微分几何习题解答曲线论
微分几何课后习题答案
微分几何课后习题答案微分几何课后习题答案微分几何是数学中的一个重要分支，研究的是曲线、曲面以及高维空间中的几何性质。
在学习微分几何的过程中，课后习题是巩固知识、提高理解能力的重要途径。
本文将针对微分几何课后习题给出一些答案，并解析其中的一些关键思路和方法。
一、曲线的参数化1. 给定曲线的参数方程为：x = t^2y = t^3求曲线的切向量和法向量。
解析：曲线的切向量是曲线在某一点上的切线的方向，可以通过对参数方程求导得到。
对x和y分别求导，得到：dx/dt = 2tdy/dt = 3t^2所以切向量为：T = (dx/dt, dy/dt) = (2t, 3t^2)曲线的法向量与切向量垂直，可以通过将切向量逆时针旋转90度得到。
所以法向量为：N = (-dy/dt, dx/dt) = (-3t^2, 2t)二、曲线的长度2. 计算曲线的长度：x = e^ty = e^(-t)解析：曲线的长度可以通过积分求解。
首先计算曲线的切向量：dx/dt = e^tdy/dt = -e^(-t)曲线的长度可以表示为：L = ∫√(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 dt= ∫√(e^t)^2 + (-e^(-t))^2 dt= ∫√(e^2t + e^(-2t)) dt这是一个积分问题，可以通过换元法解决。
令u = e^t，那么du = e^t dt。
将u代入上式，得到：L = ∫√(u^2 + u^(-2)) du= ∫√(u^4 + 1) du这是一个较为复杂的积分，可以通过换元法或者级数展开法求解。
三、曲面的法向量3. 给定曲面的参数方程为：x = u + vy = u - vz = u^2 - v^2求曲面的法向量。
解析：曲面的法向量可以通过对参数方程中的u和v分别求偏导得到。
对x、y、z分别对u求偏导，得到：∂x/∂u = 1∂y/∂u = 1∂z/∂u = 2u对x、y、z分别对v求偏导，得到：∂x/∂v = 1∂y/∂v = -1∂z/∂v = -2v所以曲面的法向量为：N = (∂z/∂u, ∂z/∂v, -∂x/∂u * ∂y/∂v + ∂y/∂u * ∂x/∂v) = (2u, -2v, 2)四、曲面的曲率4. 给定曲面的参数方程为：x = u^2y = v^2z = u + v求曲面的曲率。
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分多少习题解答曲面论一
v2 v1
cosh
vdv
||
sinh
v2
sinh v1 | 。
4．设曲面的第一基本形式为 I = du 2 (u 2 a 2 )dv 2 ，求它上面两条曲线 u +
v = 0 ,u–v = 0 的交角。
分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变 量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
sin
y a cos sin a sin sin a cos cos
cos sin
0
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
微分几何第202页习题解答
解法Ⅱ: 当坐标曲线为正交曲线网时, 由计算测地曲率的 Liouville 公式, kg = dθ 1 ∂ ln E 1 ∂ ln G − √ cos θ + √ sin θ, ds 2 G ∂v 2 E ∂u 1
对 u -曲线, θ = 0, 则
1 ∂ ln E kgu = − √ , 2 G ∂v 1 ∂ ln G kgv = √ . 2 E ∂u
积分得 cos θ =
C √ (C 为 vFra bibliotek所以 du = √ 积分得 u = 2C
Cdv , v − C2
v − C 2 , 或 u2 = 4C 2 (v − C 2 ).
所求的测地线在 uv 平面上是抛物线. 10. 求正螺面 r = {u cos v, u sin v, av } 上的测地线. 解：直接求得正螺面的第一基本量为 E = 1, F = 0, G = u2 + a2 . 由 F = 0 知正螺面的坐标曲线正交, 并由测地线的微分方程得 dv = du dθ 1 = du 2 1 E tan θ = √ tan θ 2 G u + a2 (1)
由 F = 0 知曲面的坐标网是正交网, 由测地线的微分方程得 1 1 du cos θ = √ cos θ, =√ v E ds 1 dv 1 √ √ ds = G sin θ = v sin θ, Ev Gu dθ = √1 ( √ cos θ − √ sin θ) = 1 du ,
而对 v -曲线, θ = π 2, 则
dθ ds
2. 证明球面 r (u, v ) = {a cos u cos v, a cos u sin v, a sin u} 上曲线的测地曲率 kg = u dv − sinds , 其中 θ 表示曲线与经线的交角. 证明：直接计算得到球面的第一类基本量为 E = a2 , F = 0, G = a2 cos2 u.
