中考数学专题复习相似三角形与函数的综合

相似三角形与函数的综合

相似三角形与一次函数、二次函数等知识结合的试题，常作为压轴题出现。解决此类问题的关键是以两个三角形相似作为突破口，灵活运用相似三角形的性质，列出比例关系式，进而构建函数关系式。 典例：在Rt △ABC 中，∠ACB=900，BC=30，AB=50，点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或

BC 相交于点E 。点M 在线段AP 上。点N 在线段BP 上，EM=EN ，sin ∠EMP=13

12. (1) 如图①，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；

(2) 如图②，当点E 与边AC 上，且不与点A 、C 重合时，设AP=x ，BN=y ，求y 关于x 的函数关系式，

并写出函数自变量的取值范围。

考点11、相似三角形中的探索型问题

相似三角形中的探索型试题，具体来说有探索条件型——结论明确，探索结论成立的条件；探索结论型——给定条件，但无明确的结论或结论不唯一，探索与之相应的结论；探索规律型——在一定条件下，探索有关数学对象所具有的规律性或不变性；探索存在型——在一定的条件下，探索某种数学关系的存在性。 典例：

已知：△ABC 是等腰三角形，∠A ＝900

，D 是腰AC 上的一个动点，过C 作CE 垂直BD 或BD 的延长线，垂足为E ，如图①。

（1） 若BD 是AC 的中线，如图②，求

CE

BD

的值。 （2） 若BD 是∠ABC 的平分线，如图③，求

CE

BD

的值。

①

②

（3） 结合（1）（2），请你推断

CE BD 的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究CE

BD

的值能等于

3

4

吗？若能，求出满足条件的D 点的位置；若不能，请说明理由。 练习：

某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：

定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形。

结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结论：

甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在____个、______个、______个大小不同的内接正方形。

乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上得内接正方形的面积较大。

丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小 任务：（1）填充甲同学结论中的数据。

（2）乙同学的结论正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明；若正确，请给出证明。 (3)请你结合（2）中的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明（如下图，设锐角三角形ABC 的三条边上的对应高分别为c b a ,,不妨设c b a >>，三条边上的对应高分别为c b a h h h 、、，两个顶点分别都在

c b a ,,上的内接正方形的边长分别为c b a x x x 、、，若你对本小题证明有困难，可直接用

“

c

b a h

c h b h a +<+<+1

11”这个结论）。

B

B

C

B

①

②

③ A B

H

E C

F

G