天津大学工程数学基础2017级试题
【数学】2017年高考真题——天津卷(理)(解析版)
2 设变
2 x + y ≥ 0, x + 2 y − 2 ≥ 0, 则目标函数 z = x + y 的最大值为 x, y 满足约束条件 x ≤ 0, y ≤ 3,
B.1 C.
A.
2 3
3 2
D.3
3 阅读 面的程序框图，
行相 的程序，若输入 N 的值为 24，则输出 N 的值为
4 3 πR . 3
其中 R 表示球的半径．
1 设集合 A = {1, 2, 6}, B = {2, 4}, C = { x ∈ R | −1 ≤ x ≤ 5} ，则 ( A U B ) I C = B. {1, 2, 4} C. {1, 2, 4, 6} D. { x ∈ R | −1 ≤ x ≤ 5}
且 f ( x) 的最小正周期大于 2π ，则
A. ω = C. ω =
2 π ，ϕ = 3 12 1 11π ，ϕ = − 3 24
B. ω = D. ω =
2 11π ，ϕ = − 3 12 1 7π ，ϕ = 3 24
8
x 2 − x + 3, x ≤ 1, x 知函数 f ( x) = 设 a ∈ R ，若关于 x 的 等式 f ( x) ≥| + a | 在 R 2 2 x + , x > 1. x
2017 年普通高等学校招生全国统一考试 数学
分钟.第 卷 1 至 2 ，第 卷 3 至 5 .
天津卷
理工类
本试卷分为第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分，共 150 分，考试用时 120
答卷前，考生务必将自 的姓 、准考证号填写在答题考 ，并在规定位置粘贴考试用 条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡 ，答在试卷 的无效.考试结束 卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试 利！ 第 注意 1. 小题选出答案 ， 用铅笔将答题卡 对 题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦 净 卷 ，将本试
《工程数学基础》试卷
天津大学工程硕士研究生《工程数学基础》试卷 （共8页）______学院 专业________班，姓名 学号一. 判断 (每小题1分,共10分)1．Hermite 矩阵n n C A ⨯∈是负定的充要条件为A 的各阶顺序主子式均小于零. （ ）2．线性算子Y X T →:的零空间)(T N 是X 的线性子空间. （ ） 3．任意多个闭集的并仍然是闭集. （ ）4．在Banach 空间中，Cauchy 序列与收敛序列是等价的. （ ） 5．正规矩阵的最小多项式无重零点. （ ）6．设)()(x N x L n n 和分别是)(x f 在区间],[b a 上以b x x x a n ≤<<<≤ 10为节点的n 次Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，则)()(x N x L n n =. （ ）7．用Newton-Cotes 公式计算⎰ba dx x f )(的近似值时节点取得越多则精度越高.（ ）8．线性空间],[b a P n 是n 维的. （ ） 9．2)2,,(2=Ti i . （ ）10．线性算子).,().,(:Y XY X T →是有界的充要条件为存在数0>M 使得对任意的X x ∈有M Tx Y ≤成立. （ ）二. 填空 (每小题1分,共10分) 1.设(A = 则 inf A = .2. 已知4阶矩阵A 的特征多项式为22()(1)(4)f λλλ=+-, 则A 的初等因子组为 .3.设33⨯∈C A 的Jordan 标准形2122J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A 的有理标准形_______________C =.4. 设1i 0211i 01A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦则F A = . 5. ()[()]ij n n A t a t ⨯=可导，则d ()d T A t t= . 6. 已知2e ()1tt A t t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则 1()d A t t ⎰= .7. 设M 求解线性方程组b Ax =的Jacobi 迭代矩阵，则Jacobi 迭代格式收敛的充要条件是()M ρ .8. 设{}nk k x l 0)(=是 ],[b a 上的以b x x x a n ≤<≤,,10 为节点的Lagrange 插值函数则∑==nk k x l 0)( .9. 设n 为奇数，则1+n 个求积节点的Newton-Cotes 求积公式的代数精度最低为 .10. 方阵A 可对角化的充要条件是: A 的最小多项式 .三．计算题 （每小题10分，共70分） 1. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163053064A ,（1）求E A λ-的初等因子组；(2) 求A 的Jordan 标准形J .2. 设126103114--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A , （1）求E A λ-的不变因子；（2）求A 的有理标准形C .3．设214030021A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, （1）求A 的最小多项式()ϕλ; （2）求e At . 4. 已知函数)(x f y =的数值如下：用3次插值多项式计算)1973(f 的近似值（计算过程及结果均保留至小数点后第2位）。
2017年高考真题天津卷理科数学(解析版附后)
2017年高考真题天津卷理科数学第Ⅰ卷参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A ) P (B )． ·棱柱的体积公式V =Sh .·球的体积公式343V R =π. 其中S 表示棱柱的底面面积，其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（A ）{2} （B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1（C ）32（D ）3 （3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3（4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F，离心率为.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=（6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）a b c <<（B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<（7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16- （B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16-所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
天津大学工程数学基础新版习题答案
3.满; 4. sup E
2 , inf E 3 ; 5. 0 ; 6.0; 7. n ; 8. Y .
B
1. 证
y f ( A B) , x A B 使 得 y f ( x) . 由 x A B , 得 x A , 且 x B 故 y f ( x) f ( A) 且 y f ( B) ,即 y f ( A) f ( B) ,因此 f ( A B) f ( A) f ( B) .
0 ,
T T
E22
c
d 0
b 0
d
b
0 E11 bE12 0 E21 dE22 ,即 E20 0 b 0 d ,
a 0 A c 0
0 b
a 0 0 d c
0 b . 0 0 d
当 f 是单射时,只需证明 f ( A) f ( B) f ( A B) 即可：
y f( A ) f( B ) R ( f 由 )f , 是单射知 1x X , 使得 y f( x ).
y f( 且 A ), y f( B ),
x A且x B,即x A B, 从而y f ( x) f ( A B), 故 f ( A) f ( B) f ( A B) .
( f g )(0) ( f g )(0) f (0) g (0) f (0) g (0) [ f (0) f (0)] [ g (0) g (0)] 0 0 0,即 f g W ;( f )(0) ( f )(0) f (0) f (0) [ f (0) f (0)] 0 0, 即 f W .
天津复习题工程数学
一、写出下面问题的数学模型规划，不需求解（1） 设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物资1100吨，分别供给A 地1700吨、B 地1100吨、C 地200吨、D 地100吨。
已知每吨运费如表1所示，运费与运量成正比，建立运费最省的供给方案。
解：设甲、乙运往A 、B 、C 、D 的物资量分别为x 11, x 12, x 13, x 14, x 21, x 22, x 23, x 24吨，则由题意，我们需要去求21x 11+25x 12+7x 13+15x 14+51x 21+51x 22+37x 23+15x 24的最小值。
显然x 11, x 12, x 13, x 14, x 21, x 22, x 23, x 24不能任意取值，我们还有“甲地调出物资2000吨”、“供给A 地1700吨”等条件限制。
总结需求及条件限制，得到下面的完整数学模型：111213142122232411121314212223241121122213231424min 212571551513715..2000,1100,1700,1100,200,100,0,1,2,1,2,3,4ij f x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =+++⎧++++⎪⎪+++=⎪⎪+++=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+=⎪⎪+=⎪≥==⎪⎩该模型的现实含意为：在x 11+x 12+x 13+x 14 = 2000等条件下，求 f = 21x 11+25x 12+7x 13+15x 14+51x 21+51x 22+37x 23+15x 24的最小值。
(这里先做出数学模型，以后再考虑求解方法)（2）某工厂用3种原料P 1，P 2，P 3生产3种产品Q 1，Q 2，Q 3。
已知的条件如下表所示，制定出总利润最大的生产计划。
解：设三种产品的生产量分别为x1, x2, x3时可以得到最大利润3x1+5x2+4x3，则由题意，我们可以得到完整的模型为1231223123max 354..231500,24800,3252000,0,1,2,3j z x x x s t x x x x x x x x j =++⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪++≤⎪≥=⎪⎩二、用图解法解线性规划121212min5..28 4z x x s t x x x x =-⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩三、论述用单纯形方法解LP 问题的基本思想、步骤，并证明主要结论。
天津大学硕士研究生工程数学课后答案全版
+
a xn−1 n−1
++
a2 x2
+
a1 (x
−1).
由上可知,(x −1, x2 , x3 ,, xn )是W的一个基,故 dimW = n.