微分几何习题解答(曲线论)
微分几何主要习题解答第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
微分几何复习题
第一章 曲线论一、单项选择题1、过点0r 且以非零向量a 为方向的直线方程为A 、 00 =-⨯r a rB 、0)(0 =⨯-r a rC 、0)(0=⋅-a r rD 、0)(0 =⨯-a r r 2、已知向量b a ⊥，则必有 ； A 、 0 =⋅b a B 、 b a λ= C 、0 =⨯b a D 、 0=⋅b a 3、设s , r 分别是可微的向量函数,则以下运算正确的是 ； A 、s r s r ⋅'='⋅)( B 、s r s r s r '⋅+⋅'='⋅ )( C 、s r s r ⨯'='⨯)( D 、r s r s s r '⨯+⨯'='⨯ )( 4、过0r 且垂直于非零向量n 的平面方程是A 、0)(0=⋅-n r rB 、 0)(0 =⨯-n r rC 、n v r r =-0D 、0)(0=⋅-r n r 5、设)(),(),(t u t s t r 分别是可微的向量函数,则='),,(u s r ； A 、u s r '⨯⋅ )( B 、u s r '⋅⨯ )( C 、)',','(u s r D 、),,(),,(),,(u s r u s r u s r '+'+'6、单位向量函数)(t r 关于t 的旋转速度等于A 、)('t rB 、)(''t rC 、)('t rD 、 )(''t r7、向量函数)(t r r=具有固定方向的充要条件是 ； A 、1)(=t r B 、1)('=t r C 、 0)(')( =⨯t r t r D 、 o t r t r =⋅)(')(8、向量函数)(t r r =具有固定长的充要条件是 ；A 、0)(')(=⋅t r t rB 、0)()(' =⨯t r t rC 、1)(=t rD 、1)('=t r9、星形线t a y t a x 33sin ,cos ==上对应于t 从0到π的一段弧的长等于 ；A 、aB 、a 2C 、a 3D 、 a 6 10、已知向量b a //，则必有 ；A 、 0 =⨯b aB 、 b a λ=C 、0 =⋅b aD 、 0=⋅b a11、在曲线的正常点处,曲线的切线和主法线所确定的平面是曲线上该点的 ；A 、法平面B 、切平面C 、密切平面D 、从切平面12、平面曲线的曲率或挠率特征是 ；A 、曲率0≡κB 、曲率∞≡κC 、挠率)0(≠=c c τD 、挠率0≡τ13、设圆的半径为R ，则圆上每一点的曲率都是 ；A 、0B 、1C 、RD 、R1 14、如果一条曲线的密切平面固定，则此曲线是 ；A 、平面曲线B 、挠曲线C 、一般螺线D 、直线15、设曲线)(t r r =的自然参数方程为)(s r r=，则曲线在任一点的单位切向量是 ；A 、)(t rB 、)(s rC 、 dt r dD 、 dsr d 16、曲率恒等于零的曲线是 ；A 、平面曲线B 、直线C 、挠曲线D 、一般螺线17、 圆柱螺线},sin ,{cos t t t r = ，在点π=t 的切线方程是 ；A 、1101π-=-=+z y xB 、1111π-=-=+z y xC 、1101z y x =-=+ D 、0=-+-πz y 18、对于一般螺线，下列命题成立的个数是 ；① 切线和固定方向作固定角 ②主法线与一个固定方向垂直 ③曲率和挠率的比等于一个常数 ④副法线与一个固定方向作固定角A 、二个B 、三个C 、四个D 、五个19、下列不是一般螺线性质的是 ；A 、切线和固定方向作固定角B 、主法线与一个固定方向垂直C 、曲率和挠率的积等于一个常数D 、副法线与一个固定方向作固定角E 、曲率和挠率的比等于一个常数20、如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么此曲线是 ；A 、球面曲线B 、圆C 、平面曲线D 、直线21、空间曲线c 上正则点P 的切线和该点邻近点Q 的平面π，当点Q 沿曲线趋于点P 时，平面π的极限位置称为曲线的点的 ；A 、密切平面B 、法平面C 、切平面D 、从切平面二、填空题1、设曲线)(t r r =的自然参数方程为)(s r r =，则曲线在任一点的单位切向量是 ；2、 向量函数)(t r 是区间],[b a 上的连续函数,则=⎰])([x adt t r dx d ； 3、 直线{}t t t t r 3,2,)(= 的自然参数方程是 ；4、设曲线参数方程)(s r r =，则参数s 是自然参数的充要条件是 ；5、最贴近曲线的直线是 、最贴近曲线的平面是 ；6、若空间曲线)(t r r =上的密切平面都垂直于一固定向量e ，则该曲线是 ；7、空间曲线是直线的充要条件是 ；8、若空间曲线)(t r r =满足0),,(=''''''r r r ，则该曲线是 ；9、曲线)(t r r =上的点都是正常点，则必有 ；10、曲线)(c 上所有点都是正常点时,则称该曲线)(c 为 .11、空间曲线的自然方程是 ；12、 )(t r 具有固定长的充要条件是 ；13、)(t r 具有固定方向的充要条件是 ；14、空间曲线是平面曲线的充要条件是 ；15、平面曲线在某点邻近的形状由曲线在该点的 决定.16、空间曲线在某点邻近的形状由曲线在该点的 决定.17、圆柱螺线{}t t t t r ,sin ,cos )(= 在点（1，0，0）处的切线方程是 ；18、 曲线{}t t t t r 5,sin 3,cos 3)(= 上的每一点都是 ；19、由曲线上一点的主法线与副法线构成的平面是曲线在这点的 ；20、由曲线上一点的切线与副法线构成的平面是曲线在这点的 ；21、设圆的半径为R ，则圆上每一点的曲率（按顺时针方向）都是 ；22、切线和固定方向作固定角的曲线称为 ；23、圆柱螺线},sin ,cos {bt t a t a r = 的自然参数表示为 ；24、 若曲线b t a t r r ≤≤=),(中的函数是连续可微的函数，则曲线为 ；25、按照椭圆点、双曲点、抛物点进行分类，可展曲面上的点都是 点。
微分几何试题及答案
微分几何试题及答案1. 曲线的微分几何描述- 给定曲线 \( r(t) = (x(t), y(t), z(t)) \)，求其速度向量\( \mathbf{v}(t) \) 和加速度向量 \( \mathbf{a}(t) \)。
2. 曲面的第一基本形式- 已知曲面 \( S \) 由参数方程 \( x(u,v), y(u,v), z(u,v) \) 给出，求曲面 \( S \) 的第一基本形式。
3. 高斯曲率和平均曲率- 对于曲面 \( S \)，给出其高斯曲率 \( K \) 和平均曲率 \( H \) 的定义，并说明它们之间的关系。
4. 测地线的性质- 解释什么是测地线，并给出测地线在曲面上的性质。
5. 曲面的第二基本形式- 已知曲面 \( S \) 的法向量场 \( \mathbf{n}(u,v) \)，求曲面 \( S \) 的第二基本形式。
6. 曲面的高斯映射- 给出曲面 \( S \) 的高斯映射的定义，并解释其几何意义。
7. 曲面的内蕴几何与外蕴几何- 描述曲面的内蕴几何与外蕴几何的区别，并给出一个例子。
8. 微分几何在物理学中的应用- 简述微分几何在广义相对论中的应用。
答案1. 曲线的微分几何描述- 速度向量 \( \mathbf{v}(t) = \frac{dr(t)}{dt} = (x'(t),y'(t), z'(t)) \)，其中 \( x'(t), y'(t), z'(t) \) 分别是\( x(t), y(t), z(t) \) 的导数。
- 加速度向量 \( \mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}(t)}{dt} = (x''(t), y''(t), z''(t)) \)。
2. 曲面的第一基本形式- 第一基本形式由曲面的度量张量给出，即 \( g_{ij} =\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u_i} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u_j} \)。
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何(第三版)第二章课后题答案[1]
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第二章曲面论§ 1曲面的概念1.求正螺面r ={ u cos v ,u sin v , bv }的坐标曲线.解u-曲线为r ={u cos v0,u sin v0,bv 0}= {0,0 , bv0} + u { cos v0, sinv0,0}, 为曲线的直母线；v-曲线为r ={ u0cos v , u0 sin v ,bv }为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面r ={ a (u+v) , b (u-v ) ,2uv }的坐标曲线就是它的直母线。
证u-曲线为r ={ a (u+v。
), b (u-v。
)，2u v o}={ a v。
，b v。
，0}+ u{a,b,2 v。
} 表示过点{ a v。
，b v。
,。
}以{a,b,2 v。
}为方向向量的直线;v-曲线为「= {a ( u0 +v) , b ( u 0 -v ) ,2 u 0 v} = {a u。
，b u。
，。
} +v{a,-b,2 u。
} 表示过点(a u。
, b u。
，。
)以{a,-b,2 u。
}为方向向量的直线。
3.求球面r ={acos ；：sin「,a cos；： sin ;:, a si n二}上任意点的切平面和法线方程。
saa. n解r ={ -a sin 二cos「，-a sinsin ：:,acos「：} , r .匸{-a cossin ：:, a coscos 「,0}x - a cos、：cos「y - a cos 二sin「z - a sin 二任意点的切平面方程为- a sin 二cos ：：「：-a sinsin「 a cos=0「a cos、：sin「 a cos、：cos「0即xcos ：cos + ycos ：sin + zsin 二-a = 0 ；x a cos、：cos「y a cos、：sin「z a sin 二。
