 1.证明2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又[0,1]\[0,1]c E F F ==，故E 是可测集.由于EF =∅，所以1[0,1]()0m m EF mE mF mF ===+=+，故1mF =3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4.证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质， 而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以5.证明 因为lim 0n n mE →∞=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E上L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|nE f x dx ε<⎰，即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰。
22秋季-福师《实变函数》在线作业二-辅导资料-答案5
22秋-福师《实变函数》在线作业二-0005
试卷总分:100
一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)
1.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:A
2.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:A
3.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:B
4.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:B
5.对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:B
6.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:B
7.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:B。
实变函数[精华]
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1、单调渐张集列必收敛，其极限集为；若A n=[0,1-],则。
2、闭集减开集的差集是集。
3、若则。
4、设f(x)在E上可测，则f(x)总可以表示成一列的极限函数。
5、康托尔集是一个集，其测度为。
6、在[a,b]上的有界变差函数一定是函数。
7、设f(x)是可测集E（）上的有界函数，则f(x)在E上（L）可积的充要条件是f(x) 。
8、可数集合在无限集中具有最小的。
二、判断题（20分,每小题2分）：1、复数集的基数最大。
（）2、连续函数一定是可测函数。
（）3、任意多个开集的交集一定是开集。
（）4、康托尔集与有理数集的测度相等。
（）5、若|f(x)|在可测集E上可测，则f(x)必在E上可测。
（）6、几乎处处收敛的函数列必是依测度收敛的。
（）7、L积分是一种绝对收敛的积分。
（）8、E的界点一定是E的聚点。
（）9、单调增加函数的间断点只有有限个。
（）10、设f(x)在E上（L）可积，则f(x)在E上必有限。
（）三、构造题（12分）：1（6分）、在[0，1]上构造一个具有有限正测度的闭集。
2（6分）、构造一可列集E，使其导集，其开核。
四、简答题（16分，每小题4分）1、有界变差函数与连续函数的关系是怎样的？2、几乎处处收敛、基本上一致收敛以及依测度收敛的关系如何？3、说明可测函数类比连续函数类广。
4、说明无聚点的集合与只有孤立点的集合的关系。
五、计算题（18分，每题9分）：1、求极限。
2、设在Cantor集上定义函数f(x)= 1，而在Cantor集的邻接区间上函数的图形是以这些邻接区间长度为直径所作圆周之上半圆，计算f(x)在[0，1]上的L积分。
六、证明题(16分每题8分)1、设在E上，且几乎处处成立于，n=1,2,…，则几乎处处有f n(x)收敛于f(x)。
2、若E为直线上一有界可测集，且mE=p>0,则对于任意小于p的正数q，恒存在E的可测子集E0，使mE0=q。
一、填空题（每空2分，共20分）：1、单调递降集列必收敛，其极限集为；若A n=[0,1+],则。
实变函数第四章复习题及解答(1)
第四章 复习题（一）一、判断题1、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负简单函数，则()d Ef x x ⎰一定存在。
（√ ）2、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负简单函数，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（× ） 3、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负简单函数，且0()d Ef x x ≤<+∞⎰，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（√ ）4、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负可测函数，则()d Ef x x ⎰一定存在。
（√ ）5、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负可测函数，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（× ） 6、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负简单函数，且0()d Ef x x ≤<+∞⎰，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（√ ）7、设()f x 是可测集nE R ⊆上的可测函数，则()d Ef x x ⎰一定存在。
（× ）8、设()f x 是可测集nE R ⊆上的可测函数，且()()f x L E +∈，()()f x L E -∈至少有一个成立，则()d Ef x x ⎰一定存在。
（√ ）9、设()f x 是可测集nE R ⊆上的可测函数，且()()f x L E +∈，()()f x L E -∈至少有一个成立，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（× ）10、设()f x 是可测集nE R ⊆上的可测函数， 若()()f x L E +∈且()()f x L E -∈，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（√ ）11、设()f x 是可测集nE R ⊆上的可测函数， 若()()f x L E ∈，则()d Ef x x -∞<<+∞⎰。