6. (1“) ⇒ ”:因为T是线性的,故有T (0) = 0.于是,若T (x) = 0,则由T −1存在知T是单射,从而有x = 0. “ ⇐ ”:要证T −1存在,只需证明T是单射：
+
dE22 ,即σ
E20
=
0
b
0
d )T ,
a 0 b 0
∴ A =0
a
0
b
.
c 0 d 0
0
c
0
d
4
习题二
A
一、判断题
1.√；2.×；3.√；4.√；5.×；6.√；7.×；8.×；9.√；10.√；11.×；12.×.
二、填空题
2 0 0 2 0 0 1. x ；2. n ；3. λ, (λ −1)2 , λ + i, λ − i ；4. λ −1, λ +1 ；5. 0 0 −4 ；6. 0 2 0 ；7. O ；
f : x x2 ,取A =[−2, 0], B =[−1, 3],则A ∩ B =[−1, 0]. 于是f ( A ∩ B) = f ([−1, 0]) = [0, 1], 而
f (A) ∩ f (B) = [0, 4] ∩[0, 9] = [0, 4]. 从而有
.
[ ] [ ] 2. 证（1） ∀n ∈ N ,有 −2 + 1 , 2 − 1
, ∃k ∈ N
,使得
x
>
2017天津市大学数学竞赛试题解答(经管类)
)1en +++12121211nnnne e ee e e en nn n n n+++++≤+++≤++++1111110()limlim (1)(1)t t t nn n t n t nee et e e e n e +=+→∞→+++--==--0(1)lim 1t t te e e t→+-==-- 12lim111nnn e n e e ee n n→∞+++++==-+两边夹法则，即得. ln(1)1cos x x+=- 2 .2111cos ),024x x x -→（ 200sin ln(1)4lim 4lim x x x x x→→-+==2(1)21n n -+++2(1)2)(21n x x x n -++++()0(n n f x o x n +++（）！(50)0=49f （）50！250!=49⋅）. =⎰-0()xtf t dt显然()xf t dt ⎰为T 周期函数⇔()=0Tf t dt ⎰，故选（D ）.2. 设函数()y f x =满足方程()(1)210()()'()()0n n n ya x y a x y a x y a x -++++=，若1)000'()=()=()0n f x f x f x -''==（，10000()(()V a x f x a x =+）, 则正确的是（ ）（A ）若n 为奇数且0V ≠，则0x 点为极值点; （B ）若n 为奇数且0V =，则0x 点为极小点； （C ）若n 为偶数且0V ≠，则0x 点为极值点; （D ）若n 为偶数且0V >，则0x 点为极小值点. 解:选（C ）.由条件可得：当n 为偶数，且()0()V 0n f x =-≠时，()f x 在0x 点取得极值，特别地，()0()V 0n fx =-<，()f x 在0x 点取得极大值.3. 设()f x 在[0,)+∞上连续，且单调非增，对0b a >>，则一定有（ ）(A)00()()baa f x dxb f x dx ≥⎰⎰(C)0()()baaf x dx b f x dx ≤⎰⎰(B) 00()()baa f x dxb f x dx >⎰⎰(D) 0()()baaf x dx b f x dx <⎰⎰解：选（C ）设0()(),0xf x dx F x x x=>⎰.因为()f x 在[0,)+∞上连续且单调非增,则由积分中值定理，有02()()()()()0,(0,)xxf x f x dxf x f F x x xxξξ--'==≤∈⎰. 当0b a >>时，()()F a F b ≥,即0()()ba af x dx b f x dx ≤⎰⎰，故（C ）成立.4. 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上可导，且()()0f a f b <，'()'()0f a f b <，则（A ）存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；不一定存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=. （B ）不一定存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=. （C ）不存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=. （D ）存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=.解：选（D ）由连续函数的零点定理以及导函数的零点定理即得.5. 设210sin x I dx xπ=⎰，220sin xI dx x π=⎰，则正确的是（ ）(A) 121I I >> ； （B ）211I I >>；（C ）211I I >>；（D ）121I I >>. 解： 选（B ）显然当(0,)2x π∈时，2sin x x x π<<, 2sin 1xx π<<，210sin 1x I dx xπ=>⎰sin ,x x <则22sin x x <，从而sin sin x xx x<，则221200sin sin x x I dx I dx x xππ=<=⎰⎰，即有211I I >>，选（B)三. (6分) 求极限0arcsin(arcsin )arctan(arctan )limarcsin arctan x x x x x→--.解：331arcsin ()6x x x o x =++ ，331arctan ()3x x x o x =-+ 331arcsin(arcsin )()3x x x o x =++， 332arctan(arctan )()3x x x o x =-+ （4分）330033arcsin(arcsin )arctan(arctan )()lim lim 1arcsin arctan ()2x x x x x o x x x x o x →→-+=-+=2 （6分） 四. (6分)求常数,a b 之值，使得函数cos , 0()12(1)lim (1cos cos cos ),0n ax b x x f x x x n xnx x nn n n →∞+≤⎧⎪=-⎨++++->⎪⎩在=0x 处可导. 解：因为12(1)lim(1cos cos cos)n x xn xnx n n nn→∞-++++- 11001sin =lim cos()cos()n n i i xx x tx dt x x nn x -→∞=-=-=-∑⎰ (2分)此时cos , 0()sin ,0ax b x x f x x x x x+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩.函数()f x 在0x =处连续，则有1b =.。
2017天津高考理科数学试题及答案
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ,B 相互独立,那么 P （A ∪B )=P (A ）+P (B )． P （AB ）=P (A ) P (B ）． ·棱柱的体积公式V =Sh 。
·球的体积公式343V R =π。
其中S 表示棱柱的底面面积,其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ,则()A B C =（A ）{2} （B ）{1,2,4}（C){1,2,4,6}(D ）{|15}x x ∈-≤≤R（2)设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A)23 （B ）1（C ）32(D ）3 （3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B)1（C)2(D ）3 (4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件(D)既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ,离心率为2。
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学天津卷pdf版
（Ⅱ）求 sin(2A + π ) 的值. 4
16.（本小题满分 13 分）
从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的
111 概率分别为 , , .
234 （Ⅰ）设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 m ∈[1, x0 ) (x0 , 2] ，函数 h(= x) g(x)(m − x0 ) − f (m) ，求证： h(m)h(x0 ) < 0 ；
（Ⅲ）求证：存在大于
0
的常数
A
，使得对于任意的正整数
p,
q
，且
p q
∈[1,
x0 )
(x0 ,
2],
满
足|
p q
−
x0
|≥
1 Aq4
.
天津理数答案
其中 S 表示棱柱的底面面积，
P(AB)=P(A) P(B)．
·球的体积公式V= 4 πR3 . 3
其中 R 表示球的半径．
h 表示棱柱的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合 A = {1, 2, 6}, B = {2, 4},C = {x ∈ R | −1 ≤ x ≤ 5}，则 ( A B) C =
= 1 × 11 + 11 × 1 = 11 . 4 24 24 4 48 11
所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 .
48
（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空
间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分 13
天津大学工程数学基础新版习题答案.pdf
4.
证
设 Y D
是线性空间
X的一族子空间ຫໍສະໝຸດ 要证DY也是X的线性子空间
.显然
D
Y
，z
只需证明
D
Y
对X的线性运算是封闭的.
事实上，x,
y
D
Y
及
, ,从而对每一个 D ,
有
x,
y
Y
,故
x
y
Y
,
x
Y
.于是,
x
y
D
Y
,
x
D
Y
.因此,
D
Y
是
X
的线性子空间.
5. 证 显然W包含零多项式,故非空；又f , g W,及 ，有
(2)y1, y2 Y及1, 2 , x1, x2 X ,s.t.y1 Tx1, y2 Tx2 ,即x1 T 1( y1), x2 T 1( y2 ).于是有
T 1(1 y1 +2 y2 ) T 1[1T (x1) 2T (x2 )] T 1[T (1x1 2 x2 )] 1x1 2 x2 1T 1( y1) 2T 1( y2 ),
故T 1 : Y X是线性的. 7. 解 首先验证: 22 22是线性的,然后求其在即B下的矩阵A.
X1, X2 22 ,k1, k2 ,由的定义，有
( B
1 0
0 0 1 0 0 0 , 0 0 , 1 0 , 0
(k1 X1 +k2 X2 ) A0 (k1 X1 +k2 X2 ) k1 A0 X1 +k2 A0 X2 k1 (X1)+k2 (X2 ),
故: 22 22是线性的.