cos 二cos「cossin「sin 二2 24.求椭圆柱面令斗=1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 a b 曲面只有一个切平面。
精编微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)资料
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e=0，而（e ×'e 2)=22'e e -(e·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
微分几何答案解析(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何曲线论练习题
曲线论练习题1．曲线r =()r s 在P 点的基本向量为,,,αβγ 在P 点的曲率k (s )，挠率为(),s τ则β= . ① ()k s α ； ② ()()k s s ατγ- ； ③ ()s τα- ； ④ ()().-k s s ατγ+2．曲线r =()r s 在P(s )点的基本向量为,,,αβγ 在P 点的曲率k (s )，挠率为()s τ，则γ= . ① ()k s β ； ② ()s τβ ； ③()()k s s ατγ-+ ； ④ ().s τβ-3. 曲线r =()r s 在P (s )点的基本向量为,,,αβγ 在P 点的曲率k (s )，挠率为(),s τ则下式 不正确.①()k s αβ=- ； ②()()-k s s βατγ=+ ； ③()k s αβ= ； ④().s γτβ=- 4．曲线r =()r s 在P(s )点的基本向量为,,,αβγ 在P 点的曲率k (s )，挠率为(),s τ则k (s)= .① αβ⋅ ； ② βα⋅ ； ③ αβ⋅ ； ④ .γβ⋅5．曲线r =()r s 在P(s )点的基本向量为,,,αβγ 在P 点的曲率k (s )，挠率为(),s τ则()s τ= .① αβ⋅ ； ② βγ-⋅ ； ③ βα⋅ ； ④ .γβ-⋅6．曲线r =()r t 在P 点的曲率k ，挠率为,τ则下式 不正确. ①2||||r r k r '''⨯=' ； ②3||||r r k r '''⨯=' ； ③||k r = ； ④2(,,).()r r r r r τ''''''='''⨯ 7．曲线()= r r t 在P 点的曲率k ，挠率为,τ则下式 不正确.① 2(,,)r r r r τ= ； ② 2(,,)r r r k τ= ； ③2(,,)()r r r r r τ''''''='''⨯ ； ④(,,).||r r r r r τ''''''='''⨯ 8．设曲线 (C )：(),r r t = 以下 不是(C )为平面曲线的充要条件.① (C )的密切平面固定； ② (C )的副法向量γ =常向量； ③ (C )的曲率k =0； ④ (C )的挠率τ=0.9．若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是 .①直线； ② 平面曲线； ③ 球面曲线； ④ 圆柱螺线.10．若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数，则曲线Γ是 .①平面曲线； ② 球面曲线； ③圆柱螺线； ④ 直线.11．曲线 (C )是一般螺线，则以下命题 不正确.① (C )的切线与一固定方向成固定角； ② (C )的副法线与一固定方向成固定角；③ (C )的主法线与一固定方向垂直； ④ (C )的副法线与一固定方向垂直.12．曲线(C )在条件 下不一定是一般螺线.① 切向量与一固定方向成固定角； ② 主法向量与一固定方向成固定角；③ 副法向量与一固定方向成固定角； ④ 曲率与挠率之比为常数.13．若曲线的切向与一固定方向成固定角，则以下命题 不正确.① 曲线的主法线与固定方向垂直； ② 曲线的副法线与固定方向成定角；③ 曲线的副法线与固定方向垂直； ④ 曲线的曲率与挠率之比为常数.1．向量函数()r r t = 具有固定长度，则()()r t r t '= .2．非零向量()r t 对任意t 有则()()0r t r t '⨯= 的充要条件是 .3．非零向量函数()r r t = 具有固定方向，则()()r t r t '⨯= .4．非零向量()r t 平行于固定平面的充要条件是 .5． 函数()r t 关于t 的旋转速度等于其微商的模().' r t6．向量{cos ,sin ,}t r t t e λ= 具有固定长度，则λ= .7．向量{,3,}r t t a = 具有固定方向，则a = .8．非零向量()r t 满足(,,)0r r r '''= ，其充要条件是()r t .9．对光滑曲线()r r t = ，它上面使 的点叫做曲面的正常点.10．曲线()r r t =的点都是 时，称该曲线为正则曲线. 11．向量函数r a tb =+ （其中,a b 为常向量，0b ≠ ）表示的曲线是 .12．