相似三角形和三角函数

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苏科版九年级数学下册：《相似三角形》与《锐角三角函数》综合提优训练

《相似三角形》与《锐角三角函数》综合提优训练1、下列两个图形:①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形. 其中一定相似的有( ) A.2组 B.3组 C.4组 D.5组2、（1）如果234x y z==，求3x y z y -+=_____________ （2）已知x ：y =3：5，y ：z =2：3，则zy x zy x +-++2的值为3、应中共中央总书记胡锦涛同志的邀请，中国国民党主席连战先生、亲民党主席宋楚瑜先生分别从台湾来大陆参观访问，先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”，该园占地面积约为800000m 2，若按比例尺1:2000缩小后，其面积大约相当于( )A.一个篮球场的面积B.一张乒乓球台台面的面积C.《陕西日报》的一个版面的面积D.《数学》课本封面的面积4、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165 cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( ) A ．4 cm B ．6 cm C ．8 cm D ．10 cm 5、如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADEDBCE SS :=:8,四边形那么:AE AC 等于（）A ．1 : 9B ．1 : 3C ．1 : 8D ．1 : 26、如图，△ABC 的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA 的值为．7、在Rt △ABC 中，∠C =90º，AB =10，AC =8，则sin A 的值是（） A ．45B ．35C ．34 D ．43． 8、若3tan （a+10°）=1，则锐角a 的读数为（）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°9、如果△ABC 中，sinA=cosB=2，则下列最确切的结论是（） A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形 C. △ABC 是等腰直角三角形 D. △ABC 是锐角三角形10、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（）11、如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接,,BG DE DE 和FG 相交于点O ，设,()AB a CG b a b ==>.下列结论:①BCG DCE ∆≅∆；②BG DE ⊥；③DG GOGC CE=；④22()EFO DGO a b S b S ∆∆-⋅=⋅.其中结论正确的个数是( ) A. 4 B.3 C.2 D. 112、水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD 时的∠ABC ,其中AB 为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则α的余弦值为 .13、在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m ，塔影长DE=18m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为（） A ．24m B ．22m C ．20m D ．18m14、如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，4）、B （-3，1）、C （-1，1），以坐标原点O 为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC 放大，放大后得到△A ′B ′C ′．（1）画出放大后的△A ′B ′C ′，并写出点A ′、B ′、C ′的坐标．（点A 、B 、C 的对应点为A ′、B ′、C ′）（2）求△A ′B ′C ′的面积．15、一块直角三角形木板，一直角边是1.5米，另一直角边长是2米，要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人的加式方法分别如左图和右图所示，请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求.16、如图所示，一幢楼房AB 背后有一台阶CD ，台阶每层高2.0米，且AC =2.17米，设太阳光线与水平地面的夹角为α.当︒=60α时，测得楼房在地面上的影长AE =10米，现有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳.（3取73.1）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当︒=45α时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由.17、图①是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太光线与玻璃吸热管垂直)，请完成以下计算:① ② ③如图②，AB BC ⊥，垂足为点B ，EA AB ⊥垂足为点A ，//CD AB ，10CD =cm ， 120DE =cm ，FG DE ⊥，垂足为点G .(1)若3750'θ∠=︒，则AB 的长约为 cm.(参考数据: sin3750'0.61︒≈，cos3750'0.79︒≈，tan3750'0.78︒≈)(2)若30FG =cm ，60θ∠=︒，求CF 的长.18、如图，在直角坐标系中，Rt △OAB 的直角顶点A 在x 轴上，OA =4，AB =3．动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO 向终点O 移动；同时点N 从点O 出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB 向终点B 移动．当两个动点运动了x 秒（0＜x ＜4）时，解答下列问题：（1）求点N 的坐标（用含x 的代数式表示）；（2）设△OMN 的面积是S ，求S 与x 之间的函数表达式；（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN 是直角三角形？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．19、阅读：如图1把两块全等的含45°的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点D 旋转，两边分别与线段AB 、BC 相交于点P 、Q,易说明△APD ∽△CDQ．猜想（1）：如图2，将含30°的三角板DEF （其中∠EDF=30°）的锐角顶点D 与等腰三角形ABC （其中∠ABC = 120°）的底边中点O 重合，两边分别与线段AB 、BC 相交于点P 、Q ．写出图中的相似三角形（直接填在横线上）；验证（2）：其它条件不变，将三角板DEF 旋转至两边分别与线段AB 的延长线、边BC 相交于点P 、Q ．上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形,并说明理由．连结PQ ，△APD 与△DPQ 是否相似？为什么?探究（3）：根据（1）（2）的解答过程，你能将两三角板改为一个更为一般的条件，使得（1）20、从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD 为△ABC 的完美分割线．（2）在△ABC 中，∠A=48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求∠ACB 的度数．（3）如图2，△ABC 中，AC=2，BC=，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD 的长．ＢＥＰＡＣＱＦＤ(O)图1图2Ｄ(O) B CFE P Q A 图3AC B21、如图（1），点C 将线段AB 分成两部分，如果AC ：AB=BC ：AC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点。

圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

圆与相像三角形、解直角三角形及二次函数的综合种类一：圆与相像三角形的综合1．如图， BC 是⊙ A 的直径，△ DBE的各个极点均在⊙ A 上， BF⊥ DE于点 F.求证： BD·BE＝ BC·BF.2．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB＝ 90°，以 AC为直径的⊙ O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线，交 BC 于点 E.(1)求证：点 E 是边 BC的中点；求证：2＝BD·BA；(2)BC(3)当以点 O， D， E，C 为极点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1) 连接 OD，∵ DE为切线，∴∠ EDC＋∠ ODC＝90° .∵∠ ACB＝90°，∴∠ ECD＋∠ OCD＝ 90° .又∵ OD＝ OC，∴∠ ODC＝∠ OCD，∴∠ EDC＝∠ ECD，∴ ED＝ EC.∵AC 为直径，∴∠ADC＝ 90°，∴∠ BDE＋∠ EDC＝ 90°，∠ B＋∠ECD＝ 90°，∴∠ B＝∠ BDE，∴ ED＝ EB，∴ EB＝EC，即点 E 为边 BC的中点(2)∵ AC为直径，∴∠ ADC＝∠ ACB＝90° .又∵∠ B＝∠ B，∴△ ABC∽△ CBD，∴ABBC＝ BCBD，∴B C2＝ BDBA(3)当四边形 ODEC为正方形时，∠ OCD＝ 45° .∵AC 为直径，∴∠ ADC＝ 90°，∴∠ CAD＝90°－∠ OCD＝ 90°－ 45°＝ 45°，∴ Rt△ ABC 为等腰直角三角形种类二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ ABC中，以 AC 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 G，且 D 是 BC 的中点，DE⊥ AB，垂足为点 E，交 AC 的延伸线于点 F.(1)求证：直线EF是⊙ O 的切线；(2)已知 CF＝ 5， cosA＝25，求 BE 的长．解： (1)连接 OD.∵ CD＝DB，CO＝ OA，∴ OD 是△ ABC的中位线，∴OD∥ AB， AB＝2OD.∵ DE⊥ AB，∴ DE⊥OD，即 OD⊥ EF，∴直线 EF是⊙ O 的切线(2)∵ OD∥ AB，∴∠ COD＝∠ A，∴ cos∠ COD＝ cosA＝ 25.在 Rt△ DOF中，∵∠ ODF＝ 90°，∴ cos∠ FOD＝ ODOF＝ 25.设⊙ O 的半径为 r，则 rr ＋ 5＝ 25，解得 r＝ 103，∴ AB＝ 2OD＝ AC＝ 203.在 Rt△ AEF中，∵∠ AEF＝ 90°，∴ cosA＝ AEAF＝AE5＋ 203＝25，∴ AE＝ 143，∴ BE＝AB－ AE＝203－ 143＝ 24．(2015 ·资阳 )如图，在△ ABC中， BC是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，且⊙ O 与 AC 订交于点D， E 为 BC 的中点，连接 DE.(1)求证： DE 是⊙ O 的切线；(2)连接 AE，若∠ C＝ 45°，求 sin∠ CAE的值．解： (1)连接 OD，BD，∵ OD＝ OB，∴∠ ODB＝∠ OBD.∵ AB 是直径，∴∠ ADB＝ 90°，∴∠ CDB＝ 90° .∵ E为 BC的中点，∴ DE＝BE，∴∠ EDB＝∠ EBD，∴∠ ODB＋∠ EDB＝∠ OBD＋∠ EBD，即∠ EDO＝∠ EBO.∵ BC 是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，∴ AB⊥ BC，∴∠ EBO＝90°，∴∠ ODE＝ 90°，∴ DE 是⊙ O 的切线(2)过点 E 作 EF⊥ CD于点 F，设 EF＝ x，∵∠ C＝45°，∴△ CEF，△ABC 都是等腰直角三角形，∴CF＝ EF＝ x，∴ BE＝ CE＝ 2x，∴AB＝ BC＝ 22x.在 Rt△ ABE中， AE＝ AB2＋ BE2＝ 10x，∴ sin∠ CAE＝ EFAE＝ 10105．如图，△ ABC 内接于⊙ O，直径 BD 交 AC 于点 E，过点 O 作 FG⊥ AB，交 AC 于点 F，交 AB 于点 H，交⊙ O 于点 G.(1)求证： OF·DE＝ OE·2OH；(2)若⊙ O 的半径为12，且 OE∶OF∶ OD＝ 2∶3∶ 6，求暗影部分的面积． (结果保存根号 )解： (1)∵ BD 是直径，∴∠ DAB＝ 90° .∵ FG⊥ AB，∴ DA∥ FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OFDE＝OEAD.∵O 是BD 的中点， DA∥ OH，∴ AD＝ 2OH，∴ OFDE＝ OE2OH(2)∵⊙ O 的半径为12，且 OE∶ OF∶ OD＝2∶ 3∶ 6，∴ OE＝ 4， ED＝8，OF＝ 6，∴ OH＝ 6.在 Rt△OBH 中，OB＝ 2OH，∴∠ OBH＝ 30°，∴∠ BOH＝ 60°，∴ BH＝ BOsin60°＝ 12× 32＝ 63，∴ S 暗影＝ S 扇形 GOB－S△OHB＝60×π× 122360－ 12× 6×63＝ 24π－ 183种类三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知 A(－ 4，0)， B(1，0)，且以 AB 为直径的圆交 y 轴的正半轴于点 C(0，2)，过点 C作圆的切线交 x 轴于点 D.(1)求过 A，B， C 三点的抛物线的分析式；(2)求点 D 的坐标；(3)设平行于 x 轴的直线交抛物线于E，F 两点，问：能否存在以线段EF为直径的圆，恰巧与x轴相切若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明原因．解： (1)y＝－ 12x2－ 32x＋2(2)以 AB 为直径的圆的圆心坐标为O′ (－32，0)，∴O′ C＝ 52， O′ O＝ 32.∵ CD为圆 O′的切线，∴O′ C⊥ CD，∴∠ O′CO＋∠ DCO＝ 90° .又∵∠CO′ O＋∠ O′ CO＝90°，∴∠ CO′ O＝∠DCO，∴△ O′ CO∽△ CDO，∴ O′ OOC＝ OCOD，∴322＝ 2OD，∴ OD＝ 83，∴点 D 的坐标为 (83，0)(3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－ 32，设满足条件的圆的半径为|r| ，则点 E 的坐标为 (－ 32＋ r， r)或 F(－ 32－r ， r)，而点 E 在抛物线y ＝－ 12x2－ 32x＋2 上，∴ r＝－ 12(－ 32＋ |r|)2 － 32(－ 32＋ |r|) ＋ 2，∴ r1＝－ 1＋ 292， r2＝－1－ 292(舍去 )．故存在以线段EF 为直径的圆，恰巧与x 轴相切，该圆的半径为－1＋ 2927．如图，抛物线y＝ax2＋ bx－ 3 与 x 轴交于 A， B 两点，与y 轴交于点C，经过 A，B， C 三点的圆的圆心抛物线的极点为M(1 ，m)恰幸亏此抛物线的对称轴上，E.⊙ M的半径为.设⊙ M与y 轴交于点D，(1)求 m 的值及抛物线的分析式；(2)设∠ DBC＝α，∠ CBE＝β，求 sin( α－β)的值；(3)研究坐标轴上能否存在点 P，使得以 P， A， C 为极点的三角形与△ BCE相像若存在，请指出点 P 的地点，并直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．解： (1)由题意，可知 C(0，－ 3)，－ b2a＝1，∴抛物线的分析式为 y＝ ax2－ 2ax－ 3(a＞ 0)．过点 M 作 MN ⊥y 轴于点 N，连接 CM，则 MN ＝ 1， CM＝ 5，∴ CN＝ 2，于是 m＝－ 1.同理，可求得 B(3，0)，∴ a× 32－ 2a× 3－ 3＝0，解得 a＝ 1. ∴抛物线的分析式为 y＝ x2－ 2x－3(2)由 (1)得， A(－1 ，0)， E(1，－ 4)， D(0， 1)，∴△ BCE为直角三角形， BC＝32， CE＝ 2，∴OBOD＝31＝ 3， BCCE＝ 322＝3，∴ OBOD＝ BCCE，即 OBBC＝ ODCE，∴ Rt△BOD∽ Rt△BCE，得∠ CBE＝∠ OBD＝β，所以 sin(α－β )＝sin(∠ DBC－∠ OBD)＝ sin∠ OBC＝ COBC＝ 22(3)明显 Rt△ COA∽ Rt△ BCE，此时点 O(0， 0)．过点 A 作 AP2⊥ AC 交 y 轴的正半轴于点 P2，由 Rt△ CAP2∽Rt△ BCE，得 P2(0，13)．过点 C 作 CP3⊥ AC交 x 轴的正半轴于点 P3，由 Rt△P3CA∽ Rt△ BCE，得 P3(9，0)．故在座标轴上存在三个点 P1(0， 0)，P2(0， 13)，P3(9， 0)，使得以 P， A， C为极点的三角形与△ BCE相像。

相似三角形在三角函数中的应用

相似三角形在三角函数中的应用相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。

在数学中，相似三角形的性质被广泛应用于各种领域，尤其是在三角函数中。

本文将介绍相似三角形在三角函数中的应用，包括比值定义、角度关系、三角函数图像等方面。

一、比值定义相似三角形的比值定义是指在两个相似三角形中，对应角的正弦、余弦和正切的比值相等，即三角函数的比值定义。

以两个相似三角形ABC和DEF为例，设它们对应的角为A和D，对边分别为a、b和c、d。

根据相似三角形的比值定义可得以下关系：sin(A)/sin(D) = a/dcos(A)/cos(D) = b/dtan(A)/tan(D) = a/b通过比值定义，我们可以根据已知的角度和边长来求解未知的边长或角度，从而应用于实际问题的计算中。

