微分几何习题解答曲线论

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第一章 曲线论

§2 向量函数

5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r

= 0 。

分析:一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式,其中)(t e

为单位向量函数,)(t λ为

数量函数,那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向,即)(t e 为常向量,(因为)(t e 的

长度固定)。

证 对于向量函数)(t r ,设)(t e 为其单位向量,则)(t r =)(t λ)(t e ,若)(t r 具有固定方向,则)(t e 为常向量,那么)('t r =)('t λe ,所以 r ×'r

=λ'λ(e ×e )=0 。

反之,若r ×'r =0 ,对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ,于是r ×'r

=2λ(e ×

'e )=0 ,则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时,)(t r =0 可与任意方向平行;当λ≠0时,

有e ×'e =0 ,而(e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)=2'e ,(因为e 具有固定长, e ·'e = 0) ,所以 'e =0 ,即e

为常向量。所以,)(t r 具有固定方向。

6.向量函数)(t r

平行于固定平面的充要条件是(r 'r ''r )=0 。

分析:向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ,使)(t r ·n

= 0 ,

所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ,''r

的关系。

证 若)(t r 平行于一固定平面π,设n 是平面π的一个单位法向量,则n

为常向量,且)(t r ·n =

0 。两次求微商得'r ·n = 0 ,''r ·n = 0 ,即向量r ,'r ,''r 垂直于同一非零向量n

,因而共面,

即(r 'r ''r

)=0 。

反之, 若(r 'r ''r )=0,则有r ×'r =0 或r ×'

r ≠0 。若r ×'r =0 ,由上题知)(t r 具有固定方向,自然平行于一固定平面,若r ×'

r

0 ,则存在数量函数)(t λ、)(t μ,使''r

= r λ+μ'r

令n =r ×'r ,则n

0 ,

且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r

求微商并将①式代入得'n =r ×''r =μ(r ×'r

)=μn ,于是n ×'n =0 ,由上题知n 有固定方向,而)(t r ⊥n ,即)(t r 平行于固定平面。

§3 曲线的概念

1.求圆柱螺线x =t cos ,y =t sin ,z =t 在(1,0,0)的切线和法平面。

解 令t cos =1,t sin =0, t =0得t =0, 'r

(0)={ -t sin ,t cos ,1}|0=t ={0,1,1},曲线在(0,1,1)

的切线为 1

1

1z y x ==- ,法平面为 y + z = 0 。

2.求三次曲线},,{32ct bt at r =

在点0t 的切线和法平面。

解 }3,2,{)('2

000ct bt a t r = ,切线为2

3

0020032ct ct z bt bt y a at x -=-=-, 法平面为 0)(3)(2)(3

02020

00=-+-+-ct z ct bt y bt at x a 。 3. 证明圆柱螺线r ={ a θcos ,a θsin ,θb } (+∞∞- θ)的切线和z 轴作固定角。

证明 'r = {-a θsin ,a θcos ,b },设切线与z 轴夹角为ϕ,则ϕcos =2

2||||'b a b

e r k r +=

为常数,故ϕ为定角(其中k

为z 轴的单位向量)。

4. 求悬链线r ={t

,a t a cosh }(-∞∞ t )从t =0起计算的弧长。

解 'r = {1,a t sinh },|'r | =a t 2sinh 1+ = a t

cosh , s=a t t a t a dt sinh cosh 0

=⎰ 。 9.求曲线2232,3a xz y a x ==在平面3a

y = 与y = 9a 之间的弧长。

解 曲线的向量表示为r =}2,3,{2

23x

a a x x ,曲面与两平面3a y = 与y = 9a 的交点分别为x=a 与

x=3a , 'r =}2,,1{2222x

a a

x -,|'r |=44

4441x a a x ++=22222x

a a x +,所求弧长为

a dx x

a a x s a

a

9)2(22

322=+=⎰

。 10. 将圆柱螺线r ={a t cos ,a t sin ,b t }化为自然参数表示。

解 'r

= { -a t sin ,a t cos ,b},s = t b a dt r t 220

|'|+=⎰ ,所以2

2

b

a s t +=

代入原方程得 r ={a cos

2

2

b

a s +, a sin

2

2

b

a s +,

2

2

b

a bs +}

11.求用极坐标方程)(θρρ=给出的曲线的弧长表达式。

解 由θθρcos )(=x ,θθρsin )(=y 知'r

={)('θρθcos -θθρsin )(,)('θρθsin +θθρcos )(},

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