)0 0
1
关键是求基元E1
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(天津卷,含解析)
高考提醒一轮看功夫，二轮看水平，三轮看士气梳理考纲，进一步明确高考考什么！梳理高考题，进一步明确怎么考！梳理教材和笔记，进一步明确重难点！梳理错题本，进一步明确薄弱点！抓住中低档试题。
既可以突出重点又可以提高复习信心，效率和效益也会双丰收。
少做、不做难题，努力避免“心理饱和”现象的加剧。
保持平常心，顺其自然绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理天津卷【试卷点评】2017年天津高考数学试卷考点变化不大，题型结构与2016年相同，从知识结构角度看，试卷考查内容覆盖面广，与往年基本一致。
与此同时，试卷命题中出现的综合与创新，体现了能力立意的命题思路与稳中求变的命题特点。
整卷难度分布合理，具有较好的区分度，整体难度与去年相比稍有降低。
纵观整篇试卷，命题严格按照《考试说明》与课程标准，双基内容占了相当大的比例，体现了命题人回归教材、突出主干的思路，重视对考生基本数学素养的考查。
对于此部分题目，只要考生熟练掌握基本概念和定理，就可以轻松得分。
试卷在知识点选择上与去年相比略有改变，考验学生基础知识掌握的全面性。
试卷命题风格稳定，试题布局合理，利于考生发挥自身真实水平，具有较好的信度和效度。
在注重基础和应用的同时，今年天津高考试卷也加强了综合性与创新性的考查，以提高试卷区分度，如第8题，主要考查基本初等函数的图象和性质，设问综合了分段函数单调性、函数零点以及图象变换等典型考点，充分考查了考生的数形结合思想与转化化归思想，考验学生的知识理解深度与分析问题解决问题的能力。
第19题总的来说需要考生熟练掌握解析几何中常见几何图形性质的代数表达并合理选择参数简化运算，对考生的运算和解题技巧要求较高。
第20题设问较为新颖，命题具有一定的抽象性与综合性，需要学生基于三次函数单调性与极值最值的关系进行探索分析，考查函数与方程、分类讨论、转化等数学思想，问题思路环环相扣，逻辑严密，难度较大，充分考验学生的心理素质，具有较好的区分度，体现了高考的选拔性，另外也给优秀学生提供了展示自身能力的平台，也引导我们数学教学工作需注重数学能力与创新意识的培养。
2017年天津卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷共20题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，5}D．{x∈R|﹣1≤x≤5}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1C．D．33．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A．0B．1C．2D．34．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．=1B．=1C．=1D．=16．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g （3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣2，]二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为．12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学(参考答案)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故选：B．2．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．故选：D．3．【解答】解：第一次N=24，能被3整除，N=≤3不成立，第二次N=8，8不能被3整除，N=8﹣1=7，N=7≤3不成立，第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N==2≤3成立，输出N=2，故选：C4．【解答】解：|θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜，sinθ＜⇔﹣+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，则（0，）⊂[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z，可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．故选：A．5．【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e==，c=a，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k==，则=1，c=4，则a=b=2，∴双曲线的标准方程：；故选B．6．【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选C．7．【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）=2求得φ值．【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．8．【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值，则﹣≤a≤①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（当且仅当x=＞1）取得最大值﹣2；由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．故选：A．9．【解答】解：a∈R，i为虚数单位，===﹣i由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．10．【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a=，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R=，则球的体积V=π•（）3=；故答案为：．11．【解答】解：直线4ρcos（θ﹣）+1=0展开为：4ρ+1=0，化为：2x+2y+1=0．圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．∴圆心C（0，1）到直线的距离d==＜1=R．∴直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．故答案为：2．12．【解答】解：a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．13．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．14．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；②、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53•C41=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：1080．15．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB=，可得cosB=．由已知及余弦定理，有=13，∴b=．由正弦定理，得sinA=．∴b=，sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+）==．16．【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=，P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，P（X=3）=××=；随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）=×+×=；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．17．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则，，设平面MEN的一个法向量为，由，得，取z=2，得．由图可得平面CME的一个法向量为．∴cos＜＞=．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为，则正弦值为；（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），，．∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为，∴|cos＜＞|=||=||=．解得：t=4．∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为4．18．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．（II）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=4n，有a2n b2n﹣1=（3n﹣1）4n，故T n=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n=．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．19．【解答】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．依题意可得，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2﹣c2=．所以，椭圆的方程为x2+=1，抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），联立方程组，解得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．∴B（，）．∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，令y=0，解得x=，故D（，0）．∴|AD|=1﹣=．又∵△APD的面积为，∴×=，整理得3m2﹣2|m|+2=0，解得|m|=，∴m=±．∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0，或3x﹣y﹣3=0．20．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=．，所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．所以，h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点；当m∈（x0，2]时，h（x）在区间（x0，m）内有零点．所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（﹣x0）﹣f（）=0．由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），于是|﹣x0|=≥=．因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x ）在区间[1，2]上除x 0外没有其他的零点，而≠x 0，故f（）≠0．又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．所以|﹣x0|≥．所以，只要取A=g（2），就有|﹣x0|≥．11/ 11。
2017年高考真题——数学(理)(天津卷) Word版含解析
绝密★启用前本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A ) P (B )． ·棱柱的体积公式V =Sh .·球的体积公式343V R =π. 其中S 表示棱柱的底面面积，其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（A ）{2} （B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R 【答案】B 【解析】(){1246}[15]{124}AB C =-=，，，，，， ,选B.（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1（C ）32（D ）3 【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中324(0,1),(0,3),(,3),(,)233A B C D --，所以直线z x y =+过点B 时取最大值3，选D.（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3 【答案】C【解析】依次为8N = ,7,6,2N N N ===，输出2N = ，选C. （4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，离心率为.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=【答案】B【解析】由题意得224,14,188x y a b c a b c ==-⇒===-=- ，选B. （6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C（7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16-【答案】A所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2017年数学真题及解析_2017年天津市高考数学试卷(文科)