二、角度关系相似三角形的角度关系指的是在两个相似三角形中，对应角的角度相等。

利用相似三角形的角度关系，可以解决一些三角函数的问题。

例如，当一个角的正弦等于另一个角的余弦时，可以通过相似三角形的角度关系推导出两个角的关系式。

这种应用在解三角方程时十分实用。

三、三角函数图像相似三角形的应用还可以扩展到三角函数的图像中。

正弦、余弦和正切函数的图像都是周期性的，可以通过相似三角形来观察和分析其周期性质。

例如，对于正弦函数的图像，当我们将函数图像放大或缩小时，其峰值和谷值的位置以及波长都会发生对应的变化。

这可以通过相似三角形的性质来解释。

当函数图像垂直方向的拉伸或压缩时，可以与相似三角形中对边长度的变化进行类比，从而更好地理解正弦函数图像的性质。

此外，利用三角函数图像的相似性，在解决实际问题时也是相当有效的。

例如，通过比较两个相似三角形在函数图像上的对应点，可以确定在不同的输入值下函数值的关系，从而得出更精确的计算结果。

综上所述，相似三角形在三角函数中有着广泛的应用。

通过比值定义、角度关系和三角函数图像，我们可以解决各种三角函数相关的问题，包括解方程、计算未知边长或角度以及分析函数图像的性质。

三角形的相似性质

● a. 边边边（SSS）：三个边分别相等的两个三角形全等。 ● b. 边角边（SAS）：两边及其夹角相等的两个三角形全等。 ● c. 角边角（ASA）：两个角及其夹边相等的两个三角形全等。 ● d. 角角边（AAS）：两个角及其非夹边相等的两个三角形全等。 ● e. 边边角（SSA）：两个边及其夹角相等的两个三角形全等。 ● f. 角角角（AAA）：三个角相等的两个三角形全等。
边长比例相等：两个三角形的边长之比相等
面积比例相等：两个三角形的面积之比相等
角度相等：两个三角形的对应角相等
边长和角度的关系：两个三角形的边长和角度满足一定的比例关系
三角形相似的应用
第三章
相似三角形在几何问题中的应用
相似三角形的性质：两个三角形相似，它们的对应边成比例，对应角相等
相似三角形的应用：在几何问题中，可以通过相似三角形的性质，求解三角形的边长、角度等
三角形全等与相似的关系
相似三角形：两个三角形对应边成比例，对应角相等
全等三角形是相似三角形的特殊情况
相似三角形不一定是全等三角形
全等三角形：两个三角形对应边相等，对应角相等
全等三角形的性质可以推广到相似三角形
三角形全等和相似的应用场景比较
全等三角形：在几何证明中，全等三角形常用于证明线段相等、角相等等。
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三角函数的定义：三角函数是描述三角形内角和边的关系的函数
相似三角形在三角函数中的应用：通过相似三角形的性质，可以求解三角形中的未知边和角
相似三角形在三角函数中的应用实例：求解三角形中的未知边和角，如求解三角形的面积、周长等
相似三角形在实际问题中的应用

相似三角形的应用于三角函数的推导

相似三角形的应用于三角函数的推导相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。

在数学中，相似三角形具有重要的应用，尤其是在三角函数的推导中。

本文将探讨相似三角形在三角函数推导中的应用。

一、正弦函数的推导在推导正弦函数的过程中，我们可以利用相似三角形的性质来推导出正弦函数的定义。

考虑一个直角三角形ABC，其中∠B为90度。

假设C点在单位圆上，角A对应的弧长为s。

根据单位圆的性质，弧长与圆心角的关系为s = rθ，其中r为单位圆的半径，θ为圆心角的大小。

根据三角函数的定义，正弦函数sinθ定义为：sinθ = BC / AC由于三角形ABC与单位圆OBC相似，根据相似三角形的性质，我们可以得到：BC / AC = s / r将上述等式带入正弦函数的定义中，得到：sinθ = s / r这就是正弦函数的推导过程，利用相似三角形的性质，我们可以得到正弦函数的定义。

二、余弦函数的推导类似地，在推导余弦函数的过程中，我们同样可以利用相似三角形的性质来推导出余弦函数的定义。

考虑一个直角三角形ABC，其中∠B为90度。

假设C点在单位圆上，角A对应的弧长为s。

根据单位圆的性质，弧长与圆心角的关系为s = rθ，其中r为单位圆的半径，θ为圆心角的大小。

根据三角函数的定义，余弦函数cosθ定义为：cosθ = AB / AC由于三角形ABC与单位圆OBC相似，根据相似三角形的性质，我们可以得到：AB / AC = r / s将上述等式带入余弦函数的定义中，得到：cosθ = r / s利用相似三角形的性质，我们成功推导出余弦函数的定义。

三、正切函数的推导正切函数是另一个重要的三角函数，在推导正切函数的过程中，同样可以运用相似三角形的性质。

考虑一个直角三角形ABC，其中∠B为90度。

假设C点在单位圆上，角A对应的弧长为s。

根据单位圆的性质，弧长与圆心角的关系为s = rθ，其中r为单位圆的半径，θ为圆心角的大小。

根据三角函数的定义，正切函数tanθ定义为：tanθ = BC / AB由于三角形ABC与单位圆OBC相似，根据相似三角形的性质，我们可以得到：BC / AB = s / r将上述等式带入正切函数的定义中，得到：tanθ = s / r通过运用相似三角形的性质，我们推导出了正切函数的定义。

相似三角形知识点

相似三角形知识点在数学的世界中，相似三角形可是一个非常重要的知识点。

它不仅在解决几何问题时经常出现，还与我们的日常生活有着千丝万缕的联系。

首先，咱们来聊聊相似三角形的定义。

简单来说，如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似的。

这就好比两个形状相同，但大小可能不同的三角形。

相似三角形有一些重要的性质。

比如说，相似三角形的对应边的比值是相等的。

这意味着，如果一个三角形的一条边是另一个相似三角形对应边的两倍，那么其他对应边也会是两倍的关系。

再比如，相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比值也都等于相似比。

相似三角形的判定方法也很关键。

第一种方法是“两角分别相等的两个三角形相似”。

想象一下，两个三角形的两个角都分别相等，那它们的第三个角肯定也相等，这样的两个三角形不相似都难。

第二种方法是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。

这里要注意，必须是夹角相等哦，如果不是夹角，那就不行啦。

第三种方法是“三边成比例的两个三角形相似”。

只要三条边的比例都一样，那它们就是相似三角形。

接下来，咱们看看相似三角形在实际生活中的应用。

比如说，在测量物体的高度时，如果我们没办法直接测量，就可以利用相似三角形的知识。

比如要测量一棵大树的高度，我们可以先在地上立一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大树的影子长度。

