微分几何习题及答案解析

第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0。

分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。

所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。

证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n为常向量，且)(t r ·n = 0 。

两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n= 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。

反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。

若r ×'r =0，由上题知)(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×'r ≠，则存在数量函数)(t λ、)(t μ，使''r = r λ+μ'r①令n =r ×'r，则n≠0 ，且)(t r ⊥)(t n 。

对n =r ×'r求微商并将①式代入得'n =r ×''r =μ（r ×'r）=μn ，于是n ×'n =0 ，由上题知n 有固定方向，而)(t r ⊥n，即)(t r 平行于固定平面。

§3 曲线的概念3. 证明圆柱螺线r ={ a θcos ,a θsin ,θb } (+∞∞- θ)的切线和z 轴作固定角。

证明 'r= {-a θsin ,a θcos ,b },设切线与z 轴夹角为ϕ,则ϕcos=22||||'ba be r k r +=⋅ 为常数，故ϕ为定角（其中k 为z 轴的单位向量）。

10. 将圆柱螺线r ={a t cos ，a t sin ，b t }化为自然参数表示。

解 'r= { -a t sin ,a t cos ,b}，s = t b a dt r t 220|'|+=⎰ ，所以22ba s t +=，代入原方程得 r ={a cos22ba s +, a sin22ba s +,22ba bs +}§4 空间曲线1．求圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z= b t 在任意点的密切平面的方程。

解 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b},''r={-a t cos ,- a t sin ,0 } 所以曲线在任意点的密切平面的方程为sin cos cos sin sin cos ta ta b t a t a bt z t a y t a x ------ = 0 ，即(b t sin )x-(b t cos )y+a z-ab t=0 .2. 求曲线r = { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。

解 原点对应t=0 , 'r (0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t te 0}=t ={0,1,1}，=)0(''r{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0}=t ={2,0,2} ，所以切线方程是110zy x == ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是202110zy x=0 ，即x+y-z=0 ，主法线的方程是⎩⎨⎧=+=-+00z y z y x 即112zy x =-= ；从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式111-==zy x 。

3．证明圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z= b t 的主法线和z 轴垂直相交。

证 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b}, ''r={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，由'r⊥''r知''r为主法线的方向向量，而''r 0=⋅k所以主法线与z 轴垂直；主法线方程是sin sin cos cos btz t t a y t t a x -=-=- 与z 轴有公共点(o,o,bt)。

故圆柱螺线的主法线和z 轴垂直相交。

4.在曲线x = cos αcost ,y = cos αsint , z = tsin α的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。

解 'r = {-cos αsint, cos αcost, sin α } , ''r={ -cos αcost,- cos αsint ,0 }=⨯⨯=|'''|'''r r r rγ{sin αsint ,- sin αcost , cos α }新曲线的方程为r ={ cos αcost + sin αsint ，cos αsint- sin αcost ，tsin α + cos α }对于新曲线'r ={-cos αsint+ sin αcost ，cos αcost+ sin αsint ，sin α }={sin(α-t), cos(α-t), sin α} , ''r={ -cos(α-t), sin(α-t),0} ,其密切平面的方程是00)sin()cos(sin )cos()sin(sin sin cos cos cos =--------t a t a a t a t a a t z t a y t a x即 sin α sin(t-α) x –sin α cos(t-α) y + z – tsin α – cos α = 0 .5．证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。

证 方法一：⇒设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径)(t r具有固定长，所以r ·'r = 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。

⇐若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则r ·'r = 0，)(t r具有固定长，对应的曲线是球面曲线。

方法二：()r r t =是球面曲线⇔存在定点0r （是球面中心的径矢）和常数R （是球面的半径）使220()r r R -=⇔02()0r r r '-⋅= ，即0()0r r r '-⋅= （﹡）而过曲线()r r t =上任一点的法平面方程为()0r r ρ'-⋅= 。

可知法平面过球面中心⇔（﹡）成立。

所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。

7．求以下曲面的曲率和挠率⑴ },sinh ,cosh {at t a t a r =,⑵ )0)}(3(,3),3({323a t t a at t t a r +-=。

解 ⑴},cosh ,sinh {'a t a t a r = ，}0,sinh ,cosh {''t a t a r = ，}0,cosh ,{sinh '''t t a r =，}1,cosh ,sinh {'''--=⨯t t a r r，所以t a t a t a r r r k 2323cosh 21)cosh 2(cosh 2|'||'''|==⨯= ta t a a r r r r r 22422cosh 21cosh 2)'''()''','','(==⨯=τ 。

⑵ }1,2,1{3'22t t t a r +-= ，}1,0,1{6'''},,1,{6''-=-=a r t t a r，'r ×''r =}1,2,1{18222+--t t t a ，22322223)1(31)1(2227)1(218|'||'''|+=++=⨯=t a t a t a r r r k22224232)1(31)1(2182618)'''()''','','(+=+⨯⨯⨯=⨯=t a t a a r r r r r τ 。

8．已知曲线}2cos ,sin ,{cos 33t t t r = ，⑴求基本向量γβα ,,；⑵曲率和挠率；⑶验证伏雷内公式。