2017年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，6}2．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为．11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．12．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为．13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．19．（14分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g （x）=e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N 在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．2017年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，6}【分析】由并集定义先求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C．【解答】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}．故选：B．【点评】本题考查并集和交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集和交集定义的合理运用．2．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，得0≤x≤2．则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出基本事件总数n==10，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率．【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，基本事件总数n==10，取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p==．故选：C．【点评】本小题主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是基础题．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．【解答】解：第一次N=19，不能被3整除，N=19﹣1=18≤3不成立，第二次N=18，18能被3整除，N==6，N=6≤3不成立，第三次N=6，能被3整除，N═=2≤3成立，输出N=2，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后等到双曲线的方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），可得c=2，，即，，解得a=1，b=，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c 的大小．【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，∴a=﹣f（）=f（log25），b=f（log24.1），c=f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故选：C．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题．7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）=2求得φ值．【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．【分析】根据题意，作出函数f（x）的图象，令g（x）=|+a|，分析g（x）的图象特点，将不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立转化为函数f（x）的图象在g （x）上的上方或相交的问题，分析可得f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得a 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=的图象如图：令g（x）=|+a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，若不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交，则必有f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得﹣2≤a≤2，故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，关键是作出函数f（x）的图象，将函数的恒成立问题转化为图象的上下位置关系．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为﹣2．【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：a∈R，i为虚数单位，===﹣i由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为1．【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y轴上的截距．【解答】解：函数f（x）=ax﹣lnx，可得f′（x）=a﹣，切线的斜率为：k=f′（1）=a﹣1，切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1），l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）=1．故答案为：1．【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a=，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R=，则球的体积V=π•（）3=；故答案为：．【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．12．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为（x+1）2+=1．【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA==1，由此求得OA的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程．【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=﹣1，∵点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A，∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA===1，∴OA=，∴A（0，），如图所示：∴C（﹣1，），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为，故答案为：（x+1）2+=1．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中档题．13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为4．【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【方法二】将拆成+，利用柯西不等式求出最小值．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得asinB=bsinA，结合asinA=4bsinB，得a=2b．再由，得，代入余弦定理的推论可求cosA的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，代入asinA=4bsinB，得sinB，进一步求得cosB．利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB=bsinA，又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，两式作比得：，∴a=2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA=4bsinB，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【分析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；（Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】（Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为，即．该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．考虑z=60x+25y，将它变形为，这是斜率为，随z变化的一族平行直线．为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．又∵x，y满足约束条件，∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．解方程组，得点M的坐标为（6，3）．∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．【点评】本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值．（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得，故．所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得．所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．【点评】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，是中档题．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．通过b2+b3=12，求出q，得到．然后求出公差d，推出a n=3n﹣2．（Ⅱ）设数列{a2n b n}的前n项和为T n，利用错位相减法，转化求解数列{a2n b n}的前n项和即可．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，{b n}的通项公式为．（Ⅱ）解：设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，有，，上述两式相减，得=．得．所以，数列{a2n b n}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．【点评】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转化思想以及计算能力．19．（14分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g （x）=e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f（x）的单调区间；（Ⅱ）（i）求出g（x）的导函数，由题意知，求解可得．得到f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）由（I）知x0=a．且f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．构造函数t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b的范围．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）=3x2﹣12x ﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）=e x（f（x）+f'（x）），由题意知，∴，解得．∴f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0﹣1，x0+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）=1，f'（x0）=0，故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0=a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，∴t'（x）=6x2﹣12x，令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．∴b的取值范围是[﹣7，1]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N 在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过．转化求解椭圆的离心率．（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．通过a=2c，可得直线AE的方程为，求解点Q的坐标为．利用|FQ|=，求出m，然后求解直线FP的斜率．（ii）求出椭圆方程的表达式，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立通过，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由b2=a2﹣c2，可得2c2+ac﹣a2=0，即2e2+e﹣1=0．又因为0＜e＜1，解得．所以，椭圆的离心率为；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE的方程为，即x+2y﹣2c=0，与直线FP 的方程联立，可解得，即点Q的坐标为．由已知|FQ|=，有，整理得3m2﹣4m=0，所以，即直线FP的斜率为．（ii）解：由a=2c，可得，故椭圆方程可以表示为．由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立消去y，整理得7x2+6cx﹣13c2=0，解得（舍去），或x=c．因此可得点，进而可得，所以．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP．因为QN⊥FP，所以，所以¡÷FQN的面积为，同理¡÷FPM的面积等于，由四边形PQNM的面积为3c，得，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2．所以，椭圆的方程为．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．。
工程数学基础教程课后习题答案