因为太阳光是平行的，所以杆子和大树与它们的影子分别构成的两个三角形是相似的。

根据相似三角形对应边成比例的性质，就可以算出大树的高度啦。

在建筑设计中，相似三角形也大有用处。

设计师们可以通过相似三角形的原理来规划不同比例的建筑结构，确保建筑的稳定性和美观性。

再说说数学题目中相似三角形的常见题型。

有一种是给出两个三角形的一些边和角的条件，让我们判断它们是否相似。

这就需要我们熟练运用判定方法来进行判断。

还有一种是已知两个相似三角形的某些边的长度或者比值，求其他边的长度。

这时候就要根据相似比来列方程求解。

相似三角形与三角函数的关系探究

相似三角形与三角函数的关系探究相似三角形是指对应角相等、对应边成比例的两个三角形。

它们之间存在着一种有趣的关系，与三角函数密切相关。

本文将探究相似三角形与三角函数之间的关系。

1. 引言相似三角形与三角函数是高中数学中的重要概念，它们的关系不容忽视。

相似三角形是几何学中的基础概念，而三角函数则是在解析几何和三角学中广泛应用的数学工具。

通过研究它们之间的关系，我们可以更深入地理解三角函数的性质和相似三角形的性质。

2. 相似三角形的定义与性质相似三角形的定义是指两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。

在相似三角形中，我们可以通过关联两个三角形的对应边，建立起三角函数与相似三角形之间的联系。

3. 三角函数与相似三角形的关系在相似三角形中，我们可以利用三角函数来研究各个角的关系。

以正弦函数为例，我们知道在一个直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比。

在相似三角形中，如果两个三角形的某个角相等，那么这两个三角形的对边与斜边的比例也相等。

因此，我们可以利用相似三角形的性质，将三角函数的定义推广到非直角三角形上。

4. 应用举例：利用三角函数求解相似三角形的边长比例在解决实际问题时，我们经常会遇到需要求解相似三角形边长比例的情况。

通过建立适当的三角函数关系，我们可以利用已知条件来求解未知边长的比例。

这种方法在测量不便或无法直接测量的情况下非常有用，例如建筑物高度的测量、地理测量等。

5. 三角函数与角度的关系除了与相似三角形相关联之外，三角函数还与角度的概念息息相关。

我们知道，三角函数的定义依赖于角度的概念。

在相似三角形中，对应角相等的两个三角形中，角的度数也是相等的。

因此，我们可以通过相似三角形的性质进一步研究三角函数与角度的关系。

6. 三角函数的周期性三角函数的周期性是它们独特的性质之一。

在相似三角形中，如果两个角的度数相等，那么这两个角的三角函数值也是相等的。

这意味着在一个周期内，三角函数的值会重复出现。

相似三角形的三角函数关系

相似三角形的三角函数关系相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。

在几何学中，相似三角形的三角函数关系起着重要的作用。

本文将详细介绍相似三角形的三角函数关系。

一、相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。

即若三角形ABC与三角形DEF相似，则有∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE = BC/EF = AC/DF。

二、正弦函数与相似三角形的关系对于一个直角三角形ABC，其中∠A为直角，BC为斜边，分别定义其两个尖角为∠B和∠C。

假设∠B = α，则∠C = 90° - α。

根据正弦函数的定义，我们可以得到：sin(∠B) = BC/AB，sin(90° - α) = AC/AB。

由于AB是一个恒定值，那么BC/AB与AC/AB之间的比值为常数。

所以，当两个三角形相似时，它们对应角的正弦函数值相等。

三、余弦函数与相似三角形的关系同样以直角三角形ABC为例，根据余弦函数的定义可得：cos(∠B) = AC/AB，cos(90° - α) = BC/AB。

与正弦函数类似，两个相似三角形的对应角的余弦函数值相等，即cos(∠B) = cos(90° - α)。

四、正切函数与相似三角形的关系正切函数是切线与斜边之比，所以对于直角三角形ABC，有tan(∠B) = BC/AB，tan(90° - α) = AC/AB。

同样地，当两个三角形相似时，它们对应角的正切函数值相等，即tan(∠B) = tan(90° - α)。

五、例题分析现在我们通过一个具体的例题来说明相似三角形的三角函数关系。

设有两个相似三角形ABC和DEF，已知AB = 5cm，BC = 8cm，AC = 10cm，且∠B = α。

求∠C和∠A。

根据三角形相似的定义，我们可以得到的比值公式是AB/DE=BC/EF=AC/DF=5/DE。

相似三角形及锐角三角函数

九年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间：一、相关概念：1. 相似图形：形状相同的图形。

2. 相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例。

3. 相似比：相似多边形对应边的比。

二、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等三、相似三角形的判定✓通过定义（三边对应成比例，三角相等）✓平行于三角形一边的直线✓三边对应成比例（SSS）✓两边对应成比例且夹角相等（SAS）✓两角对应相等（AA）✓两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（HL）四、相似三角形的性质✓对应角相等。

✓对应边成比例。

✓对应高的比等于相似比。

✓对应中线的比等于相似比。

✓对应角平分线的比等于相似比。

✓周长比等于相似比。

✓面积比等于相似比的平方。

五、位似：✓位似图形的概念：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比.✓在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.考点一一、选择题（每小题3分，共24分）1.下列命题：①所有的等腰三角形都相似，②所有的等边三角形都相似，③所有的等腰直角三角形都相似，④所有的直角三角形都相似.其中，正确的是 ( )A.②③B.②③④C.③④D.②④2.有两个顶角相等的等腰三角形框架，其中一个三角形框架的腰长为6，底边长为4，另一个三角形框架的底边长为2，则这个三角形框架的腰长为 ( ) A.6 B.4 C.3 D.23.如图，点P 是△ABC 的边AB 上的一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截△ABC ，使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有 ( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条4.如图，E 是□ABCD 的边BC 延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（）A.1对B.2对C.3对D.4对5.两个相似菱形边长的比是1:4，那么它们的面积比是 ( ) A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:166.下列条件中，不能判定以A /、B /、C /为顶点的三角形与△ABC 相似的是（） A.∠C=∠C /=90°,∠B=∠A /=50° B.AB=AC ，A /B /=A /C /，∠B=∠B /C.∠B=∠B /，////C B BC B A AB =D. ∠A=∠A /，////C B BC B A AB =7.△ABC 的周长等于16，D 是AC 的中点，DE ∥AB ，交BC 于点E ，则△DEC 的周长等于( ) A.2 B.4 C.6 D.88.在□ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是BE 的中点，AE 与DF 相交于H ，则△EFH 的面积与△ADH 的面积的比值为（） A ．21 B ． 81 C ．161 D ．41二、填空题（每小题3分，共18分）9．有一张比例尺为1∶4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，则这个地区的实际周长________。

中考知识点三角比的计算

中考知识点三角比的计算三角比是中考数学中的重要知识点之一，它涉及到角的度量、相似三角形以及三角函数的计算等内容。

熟练掌握三角比的计算方法对于解题起到至关重要的作用。

本文将介绍三角比的计算方法，并以实例进行详细说明。

一、角度与弧度的转换在进行三角比的计算过程中，常常需要将角度转化为弧度或将弧度转化为角度。

为了方便起见，我们一般以弧度为单位，进行计算。

当需要将角度转化为弧度时，可以使用如下公式：弧度 = 角度× π/180当需要将弧度转化为角度时，可以使用如下公式：角度 = 弧度× 180/π二、正弦、余弦、正切函数的计算1. 正弦函数（sin）的计算正弦函数是指任意角的正弦值与其对边与斜边的比值。