（√ ）12、设()f x 是可测集n E R ⊆上的可测函数， 若()()f x g x ≤且()()g x L E ∈，则()()f x L E ∈。
实变函数复习题
复习题1 一、判断1、若N 是自然数集，e N 为正偶数集，则N 与e N 对等。
（对）2、由直线上互不相交的开间隔所成之集是至多可列集。
（对）3、若12,,,n A A A 是1R 上的有限个集，则下式()1212n n A A A A A A ''''+++=+++成立。
（对）4、任意多个开集的交集一定是开集。
（错）5、有限点集和可列点集都可测。
（对）6、可列个零测集之并不是零测集。
（对）7、若开集1G 是开集2G 的真子集，则一定有12mG mG <。
（错） 8、对于有界集1ER ⊆，必有*m E <+∞。
（对）9、任何点集E 上的常数函数()f x =C ，x E ∈是可测函数。
（错）10、由()f x 在()1,2,k E k = 上可测可以推出()f x 在1kk E E ∞==∑上可测。
（对）二、填空1、区间（0,1）和全体实数R 对等，只需对每个()0,1x ∈，令 ()tan()2x x πϕπ=-2、任何无限集合都至少包含一个 可数子集3、设12,S S 都可测，则12S S ⋃也可测，并且当12S S ⋂为空集时，对于任意集合T 总有***1212[()]()()m T S S m T S m T S ⋂⋃=⋂+⋂4、设E 是任一可测集，则一定存在F ∂型集F ，使F E ⊂，且 ()0m E F -=5、可测集n ER ⊂上的 连续函数 是可测函数。
6、设E 是一个有界的无限集合，则E 至少有一 个聚点。
7、设π是一个与集合E 的点x 有关的命题，如果存在E 的子集M ，适合mM=0，使得π在E\M 上恒成立，也就是说，E\E[π成立]= 零测度集 ，则我们称π在E 上几乎处处成立。
8、E 为闭集的充要条件是'(E E)E E ⊂∂⊂或 。
9、设A 、B 是两个非空集合，若,A B B A ≤≤，则有 A =B。
三、证明 1、证明：若A B ⊂，且~A A C ⋃，则有~B B C ⋃。
实变函数试题集锦
实变函数试题集锦实变函数测试题集锦⼀、填空题设1,2n A n ??=, 1,2n = , 则lim n n A →∞=.()(),,a b -∞+∞ ,因为存在两个集合之间的⼀⼀映射为.设E 是2R 中函数1c o s ,00,0x y xx ?≠?=?? =?的图形上的点所组成的集合，则E '= ，E ?= . 若集合nE R ?满⾜E E '?, 则E 为集.若(),αβ是直线上开集G 的⼀个构成区间, 则(),αβ满⾜: , .设E 使闭区间[],a b 中的全体⽆理数集, 则mE =.若()n m E f x →()0f x ??=??, 则说{}()nf x 在E 上.设nE R ?, 0nx R∈,若,则称x 是E 的聚点.()f x 是E 上⼏乎处处有限的可测函数, 若0σ?>, 有 , 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x .设()()n f x f x ?,x E ∈, 则?{}()n f x 的⼦列{}()jn f x , 使得.11. 11,1n n ∞=?? ?= . 12.111,n n n nn ∞=-+??= . 13. (0,1)到(,)a a b +的双射是 .14. E 的全体聚点所组成的集合包含于E 的充要条件是 . 15. [0,1]中⽆理数集的外测度为 .16. nR 中所有开集⽣成的σ代数记为B ，称B 中的集合为 .17. 若*0m A =，则对任意的点集B，必有*()m A B =.18. 当E 为闭区间时，*m E = .19. 设函数()f x 在可测集E 上⼏乎处处有限，若对任意给定的0δ>，存在E 中的⼀个闭集F ，使(\)m E F δ<，且()f x 在F 上连续，则()f x 是可测集E 上的 .22．设G表⽰为⼀列开集}{i G 之交集：∞==1i iGG ，则G 称为 .23. 若F 表⽰为⼀列闭集}{i F 之并集：∞==1i iFF ，则F 称为 .24. ,a b R ?∈(b a >)，f 在E 上可测，则()E f a ≥-()E f b ≥= . 25. Cantor 集的外测度为 . 26．(Fatou 引理)设} {n f 是可测集qR E ?上⼀列⾮负可测函数，则.⼆、判断题. 正确的证明, 错误的举反例.若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则m A m B <.设E 为点集, P E ?, 则P 是E 的外点.点集11,2,,E n ??=??的闭集. 任意多个闭集的并集是闭集.若nE R ?,满⾜*7. 凡⾮负可测函数都是L 可积的．8.设A 为1R 空间中⼀⾮空集，若.a A ≤'则.a A ≤9.设E 为可测集，则存在δG 型集F ，使得E F ?，且0)(=-F E m ．10.)(x f 在[]b a ,上L 可积，则)(x f 在[]b a ,R 可积且[]=b a badxx f R dx x f L ,)()()()(三、计算证明题1. 证明:()()()A B C A B A C --=-2. 设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中⼼, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集.3. 设n E R ?,i E B ?且i B 为可测集,1,2i = .根据题意, 若有()()*0,i m B E i -→→∞, 证明E 是可测集.设P 是C antor 集, ()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ?+ ∈?=?∈-??.求1(L)()f x dx.设函数()f x 在C antor 集0P 中点x 上取值为313n 的构成区间上取值为16n, ()1,2n = , 求10()f x dx.求极限: 1323lim (R )sin 1n nx nxdxn x→∞+?.7.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集．8.nR 上全体有理数点集的外测度为零．9.设函数列}{n f 在E 上依测度收敛f ，且h f n ≤e a .于E ，则h f ≤e a .于E ． 10.设)(x f 在[]εε+-b a ,上可积，则0 )()(lim 0=-+?→dx x f t x f bat ．11.122lim ()sin 1m m x L m xdxm x→∞+?.12、证明。
《实变函数》习题库参考答案
《实变函数》习题库参考答案一、判断题 1、( √ )理由:由内点定义知，存在A P U ⊂),(0δ，从而对任意的)(0P U ，必含有A 中无穷多个点。
满足聚点定义 2、( √ )理由:[法一]:都具有连续基数,故对等 [法二]:可建立一个映射)2tan()(ππ-⋅--=a b a x x f ,则f(x)为),(b a 到R 的一一映射.3、( √ )理由:由B A ⊂知, A A B B )(-=,从而由有限可加性知，mA A B m mB +-=)(，又由 +∞<mB 知，+∞<-+∞<)(,A B m mA 。