圆柱螺线 (){cos ,sin ,}r t a t a t bt = 在3t=π处的切向量是 . 13．圆柱螺线 (){cos ,sin ,}r t a t a t bt = 在6t=π处的法面方程是 .14．光滑曲线()r r t = 上从点()r a 到()(0)r t t >的弧长()t σ= . 15．设曲线(),r r s = s 是曲线的自然参数，则()rs = . 16．过空间曲线上一点P 的切线和P 的邻近一点Q 作一平面σ， 当点Q 沿曲线趋于P 时，平面σ的极限位置平面π称为曲线在P 点的 .17．P (s )是2C 类曲线(C )：()r r s = 上一点，（s 为其自然参数），则||r r 是曲线(C )在P (s )的 向量. 18．挠率是零的曲线一定是 曲线.19．已知,a b 是非零常向量，则曲线r a tb =+ 的曲率k = .20．曲线的挠率0,τ=则该曲线的基本向量中， 是常向量.21．半径为R 的圆的曲率k = .22．半径为R 的圆的挠率τ= .23．在曲线上一点附近，曲线穿过在该点的法平面和 平面，但从不穿过该点的 平面.24．曲线的的主法向量β 总是指向曲线 方向.25．如果曲线是一般螺线，则这曲线的曲率与挠率之比k τ. 26．如果一曲线是一般螺线，则它的副法线与一固定方向 .27．如果一曲线的切向量与一固定方向成固定角，则曲线的主法线与这一固定方向 .28．如果一曲线的切向与一固定方向成固定角，则曲线的副法线与这一固定方向 .1. 求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面和主法线.2. 求圆柱螺线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)处的基本向量,,αβγ 和密切平面、副法线.3. 求曲线{sin ,cos ,}t r t t t t te = 在原点的切线和法平面.4. 求圆柱螺线 {cos ,sin ,}r t t t = 在(0,1,)2π点的切线和法平面.5. 求圆柱螺线3cos ,3sin ,4x a t y a t z at ===从它与xy 平面的交点到任意点的弧长.6. 求曲线323,x a y = 22xz a =在平面3a y =与9y a =之间的弧长. 7. 求曲线23(){,,}23t t r t t = 的曲率和挠率. 8．求圆柱螺线{cos ,sin ,}r t t t = 的曲率和挠率.9．证明曲线2213222512x=+t+t ,y=-t+t ,z t =-为平面曲线，并求出它所在的平面方程.10．证明：如果一条曲线的所有法平面包含常向量e，那么这条曲线是直线或平面曲线.11. 设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线副法线也分别平行.挠曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的副法线平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.12. 设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线平行，证明它们在对应点的切线成固定角副法线也成固定角.13. 证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线.14. 如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线. 15. 证明一条曲线()r r s = 是一般螺线的充要条件是(,,)0.r rr =16. 证明一条曲线的所有切线不可能都是另一条曲线的切线.。
微分几何第一章曲线论第一节向量函数第5小节
即 微商的分量等于分量的微商
3
定义 (C k类函数) rr((tt))称称为为rr((tt))的的二三阶阶微微商商；；
二阶
及二
阶以
上的
微 商叫r(t
)的 高
阶微
商.
在区间[t1, t2 ]上有直至k阶连续微商的函数称为C k类函数. 连续函数称为C 0类函数. 无限可微的函数称为C 类函数.
命解题析4函r数(t)称 {为xC(t)类, y函(t)数 , z.(t)} C k[t1, t2 ]
a
a
即 积分的分量等于分量的积分
命题5
若r
r (t
)在[a,
b]上
连
续，
则r(t
)在[a,
b]上
可
积
，而且
（1）
b
r (t
)dt
c r (t)dt
b r (t)dt
a
（2） b
mr (t)dt
a
m
b
c r (t)dt
(m为
常
数)；
a
（3） b
m
r (t)dt
a m
b
r (t)dt
x(t) y(t) z(t)
a1 a2 . a3
即 极限的分量等于分量的极限
命 命题题23..且rr((rtt))(t){{xx{((txt)),(,tyy)(,(tyt),)(z,t(z)t(,)t｝z)}(可连t)｝微续.
x(t), y(t), z(t)均连续.
x(t), y(t), z(t)均可微.