设直角三角形中的一个锐角为α，则正弦函数的计算公式为：sin(α) = 对边/斜边2. 余弦函数（cos）的计算余弦函数是指任意角的余弦值与其邻边与斜边的比值。

设直角三角形中的一个锐角为α，则余弦函数的计算公式为：cos(α) = 邻边/斜边3. 正切函数（tan）的计算正切函数是指任意角的正切值与其对边与邻边的比值。

设直角三角形中的一个锐角为α，则正切函数的计算公式为：tan(α) = 对边/邻边三、实例演示下面我们以一个实例来演示如何计算三角比。

例：已知直角三角形的直角边长分别为3cm和4cm，求其正弦、余弦和正切值。

解：根据给定的直角边长，可以计算出斜边的长度为5cm。

接下来进行计算：正弦值sin(α) = 对边/斜边= 3/5 ≈ 0.6余弦值cos(α) = 邻边/斜边 = 4/5 = 0.8正切值tan(α) = 对边/邻边 = 3/4 = 0.75四、总结通过以上的论述和实例演示，我们可以看出，三角比的计算方法是基于角度的正弦、余弦、正切函数的性质推导得出的。

对于中考数学中有关三角比的计算题目，我们需要熟练掌握角度与弧度的转换方法，并能灵活运用正弦、余弦、正切函数的计算公式。

相似三角形、三角函数、反比例函数知识点总结(导学案)

相似三角形知识点总结 1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c da b c d a d b c a c ==()a 、d 叫，b 、c 叫，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

黄金比（黄金数）是 .例:线段AB=10m,点Ｐ是线段AB 的黄金分割点，则ＡＰ＝ .2. 比例性质：（１）基本性质（２）合比性质（３）等比性质3、相似比:相似多边形对应边长度的比叫做相似比(比例系数)．4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。

则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===5、平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

BC DE AC AE AB AD ==( A 字型 ) (X 字型)6、相似三角形的判定：① 对应相等，两个三角形相似 ② 对应成比例且相等，两三角形相似 ③ 对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的和与另一个直角三角形的和对应成比例，那么这两个直角形相似。

⑤ 三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。

【注：三角形相似是证明乘积式、比例式的有效工具，同时也是三角形中求线段长的重要手段】7、相似三角形的性质:①相似三角形的相等 ②相似三角形的成比例③相似三角形的比、的比和的比都等于相似比E B D (3)B CA E④相似三角形比等于相似比，比等于相似比的平方8、位似：如果两个图形不仅是图形，而且每组都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.【注：位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，位似图形是相似图形，但相似图形是位似图形. 位似图形的对应边互相平行或共线位似图形上任意一对对应点到的距离之比等于相似比.】9、画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.10、在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么对应点的坐标为(,) 【同向位似图形】或 (,) 【反向位似图形】,锐角三角函数1、锐角∠A的三角函数（按右图Rt△ABC填空）∠A的正弦：sin A = ,∠A的余弦：cos A = ,∠A的正切：tan A = ,∠A的余切：cot A =2、锐角三角函数值，都是实数（正、负或者0）；3、正弦、余弦值的大小范围：＜sin A＜；＜cos A＜4、tan A•cot A = ； tan B•cot B = ；5、sin A =cos（90°- ）；cos A = sin（ -）6、填表7、在Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，AB ＝c ,BC ＝a ，AC ＝b ,1）、三边关系（勾股定理）：2）、锐角间的关系：∠ +∠ = 90°3）、边角间的关系：sin A = ； sin B = ；cos A = ； cos B = ； tan A = ； tan B = ；4）、倒数关系：；5）、商的关系：；6）、平方和的关系：；8、图中角可以看作是点A 的角也可看作是点B 的角； 9、（1）坡度（或坡比）是坡面的高度（h ）和长度（l ）的比。

相似三角形与三角函数

初三数学---相似三角形和解直角三角形一、相似三角形1．相似三角形判定定理：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. （2）判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．即“两角对应相等，两三角形相似”．（3）判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．即“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”．（4）判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．即“三边对应成比例，两三角形相似”．（5）若△1∽△2、△2∽△3、则△1∽△3．对于直角三角形相似，还有如下判定定理：（6）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（7）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．2．相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应边成比例；（3）相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；（4）相似三角形周长比等于相似比；（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方．二、锐角三角函数1．掌握锐角三角函数的定义，准确地进行计算．2．互余角的三角函数间的关系（1）sin（90°－）＝cos；（2）cos（90°－）＝sin；（3）．3．同角三角函数间的关系（1）；（2）．三、解直角三角形1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2；（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；（3）边与角之间的关系：，，．2．如图，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h2＝pq；由△ACD∽△ABC或由△ABC的面积，得ab＝ch．从三角函数的角度考虑，有由，得a2＝pc；同理，得b2＝qc；由，得h2＝pq；由，得ab＝ch．在有关直角三角形的相似问题中，可以尝试运用三角函数的知识来解题，即“三角法”．3．如图1，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则（1）CD＝AD＝BD＝；（2）点D是Rt△ABC的外心，外接圆半径．4．如图2，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则．图1 图2 图3 5．直角三角形的面积：（1）如图2，S△ABC．（2）如图3，S△ABC．6B＝90°－A，，，由求角A，B＝90°－A，由求角A，B＝90°－A例题分析例1．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为下底BC上一点（不与B，C重合），连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．（1）你认为图中哪两个三角形相似，为什么?（2）当点P在底边BC上自点B向C移动的过程中，是否存在一点P，使得DE∶EC＝5∶3?如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．例2．如图，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求x的值．例3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5，求sin B·sin C的值．例4．如图，D是AB上一点，且CD⊥AC于C，S△ACD∶S△CDB＝2∶3，，AC＋CD＝18，求tan A的值和AB的长．5．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝与x轴交于点E．求点E的坐标．6．已知：如图（a），梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝BC＝4，CD＝6．（1）E为BC边上一点，EF∥AD，交CD边于点F，FG∥EA，交AD边于点G，若四边形AEFG为矩形，求BE的长；（2）如图（b），将（1）中的∠AEF绕E点逆时针旋转为∠A′EF′，EF′交CD边于F′点，且F′点与D点不重合，射线EA′交AB边于点M，作F′N∥EA′交AD边于点N，设BM为x，△NF′D中，F′D边上的高为y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围．图（a）图（b）答案例1、解：（1）△ABP∽△PCE．其理由是除∠B＝∠C外，由于∠APE＝∠B＝60°，∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APE＋∠CPE，∴∠BAP＝∠CPE．由“两角对应相等，两三角形相似”可得△ABP∽△PCE．说明：此图形结构可以称为“一线三等角问题”．（2）作DF⊥BC于F，由已知可得CF＝，腰长AB＝CD＝2CF＝4，这样原问题转化为在底边BC上是否存在一点P，使得CE＝1.5．假设存在P点，使CE＝1.5，由△ABP∽△PCE，得，可得BP·PC＝AB·CE＝6．设BP＝x，∵BC＝BP＋PC＝7，∴PC＝7－x．∴x（7－x）＝6，即x2－7x＋6＝0．解得x1＝1，x2＝6．答：当BP＝1或BP＝6时，使得DE∶EC＝5∶3．例2、解：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°．∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°．∴∠CMN＋∠AMB＝90°．在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，∴∠MAB＝∠CMN．∴Rt△ABM∽Rt△MCN．（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，，即．．．当x＝2时，y取最大值，最大值为10．（3）∵∠B＝∠AMN＝90°，∴要使△ABM ∽△AMN，只需．由（1）知．∴BM＝MC．∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x＝2．例3、分析:为求sin B，sin C，需将∠B，∠C分别置于直角三角形之中，另外已知∠A的邻补角是60°，若要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B，C，向CA，BA的延长线作垂线段，即可顺利求解．解：过点B作BD⊥CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA的延长线于点E．∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°．；．又∵CD＝CA＋AD＝10，，．同理，可求得．．说明：由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可以通过作垂线段等方法将其置于直角三角形中．例4、解：作DE∥AC交CB于E，则∠EDC＝∠ACD＝90°．∵，设CD＝4k（k＞0），则CE＝5k，由勾股定理得DE＝3k．∵△ACD和△CDB在AB边上的高相同，∴AD∶DB＝S△ACD∶S△CDB＝2∶3．．即．．∵AC＋CD＝18，∴5k＋4k＝18．解得k＝2．．．说明：本章解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程．在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等．例5、解：作AF⊥x轴于F．∴OF＝OA·cos60°＝1，AF＝OF·．∴点A坐标为（1，）．代入直线解析式，得．．．当y＝0即时，x＝4．∴点E坐标为（4，0）．例6、解：（1）作AH⊥CD于点H（如图（c））可得∠1＝∠2＝∠D．由AB＝BC＝CH＝4可得HD＝CD－CH＝2．．．∴BE＝2，即E为BC的中点．（2）图（d），作NP⊥CD于点P，则PN＝y．可得∠4＝∠5＝∠6，它们的正切值相等．，即．，．，，∵CD＝CF′＋PF′＋PD，，即．整理，得．若点F′与点D重合（见图（e）），则∠BEM＝∠EDC，．．．∴x的取值范围为。