从而移项可得结论。
4、( √ )理由:f(x)在区间[0,5)及[5,10]上均为连续函数，故分别在2个区间上是可测函数， 从而再其和集上也是可测函数。
5、( × )理由:例如有理数集Q ，无理数2是Q 的聚点，但不是其内点。
6、( √ )理由:[法一]:都是可数集,故有相同的基数,即对等。
[法二]:可建立一个映射⎪⎩⎪⎨⎧==+==...2,1,1,11,0,1)(n n x n x x f ,则f(x)为集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1,0n 到集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1n 的一一映射。
7、( √ )理由:由B A ⊂知A A B B )(-=,且φ=-A A B )(， 故mA mA A B m mB =+-=)(8、( √ )理由:狄利克莱函数⎩⎨⎧-∈∈=.]1,0[,0]1,0[,1)(Q x Qx x D 是[0,1]上的简单函数，故可测。
9、( √ )理由:由于E E ⊆Φ='，所以.}3,2,1{为闭集=E 10、( × )理由:如无界。
，但，则N mN N E +∞<==0 11、( √ )理由:由于可测。
在连续，从而在]2,1[2)(]2,1[2)(-=-=x f x f 12、( √ ) 理由:事实上：)()(***CE T m E T m T m T E +=∀⇔：可测]([)(**CE C T m CE T m +=可测。
实变函数期末考试卷A卷资料
（3）因为 xnxnxxnnxnxxnnx2121sin121222132221)(xF 显然)(xF在]1,0[上可积。于是由Lebesgue控制收敛定理，有 0sin1)(limsin1)(lim10322211032221dxnxxnnxLdxnxxnnxRnn 2. 设为有理数，的无理数；为小于的无理数为大于xxxxxxf,01,;1,)(2试计算]2,0[)(dxxf。 解：因为有理数集的测度为零，所以 2)(xxf ..ea 于]1,0[， xxf)( ..ea 于]2,1[。 于是 ]2,1[]1,0[]2,0[)()()(dxxfdxxfdxxf dxxdxx211026112331 四、证明题（每题8分，共40分） 1. 证明：)()(11nnnnAAAA
Hale Waihona Puke 实变函数 一、 判断题（每题2分，共20分） 1.若A是B的真子集，则必有BA。 （×） 2.必有比a小的基数。 （√） 3.一个点不是E的聚点必不是E的内点。 （√） 4.无限个开集的交必是开集。 （×） 5.若E，则0*Em。 （×） 6.任何集nRE都有外测度。 （√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若)(xf在可测集E上可测，则)(xf在E的任意子集上也可测。（×） 10.)(xf在E上可积必积分存在。 （×） 1.设E为点集，EP，则P是E的外点.（ × ） 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ） 3.设nE是一列可测集,且1,1,2,,nnEEn则1()lim().nnnnmEmE（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ） 5.若()fx在E上可测,则存在F型集,()0FEmEF,()fx在F上连续.（ × ）
证明：)(1nnAA(AnnA1c) )(1cnnAA =)(1cnnAA )(1nnAA 2. 设M是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合，证明M是至多可列集。 证明：由有理数集的稠密性可知，每一个开区间中至少有一个有理数，从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合A。因为这些开区间是互不相交的，所以此有理数集A与开区间组成的集合M是一一对应的。则A是有理数集的子集，故至多可列，所以M也是至多可列集。 3. 证明：若0Em，则E为可测集。 证明：对任意点集T，显然成立着 )()(cETmETmTm。 另一方面，因为0Em，而EET，所以EmETm)(，于是)(ETm0。又因为cETT，所以)(cETmTm，从而 )()(cETmETmTm。 总之，)()(cETmETmTm。故E是可测集。 4. 可测集E上的函数)(xf为可测函数充分必要条件是对任何有理数r，集合])([rxfE是可测集。
19春福师《实变函数》在线作业一
(判断题)1: 一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)2: 测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)3: 若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)4: 测度为零的集称为零测集.A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)5: f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)6: 函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)7: 对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)8: f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)9: 不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)10: 若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)11: 对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)12: 积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)13: 增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)14: 积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)15: 若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
实变函数试卷2+答案
一、判断题：（共26分，每小题2分）1．任何无限集合均含有可数子集。
（ √ ） 2．集合E 的边界点一定属于E 。
（ × ） 3．若E 不是开集，则E 必为闭集。
（ × ） 4．任意多个开集之并仍为开集。
（ √ ） 5．零测集的任意子集是可测集。
（ √ ） 6．设)(x f 在E 上L 可积, 则)(x f 在E 上有界。
（ × ） 7．若0=mE ，则E 一定是有限集或可数集。
（ × ） 8．..a e 收敛的函数列必依测度收敛。
