工程数学基础2014年试卷

课程名称：工程数学基础 课程编号：S131A035 学院名称： 教学班 学号： 姓名：

一. 判断 （10分）

1．设X 是数域K 上的线性空间,12,M M 是X 的子空间, 则12⋂M M 是X 的

线性子空间. （ ） 2．设A C A n

n ,⨯∈相似于对角阵的充分必要条件是其特征多项式无重零点 . （ ）

3．设是],[b a 上以b x x x a n ≤<<<≤ 10为节点的Lagrange 插值基函数，则

()1==∑n

k k l x . （ ）

4. 解线性方程组Ax b =，若A 是正定矩阵，则G-S 迭代格式收敛。( )

5. 设(,

)x X ∈，当0x ≠时，必有0x >. ( )

6. 差商与所含节点的排列顺序无关. （ ） 7．对任意,n n

A ⨯∈

A e 可逆.（ ）

8. 若Jacobi 迭代格式收敛，则Seidel 迭代格式收敛.（ ） 9. 设(,)∈x,y X ，则00,x,y x =⇔=或0y =.（ ）

10.设3

3⨯∈C A 的Jordan 标准形⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2212J ，则A 的最小多项式为 2(2)λ-. （ ）

二. 填空(10分)

1. 设 201361A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

, 则A 的Jordan 标准型为 . 2. 具有1n +个不同求积节点的插值型求积公式，至少具有 次代

数精度

3．设200010011A -⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

，则=∞)(A Cond . 4. Cotes 求积系数()

n k

C

满足()0

n

n k k C ==∑ 。

5. 2

()2-1f x x =，则0123

[2,2,2,2]f = 。

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三. (12分) 设

122

224

242

A

-

⎡⎤

⎢⎥

=--

⎢⎥

⎢⎥

-

⎣⎦

，求A的Jordan标准形J.和有理标准形

C. 四. (14分) 设

011

110

101

A

-

⎡⎤

⎢⎥

=⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

, （1）求A的最小多项式()

ϕλ; （2）求e At.

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五. (12分) 已知线性方程组为

1

2

3

2136 1408 2112

x

x

x

⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

(1) 写出Jacob迭代格式和Seidel迭代格式，(2) 判断迭代格式收敛性. 六. (12分) 已知下列插值条件

(1)用3次Newton插值多项式计算(78.60)

f的近似值（结果保留到小数点后第5位）。

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七.(14分) 对积分

1

3

1

1

dx

x

+

⎰，用Romberg方法计算积分的近似值，并将结

果填入下表（结果保留至小数点后第五位）.

八．（8分）已知

010

001

254

A

⎡⎤

⎢⎥

=⎢⎥

⎢⎥

-

⎣⎦

，求A的谱半径()A

ρ和

1

,

A A

∞

。

九．（8分）设⋅是n n

C⨯上的范数，n n

S C⨯

∈是可逆矩阵。若对任意n n

A C⨯

∈，

定义：1

S

A S AS

-

=，试证明：

S

⋅也是n n

C⨯上的范数。

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