三角形的相似性知识点总结

三角形的相似性知识点总结三角形是几何学中重要的图形，通过相似性的概念，我们可以研究不同大小但形状相似的三角形之间的关系。

相似的三角形可以通过比较它们的边长、角度或比例来判断。

在以下内容中，我将对三角形的相似性及其应用进行详细总结。

一、相似三角形的定义和性质：1.相似三角形定义：具有相等的夹角且各对应边长度成比例的三角形称为相似三角形。

2.相似三角形性质：a)对应顶角相等：如果两个三角形相似，它们对应的顶角必定相等。

b)对应边成比例：如果两个三角形相似，它们对应的边长必定成比例。

c)对应角与边的比例一致：在两个相似三角形中，对应角与对应边的比例是相等的。

d)周长比例：两个相似三角形的周长之比等于对应边之比。

e)面积比例：两个相似三角形的面积之比等于对应边长之比的平方。

二、相似三角形的证明方法：1.侧角侧相似定理（SAS相似定理）：如果两个三角形中一对对应角相等，且它们的两对对应边成比例，则这两个三角形相似。

2.角角相似定理（AA相似定理）：如果两个三角形中两对对应角相等，则这两个三角形相似。

3. 正弦定理（Sine定理）：对于一个任意三角形ABC，在∠B和∠C 两个顶点的夹角中，它们的对边与其相对的角的正弦比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b和c分别是三角形的边长。

4. 余弦定理（Cosine定理）：对于一个任意三角形ABC，在∠B和∠C两个顶点的夹角中，它们的边长与其余弦值的比之间有一定的关系，即c²=a²+b²-2ab*cosC。

三、相似三角形的应用：1.三角形的比例测量：通过已知相似三角形的边长比例，可以测量无法直接测量的长度。

2.高度测定：在无法直接测量的情况下，可以通过相似三角形的性质来求解三角形的高度。

3.距离测量：通过相似三角形的应用，可以通过测量一个已知长度物体的阴影长度，推算出其他位置阴影长度对应的物体距离。

4.角度测量：通过已知相似三角形的角度关系，可以测量无法直接测量的角度。

数学《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练(含答案)