（ × ） 9．由于[](){}0,10,10,1-=，故不存在使()[]0,101和，之间11-对应的映射。
（ × ） 10． 设()f x 是可测集E 上的可测函数， 则()f x 在E 上L 可积。
（ × ） 11．设1G ，2G 是两个有界开集，且1G 是2G 的真子集，则12mG mG <。
（ × ） 12．设()f x 是区间[,]a b 上的有界变差函数，则()f x '在[,]a b 上L 可积。
（ √ ） 13．设E 是可测集，{()}n f x 和()f x 都是E 上..a e 有限的可测函数，且lim ()()n n f x f x →∞=..a e 于E ，则在E 上必有()()n f x f x ⇒。
（ × ）二、单项选择题：（每小题3分，共15分）1. 设()f x 在可测集E 上L 可积且|()|0Ef x dx =⎰，则以下结论正确的是 （ C ）A 、0mE =；B 、()0,f x x E =∀∈；C 、()0,..f x a e =于E ；D 、以上答案都不对2. 设mE <∞，()f x 和1{()}n n f x ∞=都是E 上的可测函数，则()()n f x f x ⇒（在E 上）是()(),..n f x f x a e →于E 的 ( C ).A 、充分必要条件；B 、充分条件；C 、必要条件；D 、无关条件.3. 设E 是[]0,1上有理点全体，则下列各式不成立的是（ D ）A 、'[0,1]E = B 、 oE =∅ C 、E =[0，1] D 、 1mE =4. 下列说法不正确的是（ C ）A 、若B A ⊂，则B m A m **≤；B 、 有限个或可数个零测度集之并集仍为零测度集；C 、可测集的任何子集都可测 ；D 、凡开集、闭集皆可测。
实变函数测试题与答案
实变函数测试题与答案实变函数测试题一、填空题1.设 $A_n=\begin{pmatrix} 1/n \\ 1/(n+1) \\ \cdots \\ 1/(2n) \end{pmatrix}$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}A_n=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix}$。
2.$(a,b)$ 与 $(-\infty,+\infty)$ 之间存在两个集合之间的一一映射，因此它们的基数相同。
3.设 $E$ 是函数 $y=f(x)$ 的图形上的点所组成的集合，则$E=\{(x,f(x)):x\in\mathbb{R}\}$。
4.若集合 $E\subset\mathbb{R}$ 满足 $E'\subset E$，则$E$ 是闭集。
5.若 $(\alpha,\beta)$ 是直线上开集 $G$ 的一个构成区间，则 $(\alpha,\beta)$ 是连通集。
6.设 $E$ 是闭区间 $[a,b]$ 中的全体无理数集，则$m(E)=b-a$。
7.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，并且$\lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)$，则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f(x)$。
8.XXX{R}$，$x$ 是 $E$ 的聚点，$f(x)$ 是实变函数，则存在 $\{x_n\}\subset E$，使得 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$ 且 $\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n)$ 存在。
9.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，并且对于任意$\sigma>0$，都有 $\lim\limits_{n\to\infty} m\{x\in E:|f_n(x)-f(x)|\geq\sigma\}=0$，则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于$f(x)$。
实变函数练习题B
实变函数与泛函分析试卷B一、判断题1. ]1,0[区间上的无理数所成之集是可数集2.存在一个集合A 使得A A =2。
3.度量空间中疏朗集的子集是疏朗集。
4.完备度量空间中的任何基本点列都收敛。
5.系数为有理数的多项式全体组成一个可数集。
二、填空题1.直线上任何非空开集可表示成至多可数的个互不相交的____的并集。
2.实数集中一集合的____是包含此集合的所有闭集的交集。
3.无限维赋范空间的有限维子空间必是完备的，因此是____的。
4.Banach 逆算子定理指的是Banach 空间间的____双射的逆也连续。
5.____的赋范空间称为Banach 空间。
三、选择题1.直线上的孤立点集____。
A.可数B.至多可数C.不可数D.有限2. nR 中任何非空开集可表示为闭集之____。
A.至多可列并B.有限并C.交D.有限交3.赋范空间上非零连续线性泛函的零空间必是____。
A.闭集B.开集C.非开非闭D.即开且闭4.依测度收敛的函数列____收敛。
A.几乎处处B.几乎一致C.平均D.含子列几乎处处5.闭区间上____函数是Lebesgue 可积的。
A.有界可测函数B.处处有限可测C.几乎处处连续D.非负可测函数四、论述题1.证明直线上的孤立点集至多可数。
2.试用Borel 有限覆盖定理证明s Weierstras Borzano -定理。
3.证明：)1(2>=n L N n 。
4.证明：设n f 是Banach 空间X 的共轭空间n X 中的点列，则∑∞=∈∀1|)(|,n n x f X x 收敛当且仅当∑∞=++∈1|)(|,n n f F X F 收敛。
5.证明：任何一元单调函数都是L 可测函数。
6.证明：设X 是赋范线性空间，又设但2121*21,1||||||||,,f f f f X f f ≠==∈时，恒有2||||21<+f f .若0f 是定义在X 的子空间0X 上的有界线性泛函，证明0f 的保范延拓是唯一的。
福师《实变函数》在线作业二15秋100分答案
福师《实变函数》在线作业二15秋100分答案
一、判断题（共37道试题，共74分。
）
1.F∈ BV，那么f最多有可数不连续，只有第一类不连续
a.错误
b、对
正确答案：b
2.连续函数和单调函数都是有界变差函数
a.错误
b、对
正确答案：a
实变函数第二版答案
实变函数第二版答案
3.如果f和G是增函数，那么f+G、f-G和FG也是增函数。
a.错误
b、对
正确答案：a
4.牛顿-莱布尼兹公式在L积分下的充要条件是被积函数是绝对连续函数。
a.错误
b、对
正确答案：b
5.对于R^n中的任何点集E，E\E'必须是可测集
a.错误
b、对
正确答案：b
6.具有零度量的集合称为零度量集合
a.错误
b、对
正确答案：b
7.三个积分收敛定理是实变函数理论的基本结果。
a.错误
b、对
正确答案：b
如果LIF在（L）上是连续的，∞, +. M） _{x->+∞}f（x）=
0.
a、误会
b.正确
正确答案：B
9.测度收敛的l可积函数列，其极限函数l可积.