.工程数学基础习题解答习 题 一A一、判断题1.√；，2.√；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.√；9.√；10.×.二、填空题1.;C C A B2.111(){1,2,3,4},(){,,},(){,,},(){1,4},(){2,3};f f a b e f A a b e f B f b --=====D R3.满;4.2sup =E ,3inf -=E ; 5.0; 6.0; 7. n ; 8.Y .B1.证 ()y f A B ∀∈⋂,x A B ∃∈⋂使得)(x f y =.由x A B ∈⋂,得x A ∈,且x B ∈故()()y f x f A =∈且()y f B ∈,即()()y f A f B ∈⋂,因此()()()f A B f A f B ⋂⊂⋂.当f 是单射时,只需证明()()()f A f B f A B ⋂⊂⋂即可： ()()(),y f A f B f ∀∈⋂⊂R f 由是单射知,().(),(),1X y f x y f A y f B x ∃=∈∈∈使得且,,()(),x A x B x A B y f x f A B ∴∈∈∈⋂=∈⋂且即从而故()()()f A f B f A B ⋂⊂⋂.是可能的，例如,2:,[2, 0],[1, 3],[1, 0].f xx A B A B =-=-⋂=-取则()([1,0])[0, 1], f A B f ⋂=-=于是而[][]()()0, 4[0, 9]0, 4.f A f B ⋂=⋂=从而有 .2. 证（1）n ∀∈,有)2 ,2(12 ,12][-⊂-+-n n ,故 ∞=-⊂-+-1)2 ,2(12 12][n n ,n .另一方面,)2 ,2(-∈∀x ,k ∃∈,使][12 ,12k k x -+-∈,故 ∞=-+-∈1][12 12n n ,n x ,于是⊂-)2 ,2( ∞=-+-1][12 12n n,n .因此, ∞=-+-=-1][12 ,12)2 ,2(n nn .（2）n ∀∈,有)12 ,12(]2 ,2[n n +--⊂-,故 ∞=+--⊂-1)12 ,12(]2 ,2[n n n .另一方面,对任意]2 ,2[-∉x ,即2>x ,k ∃∈,使得212>+>kx ,即)12 ,12(k k x +--∉,从而 ∞=+--∉1)12 ,12(n n n x ，故 ∞=-⊂+--1]2,2[)12 ,12(n n n .因此,∞=+--=-1)12,12(]2,2[n nn . 3. sup ,sup ,sup ,.A A A μμμμ''===证设且要证唯一只需证明即可sup ,,,sup ,,;.inf .A A A A A μμμμμμμμμμ'''=≤=''≤= 因为是最小上界而是的上界故又因为是最小上界而是的上界故因此 类似地可以证明是唯一的 4. 证 设{}D Y αα∈是线性空间X 的一族子空间,要证D Y X αα∈⋂也是的线性子空间.显然D Y αα∈⋂≠∅，z 只需证明.D Y X αα∈⋂对的线性运算是封闭的事实上，,Dx y Y αα∈∀∈⋂及,λ∀∈,从而对每一个D ∈α,有,x y Y α∈,故x y Y α+∈,x Y αλ∈.于是,D x y Y αα∈+∈⋂,D x Y ααλ∈∈⋂.因此,DY αα∈⋂是X 的线性子空间. 5. ,,,W f g W λ∀∈∀∈证显然包含零多项式故非空；又及，有()(0)()(0)(0)(0)(0)(0)[(0)(0)][(0)(0)]000,f g f g f g f g f f g g '''''+++=+++=+++=+=即;()(0)()(0)(0)(0)[(0)(0)]00,.f g W f f f f f f f W λλλλλλλ'''+∈+=+=+==∈即[0, 1].n W P 所以,是的线性子空间1111021121001121 [0, 1],(),()2.(0)(0)0,0,,()(1).n n n n n n n n n n n f W P f x a x a x a x a f x na x a x a f f a a a a f x a x a x a x a x -----'∀∈⊂=++++=+++'+=+==-=++++-设则由得即故23(1,,,,),dim .n x x x x W W n -=由上可知,是的一个基故6. 1(1),(0)0.()0,0.T T T x T T x -⇒===“”:因为是线性的故有于是,若则由存在知是单射,从而有 1T T -⇐“”:要证存在,只需证明是单射：121212121212,,((),()()()0,0,,.x x X T x T x T x x T x T x x x x x T ∀∈=-=-=-==当)即时由条件得即故是单射 1112121211221122(2),,,,,s.t.,,(),().y y Y x x X y Tx y Tx x T y x T y λλ--∀∈∀∈∃∈====及即于是有1111111221122112211221122(+)[()()][()]()(),T y y T T x T x T T x x x x T y T y λλλλλλλλλλ-----=+=+=+=+1:.T Y X -→故是线性的7. 2222:,.B A σ⨯⨯→解首先验证是线性的然后求其在即下的矩阵221212,,,,X X k k σ⨯∀∈∀∈由的定义，有 10010000,,,0001001()B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1122011221012021122(+)(+)+()+(),k X k X A k X k X k A X k A X k X k X σσσ===2222:.σ⨯⨯→故是线性的1112212210010000,,,00001001E E E E B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦关键是求基元的像在基下的坐标：()()()11111221221110000000,00,Tab acd cE aE E cE E E a c σσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即()()()12111221221201000000,00,Tab a cd c E E aE E cE E a c σσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即()()()21111221222100010000,00,T ab bcd d E bE E dE E E b d σσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即()()()2211122122200001000,00,Tab b cd d E E bE E dE E b d σσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即 0000.0000aba b A c d c d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎣⎦习 题 二A一、判断题1.√；2.×；3.√；4.√；5.×；6.√；7.×；8.×；9.√；10.√；11.×；12.×.二、填空题1.x ；2.n ；3.2,(1),i,i λλλλ-+-；4. 1,1λλ-+；5.200004014⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦；6.200020012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；7.O ； 8.O ；9.1λ-；10.6.三、单项选择题1.(d)；2. (b)；3. (b)；4. (d)；5. (a).B1.解（1）E A λ-()[]−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=-+212]3,2[]2,1[020012201200120012λλλλλλλ ()[]()[]()[]()[]222311322132232)2(00)2(10001020)2(10201-⋅+-⋅-⋅--⋅+−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----λλλλλλλλ ()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---⋅3123)2(11)2(00010001λλ, 3123()()1, ()(2).d d d λλλλ∴===-（2）E A λ-[][]()[]−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------=+-λλλλλλλ13123,1111111111111()[][]3211222311111011010011012λλλλλλλλλλ+⋅-⎡⎤⎣⎦+----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+--−−−→+−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎣⎦⎣⎦[]()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++---⋅-+)2)(1(11)2)(1(0001011117312λλλλλλλλ, 1()1d λ∴=,1)(2+=λλd ,)2)(1()(3-+=λλλd .（3）E A λ-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=52340100010012345100010001λλλλλλλλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---→542300100100012λλλλλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++--→543200100010001232λλλλλλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++→5432111234λλλλ, 12()()()1d d d λλλ∴===,5432)(2344++++=λλλλλd .（4）[]1,2310013004100140071211721761671E A λλλλλλλλλ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥-=−−→⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()[]()()()21122314162131113001000021000(1)0004210(4)210611106111λλλλλλλλλλλλλλ+-+⎡⎤⎣⎦-+-⎡⎤⎣⎦+⋅-⎡⎤⎣⎦⋅-⎡⎤⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥−−−−→−−−−→⎢⎥⎢⎥-----+--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦[]()2243232100010000(1)000(1)000621062106101010(1)0λλλλλλλλ+⋅⎡⎤⎣⎦+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→−−−−→⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦()()()2421[4()][24(1)]10[246][41][342]2210001000(1)0(1)0000010********(1)(1)0100101010λλλλλλ-⋅-⋅-+⋅-⋅-+⋅-⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥−−−→−−−−→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦[][]242,4(2)3,4[32]1041000100(1)010001110(1)λλλ-+⋅⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥−−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 123()()()1d d d λλλ∴===,44)1()(-=λλd .2. 解 (1)∵4det ()(2)A λλ=-+，∴44)2()(+=λλD ,又∵01021210100≠-=++λλ,∴1)(3=λD ,从而1)()(21==λλD D .于是不变因子为1)()()(321===λλλd d d ,44)2()(+=λλd ；初等因子组为4)2(+λ. (2)2210010010010()00000()000()B λαλαλαλαλλαλαλαλα++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥≅≅⎢⎥⎢⎥+-+⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++≅22)()(11αλαλ, 故不变因子为 1)()(21==λλd d ,23)()(αλλ+=d ,24)()(αλλ+=d ; 初等因子组为 22)(,)(αλαλ++.(3)显然313()1,det ()(1)()D C D λλλλ==+=,而2(1)(5)08(1)adj ()3(1)(1)6(1)2(1)0(1)(3)C λλλλλλλλλλ+++⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥-++-⎣⎦， ∴1)(2+=λλD .因此2321)1()(,1)(,1)(+=+==λλλλλd d d ; 初等因子组:2)1(,1++λλ.（4）由第1题（4）知1)()()(321===λλλd d d ,44)1()(+=λλd .也可这样解：由行列式的Laplace 展开定理得43121det ()(1)411D λλλλλλ----=⋅=-+，故44)1()(-=λλD ;又)(λD 的左下角的三阶子式372471672170142+-=---+λλλλ与)(4λD 是互质的,所以1)(3=λD ,从而1)()(12==λλD D .因此44321)1()(,1)()(,1)(-====λλλλλd d d d ;初等因子组:4)1(-λ.3.解（1）∵12020(1)(1)(2)211E A λλλλλλλ---=-=+--+，∴1~12A J ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.（2）∵E A λ-611123034371230343104252373-+-+-=-++-+-=--+--=λλλλλλλλλλλλ 611123036411022-+-+++----=λλλλλλλ)i )(i )(1(123+--=-+-=λλλλλλ，∴~A J ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=i i 1. （3）∵[]1,231001300410014007121172117616171E A λλλλλλλλλ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥-=→⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[][][])1(12)1(13)6(14+⋅+-⋅+⋅+−−−→−λ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------λλλλλλλλλλ2222)1()1(0100000)1(000011160124000)1(00031⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→22)1()1(11λλ, ∴初等因子组为2)1(-λ,2)1(-λ,于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11011J ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11012J ,故12111111JJ J ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. （4）0001001E A λλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,()det()n nD E A λλλ=-=,又有一个1-n 阶子式0)1(1111≠-=----n λλλ,∴1)()(11===-λλD D n ，故1)()()(121====-λλλn d d d ,n n d λλ=)(;初等因子组为n λ,所以010~110A J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (事实上，A 本身就是一个Jordan 块)4.