2020-2021学年中考数学培优训练讲义（七）《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练班级姓名座号成绩1.如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接PF．若tan∠FBC＝，DF＝，则PF的长为．2.如图AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于F，AF交⊙O于点H，当OB＝2时，则BH的长为．（第1题图）（第2题图）（第3题图）3.如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC、PB，若cos∠PAB＝，BC＝1，则PO的长．4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E．（1）如下左图，过点D作弦DF⊥AB垂足为H，连接EF交AB于G，求证：EF∥AC；（2）如下右图，在（1）的条件下，过点G作GN⊥BC垂足为N，若OG＝3，EN＝4，求线段DH的长．5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：KG2＝KD•KE；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．作业思考：1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长．参考答案：1．如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF．（1）求证：PF平分∠BFD．（2）若tan∠FBC＝，DF＝，求EF的长．【分析】（1）根据切线的性质得到OE⊥AD，由四边形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OE∥CD，根据平行线的性质得到∠EFD＝∠OEF，由等腰三角形的性质得到∠OEF＝∠OFE，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）连接PF，由BF是⊙O的直径，得到∠BPF＝90°，推出四边形BCFP是矩形，根据tan∠FBC ＝，设CF＝3x，BC＝4x，于是得到3x+＝4x，x＝，求得AD＝BC＝4，推出DF∥OE ∥AB于是得到DE：AE＝OF：OB＝1：1即可得到结论．【解答】解：（1）连接OE，BF，PF，∵∠C＝90°，∴BF是⊙O的直径，∵⊙O与AD相切于点E，∴OE⊥AD，∵四边形ABCD的正方形，∴CD⊥AD，∴OE∥CD，∴∠EFD＝∠OEF，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∴∠OFE＝∠EFD，∴EF平分∠BFD；（2）连接PF，∵BF是⊙O的直径，∴∠BPF＝90°，∴四边形BCFP是矩形，∴PF＝BC，∵tan∠FBC＝，设CF＝3x，BC＝4x，∴3x+＝4x，x＝，∴AD＝BC＝4，∵点E是切点，∴OE⊥AD∴DF∥OE∥AB∴DE：AE＝OF：OB＝1：1∴DE＝AD＝2，∴EF＝＝10．【点评】本题考查了切线的性质，正方形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．2.如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．【分析】（1）先判断出∠AOC＝90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF＝3是解本题的关键．3．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△PAB的内心；（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．【分析】（1）连接OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明；（2）连接AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，证明EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念证明即可；（3）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：连接OB，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OBP＝∠OAP，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∴PB是⊙O的切线；（2）证明：连接AE，∵PA为⊙O的切线，∴∠PAE+∠OAE＝90°，∵AD⊥ED，∴∠EAD+∠AED＝90°，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，∵PA、PB为⊙O的切线，∴PD平分∠APB∴E为△PAB的内心；（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，∴∠PAB＝∠C，∴cos∠C＝cos∠PAB＝，在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，∴AC＝，AO＝，∵△PAO∽△ABC，∴，∴PO＝＝＝5．【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E．（1）如图1，求证：AD＝CD；（2）如图2，过点D作弦DF⊥AB垂足为H，连接EF交AB于G，求证：EF∥AC；（3）如图3，在（2）的条件下，过点G作GN⊥BC垂足为N，若OG＝3，EN＝4，求线段DH的长．【分析】（1）如图1中，连接BD，利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．（2）如图2中，连接BD，想办法证明∠ADF＝∠DFE即可．（3）连接AE．设OA＝OB＝r，则AB＝BC＝2r，BG＝3+r，利用平行线分线段成比例定理，构建方程求出r，即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵BA＝BC，∴AD＝CD．（2）证明：如图2中，连接BD．∵AB⊥DF，∴＝，∴∠ADF＝∠ABD，∵∠DFE＝∠ABD，∴∠ADF＝∠DFE，∴EF∥AC．（3）解：如图3中，连接AE．设OA＝OB＝r，则AB＝BC＝2r，BG＝3+r，∵EG∥AC，∴＝，∵BC＝BA，∴BE＝BG＝3+r，∴BN＝3+r﹣4＝r﹣1，∵AB是直径，GN⊥BC∴∠AEB＝∠GNB＝90°，∴GN∥AE，∴＝，∴＝，解得r＝9或﹣1（舍弃），∴BG＝12，BN＝8，∴NG＝＝＝4，∴EG＝＝＝2，∵GN∥AE，∴＝，∴＝，∴AE＝6，∵∠C＝∠DAH，∠AEC＝∠AHD＝90°，∴△AEC∽△DHA，∴＝＝2，∴DH＝3．【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：△KGD∽△KEG；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．【分析】（1）连接OG，由EG＝EK知∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，结合OA＝OG知∠OGA＝∠OAG，根据CD⊥AB得∠AKH+∠OAG＝90°，从而得出∠KGE+∠OGA＝90°，据此即可得证；（2）①由AC∥EF知∠E＝∠C＝∠AGD，结合∠DKG＝∠CKE即可证得△KGD∽△KGE；②连接OG，由设CH＝4k，AC＝5k，可得AH＝3k，CK＝AC＝5k，HK＝CK﹣CH＝k．利用AH2+HK2＝AK2得k＝1，即可知CH＝4，AC＝5，AH＝3，再设⊙O半径为R，由OH2+CH2＝OC2可求得，根据知，从而得出答案．【解答】解：（1）如图，连接OG．∵EG＝EK，∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，又OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG＝90°，∴∠KGE+∠OGA＝90°，∴EF是⊙O的切线．（2）①∵AC∥EF，∴∠E＝∠C，又∠C＝∠AGD，∴∠E＝∠AGD，又∠DKG＝∠GKE，∴△KGD∽△KEG；②连接OG，∵，AK＝，设，∴CH＝4k，AC＝5k，则AH＝3k∵KE＝GE，AC∥EF，∴CK＝AC＝5k，∴HK＝CK﹣CH＝k．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2＝AK2，即，解得k＝1，∴CH＝4，AC＝5，则AH＝3，设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC＝R，OH＝R﹣3k，CH＝4k，由勾股定理得：OH2+CH2＝OC2，即（R﹣3）2+42＝R2，∴，在Rt△OGF中，，∴，∴．【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、平行线的性质，圆周角定理、相似三角形的判定与性质及切线的判定等知识点．作业思考：1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长．【分析】（1）由垂直的定义，角平分线的定义，角的和差证明EF＝EI，同角的余角相等得∠AEF＝∠GEI，四边形的内角和，邻补角的性质得∠FAE＝∠IGE，最后根据角角边证明△AEF≌△GEI，其性质得AE＝GE；（2）由圆周角定理，等角的三角函数值相等求出⊙O的半径为，根据平行线的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，三角形相似的判定与性质，一元二次方程求出t的值为，最后求线段AH的长为．【解答】证明：（1）过点E作EI⊥EF交CF于点I，如图①所示：∵CF⊥AB，∴∠AFG＝90°，又∵EF平分∠AFG，∴∠EFA＝∠EFI＝45°，又∵EF⊥EI，∴∠FEI＝90°，又∵∠EFI+∠EIF＝90°，∴∠EIF＝45°，∴EF＝EI，又∵∠EAF+∠AFG+∠FGE+∠GEA＝360°，∠AFG＝∠AEG＝90°，∴∠EGF+∠FAE＝180°，又∵∠EGF+∠EGI＝180°，∴∠EGI＝∠FAE，又∵∠AEB＝∠AEF+∠FEG，∠FEI＝∠GEI+∠FEG，∴∠AEF＝∠GEI，在△AEF和△GEI中，，∴△AEF≌△GEI（AAS），∴AE＝GE；（2）连接DO并延长，交⊙O于点P，连接AP，如图②甲所示：∵∠ABD与∠P是⊙O上弧AD所对的圆周角，∴∠ABD＝∠P，又∵DP为⊙O的直径，∴∠PAD＝90°，又∵tan∠FBG＝，∴tan∠P＝＝，又∵AD＝3，∴AP＝4，PD＝5，∴OD＝，过点H作HJ⊥AC于点J，过点O作OK⊥AC于点K，设AJ＝3t，CF＝x，如图②乙所示，∵HJ⊥AC，BD⊥AC，∴HJ∥BD，∴∠ABD＝∠AHJ，又∵tan∠ABD＝∴tan∠AHJ＝，又∵AJ＝3t，∴HJ＝4t，在Rt△AHJ中，由勾股定理得：AH＝＝＝5t，又∵CH是∠ACF的平分线，且HF⊥CF，HJ⊥AC，∴HF＝HJ＝4t，∴AF＝AH+HF＝9t，又∵CF＝x，∴CJ＝x，又∵∠BFG＝∠GEC，∠FGB＝∠EGC，∴△FBG∽△ECG，∴∠FBG＝∠ECG，∴tan∠FCJ＝＝＝，解得：x＝12t，∴CF＝CJ＝12t，∴AC＝15t，∴CK＝t，又∵OK∥HJ，∴＝，∴OK＝＝＝t，∴在Rt△OCK中，由勾股定理得：OK2+KC2＝OC2，即（t）2+（t）2＝（）2，解得：t＝，或t＝﹣（舍去），∴AH＝5t＝．【点评】本题综合考查了垂线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，一元二次方程等相关知识，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是辅助线构建全等三角形，圆周角和相似三角形．。

中学数学复习三角函数与相似三角形

中学数学复习三角函数与相似三角形中学数学复习：三角函数与相似三角形导言：数学是一门既抽象又具有实用性的学科，其中三角函数与相似三角形是中学数学中重要的内容之一。

通过对三角函数与相似三角形的复习，我们能够巩固对于三角函数定义、性质以及相似三角形判定及性质应用的理解和掌握。

本文将全面复习这些内容，帮助读者进一步加强数学知识，为数学学习打下坚实的基础。

一、三角函数复习1. 三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别是以一个角的正弦值、余弦值和正切值为函数值的函数。

对于一个锐角∠A，我们定义其正弦值为∠A的对边与斜边的比值，记作sinA；余弦值为∠A 的邻边与斜边的比值，记作cosA；正切值为∠A的对边与邻边的比值，记作tanA。

2. 三角函数的性质（1）单位圆上的正弦、余弦、正切值单位圆是半径为1的圆，将圆心O作为坐标原点，将x轴和y轴作为坐标轴。

对于单位圆上的点P(x, y)，P到x轴的距离即为∠A的弧度值，也是∠A的正弦值和余弦值。

利用单位圆，我们可以得出许多三角函数的性质，如sin2A + cos2A = 1以及tanA = sinA/cosA等。

（2）三角函数的周期性三角函数在定义域（一般是实数集合）上都是周期函数。

其中，正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。

（3）三角函数的奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sinx；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cosx；正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tanx。

3. 三角函数的图像与性质（1）正弦函数和余弦函数的图像正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的图像都是由一条连续的波浪线组成。