a、误会
b.正确
正确答案：a
10.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx
a、误会。
实变函数试题库(3)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（3） 本科一、填空题1．设为集合，则 ,A B ()\B A B A I U A BU 2．设为无理数集，则 （其中表示自然数集的基数）A A c c []0,13．设，如果中没有不是内点的点，则称是nE ⊂¡E E 4．任意个闭集的交是5．设是定义在可测集上的实函数，如果，是可测，()f x E 1a ∀∈¡()E x a f xb ⎡⎤≤<⎣⎦（）则称在上 a b ≤()f x E 6．可测函数列的上确界也是7．设，，则()()n f x f x ⇒()()n g x g x ⇒..a e ()()n n f x g x ⇒8．设，那么由黎斯定理，有子列，使 于()()n f x f x ⇒(){}n f x ()k n f x ..a e E二、选择题1．下列集合关系成立的是（）A cc A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭I I B ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭I U C ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭I U D cc cA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭I U 2．设，则( )n R E ⊂ A E E ⊃B E E '⊂C E E '⊂D E E=3．设为康托集，则（ ）P 是可数集 是不可数集 是开集A PB 0mP =C PD P4．下列集合关系成立的是（ ）若则 若则A A B ⊂c c B A ⊂B A B ⊂c cA B ⊂ 若则 若则C A B ⊂A B B =I D A B ⊂A B B=U 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1．设是狄利克莱函数，即，则（ ）()D x ()[][]10,100,1x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为中有理数为中无理数几乎处处等于 几乎处处等于A ()D x 1B ()D x 0是非负可测函数 是可积函数C ()D x D ()D x L 2．设，，则（ ）nE ⊂¡*0m E = 是可测集 的任何子集是可测集 是可数集 不一定是可数集A EB EC EDE 3．设，，则（ ）nE ⊂¡()10E cx Ex x Eχ∈⎧=⎨∈⎩ 当是可测集时，是可测函数 当是可测函数时，是可测A E ()E x χB ()E x χE 集当是不可测集时，可以是可测函数C E ()E x χ 当是不是可测函数时，不一定是可测集D ()E x χE 4．设是上的连续函数，则（ ）()f x (),a b 在上有界 在上可测A ()f x (),a bB ()f x (),a b 在上可积 在上不一定可积C ()f x (),a b LD ()f x (),a b L 四、判断题1. 对等的集合不一定相等.（）2. 称在上几乎处处相等是指使的全体是零测集. （ ）()(),f x g x E ()()f x g x ≠x3. 可数个开集的交是开集 （ ）4. 可测函数不一定是连续函数. （ ）5. 对等的集合有相同的基数. （）五、定义题1. 简述证明集合对等的伯恩斯坦定理.2. 简述中开集的结构.1R 3. 可测集与闭集、集有什么关系？F σ4. 为什么说绝对连续函数几乎处处可微？六、计算题1. 设，为中有理数集，求.()3cos 0,\2x x E f x x x E π⎧∈⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩E 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()0,2f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰2. 设，求.()()[]22cos ,0,11n nx nx f x x n x =∈+()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰七、证明题1．设是上的可测函数，则对任何常数，有()f x E 0a >()[|()]af x EmE x f x a ee dx-≥≤⎰2．设是上的可积函数，为的一列可测子集，，如果()f x E {}n E E mE <+∞lim n n mE mE→∞=则lim()()nE En f x dx f x dx→∞=⎰⎰3．证明集合等式：()\(\)(\)A B C A C B C =U U 4．设是零测集，则的任何子集是可测集，且nE R ⊂EF 0mF =5. 证明：上的实值连续函数必为上的可测函数1R ()f x 1R本科实变函数试题库及参考答案（3）1、填空题1.=2.=3.开集4.闭集5.可测6.可测函数7.8.()()f x g x ()()k n f x f x →二、单选题1.B2.A3.B4.A三、多选题1.BCD 2.ABD 3.AB 4.BD四、判断题 √√×√√五、定义题1.答：若，又，则A B B *⊂:B A A *⊂:A B:2.答: 设为中开集，则可表示成中至多可数个互不相交的开区间的并.G 1R G 1R 3.答：设是可测集，则，闭集，使或 集，E 0ε∀>∃F E ⊂()\m E F ε<∃F σF E⊂使.()\0m E F =4.答：因为绝对连续函数是有界变差，由若当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处有有限的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微.六、解答题1.解：因为，所以于0mE =()cos ,.f x x a e =[]0,1于是()0,0,22cos f x dx xdxππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎰⎰而在上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式cos x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]()22000,1cos cos sin |1xdx R xdx x ππ===⎰⎰因此()0,21f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=⎰2.解：因为在上连续，所以可测()n f x []0,1()1,2,n =L 又()()[]2222cos 1,0,1,1,2,1122n nx nx nx nx f x x n n x n x nx =≤≤=∈=++L 而，所以.22lim01n nxn x →∞=+()lim 0n n f x →∞=因此由有界控制收敛定理()[]()[][]0,10,10,1limlim 00nn n n f x dx f x dx dx →∞→∞===⎰⎰⎰七、证明题1.证明 因为在上可测，所以是非负可测函数，于是由非负可测函数积分性()f x E ()f x e质，()()[|()][|()]a f x f x E x f x a E x f x a Ee dx e dx e dx≥≥≤≤⎰⎰⎰而，[|()][|()]a a E x f x a e dx e mE x f x a ≥=⋅≥⎰所以()[|()]a f x EmE x f x a e e dx-≥≤⎰2.证明因在上可积，由积分的绝对连续性知，对任意，存在，()f x E L -0ε>0δ>对任何，当时有，由于，故对上述的A E ⊆mA δ<|()|Af x dx ε<⎰lim n n mE mE →∞=<+∞，存在，当时，且有，于是0δ>0k 0n k >n E E ⊆()n n mE mE m E E δ-=-<，|()()||()|nnEE E E f x dx f x dx f x dx ε--=<⎰⎰⎰即lim ()()nE En f x dx f x dx→∞=⎰⎰3.证明 ()\()()()(\)(\)c c cA B C A B C A C B C A C B C ===U U I I U I U 4.证明 设，，由外测度的单调性和非负性，，所以F E ⊂*0m E =*00m F mE ≤≤=，于是由卡氏条件易知是可测集*0m F =F 5.证明，不妨假设，因为是上的连续函数，故是1,a b R ∀∈a b <()f x 1R ()f x 上的连续函数，记，由在上连续，则，使[],a b [],F a b =()f x F (),M m m M ∃<，则显然易证，是闭集，即为上的可测()m f x M ≤≤()1,R F f αα∀∈≥()f x [],a b 函数，由的任意性可知，是上的可测函数.,a b ()f x 1R。