解（1）由第1题（2）知1)(1+=λλϕ,2)2)(1()(22--=-+=λλλλλϕ,所以12100~002011CA C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. （2）由第1题（3）知5432)(234++++=λλλλλϕ，故B 的有理标准是0005100401030012C -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦.5.解 由J 立即可知A 的初等因子组为2)1(-λ,2-λ,2)2(-λ,于是不变因子为1)()()(321===λλλd d d ,()24-=λλd ,225)2()1()(--=λλλd .即2)(1-=λλϕ，412136)(2342+-+-=λλλλλϕ，故200000000401001200101300016C ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.6.解 （1）744744()481099418418f E A λλλλλλλλλ----=-=-+=++++2)9)(9(71490847+-=++--=λλλλλ.因为2441644(9)(9)4171 4114117411A E A E O ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+=---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦,所以最小多项式为)9)(9()(+-=λλλm .（2）32310()det()0132(2)(1)23D E B λλλλλλλλλ-=-=-=--=-+--,∵有一个二阶子式01101≠=--λ,∴1)()(21==λλD D .因此,23)1)(2()()(+-==λλλλd m . （3）对E C λ-施行初等变换得其Smith 标准形23()diag(1, 1, 1,(3),(3))S λλλ=--，∴35)3()()(-==λλλd m .7.证 若A 可对角化,则A 的最小多项式)(λm 无重零点,必要性得证. 若A 有一个无重零点的零化多项式)(λϕ,则因为)(deg )(deg λϕλ≤m ,故)(λm 也无重零点,由定理2.16知A 可对角化.8. 证 (1) 22A A E +=,22A A E O +-=,∴)1)(2(2)(2+-=-+=λλλλλϕ是A 的一个无重零点的零化多项式,故A 可对角化. (2)mA E =,∴1-mλ是A 的零化多项式,其零点2i ek mk πλ=(0,1,,1)k m =-是互不相同的,故A 可对角化.习 题 三A一、判断题1.√；2.√；3.√；4.√；5.√；6.√；7.√；8.×；9.√；10.×；11.√；12.√；13.×； 14.× 15.√；16.√；17.√；18.√；19.√；20.×；21.√；22√；.23.×；24.√；25.√.二、填空题1.0；2.0y ；3.()T111,,,2n；4. 12；5.Banach ；6.1；7.3；8.15,2FA A A∞==+=；9.3.三、单项选择题1.(c)；2. (c)；3. (b)；4. (a)；5. (b);6.(c).B1. 证 仅验证三角不等式,其余是显然的.设Tn ),,(1ξξ =x ,T n ),,(1ηη =y 是n中的任意两个元素.∑∑∑∑====+=+=+≤+=+n i ni ni i ni i i i i i 1111111)(y x y x ηξηξηξ；i ni i ni i i ni i ni ηξηξηξ≤≤≤≤≤≤≤≤∞+≤+≤+=+11111max max }{max max y x∞∞+=y x .2. 证 因为[],, x y C a b ∀∈及∈∀α,有(N 1) t t x x bad )( 1⎰=0≥,显然若0=x ,即0)(≡t x ,则01=x ;反之,若01=x ,即0d )( =⎰t t x ba,则由)(t x 的连续性,知0)(≡t x ,即0=x ;(N 2) 11d )(d )(x t t x t t x xba b aαααα===⎰⎰;(N 3) t t y t t x t t y t x yx bab ab ad )(d )(d )()(1⎰⎰⎰+≤+=+11y x +=;所以1 ⋅是[], C a b 上的范数.3.解121i 1i 22,max{1,i ,1i}x x x ∞=+-++===-+= 4.解1max{101,210,i 11i }max{2,3,22max{12i ,011,101i }max{4,2,1 4.A A ∞=++-++-+-+-===++-++--++-==5.证 (1)lim ,lim ,.n n n n x x X x y Y x y →∞→∞=∈=∈=设又只需证明即可 {}0lim lim lim lim lim 000,0,0,.n n n n n n n n n n n x y x y x x x y x x x y x x x y x y x y x y →∞→∞→∞→∞→∞≤-=-=-+-≤-+-=-+-=+=∴-=-==故即122lim ,1,,1,1, 1. max{,,,,1},,().n n n n n n N n n x x X N n N x x x x x x x x M x x x x n x M x ε→∞=∈=∃∈>-≤-≤-≤≤+=+∀∈≤ （）设则对使得当时,恒有从而有即取则，有故有界6.证 设x 是,()n X x X x 中任意一点是中收敛于的任一序列.()():,lim ()();:,lim ()().lim()()()(),:.n n n n n n n f X Y Y f x f x g Y Z Z g f x g f x g f x g f x g f X Z x →∞→∞→∞→=→==∴→ 由连续知在中有又由连续知在中有即在点处连续,:.x X g f X Z ∈→由的任意性知是连续映射7. 证 由于()n x 和()n y 都是X 中的Cauchy 序列，则0>∀ε,12,N N ∃∈,使得当1,N m n >时，2ε<-m n x x ； 当2,N m n >时，2ε<-m n y y .令},m ax {21N N N =,则当N n m >,时,有)()( m m n n m m n n y x y x y x y x ---≤---εεε=+<-+≤22m n m n y y x x ,这表明()n n x y -是中Cauchy 的序列,由的完备性知,数列()n n x y -收敛.100001110101010121 (1)[0, 1],0,[0, 1],()0,max ()()0,(N ).d(())d(())[0, 1],,max ()maxmax ()max ,d d (N ). ,[0,dx d ddx x x x d f C f x f x f f x f x f x f x f C f f x f x fx x f g C λλλλλλλ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤∀∈≠∃∈>≥≥>⋅∀∈∀∈=+=+=⋅∀∈8.证且即使得故即满足即满足01010101010d(()())1],max ()()maxd d ()dg() max ()()max d d max ()max dx x x x x f x g x f gf xg x xf x x f xg x x x f x ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤++=++⎡⎤≤⎡+⎤++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤+101010101010131d ()dg()()max maxd d d ()dg()max ()maxmax ()max ,d d (N ).,[0, 1].x x x dd x x x x d d f x x g x x x f x x f x g x f g x x C ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤++⎡⎤⎡⎤=+++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⋅⋅即满足 所以是上的范数(2):D ]1 ,0[1C ]1 ,0[C →显然是线性的.因为1[0, 1]f C ∀∈,有110101d ()d ()maxmax ()max ,d d dx x t f x f x Df f x f x x≤≤≤≤≤≤=≤+=故D 是有界的. 9. 证 由于 ⋅是n n⨯上的方阵范数,故,n nA B ⨯∀∈及α∀∈,有(1)1*0AS AS -=≥,并且11*0A S AS S AS O A O --==⇔=⇔=;(2)11**A S AS O S AS A αααα--====;(3)()11111*A B S A B S S AS S BS S AS S BS -----+=+=+≤+**A B =+;(4)111*()()AB S ABS S AS S BS ---==11**S AS S BS AB --≤=;因此,* ⋅是n n⨯上的方阵范数.10. 2;F A 解 21i()det(),()0;i1f E A A λλλλρλ--=-==∴=-+H HH 21i 1i 22i 22i,(4),()4,i 1i 12i 22i 22.A A E A A A A A λλλλρλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==-==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴=11. 证 显然A λ≤.∵λ是可逆阵A 的特征值,则λ1是1A -特征值,故11A λ-≤,即11Aλ-≥. ∴11A A λ-≤≤.12.证 要证0(),x T ∈N 只需证明00.Tx =()0()(),0.lim ,,n n nn x T Tx n xx T →∞⊂=∀∈=由知于是当且是有界线性算子时有N0(lim )lim ()lim00,n n n n n Tx T x T x →∞→∞→∞====故0().x T ∈N习 题 四A一、判断题1.×；2.√；3.√；4.×；5.√；6.√；7.×；8.×.二、填空题1.2213e e 001cos x x x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；2.222(1)tE t -+；3.1；4. 3e t ；5.22222222e e e e e e tt t t tt t t t ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 6.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-t t t 2cos 2cos cos ；7.1； 8.3e -. B1. sin cos d (),d cos sin tt A t t tt -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦解 []22d d det ()cos sin 0d d A t t t t t =+=⎡⎤⎣⎦,22sin cos d ()det()sin cos 1.d cos sin t t A t t t t t t-==+=-- 2. 2213e e 0 ().01cos x x x f x ⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦解x3. 1 1 0 0 11 10 0 0 110 0e d e d e 11 ()d d2d 11.sin d cos d 1cos1sin1t tt t t A t t t t t t t t t ⎡⎤-⎡⎤⎰⎰⎢⎥⎢⎥==⎰⎰⎰⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎰⎰⎣⎦⎣⎦解 4. 证明（1）d d d d d d ()()()()d d d d d d T T T T T f x x x x Ax Ax x Ax Ax x A t t t t t t==+=+d d d d d ()2;d d d d d T T T T T T T T x x x x x x A x A x A x A x A t t t t t=+=+=.（2）d d d d d d ()()2.d d d d d d T T T T T T T x x x x x x x x x x x x t t t t t t=+=+=5. 证（1）若lim k k A A →∞=,则2lim 0k k A A →∞-=. ∵222()T TTk k k A AA A A A -=-=-(可以证明[1]2222H T A A A A ===)，∴2lim 0T Tk k A A →∞-=,即lim T Tk k A A →∞=. 同理可证lim k k A A →∞=,由上已证的结果立即可得lim H H k k A A →∞=.（2）000()lim ()lim ()NNTkT kk Tk k k N N k k k c A c A c A ∞→∞→∞=====∑∑∑0lim()Nk Tk N k c A →∞==∑ 0(lim )N k T k N k c A →∞==∑0()k Tk k c A ∞==∑ 6. 证 令()3200det()11120113E A λλλλλ--=---=-=--得A 的全部特征值均为 2. 于是13B A =的所有特征值都是32,故()213B ρ=<,因此lim k k B O →∞=.7. 证 方法一: 当0=t 时,显然成立,故设0≠t .记010100t t A t ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 22det()(i )(i )E A t t t λλλλ-=+=-+，t i 1=λ,t i 2-=λ.对t i 1=λ,解方程(i )0tE A x -=可得11i x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；对t i 2-=λ解方程(i )0tE A x --=得21i x ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.令11i i P ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,则P 可逆且11/2i /21/2i /2P --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.所以01i 10i i 1i 111/2i /2e 0ee diag(e ,e )i i 1/2i /20e tt Attt P P ⎡⎤⎢⎥---⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+---+=----t t t t t t t t t t t t cos sin sin cos )e e (21)e e (i 21)e e (i 21)e e (21i i i i i i i i .