正弦函数的最大值为1，最小值为-1，而余弦函数的最大值也为1，最小值同样为-1。

这两个函数的图像关于y轴对称。

（2）正切函数的图像正切函数在定义域的某些点处不存在，称为奇点。

在正切函数的图像中，奇点以虚线表示。

相似三角形的性质和应用

相似三角形的对应边之间的比值相等。
两个相似三角形的面积之比等于它们对应边之比的平方。
两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。
相似三角形中对应的高、中线、角平分线等线段之比也等于它们的相似比。
XX
PART 02
相似三角形性质探究
REPORTING
对应角相等性质
若两个三角形相似，则它们的对应角相等。
及求解相关光学参数。
电学问题
在电学问题中，可以利用相似三角形的性质分析电路中的电阻、电流等物理量的关系，从而简化
电路的计算过程。
热学问题
在热学问题中，相似三角形的应用主要涉及热量传递、热效率等方面的问题，通过相似三角形的性质可以分析热量传递的路径和
效率等问题。
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PART 06
总结与展望
学生自我评价及反思
知识掌握情况
通过本次课程的学习，我对相似三角形的性质和应用有了更深入的理解，能够熟练运用所学知识解决相关问题。
学习方法反思
在学习过程中，我采用了多种学习方法，如听讲、阅读、练习等，这些方法帮助我更好地理解和掌握知识。同时，我也意识到自己在某些方面还有待提高，如需要更加细心和耐心。
相似比
两个相似三角形的对应边之间的比值称为相似比。
相似度
用于量化两个三角形相似的程度，通常通过计算两个三角形的面积比或周长比的平方来得到。
相似三角形性质总结
01
02
03
04
05
对应角相等
对应边成比例
面积比等于相似比的平方
周长比等于相似比
高、中线、角平分线等线…
相似三角形的对应角相等。
对未来学习方向提出建议

相似三角形与三角函数的关系

相似三角形与三角函数的关系相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。

在数学中，相似三角形是一个重要的概念，它与三角函数有着密切的关系。

本文将探讨相似三角形与三角函数之间的关系，以及如何运用三角函数来解决相似三角形的问题。

一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，对应边比值相等的三角形。

根据相似三角形的定义，我们可以得出以下性质：1. 相似三角形的对应角度相等在两个相似三角形中，每个角度的度数都相等。

这是相似三角形的基本性质之一。

2. 相似三角形的对应边比例相等在两个相似三角形中，对应边的长度的比值是相等的。

这意味着，若两个三角形的对应边分别为a1、b1、c1和a2、b2、c2，则有以下比例关系：a1/a2 = b1/b2 = c1/c23. 相似三角形的面积比例是边长比例的平方相似三角形的面积比例等于对应边长比例的平方。

设两个相似三角形的对应边分别为a1、b1、c1和a2、b2、c2，则有以下关系：面积1 / 面积2 = (a1^2 / a2^2) = (b1^2 / b2^2) = (c1^2 / c2^2)二、三角函数与相似三角形的关系三角函数是研究角度与边长之间关系的重要工具。

在相似三角形中，对应角度相等，因此对应角的三角函数值也相等。

利用这一性质，我们可以在解决相似三角形问题时运用三角函数。

1. 正弦函数在相似三角形中的应用正弦函数在相似三角形中的运用较为广泛。

根据正弦定理，对于一个角为A的三角形，其对应的边长与正弦函数之间的关系为：a / sin(A) =b / sin(B) =c / sin(C)当两个三角形为相似三角形时，对应角相等，对应边比例相等。

因此，我们可以利用实际已知数据，通过正弦函数来计算未知量。

2. 余弦函数在相似三角形中的应用余弦函数也可以在相似三角形中得到应用。

根据余弦定理，对于一个角为A的三角形，其对应的边长与余弦函数之间的关系为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)在相似三角形中，对应边比例相等，因此可以通过已知数据和余弦函数来计算未知量。

圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC ＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE ＝AB－AE＝203－143＝24．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB ＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴DE是⊙O的切线(2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝10105．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH (2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S△OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183类型三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－12x2－32x＋2(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－32，0)，∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点D的坐标为(83，0) (3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(－32＋r，r)或F(－32－r，r)，而点E在抛物线y＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12(－32＋|r|)2－32(－32＋|r|)＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292(舍去)．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋2927．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C 三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；(2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，可知C(0，－3)，－b2a＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3(a＞0)．过点M作MN⊥y轴于点N，连结CM，则MN＝1，CM＝5，∴CN＝2，于是m＝－1.同理，可求得B(3，0)，∴a×32－2a×3－3＝0，解得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3 (2)由(1)得，A(－1，0)，E(1，－4)，D(0，1)，∴△BCE为直角三角形，BC＝32，CE＝2，∴OBOD＝31＝3，BCCE＝322＝3，∴OBOD＝BCCE，即OBBC＝ODCE，∴Rt△BOD∽Rt △BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin(α－β)＝sin(∠DBC－∠OBD)＝sin∠OBC＝COBC＝22(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点O(0，0)．过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2(0，13)．过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3(9，0)．故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似。

相似三角形和三角函数

相似三角形考点
1.
推论——直角三角形相似：
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

2.性质定理：
(1)对应角相等。

(2)对应边成比例。

(3)对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)周长比等于相似比。

(5)面积比等于相似比的平方。

3.相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2
4、比例的性质
（1）比例的基本性质：
b a =d c
⇔ad=bc （bd≠0）（2）合比性质：b a =d c ⇒b b a +=d d
c +
（3）等比性质：===(0)a c m a c m a
b d n b d n b d n b
+++⇒=++
+≠+++
5、位似
如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

对应边的比叫做位似比，位似比等于相似比。

锐角三角函数知识点总结
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
3、特殊角的三角函数值(重要)
对边
邻边
C。

相似三角形的应用于三角函数

相似三角形的应用于三角函数相似三角形是三角函数中重要的应用之一。

在几何学中，相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，并且对应边成比例的三角形。

在三角函数中，我们可以利用相似三角形的性质，来推导和解决各种三角函数的问题。

首先，我们来了解一下相似三角形的定义和性质。

两个三角形相似的条件是：它们的对应角相等，且对应边成比例。

相似三角形的性质有以下几点：1. 相似三角形的对应角相等，如∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；2. 相似三角形的对应边成比例，如AB/DE=BC/EF=AC/DF；3. 相似三角形的对应边的比值等于一个常数，我们通常称为相似比或相似比例因子。

在三角函数中，我们利用相似三角形的性质，可以推导出各种三角函数的关系式，从而求解各种与三角函数有关的问题。

下面，我们将介绍几个常见的相似三角形在三角函数中的应用。

1. 正弦定理正弦定理是三角函数中最基本的定理之一，在相似三角形中有着重要的应用。

假设在三角形ABC中，有一个角A，对应边BC，以及另一个三角形DEF中的一个角D，对应边EF。

如果∠A=∠D，且BC/EF=k（其中k为常数），那么根据相似三角形的性质，我们可以得到以下关系式：sinA/sinD=BC/EF=k或者更一般地表示为：sinA/BC=sinD/EF=k2. 余弦定理余弦定理也是三角函数中的重要定理之一，它描述了三角形中三条边之间的关系。

在相似三角形中，我们也可以利用余弦定理来推导和求解各种问题。

假设在三角形ABC中，有一个角A，对应边BC，以及另一个三角形DEF中的一个角D，对应边EF。

如果∠A=∠D，且BC/EF=k，那么根据相似三角形的性质，我们可以得到以下关系式：cosA/cosD=BC/EF=k或者更一般地表示为：cosA/BC=cosD/EF=k3. 正切定理正切定理是三角函数中的另一个重要定理，它描述了角A的正切值与对应边BC之间的关系。

在相似三角形中，我们也可以利用正切定理来推导和解决各种问题。