实变函数试题库(4)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（4） 本科一、填空题1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B -.2.设n E R ⊂,如果E 满足E E '⊆(其中E '表示E 的导集),则E 是3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i)）（b a , G (ii),a G b G ∉∉4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数)5.设12,E E 为可测集, 2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -.6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ⇒∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()()()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ⊆)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值 存在且|()|f x 在E 上 L 可积.（填“一定”“不一定”）8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有二、选择题1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ）A 1mE =B 0mE =C E 是2R 中闭集DE 是2R 中完备集2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ）A 、()()E x f x g x ⎡⎤≥⎣⎦不一定是可测集B 、()()E x f x g x ⎡⎤≠⎣⎦是可测集C 、()()E x f x g x ⎡⎤≤⎣⎦是不可测集D 、()()E x f x g x ⎡⎤=⎣⎦不一定是可测集3．下列集合关系成立的是（ ）A 、(\)AB B A B = B 、(\)A B B A =C 、(\)B A A A ⊆D 、\B A A ⊆4. 若()n E R ⊆是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ⊆ B 、E 的开核E = C 、E E = D 、E 的导集E =三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1．设()f x 是[],a b 上有界函数，且L 可积，则（ ）A ()f x 在[],a b 上黎曼可积B ()f x 在[],a b 上可测C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上不一定连续2. 设{[0,1]}E =中的无理点,则( )A 、E 是可数集B 、E 是闭集C 、E 中的每个点均是聚点D 、0mE >3. 若E (R ⊆)至少有一个内点，则（ ）A 、*m E 可以等于０B 、*0m E = C 、E 可能是可数集 D 、E 不可能是可数集4．设[,]E a b ⊆是可测集，则E 的特征函数()E x χ是（ ） A 、[,]a b 上的符号函数 C 、E 上的连续函数B 、[,]a b 上的可测函数 D 、[,]a b 上的连续函数四、判断题1. 零测集上的函数是可测函数. （ ）2. 可列个闭集的并集仍为闭集 （ ）3. 任何无限集均含有一个可列子集 （ ）4. 设E 为可测集，则一定存在G σ集G ，使E G ⊆，且()\0m G E =. （ ）五、定义题1. 为什么说有界变差函数几乎处处可微？2. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集？3. 可测集E 上的可测函数与简单函数有什么关系？4. [],a b 上的有界变差函数与单调函数有什么关系？六、计算题7. 设()[]3sin 0,1\x x P f x x x P ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，P 为康托集，求()[]0,1f x dx ⎰.8. 求()()0,ln lim cos x n n x n e xdx n -→∞+⎰.七、证明题1．设(),(),(),()n n f x g x f x g x 是E 上几乎处处有限的可测函数，且()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()()()n n f x g x f x g x +⇒+2．设(),()f x g x 是E 上L -E 上也是L -可积的3．设()f x 是可测集E 上的非负可测函数，如果()0E f x dx =⎰，则()0.f x a e =于E4．证明等式：\()(\)(\)A B C A B A C =实变函数试题库及参考答案（4） 本科一、填空题1.等于2.闭集.3.(a,b)G ⊆4.≥5.≥6.黎斯7.不一定 不一定8.界变差函数.二、单选题1.B2.B3.A4.B三、多选题1.BD2.CD3.BD4.ABC四、判断题√×√√五、定义题1.答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.2.答：不一定，如[]1111,11,1n n n +∞=⎛⎫---+=- ⎪⎝⎭ 3.答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式.4.答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差.六、解答题1.解：因为0mP =，所以(),.f x x a e =于[]0,1于是()[][]0,10,1f x dx xdx =⎰⎰而x 在[]0,1上连续，所以 []()2121000,11|22x xdx R x dx ===⎰⎰ 因此()[]0,112f x dx =⎰. 2.解：令()()()()0,ln cos x n n x n f x x e x nχ-+= 显然()n f x 在()0,+∞上可测，且 ()()()()0,0,ln cos x n n x n e xdx f x dx n -+∞+=⎰⎰因为()()()()ln ln cos ,0,,1,2,x n x n x n f x e x x n n n-++≤≤∀∈+∞= 不难验证()()ln n x n g x n +=，当n 足够大时，是单调递减非负函数，且 ()lim 0n n g x →∞=，所以 ()()()()()()0,0,0,ln lim lim lim n n n n n x n dx g x dx g x n →∞→∞→∞+∞+∞+∞+==⎰⎰⎰()0,00dx +∞==⎰ 由勒贝格控制收敛定理 ()()0,lim 0n n f x dx →∞+∞=⎰ 故()()0,ln lim cos 0x n n x n e xdx n -→∞+=⎰.