4
定定注对义义于若则设二r对 rrrru(uv(u元于 u,,v{llv向二x)uivi)mm u,00量元{yrr{xu((x向 函(uu,(uz,uu量 ,v数 ｝,vv,)也函)u,r，,vy,yvv可 (数uv(ur))u{,定,xvvrrv)r),(,(义(,uzuyuz(,,v(u,v偏 v,uv,z)),v)v｝,v微 )｝).｝,商urvr是.. 、定全义微在分平等面概区念域. D
微分几何第四习题答案
微分几何第四习题答案问题1：曲线的曲率和挠率给定平面曲线 \( r(t) = (x(t), y(t)) \)，其中 \( x(t) \) 和\( y(t) \) 是 \( t \) 的可微函数。
求曲线在 \( t_0 \) 处的曲率\( k(t_0) \)。
解答：首先，计算曲线的导数：\[ r'(t) = (x'(t), y'(t)) \]\[ r''(t) = (x''(t), y''(t)) \]曲率 \( k(t) \) 定义为：\[ k(t) = \frac{||r'(t) \times r''(t)||}{||r'(t)||^3} \]在 \( t_0 \) 处代入上述公式，计算得到 \( k(t_0) \)。
问题2：曲面的第一基本形式考虑曲面 \( S \) 在点 \( p \) 的局部参数化 \( X(u, v) \)。
求\( S \) 在 \( p \) 处的第一基本形式。
解答：第一基本形式由度量张量给出，定义为：\[ g_{ij} = \langle X_u, X_v \rangle \]其中，\( X_u = \frac{\partial X}{\partial u} \) 和 \( X_v = \frac{\partial X}{\partial v} \) 是 \( X \) 相对于 \( u \) 和\( v \) 的偏导数。
计算 \( g_{ij} \) 的矩阵 \( [g_{ij}] \)，即为曲面 \( S \) 在点 \( p \) 处的第一基本形式。
问题3：高斯曲率的计算已知曲面 \( S \) 在点 \( p \) 的第一基本形式为 \( [g_{ij}] \) 和第二基本形式为 \( [h_{ij}] \)。
求 \( S \) 在 \( p \) 处的高斯曲率 \( K \)。
微分几何-曲线论
化简得 E( EG F 2 )du2 =G( EG F 2 )dv 2 EG F 2 0, 二等分角轨线的微分方程是 Edu2 =Gdv 2
9. 解： 三曲线在uv平面上围成的图形如图所示：
三曲线相交所成的图形面积为：
u
= EG F dudv
2 D
u av
D1 v 1 v
(其中 是渐近曲线的切方向与ru的夹角, k1 , k2是主曲率)
k1 k k tan , 1 arc tan 1 , 2 arc tan 1 , k2 k2 k2
2
(其中1 ,2是两条渐近曲线的切方向与ru的夹角)
两族渐近曲线交于固定角，
k1 1 2 2arc tan 常数. k2 k1 =常数. k2
曲线L是曲率线， 由罗德里格定理，
= , dn kndr， n kn，由伏雷内公式，
代入()式得： n (kn ) 0.
即 ( n) 0.
若 0， 则曲线L为平面曲线.
两边再微分得： n n 0. 若 n 0，
z a sin a cos sin a cos cos 0 0, a sin cos a sin sin a cos 即(cos cos ) x (cos sin ) y z sin a 0.
在任一点的切平面方程 为： x a cos cos y a cos sin
2. 解： 抛物面的方程可表为如 下向量形式： 5 2 2 r { x1 , x2 , x1 2 x1 x2 x2 }, 2 所以 rx1 {1,0,5 x1 2 x2 },
微分几何答案
两边求导得 ( ∗ )2 ds d2 s∗ ∗ ˙ + α∗ 2 = (1 − λ0 κ)· α + κ(1 − λ0 κ)β + (λ0 τ )· γ − λ0 τ 2 β . α ds ds 两边与β 作内积得κ(1 − λ0 κ) − λ0 τ 2 = 0． 16．（1）证明切线过定点的曲线是直线；（2）密切平面过定点的曲线（假 设τ κ ̸= 0） 是 球 面 曲 线 ．（3） 曲 线 是 球 面 曲 线 的 充 分 必 要 条 件 是 法 平 面 过 定 点． ˙ + r ．设切线过定点R0 ，则R0 = λr ˙ + r， Proof. （1）设切线方程是R = λr ˙ α + λα ˙ )α + λκβ ，由此得λ ˙ = −1, λκ = 0，所 ˙ + α = (1 + λ 两 边 求 导 得0 = λ 以κ = 0，曲线是直线． （2）密切平面方程是(R − r ) · γ = 0．设密切平面过定点R0 ，则(R0 − r ) · ˙ = 0．因γ ˙ = −τ β ，所以(R0 − r ) · β = 0．求导 γ = 0．两边求导得(R0 − r )γ 得κ(R0 − r ) · α = 0，所以(R0 − r ) · (R0 − r )· = 0，因此|R0 − r | = c． （3）充分性．曲线C : r = r (s)的法平面方程是(R − r ) · α = 0．因为法平 面过定点R0 ，有(R0 − r ) · α = 0，因此|r − R0 | = c． 必要性．设C : r = r (s)是求面曲线，球心是R0 ，则(r − R0 )2 = c．两边求 导得(r − R0 ) · α = 0，这说明法平面过球心． 17．设两曲线建立了一一对应，证明： （1）若对应点的切线平行，则对应点的主法线、副法线也平行． （2）若对应点的主法线平行，则对应点的切线成定角． （3）若对应点有公共副法线，那么他们是平面曲线．
微分几何曲线论 三维空间曲线 从参数表示到求出特征 从特征求.