方法二：记0110B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,21det()11E B λλλλ--==+,{}()i,i B σ=-.B 的最小多项式1)(2+=λλϕ,2)(deg =λϕ. 故设01e ()()tB a t E a t B =+.∵λt e 与λ)()(10t a t a +在()B σ上的值相等,即⎩⎨⎧=-=+-tt t a t a t a t a i 10i 10e )(i )(e )(i )(, ∴t t a t t cos 2e e )(i i 0=+=-，t t a tt sin i2e e )(i i 1=-=-.因此0110cos sin ecos sin sin cos t t t tE tB t t ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦⎡⎤=+=⎢⎥-⎣⎦.8. 2eJordan ,e e e .e e e 2ttAtt t tt A t t t ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解是块 9. 解 2214det()02(2)(1)031E A λλλλλλ----=-=----.∵(2)()A E A E O --≠,∴A 的最小多项式)1()2()(2--=λλλϕ.3)(deg =λϕ，故设2012()()()()()f At a t E a t A a t A T At =++=. 由()f t λ与()T t λ在{}()1,2A σ=上的值相等,于是(1)对()e Atf At =有⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++tttt t a t a t a t a t a t a t a t a 2212210210e )(4)(e )(4)(2)(e )()()(,解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=+-=t t t t t t t t t t t a t t a t t a 222221220e e e )(e 3e 4e 4)(e 2e 3e 4)(所以22100e (4e 3e 2e )010001tA t t t t ⎡⎤⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+130020412)e 3e 4e 4(22t t t t⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+19004012164)e e e (22t t t t ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-=ttt t t t t t t tt e e 3e 300e 0e 4e 4e 13e 12e 12e 222222(2)对()sin()f At At =有01201212()()()sin ()2()4()sin 2()4()cos 2a t a t a t t a t a t a t t a t a t t t ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=+-=tt t t t a t t t t t a t t t t t a 2cos 2sin sin )(2cos 32sin 4sin 4)(2cos 22sin 3sin 4)(210. ∴2012sin()()()()At a t E a t A a t A =++sin 212sin 12sin 213cos 24sin 4sin 20sin 2003sin 3sin 2sin t t t t t t t t t t t -+-+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦（注）可利用(1)的结果求(2)（或cos()At ）：在(1)中分别以t i 和t i -替代t 得i e tA 和i etA-，再由公式i i i i e e e e sin()(cos())2i 2tA tA tA tAAt At ---+==或即得. 10. 解 210det()01(+1)01+2E A λλλλλλ-==-()A A E O -≠且,故A 的最小多项式2()(1)φλλλ=+，3)(deg =λϕ，故设2012()()()()()f At a t E a t A a t A T At =++=,即012100010001()()010()001()012001012023f At a t a t a t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦012021212012()()()0()()()2()0()2()()2()3()a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t -⎡⎤⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦. 由()f t λ与()T t λ在A 上的谱值相等,于是(1)对()e Atf At =有001212()1()()()e ()2()e tta t a t a t a t a t a t t --=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩,解得012()1()22e e ()1e e t t t t a t a t t a t t ----=⎧⎪=--⎨⎪=--⎩012021212012()()()e 0()()()2()0()2()()2()3()122e e 1e e 0e e e 0e e e At t t t t t t tt t ta t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t t t t t t t -----------⎡⎤⎢⎥∴=--+⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦-++-+⎡⎤⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. (2)对()sin()f At At =有001212()0()()()sin ()2()cos a t a t a t a t t a t a t t t =⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，解得012()0()2sin cos ()sin cos a t a t t t t a t t t t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩.012021212012()()()sin()0()()()2()0()2()()2()3()a t a t a t At a t a t a t a t a t a t a t a t a t -⎡⎤⎢⎥∴=--+⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦02sin cos sin cos 0sin cos cos 0cos sin cos t t t t t t t t t t t t t t t t -+-⎡⎤⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦11.tr 2i 332i det(e )e e e .A A +-===解12. 解 此处775885050A --⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,122()()()()x t x t x t x t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,321C ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.因为775det()885(5)(5)(15),deg ()3,05E A λλλλλλϕλλ+--=+=-++=故设2012e ()()()()At a t E a t A a t A T At =++=.由tλe 与)(t T λ在(){5,5,15}A σ=--上的值相同,得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++--ttt t a t a t a t a t a t a t a t a t a 1521052105210e )(225)(15)( e )(25)(5)( e )(25 )(5 )(,解得 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=-+=-----)e e 2(e )( )e (e )( )e 6e (3e )(1555200125510111555810t t t t t t t tt a t a t a ;于是 0121775105800e ()1()885()12014501050404025At a t a t a t --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+---+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--+-+-+-+---+--++=---------------t t tt t t t t t t t t t tt t t t t t t t t t 551555155555155515555515551555e 5e 5e 2e e 3e 24e e 2e 5e 5e 6e e 3e64e 2e e 5e 5e 4e e 3e 44e e 2101. 所以,解为 55155515551517e 9e 4e 1()e 17e 9e 6e 1017e 9e 2e t t t At t t t t t tx t C ------++⎡⎤⎢⎥==--+⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=++=------)e 2e 9e 17(101)()e 6e 9e 17(101)()e 49e e 17(101)(155531555215551tt t t t t t t t t x t x t x .习 题 五A一、判断题1.√；2.×；3.√；4.√；5.√；6.×；7.√；8.√；9.×；10.√；11.√；12.×；13.√；14.√ 15.√.二、填空题1.0；2.{}0；3.span A ；4.1；5.3；6.O ；7.123()1,()1,()(1)(2)d d d λλλλλλ==-=--；8.实；9.0; 10.1;11.1,a b c ===.三、单项选择题1.(d)；2. (c)；3. (c).B1.证 121212(1)(,,,),(,,,),(,,,),,T T T nn n n x y z ξξξηηηςςςλμ∀===∈∀∈及，有1111(I ),(),,;nnnk k k k k k k k k k k k k x y z k k k x z y z λμλξμηςλξςμηςλμ===<+>=+=+=<>+<>∑∑∑211(I ),,;n nk k k k k k k k x y k k y x ξηηξ==<>===<>∑∑231221(I ),0, ,=01,2,,,=01,2,,,00;nk k k nk kk k k x x k x x k k n k n x ξξξξ==<>=≥<>=⇔∀=⇔∀==⇔=∑∑且有有,.nk <⋅⋅>故是上的一种内积(2),,,,n nij ij ij A a B b C c λμ⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤∀===∈∀∈⎣⎦⎣⎦⎣⎦及,有1111111(I ),(),,;nnnnnnij ij ij ij ij ij ij i j i j i j A B C a b c a c b c A C B C λμλμλμλμ======<+>=+=+=<>+<>∑∑∑∑∑∑2111111(I ),,;nnnnnnij ij ij ij ij ij i j i j i j A B a b a b a b B A ======<>====<>∑∑∑∑∑∑2311112211(I ),0, ,0,1,2,,,00;n n n nij ij ij i j i j nnijijij i j A A a a a A A a i j n a a A O ======<>==≥<>==⇔∀===⇔=∑∑∑∑∑∑且有即,.n n⨯<⋅⋅>故是上的一种内积12211.nnij F i j A a A ==⎛⎫>== ⎪⎝⎭∑∑2. 证 右端) , ,(41>--<->++<=y x y x y x y x><+><+><+><=y y x y y x x x ,,,,(41),,,,><-><+><+><-y y x y y x x x 1(4,)4x y =<>=左端.3.证 （1）若⊥∈B x ,则B y ∈∀皆有y x ⊥,由假设B A ⊂,于是对每一个A y ∈皆有y x ⊥,即⊥∈A x ,故⊥⊥⊂A B .（2）若A x ∈,则⊥∈∀A y 皆有y x ⊥,故⊥⊥∈)(A x ,于是⊥⊥⊂)(A A .4.解 显然123.det 20,det 110,det 380,.A A A A A =>=>=>∴是实对称矩阵正定其余略.5. 证 “⇒”: 若n nA ⨯∈正定,则det det 0n A A =>,故A 非奇异.“⇐”: 若A 非奇异,则1det 0ni i A λ==≠∏,从而),,2,1(0n i i =≠λ. 又因为A 半正定,故有0≥i λ,于是),,2,1(0n i i =>λ,所以A 是正定的.6.证 先验证2A 是Hermite 矩阵.22222()()(),Hermite .H H H H H H H H H H H A A AA AA A A AA A AA A AA AA AAA A A A A ======∴是矩阵再证2A 是正定的.12222 ,,Hermite 0(1,2,,).0(1,2,,),.n i i i A n A i n A i n A λλλλλλ∈≠=>=设是的个特征值,由是矩阵且可逆知,且从而的所有特征值故是正定矩阵7. 解 （1）令3i 1i 02010E A λλλλλλ---==-=-得01=λ,22=λ,23-=λ,由此判定A不是正定的.对01=λ解方程组0Ax -=,即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---000i 0100i 1i 0321ξξξ,亦即⎩⎨⎧==+ 00i 132ξξξ,得⎩⎨⎧==321i 0ξξξ. 若取13=ξ,则有10i 1x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=. 对22=λ解)0A x -=可得2i 1x ⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-.对23-=λ解()0A x -=可得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=1i 23x .由于1x ,2x ,3x 分别对应于A 的不同特征值,故彼此正交.将它们单位化,得10i 1/α⎡⎤⎢⎢⎢⎣=，2i /21/2α⎡⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-，3i /21/2α⎡⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=-.