七、证明题1.证明 对任何正数0σ>，由于|(()())(()())||()()||()()|n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x +-+≤-+-所以[|(()())(()())|]n n E x f x g x f x g x σ+-+≥[|()()|][|()()|]22n n E x f x f x E x g x g x σσ⊂-≥-≥于是[|(()())(()())|]n n mE x f x g x f x g x σ+-+≥ [|()()|][|()()|]22n n mE x f x f x mE x g x g x σσ≤-≥+-≥0()n →→∞故()()()()n n f x g x f x g x +⇒+2.证明 因(),()f x g x 是E 上L -可积，所以|()|,|()|f x g x 在E 上L -可积，从而|()||()|f x g x +L -可积，|()||()|f x g x =+在E 上L -可积3.证明 反证，令[|()0]A E x f x =>，则由()f x 的可测性知，A 是可测集.下证0mA =，若不然，则0mA > 由于11[|()0][|()]n A E x f x E x f x n ∞==>=≥，所以存在1N ≥，使1[|()]0mE x f x d N ≥=>于是11[|()][|()]111()()[|()]0E E x f x E x f x N Nd f x dx f x dx dx mE x f x N N N N ≥≥≥≥=≥=>⎰⎰⎰ 因此()0E f x dx >⎰，矛盾，故()0.f x ae =于E4.证明\()()()()()(\)(c c c c c A B C A B C A B C A B A C A B A C ====。
实变函数第一章复习题及解答(1)
第一章 复习题（一）一、判断题1、大人全体构成集合。
（× ）2、小个子全体构成集合。
（× ）3、所有集合都可用列举法表示。
（× ）4、所有集合都可用描述法表示。
（√ ）5、对任意集合A ，总有A ∅⊂。
（√ ）6、()A B B A -⋃=。
（× ）7、()()A B B A B B A A -⋃=⋃=-⋃。
（√ ）8、若B A ⊆，则()A B B A -⋃=。
（√ ）9、cA A ⋂≠∅，c A A X ⋃=，其中X 表示全集。
（× ）10、A B B A ⨯=⨯。
（× ）11、()c c c A B A B ⋃=⋃，()c c c A B A B ⋂=⋂。
（× ）12、()()()A B C A C B C ⋃⋂=⋂⋃⋂，()()()A B C A C B C ⋂⋃=⋃⋂⋃。
（√ ）13、若A B ，B C ，则A C 。
（√ ） 14、若A B ，则A B =，反之亦然。
（√ ） 15、若12A A A =⋃，12B B B =⋃，且11A B ，22A B ，则A B 。
（× ）16、若A B ⊆，则A B ≤。
（√ ） 17、若A B ⊆，且A B ≠，则A B <。
（× ）18、可数集的交集必为可数集。
（× ）19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。
（√ ）20、因整数集Z ⊂有理数集Q ，所以Q 为不可数集。
（× ）21、()c cA A =。
（√ ）二、证明题1、证明：cA B A B -=⋂。
证明：对任意x A B ∈-，有x A ∈且x B ∉，从而x A ∈且c x B ∈，即c x A B ∈⋂，所以 c A B A B -⊂⋂；反之，对任意c x A B ∈⋂，有x A ∈且c x B ∈，从而x A ∈且x B ∉，即x A B ∈-，所以 c A B A B -⊃⋂。
实变函数论试题
《实变函数》期末考试卷姓名 班级 座号 成绩一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“√”或“×”，共8×3=24分）1．设E 是可测集，()f z 是E 上几乎处处为零的实函数，则()f x 在E 上可测。
（ ）2．设()f z 是可测集E 上的非负可测函数，则()f x 必在E 上勒贝格可积。
（ ） 3．设()f z 是可测集E 上的可测函数，则()d E f x x ⎰一定存在。
（ ） 4．设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若2()d 0Ef x x =⎰，则()f z 在E 上几乎处处为零。
（ ） 5．设()f x 是(,)a b 上的单调函数，则()f x 是(,)a b 上的可测函数。
（ ） 6. 设1E 和2E 都是可测集，()f z 是1E 和2E 上的可测函数，则()f x 不一定是12E E ⋃上的可测函数。
（ ） 7. 设()f z 是可测集E 上的可测函数，且()d Ef x x ⎰存在，则()f x +和()f x -至少有一个在E 上L 可积。
（ ） 8. 设1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数, 则()D x 在[0,1]上勒贝格可积，但不是黎曼可积的。
（ ）二、 填空题（每空2分，共9×2=18分）1.设,T n nE R R ⊆⊆若对于任意集合都有，则称L E 为ebesgue 可测集，*此时称m E 为E 的 ，记为mE 。
２. 设P 是康托集，则mP = ；任意可数集合的外测度为 。
3．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，若对任意实数a ，都有[()]E x f x a >是 ，则称()f x 是可测集E 上的可测函数.4．设函数列{()}n f x 为可测集E 上的可测函数列，且()n f x 在E 上依测度收敛于()f x ，则存在{()}n f x 的子列{()}kn f x ，使得()kn f x 在E 上 .5．设mE <+∞,{()}n f x 是E 上的可测函数列，()f x 是E 上的实函数, 若()n f x 在E 上几乎处处收敛于()f x ，则()n f x 在E 上 收敛于()f x .6．设()f x 在[,]a b 上黎曼可积，则()f x 在[,]a b 上勒贝格可积，且它们的积分值 ． 7．设()f x ,()g x 都在[,]a b 上勒贝格可积，且几乎处处相等,则它们在[,]a b 上勒贝格积分值 ．三、叙述题 (3小题 , 每题6分，共3×6=18分)1) 依测度收敛 2) 可测分划3) Lebesgue 基本定理四、简答题(2小题 , 每题8分，共2×8=16分)1、可测集E 上的可测函数与连续函数有何关系？2、设A 是[0,1]中的不可测集，令,(),[0,1]x x Af x x x A∈⎧=⎨-∈-⎩ 问()f x 在[0,1]上是否可测？()f x 是否可测？为什么？五、证明题 (共3小题 , 每题8分，共3×8=24分)1、设()f x 是可测集n E R ⊂上的可测函数。
实变函数练习及答案
实变函数练习及答案实变函数练习及答案一、选择题1、以下集合，（）是不可数集合。
.A 所有系数为有理数的多项式集合； .B [0,1]中的无理数集合；.C 单调函数的不连续点所成集合； .D 以直线上互不相交的开区间为元素的集。
2、设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E A U 是（）.A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。
3、下列说法正确的是（）.A ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b L —可积； .B ()f x 在[,]a b R —可积?()f x 在[,]a b R —可积；.C ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .D ()f x 在(],a +∞R —广义可积?()f x 在[,]a b L —可积4、设{}n E 是一列可测集，12......,n E E E 则有（） .A 1()lim n nn n m E mE∞→∞=>U ； .B 1()lim n nn n m E mE∞→∞==U ；.C 1()lim n n n n m E mE ∞→∞==I ； .D 以上都不对。