说明：1．任意参数t , 绘曲线。
曲线方程可以取自题库，或自由输入。
起点或终点可以自动调整。
2．改变为离起点的弧长s为参数，方程相应变换为新的方程。
起点或终点s参数也可以自动调整。
3．活动标架应以弧长s 为参数。
可先给定固定的某s，用按键来逐步求出并显示标架：三个坐标向量，三个坐标平面与两个特征函数。
s，κ(s)，ρ(s)显示于输出栏。
κ(s)，ρ(s)的图形也相应显示于相应窗口。
按键可以弹出窗口，显示公式与评注。
4．让s 从起点到终点，动起来。
5．把κ(s)，ρ(s)加进第二屏的题库中，备生成图形后与之对比。
文字描述与程序要求微分几何知识结构网络曲线论参量向量表示，即与坐标系，又与参数有关。
换参数与坐标系则换表达式。
条件约束：正则。
即三阶以上连续可微。
活动标架：运动公式：本质特征：与坐标系，又与参数无关。
存在唯一定理，决定曲线形状。
三维空间曲线参量r (t) = [ x (t), y(t), z (t) ] , t0 ≤t ≤T换参数程序：s (t) = ∫|r ‘(t ) | dt, t = s –1 (t )换坐标系程序：活动标架：切向量α(s) α(s) = r ‘(t) / | r ‘(t)| 弧长参数则自动归一。
法向量β(s) β(s)=α‘(s) /|α‘(s)| 向量微商，一定正交。
从法向量γ(s) γ(s) =α(s) X β(s) 画曲线及其活动标架。
α(s) β(s) 张成密切平面。
β(s) γ(s) 张成主法平面。
γ(s) α(s) 张成从法平面。
要画曲线在三个坐标平面上的投影。
本质特征：κ(s) = |α‘(s)| 曲率，未必单位长ρ(s) = |γ‘(s)| 挠率，存在唯一定理，决定曲线形状要画曲线的特征曲线。
运动公式：局部关系d r /ds = α(s)dα(s)/ds =κ(s) β(s)dβ(s)/ds =κdα(s)/ds + ρdγ(s)/dsdγ(s)/ds = -ρ(s) β(s) 解方程组的数值计算程序。
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第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r=2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n= 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n为常向量，且)(t r ·n =0 。
两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n，因而共面，即（r 'r ''r）=0 。
反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。
若r ×'r =0 ，由上题知)(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×'r≠0 ，则存在数量函数)(t λ、)(t μ，使''r= r λ+μ'r①令n =r ×'r ，则n≠0 ，且)(t r ⊥)(t n 。
对n =r ×'r求微商并将①式代入得'n =r ×''r =μ（r ×'r）=μn ，于是n ×'n =0 ，由上题知n 有固定方向，而)(t r ⊥n ，即)(t r 平行于固定平面。
§3 曲线的概念1．求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z =t 在（1,0,0）的切线和法平面。
解 令t cos =1,t sin =0, t =0得t =0, 'r(0)={ -t sin ,t cos ,1}|0=t ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 111z y x ==- ，法平面为 y + z = 0 。
2．求三次曲线},,{32ct bt at r =在点0t 的切线和法平面。
解 }3,2,{)('2000ct bt a t r = ，切线为230020032ct ct z bt bt y a at x -=-=-， 法平面为 0)(3)(2)(30202000=-+-+-ct z ct bt y bt at x a 。
3. 证明圆柱螺线r ={ a θcos ,a θsin ,θb } (+∞∞- θ)的切线和z 轴作固定角。
证明 'r = {-a θsin ,a θcos ,b },设切线与z 轴夹角为ϕ,则ϕcos =22||||'b a be r k r +=⋅为常数，故ϕ为定角（其中k为z 轴的单位向量）。
4. 求悬链线r ={t，a t a cosh }（-∞∞ t ）从t =0起计算的弧长。
解 'r = {1，a t sinh }，|'r | =a t 2sinh 1+ = a tcosh ， ｓ＝a t t a t a dt sinh cosh 0=⎰ 。
９．求曲线2232,3a xz y a x ==在平面3ay = 与y = 9a 之间的弧长。
解 曲线的向量表示为r ＝}2,3,{223xa a x x ，曲面与两平面3a y = 与y = 9a 的交点分别为x=a 与x=3a , 'r ＝}2,,1{2222xa ax -，｜'r ｜＝444441x a a x ++＝22222xa a x +，所求弧长为a dx xa a x s aa9)2(22322=+=⎰。
10. 将圆柱螺线r ={a t cos ，a t sin ，b t }化为自然参数表示。