令[]12301/,,i i /2i /21/21/2U ααα⎡-⎢==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,01/i /21/2i /21/2H U ⎡-⎢=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则0H U AU ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎣.习 题 六A一、判断题1.×；2.√；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.√；9.×.二、填空题1.1122112201010-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦；2. (1)()12(1)(1)()213(1)(1)321( 3 24)41(3 30)(0,1,2,)41( 24)4k k k k k k k x x x x x k x x +++++⎧=-+⎪⎪=-++=⎨⎪⎪=-⎩；3.1()D L U --；4.Seidel,Jacobi .B1. 解（1）110000100005000.55000A-⎡⎤⎢⎥⎣⎦-=-, 3.0001A ∞=,120000A-∞=,∴cond 60002A ∞=.（2）1 1.38 2.1810.2106 2.79 4.56B -⎡⎤⎢⎥⎣⎦-=-,17.35B =，1132.00B -=，∴1cond 235.2B =.（3）12212max{,}1009910099,cond (6-3).min{,}99989998C C λλλλλλ--⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦是实对称矩阵故见令12122019810,9999cond 39206.C λλλλλλ=--===∴==≈得 2. 解（1）对增广矩阵施行行的初等变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡330002121041123232300212104112522162134112得到等价的上三角方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+-=++330212142332321x x x x x x .进行回代,得方程组的解为：12/)4( ,1)21/(21 ,13/3321323=--==--===x x x x x x .故解为(1,1,1).T x =（2）对增广矩阵施行初等行变换11034110341103421111011590115931123041715003132112314033280001319⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦得到等价的上三角方程组1242343443459313211319x x x x x x x x x ++=⎧⎪---=-⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩.进行回代,得方程组的解：43419219/(13), (2113)/3,133x x x =--==-=2341244055(95), 433939x x x x x x =--++==--=-,故解为()5540192,,,.3939313Tx -=3. 解 首先用顺序Gauss 消去法.对增广矩阵施行初等行变换：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1.982.4120032001.1291.58334.016781.0167.001.0012.0 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯→-65424101798.0104453.0101467.00104441.0108007.0106667.006781.0167.001.0012.0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯-⨯-⨯-⨯→-9924109774.0101762.000104441.0108007.0106667.006781.0167.001.0012.0,经回代得547.53=x ，43.722=x ，05.811-=x . 此时,620.174310Ax b -=⨯. 下面用列主元素Gauss 消去法.对增广矩阵施行初等行变换（下画横线者为主元素）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡9812.4120032001.1291.58334.016781.0167.001.0012.0 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯⨯→-6744.01670.0105500.00101179.0105909.04584.009812.41200320022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯⨯→-5329.0109610.000101179.0105909.04584.009812.41200320012, 经回代得46.17,76.45,545.5123=-==x x x . 此时,289.22=-b Ax .列主元素Gauss 消去法比顺序Gauss 消去法的精度高.4. 解 Jacobi 迭代格式为()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+--=+--=+++30] 32[151]12[ 81 ]2432 [201)(2)(113)(3)(112)(3)(211k k k k k k k k k x x x x x x x x x ( ,2,1,0=k ). 计算结果如下表：解为767354.01=x ，138410.12=x ，125368.23=x .Seidel 迭代格式与计算结果如下：()()()⎪⎪⎪⎪⎨⎧++-=+--=+--=++++++30] 32[151]12 [ 81 ]2432 [201)1(2)1(113)(3)1(112)(3)(211k k k k k k k k k x x x x x x x x x ( ,2,1,0=k );5. 解 Jacobi 迭代格式为()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+--=+--=+++30] 32[151]12[ 81 ]2432 [201)(2)(113)(3)(112)(3)(211k k k k k k k k k x x x x x x x x x ( ,2,1,0=k ), 因为()()21113300044335110,det(),1,444481100044M E M M λλλλλρλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=--=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以Jacobi 迭代格式收敛.Seidel 迭代格式为()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+--=+--=++++++30] 32[151]12 [ 81 ]2432 [201)1(2)1(113)(3)1(112)(3)(211k k k k k k k k k x x x x x x x x x ( ,2,1,0=k ).因为系数矩阵A 对称，且123det 40,det 70,det 240,,A A A A =>=>=>从而正定故Seidel 迭代格式收敛.6. 解（1）Jacobi 迭代矩阵1111022()10111022M D L U -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=+=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦;215det()()4E M λλλ-=+,1()1M ρ=>.因此,Jacobi 迭代格式发散.Seidel 迭代矩阵12111000222011111()100010222000111000222M D L U -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦; 221det()()2E M λλλ-=+,21()2M ρ=.因此Seidel 迭代格式收敛.（2）Jacobi 迭代矩阵1100022022010101101001220220M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦;31det()E M λλ-=,1()0M ρ=.因此, Jacobi 迭代格式收敛.Seidel 迭代矩阵2100022022110001023021000002M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦;()22det()2E M λλλ-=-,2()21M ρ=>.因此, Seidel 迭代格式发散.*7.用追赶法解线性方程组12123233 1, 247, 259.x x x x x x x +=-⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解 系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=520142013A .31=u ,3/2/212==u l ,3/101422=⋅-=l u ,5/3/223==u l ,5/221533=⋅-=l u ;11-=y ，3/237122=-=y l y ，5/229233=-=y l y ；1/333==∴u y x ，2/)1(2322=⋅-=u x y x ，1/)1(1211-=⋅-=u x y x .即解为(1,2,1).Tx =- 8. 解 把方程组调整为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++22846231312123x x x x x x x , 此时系数矩阵为312041102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.Seidel 迭代矩阵111200033301211()000010044000111106263M D L U -⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 11det()(66E M λλλλ-=---+,()1M ρ=<.因此,此时Seidel 迭代格式()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--=++++ )2(21)8(41)26(3113111121213k k k k k k k x x x x x x x 收敛.习 题 七A一、判断题1.×；2.√；3.×；4.×.二、填空题1.1,1n +；2. 11:455;:;:33-一阶差商，，二阶差商1,三阶差商；3.16.640,0.096,16.736.B1. 解 因为0120.15,0.00,0.10,0.20.x x x x ====故取则2(0.150.10)(0.150.20)(0.15)(0.15)0.000(0.000.10)(0.000.20)(0.150.00)(0.150.20)0.0998(0.100.00)(0.100.20)(0.150.00)(0.15 f L --≈=⨯----+⨯----+0.10)0.1987(0.200.00)(0.200.10)00.074850.074510.1494.⨯--=++= 521(0.15)(0.150.00)(0.150.10)(0.150.20) 6.2510.3!R -≤---=⨯2.解 对于点76.35x =,取076x =,177x =,278x =,379x =. 作差商表于是有2(1)(76.35)(76.35)2.832670.0689(76.3576)0.00306(76.3576)(76.3577) 2.832670.024120.00070 2.85609.f N ≈=+-+--=+-=32(2)(76.35)(76.35)(76.35)0.00017(76.3576)(76.3577)(76.3578) 2.856090.00006 2.85615.f N N ≈=+---=+=3. 解 选01220.20,0.40,0.60,0.80x x x x ====.作差商表：。
工程数学基础教程天津大学课后答案
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第二章
2-1
某建筑物场地地表以下土层依次为：（1）中砂，厚2.0m，潜水面在地表下1m处，（2）粘土隔离层，厚2.0m，重度（3）粗砂饱和重度含承压水，承压水位高出地表2.0m（取无隆起的危险？若基础埋深）。
问地基开挖深达1m 时，坑底有水，施工时除将中砂层内地下水位降到坑底外，还须设法将粗砂层中的承压水位降几米才行？
【解】
（1）地基开挖深1m时持力层为中砂层承压含水层顶面以上土的总覆盖压力：20×1＋19×2=58kPa承压含水层顶部净水压力：10×（2+2+2）=60kPa 因为58承压含水层顶面以上土的总覆盖压力：20×0.5＋19×2=48kPa≥承压含水层顶部净水压力=10×≤4.8m；故，还应将承压水位降低6-4.8=1.2m。
仅作参考。
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一.判断（10分）
1.设是K上的线性空间,算子则是
的子空间.
（）
2.线性无关.（）
3.对L e g e n d r e 多项式,有
.
（）
4.,则可对角化.（）
5.设是H e r mi t e插值余项，则节点为的
二重零点.
（）6.C o t e s 系数只与求积节点的个数有关而与被积函数和积分区
间无关.
（）7.设是上的任意方阵范数，则
.
（）
8.,则.（）
9.若为G a u s s型求积公式,则.（）
10.若正规矩阵,其特征值均为实数,则为酉矩阵.（）
二、填空（10分）
1.已知，则.
2.,则.
3.设是S e i d e l迭代矩阵，则的所有特征值中绝对值最小的为.
4.若为插值型求积公式,，是n次L a g r a n g e插值基函数，令则.
5.设酉矩阵,且则的不变因子
.
三.(8分)设，求的有理标准形.
题号12345678910平时成绩成绩得分
四.(8分)求解初值问题
五.(8分)已知线性方程组为
(1)写出S e i d e l迭代格式，(2)判断迭代格式收敛性.
六.（8分）由下列插值条件
1.631.731.95
2.282.53
14.09416.84418.47520.96323.135
用三次N e w t o n插值多项式计算的近似值(结果保留至小数点后第3位)
七.（10分）用算法求积分的近似值，并将计算结果
列于下表（计算结果保留至小数点后第5位）0
1
2
3
4
八.(10分)用L e g e n d r e 多项式求函数
在上的三次最佳平方逼近，并求(结果保留到小数点后第5位，取
)
九.(8分)写出用标准R u n g e-K u t t a方法解下列初值问题的计算公式.
十.(10分)证明
1.内积空间中的任何正交系都是线性无关的.
2.,则。