5、()()\\\A B C A B C =U 成立的充分必要条件是（）.A A B ?； .B B A ?； .C A C ?； .D C A ?。
6、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集，则（）.A 1mE =； .B 0mE =； .C E 是不可测集； .D E 是闭集。
7、设mE <+∞，(){}nf x 是E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数，则(){}nf x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的（）.A 必要条件； .B 充分条件； .C 充分必要条件； .D 无关条件。
实变函数第三章复习题及解答
第三章 复习题一、判断题1、对任意n E R ⊆，*m E 都存在。
（√ ）2、对任意n E R ⊆，mE 都存在。
（× ） 3、设n E R ⊆，则*m E 可能小于零。
（× ） 4、设A B ⊆，则**m A m B ≤。
（√ ）5、设A B ⊆，则**m A m B <。
（× ） 6、**11()n n n n m S m S ∞∞===∑ 。
（× ）7、**11()n n n n m S m S ∞∞==≤∑ 。
（√ ）8、设E 为nR 中的可数集，则*0m E =。
（√ ）9、设Q 为有理数集，则*0m Q =。
（√ ） 10、设I 为n R 中的区间，则*m I mI I ==。
（√ ） 11、设I 为n R 中的无穷区间，则*m I =+∞。
（√ ）12、设E 为n R 中的有界集，则*m E <+∞。
（√ ） 13、设E 为n R 中的无界集，则*m E =+∞。
（× ） 14、E 是可测集⇔c E 是可测集。
（√ ）15、设{n S }是可测集列，则1n n S ∞= ，1n n S ∞= 都是可测集。
（√ ） 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。
（√ ）17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。
（√ ）18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。
（√ ）19、若E =∅，则*0m E >。
（× ） 20、若E 是无限集，且*0m E =，则E 是可数集。
（× ） 21、若mE =+∞，则E 必为无界集。
（√ ）22、在nR 中必存在测度为零的无界集。
（√ ）23、若A ，B 都是可测集，A B ⊆且mA mB =，则()0m B A −=。
（× ） 24、∅和n R 都是可测集，且0m ∅=，n mR =+∞。
（√ ） 25、设12,E E 为可测集，则12()m E E −≥12mE mE −。
实变函数判断题
判断题 1)()(B A B A i Ni i Ni -⋂=-⋃∈∈ （ ）2 设}{n A 是单调集合列，则n n n n A A ∞=∞→⋃=1lim （ ）3 设:.,1,2,i f A B A A i →⊂= ，则)()(11i i i i A f A f ∞=∞=⋂=⋂。
（ ） 4 设,n A X S X ⊂⊂, 则lim lim()n n nnS A S A -=-. ( ) 5 设,n f f 是E 上的实函数,lim ()(),n n f x f x x E →∞=∈,(,)a ∈-∞+∞,则11[]l i m []n n k E f aE f a k∞=≥=>- ( )6 设,n f f 是E 上的实函数,11[]lim [||]n n n k E f f E f f k∞=→=-< . ( )7 12 设,n f f 是E 上的实函数,[n E f →11]lim [||]n n k f E f f k ∞==-≥ . ( )8 14 设A 为无限集,B 为至多可列集, 则A B A ⋃=. ( ) 9 直线上与(0, 1)对等的集合必有内点. ( )10 有界集一定有聚点. ( )11 ,n m x A R y B R ∈⊂∈⊂, 则(,)()x y A B '∈⨯. ( ) 12 设F 为nR 中无限集, 则F φ'≠. ( ). 13 设F 为n R 中有界闭集, 则F φ'≠. ( ).14 设F 为n R 中闭集, 则F 的任何开覆盖有有限子覆盖. ( ). 13. 设F 为n R 中有界闭集, 则F 的任何开覆盖有有限子覆盖. ( ). 15. 设F 为n R 中孤立点集, 则F 至多可数. ( ). 16. 直线上有内点的集合必与(0, 1)对等. ( ) 17 度有限的集合一定是有界集. ( )18 *()0m E =, 则E 为至多可数 . ( ) 19 19 nR 中可测集全体构成一个σ-代数. ( ) 20 若*()0m E =, 则E 为可测集 . ( ) 21 若G 为直线上开集, 则()()m G m G = ( ) 22 若*()0m E =, 则E 为有界集 . ( )23 m E m E **=.( )。
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1 判断题：
1. 若,A B 可测, A B ⊂且A B ≠,则mA mB <.F . 例如, (0,1)A =, []0,1B =, 则A B ⊂且A B ≠,但1mA mB ==
2. 设E 为点集, P E ∉, 则P 是E 的外点. F . 例如, 0(0,1)∉, 但0不是(0,1)的外点
3. 点集11,2,,E n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ 的闭集. F . 由于{}0E E '=⊄
4. 任意多个闭集的并集是闭集. F . 例如, 在1R 中, 11,1n F n n ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦, 3,4n = 是一
系列的闭集, 但是3(0,1)n n F ∞
== 不是闭集
若n E R ⊂,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合. T . 因为若E 为有界集合, 则存在
有限区间I , I <+∞, 使得E I ⊂, 则
**,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ 1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。
（×）
2.必有比a 小的基数。
（√）
3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。
（√）
4.无限个开集的交必是开集。
（×）
5.若φ≠E ，则0*>E m 。
（×）
6.任何集n R E ⊂都有外测度。
（√）
7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。
（×）
8.可测集的所有子集都可测。
（×）
9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。
（×）
10.)(x f 在E 上可积必积分存在。
（×）
1、设1E R ⊂，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。
错误
2、若0=mE ，则E 一定是可数集. 错误
3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。
错误
4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ∀∈>，则()0E
f x >⎰
错误 123。