微分几何习题解答曲线论
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第一章 曲线论
§2 向量函数
5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r
= 0 。
分析:一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式,其中)(t e
为单位向量函数,)(t λ为
数量函数,那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向,即)(t e 为常向量,(因为)(t e 的
长度固定)。
证 对于向量函数)(t r ,设)(t e 为其单位向量,则)(t r =)(t λ)(t e ,若)(t r 具有固定方向,则)(t e 为常向量,那么)('t r =)('t λe ,所以 r ×'r
=λ'λ(e ×e )=0 。
反之,若r ×'r =0 ,对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ,于是r ×'r
=2λ(e ×
'e )=0 ,则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时,)(t r =0 可与任意方向平行;当λ≠0时,
有e ×'e =0 ,而(e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)=2'e ,(因为e 具有固定长, e ·'e = 0) ,所以 'e =0 ,即e
为常向量。所以,)(t r 具有固定方向。
6.向量函数)(t r
平行于固定平面的充要条件是(r 'r ''r )=0 。
分析:向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ,使)(t r ·n
= 0 ,
所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ,''r
的关系。
证 若)(t r 平行于一固定平面π,设n 是平面π的一个单位法向量,则n
为常向量,且)(t r ·n =
0 。两次求微商得'r ·n = 0 ,''r ·n = 0 ,即向量r ,'r ,''r 垂直于同一非零向量n
,因而共面,
即(r 'r ''r
)=0 。
反之, 若(r 'r ''r )=0,则有r ×'r =0 或r ×'
r ≠0 。若r ×'r =0 ,由上题知)(t r 具有固定方向,自然平行于一固定平面,若r ×'
r
≠
0 ,则存在数量函数)(t λ、)(t μ,使''r
= r λ+μ'r
①
令n =r ×'r ,则n
≠
0 ,
且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r
求微商并将①式代入得'n =r ×''r =μ(r ×'r
)=μn ,于是n ×'n =0 ,由上题知n 有固定方向,而)(t r ⊥n ,即)(t r 平行于固定平面。
§3 曲线的概念
1.求圆柱螺线x =t cos ,y =t sin ,z =t 在(1,0,0)的切线和法平面。
解 令t cos =1,t sin =0, t =0得t =0, 'r
(0)={ -t sin ,t cos ,1}|0=t ={0,1,1},曲线在(0,1,1)
的切线为 1
1
1z y x ==- ,法平面为 y + z = 0 。
2.求三次曲线},,{32ct bt at r =
在点0t 的切线和法平面。
解 }3,2,{)('2
000ct bt a t r = ,切线为2
3
0020032ct ct z bt bt y a at x -=-=-, 法平面为 0)(3)(2)(3
02020
00=-+-+-ct z ct bt y bt at x a 。 3. 证明圆柱螺线r ={ a θcos ,a θsin ,θb } (+∞∞- θ)的切线和z 轴作固定角。
证明 'r = {-a θsin ,a θcos ,b },设切线与z 轴夹角为ϕ,则ϕcos =2
2||||'b a b
e r k r +=
⋅
为常数,故ϕ为定角(其中k
为z 轴的单位向量)。
4. 求悬链线r ={t
,a t a cosh }(-∞∞ t )从t =0起计算的弧长。
解 'r = {1,a t sinh },|'r | =a t 2sinh 1+ = a t
cosh , s=a t t a t a dt sinh cosh 0
=⎰ 。 9.求曲线2232,3a xz y a x ==在平面3a
y = 与y = 9a 之间的弧长。
解 曲线的向量表示为r =}2,3,{2
23x
a a x x ,曲面与两平面3a y = 与y = 9a 的交点分别为x=a 与
x=3a , 'r =}2,,1{2222x
a a
x -,|'r |=44
4441x a a x ++=22222x
a a x +,所求弧长为
a dx x
a a x s a
a
9)2(22
322=+=⎰
。 10. 将圆柱螺线r ={a t cos ,a t sin ,b t }化为自然参数表示。
解 'r
= { -a t sin ,a t cos ,b},s = t b a dt r t 220
|'|+=⎰ ,所以2
2
b
a s t +=
,
代入原方程得 r ={a cos
2
2
b
a s +, a sin
2
2
b
a s +,
2
2
b
a bs +}
11.求用极坐标方程)(θρρ=给出的曲线的弧长表达式。
解 由θθρcos )(=x ,θθρsin )(=y 知'r
={)('θρθcos -θθρsin )(,)('θρθsin +θθρcos )(},