解 'r= { -a t sin ,a t cos ,b}，s = t b a dt r t 220|'|+=⎰ ，所以22ba s t +=，代入原方程得 r ={a cos22ba s +, a sin22ba s +,22ba bs +}11.求用极坐标方程)(θρρ=给出的曲线的弧长表达式。
解 由θθρcos )(=x ，θθρsin )(=y 知'r={)('θρθcos -θθρsin )(，)('θρθsin +θθρcos )(}，|'r| = )(')(22θρθρ+，从0θ到θ的曲线的弧长是s=⎰θθ0)(')(22θρθρ+d θ 。
§4 空间曲线1．求圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z = b t 在任意点的密切平面的方程。
解 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b},''r={-a t cos ,- a t sin ,0 } 所以曲线在任意点的密切平面的方程为sin cos cos sin sin cos ta ta b t a t a bt z t a y t a x ------ = 0 ，即(b t sin )x-(b t cos )y+a z-ab t=0 .2. 求曲线r = { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。
解 原点对应t=0 , 'r(0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t t e 0}=t ={0,1,1}，=)0(''r{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0}=t ={2,0,2} ，所以切线方程是110zy x == ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是202110zy x=0 ，即x+y-z=0 ，主法线的方程是⎩⎨⎧=+=-+00z y z y x 即112zy x =-= ；从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式111-==zy x 。
3．证明圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z = b t 的主法线和z 轴垂直相交。
证 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b}, ''r={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，由'r⊥''r知''r为主法线的方向向量，而''r 0=⋅k所以主法线与z 轴垂直；主法线方程是与z 轴有公共点(o,o,bt)。
故圆柱螺线的主法线和z 轴垂直相交。
4.在曲线x = cos αcost ,y = cos αsint , z = tsin α的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。
解 'r = {-cos αsint, cos αcost, sin α } , ''r={ -cos αcost,- cos αsint , 0 }=⨯⨯=|'''|'''r r r rγ{sin αsint ,- sin αcost , cos α }新曲线的方程为r ={ cos αcost + sin αsint ，cos αsint- sin αcost ，tsin α + cos α }对于新曲线'r={-cos αsint+ sin αcost ，cos αcost+ sin αsint ，sin α }={sin(α-t),cos(α-t), sin α} , ''r={ -cos(α-t), sin(α-t),0} ,其密切平面的方程是即 sin α sin(t-α) x –sin α cos(t-α) y + z – tsin α – cos α = 0 .5．证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。
证 方法一：⇒设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径)(t r具有固定长，所以r ·'r =0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。
⇐若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则r ·'r = 0，)(t r具有固定长，对应的曲线是球面曲线。
方法二：()r r t =是球面曲线⇔存在定点0r （是球面中心的径矢）和常数R （是球面的半径）使220()r r R -=⇔02()0r r r '-⋅= ，即0()0r r r '-⋅= （﹡）而过曲线()r r t =上任一点的法平面方程为()0r r ρ'-⋅= 。
可知法平面过球面中心⇔（﹡）成立。
所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。
6.证明过原点平行于圆柱螺线r={a t cos ，a t sin ，b t}的副法线的直线轨迹是锥面2222)(bz y x a =+.证 'r ={ -a t sin ,a t cos , }, ''r ={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，'r ×''r=},cos ,sin {a t b t b a ---为副法线的方向向量，过原点平行于副法线的直线的方程是azt b y t b x =-=cos sin ，消去参数t 得2222)(bz y x a =+。